/tl

/:,') fr:, ,.4-¿ ¿,{!FUNCIONESI

Hemos estudiado las relaciones, ahora analiza¡emos un tipo especial de relaciórL conocido como función.Una relación será fr¡nción si cumple:l- Todos los elementos del conjunto de partida participan de la relación.2- Cada uno de los elementos del dominio de la relación participa solamente una vez.

(x), representa a los valores que toma 'Y', es decir que es el rango de la firnción, a estos elementos t¿mbiénse les conoce como imágenes de "x", y lo leeremos como "f de x" . Si en una función como por ejemplo f(x) : 2x + 4, vamos a sustituir un valor de x, como un 3, se anotara f ( 3 ) se lee, la función evaluada en 3,y se encuentra sustituyendo el valor de x en la formula por el numero 3, en este caso el resultado es f (3) : | 0.

X: representa al dominio, y también se le conocerá como variable INDEPENDIENTE.Y: representa al rango, a las imágenes de X, y se le conocerá como variable DEPENDIENTE. La pregunta

obvi4 ¿dependiente de quien?, Pues, dependiente de X.

Y = g (x), lo entendemos como que la variable Y, depende de los valores de la variable X, y estos se asigranpor medio de la fórmula g(x). Se lee: "y es g de x"

a Deseamos construir una c{a de cartoncillo abierta en la parte superior, de una altura x, y oon un iírea en

la base constante de25 cm'. Expresemos el volumen de la caja en función de la altura x.Solución:¿Quién será la variable dependiente? y ¿quién la independiente?Para responder a esta vasta con pregunta¡nos, ¿qué variable podemos contolar?, pues resulta que la altura x,puedo dejarla como me guste, pero una vez escogido un deterrrinado valor, resultara una caja con un volumendeterminado, por lo tanto:Variable dependiente: VVa¡iable inde,pendiente: XLo segundo es buscar la relación ente estas variables.El volumen de cualquier caja será el producto del área de la base por la altura de la caj4 y si el área es

constante y vale 25 cm',y la altura de la caja es X, el volumen vendrá dado por:

V : áreabaseporalturaV= 25.xTambién lo podemos escribir como:

V(x) = 25*No debemos olvidar que:

DOMINIO DE LJNA FLJNCION, es el conjunto de las primeras compon€rntes que participan en una relación,atrora, también es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente.RANGO O RECORRIDO DE UNA FUNCION, es el conjunto de las segundas componentes que participanen una relación, para nosotros hoy es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, estosvalores también serán conocidos como imágenes de la variable independiente.

@ FUNCIO}{ CONSTANTE.Esta es una función de la forma (x) : b, donde b es una constante.El dominio de esta fi¡nción son los reales.El rango de esta función es el valor constante b.Ejemplo:Graficar: (x) : 5

Dominio: reales.Rango: {5}Si tabulamos tenemos:

X F(x) : 5

-2 5

4 5

8 5

Cualquier valor que demos a la variable independiente la variable dependiente siempre será:

Su gráfico es:

@ FI.JNCIONLINEAL.Estas son funciones cuyo grado es uno.La forrra de la función es (x) : a¡( + b, donde a y b son constantes reales.El coeficiente de la variable "x" selá conocido como pendiente de la función.La constante b se conoce como ordenada en el origen. Este valor nos da el punto donde la función corta el ejey. Este punto es: (0,b).El dominio y el rango de estas funciones son los números reales.

Ejemplos:l- Graficary:2xEsta ecuación nos muesfra que b = 0, por lo tanto el punto donde la ñ¡nción corta al eje y es:(0,0), diremos que pasa por el origen

La pendiente es 2 esto nos indica que la ñmción es creciente y va hacia arriba en dirección de la derecha.Dominio: rango : reales.Para hacer la gráfica complete el siguiente cuadro:

X F(x)

-2

0

I

3

Si la pendiente de la gráfica es positiva la función es creciente, si es negaüva es decreciente, y si es cero sewelve una función constante.Ggficar las siguientes funciones:-' l'. f (x) = 2x+ 4

2-' f(x) == 2x-4. 3- , f(x) = -lv+4\ +- i rqx¡= 6x+4is-i f(x): 2x6-J f (x): az/ r(x)= -5x-6J

Par¿ cada una de las funciones graficadas anteriormente identificar la pendiente, el intercepto con el eje Y, yverifique si la grafica queda mas inclinada si la pendiente es mayor, o si va hacia abajo (decreciente) si lapendiente es negativa.

