matematica-provabilidad

- 1 - Materia: HERRAMIENTAS MATEMTICAS III (ESTADSTICA I) Profesor: MARIO MARN

Mdulo 1: 1 ESTADISTICA: DEFINICIN

Definicin: "Es el conjunto de mtodos y tcnicas que permiten determinar, de una muestra debidamente representativa de una poblacin, los valores estadsticos, a fin de poder inferir sobre los parmetros poblacionales con un cierto grado de bondad"

Esta definicin comprende tanto a la estadstica descriptiva como a la estadstica

inferencial. Mark Berenson y David Levine1, definen Estadstica descriptiva como El

conjunto de mtodos que incluyen la recoleccin, presentacin y caracterizacin de un conjunto de datos con el fin de describir apropiadamente sus caractersticas.

Mientras que a la estadstica inferencial la definen como Conjunto de mtodos que hacen posible la estimacin de una caracterstica de la poblacin o la toma de una decisin referente a una poblacin basndose solo en los resultados de una muestra.

La comprensin de estas definiciones se ve facilitada si se aclaran convenientemente

algunos trminos de las mismas.

1.1 POBLACIN:

Que se entiende por poblacin?

Definicin: "El conjunto de datos cuantificable pertenecientes al sistema en estudio constituye la poblacin."

Esto implica que si el sistema en estudio es la produccin agrcola ganadera de la

Provincia de Crdoba, entonces el mismo estar constituido por todos los

establecimientos agropecuarios de la Provincia. Si en cambio se pretende estudiar la

edad promedio de los estudiantes de la Universidad Empresarial Siglo 21, la poblacin

estar conformada por todos los estudiantes de esa Institucin. Si se presenta en un

Estudio Publicitario, la necesidad de plantear una campaa para promover la venta

de un nuevo perfume en la ciudad de Crdoba, la poblacin a estudiar estar

constituida por todas las mujeres de dicha ciudad en condiciones de seleccionar y

elegir un perfume. Si se pretendiere realizar un estudio sobre la calidad de los tomates

producidos en las quintas de los alrededores de la ciudad, entonces todas las quintas

con produccin de tomates prxima a la ciudad de Crdoba se constituirn en la

poblacin.

Pudiere ser de importancia para un nuevo gobierno provincial prever el

comportamiento de los contribuyentes a las obligaciones impositivas, en caso de

reducir el monto de los impuestos, en este caso la poblacin estar constituida por

todos los contribuyentes

A fin de poder tomar las medidas ms adecuadas ser necesario contar con la mayor

informacin posible, si los datos informativos con los que contamos provienen del

estudio de toda la poblacin, no sera necesario realizar ninguna inferencia, decimos

que se ha efectuado un censo de la poblacin. Pero en ese caso dicha mayor

1

Estadstica Bsica en Administracin pg.2


exactitud va acompaada por un mayor costo y tiempo que evidentemente encarece el

proceso. Es decir, los resultados que puede entregarnos un censo tienen el carcter

de ser exactos, pero los costos que determinan los mismos pueden no justificar

dicha exactitud cuando, con muestras debidamente seleccionadas se determinan

esos valores con un cierto grado de error que se puede regular y que ms adelante

veremos.

Por otra parte en algunas situaciones particulares el censo se presenta impracticable o

puede no ser conveniente. Piense el lector que si el estudio se refiriere al

comportamiento de las abejas en un colmenar, la poblacin tendra el carcter de

infinita y por lo tanto sera imposible censarla.

Supongamos que se desata una epidemia en la poblacin y debemos analizar la

respuesta a un cierto medicamento. Pretender estudiar la respuesta de toda la

poblacin a la nueva droga llevara un tiempo enorme tal que al cumplirse tal vez no

tendra sentido la aplicacin del medicamento.

Una Empresa automotriz recibe de una Autopartista una partida de 500 pernos de

pistn, Recepcin debe decidir su aceptacin. Dentro de los ensayos a realizar sobre

las piezas, adems de dimensiones y dureza se debe efectuar un ensayo de traccin

para el cual sera necesario destruir la pieza, en este caso sera entonces imposible

ensayar todas ellas. Por otro lado, si el verificar las dimensiones constituyere otro

ensayo a realizar, genera en la cantidad de pernos verificados un efecto particular

sobre el operario que lo realiza, lo cul lo lleva a cometer errores, en algunos casos

superiores a los que se cometeran efectuando un muestreo. Tendramos tambin

que tener en cuenta el costo de mano de obra que representa la verificacin de esos

elementos.

Esto que hemos expresado nos lleva a la necesidad de poder tomar decisiones en

base a las inferencias que sobre una poblacin podemos hacer de resultas del anlisis

y estudio de una muestra de la misma. 1.2 MUESTRA:

De acuerdo a lo visto en el tem anterior, estudiar el comportamiento de una poblacin

a travs de un censo, se torna en la mayora de los casos impracticable, es por esa

razn que el anlisis se efecta por medio de una muestra que est constituida por

una parte de todos los valores poblacionales.

Definicin: Una muestra estar constituida por un subconjunto de la poblacin."

Cada uno de los elementos que forman parte de la muestra se denominan observacin.

MUESTRA DEBIDAMENTE REPRESENTATIVA

Si bien es cierto que una muestra est constituida por elementos pertenecientes a la poblacin, tendremos que comprender que no todo subconjunto de la poblacin se

constituye en una muestra debidamente representativa. Vale tal vez recordar que en 1936 en vsperas a las elecciones presidenciales de EE.UU., la encuestadora

LITERARY DIGEST pronostic el triunfo del candidato Republicano con un apreciable


margen por sobre su opositor Rooselvet. El pronstico se basaba sobre los resultados

de una encuesta hecha sobre una muestra de dos millones de habitantes. No

obstante el triunfo fue del candidato demcrata y el error en la inferencia se deba a

que los encuestados fueron seleccionados entre los poseedores de automviles y

abonados telefnicos. En esos momentos los que estaban mejor posicionados para

poseer automvil y lneas telefnicas correspondan a la clase media y alta, en su

mayora con tendencias republicanas, pero el triunf qued en manos de Rooselvet

apoyados por la masa poblacional de menores recursos.

Definicin: Una muestra se dice que es debidamente representativa de una poblacin cuando presenta sus mismas caractersticas.

Presentar las mismas caractersticas que la poblacin implica que, si el 20% de la

poblacin cumple con una determinada propiedad, se espera que el 20% de la

muestra cumpla con esa misma propiedad.

Esto permite disminuir los errores que se cometen cuando se efecta la inferencia de

los parmetros poblacionales a partir de los valores determinados en la muestra. 1.3. VALORES ESTADSTICOS

El estudio realizado sobre una muestra nos permite determinar valores cuyas

caractersticas nos referiremos ms adelante y a los cuales se los denomina

estimadores pudiendo tambin tomar el nombre de valores estadsticos, mediante

los cuales se podr efectuar una correcta estimacin sobre los valores de la

poblacin.

Por otra parte, los valores propios de la poblacin toman el nombre de Parmetros.

Si se pretendiere determinar el salario de los empleados metalrgicos del Pas,

tomaramos una muestra constituida por operarios de distintas empresas y distintas

provincias y siempre proporcional al nmero de operarios de cada lugar, el salario

promedio obtenido en la muestra se denomina estadstico, mientras que el salario

promedio de toda la poblacin obrera metalrgica se constituye en parmetro 1.4. PARMETROS

Definicin: Los valores en estudio, que en la muestra toman el nombre de Estadsticos, en la poblacin se los denominan Parmetros.

Definicin: Se define como bondad al margen de seguridad con que se realiza la inferencia de acuerdo a los estudios realizados sobre la o las muestras.

Aseverar que tal poltico ganar las prximas elecciones presidenciales no tiene peso

como informacin si no se lo acompaa con un grado de seguridad. Indicar que las

encuestas los dan ganador por tal cantidad de puntos, solo es tomado en cuenta

cuando se acompaa esa informacin con una determinada seguridad.


