matematica

Matematica .:. Estandares para la formacion en Matematica de Profesores de Ensenanza Media

ESTANDARES PARA LA FORMACIONEN MATEMATICA DE PROFESORESDE ENSE NANZA MEDIA

Introduccion

El conjunto de estandares que se presentan en este documento apuntan a los fundamentos disciplinarios que laformacion de un Profesor de Ensenanza Media de Matematica debera tener. El desarrollo de estos estandaresse enmarca en una tendencia mundial que se basa en la necesidad de medir la efectividad de las polticas edu-cacionales a todo nivel. En el caso de la formacion de profesores, la idea basica es determinar cuales son loscontenidos disciplinarios fundamentales que todo profesor debe saber y ser capaz de aplicar.

Estos topicos fundamentales podran ser presentadas en un listado de contenidos, como tradicionalmente sehace. As se podra decir que una institucion cumple con los requerimientos cuando pasan la materia que seindica en el listado de contenidos. La definicion de estandares, como se hace en este documento, busca cambiarla perspectiva. Ya no importa si se han impartido los contenidos indicados en los programas, si no lo que losestudiantes saben y son capaces de hacer. Este cambio de punto de vista requiere especificar con mayor detallelo que se espera de los estudiantes durante y al termino de su proceso de formacion.

Las habilidades y conocimientos que un estudiante de Pedagoga en Matematica debe tener se ordenan por ejestematicos y se desarrollan en 4 niveles. Para cada eje y cada nivel se especifica que es lo que se espera de losalumnos con una frase del tipo el alumno es capaz de... a lo cual generalmente le siguen uno o mas problemastipo que aclaran y acotan el contenido de la frase.

Ciertamente la formacion de un profesor requiere de elementos que van mas alla de lo disciplinario y que seenmarcan en la metodologa del aprendizaje, la didactica y las ciencias pedagogicas en general. Estos aspectos,si bien son de la mayor importancia, de ningun modo deben opacar lo disciplinario.

23

En esta lnea quisieramos llamar la atencion sobre un aspecto que nos parece negativo, y que hemos observado enla practica de la formacion de profesores. Se trata de la tendencia a pensar que aquellos contenidos que el profesorno ensenara en la sala de clases de Ensenanza Media son una especie de relleno, que no tiene gran importanciafrente a las materias escolares propiamente tales. Pensamos que este es un profundo error. Un profesor debesaber Matematica, debe conocer su disciplina con tal soltura que le permita sentirse seguro en lo que finalmenteva a ensenar.

En la preparacion de estos estandares hemos tenido en cuenta los siguientes elementos, los que nos han permitidoseleccionar material y determinar la profundidad requerida para cada topico seleccionado:

.:. La formacion de un profesor debe darle soltura en el manejo de todas las materias que debera ensenar enla sala de clases. Debe otorgar una preparacion solida que le permita al profesor, en el futuro, enfrentar loscambios curriculares que con certeza se presentaran.

.:. Esta formacion debe dar la perspectiva que le permita al profesor ubicarse en el contexto de la Matematica,adquiriendo una vision global de la disciplina.

.:. El Profesor de Matematica debe tener un manejo del pensamiento matematico y de los fundamentos de laMatematica que le permitan entender como esta se construye.

.:. El Profesor debe tener una buena nocion de los aspectos abstractos de la Matematica, los que muchas vecesestan desarrollados como una necesidad de responder a preguntas fundamentales, sin tener necesariamenteuna aplicacion practica inmediata.

.:. El Profesor de Matematica debe tener muy claro el rol de la Matematica en la resolucion de problemasde la vida diaria. Debe conocer la enorme utilidad practica de la Matematica y entender que este aspectoestimula continuamente su desarrollo.

.:. En relacion a los dos puntos anteriores, el Profesor de Matematica debe conocer aspectos historicos deldesarrollo de la Matematica, especialmente para comprender que problemas motivaron los desarrollosmatematicos y el contexto en el cual se dieron.

.:. El Profesor de Matematica tiene una clara nocion de la importancia de la idea de algoritmo, la cual se haceimprescindible con el advenimiento de los computadores.

.:. El Profesor de Matematica sabe que la disciplina esta en constante creacion y conoce desarrollos ma-tematicos recientes, como la teora del caos y la geometra fractal.

24

Matematica .:. Estandares para la formacion en Matematica de Profesores de Ensenanza Media

Ejes para los Estandares de Matematicas

Los estandares que se presentan en este documento se han organizado en 7 ejes tematicos.

Los ejes cubren todos los temas que se proponen como fundamentales y los niveles permiten organizar el materialdesde el punto de vista logico y en general en un nivel creciente de complejidad. Si bien la estructura de losestandares podra sugerir una secuencia de cursos, pensamos que hay posibilidades de interpretacion que puedendar origen a mallas curriculares muy distintas, con enfasis diferentes y naturalmente con metodologas diversas.Los ejes tematicos son:

Eje 1: Fundamentos y Algoritmos.

Eje 2: Estructuras Algebraicas.

Eje 3: Algebra Lineal.

Eje 4: Analisis.

Eje 5: Geometra.

Eje 6: Probabilidades.

Eje 7: Estadstica.

Los Estandares de Matematicas en relacion con el Currculo y losEstandares para Ensenanza Media

Los estandares para la formacion de profesores de Matematica estan en concordancia con los programas deEnsenanza Media vigentes, en el sentido que un profesor formado de acuerdo a estos posee todos los conoci-mientos disciplinarios necesarios para su adecuado desempeno profesional. As es como, teniendo en cuenta loscambios curriculares recientes, se ha incluido materias como programacion lineal, estadstica y probabilidadescon bastante profundidad.

Aun teniendo en vista lo anterior, pensamos que una implementacion curricular de estos estandares para la forma-cion de profesores de Matematica, debe incluir un estudio y analisis completo de todo el programa de EnsenanzaMedia. A traves de este estudio, el estudiante debe conectar muy fuertemente los amplios conocimientos queposee con los contenidos de la Ensenanza Media y la forma de ensenarlos.

25

Para la lectura de este documento de Estandares

Para la adecuada lectura y comprension de los estandares presentados en este documento es necesario tener encuenta algunos puntos que se precisan.

Los autores estan conscientes que muchos temas tratados en estos estandares pueden estar ausentes de algunosprogramas, o estando presentes, pueden ser tratados con una menor profundidad. Tambien entienden que laactual planificacion curricular de algunos programas no permite, por cuestiones de tiempo, que sus alumnoslogren los estandares aqu establecidos. Es necesario tener presente entonces, que el logro de los estandares noesta dirigido a los actuales estudiantes de pedagoga en Matematica, si no a los futuros. Esta propuesta se concibecomo un primer paso para que gradual y sostenidamente se mejore la formacion de profesores. Se entiende quela adopcion de estos estandares puede requerir cambios curriculares que lleven a la definicion de nuevos cursosy a la readecuacion de los tiempos de dedicacion a los distintos aspectos de la formacion.

En una primera lectura se puede llegar a pensar que estos estandares no destacan adecuadamente los temas ylas habilidades correspondientes y que no ponen enfasis en los aspectos mas importantes. Una segunda lecturarequiere que el lector comprenda que la profundidad y extension que un determinado tema tiene, esta expresadaen los enunciados y con mayor precision en los indicadores de logros y ejemplos. De esta manera un tema quetiene solamente un indicador es ciertamente menos importante que un tema al cual se han asociado dos o tresindicadores.

Tambien es posible que frente a un determinado tema, el lector se deja llevar por su propia percepcion de estey no repare en la verdadera dimension que se propone a traves de los indicadores y ejemplos. A modo de ejem-plo consideremos la llamada Teora de Grafos, que es una hermosa teora matematica que combina aspectosabstractos con multiples aplicaciones. Una lectura cuidadosa de estos estandares debera llevar a notar que nose propone que el estudiante de pedagoga en Matematica sea un conocedor de la Teora de Grafos en granprofundidad, si no que este conozca solamente los aspectos mas elementales de ella: se quiere que el estudianteconozca lo que explcitamente se indica y no mas que eso, que corresponde a los problemas emblematicos y aciertos algoritmos basicos, entre los cuales el unico que no es elemental es el algoritmo para Flujo en Redes.

26

Matematica .:. Fundamentos y algoritmos

FUNDAMENTOS Y ALGORITMOS

Descripcion General

Toda la estructura de la Matematica esta basada y construida sobre los pilares de la Logica y la Teora deConjuntos. Es mediante estos elementos que es posible describir afirmaciones en forma precisa y determinar laveracidad de estas sin ambiguedad.

Un Profesor de Matematica tiene soltura para manejar proposiciones logicas y operaciones entre conjuntos.Integra estos aspectos abstractos en la demostracion concreta de propiedades, proposiciones y teoremas de dis-tintos ambitos de la Matematica. Conoce los distintas esquemas logicos de demostracion, como por ejemplo,demostracion por contradiccion y es capaz de dar contraejemplos.

Pero un nivel superior en la comprension de la Matematica requiere de un analisis del metodo matematico en s.El profesor conoce el metodo axiomatico, sus alcances y limitaciones. Conoce la construccion axiomatica de losnumeros reales, de la geometra y de la Teora de Conjuntos. Las paradojas clasicas de la Teora de Conjuntos leson familiares y conoce la manera de evitarlas.

El profesor conoce estructuras matematicas discretas como son los grafos y arboles. Estas estructuras simplesproveen de un rico marco para el desarrollo de la capacidad de inventar demostraciones. Por otra parte estas se re-lacionan con numerosas aplicaciones a distintos ambitos, contestando as de manera muy simple, pero completa,a la pregunta para que sirve la Matematica? Muchos de los modelos que aqu aparecen pueden ser traspasadosde manera directa al aula. Tambien son muy apropiados para el desarrollo de trabajos de investigacion.

Finalmente es necesario que el profesor conozca muy bien el concepto de algoritmo y su rol en la Matematicamoderna. En particular, debe ser capaz de inventar algoritmos para resolver problemas y analizar su complejidaden situaciones simples.

29

-.

!"

#$

%" &'

-.

(") "

*+*'

)&

"+*,-."'!

/0

/

0

-. !

$$$"! ! $ %"

1&(11&& $+234

' $$'

-. #

%)1"%"5%)1"*' " +*'$1"6)1

78

$ 5

$&+*'$9 * & ' #:1")1;

1" %"

//

Matematica .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 1

Nivel 1

Enunciado. El estudiante opera con conectivos logicos y establece el valor de verdad de una proposicion. Elalumno comprende la relacion entre las proposiciones logicas y circuitos electricos simples. El estudiante sefamiliariza con los cuantificadores, sus negaciones y adquiere habilidad para demostrar teoremas simples, usandolas tecnicas basicas de demostracion.

En este nivel el alumno tambien conoce la definicion de relacion, de funcion y demuestra propiedades de ellas.Describe relaciones entre conjuntos finitos a traves de matrices de incidencia. Identifica funciones inyectivas,epiyectivas y biyectivas.

El estudiante conoce el principio de Induccion Matematica y aprecia su rol en la demostracion de propiedadesque involucran numeros naturales. Comprende la definicion de sucesiones por recurrencia.

Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estandares de este nivel cuando el estudiante:

1. Determina el valor de verdad de una proposicion y es capaz de manipular algebraicamente expre-siones que involucran los conectivos logicos, simplificando y obteniendo tautologas.

Problema 1. [36] Suponiendo que p y r son falsas y q y s son verdaderas determine el valor de verdad de

s (p r) ((p (r q)) s).

Problema 2. [36] Determine si P Q cuando P (p q) (q r) y Q p r.

2. Disena y analiza circuitos logicos simples.

Problema 1. Un comite formado por cuatro miembros requiere de mayora para aprobar una mocion,siempre que tenga el voto del presidente (poder de veto). Disene un circuito para indicar cuando unamocion es aprobada.

35

Problema 2. Demuestre que los circuitos de la figura son equivalentes.

3. Comprende el significado de los cuantificadores logicos determinando el valor de verdad de propo-siciones que los contengan. Realiza operaciones de negacion con ellos.

Problema 1. a) Determine el valor de verdad de la siguiente expresion, donde las variables son numerosreales: y x tal que x2 + y2 9.

b) Obtenga la negacion de la proposicion en a).

Problema 2. (*)1 La definicion de lmite de una funcion real de variable real en un punto es:f tiene lmite l en a si > 0 > 0 tal que x R, si 0 0 por una condicion mas debil: (0, 1)?

Por que?

c) Para la funcion f : R R definida por f(x) = x2, el siguiente argumento demuestra que el lmitede f en 0 es 0: Dado 0 < < 1 se considera = y se tiene que |x| < = x2 < 2 < .Si se toma ahora x R con |x| = se tiene |f(x)| ? Existe alguna eleccion de enfuncion de tal que si |x| |f(x)| ?

d) Para una funcion f cualquiera, si l es el lmite de f en a Es posible elegir un en funcion de talque |x a| |f(x) l| ?

4. Demuestra teoremas simples usando un argumento por contradiccion.

Problema 1. Considere la siguiente proposicion: Para todo par de numeros reales x e y se tiene quex+ y 2 implica que x 1 o y 1, que se puede escribir como: x, y R P .

a) Escriba la proposicion P usando conectivos logicos.b) Escriba la recproca y la contrarrecproca de P .

1En los siguientes tres indicadores, los problemas que se marcan con (*) son ejemplos del indicador correspondiente, pero el contenidoesta presente en otro Eje o Nivel. Los hemos dejado en este lugar para enfatizar la necesidad que el alumno domine el aspecto logico deestos.

36


c) Muestre que la recproca de P es falsa.d) Muestre que la contrarrecproca de P es verdadera.e) Que puede concluir acerca del valor de verdad de P ?

Problema 2. [33] Demuestre por contradiccion la siguiente proposicion: Los 123 residentes de un edificiotienen edades que suman 3813 anos. Entonces existen 100 de ellos, cuyas edades suman al menos 3100.

Problema 3. (*) Demuestre, por contradiccion, que la cantidad de numeros primos es infinita (Euclides).Problema 4. (*) Demuestre, por contradiccion, que 2 no puede ser un numero racional.

5. Utiliza contraejemplos para probar la falsedad de una afirmacion.Problema 1. Demuestre que la siguiente afirmacion no es cierta: Si dos esferas se intersectan en mas deun punto, la interseccion es una circunferencia.

Problema 2. (*) Demuestre que la siguiente afirmacion es falsa: Para toda sucesion {Xn} que converge acero en R, la sucesion de sumas parciales Sn = X1 +X2 + ...+Xn es convergente.

6. Demuestra equivalencias logicas.

Problema 1. (*) Demuestre que una funcion lineal f es inyectiva si y solo si Ker(f) = {0}.Problema 2. (*) Fijados los puntos F1 = (c, 0) y F2 = (c, 0) con c > 0 y constantes A > 2c, a = A2 sedefinen los conjuntos:

E1 = {(x, y) R2/ d((x, y), F1) + d((x, y), F2) = A},

E2 ={(x, y) R2/ x

2

a2+

y2

a2 c2 = 1},

E3 = {(x, y) R2/(x+ c)2 + y2 +

(x c)2 + y2 = 2a}.

37

Demuestre que E1 = E2 = E3. En la definicion de E1 d(P,Q) representa la distancia entre los puntos Py Q.

Problema 3. (*) Dados vectores p, q R3, compruebe la equivalencia de los siguientes enunciados:

a) p y q son linealmente independientes.

b) p p p qq p q q

6= 0.c) La matriz

(p

q

), cuyas filas son p y q, tiene rango mayor o igual a dos.

Problema 4. (*) Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sea L V no vaco. Demuestre que lassiguientes condiciones son equivalentes:

a) L es subespacio vectorial de V (espacio vectorial con las leyes de composicion internas y externasde V).

b) Para todo u, v L,, K u+ v L.c) Para todo u, v L u+ v L y para todo u L, K u L.

7. Determina el valor de verdad de proposiciones que involucran conjuntos y demuestra propiedades.

Problema 1. [36] En cada una de las siguientes afirmaciones demuestre si es verdadera u obtenga uncontraejemplo si es falsa:

a) (X \ Y ) (Y \X) = para todo conjunto X e Y .b) X (Y Z) = (X Y ) (X Z) para todo conjunto X , Y y Z.

Problema 2. [36] Demuestre que si X1, ..., Xn y X son conjuntos entonces

X ni=1

Xi =ni=1

(X Xi).

8. Conoce ejemplos de relaciones de orden y de equivalencia. En casos concretos determina si unarelacion es de orden o de equivalencia.

Problema 1. [12] Determine si las siguientes relaciones son de equivalencia o de orden. Demuestre susafirmaciones:

a) A B si y solo si A B.b) A B si y solo si existe una biyeccion entre A y B.

38


9. Encuentra las clases de una relacion de equivalencia.

Problema 1. [36] Sean R1 y R2 relaciones de equivalencia en X .

a) Muestre que R1 R2 es una relacion de equivalencia en X .b) Describa las clases de equivalencia de R1 R2 en terminos de las clases de equivalencia de R1 y de

R2.

Problema 2. [36] Sea f : X Y una funcion epiyectiva y S = {f1({y}) / y Y }. Muestre que S esuna particion de X . Defina una relacion de equivalencia que tenga a S como su conjunto cuociente.

10. Representa relaciones entre conjuntos finitos usando matrices.

Problema 1. Considere una relacion en el conjunto {w, x, y, z} cuya matriz asociada es

w x y z

w 1 0 1 0x 0 0 0 0y 1 0 1 0z 0 0 0 1

Determine si esta relacion es simetrica, refleja y/o transitiva.Problema 2. Dada la matriz asociada a una relacion de equivalencia Como puede determinar facilmentela clase de equivalencia de un elemento x?

11. Demuestra propiedades de conjuntos y funciones.

Problema 1. Sea f : X Y . Demuestre que f es inyectiva si y solo si f(A B) = f(A) f(B) paratodo A,B X .

Problema 2. Sea f : X Y una funcion.

a) Si f no es sobreyectiva, se puede modificar el conjunto de llegada Y para definir una nueva funcionque s es sobreyectiva. Indique como hacerlo.

b) Si f no es inyectiva, se puede modificar el conjunto de partida para definir una nueva funcion ques es inyectiva. Indique como hacerlo.

12. Estudia funciones en situaciones especficas.

Problema 1. Considere la relacion en [1, 1] [1, 1] dada por C = {(x, y) R2 / x2 + y2 = 1}. Esposible encontrar F C de modo que

a) F sea una funcion par?

39

b) F sea una funcion inyectiva en [1, 1] [1, 1]?c) F sea una funcion sobreyectiva en [1, 1] [1, 1]?

13. Aplica el Principio de Induccion Matematica para demostrar propiedades que involucran numerosnaturales.

Problema 1. [57] Un grupo de personas hacen cola a la entrada de un cine. La primera persona en la colaes una mujer y la ultima es un hombre. Demuestre que en algun lugar de la cola hay un hombre junto auna mujer.Problema 2. Demuestre que para todo n N, (1 +2)n + (12)n es un numero natural.Problema 3. [36] Teniendo en cuenta la serie telescopica intuya una formula para

4(

12 3

)+ 8

(2

3 4)+ + 2n+1

(n

(n+ 1) (n+ 2))

y demuestrela.

Problema 4. [33] Considere un tablero de ajedrez con 2n 2n cuadrados en el cual se ha sacado uncuadrado. Demuestre que este tablero puede ser cubierto de manera exacta por triminoes de la forma

14. Aplica el Principio de Induccion Fuerte.

Problema 1. Los numeros de Fibonacci satisfacen la relacion de recurrencia

Fn+1 = Fn1 + Fn, con F1 = F0 = 1.

a) Demuestre que para todo n N se tieneni=0

Fi = Fn+2 1.

b) Demuestre que para todo n N se tienenj=0

(n jj

)= Fn.

40


15. Aplica el Teorema del Binomio de Newton.

Problema 1. Evalue la siguiente expresion

nk=0

(1)k(n

k

).

Problema 2. Demuestre que

n(1 + x)n1 =n

k=1

(n

k

)kxk1.

16. Realiza una investigacion historica sobre el origen de la Teora de Conjuntos.

Problema 1. La Teora de Conjuntos provee a la Matematica de un lenguaje que hoy nos parece muynatural. Esta teora es reciente, si consideramos toda la historia de la Matematica. Averigue cuando apareceesta teora por primera vez, quien fue su inventor y que problemas estaba estudiando cuando la creo.

41


Nivel 2

Enunciado. El alumno es capaz de resolver ecuaciones en diferencias sencillas. Usa ecuaciones en diferenciaspara modelar ciertas situaciones de la vida real, como la dinamica de una poblacion. Analiza el comportamientode largo plazo de un sistema dinamico discreto unidimensional y conoce el sistema logstico y su relacion con laTeora del Caos.

El estudiante entiende el concepto de algoritmo y lo aplica para resolver problemas sencillos. Analiza un algo-ritmo en terminos del numero de operaciones que este requiere.

El alumno conoce la estructura de grafos y se familiariza con dos problemas paradigmaticos de la Teora deGrafos como el de los puentes de Konigsberg y el coloreado de mapas. El alumno modela problemas de larealidad usando grafos y arboles. Conoce y aplica algoritmos para resolver dichos problemas.


1. Es capaz de plantear modelos con ecuaciones en diferencias y de resolverlos en situaciones simples.

Problema 1. Resuelva la ecuacion

un = 2un1 + un2, con u1 = 1 y u2 = 2.

Problema 2. Una persona ahorra mensualmente $50.000 y los deposita en un banco a una tasa de interesdel 1, 2% compuesto mensualmente. Si An representa la cantidad al final de n meses, encuentre unarelacion de recurrencia y condicion inicial para determinar la sucesion {An}.Cuanto tiempo debera ahorrar para comprar un auto que vale $2.250.000?

Problema 3. La poblacion de una especie de ciervo que vive en Estados Unidos se comporta de modo queel crecimiento desde el ano n 1 al ano n es dos veces el crecimiento desde el ano n 2 al ano n 1.Escriba una relacion de recurrencia que describa el comportamiento de la poblacion de ciervos. Si en elano 1990 la poblacion era de 200 ciervos y en 1991 la poblacion era de 220 ciervos, cual sera la poblacionel ano 2011?