@ FTINCION CUADRÁTICASon funciones de la forma f (x) = ¿¡¡2 4 !¡ * sLas graficas son parábolas, estas son curvas semejantes a la letra U, pero sus ramas se abren hacia el infinito,estas parábolas abren hacia ariba si el coeficiente de x'es positivo ( a es positivo ), si dicho valor es negativola parábola abrirá hacia abajo.En estas fi,¡nciones es importante la identificación de las coordenadas del punto más bajo o más alto en lafunción dicho punto es llamado vértice, y lo identificaremos como el punto V ( h , k ), para calcular la abscisa(h)delvértice seusaralafórmula: h = -b /2a. Praencontrarelvalordeh solo sesustituiráen Iafunción el valor de h que ha sido encontrado en el paso previo.El dominio de estas funciones son los reales.El rango depende de la tendencia de la función, es decir que:

Si la función abre hacia arriba" diremos que el rango es y > k. Y si la firnción abre hacia abajo, diremos que

y<k.

Identifique las coorde,nadas del vértice, el dominio y el rango de las siguientes funciones:

l- f(x):2f +42' f(x)== x2+ 4x

): f(x): x2+4x+4(-+^, f(x): '2f +4x+4

I't5-1 f(x): -4x2+Ix-4I o- ]r(*): 4x+4\$ f(x): 5x2+ lo x+2

FUNCION CUI3ICASon funciones cle la forma: f (x) : ax3 + bx2 * cx + dBásicamente podemos considerarlas crecientes si a es positivo ydecrecientes si a es negativo.El dominio y el mngo en estas funciones son los reales.

FUNCION RAIZ CUADRADASon funciones de laforma: y = xJá+b + c

Su gráfico tiene forma de parábola horizontal, semejantes a las parábolas verticales de la fi¡nción cuadrática,

sin embargo dichas expresiones no son funciones, ya que el dominio tiene dos participaciones, a excepción

del vértice. Para hacerlas funciones es necesario cortar parte del dominio, eso indica que se tomará la media

parábola para que formemos una ñ¡nción.

Como en este caso, puede verse que se ha tomado la parte superior de una

parábola que abre hacia la derecha. En la fonnula veremos que se toma el

signo positivo de LaruiíZ y al calcular el dominio veremos que se cumple ladesigualdad x Z h.

Para calcular el dominio de este tipo de funciones se toma la expresión que se encuentra adentro del símbolo

de la ralz cua¡lrada y se expresa como una desigualdad, a:< + b Z 0 . Dicha desigualdad se resuelve y con esto

conocemos los valores que puede tomar la variable x, y también hacia adonde se abre la parábol4 si la

expresión final es lnayor o igual que" dicha parábola abrirá hacia la derechg si la expresión es "menor o

igual que" entonces abre hacia la izquierda.

FUNCIONES RACIONALESEste tipo de fimciones son expresadas por medio de diüsiones, para determinar los dominios hay que

encontrar los valores de la variable que provocan ceros en el denominador y se retiran de los reales, para

enconmr el rango, será necesario despejar la variable x, y asi, se puede analizar la variable y , realizando

similar operación a la del dominio.Ej.Determine el dominio y el rango de la función (*) = 3 -4 , en esta función el valor de -2 esta prohibido

x+2para la variable x, esto €s por que si x es zustituido por el nrlmero -2, se causa una üüsión €ntre cero, y esto

no esta definido en los reales. Por tanto el dominio quedarla: R- { -2 }.Para determina¡ el rango, se despeja la variable x, dicho despeje resultarla:

*= 3 -2,comopuedeversesilavariableytomaelvalordelnúmero4 nosresultaunadivisiónentre

y+4cero, dándose el mismo tipo de problema anteriormente descrito, por tanto considerarnos como rango:

R- { 4 }. Se le invita a que desarrolle el despeje para verificar que efectivamente el despeje de x, eso da.

Los valores que no son permitidos por la fi¡nción se denominan asíntotas, se tienen dos üpos de asíntotas:

Si x : -2 se tiene una aslntota vertical (es una recta vertical que pasa por el valor de -2 en x).Si y: -4 se tienen una aslntota horizontal (es una recta horizontal, similar a la función constante, que pasa

por el valor de y: 4)Este tipo de funciones también son conocidas en ciertos casos como funciones de proporcionalidad inversa.

