Ao de la Diversificacin Productiva y del Fortalecimiento de la Educacin

INFORMELIMPIEZA Y DESINFECCION DE TANQUES Y REDES DE AGUA POTABLEELABORADO POR: GUTIERREZ ROQUE, RIBERT

SEMESTRE VIIICATEDRAINSTALACIONES SANITARIAS

HUANCAYO 2015

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

INDICEDEDICATORIAEste trabajo en primer lugar se lo queremos dedicar a Dios, que durante todo este tiempo nos estuvo acompaando, iluminando y guindonos para llegar a nuestra meta.A mis profesores que con su apoyo incondicional nos apoyaron en todo momento.

PRESENTACION..4INTRODUCCION...5

CAPITULO I1. DEFICIONES GENERALES.61.1 TASAS1.2 PORCENTAJE.61.3 SUMA DEL PORCENTAJE..71.4RESTA DEL PORCENTAJE.81.5 TASA EQUIVALENTES.91.6 TASA SUCESIVAS.101.7 OBSERVACIONES.111.8 APLICACIONES..12APORTACIONES.13CONCLUSION.14REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.15ANEXOS.16

PRESENTACIONEl presente trabajo ha sido elaborado como parte del desarrollo de la asignatura de matemtica financiera, en el que abordamos el tema de tasas y porcentaje.Ha sido elaborado con el propsito de que sirva al lector como un texto de consulta resolviendo las dudas que se le puedan presentar. La monografa desarrolla los temas de la tasa y porcentajes lo cual contribuir a los conocimientos del lector. Est orientada a empresarios a los cuales les proporcionara conocimientos valederos para dirigir una empresa exitosa.Al desarrollar el presente trabajo quisimos ampliar nuestros conocimientos sobre la produccin y la empresa en el Per ya que como estudiantes universitarios tenemos la obligacin de investigar para contribuir al desarrollo de nuestro pas.Esperamos con nuestro trabajo ayudar a todas las personas interesadas en estos temas a incrementar sus conocimientos previos y les sea de mucha utilidad. Las autoras

INTRODUCCIONLas matemticas financieras son fundamentales para tomar la mejor decisin, cuando se invierte dinero en proyectos o en inversiones, por eso es conveniente que el lector defina y explique los conceptos bsicos sobre proyectos y las diferentes inversiones que se pueden llevar a cabo en la vida cotidiana y empresarial. Tambin, es importante, que se conozca la importancia del concepto del valor del dinero a travs del tiempo, como elemento fundamental de las matemticas financieras, as como del principio de equivalencia y el principio de visin econmica, que se aplican en el diagrama econmico, para efecto de trasladar los flujos de caja al presente o al futuro.

CAPITULO ITABLAS DE MORTALIDAD 1.1.DEFINICIONES una Tabla de Mortalidad es aquella que es generada a travs de las tasas de mortalidad especficas y los valores resultantes son utilizados para la medicin de la mortalidad, supervivencia y expectativa de vida. Dicho mtodo es el que utilizaremos en el presente trabajo.

Las tablas de vida son, en esencia, una forma de combinar las tasas de mortalidad en una poblacin a diferentes edades y son utilizadas principalmente para el medir el nivel de mortalidad de una determinada poblacin. Una de las ventajas ms importantes en comparacin con otros mtodos para la medicin de la mortalidad es que las tablas de vida no reflejan los efectos de la distribucin de edad de cierta poblacin y que no requieren la adopcin de una poblacin estndar. Otra ventaja de estas tablas es que permiten la realizacin de cohortes de edad, eliminando la tediosa tarea de recompilar estadsticas de muerte anuales para las cohortes de edad an cuando estas ltimas son variables.1.3 ANOTACION ALGEBRIACAx , Indica la edad de la persona.lx , Indica el nmero de sobrevivientes a la edad x , asumiendo que se toma

una cohorte inicial de

l0 recin nacidos.

x 1 .

, Indica el nmero de personas que fallecen entre las edades x y

qx d x

lx , Indica la probabilidad de fallecer a la edad x , esto es, la probabilidad

de que una persona de edad x no sobreviva a la edad

x 1 .

px lx 1

lx , Indica la probabilidad de que una persona de edad x sobreviva

hasta la edad

x 1 . Ntese que. p x

1 q x

oex , Indica la esperanza de vida completa, y corresponde al nmero de aosesperados de vida para una persona de edad x , es decir, al nmero de aospromedio que vivir la persona despus de los x aos ya alcanzados.

