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Pauta Taller Evaluado N

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Sebastian Gonzalez M.

12 de septiembre de 2010

1. Problemas

1. Considere la relacion R en R2 dada por:

xRy x y Z

a) Verificar que R es una relacion de equivalencia.

b) Encontrar la clase de equivalencia de 2.

2. Sea

{ak

}sucesion en progresion geometrica con cociente q = 1

3.

Si bk = ak + 1 + 3kk, determinar lmk bk2. Respuestas

1. Primero analizemos la situacion.

a) Tenemos que una relacion se cumple, si y solo si se cumple la siguiente condicion: xy Z. Es decir, la resta delas coordenadas del punto que pertenece a R2 debe pertenecer a Z, los enteros. Muchos pusieron que la restadeba ser mayor a 0 o cosas por el estilo que estaban malas. Vamos viendo paso por paso, que es lo que se debeprobar para que R sea una relacion de equivalencia:

Refleja: Que la relacion se cumpla con un punto arbitrario (x,x).Aplicamos el punto a la relacion:

xRx x x = 0 Z

Sabemos que el 0 es entero. Luego la relacion es refleja.

Simetrica: El punto (a, b) cumple con la relacion, entonces el punto (b, a) tambien debe cumplir.Sabemos que (a, b) cumple con la relacion, es decir a b = c Z, la resta de las coordenadas da un valor carbitrario que pertenece a los enteros. Ahora hay que ver si el otro punto cumple tambien:

bRa b a = (a b) = c.Y ya que sabemos que c pertenece a los enteros, c tambien pertenece a los enteros. Luego la relacion essimetrica.

Transitiva: Los puntos

(p, q

)y

(q, s

)cumplen con la relacion, entonces el punto

(p, s

)debe cumplir tambien.

De la relacion con los puntos sabemos:

pRq p q = r Z

qRs q s = t Z

Veamos que sucede con (p,s). Obtenemos pRs p s. Como saber que p-s pertenece a los enteros? Hayque ser un poco avispado solamente. Mas arriba tenemos dos ecuaciones:

p q = r

q s = t

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Que pasa si las sumamos?

p q + q s = r + t

p s = r + t

Obtuvimos una expresion para p s que es r + t. Y ya que sabemos que r + t pertenece a los enteros, puesla suma o resta sobre enteros es cerrada, es decir, si sumo o resto un entero con otro entero, siempre,obtengo otro entero, podemos concluir que la relacion tambien es transitiva, y con esto, es de equivalencia.

b) La clase de equivalencia de c, [c], viene definida como el conjunto de todos los y que hagan cumplir la relaci oncPy se cumpla, es decir:

[c] = {y R cPy}Pasando esta definicion a nuestro caso:

[2] = {y R 2Ry}Es decir, todos los y R que hagan que 2 y pertenezca a los enteros. Y ya que sabemos que la suma y restaentre enteros da siempre un entero, el conjunto de todos los y que nos sirven es Z.

2. Aca muchos murieron por el termino ak. Pusieron una sumatoria rara, que sirve para calcular la suma de los kterminos de la progresion. Eso no es lo que les preguntaban. A ustedes les preguntaban cuanto era ak y esto es unaformula muy simple:

ak = a1 qk1

Esta formula no tienen que aprendersela, porque la pueden deducir facilmente al ojo, y si quieren por induccion.Pero a nadie le gusta hacer eso ultimo.Por algebra de lmites sabemos que:

lmk

bk = lmk

ak + lmk

1 + 3kk

Veamos el primer l mite. Es llegar y reemplazar:

lmkak = lmka1 1

3 k1

= a1 lmk1

3 k1

Es claro que ese termino se va a 0 cuando k se va infinito, porque cada vez que el k avanza, estamos multiplicandopor 1

3, osea estamos haciendo mas chica la fraccion. Lo del signo en este caso da lo mismo, porque nos acercamos

al cero desde los positivos y negativos a la vez. As:

lmk

ak = 0

Ahora vamos por el que se ve feo.

lmk

1 + 3kk

Muchos pusieron que lo de adentro era 1+0 y eso elevado a infinito asi que es 1. Eso est a mal. No lo hagan nunca

mas. En serio. Cada vez que vean un lmite parecido, deben pensar en Euler. Esos son los lmites del tipo:

e = lmalgo

(1 + algo) 1algo o e = lmalgo

(1 + 1algo

)algoEl que tenan que resolver era del segundo tipo. Solo que apareca un 3 y haba que modificar la fraccion paraobtenerlo.

lmk

1 + 3kk = lm

k1 + 1

k3

k

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Ahora elevamos el lmite ocupando un 1 conveniente:

lmk

1 + 1k3

k

=

lmk1 +

1k3

k3 3

Transformamos nuestro lmite a un lmite de Euler de la segunda forma, lo que es igual a e, y como esta elevado a3, el lmite vale e3.

Luego

lmk bk = 0 + e3= e3

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