2. Variable, Datos

Debemos tener en cuenta que la Estadstica basa su aplicacin en el estudio y anlisis

de nmeros los que se denominan Datos. Si dichos datos son obtenidos a travs de

una muestra, se los llama observaciones, las que deben responder a una determinada caracterstica que es la que tenemos en estudio, puede ser la

produccin avcola en la provincia, la inversin de dinero en publicidad en los distintos

medios durante el ao 1998, o a la cantidad de precipitaciones en el sur de la

provincia, la concurrencia a un Centro Comercial, las temperaturas mximas diarias

durante el mes de marzo en una determinada localidad, el nmero de alumnos

ingresados en cada una de las Universidades de la provincia. De Crdoba en el

corriente ao, cada una de estas toma el nombre de Variable. En definitiva cada vez

que nos aboquemos a un estudio estadstico debemos de tener en cuenta que dicho

estudio corresponde a una Variable, y que de sta se tendrn Datos y los que

corresponden a Observaciones realizadas. Mediante la aplicacin de mtodos y

tcnicas estadsticas se estudian estas observaciones y se determinan los

estadsticos.

2.1 TIPO DE VARIABLE

En una fbrica de automotores puede considerarse necesario determinar el nmero de

automviles de cada modelo producidos durante el ltimo trimestre, a fin de poder

compararlo con las unidades producidas durante el mismo perodo del ao anterior y

poder prever la produccin para los futuras perodos. Al Ministerio de Agricultura y

Ganadera, le ser imprescindible definir la cantidad de hectreas sembradas de maz

en todo el Pas y en condiciones de ser levantadas en la prxima cosecha. En la

localidad de Embalse de Ro Tercero, se tienen piletas en donde se efecta la cra de

pejerreyes y por lo tanto le ser de suma importancia definir, para cada perodo del

proceso el tamao promedio de los peces. Para una planta generadora de energa

elctrica, le es necesario determinar los picos de consumo de energa durante el da y

el consumo durante las diferentes pocas del ao. Puede ser deseable para la

Secretara de Cultura de la Municipalidad de la ciudad de Crdoba, definir el grado de

calidad que poseen los Artistas Plsticos, para lo cul ser necesario valorizar las

obras de cada uno de ellos. Observar el lector que el tipo de dato de cada una de las

incgnitas en estudio puede tener caractersticas diferentes. En el estudio de la

produccin de automviles, la cantidad de unidades producidas es un nmero entero

definido, no es as en el caso de querer determinar la longitud de los peces que se

cran en Embalse, ya que la exactitud de la misma depender del instrumento con que

se realice el proceso. En el caso de pretender determinar el grado de calidad de los

maestros plsticos de Crdoba, no hay la menor duda en que, la definicin de la

misma depender del criterio experiencia y capacidad de quien realice la valorizacin

de cada obra. Es decir ser necesario efectuar una clasificacin de los tipos de datos:

Tipos de Datos

Cuantitativos

Cualitativos

Discretos

Continuos

Nominales

Jerarquizados


Discretos: Se dice que un valor es discreto cuando es el resultado de un conteo.

Nmero de televisores por hogar

Cantidad de alumnos aprobados o reprobados en una evaluacin Nmero de habitantes por mdicos en una localidad; etc.

Tmense stos como modelos de datos discretos

Continuos: Se dice que una variable es del tipo continuo cuando asume valores dentro de un intervalo de nmeros reales.

Las alturas de los alumnos de un curso

La longitud de peces en un lago

El volumen de precipitaciones anuales etc.

Es decir en definitiva, cuando el valor del dato u observacin se mide en un intervalo,

decimos que es del tipo continuo

Nominales: Cuando los valores que adopta la variable en estudio puede ser

clasificada de acuerdo a categoras, tal como lo sera el responder a una encuesta

efectuada al personal de una Empresa automotriz y en la cual se plantea la situacin

de cada uno en cuanto a su estado civil. Sabemos que en este caso se tendran las

categoras de:

Soltero casado viudo divorciado

O el caso de realizar un estudio en un club social, en donde nos encontraremos con

que sus asociados se encuentran categorizados por edad segn:

Infantiles cadetes mayores

En estos casos en donde los datos se pueden agrupar por categoras es necesario

introducir, a fin de poder realizar su estudio, una cierta codificacin. De cualquier

manera no se podrn hacer estudios matemticos entre categoras.

Jerarquizados: Este tipo de dato se presenta cuando es necesario otorgarle a la

variable una cierta jerarqua de orden. Supongamos tener que estudiar el grado de

calidad de las obras expuestas por un cierto nmero de plsticos de Crdoba a fin de

asignar los correspondientes premios. A tal efecto ser necesario acudir al juicio de

un perito que permita definir el grado de categora de cada uno de los participantes,

esto implica que en el proceso de jerarquizar las obras de cada uno influir el

criterio de quin realiza el estudio, tal vez de ser otro el que efecte el anlisis pudiere

modificar dicho orden. Como conclusin entonces no podr en este tipo de variable

asegurar la exactitud del clculo

2.2. VALORES ESTADSTICOS


Al definir los objetivos de la Estadstica, expresbamos la necesidad de poder inferir

sobre las caractersticas de la poblacin, a travs del anlisis y estudio de la muestra.

Todos los valores que se determinan en la muestra se denominan estadsticos,

mientras que los valores propios de la poblacin se denominan parmetros. Adems

los valores estadsticos se pueden clasificar de acuerdo a sus caractersticas de la

siguiente manera:

Media

Valores

estadsticos

De tendencia

central o posicin

De dispersin

Mediana

Moda

Rango

Desvo medio

Varianza

Desviacin estndar

Coeficiente de variacin

SERIE SIMPLE

A los efectos de preparar un Congreso Internacional en una zona del Sur del Pas, se

ha solicitado el registro de las temperaturas mnimas de los ltimos once das del mes

de julio del ao anterior, obteniendo como respuesta los siguientes datos:

-2 0 1 -1 -3 -1 -2 -2 1 0 -2

La primera operacin a realizar par el estudio de esa muestra es la de ordenar las

observaciones de menor a mayor.

El conjunto de observaciones ordenadas de menor a mayor se denomina Serie

Simple.

-3 -2 -2 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1

En este caso, la variable en estudio est dada por las temperaturas y cada una de las

observaciones corresponder a un nuevo valor adoptado por la incgnita.

x = temperatura

n = nmero de observaciones = 11

La Serie simple se puede expresar como:

x1 x2 x3 x4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xn


donde:

x1= -3 y xn = 1

Con todos los valores que adopta la variable en estudio se genera una distribucin,

denominada Distribucin de la Variable en estudio

2-3. MEDIA

Se define como media aritmtica o promedio de una distribucin al cociente entre la

suma de todas las observaciones dividido el nmero total de ellas:

Es conveniente aclarar que la media poblacional se define como:

x1 + x2 + x3 + . . . . + xN

= --------------------------------

N

N tamao de la poblacin

Cuya denotacin general es

N

xi = 1

N

Mientras que en la muestra el estadstico x corresponde a la media de la muestra. x1 + x2 + . . . . . . . + xn

x = -------------------------------- n es el nmero de observaciones. n

Se denota como:

n

xi x = 1

n El siguiente diagrama representa la analoga entre la media poblacional para una poblacin y la media muestral para una muestra:


Poblacin

Tamao: N

Muestra

x Tamao: n

En nuestro caso:

-3+(-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-1)+(-1)+0+0+1+1

x = ------------------------------------------------------ = -1 11

Dentro de los valores estadsticos de posicin central la media es el de mayor

representatividad, pero debemos tener presente que a su ves es el ms sensible a

los valores extremos de la distribucin

Los valores extremos de la distribucin pueden influir en el valor de la media y de esa

manera hacerle perder su condicin de referente, tenga Ud. en cuenta el siguiente

ejemplo: En una Empresa con 9 operarios que ganan cada uno de ellos la cantidad de

$1000 mensuales, y con un Gerente general cuyo sueldo es de $10.000, el sueldo

promedio para esa distribucin ser:

1000 + 1000 + 1000 + . . . . + 10000 19.000

= ---------------------------------------------- = -------------

10 10

= $ 1900

Esto estara indicando que el sueldo promedio de los empleados de la empresa es de

$1900, cifra esta que de ninguna manera representa la realidad.