Determine el dominio y el rango, identifique el vértice ( si lo tiene ), y las ecuaciones de las asfntotas ( si hay )en las siguientes funciones:

l. f (x) : -Jtr+l +s2' f (x): 3x3 -2xz -23. f(x): I*7

.x-J4. f (x): +J-5¡+10 -8

5. f(x): -3-6+ x

6. f (x ):2* - 4x

l-

2-

Determinelafunciónlineal llamada h(x) queesparalelaa f(x)= -3+4x; yquepasaporelvérticer de la fuirción g(x) : x2 -6x + 9. R/ h (x):Una máquina esüá diseñada para fabricar cierto número de artlculos P en fi¡nción de los minutos tque la máquina tiene encendida, eri su prog nnación se ha utilizado la fórrrulaP(t) : -f + ls0t , la cuál posee rm dominio de 0 < t < 90 minutos. La producción aumenta con elpaso del tiempon pero la maquinaria debe descansar al llegar al márimo de su producción, o de locontrado esta comienza a disminuir causando perdidas en la empresq determine:

a) El tiempo máximo que puede usarse la máquina sin causar pérdidas. Wb) El nrlmero de artlculos producidos en ese üémpo R/

Determine el bosquejo del gráfico de F(x) : 12 - 6xl+10, y calcule las coordenad* a"t p*to rnasbajo ú: F(x).Sellarnaecuacióngeneraldeunarectaalaecuaciónquetienelaforma:Ax+By+C=0.Detalmanera se tiene la función lineal en su forma general, 2x + 6y - l0 = 0, determine la pendiente deesta recta. R/ La pendiente de la recta es: _Determine la función inversa, su dominio y su rango, haga el bosquejo, siendo la función originalffy\:,Lv-A R/ F'-tlv\- Dnminin' f,l c¡n'

3-

4-

5-

Resuelva los siguientes ejercicios:

Se hace una prueba del carbono 14 a un cabello humano de una momia encontrada en una turnba de

Egipto, se determina que estos tienen un 35 %o del carbono 14 que posee un ser vivo, haga un

estimado de la edad de dicha tumb4 suponga que se construyo para enterrar a la momia que se

encontó. El carbono 14 posee unaVidaMedia de 5730 años. Utilice laecuación A (t¡ : ¡.*'.

La ley de Beer - Lambert expresa que la cantidad de luz I que penetr¿ a una profundidad de x metros

enel marestádadapor I= L.C*, donde 0 <C < l, ylacantidadde luzen la superficie es Io.

SiC:'2, determine laprofundidadalaque I:0.01 Io ( esto determinalazona dondepuede tener

lugar la fotoslntesis).

La civilización Mesopotámica se pudo fechar utilizando el carbono 14, se encontró que una pieza de

madera descubierta en una excavación arqueológica habla perdido el 63 o/o de su carbono 14,

detennine la fecha que se le dio a dicha civilización. (Recuerde que lma fecha se detennina contando

desde el nacimiento de Cristo, 20 AC son 20 años antes de Cristo, 20 DC son 20 años después de

Cristo, use esto para dar la fecha).

1-

2-

3-

I,ICEO SAL\/ADOREÑO.HOJA DE TRABAJO.TEMA: FUNC:IONES

PRIMER ANO DE BACHILLERATO

Ej ercicios sobre fr¡nciones:l- Se dispone de 1600 metros de alambre para colocar en un área rectangular, si se pretende colocar dosllneas de alarnbre, determine las dimensiones de tal forma que el área sea máxima.2- Determine la función lineal que pasa por el origen del sistema de referencia y además es paralela a lafunción g(x): 3x + 8, para esto recuerde que dos rectas son paralelas si poseen la misma inclinación.3-Sellamaecuacióngeneraldeunarectaalaecuaciónquetienelaforma:Ax+By+C:0.Detalmanerase tiene la función lineal en su forma general, 2x+ $y - l0 = 0, determine la pendiente de esta recta.4- El volumen de agua que se produce cuando se derrite la nieve varia directamente con respecto al volumende la nieve, los meteorólogos han descubierto que 150 cm3 de nieve se derriten en 16.9 crn3 de agua, supongaque se tiene 200 cm3 de nieve, calcule el volumen de agua que se tendrá al denetirse.5- El tiempo (t) necesario para manejar una distancia fija varia inversamente con r€specto a la velocidad (v),para recorrer una distancia flia a 60 km/h son necesarias 5 horas, ¿Cuánto tiempo será necesario para recorrerla misma distancia a 40kmlh? ¿Será posible calcular la distancia ñja del ejercicio, si se puede calcúlela?6- El peso (M) de un objeto sobre la Luna varia directamente con respecto a su peso @) sobre la Tierr4 unapen¡ona que pesa 95 kg sobre la Tierra, pesa 15.2 kg en la Luna. Determine el peso de una persona de 105 kgcuando viaje a la Luna.7- El tiempo (t) requerido para manejar un automóvil a una velocidad fija varia directamente con res¡recto a ladistancia recorrida (d), se requieren 8 horas para manejar 380 km a una velocidad fija. Determine el tiempoque tomalá manejar4T5 km a la misma velocidad. Interprete el sienificado de la constante deproporcionalidad del ejercicio.8- El tiempo (t) necesario para producir rm automóül es inversamente proporcional con respecto al nrlmero depersonas (P) que habajan en el, doce trabajadores pueden pnrducir un iutomóvil en l8 horas de trabajo,Determine la constante de proporcionalidad, la función que relaciona las variables del ejercicio, y calcule eltiempo que tardaran 8 trabajadores en producir un automóvil.9- La función V (s) : + JZgs reprcs€xrta la velocidad V de un objeto que ha cafdo a una distancia de spies, donde g es la aceleración de la gravedad. Determine la forma del bosquejo de esta función, y calcule sprlra un objeto que cae con una velocidad de 32 g.

