Instituto Tecnológico de Costa Rica
Escuela de Matemática
MATEM 2014
-Décimo Año-
-Modalidad bienal-
III EXAMEN PARCIAL 2014
Nombre: _________________________________ código: _______
Colegio: _______________________________________________
Sábado 15 de noviembre de 2014
INSTRUCCIONES
1. El tiempo máximo para resolver este examen es de 3 horas.
2. Lea cuidadosamente, cada instrucción y cada pregunta, antes de
contestar.
3. Este examen consta de tres partes. La primera de ellas es de respuesta
corta (10 puntos), la segunda es de selección única (10 puntos) y la
tercera es de desarrollo (20 puntos).
4. Las respuestas de la parte de respuesta corta y de la parte de selección
debe ser contestadas en la hoja de respuestas que se le dará para tal
efecto.
5. En el desarrollo debe escribir, en el espacio indicado, su nombre, código
y el nombre del colegio en el cual usted está matriculado. En caso de no
hacerlo, usted asume la responsabilidad sobre los problemas que se
pudieran suscitar por esta causa.
6. En los ítems de selección y de respuesta corta puede usar el espacio al
lado de cada ítem del folleto de examen para escribir cualquier anotación
que le ayude a encontrar la respuesta. Sin embargo, sólo se calificarán
las respuestas indicadas en la hoja para respuestas.
7. En los ítems de desarrollo debe aparecer todo el procedimiento que
justifique correctamente la solución y la respuesta de cada uno de ellos.
Utilice únicamente bolígrafo de tinta azul o negra.
8. Trabaje con el mayor orden y aseo posible. Si alguna pregunta está
desordenada, ésta, no se calificará.
9. Recuerde que la calculadora que puede utilizar es aquella que contiene
únicamente las operaciones básicas.
10. Trabaje con calma. Le deseamos el mayor de los éxitos.
I Parte. Respuesta corta. Total de puntos 10
INSTRUCCIONES: Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios y escriba la
respuesta en el espacio indicado.
1. Escriba el criterio de una función lineal
decreciente.
2. ¿Cuáles son las coordenadas del punto medio
del segmento determinado por los puntos
𝐴(14, −10) y 𝐵(8,6)?
3. ¿Cuál es la distancia entre los puntos 𝐴(−3, −4)
y 𝐵(−3,4)?
4. Indique el valor de la pendiente de la recta que
contiene los puntos (−6, −1) y (5,4)
5. Escriba la ecuación de una recta perpendicular
a la recta de ecuación:
𝑦 = −5
4𝑥 + 7
6. Escriba el criterio de una función cuadrática
que sea cóncava hacia abajo
7. ¿En cuál intervalo la función 𝑓 definida por
𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 7𝑥 − 4 es decreciente?
8. ¿Cuál es el ámbito de la función
ℎ: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 2𝑥 + 24?
9. Indique los puntos de intersección de función
definida por 𝑔(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥 − 3 con el eje 𝑋
10. Escriba el criterio de una función cuadrática 𝑓
para la cual se cumple que 𝑓(𝑥) < 0 ∀𝑥, 𝑥 ∈ ℝ
II Parte. Selección única. Valor: 10 puntos
INSTRUCCIONES: A continuación se le presentan 10 enunciados, cada uno con
cuatro opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta. Marque una
equis (x) sobre la letra que antecede a la opción que completa de forma correcta
cada enunciado.
1. Considere la recta cuya pendiente es -4 e interseca al eje 𝑌 en 2. Una opción
que presenta un punto que pertenece a la recta corresponde a:
1) (100, −398)
2) (−100, −402)
3) (−100, −398) 4) (100, −402)
2. La ecuación de la recta que contiene al punto (2,1) y es paralela a la recta
3𝑦 = −4𝑥 + 15 es:
1) 4𝑦 − 3𝑥 + 2 = 0
2) 4𝑦 + 3𝑥 − 2 = 0
3) 3𝑦 + 4𝑥 − 11 = 0
4) 3𝑦 − 4𝑥 + 11 = 0
3. La opción que presenta un ejemplo de una recta que no es una función
corresponde a:
1) 2𝑦 = 8
2) 3𝑥 = 6
3) 5𝑥 − 𝑦 = 0
4) −2𝑦 − 3𝑥 = 1
4. La gráfica de 𝑥 − 3𝑦 = −2 corresponde a:
1)
2)
3)
4)
5. ¿Cuál es el área del triángulo 𝐴𝐵𝐶, si 𝐴(−2,0); 𝐵(0, −2) y 𝐶(0,0)?