43

2. Analiza el comportamiento de largo plazo de un sistema discreto unidimensional.

Problema 1. Considere los siguientes tres modelos que describen el comportamiento de una poblacion:

Modelo de Malthus: xk+1 = xk + d xk.

Modelo de Velhurst: xk+1 = xk + d xk(1 xk).Modelo logstico de May: xk+1 = c xk(1 xk).Discuta el significado de los diferentes terminos de los modelos. En particular interprete los parametros cy d.

Problema 2. En el caso del modelo logstico y para los valores de c = 1, 5; c = 2, 5 y c = 3, 5 encuentrelos puntos de equilibrio del sistema y analice su estabilidad. Haga el grafico de iteraciones en cada caso.

Problema 3. Para el modelo logstico considere c > 1. Encuentre los puntos de perodo dos y determinesu estabilidad (analice en terminos de los distintos valores del parametro c).

3. Conoce los elementos de un sistema caotico en relacion al sistema logstico.

Problema 1. Explique, en el contexto del modelo logstico, el significado de:

a) Sensibilidad en los datos iniciales.b) Densidad de orbitas periodicas.

4. Disena algoritmos para resolver problemas.

Problema 1. a) Disene un algoritmo para determinar si un numero natural dado es primo.b) Disene un algoritmo para determinar un primo mayor que un natural dado.

Problema 2. Disene un algoritmo que tome como entrada una lista de n palabras y entregue como resul-tado:

a) La lista en orden inverso.b) La lista ordenada alfabeticamente.

Problema 3. Disene un algoritmo para multiplicar dos enteros.

Problema 4. Disene un algoritmo que a partir de la matriz de incidencia de un grafo determine si el grafoes conexo.

5. Disena y analiza algoritmos recursivos.

Problema 1. Describa el problema de las torres de Hanoi y un algoritmo recursivo para resolverlo. Deter-mine el numero de operaciones necesarias.

44


Problema 2. Construya un algoritmo recursivo para evaluar un polinomio de grado n

p(t) =ni=0

citi,

en t = t0. Sea bn el numero de multiplicaciones requerido para calcular p(t0). Encuentre una relacion derecurrencia para determinar bn y resuelvala.

Construya un segundo algoritmo que evalue directamente el polinomio p en t0 multiplicando t0 i vecespara calcular ti0. Determine el numero de multiplicaciones para calcular p(t0). Cual algoritmo es masconveniente?

Problema 3. Construya un algoritmo recursivo para encontrar un cierto valor en una lista ordenada. Losdatos del problema son: una lista s1, s2, . . . , sn ordenada y un valor clave. La salida del algoritmo es:

el subndice de clave, si clave esta en la lista,

N si clave no esta en la lista.

Determine el numero de veces que su algoritmo es requerido para resolver el problema en el peor de loscasos.

6. Conoce problemas paradigmaticos de la Teora de Grafos.

Problema 1. a) Describa el problema de los Puentes de Konigsberg.b) Indique cual es la solucion dada por Euler al problema de los Puentes de Konigsberg.c) Verifique si el grafo de la figura tiene un ciclo Euleriano.

Problema 2. a) Explique la relacion entre el Problema de los Cuatro Colores y la Teora de Grafos.b) Cada semestre la Facultad dedica dos semanas a los examenes de los alumnos. Estos examenes tienen

una duracion de dos horas y su programacion debe ser tal que un alumno no tenga dos examenes a lamisma hora. Modele este problema como uno de colorear un grafo. Es deseable que el numero decolores sea mnimo?

45

7. Encuentra ciclos Hamiltoniano y conoce el Problema del Vendedor Viajero.

Problema 1. a) Encuentre un ciclo Hamiltoniano en el grafo de la figura

b) Demuestre que el grafo cuya matriz de incidencia es

0 1 0 0 1 0 0 1 01 0 1 1 1 1 1 1 10 1 0 0 1 1 0 1 10 1 0 0 1 0 0 1 01 1 1 1 0 1 1 1 10 1 1 0 1 0 0 1 10 1 0 0 1 0 0 1 01 1 1 1 1 1 1 0 10 1 1 0 1 1 0 1 0

no tiene ciclo Hamiltoniano.

c) Describa el Problema del Vendedor Viajero.

8. Conoce y aplica la formula de Euler para grafos planares.

Problema 1. a) Los grafos K3,3 y K5 no son planares. Use la formula de Euler para demostrarlo.b) Cual es la importancia de estos dos grafos en el estudio de grafos planares?c) De una interpretacion tomada de la vida real para K3,3 y K5.

9. Conoce el problema del arbol de peso maximo en un grafo. Conoce y aplica el algoritmo de Kruskalpara encontrar un arbol de peso maximo en un grafo. Modela problemas usando arboles de pesomaximo.

Problema 1. Una empresa forestal iniciara la explotacion de 8 plantaciones de pinos. Estas plantacionesestan distribuidas geograficamente de acuerdo a la tabla adjunta de distancias relativas.

46


1 2 3 4 5 61 / 2,6 4,2 1,8 1,4 3,62 2,6 / 1,8 3,6 2,4 5,23 4,2 1,8 / 5,2 3,4 5,04 1,8 3,6 5,2 / 1,4 3,25 1,4 2,4 3,4 1,4 / 1,86 3,6 5,2 5,0 3,2 1,8 /7 4,0 4,6 3,8 3,0 2,1 1,28 3,0 2,2 2,0 1,8 1,6 2,0

Para la explotacion de estos recursos es necesario construir caminos que permitan conectar completamentetodas las plantaciones. El costo de construccion de estos caminos es proporcional a su longitud. Determinela manera mas barata de construir los caminos requeridos.

10. Conoce y aplica el algoritmo de Dijstra para encontrar el camino mas corto entre dos nodos de ungrafo.

Problema 1. [63] El siguiente grafo muestra el camino al exito (desde la cuna (C) al Ministerio de Edu-cacion (M)). En cada arista se indica el numero de anos que toma recorrerlo y el numero de enemigos quese gana.

a) Determine el camino mas rapido al exito.b) Determine el camino mas rapido al exito evitando los nodos c, g y k.c) Determine el camino al exito que minimiza el numero de enemigos que gana.

11. Investiga sobre la relacion entre el conjunto de Cantor y el sistema logstico.

Problema 1. Averigue que relacion tiene el conjunto de Cantor con el comportamiento caotico del sistemalogstico para valores grandes del parametro c.

47

Problema 2. Averigue en que consiste el Shift de Bernoulli. Comprenda como se codifica la dinamica delsistema logstico sobre el conjunto de Cantor (para c grande) para relacionarla con el Shift de Bernoulli.

12. Averigua sobre el estado actual del Problema de los Cuatro Colores.

Problema 1. Investigue el estado actual del Problema de los Cuatro Colores. En particular discuta elsignificado de una demostracion por computador y la polemica que se crea en torno a esta.

13. Realiza una investigacion bibliografica sobre el concepto de complejidad de algoritmos.

Problema 1. El concepto de complejidad de algoritmos aparece en el estudio de los lmites de la compu-tacion. En este trabajo se pide realizar una investigacion para definir y describir los principales conceptosrelacionados con la complejidad. En particular, determinar el significado de problemas polinomiales, NPy NP completos.

48


Nivel 3

Enunciado. Comprende el concepto de cardinalidad de un conjunto y entiende el significado de conjunto enume-rable. El alumno es capaz de determinar la cardinalidad de un conjunto, usando las propiedades basicas. Entiendeel rol historico que el concepto de infinito ha jugado en el desarrollo de la Matematica.

El alumno utiliza los axiomas de cuerpo y de orden para construir los numeros reales. Usa el axioma del supre-mo para demostrar la existencia de numeros irracionales, como

2 y para introducir la nocion de completitud

de los numeros reales de manera rigurosa. El alumno comprende las nociones topologicas elementales de con-junto abierto, cerrado, de puntos de acumulacion. En particular el alumno demuestra el Teorema de Bolzano-Weierstrass. Comprende la nocion de conjunto compacto y reconoce el conjunto de Cantor como uno de ellos.


1. Es capaz de demostrar que un conjunto es enumerable.

Problema 1. Demuestre que el conjunto L = {(x, y) R2 / x, y Z} es enumerable.

Problema 2. Se dice que un numero es algebraico si es solucion de una ecuacion polinomial de la forma

ni=0

aixi = 0,

donde n N y ai Q. Demuestre que el conjunto de todos los numeros algebraicos es enumerable.

2. Determina la cardinalidad de conjuntos de cardinalidad o y c.

Problema 1. Indique que cardinalidad tienen los siguientes conjuntos:

a) [0, 1] [0, 1].b) El conjunto de numeros trascendentales.c) El conjunto de los numeros algebraicos que ademas son irracionales.

49

Problema 2. Sea f : R R. Cual es la cardinalidad del grafico de f , es decir del conjunto de puntos dela forma {(x, f(x)) R2 / x R}?

Problema 3. Cual es la cardinalidad de la esfera en RN? Demuestre su afirmacion.

Problema 4. Indique la cardinalidad del conjunto de las partes de N y del conjunto de las partes finitas deN. Demuestre sus respuestas.

Problema 5. a) Defina, a traves de formulas explcitas, tres funciones f : N N tales que f(1) = 1,f(2) = 2 y f(3) = 3.

b) Cuantas sucesiones {xn} de numeros naturales tales que x1 = 1, x2 = 2 y x3 = 3 existen?

3. Usa los axiomas de Cuerpo y de Orden para deducir propiedades de los numeros reales.

Problema 1. En la formulacion axiomatica de los numeros reales el conjunto R, al igual que la suma y lamultiplicacion, es un termino tecnico no definido.

a) Como se asegura que R es no vaco?b) Como se asegura que los numeros naturales estan contenidos en R?c) Como se asegura que los numeros racionales estan contenidos en R?

Problema 2. Usando solamente los axiomas de cuerpo demuestre que:

a) a R a 0 = 0.b) a, b R a b = (a) (b).c) Si a R satisface a a = a entonces a = 0 o a = 1.

Problema 3. Usando solamente los axiomas de cuerpo y de orden demuestre que:

a) Si a R, a 6= 0 entonces a2 > 0.b) 1 > 0.

4. Demuestra propiedades del supremo e nfimo de un conjunto de numeros reales.

Problema 1. Demuestre que siA yB son subconjuntos acotados de R entoncesAB es tambien acotadoy que sup(A B) = sup{supA, supB}.

5. Usa el Axioma del Supremo para deducir propiedades de los numeros.

Problema 1. Demuestre la Propiedad Arquimediana a partir del axioma del supremo.

Problema 2. Usando el Axioma del Supremo demuestre que existe un numero real x tal que x3 = 2.

Problema 3. Demuestre que los siguientes conjuntos son densos en R:

50


a) Los numeros racionales.b) Los numeros irracionales.c) Los numeros algebraicos.d) Los numeros trascendentales.

