MATEMATICA SUPERIORJoseph Grijalva R -Ingenierıa Mecanica.

Las ecuaciones de ondas y del calor son sin duda dos de los modelos mas simples yfundamentales en la teorıa de EDP. El analisis anterior de los mismos indica que setrata de modelos con propiedades cualitativas muy distintas o, incluso, contrapuestas.

1 ECUACION DE CALORImaginemos una vara de longitud L, seccion transversal S, fina, homogenea (toda ella esta compuesta porel mismo material) y completamente aislada del exterior. Estas consideraciones permitiran que las leyesfısicas que emplearemos dependan unicamente de la posicion x y del tiempo t.

En el proceso de derivacion de la ecuacion se emplearan las siguientes magnitudes:u(x, t) = Temperatura de la vara en la posicion x, en el instante t.Q(x, t) =Flujo o cantidad de calor en la direccion positiva de x para la posicion x y el instante de tiempot por unidad de superficie.Si aplicamos el Principio de Conservacion de la Energıa sobre la vara de cobre en el segmento x+ ∆x,obtendremos que:

Variacion de la energıa interna (calor) = Flujo de calor entrante-Flujo de calor saliente

∂Q

∂t= Qin(x, t)−Qex(x+ ∆x, t)S

Por la ley fisica ” Ecuacion Fundamental de la Termologıa”, se tiene

Q(x, t) = λmu(x, t)

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λ :Constante Caracterıstica del material.

Consideremos nuevamente, a continuacion, el segmento infinitesimal (x, x + ∆x). Como la secciontransversal de la vara tiene una superficie S, el volumen resultante sera S∆x. Si ahora introducimos unnuevo parametro,ρ, que represente la densidad del material, podremos establecer la siguiente relacion:

∆m = ρS∆x

Sustituyendo en la ecuacion del calor especıfico llegaremos al resultado siguiente:

Q(x, t)λmu(x, t) = λρS∆xu(x, t)

Derivando respecto al tiempo:

∂Q

∂t= λρS∆x

∂u

∂t

De esta manera obtuvo otra expresion para Q(x, t). El siguiente paso consiste en combinarla con elprincipio de conservacion del calor que enunciamos anteriormente. Por consiguiente:

λρS∆x∂u

∂t= S(Qin(x, t)−Qex(x+ ∆x, t))

Dividiendo ambos miembros entre S∆x:

λρ∂u

∂t=Qin(x, t)−Qex(x+ ∆x, t)

∆x

Ahora extraemos un signo menos como factor comun del miembro de la derecha y nos queda lo siguiente:

λρ∂u

∂t=Q(x+ ∆x, t)−Q(x, t)

∆x

Si, a continuacion, hacemos tender ∆x a 0:

λρ∂u

∂t= − lim

∆x→0

Q(x+ ∆x, t)−Q(x, t)

∆x

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El resultado es la derivada parcial de Q(x, t) , respecto a x. Reescribiendo la expresion:

λρ∂u

∂t=∂Q

∂x

Finalmente, aplicaremos la Ley de Fourier de Conduccion del Calor, que nos indica que el flujo de calorse traslada en direccion opuesta al gradiente de la temperatura y es proporcional a el

Q(x, t) = −k(∂u

∂x,∂u

∂y,∂u

∂z

)

La constante k hace referencia a la conductividad termica del material. Si aplicamos esta ley a unaunica dimension (la de x), obtendremos que

Q(x, t) = −k∂u∂x

Por lo tanto, lo unico que nos resta para llegar a la ecuacion final es sustituir esta ultima expresion, conlo que nos quedara que:

λρ∂u

∂t= −∂Q

∂x= −

∂

(−k∂u

∂x

)∂x

= k∂2u

∂x2

Agrupando todas las constantes en un miembro:

∂u

∂t= α2 ∂

2u

∂x2

2 ECUACION DE ONDAVamos a estudiar esta cuerda solamente bajo la influencia de sus fuerzas internas.Por lo tanto, la gravedadu otras fuerzas (friccion) no se tendran en cuenta para este calculo.

Vamos a presentar primero la notacion de las variables que se estudian aquı:u(x, t) = El desplazamiento de la cuerda con respecto a x y t.θ(x, t) = El angulo entre la cuerda y en el horizontal x y t.T (x, t) = La tension entre la cuerda en el lugar x y el momento t.ρ(x) = La tension en la cuerda en el lugar x y el momento t.

Aplicando la Segunda Ley de Newton

Masa· aceleracion =Suma de fuerzas que actuan en un cuerpo.

Direccion vertical: Consideramos una pequena seccion de la cuerda ∆x con densidad ρ(x). Entonces,la masa de la seccion de la cuerda es

m=densidad · longitud =ρ(x)√

∆x2 + ∆u2

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Sabemos tambien que cualquier organismo cuya posicion sea x la aceleracion es ∂2u/∂t2.Por lo tanto, lafuerza de Newton es la direccion vertical da:

m·a=ρ(x)√

∆x2 + ∆u2 · ∂2u/∂t2

Se unen todas las fuerzas en la direccion vertical que actuen sobre la cuerda:

ρ(x)√

∆x2 + ∆u2 · = T(x+∆x,t)sinθ(x+∆x,t)-T(x,t)sinθ(x,t)

Dividimos por ∆x y queda la siguiente ecuacion:

ρ(x)√

1 + ∆u2

∆x2∂2u∂t2 =T (x+∆x,t) sin θ(x+∆x,t)−T (x,t) sin θ(x,t)

∆x

Tengamos en cuenta que el lado derecho de lo anterior es en realidad un finito Tsin θ de diferencia conrespecto a x.En este sentido la participacion de todos los terminos ∆ real se convertira en derivados si hacemos tender∆x → 0.Aplicando ∆x → 0 sobre la ecuacion anterior obtenemos algo que se asemeja a una ecuacion diferencial:

ρ(x)√

1 + (∂u∂x )2 ∂2u∂t2 = ∂

∂x (T (x, t) sin θ(x, t))

Por tanto,el producto de la regla de la mano derecha de lo anteriorn se convierte en:

ρ(x)√

1 + (∂u∂x )2 ∂2u∂t2 =∂T (x,t)

∂x sin θ(x, t) + T (x, t) cos θ(x, t)∂θ(x,t)∂x

Simplificando lo que sea posible.Como se tiene que :

tan θ(x, t) = ∂u(x,t)∂x

y que

θ(x, t) = tan−1(∂u(x,t)∂x )

Teniendo la θ(x, t) derivada por encima da:

∂u(x,t)∂x =

∂2u(x,t)

∂x2√1+(

∂u(x,t)∂x )2

cos θ(x, t)

Del mismo modo sacamos las relaciones siguientes:

sin θ(x, t) =∂u(x,t)

∂x√1+(

∂u(x,t)∂x )2

cos θ(x, t) = 1√1+(

∂u(x,t)∂x )2

Estas formulas pueden utilzarse para eliminar todos los θ de la ecuacion principal.El resultado es correctopero muy engorroso para trabajar.En lugar de eso,haremos algunas otras hipotesis de simplificacion que puede reducir drasticamente nuestromodelo.

Principal hipotesis: supongamos que θ(x,t) es muy pequeno (θ(x,t)≈0).Entonces tan θ(x, t) ≈ θ(x, t)ytambien∂u(x,t)∂x ≈

Q.Por lo tanto,una serie de terminos en nuestras anteriores relaciones nos permitiran simplificar de la

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siguiente manera:√1 +

(∂u

∂t

)2

≈ 1, sinθ(x, t) ≈ ∂u(x, t)

∂t, cosθ(x, t) ≈ 1,

∂θ(x, t)

∂t≈ ∂2u(x, t)

∂t2

Por lo que, nuestra ecuacion se convierte en:

ρ(x)∂2u

∂t2=∂T (x, t)

∂x

∂u(x, t)

∂x+ T (x, t)

∂2u(x, t)

∂x23.32

Tenemos un ultimo problema: dos incognitas T y U y una ecuacion.Pero, tenemos que recordar quetodavıa no hemos puesto en uso la equivalente formulacion de la direccion horizontal...Direccion horizontal: Las fuerzas en la direccion horizontal son iguales a cero ya que el movimiento nose esta llevando a cabo.Como resultado de ello:

T (x+ ∆x, t) cos θ(x+ ∆x, t)− T (x, t) cos θ(x, t) = 0

Una vez mas, dividiendo por ∆x y ∆x→ 0, podemos obtener una forma diferencial de esta ecuacion:

∂

∂x(T (x, t)cosθ(x, t))) = 0 3.33

Dado que, como hemos mencionado anteriormente cos θ ≈ 1 para los pequenos θ luego por encima de laT(x,t) implicita que debe ser una constante en lo que respecta a x.Por lo tanto T(x,t) es una funcion solode t.Ası que, sobre la base de nuestra busqueda en 3.33, podemos revisar la ecuacion 3.32 de la siguiente manera:

ρ(x)∂2u

∂t2= T (x, t)

∂2u(x, t)

∂x2

Suponiendo ahora que tanto la densidad ρ como la tension T son constantes podemos obtener una ecuacionde ondas,

∂u

∂t2= v

∂2u(x, t)

∂x2

donde v=T(x,t)/ρ(x).Tenga en cuenta que la hipotesis de que la densidad ρ(x) es una constante y nodepende de x es realista con respecto a los materiales mas comunes.Del mismo modo,la tension T tambien puede ser asumida como una constante en el caso de las guitarramientras se produce.Como resultado de ello es nu por lo general una constante.

3 ECUACION DE LA PLACELa ecuacion de Laplace debe ser analıtica, por lo que debe cumplir con las ecuaciones de Cauchy - Riemann.

ux = vy, uy = −vxIniciando con la ecuacion.

Para casos bidimensionales

∇2u =∂2u

∂x2

∂2u

∂y2= 0

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Para casos tridimensionales

∇2u =∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2= 0

Ambas ecuaciones tienen gran importancia puesto que la funci?on potencia de un campo gravitatorio ode un campo el?ectrico son soluciones de dichas ecuaciones.

Separando variables, primeramente hacemos u(x, y) = X(x)Y (y). Al sustituir en la ecuacion se obtiene.

X′′(x)

X(x)= −Y

′′(y)

Y (y)= λ

X′′(x)− λX(x) = 0 Y

′′(y) + λY (y) = 0

Se tiene que si X′(0) = X

′(a) = 0 se puede comprobar que

λ = −(nπ

a)2

Xn(x) = Cn cos(nπ

a)

donde los valores Cn son constantes arbitrarias. Si sustituimos λ en la segunda ecuacion y calculamosY (y) obtenemos

Y0(y) = D0 + E0y

Yn(y) = Dncosh(nπy

a) + Ensinh(

nπy

a)

Ahora bien, la condicion de contorno u(x, 0) = 0 se cumplira si Y (0) = 0, con lo cual se obtienen lassoluciones.

Y0(y) = D0y

Yn(y) = Ensinh(nπy

a)

Combinando las funciones

un(x, y) = An cos(nπy

a) sin(

nπy

a)

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4 Conclusiones• Con este documento se pudo apreciar la deduccion minuciosa de la ecuacion de la onda y de calor

• Se entendio la ecuacion de Laplace y su utilidad.

5 References• ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES, Enrique Zuazua

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