Recordar

MEDIA Cantidad de elementos Poblacin

Muestra

x

N

n

2.4. MEDIANA

Se define como Mediana de una distribucin, al valor que ocupa el punto medio de la

distribucin

Ocupar el punto medio de la distribucin implica que la mediana deja a la izquierda la

misma cantidad de valores que a la derecha. Todos los valores que se encuentran a la

izquierda son menores o eventualmente iguales a l, mientras que los valores que se

ubican a la derecha sern mayores o eventualmente iguales a l.


Continuando con el ejemplo referido a las temperaturas en una localidad del Sur:

-3 -2 -2 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11

Me = x6 = -1

Teniendo presente que el nmero de observaciones n = 11 el valor que ocupa el

lugar central de la distribucin corresponder a x6 y por lo tanto la mediana toma el

valor de -1.

Cuando el nmero de componentes de la distribucin es impar, la mediana est

perfectamente definida, pero para el caso de que n sea par, no se tiene un nico valor

central, en este caso la mediana estar dada por el promedio de los dos valores

centrales. Suponiendo que se le quitara el ltimo valor a la distribucin de

temperaturas que estamos analizando, el nmero de observaciones n = 10 y los dos

valores centrales seran x5 y x6.

-3 -2 -2 -2 -2 -1 -1 0 0 1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10

x5 + x6

Se tendra en este caso que Me = -------------

2

Podemos generalizar el valor de la mediana para una distribucin de n valores

teniendo en cuenta que el nmero de observaciones sea par o impar:

Si n es impar Me = x i donde i = (n+1)/2

Mediana x(n/2) + x(n/2 +1)

Si n es par Me = ------------------ 2

Para determinar el valor de la mediana de una serie simple o distribucin de

frecuencia es necesario tener en cuenta el nmero de observaciones, si n es impar, la

mediana pertenece a la distribucin y esta dada por el valor que ocupa el punto

central de la misma. En el caso de que n sea impar, el valor de la mediana esta dado

por el promedio de los dos valores centrales, esto implica que puede pertenecer a la

distribucin solo en el caso de que los valores centrales sean iguales:

a) 4 6 6 8 Me = 6 b) 2 10 18 20 Me = 14


c) 4,3 5,8 6,2 7,2 8,5 9,6 Me = 6,7 d) 2 3 3 6 9 Me = 3 e) 3,5 4,7 6,8 7,3 9,6 10 12,5 Me = 7,3

Observe el lector que a diferencia de la media o promedio la cul se ve influenciada

por los valores extremos, segn ya vimos, no ocurre lo mismo con la mediana la cul

se presenta como insensible a los valores extremos y por lo tanto describe con mayor

exactitud las distribuciones en donde los valores extremos son sensibles .Son ejemplo

de este tipo de distribuciones:

a) los ingresos personales

b) Las retribuciones generales en una empresa

c) Gastos domsticos

d) Ingresos netos por hogar, etc.

No obstante todo esto las propiedades que presenta la media y que veremos

ms adelante la hace ms atractiva para su utilizacin.

2.5. MODA

Se define como Moda de una distribucin al valor que ms veces se repite.

En nuestro caso -2 se repite en cuatro oportunidades y por lo tanto ste valor se

constituye en moda de la distribucin.

Mo = -2

Con respecto a este valor es necesario aclarar que si en una distribucin se tiene ms

de un valor con el mismo mximo de repeticiones, cada uno de ellos se constituir en

una nueva moda, es decir que una distribucin puede tener ms de una moda. En

caso de tener dos modas se la denomina bimodal y en caso de tres trimodal, etc.

As mismo si se presentare el caso en que todos los valores de la distribucin tienen

el mismo nmero de repeticiones, diremos que dicha distribucin no tiene moda.

FRECUENCIA

Dada una distribucin se define como Frecuencia de un valor, al nmero de veces que

el mismo se repite.

Ejemplo:

En la distribucin correspondiente a las temperaturas mnimos tomadas en una

localidad del Sur del Pas durante los ltimos 10 das, defina para cada valor su

frecuencia: -2 -2 -4 -1 -1 -1 0 -3 -2 -1

para -4 su f = 1

-3 su f = 1

-2 su f = 3 -1 su f = 4

0 su f = 1


Clase xi fi

1 0 2

2 1 5

3 2 7

4 3 8

5 4 16

6 5 5

7 6 4

8 7 3

f = 10

Tenga en cuenta que la suma de todas las frecuencias es igual al nmero total de

observaciones.

2.6. DISTRIBUCIN DE FRECUENCIA

En la mayora de los casos nos encontraremos con una cantidad de observaciones n

que superan los 20, por lo tanto pretender operar con una serie simple se tornara

engorroso, en estos casos ser conveniente seleccionar los valores de acuerdo a una

determinada clase y determinar de cada una de ellas su frecuencia, de all que es

comn encontrar a este tipo de distribucin como Distribucin de intervalos, a los

efectos de facilitar el aprendizaje del alumno subdividiremos este tipo de distribucin

en dos grupos:

1) cuando la amplitud de intervalo es igual a 1

2) cuando la amplitud del intervalo de clase toma un valor mayor a 1

Caso a analizar

Supongamos tener que estudiar el nmero de accidentes que se producen en una

playa de estacionamiento durante los ltimos 50 das. Los datos relevados son los

siguientes

3 6 4 4 4 3 2 7 5 4 4 1 0 4 2 1 3 2 2 0 1 4 4 7 4 3 2 1 4 2 5 4 3 5 6 7 4 4 5 2 3 6 4 3 1 3 4 4 5 6

Es observable que trabajar con todos los valores como lo presenta la serie simple

sera por dems engorroso si no se dispusiera de una computadora, pero si

clasificamos los valores, en este caso de acuerdo a su valor numrico y para cada

uno de ellos determinamos su frecuencia, podramos confeccionar una tabla de las

siguientes caractersticas:

Tabla 1.1


Clase xi fi xi * fi

1 0 2 0

2 1 5 5

3 2 7 14

4 3 8 24

5 4 16 64

6 5 5 25

7 6 4 24

8 7 3 21

50 177

8

fi =i 50 Si ahora analizamos la tabla de esta manera, se simplifica enormemente la

determinacin de la media ya que en lugar de efectuar la suma de todas las

observaciones, efectuaremos el producto de cada valor por su frecuencia y la suma de

estos productos lo dividiremos por el nmero total de observaciones.

8

( Xi . fi ) 1

x = fi 1

Nota: Debemos tener presente que estamos frente a una muestra

A los efectos de facilitar los clculos, generemos en la tabla una nueva columna

conteniendo los productos de xi * fi.

Tabla 1.2

De esta manera podemos calcular la media como: n

( xi. fi ) i =1

x = = 177 / 50 = 3,54 n

El valor de la media o promedio de la distribucin es de

x = 3, 54

2.7. FRECUENCIA RELATIVA

Definicin: Se define como frecuencia relativa de un valor y se expresa como fri, al

cociente entre su frecuencia y la suma de todas las frecuencias (la suma de todas las frecuencias es igual al nmero de elementos de la distribucin).

f fri =

i =

fi


fi = n por lo tanto tambin se puede expresar

fi

fr i = ---------

n Podemos ampliar la tabla de frecuencias con una nueva columna que contenga la fr de

cada clase:

Tabla 1-3

Clase xi fi xi * fi fri

1 0 2 0 0,04

2 1 5 5 0,1

3 2 7 14 0,14

4 3 8 24 0,16

5 4 16 64 0,32

6 5 5 25 0,1

7 6 4 24 0,08

8 7 3 21 0,06

50 177 1

Propiedad:

La sumas de todas las frecuencias relativas correspondientes a los valores

clases de una distribucin es igual a 12:

fri = fr1 + fr2 + fr3 . . . . . . . . + fr n

Tener en cuenta:

El concepto de frecuencia relativa, la media de una distribucin poblacional tambin se

puede expresar como:

(xi . fi)

= -------------- = (xi . fi/fi ) es decir

fi

2 Demostracin

fri = fr1 + fr2 + fr3 . . . . . . . . + fr n

f1 f2 f3 fn fi

= --- + --- + ---- + + --- = ------- = 1

fi fi fi fi fi


Clase xi fi xi * fi fri fai

1 0 2 0 0,04 2

2 1 5 5 0,1 7

3 2 7 14 0,14 14

4 3 8 24 0,16 22

5 4 16 64 0,32 38

6 5 5 25 0,1 43

7 6 4 24 0,08 47

8 7 3 21 0,06 50

50 177 1

= (xi. fri)

2.8 FRECUENCIA ACUMULADA

Se define como frecuencia acumulada de una clase (por ejemplo i) y se la denota como fai, a la suma de su frecuencia y la suma de las frecuencias de los valores que

le anteceden.

