apunte complementos mat021

Editado porVerónica Gruenberg Stern

Apuntes Preliminares de

MAT021 - Complementos vs. 1◦ sem. 2015

Prefacio

Estimados alumnos:

Este texto ha sido desarrollado especialmente para ustedes, y es el resultado del aporte de muchoscolegas del Departamento de Matemática de la Universidad Técnica Federico Santa María, quea lo largo del tiempo han dictado este curso. Las diferentes secciones incorporan, además de lospropios, apuntes de profesores tanto de Casa Central como del Campus Santiago, especialmen-te Nelson Cifuentes, Pedro Gajardo, Víctor González y Erwin Hernández. En esta versión, losapuntes que hemos tomado de ellos han sido editados por quien suscribe, para enfatizar aquellosaspectos que nos parecen relevantes y unificar notación y enfoque. Además, la estructura del apun-te incorpora no solo los contenidos que se espera conozcan en profundidad, sino que también unagran cantidad de ejercicios resueltos y propuestos, que esperamos resuelvan con entusiasmo, pa-ra lograr mejores aprendizajes. Hemos optado también por incluir muchas demostraciones de losteoremas que revisarán en clases. No es el objetivo que todas éstas sean vistas en clases. Más bien,esperamos que los alumnos interesados, tengan la posibilidad de profundizar en la aprehensión delos conceptos involucrados, y de comprender cómo se realiza la construcción del conocimiento ma-temático. Esperamos que esta segunda versión, aún preliminar, les sea de utilidad, y que cualquiererror que aún persista y encuentren (por cierto, involuntario), nos sea informado al mail indicadoabajo. Hemos incorporado varias de las correcciones que nos han hecho llegar, y agradecemos latarea silenciosa y meticulosa de quienes así lo han hecho.

Una concepción equivocada respecto a la forma de enfrentar un curso en la Universidad, proba-blemente producto de su experiencia previa, es que piensan que el estudio debe enfocarse solo a laresolución de problemas “tipo” y que no se debiera revisar los “conceptos ”. Deben tener presenteque queremos que resuelvan “todos ” los problemas, no sólo un cierto tipo. Para lograr ese nivelde dominio, los estudiantes deben comprender los conceptos y deben desarrollar la habilidad desaber cuando y cómo aplicarlos en situaciones diversas. Otro error es pretender concentrar el estu-dio un par de días antes de cada certamen. Las habilidades y competencias que serán evaluadas,en general requieren tiempo de construcción y de maduración, por lo que les recomendamos fuer-temente estudiar clase a clase, desarrollando los ejercicios planteados en los apuntes y también enlas guías de ejercicios.

I

PREFACIO Verónica Gruenberg Stern

Es importante que tengan presente que, aunque hemos intentado incluir todo el material peda-gógico relevante, este apunte no reemplaza las clases. Nada se compara a la interacción que seproduce en el aula, tanto con sus profesores como con sus compañeros. La discusión de los con-ceptos y la contrastación de diversos puntos de vista fortalece la comprensión de los mismos. Porello, para argumentar adecuadamente y lograr un buen aprendizaje de los conceptos e ideas queconsidera este curso, es fundamental que asistan a clases, participen activamente en ella, estudiende manera metódica, ojalá estructurando un horario de estudio diario, preparándose siempre parasu próxima clase y que planteen a sus profesores cualquier duda que les surja.

Quiero agradecer el constante estímulo y apoyo de los colegas del Departamento de Matemáticadel Campus Santiago Vitacura, muy especialmente a Roberto Geraldo, Enzo Hernández y ErickInda. Sus valiosas observaciones, correcciones y aportes han mejorado sustancialmente este apun-te.

A ustedes, estudiantes, les deseo una gran experiencia de aprendizaje. Cordialmente,

Verónica Gruenberg SternDepartamento de Matemática

Universidad Técnica Federico Santa María

[email protected]

II

mailto:[email protected]

Índice general

Prefacio I

Índice general III

1. Nociones básicas de Lógica y Conjuntos 1

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Conectivos Lógicos y Tablas de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Álgebra de Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4. Ejercicios Misceláneos de Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5. Nociones Básicas de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6. Álgebra de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7. Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.8. Conjunto Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.9. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.10. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.11. Ejercicios Misceláneos de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.12. Ejercicios de Controles y Certámenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2. Relaciones 43

2.1. Nociones Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2. Representación de Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.1. Representación mediante Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.2. Representación mediante Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3. Relaciones de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.1. Clases Residuales módulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4. Relaciones de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.5. Ejercicios Misceláneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55


III

ÍNDICE GENERAL

3. Números Naturales 573.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2. Inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3. Sumas y Productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.3.1. Notación: Sumatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.3.2. Notación: Productoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.4. Progresiones Aritméticas y Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.5. Teorema del Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.6. Ejercicios de Controles y Certámenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4. Trigonometría 914.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.2. Funciones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.3. Identidades Fundamentales en el triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.3.1. Suma y resta de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.4. Identidades Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.5. Resolución de Triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.6. Gráficas de las Funciones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.6.1. Funciones sinusoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.7. Funciones Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.8. Ecuaciones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.8.1. Ecuaciones de la forma a senx+ b cosx = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.9. Ejercicios de Controles y Certámenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.10. Propiedades trigonométricas básicas (resumen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5. Funciones Exponencial y Logaritmo 1215.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.2. Función Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.3. Función Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.3.1. Bases 10 y e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.3.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126


6. Geometría Analítica 1296.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.2. Distancia entre dos Puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.2.1. División Interior de un trazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.3. La Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.3.1. Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

IV

ÍNDICE GENERAL

6.4. Secciones Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.4.1. La Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.4.2. La Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.4.3. La Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.4.4. La Hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.5. Ejemplos y Ejercicios de Lugares Geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.6. Ejercicios de Controles y Certámenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7. Números Complejos y Polinomios 1517.1. Números Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7.1.1. Operaciones con números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527.1.2. Conjugado y Módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1547.1.3. Forma Polar de un Número Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.1.4. Teorema de de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587.1.5. Raíces n-ésimas de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597.1.6. Forma Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

7.2. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1637.2.1. Estructura algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1647.2.2. Raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.2.3. Funciones Polinomiales y Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1707.2.4. Algoritmo de la División (o de Euclides) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1717.2.5. División Sintética (Regla de Ruffini) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727.2.6. Polinomios Irreductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.2.7. Descomposición en Fracciones Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176


V

ÍNDICE GENERAL

VI

Capítulo 1

Nociones básicas de Lógica y Conjuntos

1.1. Introducción

La lógica matemática es el estudio del lenguaje utilizado en matemática. Lo que distingue ala matemática de otras ciencias, es el uso de demostraciones en lugar de observaciones. Demostrarun teorema significa lograr deducir usando reglas, a partir de un pequeño número de axiomas, elresultado que se desea. Estos axiomas traducen al lenguaje matemático las propiedades más «evi-dentes» de los objetos que interesan, y la sucesión de silogismos por medio de los que se pasa delos axiomas (o más prácticamente, de teoremas ya establecidos) a una aseveración dada, constituyeuna demostración del teorema.

Los axiomas son afirmaciones que no necesitan demostración, y deben referirse a objetos tanbásicos, que no requieran de una definición especial y que sin embargo sean comprensibles y acep-tables para cualquiera. Estos objetos básicos se denominan en lógica conceptos primitivos. Losconceptos primitivos que manejaremos en esta sección son tres: proposición (aseveración), el va-lor lógico V y el valor lógico F . En lugar de estos valores lógicos, podríamos utilizar las palabras«verdadero» y «falso». Sin embargo, éstas tienen sentido dependiendo del contexto que se estéconsiderando. Por ejemplo, en la geometría euclidiana, la afirmación: «por cada punto fuera deuna recta pasa una única recta paralela a ella» es verdadera, pero ésto no es así en la geometríahiperbólica.

Las proposiciones que consideraremos deberán satisfacer la llamada «ley del tercero excluído»,que afirma que cada proposición debe tener un sólo valor lógico (V o F ). Este hecho determina quenuestra lógica matemática sea «binaria». Notemos que este principio, que a priori podría parecertrivial, no lo es tanto, ya que nuestro lenguaje habitual nos permite construir proposiciones (afir-maciones) que pueden tomar ambos valores de verdad. Considere, por ejemplo, la afirmación

Yo siempre miento.

Si estoy diciendo la verdad, entonces miento en mi afirmación. Es decir, ésta es falsa. Si lo que digoes falso, entonces lo que afirmo es verdadero. Más conocida es la llamada paradoja del barbero, queen términos simples puede enunciarse en la forma

El barbero del pueblo afeita solo a todos los que no se afeitan a sí mismos.

1

CAPÍTULO 1. NOCIONES BÁSICAS DE LÓGICA Y CONJUNTOS Verónica Gruenberg Stern

Entonces, si el barbero se afeita a sí mismo, no puede afeitarse a sí mismo. Y, si no se afeita a símismo, deberá afeitarse a sí mismo. Este tipo de paradojas se conocen como paradojas de Russell.

Es fundamental por tanto, conocer las principales leyes de la lógica matemática, que regulan lacorrección de los argumentos matemáticos. Con las consideraciones anteriores, desarrollaremos acontinuación los conceptos de verdad (matemática), equivalencia, consecuencia lógica y aplicare-mos estas ideas al razonamiento matemático, que nos permitirá validar algunas afirmaciones.

Iniciamos la formalización de estas ideas.

DEFINICIÓN 1.1.1 Una proposición es una expresión, aseveración o sentencia de la cual se puedeafirmar inequívocamente que es verdadera (V) o falsa (F). Denotaremos las proposiciones medianteletras minúsculas p, q, r, · · · etc.

EJEMPLOS: ¿Cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones?

1. 8 es menor que 3.

2. Compra 3 panes.

3. La silla tiene 5 patas.

4. ¿Aprobaré este curso?

5. ¡Qué bonito!

6. x+ 3 = 7

7. 2+5

8. x2 − x+ 1 es siempre positivo.

9. El dígito 218 de la expansión decimal de π es un número par.

10. Existe un único número natural que tiene por inverso multiplicativo otro número natural.

Antes de seguir adelante, queremos ilustrar el uso del principio del tercero excluido en las de-mostraciones de algunas proposiciones, es decir, en la validación mediante argumentación deductivade las afirmaciones planteadas.

PROPOSICIÓN 1.1.1 Si a2 es un número par, entonces a es un número par.

Demostración:Sabiendo que a2 es par, queremos demostrar que a también es un número par. Por el principio

del tercero excluido, la afirmación «a es par» puede tomar sólo uno de los valores de verdad V oF .

Supongamos que es F . Luego a debe ser impar, por lo que existe un número ` ∈ N tal quea = 2`+ 1. Por lo tanto:

a2 = (2`+ 1)2 = 4`2 + 4`+ 1 = 2(2`2 + 2`) + 1

de donde se concluye que a2 es un número impar, que obviamente contradice la hipótesis.Por lo tanto, la suposición de que «a es impar», toma el valor de verdad F . Así, por el principio

del tercero excluido, no hay otra posibilidad excepto que la proposición «a es par» sea V .

2

Verónica Gruenberg Stern 1.1. INTRODUCCIÓN

PROPOSICIÓN 1.1.2√

2 no es un número racional.

Demostración:Supongamos que la afirmación «

√2 no es un número racional» es F . Por lo tanto,

√2 es un

número racional. Esto significa que existen números enteros a, b 6= 0 sin divisores en común, talque

√2 = a

b . Luego, elevando esta igualdad al cuadrado, tenemos que: 2 = a2

b2, de donde

a2 = 2b2, es decir que a2 es un número par. Por la proposición anterior, esto significa que a espar, o sea, hay un número c ∈ Z tal que a = 2c. Reemplazando este valor de a en la igualdadanterior, obtenemos (2c)2 = 2b2, es decir, 4c2 = 2b2, de donde b2 = 2c2. Luego b2 es par ypor lo tanto b también es un número par.

Tenemos entonces que tanto a como b son números pares, es decir, tanto a como b son divisiblespor 2. Pero, al suponer que «

√2 es un número racional» es V , elegimos a y b sin divisores en co-

mún. Luego, por el principio del tercero excluido, necesariamente «√

2 no es un número racional»es V .