l0- Durante un perlodo corto de tiempo una €mprcsa mu€stra sus ganancias siguiendo la expresión:

G(t):\E-6 + l0 ; donde G(t) es la ganancia en miles de dólares, t es el número de días trabajados, y lafunción es valida después de 2 dlas de Fabajo, determine el bosquejo de las ganancias en un intervalo detiempo de 2 sernanas, y calcule cuanto ha ganado al cabo de 7 dlas de tabajo.1l- Se dice que una función es seccionada cuando su dominio esta seccionado y la función toma variasformulas dependiendo de la sección en que se encuentra en el dominio, Ej.

(2x*3.Sü0<r<5u(xr:l ,.+9,.Sir2SDetermine el bosquejo de la función G (x).l2-Determine el bosquejo del gráfico de F(x): 13 - 6rl+10, y calcule las coordenadas del punto más bajo deF(x).

FUNCION DPONENCIAL

Definición: Una función es llamada exponencial cuando la variable independiente se encu€ntra en el exponente de unapotencia- así:F1*¡ = r" * b Donde ¡ es un nirmero positivo llamado base de la potcncia y b es la asfntota horizontal ds la ñ¡nción.El crecimiento de est¿s ñmciones ( o decrecimiento ) es más rápido.En general vamos a distinguir dos tipos de base:

@ Cuando ¡ es mayor que uno.Lo cual genera una función que crece muy rápido y tiende al infinito cuando la variable x aumenta

Esto hace que la ñrnción decrezca muy rápidamente, y para valores de x negativos los valorcs que tomará (x) son muyaltos generalmente. Analice la siguiente ñrnción exponencial:

F(x): (l/3)'Si el signo de la va¡iable es negativo, el valor de (x) seró más alto mientras más pequeño sea el valor de 'Y'.Slx: -3 entonc€s {-3) = 27El signo negativo del exponeirte, involucra un cambio de Ia posición de los elernentos de la fracción, este cambio es el que

hace que nuesto f(x) sea muy alto si x ticnde a un valor muy pequeño.

Los gráficos de fi¡nciones exponenciales pasan por el par (0,1) si la asíntota cs cero. Esto será un punto de guía en elanálisis de est¿u funciones. El dominio de estas fi¡nciones podemos decir que son los reales, ya que no existenrestricciones.El rango depende de la posición de la función respecto a la aslntota, puede estar arriba o debajo de la aslntota, según elsigno de la potencia- Recuerde quc el cambio de signo en la función hace que la fr¡nción rote alrededor de la aslntota.

l- y= l0+ 4x+r

Dominio: RealesRango: La asfirtota de la fr¡nción es 10, la potencia es posiüva por tanto debe estar sobre la aslntota" con esta

información determinamos que: ] 10, + o I es el rarigo de la función.

2' Y: -2*-rDominio los rcales, rango los reales negativos. La ecuación de la Asfntota horizontal es y: 0.

Hay una función e:<ponencial muy usada" esta es la que tiene de base el nrlmero e, su valor es

2.718281828459.Este valor es usado como base en los logaritmos naturales.Hacer el bosquejo de y = e^ .

Ejercicios de 4licación:l- ¿Cuál es el monto de $ 200,000 al cabo de 5 años colocados al20o/o anual?

Paracalcularelmontoseutilizalafórrrula: M: C(l + i)o donde,ceselcapitalinicial,ieselinterésyn el número de aflos.M:200,000( I + 0.20)5 = 2ü),000(2.5):500,000Al cabo de 5 años tendremos un tot¡l de $ fX),ü)0.

