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Matemática Aplicada a la Electrónica

Profesor: Mg. Ing. Daniel Mendoza

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Matemática Aplicada a la Electrónica

Aplicaciones de la Estadística en Tecnología

Aplicaciones de la Estadística en Tecnología

• Objetivos:

• Interpretar adecuadamente el concepto de incertidumbre en las mediciones.

• Calcular propagación de incertidumbres según las reglas presentadas.

• Presentar correctamente resultados estadísticos considerando el número de cifras significativas.

Importancia

• Todas las aplicaciones que involucran predicciones, estimaciones, inferencias, decisiones, mediciones y control tienen que trabajarse conjuntamente con incertidumbres.

• La manera como se puede cuantificar incertidumbre es un campo de estudio muy riguroso con mucho progreso reciente en investigación y aplicaciones.

Errores en la medición

• Cuando hacemos mediciones, obtenemos como resultado cantidades numéricas.

• Ningún experimento en el que se mide una cierta magnitud es absolutamente preciso, es decir, el resultado de la medida no coincide exactamente con el valor real (desconocido) de la magnitud.

• Si queremos utilizar el experimento para comprobar una teoría, es necesario estimar la desviación del valor medido con respecto al valor real. La teoría de errores estudia cómo estimar esta desviación.

Incertidumbre

• Las mediciones físicas involucran la utilización de instrumentos de medida y a un observador (quien realiza la medida).

• Tanto los instrumentos como el observador están sujetos a errores.

• Los errores en los instrumentos se deben a la apreciación del aparato, esto quiere decir que cada instrumento posee un valor mínimo de medida, el cual consideramos como la incertidumbre de dicho instrumento.

La incertidumbre es inevitable

• Al ojo: 110 cm (105-115 cm)

• Con cinta métrica / wincha:

111.3 cm (+/- 0.1 cm)

• Interferómetro de láser:

111.30582 cm (+/- 0.00005 cm)

• Problemas adicionales ?

Precisión e incertidumbre

• Todas las medidas en un laboratorio son estimaciones de una cantidad real.

• Tan importante como dar un valor para la cantidad es estimar cuánto nos hemos acercado al valor real.

• Ejemplo: f = (152 ± 4) mm Quiere decir que (con una cierta probabilidad):

148 mm < f < 156 mm

¿ La corona es de oro ?

• Referencia:

ρ (18K-oro) = 15.5 g/cm3

ρ (aleación) = 13.8 g/cm3

• Resultados:

• Jorge:

ρ = 15.0 g/cm3 (+/- 1.5 g/cm3)

• Marta:

ρ = 13.9 g/cm3 (+/- 0.2 g/cm3)

Más ejemplos

• Industrias de manufactura• Sistemas de seguridad de

vehículos• Teoría científica: • α = 0’’ o 0.9’’ (T. Clásica)• α = 1.8’’ (T. de Relatividad)

• Eddington (1919):• α = 2.0’’ (+/- 0.3’’)

• Error humano• Limitaciones de los instrumentos• Influencias externas• En un procedimiento experimental que nos proporciona

el valor de una magnitud X, el resultado no coincide exactamente con el valor real de dicha magnitud. La diferencia entre el valor real y el valor medido se llama error de la medida:

Fuentes de Incertidumbre

realXE medidoX

Componentes del error

• Errores accidentales (o aleatorios)– Se pueden reducir aumentando el número de

observaciones.– No se pueden compensar pero sí estimar.

• Errores sistemáticos– Puede ser reducido o compensado.

Errores accidentales

• Se deben a causas imposibles de controlar (cambios de temperatura, vibraciones, presión, etc.), que alteran el resultado a veces por defecto y otras por exceso.

• Se hace la hipótesis de que estos errores se distribuyen al azar, siguiendo leyes estadísticas que permiten determinar el valor más probable, así como el margen de incertidumbre.

Errores sistemáticos

• Se deben a defectos del método o del instrumento, que dan lugar a una desviación de los resultados de las medidas, siempre en el mismo sentido.

• Entre estos errores cabe destacar el error de cero, como por ejemplo, el que tiene una balanza cuyo cero no está bien ajustado por defecto de los brazos. Estos errores se deben detectar e intentar eliminar, ya que no admiten tratamiento estadístico.

Incertidumbre Absoluta

• Esta es la incertidumbre asociada con las medidas, la cual será igual a la apreciación del instrumento o a la desviación estándar (incertidumbre estadística) de muchas medidas repetidas, según cuál de las dos sea mayor (generalmente la desviación estándar es mayor).

• El error es siempre desconocido, pero puede estimarse una cota superior para su valor absoluto (el máximo error razonablemente posible). Esta cota se denomina

incertidumbre de la medida y se denota por: x

Incertidumbre Absoluta• De la definición de error y de incertidumbre deducimos

que el valor real de la medida se encuentra en el intervalo:

• Gráficamente podemos representar esta situación de la siguiente forma:

XXXXX medidomedido ; real

XXXXX medidomedido real

Incertidumbre Absoluta

• Xmed se encuentra en el punto medio del intervalo. Por ello, el resultado de una medida se escribe siempre en la forma:

XXX medido

Incertidumbre Relativa

• Es la razón (relación) entre la incertidumbre de la medida (incertidumbre absoluta) y la medida obtenida.

