matematica

Integrales - Aplicaciones Geometricas

Hernan Centeno

FADU - Matematica II - Catedra Blumenfarb

21 de agosto de 2015

Repaso Derivadas - Calculo Diferencial

Empezamos con la definicion de la derivada de unafuncion f (x) en un punto x0.

f′(x0) = lım

x→x0

f (x)− f (x0)

x − x0

Ejemplo: Sean f (x) = x2, x0 = 1. Entonces

f′(1) = lım

x→1

x2 − 12

x − 1

= lımx→1

(x + 1)(x − 1)

x − 1

= lımx→1

x + 1

= 1 + 1 = 2

Repaso Derivadas - Calculo Diferencial

Continuamos con la interpretacion geometrica de laderivada de una funcion f (x) en un punto x0 como lapendiente de la recta tangente al grafico de f (x) en el punto(x0, f (x0)).Ejemplo: Sean f (x) = x2, x0 = 1. Entonces (ver hoja deformulas)

RT (f , 1) : y − 1 = f′(1)(x − 1)

Terminamos con la interpretacion fısica de la derivada deuna funcion f (x) en un punto x0 como la velocidadinstantanea de un movil en el instante x0.

Calculo Diferencial

La Diferencial

Llamamos diferencial de una funcion f (x) en un punto x0

al producto entre su derivada evaluada en el punto x0 y elincremento que ocurre en la variable x .

dy = f′(x0)dx

Para mas explicaciones y/o aplicaciones ver los anexosteoricos.

Repaso Derivadas - Calculo Diferencial (Fin)

Dada una funcion f (x) obtenemos otra funcion f′(x) que

llamamos la derivada de f (x).Valen las siguientes propiedades:

a) Si f (x) ≡ c (funcion constante), entonces f′(x) ≡ 0

(funcion constante igual a cero).

b) (f (x) + g(x))′

= f′(x) + g

′(x).

c) (f (x)g(x))′

= f′(x)g(x) + f (x)g

′(x).

En particular si f (x) ≡ c , entonces (cg(x))′

= cg′(x).

d) Si g(x) 6= 0, entonces(f (x)

g(x)

)′

=f

′(x)g(x)− f (x)g

′(x)

(g(x))2.

Primitivas - Integrales Indefinidas

DEFINICION (Primitiva de una funcion)

Dada una funcion f (x) decimos que otra funcion F (x) es unaPrimitiva (o Antiderivada) de f (x), si F

′(x) = f (x) para

todos los valores posibles de x .

Ejemplo: Si f (x) = xn con n 6= −1, entonces una primitiva def (x) es

F (x) =xn+1

n + 1

Observacion: Si F (x) es una primitiva de f (x), entoncesF (x) + C (C constante) es una primitiva de f (x).


DEFINICION (Integral Indefinida)

Dada una funcion f (x) definimos la integral indefinida def (x) como alguna de las primitivas posibles de f (x) y lanotamos con el siguiente sımbolo∫

f (x)dx := F (x) + C con F′(x) = f (x)

Comentario: De algun modo, dada una funcion f (x)obtenemos una familia de funciones que llamamos integralindefinida de f (x) que es casi como la operacion inversa ateniendo una funcion f (x) obtener la funcion derivada f

′(x).


Si llamamos y = F (x) + C a la familia de primitivas de f (x) yutilizando la diferencial de F (x), (dy = F

′(x)dx), obtenemos

y = F (x) + C =

∫f (x)dx =

∫F

′(x)dx =

∫dy

Ejemplo: Si f (x) = xn con n 6= −1, entonces∫f (x)dx =

∫xndx =

xn+1

n + 1+ C

Para mas integrales indefinidas de otras funciones ver el anexoteorico y/o la guıa de trabajos practicos.


Comentario: Hay varias tablas de integrales indefinidas de ungran numero de funciones.El siguiente metodo muestra como utilizarlas para obtenermuchas mas.

Metodo de Sustitucion

El metodo consiste, como su nombre lo indica, en realizar uncambio de toda una expresion por una simple variable, paraluego obtener una funcion cuya integral indefinida esta en unatabla y finalmente volver a la variable original.

Mejor que decirlo es verlo con un ejemplo.