Analicemos la tabla 1.3 de la pgina anterior,(corresponda al nmero de accidentes

que se produjeron durante los ltimos 50 das en una playa de estacionamiento),

teniendo en cuenta la definicin de frecuencia acumulada tendremos:

Tabla 1.4

Cules son las bondades que nos brinda la frecuencia acumulada:

a) Nos indica con su lectura el nmero de valores pertenecientes a la distribucin

que se ubican a la izquierda de cada uno de ellos. Si se quiere saber cuantos

das se registraron menos de 2 accidentes, se tendr la frecuencia acumulada

del 1, es decir 7, lo que implica que de los 50 das analizados solo en 7 de ellos

se tuvieron menos de dos accidentes diarios, pero con valores menores o iguales

a 2 se tuvieron 14, quiere decir que, de los 50 das, en 14 de ellos se tuvieron 2 o

menos de 2 accidentes diarios, este anlisis indica tambin que, del total de das

analizados, 7 de ellos tuvieron exactamente 2 accidentes diarios.

b) Ms adelante cuando efectuemos su graficacin Ud. podr visualizar con mayor

claridad esta propiedad. c) Tambin nos permite determinar rpidamente el valor de la mediana. Analizando

nuestro caso, el nmero de observaciones es par, por lo que la mediana ser el promedio de los dos valores centrales, el x n/2 y el x (n/2 + 1). . Para determinar el

valor que ocupa la posicin n/2 ( en este caso 50/2 =25, el x25 , nos ubicamos en

la columna correspondiente a frecuencia acumuladas y determinamos a cual de las clases le corresponde la menor frecuencia acumulada que contiene a n/2, en este caso le corresponde a la quinta clase, cuyo valor es el 4, desde la x23 ,

hasta la x38 le corresponden 4, por lo tanto la Me = 4


Clase xi fi xi * fi fri fai fds

1 0 2 0 0,04 2 48

2 1 5 5 0,1 7 43

3 2 7 14 0,14 14 36

4 3 8 24 0,16 22 28

5 4 16 64 0,32 38 12

6 5 5 25 0,1 43 7

7 6 4 24 0,08 47 3

8 7 3 21 0,06 50 0

50 177 1

2.9 FRECUENCIA DESACUMULADA

Se define como frecuencia desacumulada de un valor, fds de una distribucin, a la

diferencia entre el nmero total de observaciones y su frecuencia acumulada.

Es decir que para un valor cualquiera se verifica que:

fdsi = n - fai

Analicemos la Tabla 1.5 a la cual se le creo una nueva columna conteniendo la

frecuencia desacumulada, aplicando su definicin

Tabla 1.5

De la definicin se desprende que:

fai + fdsi = n

Bien podemos decir que la frecuencia desacumulada es el complemento a n de la

acumulada, es decir que para cada uno de los valores nos indica cuantos tenemos a la

derecha de l. La frecuencia desacumulada del valor de x=2, nos indica que la

distribucin posee 36 observaciones mayores que ese valor. Tambin podramos

valernos de este parmetro para la determinacin de la mediana, dejamos para que

Ud. efecte el anlisis correspondiente a esa situacin Analizaremos ms adelante el

diagrama representativo de ambas frecuencias correspondientes a una distribucin

DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS PARA DATOS NOMINALES

Consideremos las ventas de los distintos tipos de sabor de gaseosas realizadas en el

Bar de una Universidad durante un da de concurrencia normal del alumnado.

Colas 55 Naranja 63 Limn 72 Tnicas 44 Agua c/gas 15 Agua s/gas 18 Jugos 33

En este caso no tiene sentido determinar el valor de la media de la distribucin,

tngase en cuenta que las clases estn dadas por los distintos tipos de bebidas, luego

tiene sentido decir que la ms vendidas son las bebidas de limn, siguindole en


Xi f i fr i fa fds

3 1 0,05 1 19

4

2

0,1

3

17

5 4 0,2 7 13

6 5 0,25 12 8

7 4 0,2 16 4

8 2 0,1 18 2

9 1 0,05 19 1

10 1 0,05 20 0

20

1

importancia las de naranja, es decir el valor de tendencia central que utilizaremos en

casos como estos le corresponde a la Moda. S sera conveniente generar una tabla

de frecuencias y determinar los porcentajes de cada uno de los sabores.

Tabla 1.6

xi fi fri fi%

Agua c/gas 15 0,05 5 Agua s/gas 18 0,06 6

Jugos 33 0,11 11

Tnicas 44 0,1467 14,67

Colas 55 0,1833 18,33

Naranjas 63 0,21 21

Limn 72 0,24 24

fi = 300 fi% = 100

3-0 DIAGRAMAS

El poder graficar los valores estadsticos nos permite realizar una lectura rpida de la distribucin y sacar conclusiones inmediatas de la misma.

Sera suficiente abrir una hoja de clculo para observar la cantidad variada de grficos

con que puede ser representada una distribucin: Diagramas de: Lneas, Barras,

Barras acumuladas, de Sectores o circular, Diagramas x-y, de Bastones etc. En este

texto haremos referencia a los diagramas: Circular, de Bastones e Histogramas y a

una combinacin de los grficos de Bastones, Barras y x-y Dispersin.

Ejercicio

Supongamos tener para analizar las notas obtenidas por 20 alumnos de una divisin

en la asignatura de Estadstica:

9 7 6 6 6 5 3 4 5 5 8 7 8 7 7 6 5 6 4 10

Generaremos una distribucin de frecuencias complementndola con: Frecuencias relativas, Frecuencia acumulada y por ltimo Frecuencia desacumulada.

Tabla 1.7

Toda vez que se presenta una tabla tal como la 3.1, la primera pregunta que surge es,

que se debe graficar debe de tenerse siempre en cuenta que cada vez que se


fre

cu

en

cia

habla de graficar estamos deseando volcar en forma grfica una cierta relacin. En la

presente situacin, la variable en estudio es la calificacin, por lo cual se podra

graficar la relacin:

Calificacin y frecuencia Calificacin y

frecuencia relativa Calificacin y

frecuencia acumulada Calificacin y

frecuencia desacumulada

3.1 Diagrama de bastones:

Llevaremos en el eje de las abscisas las calificaciones y en el eje de las ordenadas las

frecuencias y representamos mediante un segmento centrado en cada una de las

calificaciones su correspondiente frecuencia; tendremos nuestro primer diagrama.