• A veces es útil comparar el error de una medida con el valor de la misma. Se define para ello la incertidumbre relativa de una medida como el cociente:

medidoX

X

Cálculo de Incertidumbres

• Incertidumbre estadística

– Se presenta cuando medimos reiteradamente cierta cantidad.

– Una medida de esta incertidumbre es la desviación estándar:

n

xxn

ii

1

2

• Incertidumbre de medidas directas– Si el valor de la magnitud se observa directamente en un

instrumento de medida (medida directa).

• Incertidumbre de medidas indirectas– Si se obtiene manipulando matemáticamente una o

varias medidas directas (medida indirecta).

• En la práctica calcularemos primero la incertidumbre de las medidas directas y luego la de las medidas indirectas.

Cálculo de Incertidumbres

• La forma de calcular la incertidumbre absoluta x depende del número n de medidas efectuadas:

• Una sola medida (n=1):– En este caso tomaremos la incertidumbre debida a la

precisión del instrumento de medida. Normalmente se toma igual a la división mínima de su escala y la denotamos por p.

Incertidumbre en medidas directas

pX

• Más de una medida (n > 1):• Para esta estimación es necesario repetir la medida varias

veces en las mismas condiciones. En cada repetición de la medida los factores aleatorios afectan de forma diferente, lo que permite obtener información acerca de su magnitud.

• Si repetimos n veces la medida de una magnitud X y denotamos por X1,X2,X3,...,Xn los resultados de las n medidas, entonces el mejor valor es la media aritmética, es decir:


n

x

x

n

ii

1

• Tomaremos como incertidumbre absoluta x la mayor entre la incertidumbre debida a la precisión del aparato p y la debida a factores aleatorios, que dependerá del número de medidas:

• Donde: Dm es la desviación máxima y viene definida como:


m

mX

pXn

Dpn

,max 10:si

,max 102:si

2

minmax XXDm

• σm es la desviación típica de la media (o error cuadrático de la media) y viene dada por la expresión:

• Finalmente, la medida directa debe expresarse en la forma:


n

xxn

ii

m

1

2

unidadesXXX

• Una vez obtenida la incertidumbre de las medidas directas, calculamos las de las medidas indirectas.

• Supongamos que se desea medir la magnitud R = f(X, Y, Z), que es función de tres variables: X, Y, Z; las cuales se han medido directamente (junto con sus incertidumbres directas), obteniéndose los valores:

Incertidumbre en medidas indirectas

ZZZYYYXXX ; ;

• La incertidumbre de la magnitud R viene dada por:


ZZ

RY

Y

RX

X

RR

• Ejemplo 1: Calcule el perímetro de la mesa.

• Se han medido sus 4 lados y se ha obtenido:• a = 1.02 ± 0.02; b = 0.63 ± 0.01; • c = 1.04 ± 0.02; d = 0.61 ± 0.01;• Presente su estimación del perímetro de la mesa


• Ejemplo 2: En el caso en que hubiéramos medido espacios y tiempos para determinar la velocidad de un móvil.

• Ejemplo 3: Determinamos la aceleración g de la gravedad utilizando un péndulo simple. Tomamos medidas de la longitud del péndulo L y del período de oscilación T, obteniendo:

L = (1.001 ± 0.001)m y T = (2.0 ± 0.1) s

¿Cuál es el valor de la gravedad?


Presentación de resultados

• Las calculadoras que utilizamos para realizar los cálculos dan muchas más cifras de las que son físicamente representativas.

• Si el valor de una medida de volumen es (158.993 ± 9.147) cm3, es absurdo precisar tres cifras decimales en el valor que uno da por bueno, cuando la incertidumbre de esa medida es del orden de una decena. Será necesario redondear tanto el valor aceptado como su incertidumbre.

• Por ejemplo carece de sentido expresar una incertidumbre como 9.147 cm3, ya que si hay nueve unidades de error, entonces ¿qué importan las milésimas frente a este número?


• Para redondear seguiremos los siguientes criterios:

La incertidumbre debe tener una sola cifra significativa. Se denomina cifra significativa de la incertidumbre a la primera cifra distinta de cero, esté antes o después de la coma decimal. Si la primera cifra que se omite es menor que 5, se elimina sin más (redondeo por defecto). Si es mayor o igual a 5, se aumenta en una unidad la última cifra significativa (redondeo por exceso).


• Ejemplos: Si esto fuera incertidumbre, se muestra cómo debería escribirse.