6. Demuestra propiedades que involucran conceptos de topologa en R: conjunto abierto, conjuntocerrado, interior de un conjunto, adherencia de un conjunto, frontera de un conjunto.

Problema 1. a) Demuestre que una condicion necesaria y suficiente para que un conjunto sea cerradoes que contenga a todos sus puntos frontera.

b) Use lo anterior para dar una caracterizacion de conjunto abierto en terminos de sus puntos frontera.

Problema 2. Si int(A) denota el interior del conjunto A R. Demuestre que

a) int(int(A)) = int(A).b) int(A B) = int(A) int(B)c) int(A) int(B) int(A B) y mediante un ejemplo demuestre que la inclusion contraria no es

valida.

7. Caracteriza nociones topologicas usando sucesiones.

Problema 1. Sea F un conjunto de numeros reales. Demuestre que las siguientes proposiciones son equi-valentes:

a) F es un subconjunto cerrado de R.b) Si {xn} es cualquier sucesion convergente de numeros reales, cuyos elementos pertenecen a F ,

entonces lmxn F .

Problema 2. Sea A un subconjunto de R. Demuestre que x es un punto frontera de A si y solo si existensucesiones de numeros reales {xn} A e {yn} Ac tales que lmxn = lm yn = x.

8. Conoce y aplica el Teorema de Bolzano-Weierstrass.

Problema 1. Sea {xn} una sucesion acotada de numeros reales. Suponga que existe x R con la siguien-te propiedad: Toda subsucesion de {xn} tiene una subsucesion que converge a x. Demuestre que {xn}converge a x.

Problema 2. Considere una sucesion de intervalos reales In con la propiedad In In1 para todo n. Sedice que estos intervalos estan encajonados.

a) Muestre que existen intervalos cerrados encajonados In tales que n=1In = .

51

b) Muestre que existen intervalos acotados encajonados In tales que n=1In = .c) Usando el Teorema de Bolzano-Weierstrass demuestre que si los intervalos encajonados In son ce-

rrados y acotados entonces n=1In 6= .

9. Realiza una investigacion sobre las discusiones en cuanto al significado del infinito en la Matematicay las contribuciones de Cantor a su comprension.

Problema 1. Investigue sobre el significado y las discusiones sobre la naturaleza del infinito durante laultima parte del siglo XIX y las fuertes crticas que recibio el trabajo de Cantor. Cuales fueron los princi-pales elementos de esta crtica?

10. Investiga sobre la Hipotesis del Continuo.

Problema 1. Realice una investigacion sobre la Hipotesis del Continuo Cual es su importancia en eldesarrollo de la Matematica? Describa el trabajo de Godel y de Cohen en relacion a la hipotesis delcontinuo.

52


Nivel 4

Enunciado. El alumno formaliza el Metodo Axiomatico como metodo para construir la Matematica. Recono-ce el Metodo Axiomatico en geometra. Conoce los elementos basicos de la Teora de Conjuntos siguiendo laaxiomatica de Zermelo, en particular conoce el significado del Axioma de Eleccion y algunas de sus consecuen-cias vistosas como que todo espacio vectorial posee una base. El alumno conoce la paradoja de Russell.

El alumno comprende la construccion del conjunto de los numeros naturales a partir de la Teora de Conjuntos. Ya partir de aqu la construccion de los numeros reales usando las Cortaduras de Dedekind, como una alternativaa la construccion axiomatica basada en el Axioma del Supremo.

El alumno critica el metodo axiomatico y conoce el enfoque del metodo constructivista como una alternativapara la fundamentacion y construccion de la Matematica.


1. Conoce los postulados de Euclides para la geometra. Entiende la importancia del 5 Postulado,tanto desde el punto de vista de la geometra como de la Matematica, y conoce formas equivalentesde formularlo.

Problema 1. a) En su afan por demostrar el 5 postulado de Euclides en terminos de los otros cuatro,numerosos matematicos encontraron formulaciones equivalentes. Indique al menos dos de ellas.

b) Porque era importante saber si el 5 postulado era consecuencia de los otros postulados? Que con-secuencia tuvo finalmente este esfuerzo para la humanidad?

c) Investigue sobre los primeros matematicos que concibieron geometras no-euclideanas.

2. Conoce una Teora Axiomatica para las geometras euclideana plana, hiperbolica y esferica.

Problema 1. [8] Realice una investigacion bibliografica sobre la formulacion axiomatica de la geometraeuclideana plana en el contexto de espacios metricos completos. Haga lo mismo para la geometra hi-perbolica y la esferica. Cuales axiomas son comunes? Cuales axiomas distinguen las tres geometras?

53

3. Comprende los elementos basicos de una teora axiomatica. Entiende la necesidad de una TeoraAxiomatica de Conjuntos.

Problema 1. [8] Desde el punto de vista de la teora axiomatica moderna Cual es la crtica que se le hacea los Postulados de Euclides? Constituyen un ejemplo de sistema axiomatico?

Problema 2. [8] Explique los conceptos de: sistema axiomatico consistente, axioma independiente y sis-tema axiomatico completo. De ejemplos.

4. Comprende la Paradoja de Russell y la forma de evitarla.

Problema 1. a) Muy conocida es la historia del barbero: En Sevilla hay un barbero que afeita a todoslos hombres del pueblo que no se afeitan a s mismos. Quien afeita al barbero?

b) Relacione esta paradoja con la paradoja de Russell: Se dice que el conjuntoX es ordinario siX 6 X .Sea A el conjunto de todos los conjuntos ordinarios. Es A ordinario?

c) Explique como se resuelve esta paradoja.

5. Conoce los axiomas de la Teora de Conjuntos.

Problema 1. [67] En la teora axiomatica de conjuntos:

a) Que axioma garantiza que existe al menos un conjunto?b) Que axioma garantiza que existe un conjunto infinito?c) Que axioma garantiza que existen conjuntos no enumerables?

6. Comprende la construccion de los naturales a partir de los axiomas de la Teora de Conjuntos.Conoce los Axiomas de Peano.

Problema 1. [67] Demuestre las siguientes propiedades de los numeros naturales:

a) Todo numero natural es un conjunto ordinario.b) N no es un numero natural.c) N es un conjunto ordinario.d) Si n y m son numeros naturales entonces n 6 m o m 6 n.

(El Axioma de Infinito dice Existe un conjunto, denotado por N, que tiene a todos los numeros naturalescomo sus elementos).

54


7. Conoce el Lema de Zorn y sabe que es equivalente al axioma de Eleccion. Demuestra teoremas comoconsecuencias del Lema de Zorn.

Problema 1. Sea X subespacio vectorial del espacio vectorial V . Demuestre que existe un subespaciocomplementario de X .

Problema 2. Demuestre que en un anillo conmutativo con unidad, todo ideal esta contenido en un idealmaximal.

8. Comprende las cortaduras de Dedekind y demuestra propiedades de los numeros reales definidosde esta manera.

Problema 1. [67] Sea (L,U) un numero real (es decir una cortadura de Dedekind). Demuestre que:

a) Si L y U , entonces < .b) Si 1 L y 2 < 1, entonces 2 L.c) Si 1 U y 1 < 2, entonces 2 U .d) Si 1 L, entonces existe algun 2 L tal que 1 < 2.

Problema 2. [67] Demuestre la propiedad Arquimediana:Para todo par de numeros reales positivos (L1, U1), (L2, U2) tales que (L1, U1) < (L2, U2) existe unnatural N tal que

N(L1, U1) > (L2, U2).

Aqu N en s mismo es considerado una cortadura de Dedekind, con la inclusion canonica.

Problema 3. Usando cortaduras de Dedekind demuestre que existe un numero real x tal que x3 = 2.

Problema 4. En la construccion de Dedekind que axiomas de la Teora de Conjuntos se requieren paragarantizar la existencia de los numeros reales?

9. Averigua sobre las contribuciones de David Hilbert a la Matematica y sus fundamentos.

Problema 1. a) Averigue sobre las investigaciones de Hilbert en geometra. Que importancia tienenen el desarrollo de los fundamentos de la Matematica?

b) Como se distingue el enfoque de Hilbert con el enfoque constructivista?

Problema 2. Averigue sobre la presentacion de Hilbert en Paris el ano 1900. Existe algo parecido para elano 2000?

55

10. Realiza una investigacion bibliografica sobre las contribuciones de Russell a la comprension de laTeora de Conjuntos y la Logica.

Problema 1. Investigue sobre la vida y contribuciones matematicas de Bertrand Russell.

Problema 2. Investigue sobre la relacion entre el trabajo de Bertrand Russell y el de Kurt Godel.

11. Conoce el Metodo Constructivista.

Problema 1. Investigue sobre el metodo constructivista en la Matematica.

a) Cuales son los fundamentos de este metodo?b) Cuales son las principales crticas que los constructivistas hacen al metodo axiomatico?c) Porque, a la larga, el metodo axiomatico se ha impuesto frente al metodo constructivista?d) Investigue sobre los aportes de Luitzen Brouwer al metodo constructivista.

56

Matematica .:. Fundamentos y algoritmos .:. Bibliografa

Nota bibliografica para el Eje de Fundamentos y Algoritmos

En los temas de matematica finita el libro de Richard Johnsonbaugh [36] es bastante bueno y adecuado para losniveles inferiores. En esta lnea tambien podemos citar el libro de Kolman [38].

Para el Nivel 4 mencionamos el libro de Leonard Blumenthal [8], donde podemos encontrar una vision de laaxiomatica en un lenguaje accesible y de la geometra desde el punto de vista de los axiomas. En cuanto a lateora axiomatica de conjuntos mencionamos el libro de Paul Halmos [28], donde hay una exposicion intuitivade la axiomatica. Esta exposicion no es en modo alguno simple, pero se acerca a lo que se requiere en estosestandares. Un libro con un rigor mucho mayor pero que, con una adecuada seleccion de temas, permite unalectura al nivel de estos estandares, es el libro de Martin Zuckerman [67]. Este libro tiene ademas numerososejercicios, muchos de ellos de dificultad baja.

Sobre aspectos historicos de la Matematica resalta el libro de Howard Eves [21], donde se presenta la Matematicadesde sus orgenes hasta la actualidad. Este libro posee incluso algunos ejercicio matematicos para el lector.

El libro de Richard Courant y Herbert Robbins [13] representa una fuente muy interesante de ideas matematicasy de historia de la Matematica. Es altamente recomendable para un estudiante de pedagoga en Matematica.

Un libro un poco mas avanzado es el de Grattan-Guinness [25], que tiene un desarrollo muy profundo de losfundamentos de la Matematica, partiendo desde el calculo, pasando por la teora de funciones y el problema delinfinito.

Sugerencias para la implementacion curricular

De los siete ejes presentados en este documento, es tal vez este eje el que puede tener implementaciones curri-culares mas variadas. No queremos sugerir los cursos que integraran estas materias, pero el tema de la logicay algoritmos nos merecen un comentario especial. No nos parece conveniente tener estos temas separados delresto de los temas de matematicas aislandolos en cursos, si no mas bien integrados en el material de otros cursos.En particular la logica debera estar presente en todos los temas y niveles.