Cada uno de los bastones corresponde a la frecuencia de cada calificacin y toma el

nombre de densidad de frecuencia entendindose como tal al cociente:

fi

dfi = ---- es decir frecuencia por unidad de intervalo de clase

x

Grfico 1.1

Diagrama de Bastones

6

5

4

3

2

1

0

3 4 5 6 7 8 9 10

calificaciones

3.2 DIAGRAMA DE SECTORES

Para este grfico debemos tener presente que el ngulo central del crculo es de 360

y que cada una de las clases estar dada por un sector cuyo ngulo ser proporcional

a su frecuencia:

Supongamos la calificacin de 3 cuya frecuencia es 1 tendremos que:

20 (suma de todas las frecuencias) ------------------------ 360

a 1 (frecuencia del 3) ----------------------- 1 = 360. 1 / 20 = 18


Analicemos la calificacin del 4 cuya frecuencia es 2:

Si a 20 (frecuencia total) ---------------------------- 360

A 2 (frecuencia del 4) ---------------------------- 2 = 360. 2 /20 = 36

Repitamos el procedimiento para el 5 el cul tiene frecuencia 4

Si a 20 le corresponde ----------------------------360

A 4 ---------------------------- 4 = 360. 4/20 = 72

Debe tenerse en cuenta que en todos los casos la operacin que nos permite

determinar el ngulo de cada sector est dado por el producto entre 360 y el cociente de la frecuencia de la calificacin en estudio y la suma de todas las frecuencias (N),

cociente ste que segn ya vimos corresponde a la frecuencia relativa (fri = f / N), es

decir que el ngulo correspondiente a un determinado sector est dado por el producto entre 360 y su frecuencia relativa:

i = 360. fri

Grfico 1.2

Diagrama de Sectores

10 3 9

4

8

5

7

6

En realidad es ms interesante plantear este mismo diagrama pero expresado en

porcentajes, para lo cul el anlisis es muy similar al anterior. Al total de

observaciones, 20 en este caso, le corresponder el 100% y por lo tanto para

cualquiera de las observaciones con frecuencia fi le corresponde ser:

Si a 20 --------------------------- 100%

fi --------------------------- %i = 100. fi / 20

Nuevamente nos encontramos con que el porcentaje correspondiente a cada una de

las calificaciones estar dado por el producto entre 100 y la frecuencia relativa

correspondiente a cada una de ellas. El grfico tiene la misma estructura anterior.


Grfico 1.3

Diagrama de Sectores Calificaciones

en porcentajes

8

10%

10 9 5%

5%

3

5% 4

10%

7

20%

5

20%

6

25%

3.2-HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS:

ste es otro de los diagramas de gran utilizacin para el cul es necesario considerar

un sistema de ejes cartesianos ortogonales, debiendo representar en el eje de las

abscisas las calificaciones y en el de las ordenadas la frecuencia, las clases estn

dadas por las calificaciones. El intervalo entre dos clases sucesivas se denomina

amplitud de intervalo, en este caso es la unidad y se la expresa como x = 1. Si

consideramos el diagrama de bastones y a partir del extremo inferior de cada uno de

ellos llevamos tanto a izquierda como a derecha la mitad del intervalo, en nuestro

caso 1 / 2 = 0,5 y levantamos las ordenadas correspondientes, nos encontramos con

un diagrama de barras sin discontinuidades al que denominaremos Histograma, en

este caso de Histograma de Frecuencias.

Grfico 1.4


Fre

cu

en

cia

Histograma de Frecuencias

6

5

4

3

2

1

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Calificaciones

La superficie encerrada por cada una de las barras est dada por el producto entre la

base x por la altura que segn ya vimos estaba dada por la densidad de frecuencia.

dfi = fi /x por lo tanto:

Si = x. dfi = x. fi / x = fi

Cada una de ellas tendr un valor igual a su frecuencia y el rea total del diagrama

ser entonces la suma de todas las frecuencias e igual a N.

Si = fi = N

3.4 - POLGONO DE FRECUENCIAS

Si se unen los puntos medios superiores de cada una de las barras del histograma y

se considera cero las frecuencias de las clases adyacentes a los extremos de la

distribucin, se formar con el eje de las abscisas un polgono denominado, en este

caso, como Polgono de Frecuencias:

Grfico 1.5. Polgono de frecuencias


fi

6

5

4

3

2

1

0

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

xi

El rea encerrada por el polgono de frecuencias es igual al rea encerrada por el

histograma de frecuencias.

Consideremos la barra del histograma correspondiente al valor de la variable x = 6. Observamos que mientras que la superficie del tringulo superior de la barra que pertenece al histograma no pertenece al polgono, la superficie del tringulo inferior no perteneciente al histograma si pertenece ahora al polgono, como las superficies de

ambos tringulos son iguales3, lo son tambin las superficies del polgono y del

histograma de frecuencias.

3.5 - HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS RELATIVAS

Si en el eje de ordenadas se representan a las frecuencia relativas en lugar de las frecuencias, se obtiene el Histograma de Frecuencias Relativas que tendr las

mismas caractersticas que el diagrama de frecuencias ya que fri = fi / N, es decir que

se divide a los valores de la ordenada por un valor constante N y por lo tanto grficamente representa un cambio de escalas.

En este caso la altura de cada barra esta dada por la densidad de frecuencia relativa

dfri = fri / x

y por lo tanto al igual que en el diagrama anterior, la superficie encerrada por cada una de las barras del Histograma ser igual a su frecuencia relativa:

Si = x. fri / x = fri

De tal manera que el rea encerrada por el Histograma de frecuencias relativas ser ahora igual a la suma de todas las frecuencias relativas y por tal razn igual a 1:

Si = fri = 1

Grfico 1.6

3 Dos tringulos rectngulos en A y A con los ngulos y iguales por opuestos por el vrtice, y

alternos internos entre paralelas y el lado 11 = 22= x / 2 por lo tanto son iguales.


fr

Histograma de Frecuencia Relativas

0,3

0,25

0,2

0,15

0,1

0,05

0

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x

3.6 POLGONO DE FRECUENCIAS RELATIVAS

De la misma manera en que definimos al polgono de frecuencias, se define tambin al

polgono de frecuencias relativas. Tanto la superficie encerrada por el polgono de

frecuencias relativas como el del Histograma de esas mismas frecuencias son iguales

a 1.

Grfico 1.7


5 4 6 3 4 5 3 7 3 4 2 0 2 1 3 4 2 5 6 1

xi fi fai

0 1 1

1 2 3

2 3 6

3 4 10

4 4 14

5 3 17

6 2 19

7 1 20

Histograma y Polgono de Frecuencias Relativas

0,3

0,25

0,2

0,15

0,1

0,05

0

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3.7 FRECUENCIA ACUMULADA

Supongamos analizar el nmero de accidentes de trabajo que se producen

diariamente en una empresa metalrgica local, para lo cul se han considerado los

detectados durante los ltimos veinte das.

Confeccionaremos una tabla de frecuencias:

Tabla 1.8

fi = 20

Para confeccionar el grfico de frecuencias acumuladas llevaremos sobre el eje de las

abscisas los valores observados y en el eje de las ordenadas las frecuencias

acumuladas.

Para el primer valor de la distribucin cero, la frecuencia acumulada vale 1, este valor

se mantendr constante hasta 1 en donde la frecuencia acumulada toma el valor de 3, se mantiene constante hasta el valor observado de 2 en donde la fa adopta el valor de


fre

cu

en

cia

a

cu

mu

lad

a

6 y as sucesivamente hasta el valor de 7 en donde fa toma el valor de 20 y se

mantiene constante con este valor. Siga esto en el grfico 1.8.

Grfico 1.8

FRECUENCIA ACUMULADA

22 20 18 16 14 12 10

8 6 4 2 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

OBSERVACIONES

Observe el lector con que claridad este diagrama le entrega informacin. Por ejemplo

analizando la observacin 4, el punto inferior de la barra indica que menores a 4

accidentes diarios se han producido en 10 oportunidades mientras que el punto

superior indica que en 14 oportunidades se han producido 4 o menos accidentes

diarios. De igual manera en 17 oportunidades se produjeron menos de 6 accidentes en

un da y que en solo 2 oportunidades se produjeron 6 accidentes.

De igual manera podemos graficar la frecuencia desacumulada conjuntamente con la

acumulada tal como lo muestra el Grfico 1.8 denominado comnmente como grfico

de escalones. Debe tenerse en cuenta que para cualquier valor observado la suma de

la frecuencia acumulada y la desacumulada es igual al nmero total de observaciones.

fa + fds = n


fre

cu

en

cia

Grfico 1.9

22 20 18

16

14

12 10

8 6

4 2

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

observaciones

Frecuencia acumulada

Frecuencia desacumulada

La interseccin de ambas grficas debe de verificarse para fa = fds = n/2.