1) 4 (𝑢. 𝑙)2
2) 2 (𝑢. 𝑙)2
3) 2√2 (𝑢. 𝑙)2
4) 4√2 (𝑢. 𝑙)2
6. Las ventas de una fábrica crecieron de $65 000 en el 2012 a $ 110 000 en el
2014. Suponiendo que las ventas se aproximan a una función lineal
entonces las ventas 𝑉 en función del tiempo 𝑡 (medido en años a partir del
2012) se representan por:
1) 𝑉(𝑡) = 22500𝑡 − 65000
2) 𝑉(𝑡) = 22500𝑡 + 65000
3) 𝑉(𝑡) = 45000𝑡 − 65000
4) 𝑉(𝑡) = 45000𝑡 + 65000
7. Si la recta definida por 𝑦 = −(3 − 2𝑎)𝑥 + (2 + 3𝑎) contiene al punto de
coordenadas (−1,2) entonces el valor de 𝑎 es:
1) 5
2
2) −3
5
3) −9
4) −3
8. Si 3𝑦 + 2𝑥 − 6 = 0 y −2𝑦 + 𝑘𝑥 + 1 = 0 representan las ecuaciones de dos
rectas perpendiculares entonces el valor de 𝑘 es:
1) 4
3
2) −4
3
3) −3
4) 3
9. Se quiere cercar el mayor campo rectangular posible con 3000𝑚 de
alambre. El área 𝐴 de dicho campo, en función de su largo 𝑥, se puede
expresar por:
1) 𝐴(𝑥) = 𝑥2 + 1500𝑥
2) 𝐴(𝑥) = 𝑥2 + 3000𝑥
3) 𝐴(𝑥) = 1500𝑥 − 𝑥2
4) 𝐴(𝑥) = 3000𝑥 − 𝑥2
10. Si se sabe que 𝑀(0, −3) es el punto medio de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y 𝐴(2, −1) entonces el
punto 𝐵 tiene por coordenadas
1) (1, −2)
2) (2, −4)
3) (−2, −2)
4) (−2, −5)
III Parte. Desarrollo. Total de puntos 20
INSTRUCCIONES: A continuación se le presentan 4 ejercicios. Resuélvalos en
forma clara, correcta y ordenada. Deben aparecer todos los procedimientos
necesarios para obtener la respuesta correcta.
1. Realice el estudio completo (vértice, intersecciones con los ejes, eje de
simetría, concavidad) y trace la gráfica de la función cuadrática 𝑔
definida en su dominio máximo por 𝑔(𝑥) = −3𝑥2 + 7𝑥 − 2
6 puntos
2. Determine el valor de 𝑘 de manera que los siguientes puntos sean
colineales 𝐴(−3,5); 𝐵(6, 𝑘) y 𝐶(2,1) 3
puntos
3. Justifique si el cuadrilátero el ABCD determinado por los puntos
𝐴(2,3); 𝐵(5, −1); 𝐶(0, −6) y 𝐷(−6,2) es un paralelogramo.