Primitivas - Integrales Indefinidas (Fin)

Supongamos queremos calcular la siguiente integral indefinida:∫2x(1 + x2)ndx (n 6= −1)

Si llamamos t = 1 + x2, entonces tenemos que dt = 2xdx , asi∫2x(1 + x2)ndx =

∫tndt =

tn+1

n + 1+ C =

(1 + x2)n+1

n + 1+ C

La integral indefinida cumple la siguiente propiedad

Linealidad de la Integral Indefinida

Si a es un numero y f (x), g(x) funciones, entonces∫[af (x) + g(x)]dx = a

∫f (x)dx +

∫g(x)dx

Problema del area

Queremos calcular areas de figuras planas.Por ejemplo, si tenemos el rectangulo R que mide 4 de base y2 de altura, podemos calcular su area como:

Area(R) = Base x Altura = 4x2 = 8

Notar que si consideramos la funcion f : [1, 5]→ R quesiempre toma el valor 2, entonces el area entre la curvay = f (x) y el eje x es precisamente el area del rectangulocomo muestra la siguiente figura.

Problema del area

Problema del area

Problema: Si ahora consideramos la funcion f : [1, 5]→ Rdada por

f (x) = x2 (parabola)

entonces el area entre la curva y = f (x) y el eje x, para1 ≤ x ≤ 5, ya no es nada claro como se puede calcular.Pregunta: ¿Alguien se le ocurre como?

Problema del area

Problema del area

Solucion:Como ya vimos, calcular areas de rectangulos es relativamentesencillo.La idea va a ser aproximar el area de esa figura plana porsumas de areas de rectangulos, cada vez mas parecidasal area original . . .Veamos como hacerlo con areas mas chicas (se puede haceralgo similar con areas mas grandes).Empezamos tomando 4 rectangulos metidos dentro de esaregion:

Problema del area

Problema del area

Cabe aclarar que los subintervalos que tomamos NO tienenpor que ser equidistantes.El area aproximada nos queda en este caso

Aaprox = 12(2− 1) + 22(3− 2) + 32(4− 3) + 42(5− 4)

= 1 + 4 + 9 + 16

= 30

Tomamos ahora 16 rectangulos metidos dentro de esa region:

Problema del area

Problema del area

• Ejercicio: Verificar que el area aproximada en este casoes

Aaprox = 12(1,25− 1) + (1,25)2(1,50− 1,25) + . . .

+ (4,75)2(5− 4,75)

=380

7= 38,375

• Como se puede apreciar, cuantos mas rectangulostomamos, mas se parecen las areas.

• Si pudiesemos tomar “infinitos” rectangulos es razonablepensar que para funciones buenas (las que tratamos enesta materia), el area de la region sera igual a la “sumainfinita” de las areas de los rectangulos.

Integrales Definidas

Dada una funcion buena f : [a, b]→ R vamos a definir unobjeto matematico llamado Integral definida de f (x) en[a, b] que formalizara la idea anterior y nos permitira resolverel problema del area.

(1) Tomamos n + 1 puntos del intervalo [a, b]

P = {a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b}

P se llama particion de [a, b]. Consideramos los nsubintervalos Ik = [xk−1, xk ], (k = 1, 2, . . . , n).Ejemplo: n = 4,P = {a = x0 = 1 < x1 = 2 < x2 = 3 < x3 = 4 < x4 =b = 5} y los subintervalos son Ik = [k , k + 1] conk = 1, 2, 3, 4.


(2) Llamamos mk al valor mınimo que toma la funcion f (x)en en subintervalo Ik y notamos con∆k = xk − xk−1 (k = 1, 2, . . . , n).Ejemplo: n = 4, mk = k2 y ∆k = k + 1− k = 1 conk = 1, 2, 3, 4.

(3) Finalmente, consideramos las sumas:

L(f ,P) = m1∆1 + m2∆2 + . . . + mn∆n

Ejemplo: n = 4,

L(f ,P) = 12 ·1+22 ·1+32 ·1+42 ·1 = 1+4+9+16 = 30


DEFINICION (Integral definida)

Sea f : [a, b]→ R una funcion buena, definimos La IntegralDefinida de f (x) en [a, b] y la notamos por:∫ b

a

f (x)dx := sup{L(f ,P)/P es una particion de [a, b]}

Es decir, de todas las posibles particiones de [a, b] y suscorrespondientes sumas, nos quedamos con el numeroinmediatamente mas grande (sup).

Nombres: [a, b] se llama intervalo de integracion, a y blımites de integracion y f (x) funcion integradora.


Es importante observar que si en la definicion de integraldefinida, la funcion f (x) > 0 para x ∈ [a, b], entonces

Area =

∫ b

a

f (x)dx

y conseguimos calcular el area de la figura planaencerrada entre el grafico de la funcion f (x) y el ejex, resolviendo ası el problema del area.