2- Un tomo de repujado se deprecia de tal manera que el valor de la máquina al transcunir "n" años, se

calcula en dólares, por medio de la fórmula:

{n) = 50,006* -o'o5n + 4,(X)0

calcular:l- El valor del torno a los 5 años de uso.2- Si el torno se venderá dento de 7 años, ¿cuál es el menor valor al que se puede vender dicho torno?3- ¿Cuánto costó la máquina?

Resuelva la ecuación e 2x+ lo - I, Sabemos que una expresión que se eleve a la cero será igual a uno, por lo tanto, para que a

2x + 1e sea igual

a uno, su exponente debe ser cero.2x+10:02x : -10x: -10/2x=-5

o

l-

FI,'NCIÓN LOGARITMICA.Esta es la frrnción inversa de una orponencial, esto significa que al despejar de una exponencial generaremosuna logarftnica.

Esta fi¡nción sc define como: y - log 6 x.Esto se lee: '! es igual al logaritno base b, del númcro x"La relación e¡¡tre la funciónlogarfnnica y la eirponencial c.sta det€rminada por:LOG¡ X:Y + bY=X

log sx exise l¡nicamente cuando x> 0.Esto nos indica que no hay logaritmos de nrlrneros negativos.El dominio de la ñ¡nción logarlünica es por lo tanto, los reales positivos sin incluir cl cero. Esüa es considerada la uttimadc las rcs¡t¡icciones, para resolver un logarirno dc cualquier basc, se resuelvc la desigualdad x > 0.El rango son todos los reales.

o Basár¡dosc er¡ la defnición de logaritmo, ei(prcsc las siguientes potencias como logarimos.

l' 33=272- 52 :25

Exprese cada término como potencias:

3 : logu 216

a Encuentra el valorde lavariable:l- l/3 - log¡ x2- m= log¡4'23- 4= logr625

Iosaritmo base 10.

Cuando la base del logarimo es 10, esta no se anota, est€ tipo de logariho se ericuenüa frcilmente con lacalculadora. ConsiderE que ahora hay algunas máquinas que están programadas para cualquier base de

logariünos.F(x) : log ro x : log xVeamos las potencias de l0:l0 -4 - 0.0001l0-3 : 0.001l0-2 : 0.01

l0-r - 0.1l0o - Il0t = l0

(lo leeremos, logaritmo base l0 de x).

102 = 100103 = 1000l0 a = 10000

Expresemos ahora cada una de estas potencias como un logarimo base 10.

Sean las fi¡nciones logarltnicas:l- F(x): Log(x-l)2- (x) : 2log (2x + l)Calcular el doninio, rango, la asfntota" el punto de gufc y el bosquejo del gráfico.

Losaritmo natural (base 6e')

Una definición de e, es:

e: limn{m (t * i)"

f:l

Ladefinición m¿is comtm de e es como el valor límite de la serie:

rlBtr.

1

¡rr !

1

-+1!

¡¡ == l.l

Ii1

t.lt '

que se expande comot1IItr¡?!'3!'

e:2.7lütlt2t4i59, este nrlmero es la base de los logarituos nafiÍales, para este caso canbiaremos laescritura de esta forma:

V : log " x : ltr x (se lee logarimo natural de x)

Según la definición podemos decir que:

y-lnx (+ d:xl- Y- Lnx2- Y : Ln (x -10)

Ahora realizar la gráfica de las siguientes funciones.

Ejercicios:l- Determine el bosquejo de las siguientes firnciones, calcule todos los elementos que forman parte de

estas funciones.l.l- Y= 2'*l1.2- y: l0r1.3' Y= -3'l'!' Y = 5'-,'20I

1.8-1.9-l.l0-

y : loga(x -5)y : log, (2x-4)y: ln(x-l)

2- Encuentre el valor de la variable'h" utilizando la definición de logaritno.

l- 4: log3 x2- 0= log5 x3- x+l : logl004- 3: log2(x+l)

3- pedro le propone a Pablo invertir É25,0N en un negocio que les triplicará la inversión al cabo de

'h" años, todo esto basado en la expresión:

G(n) : 25,000 "

o'oor n

A Pablo no le agrada este negocio, ¿por qué?

4- La población actual de San Salvador es de 3,(XX),(X)0 habitantes, si el crecimiento viene dado por

P(x) = 3,000,000 e 0'05x,

¿cuánto üempo tardaremos en llegar a los 3 millones y medio?, y ¿cuántos

ser€mos dentro de 20 años, si la tendencia sigue igual?

5- Lagráfica P(t) : ac /(bc + e-"t) donde 4 b, c son constantes, se lallamacun¡a logfsticay

ocurre en un modelo matemático de una población que se expande en forma limitada.