En el punto de interseccin ambas frecuencias son iguales por lo que podemos decir

que:

por lo que

y

fa + fds = fa + fa = n

2 fa = n

fa = n / 2

RELACIN ENTRE MEDIA, MEDIANA Y MODA

Cuando nos referimos al histograma de frecuencias relativas decamos que el rea

encerrada por cada una de las barras nos entregaba el valor de la frecuencia relativa

del valor correspondiente a dicha barra... Si este concepto lo extendemos a toda la

distribucin podemos asegurar que considerando un determinado intervalo de las

observaciones el rea encerrada por el histograma en dicho intervalo ser igual a su

frecuencia relativa, valor que segn ya vimos multiplicada por 100 nos entrega el

porcentaje de observaciones comprendidas en ese intervalo. Adems demostramos

que la superficie encerrada por el histograma de frecuencias relativas era igual a la

superficie del polgono de fr. Simplificando, el rea encerrada por el polgono de

frecuencias relativa es igual a 1 y esto implica tambin que encierra el 100% de las

observaciones.

Analicemos las distribuciones correspondientes a las calificaciones obtenidas por tres

divisiones que denominaremos como A, B y C en la asignatura de Estadstica:


A B C

xi fi fi fi

1 6 0 0

2 8 1 0

3 5 2 1

4 4 4 1

5 3 5 2

6 2 6 4

7 1 5 5

8 1 4 7

9 0 2 5

10 0 1 2

30 30 27

Tabla 1.9

Las tres distribuciones tienen caractersticas distintas, veamos:

A) =. (xi.fi) / N = 3,1667

Me = (x15 + x16) / 2 = 3

Mo = 2

B) =. (xi.fi) / N = 6

Me = x16 = 6

Mo = 6

C) = (xi.fi) / N = 7,296

Me = x14 = 8

Mo = 8

Si graficamos los histogramas y polgonos de las frecuencias relativas de cada una de

las distribuciones relativas suavizando convenientemente los lados del polgono, nos

encontraremos con los siguientes grficos:


frecu

en

cia

rela

tiva

Grfico 1.10 (Divisin A)

Histograma y polgono de frecuencias

relativas

0,3

0,25

0,2

0,15

0,1

0,05

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

observaciones

Grafico 1.11 (Divisin B)


relativas

0,25

0,2

0,15

0,1

0,05

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

obs e r vacione s

Grafico 1.12 (Divisin C)


relativas

0,3

0,25

0,2

0,15

0,1

0,05

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

observaciones


3,1 3,4 3,6 3,6 3,6 3,7 3,7 3,8 3,8 3,9 3,9 4 4 4,1 4,2 4,2 4,3 4,3 4, 4,5 4,6

En el caso de la divisin B se observa una cierta simetra respecto a un eje vertical

coincidente con la mediana la moda y la media, decimos entonces que la distribucin

es del tipo Normal, y que en ese caso coinciden los tres valores ; Me y Mo.

En el A la distribucin se presenta en forma asimtrica y en este caso decimos que

corresponde a una asimtrica derecha asignndosele un signo positivo. A su vez, la

observacin de mayor ordenada le corresponder a la moda y la media tendr que

dividir al rea total en dos reas iguales, de acuerdo a su grfica y a sus valores se

observa que la media tiene un valor mayor a la mediana y que a su vez sta se ubica

entre la media y la moda.

Al analizar la ltima distribucin C observamos que la misma es asimtrica, tiene sesgo

izquierdo y se le asigna signo negativo. Nuevamente la moda queda definida por

correspndele a la abscisa de mayor ordenada, la mediana Me si bien en este caso

coincidira con el valor de la moda, la media se ubica a la izquierda de la moda, no

olvidemos que la distribucin pivotea en ese punto . La mediana se ubica en general

entre la media y la moda aunque en este caso por tratar con variable discreta, la Me

coincide con la Mo.

En toda distribucin sesgada ya sea a la derecha o a la izquierda, el segmento

comprendido por la media y la mediana es aproximadamente un tercio del segmento

comprendida entre la media y la moda.

Una distribucin puede ser:

Simtrica = Me = Mo

Distribucin Derecha < Me < = Mo

Asimtrica

Izquierda > Me > = Mo

3.2 DISTRIBUCIN DE INTERVALOS DE CLASE

En una unidad militar de entrenamiento para futuros oficiales, se han determinado los

tiempos que tardan los integrantes de un pelotn en cruzar la pista de combate. Estos

valores expresados en minutos son los siguientes:

El jefe de pelotn necesita realizar un estudio estadstico sobre estos tiempos a los

efectos de determinar:

a- Qu proporcin de hombres tardan menos de 3,5 en cruzar la pista de combate

b- Qu proporcin de los hombres del pelotn tardan menos de 4 en cruzar la pista

En casos como el presentado, donde el nmero de observaciones es mayor a 20 y la

variable en estudio es del tipo continua, se hace necesario definir como clases a

intervalos y determinar como frecuencia de cada uno de ellos al nmero de

observaciones que contienen. En este caso la distribucin toma el nombre de

distribucin de intervalos de clase.

Para generar una distribucin de intervalos de clase debe tener en cuenta:

a) La cantidad de intervalos: La determinacin del nmero de intervalos, a los que

llamaremos como k est relacionada con el nmero de observaciones n.

Mientras que algunos operadores definen:


k = n

Otros deciden optar por la expresin:

k = 1+ log2(n)

Pero en general se puede definir el valor de k teniendo en cuenta que:

5


Podemos ahora confeccionar la tabla de distribucin de intervalos de clase, teniendo

en cuenta que, a los efectos de referenciar a cada intervalo, definiremos al punto

medio de cada uno de ellos como el valor representativo e igual a la semisuma de sus

lmites, toma el nombre de marca de clase y se lo denota como xmi.

3,09 3,39 3,69 3,99 4,29 4,6

[`---------------)[--------------)[-----------------)[-----------------)[-------------------]

3,24 3,54 3,84 3,14 3,44

3.2 DETERMINACIN DE LA MEDIA

Para determinar la media de la distribucin consideramos que todos los valores

pertenecientes a cada intervalo estn uniformemente distribuidos en dicho intervalo,

de esta manera la suma de todos ellos estar dada por el producto entre la marca de

clase por la frecuencia de ese intervalo.

= ( xmi * fi )

N Para su determinacin creamos una nueva columna conteniendo los productos de

xmi*fi:

Tabla 1.10

Li ls fi xmi xmi * fi 3,09 3,39 1 3,24 3,24

3,39 3,69 4 3,54 14,16

3,69 3,99 6 3,84 23,04

3,99 4,29 5 4,14 20,7

4,29 4,6 5 4,445 22,225

21 83,365

83,365 =

21

= 3,9697

Esto nos indica que el tiempo promedio empleado por los integrantes del pelotn para

cruzar la pista de combate es de 3,9697

HISTOGRAMA DE FRECUENCIA

Para confeccionar el Histograma y Polgono de frecuencias debemos tener presente

que las frecuencias de los intervalos adyacentes a los extremos de nuestra distribucin

son nulas, adems se representa en el eje horizontal las marcas de clase.


Li ls fi xmi Xmi * fi fai fdsi 2,79 3,09 0 2,94 0 0 21 3,09 3,39 1 3,24 3,24 1 20 3,39 3,69 4 3,54 14,16 5 16 3,69 3,99 6 3,84 23,04 11 10 3,99 4,29 5 4,14 20,7 16 5 4,29 4,6 5 4,445 22,225 21 0 4,6 4,39 0 4,74 0 21 0

f

Grfico 1.13

7

6

5

4

3

2

1

0

2,94 3,24 3,54 3,84 4,14 4,445 4,74

x

3.3 DETERMINACIN DE LA MEDIANA

La mediana tendr que estar ubicada en el intervalo cuya menor frecuencia acumulada contiene a la observacin X (n/2), es por lo tanto conveniente determinar las

columnas que contengan a las frecuencias acumuladas y desacumuladas.

Tabla 1. 11

De acuerdo a la tabla, la mediana se ubica en el intervalo [3,69 ; 3,99) al que denominaremos intervalo medial, y para el cul la frecuencia acumulada es de 11 y por lo tanto contiene a los valores correspondientes a x10 y x11, pero faltara

determinar el valor que ms se aproxime al real.

Para la determinacin de la mediana en una distribucin de intervalos de clase

tendremos dos mtodos:

a) Mtodo grfico

Tracemos los diagramas correspondientes a la frecuencia acumulada:


fa

fa -

fd

s

Analizando dicho diagrama podemos observar que de los 21 integrantes del pelotn

solo 5 de ellos cruzan la pista en menos de 3,54, es decir que, mediante anlisis del diagrama podemos reconstruir la tabla.