Finalmente, el Nivel 4 tambien requiere de un comentario. El tema de la construccion de la matematica nosparece de gran importancia para comprender la matematica moderna, pero a la vez es un tema muy complejo yprofundo que, para su cabal comprension, requiere de mucho trabajo y tiempo. La implementacion curricular deeste nivel debe ser cuidadosa con el objeto de no caer en la anecdota ni en un excesivo formalismo y rigor. Enlos indicadores hemos querido reflejar un adecuado balance entre estos dos aspectos.

57

Bibliografa para el eje

[8] Blumenthal, Leonard, A modern view of geometry. W. H Freeman and Company, USA, 1961.

[12] Burton, David, Introduction to Modern Abstract Algebra. Addison-Wesley Publishing Company, 1967.

[14] Courant, Richard y Robbins, Herbert, What is Mathematics? Oxford University Press, 1996.

[21] Eves, H., Introducao a historia da matematica. Editorial Unicamp, 2004. Brasil.

[25] Grattan-Guinness, I., From the Calculus to Set Theory, 1630-1910. Princeton University Press, 2000.

[28] Halmos, Paul, Naive set theory. D. Van Nostrand Company Inc, 1965.

[33] Ivanov, O.A., Easy as pi?: An introduction to higher mathematics. Springer Verlag, New York Inc., 1999.

[36] Johnsonbaugh, Richard, Discrete Mathematicas. Macmillan Publishing Co. Inc. New York, 1993.

[57] Scheinerman, Edward, Matematicas Discretas. Thomson Learning, 2001.

[63] Tucker, A., Applied Combinatorics. John Wiley & Sons, Inc. 1995.

[67] Zuckerman, Martin, Sets and Transfinite Numbers. Macmillan Publishing Co. Inc. New York, 1974.

58

Matematica .:. Estructuras algebraicas

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Descripcion General

El Profesor de Matematica conoce las diferentes estructuras algebraicas, las propiedades fundamentales que lesson comunes y tambien aquellas que las distinguen.

Las estructuras concretas que un profesor conoce son: el anillo de los enteros, los polinomios con coeficientes enQ, R, C y Zp, el cuerpo de los numeros racionales, de los reales, de los numeros complejos, los cuerpos finitos,los grupos de transformaciones geometricas tanto del plano como del espacio y los grupos de permutaciones deun conjunto. Ademas trabaja con las estructuras desde un punto de vista abstracto lo que le permite conocer losalcances y limitaciones del metodo axiomatico, as como conocer y aplicar las tecnicas basicas de demostracion.

El Profesor de Matematica entiende que una de las herramientas fundamentales en el estudio de las estructurasalgebraicas es el concepto del homomorfismo el cual permite establecer relaciones entre las diversas estructuras.

El Profesor de Matematica conoce las extensiones de cuerpos y las herramientas propias de la Teora de Galois,que le son necesarias. Con este conocimiento puede dar respuesta a problemas clasicos como la duplicacion delcubo, la cuadratura del crculo y la triseccion de un angulo.

Finalmente es importante que el Profesor de Matematica comprenda y aplique la accion de grupos sobre con-juntos, en particular para demostrar los Teoremas de Sylow. Relacionando estos con las extensiones finitas decuerpos demuestra el Teorema Fundamental del Algebra.

61

-.

*&$ ) "&

&'&

/

-. !

(!!$

'*3

$+;A(

$' 1( + *)+3

Matematica .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 1

Nivel 1

Enunciado. El estudiante comprende la teora de la divisibilidad en los numeros enteros y en el conjunto de lospolinomios con coeficientes reales. Aplica el concepto de polinomio irreducible como el analogo al de numeroprimo en los enteros.

En este nivel el alumno opera con los numeros enteros modulo n. Demuestra propiedades de la funcion deEuler y propiedades de los numeros primos. Conoce propiedades de los numeros de Fermat Fn = 22

n

+ 1 y delos numeros de Mersene Mp = 2p 1, con p primo.

Resuelve ecuaciones diofanticas lineales. Usa el Teorema Chino de los restos en los enteros para la resolucionde congruencias. Conoce las propiedades algebraicas del cuerpo de los numeros complejos y su forma trigo-nometrica. Aplica la formula de De Moivre para calcular races de numeros complejos.


1. Aplica el concepto de la divisibilidad en Z.

Problema 1. Para los siguientes numeros enteros: 23789045, 7543951 y 87659430 use criterios para de-terminar si ellos son divisibles por 2, 3 y 5.

Problema 2. Determine un criterio relativo a los dgitos de un numero entero para establecer su divisibili-dad por 11.

2. Usa la descomposicion de los enteros en producto de numeros primos.

Problema 1. Determine el maximo comun divisor entre los numeros 224711 y 3266.

Problema 2. Pruebe que3 no es un numero racional.

3. Utiliza el algoritmo de Euclides para la division en los enteros.

Problema 1. Sean a, b numeros naturales. Pruebe que el entero mas pequeno de la forma ax + by dondex e y son numeros naturales, es el maximo comun divisor de a y b.

67

Problema 2. Exprese el maximo comun divisor entre los numeros 224711 y 3266 en la forma 224711x+3266y.

Problema 3. Demuestre que (n, n+ 1) = 1, para todo numero natural n.

Problema 4. Sean a, b, c numeros naturales. Si c es un divisor de ab y (c, a) = 1, pruebe que c es undivisor de b.

4. Utiliza el algoritmo de Euclides para dividir polinomios.

Problema 1. Encuentre el cuociente y el resto obtenidos al dividir los polinomios p(x) = x5 + 3x4 12x

3 + 8x 122 y h(x) = 3x3 5x2 + 34.

Problema 2. Encuentre el valor de m para que el polinomio 2x4 + 9x3 + 2x2 6x+ 3m tenga resto 12al dividirlo por x+ 12.

Problema 3. Determine un maximo comun divisor en Q[x] entre los polinomios p(x) = x2 2x +1, h(x) = x2 + x 2 y f(x) = 2x3 + 3x2 3x 2.

5. Demuestra propiedades de los numeros primos, de los numeros de Fermat Fn = 22n

+ 1 y de losnumeros de Mersene Mp = 2p 1, con p primo.

Problema 1. Demuestre que todo numero primo impar es de la forma 4k 1 o 4k + 1.

Problema 2. Sea p un numero primo. Demuestre que los numeros p, p + 2 y p + 4 no pueden ser todosprimos.

Problema 3. [29] Pruebe que dos numeros de Fermat no tienen un maximo comun divisor mayor que 1.

Problema 4. [29]

a) Si a 2 y si an + 1 es primo, entonces a es impar y n = 2m.b) Si n > 1 y si an 1 es primo, entonces a = 2 y n es primo.

6. Demuestra propiedades de la funcion de Euler y de los numeros perfectos.

Problema 1. [29] Demuestre que para todo n 1, se cumple qued/n (d) = n.Problema 2. [4]

a) Sean n = p11 pkk , descomposicion de n en factores primos distintos. Pruebe que (n) = n(11p1) (1 1pk ).

b) Pruebe que (n) > n6 para todo n numero natural con a lo mas 8 factores primos distintos.

Problema 3. Sea a entero positivo. Pruebe que si 2a 1 es primo entonces 2a1(2a 1) es perfecto. Conesto se prueba que a todo primo de Mersene le corresponde un numero perfecto.

68


Problema 4. Si N = 2np es perfecto, con p primo, entonces pruebe que la suma de los divisores de N es(2n+1 1)(p + 1). Es decir por cada numero perfecto de la forma N = 2np hay un primo de Mersenep = 2n+1 1.

7. Demuestra propiedades de la funcion de Mobius y la relaciona con la funcion de Euler.

Problema 1. [29]

a) Demuestre que es multiplicativa, es decir, (nm) = (n)(m) n,m N.b) Demuestre que para todo n 2, se tiened/n (d) = 0.

Problema 2. Pruebe que para todo n 1, se tiene (n) =d/n (d)nd .Problema 3. Formula de inversion de Mobius. [29] Sean f y g funciones de numeros naturales tales queg(n) =

d/n f(d). Pruebe que f(n) =

d/n (

nd )g(d).

8. Opera con los numeros enteros modulo n.

Problema 1. Si hoy da es Martes 7 de Abril, que da de la semana sera en 100 das mas?

Problema 2. En Z11, pruebe que para todo [x] 6= [0] existe [y] 6= [0] tal que [x][y] = [1].

Problema 3. a) Encuentre todos los divisores de cero en Z12.b) Resuelva la ecuacion x2 5x+ 6 = 0 en Z12.

Problema 4. Pruebe que el numero de elementos de Zn es igual a (n).

9. Demuestra y usa criterios de irreducibilidad de polinomios en Q[x] y en Zp[x], con p primo.

Problema 1. Sea F = Q o Zp. Demuestre que un polinomio de grado 2 o 3 con coeficientes en F esreducible si y solo si tiene una raz en F.

Problema 2. Pruebe que x3 + 3x+ 2 es irreducible en Z5[x].

Problema 3. Sea p(x) = anxn+ +a0 un polinomio con coeficientes enteros tal que an 6= 0.Demuestreque las races racionales de p(x) son de la forma r = mq , donde m es un divisor de a0 y q es un divisor dean.

Problema 4. Encuentre las races racionales, si las hay, de x4 + x3 + 2x 11.

10. Resuelve ecuaciones diofanticas lineales.

Problema 1. a) Tiene solucion la ecuacion diofantica 15x+ 27y = 1?b) Resuelva la ecuacion diofantica 2x+ 3y = 17.

69

Problema 2. [3] Sea (x0, y0) solucion de la ecuacion diofantica ax by = 1. Pruebe que el area deltriangulo de vertices (x0, y0), (b, a) y (0, 0) es igual a 12 .

11. Usa el Teorema Chino de los restos en los enteros.

Problema 1. Tiene solucion el siguiente sistema de congruencias x 5(mod 4) y x 7(mod 8)?Justifique.

Problema 2. Determine un entero x que al ser dividido por 25 deja resto 10, al ser dividido por 12 dejaresto 5 y al ser dividido por 13 deja resto 6.

12. Utiliza las propiedades algebraicas y la forma trigonometrica de los numeros complejos. Encuentraraces de numeros complejos.

Problema 1. Escriba la forma trigonometrica de los siguientes numeros complejos. Dibuje.

a) z = 4(13i).

b) z = (1 i)(3 i) .

Problema 2. Utilize la formula de De Moivre para calcular la potencia indicada. Expresar el resultadocomo pares ordenados de numeros reales.

a) 2(3 + i)7.b) [cos ( 5pi4 )+ i sen ( 5pi4 )]10 .

Problema 3. Calcule las races que se especifican, representelas en el plano complejo y exprese cada unade las races en forma cartesiana.

a) Races cuartas de 16 [cos ( 4pi3 )+ i sen ( 4pi3 )].b) Races cubicas de 1252 (1 +

3i).

Problema 4. Encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuaciones: x4 81 = 0 y x3 + 64i = 0.

13. Usa la representacion de los puntos del plano va los numeros complejos. Relaciona el producto denumeros complejos con rotaciones y homotecias.

Problema 1. Describa geometricamente el efecto de multiplicar el complejo 2+5i por el complejo 123+

12 i.