1.3 Tipos de Tablas de Mortalidad

Las tablas pueden variar teniendo en cuenta diferentes aspectos. A continuacin se presentan algunas de las clasi*caciones que se pueden encontrar.

1.2.1 Tablas de Perodo / Tablas GeneracionalesLas tablas de mortalidad de perodo o estticas asumen que las probabilida-des de muerte dependen exclusivamente de la edad alcanzada. Por su parte,las tablas de mortalidad dinmicas o generacionales asumen que las tasas demortalidad, adems de depender de la edad, dependen del ao calendario enque se alcanza dicha edad. Ms adelante se discuten en mayor detalle las tablasde mortalidad dinmicas.

1.2.2 Tablas Completas / Tablas AbreviadasSe dice que una tabla es completa cuando se presenta informacin para cadauna de las edades. La tabla es abreviada cuando la informacin se agrupa porrangos de edades, que usualmente son de 5 de 10 aos. Por lo general, lastablas poblacionales se presentan de forma abreviada.

1.2.3 Tablas Selectas / Tablas ltimas

Las tablas de mortalidad que no slo dependen de la edad alcanzada sino tambin del tiempo que lleva en vigencia la pliza, se conocen como tablas de mortalidad selectas. Una tabla que excluye la experiencia de mortalidad de los asegurados durante los primeros aos de la pliza (o el perodo selecto) se conoce como una tabla ltima o de*nitiva.

1.2.4 Tablas acordes con las caractersticas demogr(casLas probabilidades de muerte varan considerablemente de acuerdo con la poblacin que se est analizando. Por ejemplo, en general, la mortalidad de las mujeres en las edades jvenes es considerablemente ms baja que la de los hombres. La Tabla de mortalidad: La mortalidad como fenmeno discreto. Independencia, homogeneidad, estacionariedad. La tabla de mortalidad y sus elementos. Relacin entre los elementos de una tabla de mortalidad. Tipos de seguro: Clculo de probabilidades. Probabilidades para una cabeza. Probabilidades para ms de una cabeza. Actuarianos.En este tema nos aproximaremos al instrumento bsico para la explotacin estadstica de la informacin biomtrica de utilidad en el clculo actuarial: las tablas de mortalidad.Estas tablas recogen la informacin bsica til para poder calcular las probabilidades de muerte y de supervivencia necesarias para determinar primas, reservas, provisiones etc. en los seguros de vida.La medicin de la mortalidad la variable ms relevante en este contexto precisa de cierto nivel de objetividad, con lo que el actuario debe estudiar las tasas de mortalidad registradas en el pasado en el colectivo al que pertenecen los asegurados (poblacin de riesgo) a fin de poder predecir o estimar de la forma ms objetiva posible el nmero de aos de vida que resta a cada asegurado.La forma ms habitual de medir la mortalidad es como ratio referida a un colectivo y a un perodo: por ejemplo, si en un ao determinado en una poblacin de 350.221 personas han muerto 671 diremos que la tasa de mortalidad de ese ao es del 1,916 por mil 0,001916Esta informacin es, sin embargo, poco til como aproximacin a la probabilidad de muerte de un individuo de esa poblacin ya que, por ejemplo, no parece razonable suponer iguales la probabilidad para un varn de 80 aos la de una mujer de 45, p.ej.. La especificacin de, al menos el sexo y la edad, se hace necesaria en los datos que las tablas deben recoger.Las ratios de mortalidad pueden entonces ser clasificadas como generales o especficas. Las primeras vendrn referidas a toda la poblacin y englobarn todas las causas de muerte, mientras las segundas se emplearn para causas especiales de muerte o para grupos o cohortes especficos de la poblacin, e incluso para combinaciones de ambos elementos.Habitualmente, la tabla de mortalidad recoger, para una determinada poblacin (general o de riesgo), las tasas de mortalidad ( y/o) de supervivencia, a cada edad y para cada sexo. O bien la evolucin del nmero de supervivientes por edades y sexos a partir de un grupo inicial de cierto tamao. O bien ambos tipos de informacin, pudiendo aparecer otros indicadores como por ejemplo la esperanza de vida:Tabla de mortalidad para la provincia de Valencia en el ao 2015Tasa de mortalidadSupervivientesPoblacin estacionariaEsperanza de vida