Evalúeparat= 5, t:25,yt = 12 tomandolosvaloresdelasconstantescomo: a = 4, b :3,c=10.

6- El nlmero de radioyentes que han oído un determinado anuncio al cabo de'?' meses es: A(t) : 3t .

Responder:a) ¿Cuántos radioyentes han escuchado dicho anuncio al cabo de I año?

b) Si la e-presa ha estimado que al llegar a 19,683 oyentes ya no vale la pena seguir con dicho

anuncio, ¿cuántos meses debe durar dicho anuncio?

7- Encr¡r:ntre el rralor de x:l- log2 256 : x2- log3x =53- log*2: 116

B- Las ¿mebas son seres que para reproducirse se van partiendo en dos cadavel supongarnos que se

duplican cada 30 minutos, al cabo de este tiempo habrán 2 amebas, una media hora más tarde habrán

4,y aslsucesivamente, por lo que en'h" medias horas tendremos 2o amebas.

¿Cuántas amebas habrá en 8 horas, y al cabo de 2 dfas?

g- Si tenemos 'na cantidad radioactiva R¡ j se desintegra reduciéndose a la mit¿d cada2 años, la

cantidad de sustancia que quedará al cabo de t años es:

R = R¡ (Y)'ttI - demosF¿r que R: Rr ( 0.7071l)¡2 - ¿cuárto tiempo tardará en reducirse a la tercera parte?

l0- La cantidad "A" en que el capital principal "P" se convertirá después de "t'' años a una tasa de

interés'?',compuesóanualmente,estádadoporlafónnula A =P( I +rf ' Supongaquerur

capital de $ 4,000 se invierte a una tasa de interés del 60/o hasta alcanzar un valor de $ 5353.

Detennine el número de años que duró la inversión.

I l- La sensación de intensidad del sonido no es proporcional a la intensidad de la energf4 sino más bien

a la función logarftmica. La intensidad se mide en belios (en honor a Alexander Graham Bell), o en

unidades más pequeñas, los decibels. La intensidad (L) en decibels de un sonido de intensidad (I) se

define como: L : l0 t"g * . Donde Is es la mfnima intensidad detectable por el oldo humano (tal

como el tic de un reloj a 6 metros de distancia en condiciones de silencio), Calcule la intensidad en

decibels del ruido de fondo de un studio de radio, en el cual la intensidad (I) es 199 veces Io.

12- Calcule la intensidad en decibeles de la voz en una conversación , en la que la intensidad es de l0ó

veces Io.

FIr¡r ¡bctclc¡ iÉ h voz cn m mw¡s¡ciih, o" b d; ññ;A ; de r 06

l- Sin utilizar calculadora, simplificar:

a) er')r' "[tl"]" o(.-r]*

a) e2

d) eJs

I

b)16-;=14

e) 16=a3

d) lro

e)[tO*]* oro2r'g3

2- Utilizando calculadora, encuentre una aproximación de 3 decimales para:

b) lOJt c) rc-G

l-tri1"'L#,)

3- Exprese en forma logarltmica:I

a) 35 -2I

lr)-td) l-l :a

l.y/

"> ,l-sa = 2175

Ir)oOttj -14- Exprese en notación exponencial, y sin usu la calcuMora verificr Ele los logarimos son correctos:a)logr25=2 b)lnl=0 c)logo.t=l

Itzs) ^ .- 7a) loe, [j:J = -r Q Logr2l,ls -- ;

HOJA DE TRABAJO

5- Encuentre los valores de x y de a, que satisfacen las siguientes igualdades:

a) logrx=4

d) iog,, 49 = -3g) logo 2-3 = -l h) x^^ = rfl6- Hallar el valor de los siguientes logaritmos sin usar la calculadora:

b) log , J3

e) log 0.01

7- Se sabe que log 2 = 0.301030,y1og7 = 0.845098, sin utilizar calculadora encuenfre el logarftmo de:

a) log, 64

d) ros,*

b) logr, * =?3

e) lnr = $

c) logo¡=15

f¡ Jsloss 'r - 2

y) loggolS=2

c)h+

D log log l0roo

12- Demuestre que si x =ffi €Nrtonces al despojar y, se llega a la siguiente expresión:

I /r+1t= r*rog{l-"13- Demuestre que:

a) lnr = [loge]-tlogr t¡ logr = [lntO]-ttnr

")14- Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) log t4

a)logy:logm+3

u) 5" :625

d) 7x2+' =49g) logrx=2j) 2-" = 0.3

b) log 28

b) 2*-r :32 c)

e) log x:0 D

h) 52x-r = 0.03 i)

k) 52'r+l .72' = 17 5

c) ros+

1

b) :hv +ln c =ln{l- z'3r

( 9\' 5l-! :-\2il 3

lnx: Ie-3* = 0.415

l)log,(r +2)- log,(t + 1) = |

m) logz r + logz (¡t + 5) - I n) e'*l = 3"I

q) 2log25 x -logrr(25 - ar) = 1,2g bgr(r -z)*logr(3x - 1) = logr(1- 3r)+ I

.., (roe, slXlo&?)