Grfico 1.14

25

20

15

10

5

0

2,94 3,24 3,54 3,84 4,14 4,445 4,74

x

Combinemos en un mismo diagrama, las representaciones de frecuencia acumulada y

desacumulada. Este grfico toma el nombre de Ojiva.

Grfico 1.15

25

20

15

10

5

0

2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

-5

x

Como ambas frecuencias se representan en el eje vertical, en el punto interseccin

ambas son iguales y como su suma

Fa + frds = N


1212

1010

88

66

44

22

00

33,,6699 Me 33,,9999

Debe verificarse que el valor de esas frecuencias, en ese punto es igual a N/2.

Como la mediana es el valor que ocupa el punto medio, la abscisa correspondiente al

punto interseccin tendr su valor. Por lo tanto las coordenadas del punto interseccin

sern (Me; n/2).

b) Mtodo Analtico

Analizaremos el intervalo medial:

Grfico 1.16

12

10

8

6

4

2

0

3,69

Li x

Me 3,99

Ls

Al iniciar el intervalo 3,69 su frecuencia acumulada tiene el valor de 5 (que denominaremos frecuencia acumulada inferior y la denotaremos como fai). De la

misma manera al finalizar ese intervalo (x = 3,69) su frecuencia acumulada es de 11 (a

la denominaremos frecuencia acumulada superior y la denotaremos como fas). Esa

variacin de frecuencia acumulada de 5 a 11 es justamente la frecuencia

correspondiente al intervalo medial (fm = 6). Adems como el total de observaciones

es de 21, N/2 = 10,5.

Consideremos los tringulos 123 y 123 ambos rectngulos en 2 y 2 respectivamente. Esos tringulos son semejantes y por lo tanto sus lados homlogos son

proporcionales. Si reemplazamos tendremos:

2 3 1 - 2 ---------- = -------------

2 3 1 2

fm x


3,54

3,84

x

4,14

f

Despejando Me tendremos:

------ ------- = ---------

(N/2 fai) Me Li

x (N/2 fai) Me = Li + -----------------

fm

En este caso particular, la Me = 3,69 + 0,3 *((10,5 - 5) / 6

Me = 3,965

3.4- DETERMINACIN DE LA MODA

Se define como intervalo modal al intervalo de mayor frecuencia, en este caso

corresponder a [3,69; 3,99) con frecuencia 6, coincide con el medial, pero bien podra

no coincidir, para la determinacin de la moda, consideremos en el histograma de

frecuencia, el intervalo modal y los intervalos adyacentes.

Grfico 1.17

7

6

5

4

3

2

1

0

Li Ls

Si definimos a d1 = (frecuencia del intervalo modal) (frecuencia del intervalo que le antecede):

di = 6-4 = 2

y como d2 = (frecuencia del intervalo modal) (menos la frecuencia del intervalo que le sucede):

d2 = 6-5 = 1

Como li se define al inicio del intervalo modal (3,69), el valor de la moda de una

distribucin de intervalos de clase esta dada por la expresin:


X2 F2 0 0 1 6 2 8 3 4 4 3 5 2 6 2 7 1 8 0

26

Mo = Li + x. ( d1/(d1+d2) ) En este caso tendremos:

Mo = 3,69 + 0,3 (2 / ( 2+1) ) = 3,89

Conclusiones:

En una distribucin de intervalos de clase, la moda se encuentra siempre ubicada en

el intervalo modal, pero desplazada hacia el intervalo adyacente de mayor frecuencia.

Los valores determinados para la media, mediana y moda, indican que la distribucin

tiene un leve sesgo derecho:

Media = 3,9697 Mediana Me = 3,965

Moda Mo = 3,89

> Me > Mo

4- VALORES DE DISPERSIN

Son suficientes los valores de posicin central para determinar las caractersticas de

una distribucin? Para responder a esta pregunta observemos la siguiente situacin:

Tenemos tres distribuciones que presenten la misma media, la misma moda y la

misma mediana pero no obstante ello las tres son distintas.

Pueden tenerse dos distribuciones mismo nmero de elementos o tambin

conformadas por los mismos elementos y no obstante ello ambas son distintas.

Tabla 1. 12

X1 F1 0 0 1 3 2 4 3 7 4 5 5 4 6 2 7 1 8 0

26


Grfico 1.19

8

7

6

5

4

3

2

1

0

0 2 4 6 8 10

Grfico 1.20

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Es necesario entonces considerar valores que nos determinen que tn cuan dispersos

estn. Estos valores se denominan valores de dispersin:

4.1 RANGO O AMPLITUD

Definicin

La diferencia entre los valores extremos de una distribucin se denomina Alcance o

Rango y se lo denota como R

Si definimos a xn como el mayor valor observado y a x1 como el ms pequeo,

entonces:

R = xn x1


Si bien, una vez ordenados todos los valores, el clculo de la amplitud o recorrido es

simple e inmediata, no nos brinda ninguna informacin sobre las caractersticas de los

valores intermedios. Veamos las siguientes distribuciones:

A) 0 1 1 2 4 6 8 10 12 14

B)

50

50,1

50,2

50,3

50,5

50,6

50,7

50,8

60

64

En la distribucin A R = 14 0 = 14

En la distribucin B R = 64 50 = 14

Ambas tienen el mismo nmero de elementos, el mismo alcance, no obstante ello son

distintas, es decir que el Rango o Amplitud de una distribucin nos entrega una

informacin limitada.

4.2 DESVO MEDIO

Para determinar el grado de dispersin de los valores de la distribucin, debemos

definir con respecto a que punto de referencia se toman las distancias, el punto de

referencia ms utilizado es la media de la de la distribucin

Considerando el ejercicio de pag. 39 (Los tiempos que los integrantes de un pelotn

tardan en cruzar la pista de combate), la distribucin de intervalos la representbamos

como:

3,09 3,39 3,69 3,99 4,29 4,6

[`---------------)[--------------)[-----------------)[-----------------)[-------------------]

3,24 3,54 3,84 3,14 3,44

d1

= 3,9697

d2

En el primer intervalo se encuentra una sola observacin, la cul consideramos es

coincidente con la marca de clase, luego su distancia respecto a la media ser:

d1 = xm1 -

La dispersin de los valores ubicados en el segundo intervalo, en este caso son 4 y

habiendo considerado que los mismos se encuentran uniformemente distribuidos en

dicho intervalo, la dispersin respecto a la media estar dada por el producto de la

distancia de la marca de clase por el nmero de observaciones

d2 = xm2 -


Podramos intentar considerar como un valor representativo de la dispersin de los

valores respecto a la media, al promedio de los desvos medios:

pdm = (mxi ). fi

N

Pero nos encontramos con que la suma de todos los desvos es nula y siempre lo

sern por considerar como punto de referencia a la media. Todas las distancias de las

marcas de clase que se ubiquen a la izquierda de la media sern negativas, mientras

que las distancias de los que se ubiquen a la derecha sern positivas. El problema

radica en anular los signos negativos, para ello podemos:

a) considerar los desvos absolutos medios, de esta manera no se tendra ningn

desvo negativo y la suma de los desvos absolutos medios sera distinta de cero,

salvo el caso en que todas las observaciones sean iguales. La expresin matemtica

quedara como:

DM = mxi

N

. fi

Esta expresin se define como Desvo medio (Promedio de los desvos absolutos

medios).

En nuestro caso en estudio conformaremos la tabla correspondiente a la distribucin

de intervalos pero incluiremos una nueva columna conteniendo los desvos absolutos

medias.

Tabla 1. 13

Li ls fi xmi Xmi * fi fai fdsi !xi - media!.fi

2,79 0 0 2,94 0 0 21 0,000 3,09 3,39 1 3,24 3,24 1 20 0,730 3,39 3,69 4 3,54 14,16 5 16 1,719 3,69 3,99 6 3,84 23,04 11 10 0,779 3,99 4,29 5 4,14 20,7 16 5 0,851 4,29 4,6 5 4,445 22,225 21 0 2,376 4,6 4,99 0 4,74 0 21 0 0,000

21 83,365 6,455

Aplicando la frmula correspondiente, el desvo medio ser: 6,455

DM = ------------------ 21

DM = 0,3074


2

2

4.3 VARIANZA

Otra forma de obtener todos los desvos positivos, sera elevndolos al cuadrado es

decir:

pdmc = (mxi ) .if

N Esta expresin que definimos como: el promedio de los desvos cuadrticos medios y se denomina Varianza.