Usualmente en las demostraciones no se hace referencia al principio del tercero excluido en for-ma explícita, como hemos hecho en ambas demostraciones. Simplemente se observa que, debidoa que la falsedad de la afirmación lleva a concluir la falsedad de alguna hipótesis, y esto último nopuede ser, entonces la proposición ha de ser verdadera. Esto se hace notar escribiendo contradicción(con alguna hipótesis) en el lugar en que ello acaece. Ilustremos esto en la siguiente

PROPOSICIÓN 1.1.3 En la geometría euclidiana se tiene que: dos rectas L1 y L2 perpendiculares aotra recta L3, son paralelas entre sí. (Considere conocido que la suma de los ángulos interiores deun triángulo es igual a 180◦).

Demostración:Supongamos que L1 y L2 no son paralelas entre sí. Por lo tanto, las rectas L1, L2 y L3 forman

un triángulo.Pero, si L1 y L3 son perpendiculares entre sí, entonces el ángulo que ellas forman es de 90◦.

Análogamente para L2 y L3, es decir, al ángulo formado por L2 y L3 es de 90◦.Luego, al ángulo formado por L1, L2 sólo puede ser 0◦, debido a que la suma de los ángulos

de un triángulo es de 180◦. Esto contradice el supuesto de que L1, L2 y L3 forman un triángulo.Luego queda probada la afirmación.

Note que el argumento se basa fuertemente en que la suma de los ángulos interiores de untriángulo es 180◦. Si hubiese una geometría en la cual esta suma fuese mayor que 180◦, el razona-miento fallaría. . . y dicha geometría ¡existe!

3


EJERCICIOS: Demuestre las siguientes proposiciones:

1.√


2.√

5 no es un número racional. ¿Qué pasa con√

4 ?

3. Si n es un número natural que no es un cuadrado perfecto, entonces√n no es un número

racional.

4. 4√


5. Si n es un número entero, entonces n(n+ 1) es un número par.

6. No existen números primos a, b, c tal que a3 + b3 = c3.

7. No existen números naturales n,m :1

n+

1

m=

7

17.

1.2. Conectivos Lógicos y Tablas de Verdad

Estudiaremos a continuación la forma de construir nuevas proposiciones a partir de una, dos omás proposiciones dadas, para formar una nueva. Esto se hará definiendo algunas operaciones queconsistirán en modificar o combinar mediante ciertos conectivos lógicos las proposiciones básicas.Entenderemos por conectivos lógicos a ciertos símbolos que nos permitirán relacionar dos o másproposiciones de modo tal que se genere una nueva.

DEFINICIÓN 1.2.1 Sean p y q dos proposiciones lógicas, entonces se definen los siguientes conecti-vos lógicos y sus correspondientes valores de verdad:

Conjunción Disyunción Implicación Equivalencia Negación Disyuncióncondicional bicondicional exclusiva

p y q; p o q p implica q; p si y solo si q; no p solo p o solo q

tanto p como p si p entonces q p equivale a q

p q p ∧ q p ∨ q p⇒ q p⇔ q p p Y q

V V V V V V F FV F F V F F F VF V F V V F V VF F F F V V V F

4

Verónica Gruenberg Stern 1.2. CONECTIVOS LÓGICOS Y TABLAS DE VERDAD

OBSERVACIÓN: En algunos textos se utiliza la notación ∼ p ó ¬p para la negación de p.

DEFINICIÓN 1.2.2 Llamaremos proposiciones simples a aquellas proposiciones que no contienen co-nectivos lógicos. Llamaremos proposiciones compuestas a aquellas que los contienen.

EJEMPLOS:

1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:

a) Si 4 es par entonces 8=9.

b) Si 4 es impar entonces 8=9.

c) Si 4 es par entonces 8=6+2.

d) Si 4 es impar entonces 8=6+2.

2. Considere las siguientes proposiciones simples

p : 5 es mayor que 7

q : 4 es divisible por 2

Escriba en palabras las proposiciones compuestas p∨ q, p⇒ q y (p ∧ q)⇒ q. ¿Cuáles sonsus correspondientes valores de verdad?

Solución:

1. Denotamos las proposiciones por p : 4 es par, q : 8 = 9 y r : 8 = 6 + 2. Entonces éstasse pueden expresar simbólicamente en la forma:

a) p⇒ q b) p⇒ q c) p⇒ r d) p⇒ r

Como p es V, q es F y r es V, se tiene entonces:

a) V⇒ F︸︷︷︸F

b) F⇒ F︸︷︷︸V

c) V⇒ V︸︷︷︸V

d) F⇒ V︸︷︷︸V

2. En este caso, p toma el valor de verdad F y q toma el valor de verdad V. Luego

a) p ∨ q es equivalente a F ∨ V, lo cual es V.

b) p⇒ q es equivalente a F⇒ V, lo cual es V.

c) (p ∧ q)⇒ q es equivalente a (F ∧ F)︸︷︷︸F

⇒ V, lo cual es V.

DEFINICIÓN 1.2.3 Si p, q, r, s, etc. son símbolos que no denotan proposiciones específicas, llama-remos forma proposicional o proposición compuesta a cualquier expresión finita que se puedaconstruir con tales símbolos y los conectivos lógicos.

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OBSERVACIÓN: Toda forma proposicional tiene asociada una tabla de verdad, es decir, una tabla quedetermina el valor de verdad de la forma proposicional, dependiendo del valor de verdad de lasproposiciones involucradas.

Claramente, con estas operaciones podemos formar proposiciones compuestas de complejaestructura, como por ejemplo:

1. (p ∧ q)⇒ r.

2. [s ∨ {(p ∧ q)⇒ r}]⇔ q.

en donde los paréntesis tienen un objetivo obvio. Cabe hacer notar que, en este punto, estamosfrente al problema de contar. En 1, tenemos tres proposiciones simples p, q, r. Al construir la tablade verdad correspondiente a (p ∧ q) ⇒ r, ¿cuántas posibles alternativas tiene para combinar losvalores de verdad de p, q, r? ¿Y en 2? Si tuviera n proposiciones, ¿cuántas filas tendría su tabla deverdad?

EJEMPLOS: Construya la tabla de verdad de las formas proposicionales:

1. (p ∨ q) ⇔ (p ∧ q)

2. (p ∧ q)⇒ r.

3. [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)]⇒ (p⇒ r)

Solución: Haremos la primera y dejamos las otras como ejercicio.

p q p q p ∨ q p ∨ q p ∧ q (p ∧ (p⇒ q))⇒ q

V V F F V F F VV F F V V F F VF V V F V F F VF F V V F V V V

DEFINICIÓN 1.2.4 Las formas proposicionales se pueden clasificar de la siguiente manera:

1. Tautología si obtiene el valor lógico V (verdadero) para cualquier sustitución (de valor deverdad) de las proposiciones que la componen.

2. Contradicción si obtienen el valor lógico F (falso) para cualquier sustitución (de valor deverdad) de las proposiciones que la componen.

3. Contingencia si no es tautología ni contradicción.

6

Verónica Gruenberg Stern 1.2. CONECTIVOS LÓGICOS Y TABLAS DE VERDAD

OBSERVACIÓN: El ejemplo 1. anterior es una tautología.

DEFINICIÓN 1.2.5 Dos proposiciones p y q (simples o compuestas) son lógicamente equivalentessi el bicondicional entre ambas es una tautología. En tal caso, denotamos el bicondicional por “ ≡ ”y escribiremos p ≡ q.

EJERCICIOS: Demuestre las siguientes equivalencias:

1. p⇒ q ≡ [(p ∧ q)⇒ F ]

2. [p ∧ q ⇒ r] ≡ [(p⇒ r) ∨ (q ⇒ r)]

3. [p ∨ q ⇒ r] ≡ [(p⇒ r) ∧ (q ⇒ r)]

DEFINICIÓN 1.2.6 Se dice que una proposición p implica lógicamente a una proposición q si p⇒ q

es una tautología.

DEFINICIÓN 1.2.7 Sean p1, p2, . . . , pn, q proposiciones. Diremos que q es una consecuencia lógica delas premisas p1, p2, . . . , pn si p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn implica lógicamente a q.

EJEMPLOS: Muestre que (p ∧ (p⇒ q)) ⇒ q es una tautología, y que por lo tanto, q es una conse-cuencia lógica de las premisas p y (p⇒ q).

p

p⇒ qpremisas

q conclusión

Solución: Construimos la tabla de verdad

p q (p⇒ q) (p ∧ (p⇒ q)) (p ∧ (p⇒ q))⇒ q

V V V V VV F F F VF V V F VF F V F V

de donde obtenemos que (p ∧ (p⇒ q))⇒ q es una tautología.

En la próxida sección veremos las propiedades más importantes que cumplen estas operacionesentre proposiciones.

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1.3. Álgebra de Proposiciones

PROPOSICIÓN 1.3.1 Sean p, q y r proposiciones lógicas, entonces se tienen las siguientes:

Nombre Propiedad

Identidad p ∧ V ≡ p , p ∧ F ≡ F , p ∨ V ≡ V , p ∨ F ≡ p

Idempotencia p ∧ p ≡ p , p ∨ p ≡ p

Involución (p) ≡ p

Complemento p ∧ p ≡ F , p ∨ p ≡ V

Conmutatividad p ∧ q ≡ q ∧ p , p ∨ q ≡ q ∨ p

Asociatividad p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r , p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r

Distributividad p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) , p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

Leyes de Morgan (p ∨ q) ≡ p ∧ q , (p ∧ q) ≡ p ∨ q

Transitividad [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)]⇒ (p⇒ r)

Absorción [p ∧ (p ∨ q)] ≡ p , [p ∨ (p ∧ q)] ≡ p

Dejamos como ejercicio la demostración, mediante el uso de tablas de verdad, de estas propie-dades. Las siguientes tres tautologías se utilizan bastante en las demostraciones matemáticas.

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Verónica Gruenberg Stern 1.3. ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

PROPOSICIÓN 1.3.2 Sean p y q proposiciones lógicas; entonces, se cumplen las siguientes:

1. (p⇒ q) ≡ (p ∨ q)

2. (p⇒ q) ≡ (q ⇒ p)

3. (p⇒ q) ≡ [(p ∧ q)⇒ F ]

Demostración:

Haremos las correspondientes tablas de verdad:

1.p q p p⇒ q p ∨ q (p⇒ q)⇔ (p ∨ q)V V F V V VV F F F F VF V V V V VF F V V V V

2.p q p q p⇒ q q ⇒ p (p⇒ q)⇔ (q ⇒ p)

V V F F V V VV F F V F F VF V V F V V VF F V V V V V

3.p q q p⇒ q p ∧ q p ∧ q ⇒ F (p⇒ q)⇔ [(p ∧ q)⇒ F ]

V V F V F V VV F V F V F VF V F V F V VF F V V F V V

OBSERVACIÓN: Las dos últimas tautologías reflejan fuertemente el principio del tercero excluido, ypor ello son muy usadas en las demostraciones de proposiciones o teoremas. Usar la equivalenciaq ⇒ p para demostrar una afirmación p⇒ q, se llama método de la contrarecíproca de demos-tración; utilizamos este método cuando probamos la proposición “si a2 es par entoces a es par”. Y,utilizar la equivalencia [(p ∧ q)⇒ F ] se conoce como método de reducción al absurdo. Usamoseste método cuando probamos que “dos rectas L1 y L2 perpendiculares a L3, son paralelas entre sí”.

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EJEMPLOS:

1. Usando propiedades, determine el valor de verdad de la proposición

[(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] =⇒ [q ∨ (p⇒ r)]

sabiendo que p⇒ (q ∨ r) es falsa.

Solución: Como p ⇒ (q ∨ r) es falsa, necesariamente el valor de verdad de p es V y elvalor de verdad de q ∨ r es F. Luego, tanto q como r son F. Luego, p∧ q es F y p∧ r es F.Así, [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] toma el valor F y por lo tanto la proposición propuesta es V.

2. ¿Para qué valores de x ∈ R la proposición x < 0 =⇒ x2 < 0 es verdadera?

Solución: Como x ∈ R, existen tres posibilidades:

a) Si x > 0, entonces x < 0 es F ∴ la proposición es V.

b) Si x = 0, entonces x < 0 es F ∴ la proposición es V.

c) Si x < 0, entonces x < 0 es V. Como x2 < 0 es F, se tiene que la proposición es F.