= 1

" log, t15- Suponga que habrá x unidades de una sustancia radiactiva en t años a partir de este momento, siendo

x = Aek, donde k es una constante.

a) ¿La cantidad de sustancia tiende a subir o a disminuir con el paso del tiempo?

b) Si 207o de la sustancia desaparece en l0 años, ¿en cuftrto tiempo tendremos solo la mitad?

n ( -n¡\16- Lacorriente de uncircuito eléctrico esüadadaporlafórmula: I = il l- e L

IR\. )dondeE,RyLsonconstantes(voltaje,resistenciaeinductanciarespectivamente),yteseltiempoquepar¡adespués de cerrar el circuito.a) Despeje t.

b) En cuánto tiempo después de haber cerrado el circuito la corrie,nte será la miAO Ae {.R

l7- Calcule el valor de las siguientes expresiones:

3_4s-6-96-97-98a) Logrri+ Logr, ,+

Logtti+ Logtt:+....+Log" n* tog" gg+ LoS" *

b) logr 4.logn 5.log, 6....lo9ro 81.

- 3 8 15 982-l , gg2-l , 1002-1c)log¿+loSn+logG+...+lo8 *

+lo8 *

+log 1002

AUTOEVALUACION DE APLICACIONES :

Encuentre el lalor de x.

a) logzx+togr[.3t*5)=l R/

b) (loe, s lXloe, 2) _ l' logs r

c) 52x-r = 0.03

d) 2log zs x-- logz ,(25 - a*)= I R/2

Resuelva los siguientes ejercicios:

13- la población de San Salvador üene dado por P(x) : 3,(X)0,000. o'**, donde x el número de años que

hanpasado desde enero de 1999. Calcule cuántos años nos faltan para llegar a los 4 millones y medio,

ta póbtaciOn inicial que habla en San Salvador, y determine el nrlmero de habitantes en el año 2018.

14- Se hace una prueba del carbono 14 a un cabello humano de una momia encontr¿da en una tumba de

Egipto, se detemrina que estos tienen un 65 %o delcarbono 14 que posoe lm ser üvo, haga un estimado

¿e ta e¿a¿ de dicha tumba, suponga que se construyo para enterrar a la momia que se encontró. El

carbono 14 posee una constante de - 0.00012. Utilice la ecuación Y: A e".

15- Determine la vida media de rma sustancia radioactiva que posee rm decaimiento de234 gr a 47 gr en 55

afios-

LICEO SALVADOREÑO

SIMULACRO DE TEST. Desarrolle los siguientes ejercicios en las condiciones de un examen, al

fi nalizar realice una autoevaluación.

1- Escriba como par ordenado si es posible, los siguientes conjuntosl

a. {{m+1},{5,m+1}} (¡"+¿,g)r{.+l/ m+ i)b. {{4,0},{o}} (4) ,ls)c. t{0}} S

Calcule el valor de la variable m y n, de tal forma que se cumpla la igualdad.

a. (m,5)= (5,6) tn'5b. (3m+6 , m-n+4) = (0,4)

Sean los conjuntos A = { x e N / -4 < x < 4 } ; B = I-3, 4 t U [ 10, 15 [ ; C = R-{5 } Graficar el

producto cartes¡ano, la relación, o la función, según sea el caso.

a. M={(x,y)eAxB /y=-¡+!}b. P={(x,y)eCxC /y=5¡c. T={(x,y) lyeBy,xeB}.,

Graficar el punto]]4 ¿FGtérmine ta distancia que existe el origen del sistema y el punto

graficado.

Las siguientes son funciones definidas en los reales, determine el bosquejo de cada una de

ellas:a. Y=X+5b. y=(2x-5)(3-x)c Y=xe

a. Y=x3+5x2-1500 \Determine los elementos que se le piden en cada función: (una tendencia para nosotros

es expresar si la función crece o decrece, o hace ambas cosas en orden).a. Y=X2+X Dorninio:

f(x) =X2+x+5 Rango:

Y = x3 Tendencia:

f (x) = x + 15 Punto de corte con eje X:

y = 4x2 +2 x + 5 Tendencia de la parábola.