VaronesMujeresVaronesMujeresVaronesMujeresVaronesMujeres

2015

Valencia

3,2053842,48010310000010000099729,75799779,90777,85795683,858839

0

0,1905620,07326399680,32899752,536398530,21398929,6477,10714883,066601

1

0,0618210,03339599604,38399723,309497941,4498576,0173,16480879,090581

5

0,1542730,07349799573,699706,659497708,51498488,8868,1866974,103359

10

0,3170750,1550999496,81799670,021497214,75498144,4763,23705569,129207

15

0,3969140,33672199339,16299592,764496219,71497513,8458,33219164,181018

20

0,5561660,25701399142,20599425,24494947,1496816,7353,44294359,28526

25

0,6893550,26128598866,93399297,552493581,23496243,7348,58554854,358183

30

0,9764440,54958398526,6899167,891491606,16495152,4243,74371449,425179

35

1,5731190,73258698046,65498895,764488533,99493590,8538,94387644,554368

40

3,3819771,61424897278,13298534,166482863,02490872,4434,2295139,708536

45

5,2226222,17381595645,197741,776472500,2486184,6629,76545335,008316

50

8,0268743,31401993177,4196684,9457225,27479708,9525,48278130,362449

55

11,0659014,23946189507,32195095,136435847,38470904,8321,41941325,825521

60

17,318826,76839884684,27793098,753406906458267,7317,49258521,321194

65

28,11696211,72877637,14589997,014364113,21438914,1613,83926316,963994

70

48,83273425,22809567399,38884849,429302824,47401280,0710,53908212,820295

75

87,2737255,27189852611,64174725,897216723,2331178,367,7454959,187104

80

141,53238114,7613333697,40156421,041123537,76219565,725,6615646,297939

85

225,53819201,9054916212,80731223,38749871,15101290,894,1474774,34836

90

285,81734312,422044964,957910772,20117371,08734479,6473,4987383,200799

95

Componentes de una tabla de mortalidad: La tabla de Mortalidad elementos y relacionesLa informacin que puede aparecer en una tabla de mortalidad , con su expresin simblica y su definicin operativa es:

Edadxaos cumplidos

Superviventeslxnmero de individuos que alcanzan la edad x, procedentes de una

colectividad de individuos de edad 0

nmero de

individuos de edad

Defuncionesdxx que mueren sinlx lx1 dx

alcanzar la edad

x+1

Tanto (anual)Proporcin de los

deindividuos de edadp lx1

supervivenciapxx individuos quexl

( a la edadx)alcanzan la edadx

x+1 tras un ao

Tanto (anual)de mortalidadqx (a la edad x)Proporcin de defunciones que se producen entre x y x+1 entre los individuos de edad x.q dx 1 pxlxx

Poblacin censal de edad x

LxNmero medio de personas vivas entre x y x+1 aos. O,1Lx = o lxt dtSupuesta uniformidad en la distribucin anual de d:

alternativamente, nmero medio deL lx lx1 lx lx dx l 1 dx22x2 x

aos vividos portoda la poblacin lx del ao x hasta el x+1.

el riesgo medio al que est sujeto la poblacin durante su trnsito tasa deentre los x y x+1 aos y es diferente de qx que representa el efectomortalidadtotal de la mortalidad en trminos de proporcin de defuncin en media entre lamxel conjunto del ao, sin hacer referencia a la variacin del riesgoedad x x+1de fallecimiento a lo largo del ao.

Nmero medio deesperanza deaos que les resta vida a la edade0xpor vivir a los (lx)x.supervivientes enxe0 Lks/uniformidad e0 0.5 lk xk x lxk x l xx ( = infinito actuarial = edad lmite de la poblacin)

cantidad deNmero total de aos por vivir para la totalidad de la cohorte a la existencia a laTxedad xT Ledad xxk x k

En el supuesto de continuidad del proceso ser el cociente entre lasTasadefunciones ocurridas en un diferencial de tiempo y este instantneaxlx lxdtdlde mortalidaddiferencial dt q(x) lim t qx lxl d ln(l )xdtt 0 tdtdtdt

Ejemplo: Tabla de Mortalidad para de la generacin de 1960 .Xlxqx (tantopx (tanto porde0xx

por mil)mil)

010000006,772075993,227926772,0752986,56

1993227,9250,656436999,34356651,99091186,16

2992575,9340,343361999,65663340,811985,21

3992235,1220,299914999,70008297,58536684,24

4991937,5370,249909999,75009247,89499883,27

5991689,6420,238529999,76147236,54772482,29

................................................