Luego, la proposición es verdadera para todos los valores x ≥ 0.

3. (Lewis Carroll) Pruebe que el siguiente razonamiento es válido:

a) Todas las cartas fechadas en esta habitación están escritas sobre papel azul.

b) Ninguna está escrita con tinta negra, excepto aquellas escritas en tercera persona.

c) No he archivado ninguna de las que puedo leer.

d) Ninguna de las que están escritas en una hoja están sin fecha.

e) Todas las que no están eliminadas están en tinta negra.

f ) Todas las escritas por Pérez empiezan con «Estimado señor».

g) Todas las escritas en papel azul están archivadas.

h) Ninguna de las que están escritas en más de una hoja están eliminadas.

i) Ninguna de las que empiezan con «Estimado Señor» están escritas en tercera persona.

∴ No puedo leer ninguna de las cartas de Pérez.

Solución: Consideremos las proposiciones

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Verónica Gruenberg Stern 1.3. ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

p : la carta está fechadaq : la carta está escrita en papel azulr : la carta está escrita con tinta negras : la carta está escrita en tercera personat : la carta está archivadau : puede leer la cartav : la carta está escrita en una hojaw: la carta está eliminadax : la carta está escrita por Pérezy : la carta empieza con «Estimado Señor»

Simbólicamente el razonamiento anterior se expresa:

a) p⇒ q

b) s⇒ r

c) u⇒ t (⇔ (t⇒ u))

d) v ⇒ p

e) w ⇒ r

f ) x⇒ y

g) q ⇒ t

h) v ⇒ w (⇔ (w ⇒ v))

i) y ⇒ s

∴ x⇒ u

Basta ahora poner las premisas en el orden adecuado:

f)→ i)→ b)→ e)→ h)→ d)→ a)→ g)→ c)

y entonces la conjunción de las premisas queda:

(x⇒ y) ∧ (y ⇒ s) ∧ (s⇒ r) ∧ (r ⇒ w) ∧ (w ⇒ v) ∧ (v ⇒ p) ∧ (p⇒ q) ∧ (q ⇒ t) ∧ (t⇒ u)

de donde, aplicando sucesivamente la transitividad, obtenemos x⇒ u.

No queremos dejar pasar la oportunidad de mostrar cómo se pueden usar las tautologíasanteriores para desnudar ciertas falacias, es decir, evidenciar argumentos que aparentan teneruna estructura lógica pero no la tienen.

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4. Demuestre que el siguiente razonamiento constituye una falacia:

Si el Sr. Ramírez es honesto y capaz, entonces tendrá un puesto importante en su empresa.

El Sr. Ramírez es el subgerente de su empresa.

Por lo tanto, el Sr. Ramírez es honesto y capaz.

Solución: Símbolicamente, este razonamiento tiene la forma: ((p⇒ q) ∧ q)⇒ p

Escribiendo la correspondiente tabla de verdad se ve de inmediato que el argumento noes válido, pero, si se dice rápidamente y con energía suena bastante convincente. También,puede utilizarse las propiedades para verificar que el razonamiento no es lógicamente válido.

5. Determine el valor de verdad de las proposiciones siguientes:

a) (r ∈ Q− {0} ∧ x ∈ R−Q) ⇒ rx ∈ R−Q

b) (x ∈ R−Q ∧ y ∈ R−Q) ⇒ xy ∈ R−Q

Solución:

a) Sea r =a

b∈ Q − {0}, x ∈ R − Q. Supongamos que rx ∈ Q (es decir, supongamos

que la tesis es falsa).

r =a

b∈ Q − {0} ⇒ r−1 =

b

a∈ Q − {0} ∴ r−1︸︷︷︸

∈Q· (rx)︸︷︷︸∈Q

= x ∈ Q, lo cual es una

contradicción. Por lo tanto, la proposición es verdadera.

b) Falso. Basta tomar x = y =√

2 ⇒ x · y =√

2 ·√

2 = 2 ∈ Q

1.4. Ejercicios Misceláneos de Lógica

1. Sean u y v números enteros, y considere las siguientes proposiciones:

p : u > 0, q : v < 0, r : u2 > 0, s : v2 > 0

Exprese las siguientes proposiciones en el lenguaje natural, y determine su valor de verdad,sabiendo que las cuatro proposiciones son verdaderas:

a) p ∨ p

b) p⇒ r

c) q ⇒ s

d) s⇒ q

e) p ∧ r

f ) r ∨ s

g) r ⇒ p

h) s⇒ p

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Verónica Gruenberg Stern 1.4. EJERCICIOS MISCELÁNEOS DE LÓGICA

2. Simplifique utilizando propiedades.

a) [p⇒ (q ∧ r)]⇒ (p⇒ q)

b) (p⇒ q)⇒ [(p ∧ r)⇒ (q ∧ r)]

c) [p ∨ (p ∧ q)]⇔ p

d) [p ∧ (p⇒ q)]⇒ q

3. Considere las proposiciones:

p : dos es par, q : dos es impar, r : tres es par, s : tres es impar

Exprese simbólicamente:

a) Si dos no es par entonces tres es par y dos es impar.

b) No sólo dos no es par sino que tampoco es impar.

c) Si tres no es impar entonces dos no es par.

d) Dos es par si y solamente si dos no es impar.

4. Si [(p⇒ q) ∨ (r ⇔ t)] es una proposición falsa, determine el valor de verdad de(r ∧ t) ⇐⇒ (q ∨ r).

5. En los siguientes, determine la validez de los razonamientos:

a) Siempre que llueve hay humedad; hoy llovió. Luego, hay humedad

b) Los burros tienen orejas; X tiene orejas. Luego, X es burro.

c) Siempre hay pollo o pato; hoy no hubo pollo. Luego, hoy hubo pato.

d) Si voy a Acapulco es que fui de vacaciones; no fui a Acapulco. Luego, no fui de vacacio-nes.

e) Si las chicas son risueñas, entonces son populares entre los chicos.

Las chicas serias no son populares entre los chicos.

Las chicas intelectuales son serias.

Por lo tanto, las chicas risueñas no son intelectuales.

f ) Si estudio, entonces no reprobaré este curso.

Si no twiteo muy seguido, entonces estudiaré.

Reprobé este curso.

Por lo tanto, twitié muy seguido.

6. Escriba simbólicamente la afirmación: Si repruebo MAT021, entonces no estudié y me deprimo.Luego, niegue la afirmación y traduzca al lenguaje usual dicha negación.

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7. Demuestre las siguientes afirmaciones:

a) Si a y b son números pares, entonces a2 + b2 es divisible por 4.

b) Si a y b son impares, entonces a2 + b2 es par pero no es divisible por 4.

c) Si un número natural no es par entonces no es múltiplo 10.

d) Si 5n+ 4 es impar, entonces n es impar.

e) Si a y b son enteros positivos tales que a · b = 100 entonces a ≤ 10 o b ≤ 10.

f ) Si el producto de dos enteros es par, entonces al menos uno de ellos es par.

g) El cuadrado de un número entero es de la forma 8n ∨ 8n+ 1 ∨ 8n+ 4, n ∈ Z+0 .

h) Sean a, b ∈ Q+. Pruebe que

√a+√b ∈ Q+ =⇒

√a,√b ∈ Q+

8. Identifique en cada una de las siguientes afirmaciones la hipótesis y la tesis, y luego demues-tre o refute cada una:

a) Si la suma de dos números naturales es divisible por 7, entonces cada sumando es divi-sible por 7.

b) Si dos números naturales son divisibles por 7, su suma es divisible por 7.

1.5. Nociones Básicas de Conjuntos

El concepto de conjunto es una de las ideas más importantes de la matemática del siglo XX,aunque aparentemente no hay nada especialmente geométrico o cuantitativo en este concepto quepudiera indicarnos que es algo intrínsicamente matemático. Sin embargo, esta sencilla noción hainfluido todos los aspectos de esta ciencia, empezando con el trabajo del matemático alemán GeorgCantor (1845–1918), quien fue un pionero en este tema.

El concepto de conjunto es un concepto primitivo, pero puede ser considerado como una colec-ción de elementos u objetos. Estos elementos pueden tener o no tener características en común. Unade las peculiaridades que más diferencia a los conjuntos que se tratan en matemática de los deotras áreas es el uso de notación simbólica. Denotaremos a los conjuntos por letras mayúsculas. Siun “objeto”a se encuentra en un conjunto A, diremos que a es un elemento de A o que a pertenece aA, y escribiremos a ∈ A. Si a no está en A o no pertenece a A, escribiremos a /∈ A.

Es claro entonces que un conjunto estará completamente determinado (o definido), cuandodispongamos de algún medio para decidir si un objeto cualquiera está o no en él. Esto puedehacerse de varias formas (notar que siempre usaremos un paréntesis de llave para agrupar a loselementos de un conjunto):

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Verónica Gruenberg Stern 1.5. NOCIONES BÁSICAS DE CONJUNTOS

1. Listándolos todos. Por ejemplo:A = {u, v, w}

Esta forma de definir un conjunto se llama definición por extensión.

2. Listando algunos elementos representativos.B = {1, 2, 3, 4, 5, . . . }

Esta forma de definir un conjunto no es matemáticamente rigurosa pues puede llevar a equí-vocos; sin embargo, es bastante utilizada precisamente cuando el contexto es claro.

3. Dado un conjunto de referencia U cualquiera, al que llamaremos universo de referencia, pode-mos definir un conjuntoC como aquel formado por los elementos de U que satisfacen algunapropiedad. Por ejemplo, si U = N = B del ejemplo anterior, podemos definir:

a) C = {x ∈ N : x es un número primo}

b) D = {x ∈ N : x es un número par}

Esta forma de definir un conjunto se llama definición por comprensión.

La pregunta que surge de manera natural es cómo decidir cuándo dos conjuntos son iguales.Para ello, consideremos los siguientes ejemplos:

i) A = {x ∈ Z : x2 = x} y B = {0, 1}ii) A = {0, 1, 5, 8} y B = {5, 1, 8, 0}

iii) A = {a, b, c} y B = {a, b, c, a, b, c, a, b}

Por simple inspección, pareciera claro que en cada caso los elementos deA yB son los mismos,no importando:

por qué vía se definen

el orden en que los elementos sean dados

la cantidad de veces en que los elementos se repitan.

Por ello, diremos que dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen exactamente los mismoselementos. Así, en cada caso del ejemplo anterior tenemos que A = B. Dicho de otra forma, A = B

significa que si x ∈ A, entonces se tiene que x ∈ B y, recíprocamente, si x ∈ B entonces tambiénx ∈ A.

Pero bien podría suceder que sólo una de las dos aserciones anteriores se cumpliera. Diremosen este caso que un conjunto A está contenido en (o es subconjunto de) un conjunto B si, y sólo si,cada elemento x ∈ A satisface que x ∈ B. Denotaremos esta relación por A ⊆ B. Si un conjunto Ano está contenido en un conjunto B, escribimos A * B.

Más formalmente:

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DEFINICIÓN 1.5.1 Sean A,B conjuntos. Diremos que :

1. A es subconjunto de B, y escribimos A ⊆ B si y sólo si

x ∈ A ⇒ x ∈ B, para todo elemento x ∈ A.

2. A = B si y sólo si (A ⊆ B ∧ B ⊆ A). Lo anterior también se puede expresar como:

x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B

3. A está propiamente contenido en B si, y sólo si, A ⊆ B, pero A 6= B. A veces se escribe A ⊂ Ben este último caso.

EJERCICIOS: Determine explícitamente los siguientes conjuntos:

1. A = {x ∈ Z : 1 ≤ x2 ≤ 100 ∧ x es divisible por 3}

2. B ={x ∈ N : 2 <

x

7< 3}

3. C = {x ∈ R : x3 = −8}

4. D = {x ∈ R : |x|3 = 8}

5. E = {x ∈ Z : x < 0 ∧ 1000 < x2 < 2014}

6. S es el conjunto formado siguiendo las siguientes reglas:

a) 2 ∈ S.

b) Si n ∈ S, entonces n+ 5 ∈ S.

c) Si n ∈ S, entonces 3n ∈ S.