Problema 2. Represente geometricamente el efecto de multiplicar los complejos 7 + i, 6 + 3i y 5 + 2ipor el complejo 3[cos(30) + i sen(30)].

70


14. Conoce la evolucion historica de los numeros de Fermat y de los numeros de Mersene as como laconexion de estos ultimos con los numeros perfectos.

Problema 1. [4] Realice una investigacion sobre la primalidad de los numeros de Fermat y de los numerosde Mersene. Investigue los aportes de Euler y de Euclides.

15. Conoce la evolucion historica de la conjetura de Goldbach y la relaciona con la conjetura de Erdos.

Problema 1. [3] [4] Realice una investigacion sobre las conjeturas de Goldbach y de Erdos. Cuales fueronlas constribuciones de Vinogradov? Que relacion existe entre la conjetura de Goldbach y la conjetura deErdos?

71


Nivel 2

Enunciado. El estudiante describe en forma algebraica las transformaciones geometricas elementales del pla-no y del espacio. Descompone transformaciones usando transformaciones geometricas elementales. Maneja elconcepto de simetras en las figuras planas y su relacion con las transformaciones geometricas del plano.

En este nivel el estudiante conoce algunos grupos finitos como son: el grupo de permutaciones de un conjunto,el grupo de las simetras de una figura plana, el grupo afin, el grupo lineal y el grupo especial lineal.

El alumno demuestra propiedades del cuerpo de los numeros constructibles con regla y compas. Conoce elproblema de la construccion y triseccion de algunos angulos as como la construccion de algunos polgonosregulares.


1. Describe en forma algebraica las transformaciones geometricas del plano.

Problema 1. La funcion ~v : R2 R2, definida por ~v(~x) = ~x + ~v, representa una traslaciondel plano. Si ~v = (2, 5), encuentre las coordenadas de los vertices del cuadrado en que se transforma elcuadrado de vertices (1, 0), (0, 1), (1, 0) y (0,1). Dibuje ambos cuadrados.

Problema 2. La funcion Rot30 : R2 R2, definida por

Rot30(x, y) = (x cos(30) y sen(30), x sen(30) + y cos(30))

representa una rotacion de centro el origen y angulo que mide 30. Encuentre las coordenadas del trianguloen que se transforma el triangulo de vertices (0, 0), (1, 0) y (0, 1). Dibuje ambos triangulos.

Problema 3. Pruebe que la composicion de dos reflexiones cuyos ejes forman un angulo de 30 es unarotacion Rot60 de centro el punto de interseccion de esos ejes.

73

2. Describe en forma algebraica las transformaciones geometricas del espacio.

Problema 1. Pruebe que

A =

2/3 1/3 2/32/3 2/3 1/31/3 2/3 2/3

es la matriz de rotacion en 60 alrededor de la recta de ecuacion x = y = z y centro el origen.

Problema 2. a) Calcule las coordenadas en que se trasforman los vertices de un cubo definido por lospuntos de coordenadas (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), mediante la rotacion anterior.

b) Calcule las coordenadas en que se trasforma la piramide de vertices (0, 0, 0) y base el triangulodefinido por los puntos (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), mediante la rotacion anterior.

3. Interpreta congruencias de figuras planas como composicion de transformaciones geometricas ele-mentales.

Problema 1. Los triangulos de vertices (0, 0), (4, 0), (4,2) y (3, 0), (5, 4), (3, 4) son congruen-tes. Determine una secuencia de transformaciones geometricas elementales del plano que transforman untriangulo en el otro.

4. Opera con el grupo de permutaciones de un conjunto finito.

Problema 1. Considere la permutacion de S8 dada por

=

(1 2 3 4 5 6 7 82 3 4 5 1 7 6 8

).

Escrbala como producto de ciclos disjuntos y luego como producto de transposiciones.

Problema 2. Encuentre todos los subgrupos del grupo A4.

Problema 3. Dadas las siguientes afirmaciones, demuestrelas si son verdaderas o de un contraejemplo sison falsas:

a) La inversa de una permutacion par es par.b) Para toda , pi Sn, (pi )1 = 1 pi1.c) Para toda , pi Sn, | pi| = |||pi|, donde || denota el orden de la permutacion .d) Una permutacion es una transposicion si y solo si 6= 1 y = 1.

Problema 4. Sea pi = (1, 2)(3, 4, 5, 6, 7)(8, 9, 10, 11)(12) S12. Determine el menor entero positivo ktal que pik = 1.

74


5. Conoce el grupo afn, el grupo lineal de orden n y el grupo especial lineal de orden n.

Problema 1. Considere el conjunto de funciones

A(R2) = {a,~v : R2 R2, a,~v(~x) = a~x+ ~v / a R {0}, ~v R2}.

Pruebe que A(R2) es cerrado para la composicion y que constituye un grupo con esta operacion (grupoafn del plano).

Problema 2. Sea T = Q,R o Zp y K = Z,Q,R o Zp, con p primo. Considere los conjuntos:

GL(n, T ) = {A Mn(T ) / det(A) 6= 0},SL(n,K) = {A Mn(K) / det(A) = 1},

donde GL(n, T ) se conoce como grupo lineal de orden n y SL(n,K) como grupo especial lineal deorden n.

a) Pruebe que GL(n, T ) y SL(n,K) son grupos bajo la multiplicacion de matrices.b) Pruebe que GL(n, T ) no es abeliano para todo n 2.c) Encuentre la tabla de multiplicacion del grupo GL(2,Z2).

d) Sea M el conjunto de matrices de la forma(a b

0 c

), donde a, b, c R, tales que ac 6= 0. Pruebe

que M es un subgrupo de GL(2,R).

e) SeaH =

{(1 00 1

),

(1 00 1

),

(1 00 1

),

(1 00 1

)}.

Pruebe que H es subgrupo de GL(2,R).

6. Conoce el grupo de simetras de una figura plana.

Problema 1. Sea T un triangulo equilatero. Determine todas las simetras de T y representelas comopermutaciones de sus vertices. Compare el resultado con S3.

Problema 2. Pruebe que el grupo S4 es el grupo de simetras de un tetraedro regular.

Problema 3. Encuentre el grupo D8, de las simetras de un cuadrado.

Problema 4. Cual es el grupo de simetras de un cubo?

Problema 5. Sea P un pentagono regular. Determine todas las simetras de P y representelas como per-mutaciones de los vertices.

75

7. Demuestra propiedades del cuerpo de los numeros constructibles con regla y compas.

Problema 1. Sea C = { R / es constructible con regla y compas}. Demuestre que:

a) C es un subgrupo de R.b) C = C {0} es un subgrupo de R.c) Si C, > 0 entonces C.

8. Construye algunos angulos con regla y compas.

Problema 1. a) Construya un angulo que mida 30 y otro que mida 45.b) Construya el coseno de un angulo que mide 22, 5.

9. Justifica la triseccion de algunos angulos y la construccion de algunos polgonos regulares con reglay compas.

Problema 1. a) Construya un polgono regular de 10 lados.b) Trisecte un angulo que mide 72.c) Es constructible un angulo que mida 3?

10. Comprende la importancia de las simetras en el estudio de la matematica moderna.

Problema 1. [54] Realice una investigacion sobre la importancia de las simetras en la teora de grupos ylas contribuciones de Artin.

76


Nivel 3

Enunciado. El estudiante demuestra propiedades de grupos. Usa el concepto de homomorfismo de grupos ylos teoremas fundamentales para estos homomorfismos. Identifica y trabaja con grupos dados por relaciones.Encuentra el grupo cuociente de un grupo por un subgrupo normal. Construye grupos va productos directos ysemi-directos.

El alumno usa acciones de grupos sobre conjuntos para demostrar los Teoremas de Sylow. Utiliza estos teoremaspara probar propiedades de grupos finitos.

En este nivel el estudiante trabaja con la estructura de anillos y de ideales. Conoce el concepto de ideal primo eideal maximal. Usa los Teoremas de Isomorfa para anillos. Aplica el Teorema de Euler-Fermat en la resolucionde congruencias y conoce su aplicacion a la Criptografa.


1. Demuestra propiedades basicas de grupos.

Problema 1. Sean S, T subgrupos de un grupoG, con S subgrupo normal. Pruebe que ST es un subgrupode G Es ST un subgrupo normal de G?

Problema 2. Sea H un subgrupo de ndice 2 de un grupo finito G. Pruebe que para todo g G, gH =Hg.

2. Demuestra propiedades de los grupos cclicos.

Problema 1. Demuestre que un grupo cclico de orden n tiene uno y solo un subgrupo de orden m paracualquier m divisor de n.

Problema 2. Considere las siguientes matrices

A =

(0 1

1 0

)y B =

(0 1

1 1

),

elementos del grupo SL(2,Z) :

77

a) Calcule el orden de A y de B.b) Pruebe que el subgrupo generado por AB es un subgrupo cclico infinito.c) Es finito el orden del producto de dos elementos de orden finito?

Problema 3. Sea G un grupo cclico y H un subgrupo de G de ndice m. Pruebe que el grupo cuocienteG/H es cclico de orden m.

3. Calcula el orden de un elementos de un grupo.

Problema 1. Considere el grupo G1 = U(Z) de las unidades de Z. Encuentre el orden de cada elementode G1 Z8.

Problema 2. Calcule el orden de cada uno de los elementos del grupo A4 Z8.

Problema 3. [24] Escriba la tabla de multiplicacion para el grupo multiplicativo formado por los elementosde Z12 que son relativamente primos con 12. Es este un grupo cclico?

4. Conoce el grupo de Klein.

Problema 1. Considere el conjunto K4, de las permutaciones de orden 2 de A4, es decir,

K4 = {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.

Pruebe que:

a) K4 es un subgrupo de A4.b) K4 ' Z2 Z2.c) Z2 Z2 no es isomorfo a Z4.d) Todo grupo de orden 4 es isomorfo a K4 o a Z4.

5. Demuestra propiedades de los grupos de permutaciones.

Problema 1. Considere el grupo alternante An, con n 3.

a) Pruebe que esta generado por ciclos de longitud 3.b) Pruebe que An = < (123), (124), . . . , (12n) > .

Problema 2. Sea G un subgrupo de Sn, n 5, que contiene todos los ciclos de longitud 3. Demuestreque si H es un subgrupo normal de G tal que G/H es abeliano, entonces H contiene todos los ciclos delongitud 3.

Problema 3. Sea Sn y c = (i1, . . . , ik) un ciclo de longitud k en Sn. Pruebe que c 1 =((i1), . . . , (ik)), es decir, c 1 es un ciclo de longitud k de Sn.

78


Problema 4. Pruebe que GL(2,Z2) es isomorfo a S3.

6. Prueba propiedades del grupo diedral D2n y del grupo de cuaterniones Q2n.

Problema 1. Pruebe que los grupos

D2n = < a, b : an = 1, b2 = 1, ba = an1b >,

Q2n = < a, b : an = 1, b2 = a2, ba = an1b >

son de orden 2n y no son abelianos para n > 2.

Problema 2. Pruebe que D6 = < a, b : a3 = 1, b2 = 1, ba = a2b > es isomorfo a S3.