F(x) = (5 - 10 x ) / 5 Pendiente:

T"do

2-

.3:

4-

5-

6-

b.

e.

f,

Ir

LICEO SALVADOREÑO

RELACIONES.

l--

HOJA DE TRABAJO PRIMER AÑO DE BACHILLEMTO

, 2' a 't-'a

Desarrollo la hoja de trabajo, considerando los siguientes conjuntos de trabaio:

A = { x r Z | 5 < x< 15 } ; B = {xeZ!: I -5< x < 5 } ; C = {5, 10, ,|5,'.. 105 } ; D= { x e N /-5 < x < 5 } ;

E={x¿R/-5<x<5}; F=[0,-[;G={xe R/--<x<5};H=[-3,4tU[10,15[;l = (xeR/-*<x<']

1) Determino por extensión ó gráficamente según considero es más conveniente, los siguientes productos cartesianos'

e, ExD

f. DxF

g. FxG

6 ExH

z) Determino los pares ordenados que pertenecen a las siguientes relaciones, por extensión o gráficamente según es más conveniente, posteriormente

para cada relación identifico: conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango'

a, AXB

b. CxD

c. BxC

d. D2

a, Rr={(x,y) eAxB /y=x}b. Rz={(x,y) EBxB /y=x}c. R¡={(x,y) eDxC ly=10x}d. Rq={(x,y) eDxE ly=-x+3}e. Rs={(x, y) tFz ly=2x*5}

O HxD

O JxJ

Ro={(x,y) EFz ly=x2}Rz = { (x, y) e G x B ly = 20 - x }

Ra={(x,y) sG2 /y=3x}Rg={(x,y) eAxB /ytx}Rro= { (m, p) e D x E / p - m < -21

Rg={(x,y) ¿J2 ly=x2}Re = { (x, y) e J2 ly = x2 *x }

Rr=i(x,y) eJz ly=x3]R+ = t (x,y) e-Jz lY = xs - 10lRs = { (x, y)

'e J2 ly = -2x21

R6 = { (x, y) t, J2 ly - -xe +25 }

Rz={(x,y) EJz ly=-x2}Rs = {(x, y) EJz lY = x2- 10x- 15 }

3) Efectúo el gráfico de las siguientes relaciones, identifico el dominio y el rango en cada una de ellas.

a. Rr={(x,y) e F2 ly=3x2}b. Rz={(x,y) eF2 ly=x2*x}c. R¡={(x,y) e F2 ly=x3}d. Rq={(x,y) t,Fz ly=xe-10}e. Rs={(.x,y) e F2 ly=-ZxzI

@ Ro = { (x,y) EFz ly = -xz +251

g. Rz={(x,y) tFz ly=x2}

e Ra={(x,y) e F2 lY=x2-10x-15}

l¿I ldentifico los cambios de las relaciones graficadas en el ejercicio anterior, como cambian las potencias cuadradas cuando se cambia signo, o se agregan

\j) ili;;;;; ;;¿;ci", ela¡o,o un esquema de semejanzas y diferencias enlre las relaciones definidas en Fz y las definidas en J2'

s) Grafico cada una de las siguientes relaciones sombreando el área que conesponde a los pares ordenados que cumplen cada una de ellas'

t._

j

at.

m,

\-/o.

^.t u,\\_.,

\. _---/-'I

a. Rr={(x,y) tJ2 ly.,xt*x}1 r

b. Rz={(x,y) eJ2ly>'xe1 )

c. Rs={(x,y) eJ2 lysx-10}

6) Las siguientes relaciones son funciones definidas en los números reales, es decir son funciones reales de variable real, Hago un gráfico encontrando

puntos y colocándolos en el plano cartesiano, uniendo con una línea continua tantos puntos como sea necesario para que la figura no deje duda respecio

a su forma. Comparo cada grérfica, y determino semejanzas y diferencias con grafico anterior y posterior.

LG\ Y=xzóT V=X2+Xt

4 i v=x2+x+b';. r' r

...: L"i. Y=x3,' 'fÍ\ Y=x3*15-- \_/

t f filJ R¿={(x,y) eJ2 /y> -2x21-"**Q/ Rs = t (x, Y) e J2 lY > - xz *251

f. Ro={(x,y) eJ2 ly<-x2}

I a, V=x. b. Y=2xGl y=x+54\l Y =2x-5ec, y 4<2

g*&küF¡eix:Áé*i*-.*., :. "'-.

i

Y = X2 +5