Además, encuentre el mayor entero del conjunto {1, 2, 3, · · · , 2014} que no pertenece a S.

7. Determine en cada caso si son iguales o diferentes los siguientes conjuntos A y B:

a) A = {x ∈ N : (x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4) = 0}, B = {x ∈ Z : 0 < x < 5}

b) A = {2k − 1 : k ∈ Z}, B = {2k + 1 : k ∈ Z}

c) A = {x ∈ Z : x = 2n+ 1}, B = {x ∈ Z : x = 4n− 1}

d) A = {4n+ 1 : n ∈ Z}, B = {2n+ 3 : n ∈ Z, n es par}

e) A = {3n+ 1 : n ∈ Z}, B = {3n− 2 : n ∈ Z}

f ) A = {4n+ 1 : n ∈ Z}, B = {2n : n es un entero impar}

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Verónica Gruenberg Stern 1.5. NOCIONES BÁSICAS DE CONJUNTOS

DEFINICIÓN 1.5.2 Sea U un universo referencial, y sea A ⊆ U . Llamaremos conjunto vacío, de-notado por ∅, al conjunto que no tiene elementos.

A pesar de su obvia trivialidad, este último conjunto tiene varias propiedades interesantes,cuyas demostraciones nos permitirán introducirnos más de lleno al mundo del razonamiento ma-temático.

PROPOSICIÓN 1.5.1 El conjunto vacío ∅ es subconjunto de cualquier conjunto.

Demostración:Sea A un conjunto cualquiera. Entonces, o bien ∅ ⊆ A, o bien ∅ * A.

Si ∅ ⊆ A, entonces tenemos lo que queríamos probar.Luego, supongamos que ∅ * A. Esto significa que debe existir un elemento x ∈ ∅ con x /∈ A. Pero∅ no tiene elementos por lo que tal x no puede existir. Por tanto, nuestra suposición de que ∅ * A

es imposible de donde ∅ ⊆ A.

La demostración anterior puede parecer un tanto extraña cuando se mira por primera vez, pe-ro es un típico ejemplo del razonamiento involucrado para probar que el conjunto vacío satisfacealguna propiedad. Como ∅ no tiene elementos, no hay en él ninguno que refute la propiedad, dedonde ∅ satisface dicha propiedad ¡vacíamente!

ILUSTRACIÓN: Pruebe que los elementos de ∅ son negros.Demostración:

Si todos los elementos de ∅ son negros, entonces no hay nada que probar. Supongamos entoncesque no todos los elementos de ∅ son negros. Esto quiere decir que hay un elemento x ∈ ∅ que noes negro. Pero ∅ no tiene elementos, por lo que tal x no puede existir. Por tanto, el supuesto de quehay un elemento que no es negro es imposible, de donde todos los elementos de ∅ ¡son negros!

Claramente, de manera análoga, puede probarse que los elementos de ∅ son ¡de cualquier color!

Notar que hablamos insistentemente de el conjunto vacío. Esto se justifica en lo siguiente:

COROLARIO 1.5.1 El conjunto vacío es único.

Demostración:Supongamos que el conjunto vacío no es único, es decir, al menos hay dos conjuntos vacíos.

Sean ∅ y ∅′ estos dos conjuntos vacíos. Queremos probar que ∅ = ∅′. Por la proposición 1.4.1, como∅ es vacío entonces ∅ ⊆ ∅′, y como ∅′ es vacío, entonces ∅′ ⊆ ∅. Luego ∅ = ∅′.

17


EJERCICIOS:

1. Determine el conjunto {x ∈ Z : x2014 < 0}.

2. Pruebe que todos los elementos del conjunto vacío son honestos.

3. Sean a, b dos números reales, con a < b. Determine el conjunto formado por todos los núme-ros de la forma λa+ (1− λ)b, con λ ∈ [0, 1].

1.6. Álgebra de Conjuntos

En esta sección especificaremos algunas operaciones de la teoría de conjuntos que permitenconstruir nuevos conjuntos a partir de otros ya conocidos.

DEFINICIÓN 1.6.1 Sean A y B subconjuntos de un universo referencial U . Definimos:

la unión de A y B (denotado por A ∪ B) como el conjunto formado por todos los elementosde A y todos los elementos de B. Es decir,

A ∪B = {x ∈ U / x ∈ A ∨ x ∈ B}

la intersección de A y B (denotado por A ∩ B) como el conjunto formado por todos los ele-mentos que están en A y en B. Es decir,

A ∩B = {x ∈ U / x ∈ A ∧ x ∈ B}

la diferencia deA yB (denotado porA−B) como el conjunto formado por todos los elementosque están en A y no en B. Es decir,

A−B = {x ∈ A / x /∈ B}

el complemento de A, denotado por Ac, al conjunto formado por todos los elementos de U queno están en A. Es decir,

Ac = U −A = {x ∈ U / x /∈ A}

OBSERVACIÓN: Podemos notar de inmediato que

A−B = A ∩Bc. ∅c = U Uc = ∅

Además, A y B se dicen disjuntos si A ∩B = ∅.

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Verónica Gruenberg Stern 1.6. ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

EJEMPLOS:

1. Sean A = {a, b, c}, B = {b, c} y C = {d}. Entonces

A ∪B = {a, b, c}, A ∩B = {b, c}, A−B = {a} y A ∩ C = ∅

2. Determine A ∩B si

A = {4 + 6k, k = 0, 1, 2, · · · , 110}, B = {7 + 5k, k = 0, 1, 2, · · · 110}

Solución: Los elementos de A tienen diferencia 6 entre ellos, y los de B tienen diferencia 5.El mínimo común múltiplo entre 5 y 6 es 30, y el elemento común más pequeño que poseenambos conjuntos es 22, pues:

22 = 4 + 6 · 3 y 22 = 7 + 5 · 3

Para determinar el elemento más grande en la intersección, buscamos el mayor k ∈ N :

22 + 30k ≤ 557 ⇒ k ≤ 107

6≈ 17, 833333 · · ·

Luego,A ∩B = {22 + 30k, k = 0, 1, 2, · · · , 17}

EJERCICIOS:

1. Considere los conjuntos: A = {x ∈ R/ 5 ≤ |x|}, B = {x ∈ R / x2 + 6 = 7x},C = {x ∈ R / − 7 ≤ x ≤ 3}, D = ∅ y E = R. Determine:B ∩ C, A ∩ C, A ∪B, B ∪ C, A ∪ E, B ∩ E, D −A y A− C.

2. Sean A0 = {3n : n ∈ Z}, A1 = {3n + 1 : n ∈ Z}, A2 = {3n + 2 : n ∈ Z}.Pruebe que estos conjuntos son disjuntos dos a dos, es decir, si i 6= j entonces Ai ∩ Aj = ∅.¿Qué puede decir de A0 ∪A1 ∪A2?

3. Sean

A = {x ∈ N |x es impar ∧ x ≤ 11}B = {x ∈ N | x es múltiplo de 3 ∧ x ≤ 12}C = {x ∈ N |x ≤ 12}

Expresar cada uno de los conjuntos siguientes en términos de uniones, intersecciones, com-plementos y diferencias de A, B, C:

a) El conjunto de los números pares del 2 al 12

b) El conjunto de los elementos de C que al dividirlos por 3 dejan resto 2.

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c) El conjunto {3, 9}.

d) El conjunto {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}.

4. Dé un ejemplo de un universo referencial U y dos subconjuntos A y B tales que

U − (A ∩B) 6= (U −A) ∩ (U −B)

5. Dé ejemplos de conjuntos A,B,C tales que (A ∪B) ∩ C 6= A ∪ (B ∩ C).

PROPOSICIÓN 1.6.1 Sean A,B y C conjuntos en un universo de referencia U . Entonces se cumple:

1. A ⊆ B ⇐⇒ Bc ⊆ Ac.

2. A ⊆ B =⇒ A ∩B = A ∧ A ∪B = B.

3. A ⊆ B ∧ B ⊆ C =⇒ A ⊆ C

4. A ∩B ⊆ A ⊆ A ∪B

Demostración:

1. Debemos probar que

A ⊆ B ⇒ Bc ⊆ Ac

En efecto: sea x ∈ Bc. Luego: x 6∈ B ⇒︸︷︷︸A⊆B

x 6∈ A ⇒ x ∈ Ac

Bc ⊆ Ac ⇒ A ⊆ BEn efecto: sea x ∈ A. Luego: x 6∈ Ac ⇒︸︷︷︸

Bc⊆Acx 6∈ Bc ⇒ x ∈ B

2. Debemos probar que

A ⊆ B =⇒ A ∩B = A

En efecto:A ∩B ⊆ A x ∈ A ∩B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇒ x ∈ AA ∩B ⊇ A x ∈ A ⇒︸︷︷︸

A⊆Bx ∈ B ⇒ x ∈ A ∩B

A ⊆ B =⇒ A ∪B = B

En efecto:A ∪B ⊆ B x ∈ A ∪B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇒︸︷︷︸

A⊆Bx ∈ B

A ∪B ⊇ B x ∈ B ⇒ x ∈ A ∪B

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3. Sea x ∈ A. Como A ⊆ B, se tiene que x ∈ B. Como B ⊆ C, se tiene que x ∈ C.

4. Debemos probar que A ∩B ⊆ A y A ⊆ A ∪B, que dejamos como ejercicio.

OBSERVACIÓN: Notamos que existe una estrecha relación entre la notación de la lógica y la de lateoría de conjuntos. En la siguiente tabla se ilustran las analogías que se pueden establecer entrelos símbolos (operaciones) utilizados en lógica y en conjuntos.

Lógica V F p (Proposición) ∧ ∨ ⇒ ⇔ p

Conjuntos U ∅ A (Conjunto) ∩ ∪ ⊆ = Ac

PROPIEDADES 1.6.1 Sean A,B y C conjuntos. Se tienen las siguientes propiedades:

Nombre Propiedad

Identidad A ∩ U = A , A ∩∅ = ∅ , A ∪ U = U , A ∪∅ = A

Idempotencia A ∩A = A , A ∪A = A

Involución (Ac)c = A

Complemento A ∩Ac = ∅ , A ∪Ac = U

Conmutatividad A ∩B = B ∩A , A ∪B = B ∪A

Asociatividad A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C , A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C

Distributividad A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) , A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

Leyes de de Morgan (A ∩B)c = Ac ∪Bc , (A ∪B)c = Ac ∩Bc

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EJEMPLOS:

1. Mostrar que (A− C) ∪ (B − C) = (A ∪B)− C.

Dem. (A− C) ∪ (B − C) = (A ∩ Cc) ∪ (B ∩ Cc) = (A ∪B) ∩ Cc = (A ∪B)− C

2. Mostrar que (A− C)− (B − C) = (A−B)− C.

Dem. (A− C)− (B − C) = (A ∩ Cc) ∩ (B ∩ Cc)c = (A ∩ Cc) ∩ (Bc ∪ C) =

= [(A ∩ Cc) ∩Bc] ∪ [(A ∩ Cc) ∩ C)] = [(A ∩ Cc) ∩Bc] ∪ ∅ = (A−B)− C

3. Una embotelladora fabrica tres bebidas gaseosas. Se sabe que hay personas que toman sólouna de ellas, otras que toman sólo dos de ellas y otras que toman indistintamente cualquierade las tres. Construya un modelo conjuntista que permita describir esta situación.