96401441,73114,0475885,9524245783,45623,37

97355658,274138,8659861,1340049388,83932,87

98306269,434169,5932830,4067351941,23212,42

Fuente: Elaboracin propia a partir de la tabla PERM/F2000P (B.O.E. nm.244 de 11 Oct.2000)Tipos de seguro: Clculo de probabilidades.Las modalidades de los seguros de vida pueden ser muy variadas y en funcin de cmo sean puede ser de inters estimar, no slo las probabilidades de que un sujeto segn su sexo y edad fallezca en un determinado momento, sino tambin estimar otras eventualidades de fenomenologa temporal muy variada o que implique a varios sujetos.

Los seguros pueden agruparse en dos tipos principales: de fallecimiento y de supervivencia; pudiendo ser tanto temporales como de vida entera, inmediatos o diferidos, de cobro nico o renta vitalicia, con cobro anticipado o vencido, de prima nica o temporal, etc., as como, para un nico individuo o para varios, pudiendo en este caso propiciarse multitud de combinaciones.

Por lo tanto puede interesar estimar probabilidades de muerte o de supervivencia, a lo largo de un intervalo temporal o durante toda la vida del asegurado. Puede interesar determinar una probabilidad diferida de muerte o en el caso de haber varios sujetos asegurados (varias cabezas) puede interesarnos calcular distintas probabilidades de varias combinaciones de eventos

Por ejemplo, un individuo de edad x contrata un seguro de vida para pagar una cantidad C a un beneficiario en caso de que fallezca entre una edad x+m y x+m+n. En este caso se tratara de un seguro de vida para el caso de muerte, diferido (pues protege el riesgo m aos despus de suscrito), temporal (pues el riesgo slo est cubierto durante n aos) y de pago nico (se libera una cantidad C en el momento del fallecimiento):Aqu nos interesara determinar la probabilidad de que el individuo de edad x (varn o mujer, perteneciente a cierta generacin, lo que nos lo encuadra en cierta tabla)fallezca entre la edad x+m y x+m+n:Esta probabilidad se designa por : m/nqx

O, por ejemplo, un individuo de edad x suscribe una pliza, por la que debe hacer aportaciones anuales hasta la edad x+m -si vive hasta tal edad-, para cobrar una cantidad fija C al principio de cada ao despus de su x+m+n cumpleaos hasta su fallecimiento, si este no ocurre antes de cumplir tal edad. Estaramos ante un seguro de vida de supervivencia, con prima anual fraccionada (las aportaciones son anuales desde la edad x hasta la x+m), diferido (pues el cobro comienza tras la edad x+m+n), de renta vitalicia o de vida entera (dado que se percibe la renta hasta el fallecimiento) y de cobro anticipado (la cantidad es percibida al inicio de cada ao):Aqu interesaran las probabilidades de alcanzar x+m+n y ms aos para determinar la valor esperado de la renta a pagar, y las probabilidades de que muera entre x y x+m+n para determinar igualmente el valor esperado de los ingresos.

Un ejemplo en el que est implicado ms de un sujeto podra ser. Un individuo de edad x suscribe un seguro para que su cnyuge de edad x reciba una cantidad anual C tras su fallecimiento y durante n aos, salvo que el cnyuge fallezca antes de los n aos siguientes al fallecimiento del individuo, para lo cual realizar aportaciones anuales hasta el momento de su fallecimiento o el de su cnyuge. Obsrvese que en este caso para el cnyuge tendramos un seguro de vida de supervivencia (pues si no

sobrevive no recibir las compensaciones), de renta temporal y cobro anticipado, condicionado a la ocurrencia del fallecimiento del suscriptor.

Probabilidades para una cabeza.