Por la mismısima definicion de la integral definida, pareceimposible (y lo es!!) calcular areas para figuras de ese tipo.Por suerte tenemos el siguiente resultado:

Regla de Barrow / Segundo Teorema Fundamental

del Calculo Integral

Regla de Barrow

Sea f : R→ R una funcion con primitiva F : R→ R.Entonces, si a ≤ b son numeros reales, vale∫ b

a

f (x)dx = F (x)

∣∣∣∣ba︸︷︷︸

notacion

= F (b)− F (a)

Ejemplo: Sean f (x) = x2, a = 1 y b = 5, entonces∫ 5

1

x2dx =x3

3

∣∣∣∣51

=53

3− 13

3=

124

3= 41, 333

Propiedades de la integral definida

Sean f , g : [a, b]→ R y L un numero cualquiera, entonces:

1)∫ a

af (x)dx = 0.

2)∫ a

bf (x)dx = −

∫ b

af (x)dx .

3) Si f (x) > 0 para todo x ∈ [a, b],∫ b

af (x)dx > 0. (area positiva)

4)∫ b

a[Lf (x) + g(x)]dx = L

∫ b

af (x)dx +

∫ b

ag(x)dx .

5) Si c es un numero tal que a < c < b∫ b

af (x)dx =

∫ c

af (x)dx +

∫ b

cf (x)dx .

6) Si f (x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b],∫ b

af (x)dx ≥

∫ b

ag(x)dx .

Aplicaciones Geometricas

Area de una region R (en el plano) comprendida entredos curvas y = f (x) e y = g(x).Si f , g : [a, b]→ R funciones tales que f (x) ≥ g(x) para todox ∈ [a, b], entonces:

Area(R) =

∫ b

a

[f (x)− g(x)]dx

Tomando por ejemplo [a, b] = [1, 5], graficamente nos queda:


Ejemplo: Sean las curvas y = f (x) e y = g(x) dadas por

f (x) = 3x2 − 4x + 6 y g(x) = 2x + 2

Si R es la region del plano entre ambas curvas, para0 ≤ x ≤ 1, calcular su area y graficar.Solucion: Solamente hay que aplicar la formula anterior con[a, b] = [0, 1].Despues de ver el grafico, veamos como...


Ejercicio: Verificar que f (x) y g(x) no se intersectan y quef (x) es el “techo” y g(x) es el “piso”.Entonces

Area(R) =

∫ 1

0

[f (x)− g(x)]dx =

∫ 1

0

[3x2 − 4x + 6− (2x + 2)]dx

=

∫ 1

0

[3x2 − 6x + 4]dx

=

∫ 1

0

3x2dx +

∫ 1

0

−6xdx +

∫ 1

0

4dx

= 3x3

3

∣∣∣∣10

+−6x2

2

∣∣∣∣10

+ 4x

∣∣∣∣10

= (13 − 03) +−3(12 − 02) + 4(1− 0) = 2√


Volumen de un Solido S (en el espacio) engendrado porrevolucion.Si f : [a, b]→ R funcion tal que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]y S el solido engendrado por la rotacion alrededor del eje x dela curva y = f (x), entonces:

Vol(S) = π

∫ b

a

[f (x)]2dx

Para saber de donde sale esta formula ver los anexos teoricos.


Ejemplo: Seaf (x) = 15x2 + 1

• Calcular el volumen del solido de revolucion S engendradopor y = f (x) alrededor del eje x para 0 ≤ x ≤ 1.

• Graficar.

Solucion: De nuevo, es simplemente aplicar la formulaanterior con [a, b] = [0, 1].

Aplicaciones Geometricas (y terminamos...)

Vol(S) = π

∫ 1

0

[f (x)]2dx = π

∫ 1

0

[15x2 + 1]2dx

= π

∫ 1

0

[152x4 + 2 · 15x2 · 1 + 12]dx

= π

(∫ 1

0

152x4dx +

∫ 1

0

30x2dx +

∫ 1

0

1dx

)= π

(152 x

5

5

∣∣∣∣10

+ 30x3

3

∣∣∣∣10

+ x

∣∣∣∣10

)= π(45 + 10 + 1)

= 56π√

Yapa

Examen Parcial 05/09/2014 - Tema 1

La parabola de ecuacion y = ax2 + 1, siendo −1 ≤ x ≤ 1,determina con el eje de abscisas (eje “x”), un area plana iguala 4 unidades cuadradas. Se pide:

a) Hallar el valor de “a” y acorde con ello graficar la regionmencionada en una escala adecuada.

b) Calcular el volumen engendrado por la rotacion de lacurva, en ese intervalo, alrededor de dicho eje.

Examen Final 24/07/15 - Tema 1

¿Que aplicaciones geometricas de las integrales conoce?Ilustrar cada aplicacion expuesta con un ejemplo numericosencillo y resolverlo mediante el uso de integrales.

matematica

Documents