Solución: Sean

A = {personas que toman la bebida 1}

B = {personas que toman la bebida 2}

C = {personas que toman la bebida 3}

Es claro entonces que podemos considerar como universo de referencia a aquellas personas queson consumidores de la embotelladora, lo cual en términos de los conjuntos recién definidosqueda:

U = A ∪B ∪ C = {consumidores de la embotelladora}

Las personas que beben indistintamente cualquiera de los tres productos, son las que estánen los 3 conjuntos simultáneamente, es decir:

R1 = A ∩B ∩ C = {personas que toman las 3 bebidas}

Las personas que beben sólo las bebidas 1 y 2, están en los conjuntos A y B pero no en C.Luego

R2 = (A ∩B)− C = {personas que toman sólo bebidas 1 y 2}

Análogamente

R3 = (A ∩ C)−B = {personas que toman sólo bebidas 1 y 3}

R4 = (B ∩ C)−A = {personas que toman sólo bebidas 2 y 3}

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EJERCICIOS:

1. Describa los siguientes conjuntos por extensión:

a) A = {X ⊆ {1, 2, 3} : X ∪ {4, 5, 6} ⊂ {1, 3, 4, 5, 6}}

b) B = {C ∈ {∅, {∅}} : C ∪ {∅} = {∅}}

2. Simplifique utilizando propiedades:

a) [A ∩ (A ∩B)c] ∪ [B ∪ (B ∩ Cc)]c ∪Bc

b) [A ∩ (A−B)] ∪B

c) [(A ∩Bc) ∩ (A−Bc)]c ∪Ac

3. Demuestre:

a) B ⊆ A ⇒ A ∪ (B ∩ C) = A

b) (A ∪B)− (A ∩B) = (B −A) ∪ (A−B)

c) [A ⊆ B ∧ A ∩B = ∅] ⇒ A = ∅

Las operaciones que hemos definido entre conjuntos pueden representarse mediante los lla-mados «diagramas de Venn», en que los conjuntos se representan por regiones. En la figura, elrectángulo representa al conjunto universo, A y B se representan por los círculos izquierdo y de-recho respectivamente, y la zona pintada corresponde a la operación que se indica:

A ∩B A ∪B

Ac B −A

23


1.7. Cuantificadores

Ampliaremos ahora las posibilidades de generar proposiciones, introduciendo primeramenteel concepto de función proposicional.

DEFINICIÓN 1.7.1 Sea U el conjunto universo en un contexto dado. Entendemos por función propo-sicional a una aseveración o expresión que contiene una o más variables, con la propiedad siguiente:al reemplazar la(s) variable(s) por elementos específicos pertenecientes a U , se obtiene una propo-sición.

EJEMPLOS:

1. Sea U = {Los seres humanos}. Entonces, p (x) : “x es jugador de fútbol ” es una funciónproposicional. Note que: p (Alexis Sánchez) es una proposición verdadera, y quep (Nicolás Massú) es una proposición falsa.

2. Sea U = R. Entonces, p (x) : |x| ≥ 5 es una función proposicional. Note que p (−6) esverdadera y p (3) es falsa.

3. Sea U = Z. Entonces p(x) : x2 − 1 = 0 es una función proposicional. Note que la definimosutilizando “: ”para evitar confusiones con el signo igual en la proposición.

4. Sea U = {rectas en el plano}. Entonces q(x, y) : x ⊥ y es una función proposicional.

Notar que también se obtienen proposiciones si en lugar de reemplazar la(s) variable(s) por al-gún objeto específico del universo referencial, se cuantifica el «número» de elementos del universoque satisfacen la propiedad. Por ejemplo:

(1) Existe un x en el universo con la propiedad x2 − 1 = 0.

(2) Todos los x en el universo tienen la propiedad x2 − 1 = 0.

Si nuestro universo son los números enteros, (1) es V y (2) es F . Los símbolos usados paracuantificar son:

∃ : Cuantificador existencial, que se lee «existe un» o «existe al menos un».∀ : Cuantificador universal, que se lee «todos los» o «para todo» o «para cada».

Así, las proposiciones anteriores se escriben simbólicamente:

(1) ∃x ∈ U : x2 − 1 = 0

(2) ∀x ∈ U : x2 − 1 = 0

24

Verónica Gruenberg Stern 1.7. CUANTIFICADORES

Además, cuantificamos el hecho de que uno y sólo un elemento del universo, satisfaga unapropiedad, con el cuantificador existencial acompañado de un signo de exclamación: ∃! , que se lee«existe un único».

Para ver cómo cuantificar en el caso en que se tengan 2 o más variables, volvamos al ejemplo 4.anterior en que consideramos el universo como las rectas de un plano, y la función proposicional

q(x, y) : x es perpendicular a y

Como q(x, y) contiene dos variables, es necesario anteponer dos cuantificadores. Por ejemplo:

(1) (∃x ∈ U)(∃ y ∈ U) : q(x, y) Existe un par de rectas en U que son perpendi-culares.

(2) (∃x ∈ U)(∀ y ∈ U) : q(x, y) Existe una recta que es perpendicular a cual-quier otra.

(3) (∀x ∈ U)(∃ y ∈ U) : q(x, y) Para cada recta en U , existe al menos una quees perpendicular a ella.

(4) (∀x ∈ U)(∀ y ∈ U) : q(x, y) Las rectas en U son perpendiculares entre sí.

Notamos de inmediato que (1) y (3) son V , en cambio (2) y (4) son F . Queremos resaltar eneste punto la diferencia existente entre (2) y (3), de donde podemos concluir de inmediato que loscuantificadores de distinto tipo no pueden ser intercambiados entre sí, o, no conmutan.

Hemos vista ya que dada un proposición, la negación de ésta define una nueva proposicióncuyo valor de verdad es el contrario a la proposición básica. La pregunta obvia ahora es: ¿cómonegar una proposición que está escrita en términos de cuantificadores?

Observemos que negar la existencia de un objeto con determinada propiedad p significa aceptarque ningún objeto posee dicha propiedad, o que, todos los objetos no poseen la propiedad. Portanto:

∃x ∈ U : p(x) ⇐⇒ ∀x ∈ U : p(x)

Por ejemplo, si

U : alumnos de MAT021p(x) : x es rubio,

entonces ∃x ∈ U : p(x) se traduce como «hay un alumno de MAT021 que es rubio». La negaciónde este hecho es que «ningún alumno de MAT021 es rubio», o, de otro modo, «todos los alumnosson no rubios».

25


Al revés, negar que todos los objetos de un universo satisfacen cierta propiedad, equivale aaceptar que a lo menos uno de ellos no la satisface, es decir:

∀x ∈ U : p(x) ⇐⇒ ∃x ∈ U : p(x)

En el ejemplo anterior: ∀x ∈ U : p(x) dice que «todos los alumnos de MAT021 son rubios».Negar esto, es aseverar que «hay al menos un alumno de MAT021 que no es rubio».

Para negar la existencia de un único elemento que satisface una propiedad p, se debe ser cui-dadoso: deberá considerarse la negación tanto de la existencia como de la unicidad, es decir:

(∃!x ∈ U) : p(x) ⇐⇒ [(∀x ∈ U), p(x)] ∨ [(∃x, y ∈ U , x 6= y) : p(x) ∧ p(y)]

En el ejemplo anterior: ∃!x ∈ U : p(x) dice que «hay sólo un alumno de MAT021 que es rubio».Negar esto, es aseverar que « ningún alumno de MAT021 es rubio » o bien que «al menos dosalumnos de MAT021 son rubios».

Podemos resumir las observaciones anteriores de la siguiente manera:

Negación de Cuantificadores

(∀x ∈ U), p(x) ≡ (∃x ∈ U), p(x).

(∃x ∈ U), p(x) ≡ (∀x ∈ U), p(x).

(∃!x ∈ U), p(x) ≡ [(∀x ∈ U), p(x)] ∨ [(∃x, y ∈ U), x 6= y : p(x) ∧ p(y)]

OBSERVACIÓN: La negación de proposiciones con 2 o más variables, se obtiene de manera similar;por ejemplo:

(∃x ∈ U)(∀ y ∈ U) : q(x, y) ⇐⇒ (∀x ∈ U)(∃y ∈ U) : q(x, y)

En síntesis, para negar una proposición cuantificada (sin unicidad), se debe cambiar el cuanti-ficador y negar la función proposicional.

26

Verónica Gruenberg Stern 1.7. CUANTIFICADORES

EJERCICIOS:

1. Dadas las siguientes funciones proposicionales

p(x) : 2x− 10 ≥ 20

q(x) : |x| < 40

a) Determine explícitamente los conjuntos

A = {x ∈ R / p(x) ∧ q(x) es Verdadero }B = {x ∈ R / p(x)⇒ q(x) es Falso }

b) Encuentre A−B.

2. Sea A = {1, 2, 3}. Determine el valor de verdad de:

a) ∀x ∈ A ∃y ∈ A : x+ y = 3

b) ∃x ∈ A ∀y ∈ A : x+ y = 3

c) ∃x ∈ A ∃y ∈ A : x+ y = 3

d) ∀x ∈ A ∃y ∈ A : x+ y ∈ A

e) ∀x ∈ A : x+ 1 6∈ A

f ) ∃x ∈ A : x+ 1 6∈ A

3. Sea A = {1, 2, 3}. Determine el valor de verdad de

(∀x ∈ A) (∃y ∈ A) (x+ y ∈ A ∨ x− y ≥ 1)

y negar la proposición.

4. Para las siguientes definiciones obtenga su negación

a) Un conjunto A ⊆ R se dice acotado si: (∃M ∈ R+)(∀x ∈ A) : |x| ≤M

b) Una función f : R −→ R se dice continua en x0 si:

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R : 0 < |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0)| < ε

5. Demuestre que ∀A ⊆ U : ∅ −A = ∅.

27


1.8. Conjunto Potencia

Un conjunto «nuevo» interesante que puede construirse a partir de un conjunto A dado, esel llamado conjunto potencia de A, que denotaremos por P(A). Este conjunto será aquel formadopor todos los subconjuntos del conjunto A. Se llama a veces también conjunto de las partes de A.Formalmente,

DEFINICIÓN 1.8.1 Sea A ⊆ U un conjunto. Se define el conjunto potencia de A, denotado porP(A), como el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Es decir,

P(A) = {B ⊆ U / B ⊆ A}

OBSERVACIÓN:

Notar que P(A) es un conjunto cuyos elementos son a su vez conjuntos.

El conjunto potencia de un conjunto A siempre es no vacío puesto que tiene el subconjuntoA y ∅ como elementos. Es decir: P(A) 6= ∅.

EJEMPLOS:

1. Si A = {a}, entonces P(A) = {∅, {a}}

2. Si A = {a, b}, entonces P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}

3. SiA = ∅, encontremos P(∅) y P(P(∅)). En este caso se debe tener cuidado, distinguiendoconjunto de elemento, y respetando la consecuente notación:

P(∅) = {∅} y P(P(∅)) = {∅, {∅}}

4. Sea U = P(X), es decir, el conjunto potencia del conjunto X , donde X es un conjuntoarbitrario. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) p(A,B) : ∀A ∈ U ∀B ∈ U : [(X −B) ∩A = ∅ ⇔ B ∩A = B]

b) q(A,B) : ∀A ∈ U ∃B ∈ U : X −B ⊆ A

Solución:

a) p(A,B) es V. En efecto: A,B ∈ P(X) ⇒ A,B ⊆ X . Entonces:

(X−B)∩A = ∅ ⇔ (X∩Bc)∩A = ∅ ⇔ Bc∩A = ∅ ⇔ B ⊆ A ⇔ B∩A = B

b) q(A,B) es V. En efecto, basta tomar B = X .

28

Verónica Gruenberg Stern 1.8. CONJUNTO POTENCIA

EJERCICIOS:

1. Si A = {a, b, c}, encuentre P(A).

2. Sean A,B,D ⊆ U , donde U es el universo de referencia. Si Ac ∩B = ∅, determine:

a) [(A ∪B)−A]c

b) P(B −A)− P(D)

3. ¿Qué relación existe entre los conjuntos P(U −A) y P(U)− P(A)?

TEOREMA 1.8.1 Sean A,B ⊆ U . Entonces:

1. A ⊆ B ⇒ P(A) ⊆ P(B).

2. P(A ∩B) = P(A) ∩ P(B).

3. P(A) ∪ P(B) ⊆ P(A ∪B).

Demostración:

1. Sea X ∈ P(A). Queremos probar que X ∈ P(B). Como X ∈ P(A), por definición se tieneX ⊆ A. Como A ⊆ B, lo anterior implica que X ⊆ B de donde X ∈ P(B).

2. Aquí debemos probar una igualdad de conjuntos, es decir debemos mostrar que:

a) P(A ∩B) ⊆ P(A) ∩ P(B) y

b) P(A) ∩ P(B) ⊆ P(A ∩B)

Veamos primeramente a). Sea X ∈ P(A ∩ B). Como antes, por definición esto quiere decirque X ⊆ A ∩ B. Luego, X ⊆ A y X ⊆ B, de donde X ∈ P(A) y X ∈ P(B), es decirX ∈ P(A) ∩ P(B).