Principales probabilidades implicadas para el caso de una cabeza asociadas con los distintos tipos de seguros y con la notacin habitual es la siguiente:

Probabilidad temporal n aos de supervivencia ( n: nmero entero)npx: representa la probabilidad de que un sujeto de edad actuarial x viva al menos n aos ms. Un caso particular ocurre cuando n1, en que n se suele omitir, con lo que la probabilidad anterior se expresa mediante px, y se interpreta como la probabilidad de que un individuo de edad x alcance los x+1 aos. lxnpn xlx

A partir de los datos de una tabla de mortalidad podra estimarse como:

Probabilidad temporal de n aos de fallecimiento ( n: nmero entero)nqx /nqx: es la probabilidad de que un individuo con edad actuarial x fallezca antes de alcanzar la edad actuarial x+n. Cuando n1, de nuevo, se suele notar la probabilidad anterior mediante qx. Obviamente se verifica que: nqx 1 - npx y por lo

tanto: q

1

p lx lxn

n xn xl

x

Probabilidad diferida m aos y temporal n aos de fallecimiento:m/nqx: representa la probabilidad de que un individuo de edad x alcance los x+m aos y fallezca durante los n siguientes, es decir, fallezca entre la edad x+m y x+m+n. O sea, la probabilidad de fallecer durante un intervalo de n aos diferida m aos. De nuevo, si n1, el coeficiente correspondiente se suele omitir y se nota la probabilidad de fallecimiento diferida anterior mediante: m/qx.Donde, por ejemplo, m-1/qx simbolizara la probabilidad de que un individuo de edad x fallezca exactamente dentro del m-simo ao.Se puede obtener de la tabla de la siguiente manera : si consideramos que X es la variable : edad de fallecimiento en aos; la probabilidad pedida se corresponder con la probabilidad (condicionada) de que esta variable tome valores comprendidos entre x+m y x+m+n sabiendo que ha superado el valor x:P (x m Xx)x m n) ( XP( X x)P (x m Xx) qx m n) | ( Xm / n xP x m X x m n P( X x)l lxm xmnlx

Probabilidades para ms de una cabeza.En muchas ocasiones los seguros estn vinculados a varios sujetos (cabezas), como, por ejemplo, en el caso de un seguro de vida de supervivencia de un matrimonio en que se deber satisfacer una cantidad monetaria siempre que sobreviva, al menos uno de los dos miembros de la pareja. Aparecen situaciones, por tanto, en que se hace necesario manejar y calcular probabilidades conjuntas referidas a ms de una cabeza.La hiptesis de independencia de los fenmenos biomtricos permite calcular fcilmente todas las probabilidades sobre ms de una cabeza a partir de las probabilidades de cada una de las cabezas que componen el grupo. As, por ejemplo, para dos individuos de edades x e y, cuyas probabilidades respectivas de alcanzar las edades x+1 e y+1 sean px y py, se tendra que la probabilidad conjunta de que ambos sobreviviesen al cabo de un ao sera pxy = px py, donde pxy simboliza tal probabilidad conjunta.Segn el caso interesar estudiar las probabilidades de distintas combinaciones de muerte/supervivencia individual entre estas consideraremos especialmente el caso de la extincin del grupo y el caso de su disolucin.Hablaremos de extincin cuando hayan desaparecido todos los miembros del grupo. ( Se producir, por tanto, cuando muera el ltimo superviviente del grupo). En cambio, hablaremos de disolucin, cuando desaparezca el primer integrante del grupo (primer fallecimiento)Caso de dos cabezas: Consideramos un grupo de dos individuos de edades x e y, que abusando del lenguaje podemos llamar individuo x e individuo y.Las situaciones combinadas posibles seran:

ProbabilidadNotacinSituacin

Supervivencia conjunta (SC)n pxyTodos sobreviven

No extincin (NE)n pxyAl menos uno sobrevive

Disolucin y no extincin (DyNE)p1n xySobrevive exactamente uno

Extincin (E)n qxyNinguno sobrevive

Disolucin (D)n qxyAl menos fallece uno

La situaciones anteriores se han considerado como probabilidades temporales es decir sobre el comportamiento de la pareja durante los prximos n aos ( Eventualmente n puede ser uno):Tendramos las siguientes probabilidades temporalesProbabilidad de supervivencia conjunta: Transcurridos n aos, tanto el individuo x como el y sobreviven: se corresponde con la interseccin, en verde , en el grfico:

n pxy

n px .n px

l xn . l y n

lxlyProbabilidad de no extincin: Transcurridos n aos, algunos de los individuos sobrevive , se corresponde con la unin de los sucesos sobrevive x, sobrevive y, la zona encerrada dentro de alguno de los diagramas de Venn de colores azul, amarillo o verde en el grfico:n pxy n px .n qy n qx .n py n px .n py n px (1n py ) n py (1n px ) n px .n py n px n px .n py n py n px .n py n px .n py n px n py n px .n pyn pxy

