Instituto Tecnológico de Costa Rica

Escuela de Matemática

MATEM 2014

-Décimo Año-

-Modalidad bienal-

III EXAMEN PARCIAL 2014

Nombre: _________________________________ código: _______

Colegio: _______________________________________________

Sábado 15 de noviembre de 2014

INSTRUCCIONES

1. El tiempo máximo para resolver este examen es de 3 horas.

2. Lea cuidadosamente, cada instrucción y cada pregunta, antes de

contestar.

3. Este examen consta de tres partes. La primera de ellas es de respuesta

corta (10 puntos), la segunda es de selección única (10 puntos) y la

tercera es de desarrollo (20 puntos).

4. Las respuestas de la parte de respuesta corta y de la parte de selección

debe ser contestadas en la hoja de respuestas que se le dará para tal

efecto.

5. En el desarrollo debe escribir, en el espacio indicado, su nombre, código

y el nombre del colegio en el cual usted está matriculado. En caso de no

hacerlo, usted asume la responsabilidad sobre los problemas que se

pudieran suscitar por esta causa.

6. En los ítems de selección y de respuesta corta puede usar el espacio al

lado de cada ítem del folleto de examen para escribir cualquier anotación

que le ayude a encontrar la respuesta. Sin embargo, sólo se calificarán

las respuestas indicadas en la hoja para respuestas.

7. En los ítems de desarrollo debe aparecer todo el procedimiento que

justifique correctamente la solución y la respuesta de cada uno de ellos.

Utilice únicamente bolígrafo de tinta azul o negra.

8. Trabaje con el mayor orden y aseo posible. Si alguna pregunta está

desordenada, ésta, no se calificará.

9. Recuerde que la calculadora que puede utilizar es aquella que contiene

únicamente las operaciones básicas.

10. Trabaje con calma. Le deseamos el mayor de los éxitos.

I Parte. Respuesta corta. Total de puntos 10

INSTRUCCIONES: Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios y escriba la

respuesta en el espacio indicado.

1. Escriba el criterio de una función lineal

decreciente.

2. ¿Cuáles son las coordenadas del punto medio

del segmento determinado por los puntos

𝐴(14, −10) y 𝐵(8,6)?

3. ¿Cuál es la distancia entre los puntos 𝐴(−3, −4)

y 𝐵(−3,4)?

4. Indique el valor de la pendiente de la recta que

contiene los puntos (−6, −1) y (5,4)

5. Escriba la ecuación de una recta perpendicular

a la recta de ecuación:

𝑦 = −5

4𝑥 + 7

6. Escriba el criterio de una función cuadrática

que sea cóncava hacia abajo

7. ¿En cuál intervalo la función 𝑓 definida por

𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 7𝑥 − 4 es decreciente?

8. ¿Cuál es el ámbito de la función

ℎ: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 2𝑥 + 24?

9. Indique los puntos de intersección de función

definida por 𝑔(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥 − 3 con el eje 𝑋

10. Escriba el criterio de una función cuadrática 𝑓

para la cual se cumple que 𝑓(𝑥) < 0 ∀𝑥, 𝑥 ∈ ℝ

II Parte. Selección única. Valor: 10 puntos

INSTRUCCIONES: A continuación se le presentan 10 enunciados, cada uno con

cuatro opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta. Marque una

equis (x) sobre la letra que antecede a la opción que completa de forma correcta

cada enunciado.

1. Considere la recta cuya pendiente es -4 e interseca al eje 𝑌 en 2. Una opción

que presenta un punto que pertenece a la recta corresponde a:

1) (100, −398)

2) (−100, −402)

3) (−100, −398) 4) (100, −402)

2. La ecuación de la recta que contiene al punto (2,1) y es paralela a la recta

3𝑦 = −4𝑥 + 15 es:

1) 4𝑦 − 3𝑥 + 2 = 0

2) 4𝑦 + 3𝑥 − 2 = 0

3) 3𝑦 + 4𝑥 − 11 = 0

4) 3𝑦 − 4𝑥 + 11 = 0

3. La opción que presenta un ejemplo de una recta que no es una función

corresponde a:

1) 2𝑦 = 8

2) 3𝑥 = 6

3) 5𝑥 − 𝑦 = 0

4) −2𝑦 − 3𝑥 = 1

4. La gráfica de 𝑥 − 3𝑦 = −2 corresponde a:

1)

2)

3)

4)

5. ¿Cuál es el área del triángulo 𝐴𝐵𝐶, si 𝐴(−2,0); 𝐵(0, −2) y 𝐶(0,0)?