3 puntos
4. Sea 𝐿1 la recta de ecuación 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 y 𝐿2una recta paralela 𝐿1y que
contiene al punto (0,5) Considere el trapecio cuyos vértices son los
puntos de intersección de las rectas 𝐿1 y 𝐿2 con los ejes del sistema de
coordenadas.
a) Realice una representación gráfica de la situación descrita en el
encabezado. 2 puntos
b) Verifique que el trapecio es isósceles. 2 puntos
c) Calcule el área del trapecio. 4 puntos
Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática
-Décimo Año- -Modalidad bienal-
III EXAMEN PARCIAL 2014
Sábado 15 de noviembre de 2014
Nombre: _________________________________ código: _______
Colegio: _______________________________________________
Respuestas de la I parte:
1 Cualquiera de la forma
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 con 𝑚 < 0
6 Cualquiera de la forma 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 con a< 0
2 (11, −2)
7 Cualquier subconjunto de
]−∞, −7
4]
3 8
8 ]−∞, 25]
4 5
11
9 (−1,0) y (3
2, 0)
5 Cualquiera de la forma
𝑦 =4
5𝑥 + 𝑏
10 Cualquiera de la forma
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 con a< 0 y 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0
Respuestas de la II parte:
Escriba en cada espacio el número correspondiente a la respuesta que
seleccionó como correcta (1 – 2 – 3 – 4) en cada ítem.
Ítem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Respuesta 1 3 2 1 2 2 4 4 3 4
III Parte. Desarrollo. Total de puntos 20
1. Realice el estudio completo (vértice, intersecciones con los ejes, eje de
simetría, concavidad) y trace la gráfica de la función cuadrática 𝑔
definida en su dominio máximo por 𝑔(𝑥) = −3𝑥2 + 7𝑥 − 2
6 puntos
𝑔(𝑥) = −3𝑥2 + 7𝑥 − 2 = −(3𝑥2 − 7𝑥 + 2) = −(𝑥 − 2)(3𝑥 − 1)
a. 𝑎 = −3 < 0 → la gráfica es una parábola cóncava hacia abajo.
b. −𝑏
2𝑎=
−7
−6 entonces el eje de simetría es la recta de ecuación 𝑥 =
7
6
c. ∆= 49 − 24 = 25 > 0 entonces la gráfica interseca al eje X dos veces:
(2,0) 𝑦 (1
3, 0) .
d. El vértice de la parábola es el punto de coordenadas (−𝑏
2𝑎,
−∆
4𝑎) = (
7
6,
25
12)
e. 𝑔(0) = −2 entonces la intersección de la gráfica con el eje Y es el
punto de coordenadas (0, −2)
2. Determine el valor de 𝑘 de manera que los siguientes puntos sean
colineales 𝐴(−3,5); 𝐵(6, 𝑘) y 𝐶(2,1) 3 puntos
Para que sean colineales se debe cumplir que la pendiente de la recta que
contiene a A y a B debe ser igual a la pendiente de la recta que contiene a
A y a C:
𝑘 − 5
9=
−4
5↔ 5𝑘 − 25 = −36 ↔ 5𝑘 = −11 ↔ 𝑘 = −
11
5
3. Justifique si el cuadrilátero el ABCD determinado por los puntos
𝐴(2,3); 𝐵(5, −1); 𝐶(0, −6) y 𝐷(−6,2) es un paralelogramo.
3 puntos
Lado Pendiente
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ −
4
3
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 1
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ −
4
3
𝐴𝐷̅̅ ̅̅ 1
8
Solamente un par de lados opuestos son paralelos, por lo tanto no se
trata de un paralelogramo.
4. Sea 𝐿1 la recta de ecuación 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 y 𝐿2una recta paralela 𝐿1y que
contiene al punto (0,5) Considere el trapecio cuyos vértices son los
puntos de intersección de las rectas 𝐿1 y 𝐿2 con los ejes del sistema de
coordenadas.
a. Realice una representación gráfica de la situación descrita en el
encabezado. 2 puntos
b. Verifique que el trapecio es isósceles. 2 puntos
Como 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 5 − 2 = 3 entonces el trapecio es isósceles.
c. Calcule el área del trapecio. 4 puntos
Si P es el origen del sistema de coordenadas, el área del trapecio es igual
a la resta de las áreas de los triángulos rectángulos (𝐴𝑃𝐷) − (𝐵𝑃𝐶) =25
2−
2 = 10,5 (u. l. )2