Veamos ahora b). Sea X ∈ P(A) ∩ P(B). Luego, X ∈ P(A) y X ∈ P(B), de donde X ⊆ A yX ⊆ B y entonces X ∈ P(A ∩B).

3. Dejamos la demostración de la inclusión como ejercicio. Para darse cuenta de que en generalP(A ∪B) 6⊆ P(A) ∪ P(B) basta tomar A = {a} y B = {b}.

EJERCICIOS:

1. Sea B ⊆ A. Se define F = {X ∈ P(A) : B ∩X = ∅}. Probar que:

a) ∀X ∈ F ∃Y ∈ P(A) : X ∩ Y ∈ F

29


b) ∀X ∈ P(B) : X ∩A = A ⇐⇒ A = B

2. Sean A y B conjuntos en U . Definimos la diferencia simétrica entre A y B como

A∆B = (A−B) ∪ (B −A)

Si A = {1, 3, 4} y B = {1, 5}, determine

a) A∆B b) P(A)∆P(B)

1.9. Producto Cartesiano

Observe que los conjuntos {a, b} y {b, a} son iguales ya que ambos contienen los mismos ele-mentos. Para poder distinguir el orden de los elementos, se introduce el concepto de par ordenado:

DEFINICIÓN 1.9.1 Dados dos elementos a ∈ A, b ∈ B, el par ordenado (a, b) se define como elconjunto

(a, b) = {{a}, {a, b}}

Esta definición formal de par ordenado puede resultar un tanto extraña cuando se ve por primeravez. Tal vez la demostración de la siguiente propiedad ayude a aclarar esta definición.

PROPIEDADES 1.9.1 Sean a1, a2 ∈ A, b1, b2 ∈ B. Entonces

(a1, b1) = (a2, b2) si y solo si a1 = a2 ∧ b1 = b2

Dem. Es claro que:

(a1 = a2 ∧ b1 = b2) =⇒ (a1, b1) = (a2, b2)

por lo que debemos probar que

(a1, b1) = (a2, b2) =⇒ (a1 = a2 ∧ b1 = b2)

Demostraremos primero que a1 = a2:supongamos que (a1, b1) = (a2, b2). Entonces, {{a1}, {a1, b1}} = {{a2}, {a2, b2}}. Luego,

{a1} ∈ {{a2}, {a2, b2}} y por lo tanto {a1} = {a2} ∨ {a1} = {a2, b2}

Si {a1} = {a2}, entonces a1 = a2.Si {a1} = {a2.b2}, entonces a1 = a2 = b2. En cualquier caso, a1 = a2.

30

Verónica Gruenberg Stern 1.9. PRODUCTO CARTESIANO

Demostremos ahora que b1 = b2:sabemos ya que, bajo las hipótesis, a1 = a2. Entonces, podemos reescribir

{{a1}, {a1, b1}} = {{a2}, {a2, b2}} en la forma {{a1}, {a1, b1}} = {{a1}, {a1, b2}}

Si a1 = b1, entonces {a1} = {a1, b1} = {a1, b2} de donde a1 = b1 = b2.Si a1 6= b1, entonces la única posibilidad es que {a1, b1} = {a1, b2} por lo que b1 ∈ {a1, b2}.

Como a1 6= b1, se tiene que b1 = b2.

DEFINICIÓN 1.9.2 Sean A,B ⊆ U . Se define el producto cartesiano de A y B, denotado por A×B,como el conjunto:

A×B = {(x, y) / x ∈ A ∧ y ∈ B}

OBSERVACIÓN:

Observar que A×B 6= B ×A.

Claramente, R2 = R×R.

Es claro que la definición de par ordenado se puede extender a trío ordenado y, en general, auna n-upla ordenada.

EJEMPLOS:

1. Si A = {1, 2, 3} y B = {a, b}, entonces A×B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} .

2. Se arroja un dado azul y a continuación se arroja un dado rojo. Explicitar un modelo mate-mático donde se puedan representar los resultados posibles.

Solución: Si denotamos porDa los posibles resultados del dado azul y porDr los posibles re-sultados del dado rojo, entoncesDa = Dr = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Así, un conjunto mediante el quese puede representar los posibles resultados de los lanzamientos, es el producto cartesianoDa ×Dr.

3. Z×R = {(x, y) : x ∈ Z, y ∈ R}. Gráficamente, se puede representar como rectas verticalesque intersectan el eje OX en los números enteros.

4. Z×Z representa un reticulado de puntos en el plano cartesiano.

5. Si S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} y A = [0, 1], entonces S1 × A representa uncilindro de altura 1 unidad.

31


EJERCICIOS:

1. Considere los siguientes subconjuntos de R: A = [0, 1], B ={

1n , n ∈ N

}, C = [−1, 1],

D = {0, 1,−1}. Dibuje, en el plano cartesiano, los siguientes conjuntos: A×D,A×B, A× C, A×R, D ×R, B ×B, B × C. ¿Puede dibujar en R3 : A× C ×D?

2. Representar gráficamente el subconjunto de R2 que es solución del sistema de inecuaciones

x+ y ≤ 1

x+ y ≥ −1

x− y ≤ 1

x− y ≥ −1

y relacionarlo con |x|+ |y| ≤ 1.

TEOREMA 1.9.1 Sean A,B,C,D ⊆ U . Entonces se cumple:

1. A×B = ∅ ⇐⇒ A = ∅ ∨B = ∅

2. A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C)

3. A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C)

4. A ⊆ C ∧B ⊆ D =⇒ A×B ⊆ C ×D

Demostración: Demostraremos la primera propiedad, dejando las demás como ejercicio.Probemos, en primer lugar, que si A = ∅ ∨ B = ∅ entonces A× B = ∅. Supongamos, para ello,

que A× B 6= ∅, es decir, neguemos la tesis. Luego, existe (a, b) ∈ A× B, lo que, por definición delproducto cartesiano significa que a ∈ A, b ∈ B, de donde A 6= ∅, B 6= ∅.

Recíprocamente, si A 6= ∅ y B 6= ∅, entonces existen a ∈ A y b ∈ B, y por lo tanto, existe(a, b) ∈ A×B, de donde A×B 6= ∅.

Además de las demostraciones formales, sugerimos que, mediante dibujos de subconjuntosadecuados del plano, verifique las afirmaciones anteriores.

EJERCICIOS:

1. Determine condiciones para que (A×B) ∩ (B ×A) 6= ∅.

2. Determine, justificadamente, si es válida la siguiente afirmación:

(A×B)c = (Ac ×Bc) ∪ (Ac ×B) ∪ (A×Bc)

32

Verónica Gruenberg Stern 1.10. CARDINALIDAD

1.10. Cardinalidad

DEFINICIÓN 1.10.1 Llamaremos cardinalidad de un conjunto A (denotado por |A| ó #A), al númerode elementos que lo forman. Si no existe un número natural que corresponda al número de ele-mentos de un conjunto A, diremos que el conjunto tiene infinitos elementos, o que A es infinito. Encaso contrario, diremos que A es finito.

En otras palabras, diremos que A es finito si se puede escribir de la forma

A = {x1, x2, x3, . . . xn}

donde x1, x2, . . . son sus elementos. En caso contrario, se dice que A es infinito.

EJEMPLOS:

1. Si A = ∅, entonces |A| = 0.

2. Si A = {a, b, c}, entonces |A| = 3.

3. Si A = {x ∈ N : x ≤ 32}, entonces |A| = 33.

4. Si A = Z, entonces A es infinito.

5. En una encuesta realizada a los estudiantes de la USM, se encontró que 77 alumnos esta-ban estudiando inglés, 44 francés y 13 estudiaban ambos idiomas. ¿Cuántos alumnos de losencuestados estudiaban al menos uno de estos idiomas extranjeros?

Solución:Notamos que un alumno que estudia ambos idiomas, está siendo contado en los 3 grupos.

Luego, la suma 77 + 44 considera a tales alumnos 2 veces, por lo que debemos corregir este errorrestando la cantidad de alumnos que estudian ambos idiomas, o sea, 13.

Luego 77+44−13 = 108 es el número de alumnos que estudian al menos un idioma extranjero.Podemos clarificar esta argumentación del siguiente modo:

Sea

A = {estudiantes de inglés}

B = {estudiantes de francés}

Buscamos |A ∪B|.Pero |A ∩B| = 13. Como |A| = 77, hay 77− 13 = 64 que estudian sólo inglés y como |B| = 44,

hay 44− 13 = 31 que estudian sólo francés.Por lo tanto: |A ∪B| = (77− 13) + (44− 13) + 13 = 77 + 44− 13.

El razonamiento que hemos utilizado se aplica a dos conjuntos finitos cualesquiera y tenemos

33


PROPOSICIÓN 1.10.1 Sean A,B ⊆ U tales que |A|, |B| <∞. Entonces

|A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|

Si A y B son disjuntos |A ∪B| = |A|+ |B|

COROLARIO 1.10.1 Sean A,B subconjuntos finitos de un universo finito. Entonces

|(A ∪B)c| = |U | − (|A|+ |B| − |A ∩B|)

Demostración:

U = (A ∪B) ∪ (A ∪B)c

|U | = |(A ∪B) ∪ (A ∪B)c|

= |A ∪B|+ |(A ∪B)c| − |(A ∪B) ∩ (A ∪B)c|

La última expresión es 0, pues C ∩ Cc = ∅ para cualquier conjunto C. Luego

|U | − |A ∪B| = |(A ∪B)c|,

y reemplazando |A ∪B| según la proposición anterior, obtenemos el resultado.

EJERCICIOS: Extienda la proposición anterior para el caso de 3 conjuntos finitos, es decir, determine|A ∪B ∪ C|. También determine |(A ∪B ∪ C)c|.

EJEMPLOS:

1. Sea U = {n ∈ N : 1 ≤ n ≤ 200}. Sea C el conjunto de números de U que no son divisibles nipor 2 ni por 3. Determine |C|.

Solución:

Obviamente, resulta aburridísimo contar los elementos de C = {1, 5, 7, 11, . . . , 199}. Paraevitar esto, sea A = {2, 4, 6, . . . , 200} el conjunto de los números pares de U y B =

{3, 6, 9, . . . , 198} el conjunto de los números de U que son divisibles por 3.

Es claro que |A| = 100, y como 198 = 3× 66, entonces |B| = 66. Además,A ∩B = {6, 12, 18, . . . , 198} y como 198 = 6× 33, vemos que |A ∩B| = 33.

Concluimos entonces que:

|C| = |(A ∪B)c| = |U | − |A ∪B|

= |U | − (|A|+ |B| − |A ∩B|)

= |U | − |A| − |B|+ |A ∩B|

= 200− 100− 66 + 33

= 67

34

Verónica Gruenberg Stern 1.10. CARDINALIDAD

2. Una encuesta entre 100 estudiantes arrojó los siguientes resultados:

41 alumnos toman clases de Álgebra29 alumnos toman clases de Cálculo26 alumnos toman clases de Física15 alumnos toman clases de Álgebra y Cálculo

8 alumnos toman clases de Cáculo y Física19 alumnos toman clases de Álgebra y Física

5 alumnos toman las tres asignaturas

Determine el número de estudiantes entre los 100 encuestados que no están tomando ningu-na de esas asignaturas ¿Cuántos toman sólo una?

Solución:

Es más conveniente en este caso utilizar la información dada en el orden inverso en que fuedada, y de paso mostraremos una aplicación de los diagramas de Venn.

Cinco alumnos toman las 3 asignaturas, luego el númerocinco debe ir en la región correspondiente a la intersecciónde los «3 ramos». 19 alumnos toman Álgebra y Física, perocomo 5 toman los 3 ramos, restan 14 que toman sólo Álge-bra y Física. Así ubicamos el número 14 en la correspon-diente región. Prosiguiendo con este proceso, llegamos fi-nalmente a completar la figura.Así, 100− (12 + 10 + 5 + 14 + 11 + 3 + 4) = 100− 59 = 41 alumnos no asisten a ningún cursode estos, y 12 + 11 + 4 = 27 alumnos están tomando exactamente una de estas asignaturas.

La siguiente proposición relaciona la cardinalidad del conjunto potencia de un conjunto finitoA con la del conjunto mismo.