1) 4 (𝑢. 𝑙)2

2) 2 (𝑢. 𝑙)2

3) 2√2 (𝑢. 𝑙)2

4) 4√2 (𝑢. 𝑙)2

6. Las ventas de una fábrica crecieron de $65 000 en el 2012 a $ 110 000 en el

2014. Suponiendo que las ventas se aproximan a una función lineal

entonces las ventas 𝑉 en función del tiempo 𝑡 (medido en años a partir del

2012) se representan por:

1) 𝑉(𝑡) = 22500𝑡 − 65000

2) 𝑉(𝑡) = 22500𝑡 + 65000

3) 𝑉(𝑡) = 45000𝑡 − 65000

4) 𝑉(𝑡) = 45000𝑡 + 65000

7. Si la recta definida por 𝑦 = −(3 − 2𝑎)𝑥 + (2 + 3𝑎) contiene al punto de

coordenadas (−1,2) entonces el valor de 𝑎 es:

1) 5

2

2) −3

5

3) −9

4) −3

8. Si 3𝑦 + 2𝑥 − 6 = 0 y −2𝑦 + 𝑘𝑥 + 1 = 0 representan las ecuaciones de dos

rectas perpendiculares entonces el valor de 𝑘 es:

1) 4

3

2) −4

3

3) −3

4) 3

9. Se quiere cercar el mayor campo rectangular posible con 3000𝑚 de

alambre. El área 𝐴 de dicho campo, en función de su largo 𝑥, se puede

expresar por:

1) 𝐴(𝑥) = 𝑥2 + 1500𝑥

2) 𝐴(𝑥) = 𝑥2 + 3000𝑥

3) 𝐴(𝑥) = 1500𝑥 − 𝑥2

4) 𝐴(𝑥) = 3000𝑥 − 𝑥2

10. Si se sabe que 𝑀(0, −3) es el punto medio de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y 𝐴(2, −1) entonces el

punto 𝐵 tiene por coordenadas

1) (1, −2)

2) (2, −4)

3) (−2, −2)

4) (−2, −5)

III Parte. Desarrollo. Total de puntos 20

INSTRUCCIONES: A continuación se le presentan 4 ejercicios. Resuélvalos en

forma clara, correcta y ordenada. Deben aparecer todos los procedimientos

necesarios para obtener la respuesta correcta.

1. Realice el estudio completo (vértice, intersecciones con los ejes, eje de

simetría, concavidad) y trace la gráfica de la función cuadrática 𝑔

definida en su dominio máximo por 𝑔(𝑥) = −3𝑥2 + 7𝑥 − 2

6 puntos

2. Determine el valor de 𝑘 de manera que los siguientes puntos sean

colineales 𝐴(−3,5); 𝐵(6, 𝑘) y 𝐶(2,1) 3

puntos

3. Justifique si el cuadrilátero el ABCD determinado por los puntos

𝐴(2,3); 𝐵(5, −1); 𝐶(0, −6) y 𝐷(−6,2) es un paralelogramo.