• 0.0053 0.005• 0.0055 0.006• 0.0056 0.006• 24.56 20• 183 200• 9.51 10• 9.49 9


• Ejemplos:

• MAL ESCRITA BIEN ESCRITA

1.28 ± 0.1 1.3 ± 0.1

1.82 ± 0.1 1.8 ± 0.1

2.43 ± 10% (= 2.43 ± 0.2) 2.4 ± 10% (= 2.4 ± 0.2)

25432 ± 408 (2.54 ± 0.04)x104

0.00358 ± 0.00023 (3.6 ± 0.2)x10-3 ó0.0036 ± 0.0002


• El valor aceptado (sea el valor medio de las medidas o el valor calculado, según se trate de medidas directas o indirectas), se redondea de forma que su última cifra significativa sea del mismo orden que la cifra significativa de la incertidumbre absoluta.

• Por ejemplo si la incertidumbre es 0.005 el valor aceptado deberá redondearse para tener tres decimales. Por ejemplo: 8.125 ± 0.005


• Ejemplos: Si se tuviera una incertidumbre en el orden de las milésimas, cómo se escribiría el valor medido.

1.38342 se redondea a 1.383





• Si se tuviera la siguiente medición con su respectiva incertidumbre:

• La expresión correcta del resultado será:

scmv / )10054700(

scmscmv / 76,129v / 13,54678

Cifras significativas

• Reescriba los siguientes resultados en una forma más clara, con un número adecuado de cifras significativas:

• H = 5.03 ± 0.04329 m• X = 3.323 ± 1.4 mm• Tm = 1.5432 ± 1 s• Cm = -3.21 x 10-19 ± 2.67 x 10-20 C• Wl = 0.000000563 ± 0.00000007 m• Mm = 3.267 x 103 ± 42 g cm/s• Te = 1234567 ± 54321 s• Lm = 5.33 x 10-7 ± 3.21 x 10-9 m

Análisis de datos

• La aceleración “a” de un carro deslizándose sin fricción por una pendiente de ángulo “θ” se espera que sea gsinθ. Para evaluar esto, un estudiante mide la aceleración a de un carro para una serie de valores distintos de θ, así como la aceleración esperada gsinθ en cada caso. Los resultados se muestran en la tabla:

Nº Intento Aceleración a (m/s2) Aceleración esperada gsinθ (m/s2)

1 2.04 ±0.04 2.36 ±0.1

2 3.58 ±0.06 3.88 ±0.08

3 4.32 ± 0.08 4.57 ±0.05

4 4.85 ±0.09 5.05 ±0.04

5 5.53 ±0.1 5.72 ± 0.03

Análisis de datos

• Agregue una columna a la tabla para mostrar las discrepancias z = a – gsinθ y sus incertidumbres.

• ¿Estos resultados confirman que “a” viene dado por gsinθ?

• De no ser el caso, ¿podría sugerir algunos motivos que expliquen esta situación?

Propagación de errores

• Usando las reglas para propagación de errores, calcular lo siguiente:

• a = (5 ± 1) + (8 ± 2) - (10 ± 4)• b = (5 ± 1) x (8 ± 2)• c = (10 ± 1) / (20 ± 2)• d = (30 ± 1) x (50 ± 1) / (5.0 ± 0.1)• Si Θ = 5π/6 ± π/90 rad; calcule y1 = sin (θ)• Si x = 3.0 ± 0.1; calcule: y2 = ex • Para θ y x dados, encontrar y3 = e2x sin (3θ)

Medición en esfera

• Se ha medido el perímetro de un círculo máximo de una esfera como: P = 4.2 m ± 6 %

• ¿Cómo debería reportar el radio de la esfera?

• ¿Cómo debería reportar el área total de la esfera?

• ¿Cómo debería reportar el volumen de la esfera?

Altura de tanque

• Un estudiante desea medir la altura de un tanque dejando caer una pequeña piedra dentro y tomando el tiempo de la caída con un cronómetro. De esta forma, obtiene que el tiempo es t = 3.2 s ± 10%.

• ¿Cuál será su resultado para la altura del tanque?

• Considerar g = 9.81 m/s2 con incertidumbre despreciable.

Energía de un sistema• En un experimento de laboratorio se tiene un pequeño

carro conectado a un resorte, el cual lo hace oscilar. La energía total del sistema viene dada por: E = ½mv2 + ½kx2, donde “m” es la masa del carro, “v” su velocidad, “k” es la constante del resorte y “x” es la extensión del resorte respecto al equilibrio. Se han llevado a cabo las siguientes mediciones:

• m = 0.230 ± 0.001 kg; v = 0.89 ± 0.01 m/s• k = 1.03 ± 0.01 N/m; x = 0.551 ± 0.005 m

• ¿Cuál es el valor de la energía total del sistema?

Circuito eléctrico

• Para el siguiente circuito, considerar los siguientes valores para sus componentes:

• V1 = 24.00 ± 0.01 V• Ra = 120 Ω ± 1%• Rb = 330 Ω ± 0.5%• Rc = 1 KΩ ± 2%

• Calcular Ix y Vx considerando

instrumentos ideales.

Coordenadas esféricas

• Dado un punto en el espacio en coordenadas esféricas (r, θ, φ), donde:

• • r = (25.43 ± 0.01)m• θ = (57 ± 1)°• φ = (32.5 ± 0.5)°

• Encontrar sus coordenadas

en el sistema cartesiano.

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