Probabilidad de disolucin y no extincin: Transcurridos n aos alguno de los dos individuos ha fallecido, pero no los dos: por lo tanto, uno de ellos ( y slo uno) ha sobrevivido.( Ha sobrevivido exactamente 1 cabeza). Es la situacin pintada o bien de azul o bien de amarillo, pero no de verde.

p[1]

p . q

q . p

n xy

n x n yn x n y

n px (1n py ) n py (1n px ) n px n py 2.n px .n py p[1] p pnnn xyxyxy

Acaba correspondiendo con la diferencia entre la probabilidad de No-Extincin y la de Supervivencia-Conjunta.Probabilidad de extincin: Transcurridos n aos los dos individuos han fallecido. Ningunos de los dos ha sobrevivido. Se corresponde con la zona exterior a los diagramas de Venn ( sin color) y es, obviamente, el suceso complementario de la no extincin.n qxy n qx .n qx (1n px )(1n py ) 1n px n py n px .n py 1( n px n py n pxy ) n qxy1n pxy

Probabilidad de disolucin: Transcurridos n aos alguno de los dos individuos ha fallecido. Es el complementario de la supervivencia conjunta y en el grfico se corresponde con todo lo que no sea la interseccin ( todo lo que no es verde)n qxy n qx .n py n qy .n px n qx .n qy (1n px ) n py (1n py ) n px (1n px )(1n py ) n py n px .n py n px n px .n py 1n py n px n px .n py 1n px .n py n qxy 1n pxy

Estos mismas cinco situaciones pueden plantarse de forma diferida en el tiempo y nos encontraramos con las correspondientes probabilidades diferidas.

Probabilidades para ms de dos cabezas : ActuarianosLa situacin para tres o ms cabezas la situacin ser similar aunque mucho ms compleja al aumentar las combinaciones de forma acelerada.Visualizar la situacin para el caso de tres cabezas puede hacerse segn el siguiente grfico:

1.Probabilidad de supervivencia conjunta

n pxyz n px .n py .n py

2.probabilidad de que sobreviva exactamente una cabezap1p . q . q p . q . q p . q . q n xyzn x n y n zn y n x n zn z n x n yn px .(1n py ).(1n pz ) n py .(1n px ).(1n pz ) n pz .(1n px ).(1n py ) n px n py n pz 2 n px .n py 2 n px .n pz 2 n py .n pz 3 n px .n py .n pz p1p p p 2 p 2 p 2 p 3 pn xyzn xn yn zn xyn xzn yzn xyz

3.probabilidad de que sobrevivan exactamente dos cabezasp2p . p . q p . p . q p . p . q n xyzn x n y n zn y n z n xn z n x n yn px .n py .(1n pz ) n py .n pz .(1n px ) n pz .n px (1n py ) p2p p p 3 p . p . pn xyzn xyn yzn zxn x n y n z

4.probabilidad de que ninguna sobrevivan aos (extincin)n qxyz n qx .n qy .n qz 1n px n py n pz n pxy n pxz n pyz n pxyz

cumplindose que:pp[1] p[2] q1n xyzn xyzn xyzn xyz

5.probabilidad de que al menos uno sobrevivap1 1qn xyzn xyz

6.Probabilidad de que sobrevivan al menos 2p2 p . q p . q p . q pn xyzn xy n zn xz n yn yz n xn xyzn pxy n pxz n pyz 2.n pxyz

7.Probabilidad de que al menos fallezca 1 (disolucin)n qxyz 1n pxyz

8.Probabilidad de que sobreviva como mximo una cabezap1 p0p1qp11 p2n xyzn xyzn xyzn xyzn xyzn xyz

9.Probabilidad de que sobreviva como mximo dos cabezasp2 p0p1p21 pn xyzn xyzn xyzn xyzn xyz

Tambin podramos considerara otros casos donde se tuviera en cuenta el orden de fallecimiento.

m vidas : ActuarianosComo en situaciones anteriores podemos considerar , para el caso general de m vidas las probabilidades de los sucesos fundamentales ( o probabilidades fundamentales):

mn px1x2 ...xm n pxii1mn qx1x2 ...xm 1 n pxii1Supervivencia conjunta:Disolucin:m n qxii1Extincin:n qx x ...x1 2 mm1 n qxii1No extincin:pn x x ...x1 2 m