PROPOSICIÓN 1.10.2 Si |A| = n <∞ se tendrá que P(A) = 2n.

EJEMPLOS:

1. Sean A,B ⊂ U . Si |P(A ∪B)| = 256, |P(A ∩B)| = 4 y |A| = 5, determine |B|.

Solución:

|P(A ∪B)| = 256 ⇒ |A ∪B| = 8

|P(A ∩B)| = 4 ⇒ |A ∩B| = 2

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Luego:|A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B| ⇒ 8 = 5 + |B| − 2 ⇒ |B| = 5

2. Este último ejemplo de la sección ejemplificará el proceso de contar utilizando los llamadosárboles.

Dos equipos de fútbol X e Y deciden jugar un campeonato en el cual el primer equipo quegane 3 partidos se corona campeón. Encuentre el número de posibles partidos.

Solución: En el diagrama, la partida es la «raíz del árbol», las dos ramas que salen de la raízrepresenta los dos posibles resultados del primer juego. Y se prosigue sucesivamente, hastaque alguno de los equipos haya ganado 3 partidos. Contando en el diagrama los puntosterminales, es claro que hay 20 posibles resultados para la sucesión de partidos.

Dejamos como ejercicio la demostración de las siguientes:

PROPIEDADES 1.10.1 Sean A,B ⊆ U tales que |A|, |B| <∞. Entonces:

Si A ⊆ B, entonces |A| ≤ |B|

|Ac| = |U| − |A|.

|A×B| = |A| · |B|

|A−B| = |A| − |A ∩B|

36

Verónica Gruenberg Stern 1.11. EJERCICIOS MISCELÁNEOS DE CONJUNTOS

EJERCICIOS:

1. Sea A = {z ∈ Z : |z| > 3}. Calcular |P (Ac)|.

2. Si A = {1, 2, 3} y B = {a, b}, calcular |P (A× P (A×B))|.

3. ¿Cuántos números hay entre 100 y 1000 para los cuales cada dígito es impar?¿Cuántos deéstos están entre 100 y 500?

4. Se realizó una encuesta a 160 Sansanos de primer año respecto a la lectura de libros de cien-cias: Matemática (M ), Física (F ) y Química (Q), obteniendo los siguientes resultados: 65 leenM , 70 leen F , 73 leen Q, 30 leen M y F , 109 leen F o Q, 106 leen M o Q, 105 leen M o F yfinalmente 40 no leen (no porque no sepan leer, sino porque no tienen interés). Determine:

a) Número de Sansanos que leen los 3 libros.

b) Número de Sansanos que lee 1 solo libro.

c) Número de Sansanos que leen libros de Matemática o Física, pero no ambas.

d) Número de Sansanos que leen libros de Física y Química.

5. Sean A,B,C ⊆ U . Determine |A ∪B ∪ C|.

1.11. Ejercicios Misceláneos de Conjuntos

1. Demostrar que ∀A,B,C ∈ U :

a) C \ (B \A) = (C \Ac) ∪ (C \B) b) A \ (A \B) = B \ (B \A)

2. Si A,B ⊂ U , use propiedades de las operaciones de conjuntos para simplificar

A ∪ ((A−B) ∩B) ∪ (Ac ∪B)c

3. Sean A,B ⊆ U . Demuestre:

a) A ⊆ B ⇐⇒ A ∩Bc = ∅

b) A ∪B = A ∩B ⇐⇒ A = B

c) A ∪X = U ∧ A ∩X = ∅ =⇒ X = Ac

d) A ∪B = U ⇐⇒ Ac ⊆ B

e) A = B ⇐⇒ (A ∩Bc) ∪ (Ac ∩B) = ∅

f ) (A−B) ∪ (B −A) = (A ∪B)− (A ∩B)

37


4. Demuestre o refute cada una de las siguientes:

a) A ∪B = C ∪B =⇒ A = C

b) A ∩B = C ∩B =⇒ A = C

c) (A ∩B) \ (A ∩ C) = (A ∩B) \ C

5. Considere los conjuntos E = {n ∈ Z : 0 ≤ n ≤ 6}, A = {0, 2, 5, 6} y B = {0, 5}.Determine todos los subconjuntos X ⊆ E tales que:

a) A ∪X = B

b) B ∪X = A

c) A ∩X = B

d) A ∩X = A

6. Se define A ∗B = Ac ∩Bc. Demuestre o refute:

a) A ∗A = Ac

b) (A ∗A) ∗ (B ∗B) = A ∩B

c) (A ∗B) ∗ (A ∗B) = A ∪B

d) A ∗ (B ∗ C) = (A ∗B) ∗ C

7. En una encuesta sobre 2 artículos A y B, se sabe que

el 50 % de los encuestados prefiere A

el 60 % de los encuestados no prefiere B

el 80 % de los encuestados prefiere A o B

a) ¿Qué porcentaje de los encuestados prefiere A y B?

b) ¿Qué porcentaje de los encuestados prefiere solo uno de ellos?

8. De un total de 120 personas sobre una encuesta de 3 productos A,B y C, se sabe:

a 60 les gusta A a 27 les gusta A y B a 11 les gusta solo C

a 63 les gusta B a 31 les gusta B y C

a 58 les gusta C a 21 les gusta A y C

a) ¿A cuántos no les gusta ninguno de los productos?

b) ¿A cuántos les gusta solo 2 productos?

c) ¿A cuántos les gusta solo los productos B y C?

9. Dados A = {1, 0,−2,−12} y B = {−2, 2, 1}. Determine el valor de verdad de :

a) (∀x ∈ A)(∃y ∈ B)(xy + 1 < 0 ∨ x2 − y2 = 0)

b) (∃x ∈ A)(∀y ∈ B)(xy + 1 < 0 ∨ x2 − y2 = 0)

c) (∀x ∈ B)(∃y ∈ A)(xy ≥ 0 ⇒ (x+ y) ∈ A)

d) (∃y ∈ B)(∃x ∈ A)((x− y) ∈ A ∨ (x+ y) /∈ B)

38

Verónica Gruenberg Stern 1.11. EJERCICIOS MISCELÁNEOS DE CONJUNTOS

10. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Escriba simbólicamente las siguientes afirmaciones en A, y determi-ne su valor de verdad:

a) Hay un elemento que es mayor que los restantes.

b) Hay un único elemento cuyo cuadrado es 4.

c) Dado cualquier elemento, siempre es posible encontrar uno menor o igual que él.

d) Hay un elemento cuyo cuadrado es igual a si mismo.

e) Dado un elemento cualquiera, siempre existe otro que lo divide.

f ) Hay un elemento, distinto de 1, que al multiplicarlo con cualquier otro el resultado esmenor que 10.

11. En R, determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones, y luego niéguelas:

a) ∀x ∃y : (x+ y = 1 ⇒ x = −y)

b) ∀x ∃y : [x+ y es par ⇒ (x es par ) ∧ (y es par )]

c) ∃x ∀y : (x < y ∧ x2 > y)

12. Sean X,Y ⊆ U , X 6= ∅. Para cada A ⊆ U se define un nuevo conjunto, que denotamos comoC(A), de la siguiente manera:

C(A) =

{A− Y si A ∩X 6= ∅A ∪ Y si A ∩X = ∅

Demostrar

a) C(Y ) ∈ {∅, Y } b) C(X) = X − Y c) C(Xc) = (C(X))c

13. Sean A y B conjuntos en U . La diferencia simétrica entre A y B es

A∆B = (A−B) ∪ (B −A)

Si A,B y C son conjuntos arbitrarios, demuestre que:

a) A∆B = B∆A

b) A∆(B∆C) = (A∆B)∆C

c) A∆∅ = A

d) A∆A = ∅e) A∆B = C ⇐⇒ A∆C = B

f ) A∆B = A∆C =⇒ B = C

g) |A∆B|

h) |(A∆B)∆C|

i) A ∩ (B∆C) = (A ∩B)∆(A ∩ C)

Determine: |A∆B| y |(A∆B)∆C|.

39


1.12. Ejercicios de Controles y Certámenes

1. a) Sin hacer uso de tablas de verdad, determine el valor de verdad de

(p⇒ q)⇒ ((p ∧ r)⇒ (q ∧ r)).

b) Si A,B ⊂ U , usando propiedades de las operaciones de conjuntos, simplificar al máxi-mo

A ∪ ((A−B) ∩B) ∪ (Ac ∪B)c .

2. Sean A,B conjuntos en U . Demuestre que: B ∩ [(Bc ∪A)c ∪ (A ∪B)c] = B −A

3. Determine, justificadamente, si las siguientes son V o F.

a) (∀x ∈ R) (∀y ∈ R− {0} ) :

(x < y ⇒ x

y< 1

)b){x ∈ R :

|x||1− x|

> 1

}= {x ∈ R : |x| > |1− x|}

4. En U = N, considere las siguientes funciones proposicionales:

p(n) = n2 + n es par

q(n) = 5n+ 8 = 23

Determine el valor de verdad de p(5) ∨ q(4) ⇐⇒ ∃n ∈ N : q(n)

5. Sean A = {1,−1, 2}, B = {0,−1, 1}. Determine, justificadamente, el valor de verdad de

∀x ∈ A ∃y ∈ B : x− y 6∈ B =⇒ x2 − y2 < 1

6. Sean A = {x ∈ N : x < 8} y B = {x ∈ Z : x2 < 18}. Determine la cardinalidad de A×B.

7. Demuestre o refute (justificando adecuadamente) las siguientes:

a) A ∪B = C ∪B =⇒ A = C

b) A ∩B = C ∩B =⇒ A = C

c) (A ∩B)− (A ∩ C) = (A ∩B)− C

8. Sean A,B,C ⊂ U . Suponga que |A×B| = 12, B × C = {(5, 1), (−2, 1), (1, 1)}

Determine: (i) P(B × C) (ii) |P(A)|

9. Use propiedades para determinar el valor lógico de

[(p⇒ q) ∧ (r ⇒ s)] ⇒ [(p ∧ r)⇒ (q ∧ s)]

40

Verónica Gruenberg Stern 1.12. EJERCICIOS DE CONTROLES Y CERTÁMENES

10. Use propiedades para determinar el valor de verdad de la expresión

[(p⇒ q ∨ r) ∧ (p⇒ q)] ⇒ (p⇒ r)

11. Sean A = {2, 4, 6}, B = {−1, 3,−2} C = {2, 3}. Determine, justificadamente, el valor deverdad de

(∀x ∈ A) (∀y ∈ B) (∃z ∈ C) : x+ y ≥ z − 2

12. Sean X,Y, Z subconjuntos cualquiera de U . Decida, justificando su decisión, si es V ó F que:

a) X ∩ (Y ∪ Z) ⊆ (X ∩ Y ) ∪ Z

b) (X ∩ Y ) ∪ Z ⊆ X ∩ (Y ∪ Z)

13. a) En un instituto se reúnen 60 estudiantes, de los cuales 15 estudian sólo ruso, 11 estudianruso e inglés, 8 ruso y alemán, y 5 estudian inglés y alemán. Los que estudian alemánson 22, el total de los que estudian ruso o inglés es 43 y 3 estudian los tres idiomas.Determinar los que estudian sólo inglés, sólo alemán y los que no estudian idiomas.

b) Se define An = {nk/ k ∈ N}. Determine, justificadamente, A2 ∩A3.

41


42

Capítulo 2

Relaciones

2.1. Nociones Básicas

DEFINICIÓN 2.1.1 Sean A,B conjuntos. Una relaciónR de A en B es un sunconjunto de A×B. Esdecir,R ⊆ A×B o, equivalentemente,R ∈ P(A×B). De esta forma los elementos de una relaciónson pares ordenados.

OBSERVACIÓN:

Si (x, y) ∈ R, diremos que x está relacionado con y, que también podemos escribir en la formaxRy.

Una relaciónR deA enB se denota también en la forma R : A −→ B. En tal caso, se puedeescribir, equivalentemente, y = R(x) para (x, y) ∈ R , y decimos que “y es la imagen de xporR” o “x es la preimagen de y porR”.

Si A = B escribimosR ⊆ A2 y decimos queR es una relación en A.