Es conveniente entonces considerar una nueva columna conteniendo la suma de los

desvos cuadrticos medios tal como la tabla:

Tabla 1. 14

Li ls fi xmi Xmi * fi fai fdsi !xi -media!.fi (xi-media)2.fi

2,79 0 0 2,94 0 0 21 0,000 0 3,09 3,39 1 3,24 3,24 1 20 0,730 0,53255244 3,39 3,69 4 3,54 14,16 5 16 1,719 0,73878118 3,69 3,99 6 3,84 23,04 11 10 0,779 0,10102891 3,99 4,29 5 4,14 20,7 16 5 0,851 0,14490505 4,29 4,6 5 4,445 22,225 21 0 2,376 1,12925624 4,6 4,99 0 4,74 0 21 0 0,000 0

21 83,365 6,455 2,647

Var(x) =2,647 / 21 = 0,126 minutos al cuadrado

Tambin se la denota como:

2 = 0,126 min utoscuadrados

4.4 DESVIACIN ESTANDAR

La Varianza es un valor que determina un cierto grado de dispersin, pero en relacin

a lo que nosotros buscbamos, nos encontramos con que no tenemos el promedio de

los desvos medios, si no que contamos con el promedio de los desvos cuadrticos

medios. Una aproximacin estara obteniendo la raz cuadrada de la varianza:

=

O abreviando

( xi ) fi N

= Var ( x) =

= 0,126 = 0,3549


fre

cu

en

cia

Definimos a la desviacin estndar como la raz cuadrada de la varianza y

prcticamente entrega el grado de dispersin de los valores de una distribucin con

respecto a la media.

Para dos distribuciones con la misma media, tendr ms dispersin aquella que tiene

una mayor desviacin estndar, tal como lo indica la grfica

Grfico 1.21

Desvo estndar = 2

Desvo estndar =0,5

Desvo estndar =1

x

4.4 COEFICIENTE DE VARIACIN

En muchas oportunidades es conveniente comparar distribuciones de distinta media o

de distinto tipo, por ejemplo si analizamos alturas y peso de los alumnos de un curso

de una Universidad, los valores de posicin central y de dispersin de una de ellas

estarn dados en metros o centmetros, pero los de la otra sern en Kg. , luego en

principio sera incorrecto pretender comparar las dispersiones de esas distribuciones,

a fin de poder comparar se opera con el Coeficiente de Variacin, que esta dado por el

cociente entre el desviacin estndar de la distribucin y su media, expresada de

manera porcentual:

CV =

. 100%

Como tanto la desviacin estndar y la media tienen las mismas unidades, al dividirlas

se simplifican y nos queda un coeficiente, es adimensional. Por otra parte el CV

entrega la proporcin de la desviacin estndar respecto de la media. En el caso que

nos ocupa el:

CV = 0,3549

3,9697'

.100 = 8,94

CV = 8,94%

Supongamos que se realiza el estudio de altura y peso de los alumnos de un curso, y

que los resultados arrojados son:


Desviacin estndar Media CV Del Peso = 10Kg 71 k.o. 14,08%

Altura = 6cm 168 cm 3,57% Estos ltimos valores del CV indican que, la distribucin correspondiente a la altura

tiene menos dispersin que la correspondiente a los pesos.

4.5 CUARTILES Y PERCENTILES

En muchas ocasiones es necesario contar con una subdivisin de los datos en

determinadas fracciones, llamados en de manera general como fractiles. De esta

manera una fraccin o proporcin de datos caen en un fractil o por debajo de ste. De

acuerdo al nmero de subdivisiones los fractiles toman un nombre determinado, as

estas pueden ser:

a) en 10 partes. En este caso cada una de esas partes toman el nombre de

decil

b) en cuatro partes: En ese caso cada una de ellas toma el nombre de cuartil c) en cambio si la subdivisin es en 100 partes, se la denomina a cada una de

ella como centil.

El alcance interfractil, dada por la diferencia entre dos fractiles constituye una medida

de dispersin entre ellos.

En general los fractiles ms utilizados lo constituyen los cuartiles y percentiles.

Subdividir a los datos en cuatro fractiles implica que el 50% de los datos estn por

debajo del segundo cuartil y el 75% de las observaciones estn por debajo del tercer

cuartil, representados grficamente implica:

X1 Q1 Q2 Q3 Xn

Una cuarta parte de las observaciones se encuentran por debajo de Q1, como que

tambin estn por debajo de Q2. Entre Q3 y Q1 se concentra el 50% de las

observaciones. Es necesario aclarar que Q1 como Q2 y Q3 son los puntos fractiles,

por debajo de cada uno de ellos se encuentran los porcentajes los correspondientes

porcentajes de datos.

Cuando el nmero de valores no es lo suficientemente grande la determinacin exacta

de los cuartiles puede ser complicada, ya que es factible que el valor del cuartil quede

entre observaciones, de cualquier manera en general podemos decir que la

determinacin de cada cuartil quede satisfecha con las expresiones:

La determinacin de los cuartiles para datos no agrupados estn dadas por las

expresiones:

Q1 =

Q2 =

Q3 =

X (1 / 4 N +1 / 4)

X (1 / 2 N +1 / 2)

X (3 / 4 N +1 / 4) Observe que el valor del segundo cuartil corresponde al valor de la mediana. Si

recordamos que, el rea encerrada por el polgono de frecuencias era igual al nmero


de observaciones, sera lgico suponer entonces que en un diagrama correspondiente

al polgono de frecuencias suavizado, las superficies encerradas por dicho diagrama

sern proporcionales al nmero de observaciones correspondientes a la misma. Con

este concepto definimos los cuartiles grficamente segn grfico 1.22.

Grfico 1.22

Q1 Q2 Q3

Se define como Rango Intercuartil o propagacin media a la diferencia:

R I = Q3 Q1

Percentiles: De la misma manera en que la distribucin en estudio la podemos dividir

en cuatro partes, en el caso de hacerlo en 100 cada una de ellos tomar el nombre de

percentil, un percentil z cualquiera es un valor tal que z por ciento de las

observaciones quedan a su izquierda mientras que (100 - z) porcientos de los

valores quedan a su derecha. El percentil 80 est dejando a su izquierda el 80% de los

valores de la distribucin, es decir todos aquellos menores a el, y por lo tanto el 20%

de la distribucin lo superan, es decir quedan a su derecha.

Grfico 1.23

fdp

xi

80


4.6 REGLA EMPRICA

Segn vimos en el punto anterior, dada una distribucin, el valor de su desviacin

estndar nos indica el grado de dispersin de sus valores con respecto a la media,

pero es en realidad la Regla Emprica, quien relaciona a los dos parmetros : y con

el siguiente enunciado:

En el intervalo centrado en la media y tal que su origen izquierdo est dado por la

media menos un desviacin estndar y el derecho por la media ms un desviacin

estndar, se agrupa el 68 % de los valores de la distribucin; En el intervalo

comprendido por la media menos dos desviaciones estndar y ms dos desviacioness

se ubica el 95% de los valores de la distribucin, por ltimo en el intervalo

comprendido por la media menos tres desviaciones estndar y la media ms tres

desvos estndar se tendr el 99,7% de N (suele considerarse en muchas

oportunidades en este intervalo el 100% de N).

Debe de tener en cuenta que, entre el inicio de la grfica y su fin, se encuentran

ubicados todos los valores de la distribucin N.

Grfico 1.24

fdp

- 3 - 2 -1 +1 +2 +3 xi

68% N

95%N

99,72% N

Resumen Regla Emprica

( 1 ) se tiene el 68% de N

( 2 ) se tiene el 95% de N

( 3 ) se concentra el 100% de N

matematica-provabilidad

Documents