Problema 3. Escriba la tabla de multiplicacion de D8 y de Q8 y encuentre el orden de cada uno de suselementos.

Problema 4. Pruebe que el grupo Q8 no es isomorfo al grupo D8.

7. Encuentra grupos cuocientes y usa los Teoremas de Isomorfa para grupos.

Problema 1. Considere los grupos aditivos infinitos Q y Z. Encuentre el grupo cuociente Q / Z.

Problema 2. Considere el grupo multiplicativo C y sea U = {z C / |z| = 1} el crculo unitario.Pruebe que U ' R / nZ n N.

Problema 3. Demuestre que C / R ' U / G, donde G = {1,1}.

Problema 4. Sea T el conjunto de matrices de la forma

1 a b0 1 c0 0 1

, donde a, b, c R.Demuestre que Z(T ) ' R y que T / Z(T ) ' R R, donde R es grupo bajo la suma.

8. Caracteriza grupos construidos por productos directos y semi-directos.

Problema 1. Sean G1, G2, G3 grupos. Es cierto que el producto directo de los tres grupos es abeliano siy solo si cada Gi, i = 1, 2, 3, es abeliano?

Problema 2. Caracterice el grupo diedral D2n como un producto semi-directo.

Problema 3. Pruebe que todo grupo de orden 25 o es cclico o es isomorfo a un producto directo de dosgrupos cclicos de orden 5.

Problema 4. Obtenga la descomposicion en producto semi-directo del grupo de simetras del cubo.

79

9. Usa acciones de grupos sobre conjuntos finitos.

Problema 1. Demuestre que la accion natural de un grupo sobre las clases laterales de cualquiera de sussubgrupos es una accion transitiva.

Problema 2. Actua transitivamente el grupo de las transformaciones lineales de un espacio vectorial dedimension finita, sobre el conjunto de vectores?

Problema 3. Demuestre que el grupo de las traslaciones de un espacio vectorial de dimension finita actuatransitivamente sobre el conjunto de vectores.

Problema 4. Sea G un subgrupo de permutaciones de un conjunto S. Demuestre que G actua sobre elconjunto formado por los subconjuntos de S de cardinalidad 2.

10. Utiliza los Teoremas de Sylow para probar propiedades de grupos finitos.

Problema 1. [54]

a) Demuestre que ningun grupo de orden 39 es simple.b) Demuestre que ningun grupo de orden 45 es simple.

Problema 2. Encuentre todos los 3-Sylow de S4 y pruebe que ellos son conjugados.

Problema 3. Demuestre que un grupo diedral de orden 2kn, con n numero impar, contiene n subgruposde Sylow de orden 2k.

11. Conoce ejemplos de anillos, subanillos e ideales.

Problema 1. Pruebe que el conjunto de los enteros provisto de las operaciones a b = a + b 1 ya b = a+ b ab es un anillo. Con esta estructura de anillo es 5Z un ideal de Z?

Problema 2. Sea X un conjunto y (A,,) un anillo. Considere el conjunto AX = {f : X A / f funcion}. Defina (f + g)(x) = f(x) g(x); (fg)(x) = f(x) g(x).

a) Pruebe que AX con estas dos operaciones es un anillo.b) Pruebe que si A es conmutativo entonces AX es conmutativo.

Problema 3. Considere el anillo C(R) de las funciones reales continuas. Demuestre que H = {f C(R) / f(0) = 0} es un ideal de C(R).

Problema 4. [24] Considere el anillo R = Z Z.

a) Encuentre un subanillo de R que no sea ideal de Z Z.b) Encuentre un ideal maximal de R.

80


c) Encuentre un ideal primo de R que no sea maximal.

Problema 5. [24] Pruebe que {a+ xq(x) / a 2Z, q(x) Z[x]} es un ideal en Z[x].

12. Encuentra ideales primos y maximales.

Problema 1. Encuentre todos los ideales primos y maximales del anillo R = Z12.

Problema 2. SeaR anillo conmutativo e I ideal deR.Defina (R : I) = {a R / an I para algun n N } y pruebe que es un ideal de R. Es un ideal primo?

13. Conoce dominios de integridad y encuentra unidades.

Problema 1. [24] Sea n N, tal que n / N. Se define:

Z[n] = {a+ bn / a, b Z} R,

Z[n] = {a+ ibn / a, b Z} C.

a) Pruebe que Z[n] y Z[n] son subanillos de R y de C respectivamente.b) Son dominios de integridad?c) Se definen dos funciones N1 : Z[

n] Z y N2 : Z[

n] N por N1(a + bn) = a2 nb2 y

N2(a+ ibn) = a2 + nb2, respectivamente. Pruebe que Ni es multiplicativa para i = 1, 2.

d) Encuentre las unidades de Z[n] y de Z[n] respectivamente.

14. Calcula anillos cuocientes y utiliza los Teoremas de Isomorfa para anillos.

Problema 1. [24] Encuentre todos los ideales I de Z12. En cada caso encuentre Z12 / I.

Problema 2. De la tabla de suma y de multiplicacion del anillo cuociente 2Z / 8Z. Son 2Z / 8Z y Z4anillos isomorfos?

15. Comprende y usa el Teorema de Euler-Fermat.

Problema 1. Resuelva la congruencia 5x 3(mod 24).

Problema 2. [24] Use el pequeno Teorema de Fermat y que 383838 = 2 3 7 13 19 37 para probarque n37 n es divisible por 383838 para todo n N.

Problema 3. Sean a, n N, tales que (a, n) = 1 y (a 1, n) = 1. Pruebe que 1 + a+ + a(n)1 0 (mod n).

81

16. Aplica el Teorema de Euler-Fermat en la Criptografa de clave publica.

Problema 1. [57] Alicia desea enviar un mensaje cifrado M a Roberto. Suponga que la funcion de cifradode Roberto es E(M) = M53(mod 589). Alicia cifra el mensaje M , calcula E(M) = 289 y manda elvalor 289 a Roberto. Cual fue el mensaje M que envio Alicia?

17. Conoce las constribuciones de L. Sylow a la teora de grupos.

Problema 1. Haga una investigacion de las constribuciones de L. Sylow a la teora de grupos.

18. Conoce las constribuciones de E. Noether a la teora de anillos.

Problema 1. Haga una investigacion de las constribuciones de E. Noether a la teora de anillos, en especiala los anillos que llevan su nombre.

82


Nivel 4

Enunciado. El estudiante comprende la estructura de cuerpo. Conoce criterios para estudiar la irreducibilidadde polinomios. Construye cuerpos a partir de un ideal maximal de un anillo y como cuociente de dominios deintegridad.

En este nivel el estudiante resuelve problemas relativos a extensiones de cuerpos, algebraicas y trascendentales.Usa estas propiedades en la resolucion de problemas clasicos como la duplicacion del cubo, la cuadratura delcrculo y la triseccion de un angulo. Calcula cuerpos de descomposicion de polinomios sobre los racionales ysobre cuerpos finitos. Aplica el Teorema de Galois al estudio de las estructuras de las extensiones finitas de cuer-pos. Usa extensiones finitas, los Teoremas de Sylow y Teorema de Galois para probar el Teorema Fundamentaldel Algebra.


1. Usa el Criterio de irreducibilidad de Eisenstein.

Problema 1. Pruebe que el polinomio h(x) = x5 + 4x4 6x2 + 12x+ 2 es irreducible en Q[x].

2. Aplica la sustitucion de x por x+ a para probar la irreducibilidad de polinomios.

Problema 1. Pruebe que el polinomio ciclotomico p(x) =xp 1x 1 = x

p1 + + x+ 1, es irreducibleen Q[x] para cualquier primo p.

3. Construye cuerpos a partir de un ideal maximal del anillo.

Problema 1. Demuestre que Z11[x] / < x2 + x+ 4 > es un cuerpo.

Problema 2. Considere el cuerpo F = R[x] / < x2 + 3 > . Pruebe que todo elemento de F es de laforma (ax+ b)+ < x2 + 3 >, con a, b R, a 6= 0.

Problema 3. Considere el anillo cuociente A = R[x] / < x2 + x+ 1 > .

a) Demuestre que A es un cuerpo.

83

b) Demuestre que A es isomorfo al cuerpo de los numeros complejos.

4. Construye cuerpos a partir de un dominio de integridad.

Problema 1. Considere el anillo de enteros de Gauss Z[i] = {a+ bi / a, b Z}.

a) Pruebe que Z[i] es un dominio de integridad.b) Pruebe que Q[i] = {a+ bi / a, b Q} es el cuerpo de cuocientes de Z[i].

5. Resuelve problemas relativos a extensiones algebraicas.

Problema 1. Pruebe en detalle que Q(3 +

7) = Q(

3,7).

Problema 2. Calcule el grado de la extension Q(2 13 , 3 12 ) sobre Q.

Problema 3. [24] Considere las extensiones Q(2 16 ) y Q(2 12 , 2 13 ) de los numeros racionales.

a) Encuentre una base de Q(2 12 , 2 13 ) sobre Q.b) Pruebe que Q(2 12 , 2 13 ) = Q(2 16 ).

6. Usa el Teorema de Caracterizacion de un n-agono regular constructible con regla y compas.

Problema 1. a) Justifique que un 30-agono regular es constructible con regla y compas.b) Justifique que un 99-agono regular es constructible con regla y compas.

Problema 2. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, demostrando o dando un contrae-jemplo.

a) El 15-agono regular es constructible con regla y compas.b) Para un primo p, el p-agono regular es constructible si solo si p es un numero de Fermat.

7. Aplica extensiones algebraicas en la solucion de problemas clasicos de la geometra Euclideana.

Problema 1. Problema de la duplicacion del cubo. Demuestre que no es posible construir con regla ycompas el lado de un cubo de volumen 2 cm3.

Problema 2. Problema de la triseccion de un angulo. Pruebe que no es posible trisectar un angulo quemida 40.

Problema 3. Encuentre el numero natural n mas pequeno de manera que el angulo que mida n grados seaconstructible.

84


8. Usa el hecho que pi es trascendente sobre Q para resolver el problema de la cuadratura del crculo ola construccion con regla y compas de pi.

Problema 1. Problema de la cuadratura del crculo. Pruebe que no es posible construir con regla ycompas un crculo de area 4.

9. Calcula el cuerpo de descomposicion Kp(x) de polinomios de grados pequenos.

Problema 1. Calcule Qp(x) para los polinomios: x3 11, x5 1, x6 1 y x4 2x2 8.

10. Construye grupos de Galois para extensiones de Q y cuerpos finitos.

Problema 1. Considere el cuerpo Qp(x) para el polinomio p(x) = x5 1. Encuentre el grupo de GaloisG(Qp(x),Q) y pruebe que es un grupo cclico de orden 4.

Problema 2. Sean Fpm Fpn cuerpos finitos.

a) Demuestre que m : Fpn Fpn definida por (x) = xpm es un generador de G(Fpn ,Fpm).b) Demuestre que G(Fpn ,Fpm) es un grupo cclico.