3 puntos

4. Sea 𝐿1 la recta de ecuación 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 y 𝐿2una recta paralela 𝐿1y que

contiene al punto (0,5) Considere el trapecio cuyos vértices son los

puntos de intersección de las rectas 𝐿1 y 𝐿2 con los ejes del sistema de

coordenadas.

a) Realice una representación gráfica de la situación descrita en el

encabezado. 2 puntos

b) Verifique que el trapecio es isósceles. 2 puntos

c) Calcule el área del trapecio. 4 puntos

Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática

-Décimo Año- -Modalidad bienal-

III EXAMEN PARCIAL 2014

Sábado 15 de noviembre de 2014

Nombre: _________________________________ código: _______

Colegio: _______________________________________________

Respuestas de la I parte:

1 Cualquiera de la forma

𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 con 𝑚 < 0

6 Cualquiera de la forma 𝑓(𝑥) =

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 con a< 0

2 (11, −2)

7 Cualquier subconjunto de

]−∞, −7

4]

3 8

8 ]−∞, 25]

4 5

11

9 (−1,0) y (3

2, 0)

5 Cualquiera de la forma

𝑦 =4

5𝑥 + 𝑏

10 Cualquiera de la forma

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 con a< 0 y 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0

Respuestas de la II parte:

Escriba en cada espacio el número correspondiente a la respuesta que

seleccionó como correcta (1 – 2 – 3 – 4) en cada ítem.

Ítem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Respuesta 1 3 2 1 2 2 4 4 3 4

III Parte. Desarrollo. Total de puntos 20

1. Realice el estudio completo (vértice, intersecciones con los ejes, eje de

simetría, concavidad) y trace la gráfica de la función cuadrática 𝑔

definida en su dominio máximo por 𝑔(𝑥) = −3𝑥2 + 7𝑥 − 2

6 puntos

𝑔(𝑥) = −3𝑥2 + 7𝑥 − 2 = −(3𝑥2 − 7𝑥 + 2) = −(𝑥 − 2)(3𝑥 − 1)

a. 𝑎 = −3 < 0 → la gráfica es una parábola cóncava hacia abajo.

b. −𝑏

2𝑎=

−7

−6 entonces el eje de simetría es la recta de ecuación 𝑥 =

7

6

c. ∆= 49 − 24 = 25 > 0 entonces la gráfica interseca al eje X dos veces:

(2,0) 𝑦 (1

3, 0) .

d. El vértice de la parábola es el punto de coordenadas (−𝑏

2𝑎,

−∆

4𝑎) = (

7

6,

25

12)

e. 𝑔(0) = −2 entonces la intersección de la gráfica con el eje Y es el

punto de coordenadas (0, −2)

2. Determine el valor de 𝑘 de manera que los siguientes puntos sean

colineales 𝐴(−3,5); 𝐵(6, 𝑘) y 𝐶(2,1) 3 puntos

Para que sean colineales se debe cumplir que la pendiente de la recta que

contiene a A y a B debe ser igual a la pendiente de la recta que contiene a

A y a C:

𝑘 − 5

9=

−4

5↔ 5𝑘 − 25 = −36 ↔ 5𝑘 = −11 ↔ 𝑘 = −

11

5

3. Justifique si el cuadrilátero el ABCD determinado por los puntos

𝐴(2,3); 𝐵(5, −1); 𝐶(0, −6) y 𝐷(−6,2) es un paralelogramo.

3 puntos

Lado Pendiente

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ −

4

3

𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 1

𝐶𝐷̅̅ ̅̅ −

4

3

𝐴𝐷̅̅ ̅̅ 1

8

Solamente un par de lados opuestos son paralelos, por lo tanto no se

trata de un paralelogramo.

4. Sea 𝐿1 la recta de ecuación 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 y 𝐿2una recta paralela 𝐿1y que

contiene al punto (0,5) Considere el trapecio cuyos vértices son los

puntos de intersección de las rectas 𝐿1 y 𝐿2 con los ejes del sistema de

coordenadas.

a. Realice una representación gráfica de la situación descrita en el

encabezado. 2 puntos

b. Verifique que el trapecio es isósceles. 2 puntos

Como 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 5 − 2 = 3 entonces el trapecio es isósceles.

c. Calcule el área del trapecio. 4 puntos

Si P es el origen del sistema de coordenadas, el área del trapecio es igual

a la resta de las áreas de los triángulos rectángulos (𝐴𝑃𝐷) − (𝐵𝑃𝐶) =25

2−

2 = 10,5 (u. l. )2