Pero ms all de las probabilidades fundamentales el nmero de sucesos que podemos considerar va creciendo exponencialmente con m ( 2m). En el caso en el que la edad de todos los miembros del grupo sea la misma la probabilidades individuales sern iguales para todos ellos (npx y nqx ) y las probabilidades pueden computarse haciendo uso de la combinatoria pero cuando no es as se precisa recurrir al clculo de los operadores actuariales Z , o actuarianos que pueden aplicarse aunque las edades sean distintas (siempre que se cumpla la homogeneidad) :

Cuando las edades de las m cabezas sean diferentes x1,x2,,xm. Utilizaremos losr

actuarianos Z

definidos como:

Z 0 1mZ n px1 n px2 .... n pxm n pxi la suma de todas las probabilidades individuales de supervivencia1

1imZ n px1x2 n px1x3 ... n pxm1xm n pxi x j la suma de las probabilidades de supervivencia de todas las parejas2

ijmZ n px x xk la suma de las probabilidades de supervivencia de todas los trios3i j jki.....Zm pla probabilidad de supervivencia conjuntan x1x2... xmZm1 Zm2 Zmh 0 h 0

Puede comprobarse que :

La probabilidad de que sobrevivan exactamente r cabezas, en funcin de los actuarianos, es :rZp[r ] nx1x2 ...xm(1Z )r 1

La probabilidad de quesobrevivan al menos r cabezas, en funcin de los actuarianos, es:rZrx1x2 ...xmpn(1Z )r

Debido a la naturaleza particular de los actuarianos , que no son exactamente funciones polinmicas para calcular estas dos expresiones debe hacerse por uno de los dos procedimientos siguientes:

Procedimiento 1 (Ayuso, et al.(2006) : Estadistica actuarial vida, Pub. Uiversidad de Barcelona):

Considerar que el desarrollo en serie de la funcin (1+x)-k es:

f ( j ) (0).x j f (x)

j 0

j!

(1x)k 1k.x k (k 1) x2 k (k 1)(k 2) x3 k (k 1)(k 2)(k 3) x4 .... 2!3!4!

Y a partir de esta expresin considerar que grado superior a m el actuariano se anula.

Procedimiento 2 ( Pava, (2010): 101 Ejercicios de Estadstica Actuarial Vida,Ed. Garceta).Dividiendo polinmicamente, disponiendo el denominador en orden de grado creciente, el hecho de que para grados superiores a m el actuariano se anula nos garantiza encontrar el cociente.Los dos procedimientos son equivalentes. Veamos su aplicacin en un ejemplo: Ejemplo:Supongamos un grupo formado por 5 cabezas de edades 60,65,62,58,55. Y queremos calcular la probabilidad de que a los 10 aos sobrevivan exactamente dos personas .Para ello disponemos de los actuarianos para esas edades y diferidos 10 aos que son: Z=2.23 ; Z2=4.95; Z3=2.82; Z4=0.95; Z5=0.2.

Tendramos: que aplicando la expresinr2

[r ] p

n x1x2 ...xm

Z(1Z )r 1

[2]10 60:65:62:58:55p

Z(1Z )3

Por el primer procedimiento:

Z 2Z 2 (1Z )3 Z 2 (13Z 3.4 Z 2 3.4.5 Z 3 ...) *

(1Z )32!3!Z 2 3Z 3 6Z 4 10Z 5 4, 95 32,82 60, 95 100, 2 0.19*no es necesario seguir ms all porque se anular a partir del grado 6

Por el segundo procedimiento:1Z 3 13Z 3Z 2 Z 3

Z 2Z 2

3Z 33Z 3

3Z 49Z 46Z 46Z 4

Z 59Z 58Z 518Z 510Z 5

13Z 3Z 2 Z 3

Z 2 3Z 3 6Z 4 10Z 5

Obtenindose el mismo resultado.

A partir, de los actuarianos, entonces, es fcil obtener las principales probabilidades y an muchas otras ms:

Supervivencia conjunta:

p1 2... mn x x x

Zm

Extincin:

No extincin:

n q1 2... mx x x

p

1 1 ZZ

n x1x2...xm

1Z

Supervivencia de al menos r personas:prZr

n x1x2... xm

1Z r

Supervivencia de exactamente r personas:

prZ

n x1x2... xmr

1Z r 1

Disolucin:

q1 2... mn x x x

1Zm

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