11. Aplica el Teorema de la correspondencia de Galois.

Problema 1. [24] Considere el cuerpo de descomposicion Qp(x) para el polinomio p(x) = x4 2.

a) Encuentre todos los subgrupos H de G(Qp(x),Q).b) Encuentre todos los cuerpos fijos para cada subgrupoH de la parte a) y haga los diagramas mostran-

do la correspondencia de Galois.

Problema 2. Considere el cuerpoQp(x) para el polinomio p(x) = x311. Encuentre todos los subcuerposde Kp(x) y los subgrupos de G(Qp(x),Q) y haga los diagramas mostrando la correspondencia de Galois.

Problema 3. Considere el cuerpo finito Fp12 . Encuentre todos sus subcuerpos y los subgrupos deG(Fp12 ,Fp)y haga los diagramas mostrando la correspondencia de Galois.

12. Usa extensiones finitas, Teoremas de Sylow y el Teorema de Galois para demostrar el Teorema Fun-damental del Algebra.

Problema 1. Pruebe que el cuerpo de los numeros complejos no admite extensiones de grado 2.

Problema 2. Use los Teoremas de Sylow y el Teorema de Galois para probar que la unica extension finitade C es C.

Problema 3. Pruebe el teorema fundamental del algebra: Todo polinomio f(x) C[x] de grado 1 tieneuna raz en C.

85

13. Investiga la existencia de algunos numeros trascendentes.

Problema 1. [37] Realice una investigacion sobre la trascendencia del numero pi y del numero e. Averiguelos aportes realizados por Lindemann y por Hermite respectivamente.

14. Comprende el problema de la formula para la obtencion de races de polinomios de grado n, ex-presadas por medio de radicales. Investiga la obtencion de races de polinomios de grados 3 y 4,expresadas por medio de radicales y el significado del problema de la insolubilidad de la quntica.

Problema 1. [65] Investigue la obtencion de races de polinomios de grados 3 y 4, expresadas por mediode radicales.

Problema 2. [65] Investigue el significado del problema de la insolubilidad de la quntica.

15. Conoce las constribuciones de E. Galois en la Teora de Cuerpos.

Problema 1. Realice una investigacion sobre la vida de E. Galois. Que acontecimientos historicos afec-taron a Galois en su corta vida?

Los escritos de Galois no se publicaron inmediatamente. Quien y cuando fueron difundidos? Se puededecir que Galois es el fundador de la teora de grupos?

Investigue sobre la influencia de Galois en otros matematicos y en el desarrollo de la Matematica engeneral.

86

Matematica .:. Estructuras algebraicas .:. Bibliografa

Nota bibliografica para el eje de Estructuras Algebraicas

En la preparacion de los estandares del eje de Estructuras Algebraicas se consulto varios textos, los que sedetallan en la bibliografa dada mas abajo.

El texto de G. H. Hardy y Wright [29] es un clasico en la Teora de Numeros, que no puede estar ausente deestos estandares y que se complementa muy bien con los textos de T. M. Apostol [4] y de G. E. Andrews [3].

El texto de B. L. Van der Waerden [65] es un clasico en la Teora de Anillos y de Cuerpos que junto con lostextos de J. B. Fraleigh [24] y de I. N. Hernstein [30] dan un acabado tratamiento de estos temas.

El libro de F. Klein [37] es una joya en lo que respecta a la solucion de los tres problemas clasicos de la dupli-cacion del cubo, de la cuadratura del crculo y de la triseccion de un angulo. Este libro otorga un tratamientoelemental al tema desde un punto de vista de la matematica moderna y tambien a la demostracion de la trascen-dencia de e y de pi.

El texto de I. N. Hernstein [30] trae una muy buena demostracion de los Teoremas de Sylow usando accionesde grupos sobre conjuntos finitos. Por otra parte, el libro de J. S. Rose [54] considera con bastante detalle laestructura de los grupos.

Finalmente el texto de E. R. Scheinerman [57] es una buena referencia para la aplicacion del Teorema de Euler-Fermat a la Criptografa.

Sugerencias para la implementacion curricular

Este eje provee la oportunidad de profundizar en el aspecto abstracto de la Matematica. Desde ese punto de vistaen una implementacion curricular es conveniente que el desarrollo del eje en el tiempo permita la maduracion delos conceptos por parte de los alumnos.

Este eje tiene fuertes conexiones con el eje de geometra, las que pueden reforzarse por medio de cursos oseminarios que exploten este hecho.

Finalmente, los temas de este eje tambien permiten abrir la discusion sobre la naturaleza propia de la Matematica,que debe su desarrollo por un lado a la vertiente de las aplicaciones y por otro lado a su vertiente interna, rica enpreguntas y desafos intelectuales.

87

Bibliografa para el eje

[3] Andrews, G. E., Number Theory. Dover Pub. Company, N. Y. 1971.

[4] Apostol, T. M., Introduction to Analytic Number Theory. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, N.Y. 1976.

[24] Fraleigh, J. B., A first course in Abstract Algebra. Addison Wesley Pub., 1971.

[30] Hernstein, I. N., Topics in Algebra, Blasdell Pub. Company, 1964.

[29] Hardy, G. H. y Wright, E. M., An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, 1954.

[37] Klein, F., Famous problems of elementary Geometry. Dover Pub. N.Y 1956.

[54] Rose, J. S., A course on Group Theory, Dover Pub. Company, N. Y. 1994.

[57] Scheinerman, E. R., Matematicas Discretas, International Thomson Editores, S. A. 2001.

[65] Van der Waerden, B. L., Modern algebra, Vol. I, Frederick Ungar Pub. Co. N.Y. 1966.

88

Matematica .:. Algebra lineal

ALGEBRA LINEAL

Descripcion General

El Algebra Lineal y la teora de los Espacios Vectoriales constituyen una hermosa abstraccion que a su veztiene innumerables e interesantes aplicaciones a los mas diversos ambitos. Si bien los espacios vectoriales sonestructuras algebraicas particulares, hemos querido distinguirla de las demas para enfatizar su importancia.

El Profesor de Matematica conoce el algebra de matrices, la nocion de determinante y de matriz invertible.Plantea sistemas de ecuaciones, los representa matricialmente y los resuelve. Usa el metodo de Gauss paradeterminar el conjunto solucion de un sistema de ecuaciones lineales cualquiera. Concibe el metodo de Gausscomo un algoritmo finito que, simultaneamente provee de un metodo efectivo para obtener soluciones y de unmetodo de analisis general.

El Profesor de Matematica conoce a fondo la estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los numerosreales y de los numeros complejos. Especialmente familiares son los espacios de matrices, de polinomios y defunciones en general.

Comprende la importancia del problema de valores y vectores propios, tanto desde el punto de vista teorico comopractico. Relaciona el polinomio caracterstico de una matriz con sus valores propios y determina si una matriz esdiagonalizable. El Profesor de Matematica modela problemas de evolucion discretos y analiza el comportamientoasintotico de estos modelos. Es consciente que la modelacion forma parte sustancial de la Matematica y es unfuerte acicate para su desarrollo.

A traves de la nocion de producto interno sobre un espacio vectorial, se familiariza con conceptos geometricosbasicos en espacios abstractos. En particular, conoce el problema de la proyeccion ortogonal y lo interpreta comoun problema de minimizacion. Aplica proyecciones en diversos espacios con producto interno.

El Profesor de Matematica es capaz de modelar y encuentra en la programacion lineal una herramienta muy ricapara el desarrollo de esta capacidad. Resuelve problemas de optimizacion lineal mediante el metodo grafico.Conoce los fundamentos del metodo simplex y los aplica para la resolucion de problemas concretos.

91

-.

"),

' $

',

'

$

-.

5C

D+$& !!$3$

$$

1

E@

!/ "

-. !

3 5

Matematica .:. Algebra lineal .:. Nivel 1

Nivel 1

Enunciado. El alumno realiza las operaciones basicas con matrices. A traves del metodo de Gauss es capaz deresolver sistemas lineales. Comprende la importancia del metodo como un algoritmo que permite determinar elconjunto solucion de un sistema lineal cualquiera. Conoce el concepto de matriz invertible y usa el metodo deGauss para invertir matrices.

El estudiante calcula determinantes y usa la regla de Cramer para resolver sistemas.

El alumno conoce varios ejemplos en los cuales las matrices sirven para describir situaciones de la vida real. Escapaz de modelar situaciones simples usando sistemas lineales.


1. Opera algebraicamente con matrices.

Problema 1. Muestre que no existen matrices reales de 2 2 A y B tales que

AB BA =(1 00 1

).

Problema 2. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) Si A y B son matrices de n n entonces

(A+B)2 = A2 + 2AB +B2.

b) Si A,B,C son matrices invertibles entonces

(ABC)1 = A1B1C1.

c) Si A,B,C son matrices entonces(ABC)t = CtBtAt.

97

Problema 3. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) El producto de matrices simetricas es una matriz simetrica.b) El producto de matrices antisimetricas es una matriz antisimetrica.c) El producto de matrices tridiagonales es tridiagonal.d) El producto de matrices triangulares superiores es triangular superior.e) El producto de matrices doblemente estocasticas es una matriz doblemente estocastica.

Problema 4. Suponga que la matriz A es nilpotente, es decir, existe n 1 tal que An = 0. Muestre quela matriz I A es invertible y que su inversa es

I +A+A2 + . . .+An1.

2. Usa matrices para modelar.

Problema 1. Considere un grupo de personas que interactua de acuerdo a una cierta relacion. Si anotamospor P1, . . . , Pn estas personas, construimos una matriz A de modo que Aij es igual a 1 si Pi esta relacio-nado con Pj y cero si no. Como convencion Pi no se relaciona consigo mismo.

a) Cual es el significado de A2?b) Es posible que haya elementos no nulos en la diagonal de A2? Como se interpreta?c) En un vecindario hay 4 personas P1, P2, P3 y P4. Si P1 escucha un rumor, esta se lo cuenta a P2

y P4. P2 le cuenta todos los rumores a P3. P3 le pasa los rumores a P1 y a P4 no le gusta contarrumores.

i) Si P1 sabe un rumor, despues de cuantos pasos lo sabran todos?ii) Si P3 sabe un rumor, despues de cuantos pasos lo sabran todos?

d) Encuentre otra interpretacion social a: Pi esta relacionado con Pj.

3. Clasifica y resuelve sistemas de ecuaciones lineales usando el algoritmo de Gauss. Usa el algoritmode Gauss para determinar invertibilidad de matrices y para calcular inversas.

Problema 1. Determine los valores para los parametros y para los cuales el sistema de ecuaciones

x+ 2y + 3z = 1,

2x+ 3y + 4z = ,

3x+ 4y + z = 1,

tiene como conjunto solucion:

98

Matematica .:. Algebra lineal .:. Nivel 1

a) Un singleton.b) El conjunto vaco.c) Un conjunto infinito.

Puede que el conjunto solucion del sistema tenga dos elementos?

Problema 2. Encuentre el conjunto solucion del sistema

x+ 2y + 3z + w = 6,

x+ z + w = 3.

Problema 3. Al utilizar el algoritmo de Gauss para invertir una matriz se ha llegado a la siguiente matrizintermedia

1 31 71 100 6 13 410 0 0 50 0 7 85

.Determine si la matriz original es invertible.

4. Interpreta el met

matematica

Documents