La definición anterior no se compatibiliza a priori con la idea intuitiva de relación. Considere-mos, sin embargo, el siguiente ejemplo:

Sea A el conjunto formado por todos los estudiantes de su curso. En este conjunto, considere larelación

xRy ⇔ x e y tienen la misma edad.

Entonces, si los estudiantes Pedro y Mariana tienen la misma edad, quiere decir que el par(Pedro, Mariana) ∈ R, y si Juan no tiene la misma edad, entonces (Juan, Mariana) 6∈ R.

En el mismo conjunto A, consideremos ahora la relación

xR1y ⇔ x e y tienen el mismo sexo.

Entonces, los pares anteriores no están en esta relación, sin embargo (Pedro, Juan) ∈ R1.Notar que los tres pares señalados arriba son elementos de A×A.

43

CAPÍTULO 2. RELACIONES Verónica Gruenberg Stern

EJEMPLOS:

1. R = A×B es siempre una relación de A en B.

2. R = ∅ es siempre una relación de A en B.

3. Sea A = {1, 2, 3, 4}. Determine el subconjunto de A×A determinado por la relación

xRy ⇔ x+ y > 3

Solución:

R = {(1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}

Gráficamente, esta relación se puede representar como

4. El conjunto R ={

(x, y) ∈ R×R : x2 + y2 = 1}

es una relación de R en R. Geométrica-mente, representa una circunferencia centrada en el origen de radio 1.

Notamos que para cada x ∈ OX :

x > 1, no existe y ∈ OY tal que xRy.

x = 1, ∃!y ∈ OY tal que xRy.

−1 < x < 1, existen dos y ∈ OY : xRy.

Así, vemos que puede haber elementos en R que no están relacionados, algunos que se rela-cionan sólo con un elemento, otros que se relacionan con más elementos en R.

5. El conjunto R = {(x, y) ∈ R×R : x < y} es una relación de R en R, o, simplemente, unarelación en R. Notar que (1, 2) ∈ R pero (2, 1) 6∈ R.

6. Grafiquemos ahora la relación de R2 en R dada por:

(x, y)Rz ⇐⇒ x2 + y2 − z2 = 0

44

Verónica Gruenberg Stern 2.1. NOCIONES BÁSICAS

Notamos que si z = 0, entonces x2 + y2 = 0,cuya única posibilidad es (x, y) = (0, 0). Luego,(0, 0, 0) ∈ R. Si z = c, c = constante fija, entoncesx2 + y2 = c2, es decir, para cada valor fijo de z,obtenemos una circunferancia de radio |c|. Lue-go, gráficamente esta relación se representa me-diante un cono circular.

-4

-2

-4-4 0 x

-2

-2

02

0z

y 2

2

44

4

7. Si A = {1, 2, 3} y B = {a, b} entonces A × B = {(1, a) , (1, b) , (2, a) , (2, b) , (3, a) , (3, b)}.Entonces, son ejemplos de relaciones de A en B:

a) R1 = {(1, a) , (1, b)}

b) R2 = {(1, a) , (2, a) , (3, a)}

c) R3 = {(1, b)}

d) ¿Cuántas relaciones se pueden obtener?

OBSERVACIÓN:

1. De la definición, es claro que el número de relaciones posibles de A en B es menor o igual alnúmero de subconjuntos de A×B.

2. Además, si A es un conjunto, siempre es posible construir las siguientes relaciones:

a) A×A

b) La diagonal de A×A, denotada por ∆, con ∆ = {(x, y) ∈ A×A : y = x}

c) ∅ ⊂ A×A, la relación vacía.

EJERCICIOS:

1. En un grupo A de 5 colegas, se define la siguiente relaciónR:

a está relacionado con b ⇐⇒ a y b son amigos.

Determine explícitamente en qué consiste la relación A×A, ∆ y la relaciónR−∆.

2. Explicite gráficamente en R2 las siguientes relaciones en R:

a) xRy ⇐⇒ x+ y = 1

b) xRy ⇐⇒ x2 + y2 < 1

c) xRy ⇐⇒ x · y = 1

3. Explicite gráficamente en R3 la relación de R2 en R dada por:

(x, y)Rz ⇐⇒ x = y, z = 1

45


DEFINICIÓN 2.1.2 Dada una relaciónR de A en B se definen los siguientes conjuntos:

1. Dominio de la relaciónR: Dom(R) = {x ∈ A / (x, y) ∈ R para algún y ∈ B}.

2. Recorrido de la relaciónR: Rec(R) = {y ∈ B / (x, y) ∈ R para algún x ∈ A}.

Si en cálculo ya ha visto funciones, notará que las definiciones de dominio y recorrido coincidecon las definiciones de dominio y recorrido de una función. Esto es así pues una función de-finida en los números reales, no es sino una relación en la que a cada elemento del dominioA ⊆ R, se le asigna un único elemento en R. Es decir,

Dom(f) = {x ∈ R : ∃ y ∈ R tal que y = f(x)} ⊆ R y

Rec(f) = {y ∈ R : ∃x ∈ R tal que f(x) = y} ⊆ R

EJEMPLOS:

1. Determinar dominio y recorrido de las relaciones de {1, 2, 3} en {a, b} :

a) R1 = {(1, a) , (2, a) , (3, a)}

b) R2 = {(1, b) , (1, a)}

2. Determinar el dominio de la relación de R en R

R ={

(x, y) ∈ R×R : x2 + y2 = 1}

DEFINICIÓN 2.1.3 SiR ⊆ A×B es una relación, se define la relación inversaR−1 por

R−1 = {(y, x) ∈ B ×A : (x, y) ∈ R} ⊆ B ×A

Notar queR−1 es una relación de B en A.

EJEMPLOS:

1. SiR = {(1, a), (2, b), (3, a)}, entonces la relación inversa es R−1 = {(a, 1), (b, 2), (a, 3)}

2. SiR = {(x, y) ∈ R×R : x+ 4y = 1} entonces

R−1 = {(y, x) ∈ R×R : (x, y) ∈ R}

= {(y, x) ∈ R×R : x+ 4y = 1}

= {(x, y) ∈ R×R : 4x+ y = 1}

46

Verónica Gruenberg Stern 2.2. REPRESENTACIÓN DE RELACIONES

2.2. Representación de Relaciones

Sea A un conjunto finito, y se R una relación en A. Además de la representación gráfica, esposible representar las relaciones en otras formas.

2.2.1. Representación mediante Grafos

La teoría de grafos es profunda y, obviamente, no es el objetivo de este curso. Para nuestrasnecesidades, bastará con una definición informal.

Intuitivamente, un grafo es un par (V,L), donde V es un conjunto finito no vacío (cuyos ele-mentos se llaman vértices) y L es un subconjunto de {xy : x, y ∈ V }, es decir, son algunos de lostrazos que unen el vértice x con el vértice y. Los elementos de L se llaman líneas.

El siguiente es un ejemplo de un grafo, con vértices V = {a, b, c, d, e} y líneasL = {ab, cd, bd, ab, ac, cc}.

Notar que puede haber puntos conectados consigo mismos o puntos a los que no llegan líneas.

Un grafo dirigido es un grafo en el que las líneas tienen una determinada dirección, lo cual serepresenta mediante una flecha dirigida en la dirección indicada por la relación.

EJEMPLOS:

1. Sea A = {1, 2, 3, 4} y R la relación en A dada por xRy ⇐⇒ x > 2y − 1.

El grafo que representa aR es:

2. Sea A como arriba y considere ahora las relaciones R1 = ∆ y R2 = A × A. Entonces, losgrafos que representan a ∆ y a A×A son los que se muestran a continuación.

47


El hecho que estos grafos no sean dirigidos indica que las relaciones son simétricas.

3. Sea A = { Aníbal, Francisco, Ignacio, Juan, Pablo, Sofía }. Si R es la relación “ama a ”, ysuponemos que todos los varones en A aman a Sofía ... y Sofía a ninguno de ellos, entoncesel grafo correspondiente a esta relación es

2.2.2. Representación mediante Matrices

Intuitivamente, una matriz es un arreglo de números en filas y columnas, encerradas en unparéntesis. Una matriz cuadrada es un tal arreglo en el que el número de filas y columnas coincide.

Si consideramos como antes un conjunto finito no vacío A = {a1, a2, · · · , an} podemos consi-derar que en un arreglo de n × n números, cada fila y cada columna represente a un elemento deA, en forma ordenada. Si R es una relación en A, entonces escribimos un 1 en el lugar ij (dondei representa a la fila y j representa a la columna) en el caso en que aiRaj , y escribimos un 0 en elcorrespondiente lugar, si los elementos no están relacionados.

EJEMPLOS: Escribiendo las matrices respectivas para los ejemplos anteriores, se tiene:

1.

0 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

1 1 0 0

2.

0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

3.

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0

48

Verónica Gruenberg Stern 2.3. RELACIONES DE EQUIVALENCIA

2.3. Relaciones de Equivalencia

DEFINICIÓN 2.3.1 Sea R ⊆ A2. Diremos que una relación R en A es una relación de equivalenciasi cumple con las siguientes propiedades:

Propiedad Condición

Reflexividad ∀a ∈ A : (a, a) ∈ R

Simetría (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R

Transitividad (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R

EJEMPLOS:

1. Si A = { alumnos del curso MAT021 }, y se define la relación

aRb ⇐⇒ a y b tienen la misma edad

es fácil verificar queR es una relación de equivalencia.

2. Si A 6= ∅, entonces ∆ ⊂ A×A es una relación de equivalencia.

3. Si A = {1, 2, 3} yR = {(1, 2) , (2, 1) , (2, 2) , (1, 1)} entoncesR es una relación de A en A.R es simétrica, transitiva pero no es reflexiva (puesto que 3 ∈ A pero (3, 3) 6∈ R), por lo tantono es una relación de equivalencia.

4. Sea A = {1, 2, 3,4, 5, 6} yR la relación definida por xR y ⇐⇒ x+ y = 6.

Entonces, R no es reflexiva, pues, por ejemplo, (2, 2) 6∈ R, ya que 2 + 2 6= 6. R es simétrica,pues la adición es conmutativa. R no es transitiva pues, por ejemplo, (2, 4) ∈ R y (4, 2) ∈ Rpor lo que, siR fuese transitiva, se debería cumplir que (2, 2) ∈ R, lo cual ya vimos no ocurre.

5. SiR = {(x, y) ∈ R×R : x ≤ y} entoncesR es reflexiva, transitiva pero no es simétrica.

6. Sea E el conjunto de todas las rectas en el plano. Definimos en E las siguientes relaciones:

R1 : `1 R1 `2 ⇐⇒ `1 ⊥ `2R2 : `1 R2 `2 ⇐⇒ `1‖`2

Entonces,R1 es simétrica, pero no es reflexiva ni transitiva. En cambio,R2 es una relación deequivalencia.

49


EJERCICIOS:

1. Sea R una relación de R2 en R2 definida por (x, y)R (a, b) ⇔ x2 − a2 = y3 − b3. ¿Es R unarelación de equivalencia?

2. En R, se define la relación

xRy ⇐⇒ ∃k ∈ Z : x− y = 2kπ

Demuestre queR es una relación de equivalencia.

3. En Z× (Z− {0}), se define la relación

(p, q)R(p′, q′) ⇐⇒ pq′ = p′q

Demuestre queR es una relación de equivalencia.

4. Sea n ∈ Z+ fijo. Mostrar que R = {(x, y) ∈ Z×Z : x− y es divisible por n} es una relaciónde equivalencia en Z.

DEFINICIÓN 2.3.2 Sea R una relación de equivalencia de A. Para cada a ∈ A, se define la clase deequivalencia del elemento a por

[a] = {b ∈ A / aRb}

Es decir, la clase de equivalencia de a es el subconjunto deA formado por todos los elementos deA que están relacionados con a. Cualquier elemento b ∈ A relacionado con a, se llama representantede la clase [a]. Así, en el ejemplo 1., si un estudiante a tiene 19 años, la clase de a consiste en todoslos alumnos de MAT021 que tienen 19 años.

Es claro que una clase determina un subconjunto no vacío, que no se intercepta con la clasedeterminada por otro elemento que no está relacionado con el primero. En el mismo ejemplo ante-rior, si suponemos que las edades extremas de los alumnos del curso son 17 y 21 años, la relaciónde equivalencia produce 5 clases de equivalencia C1, C2, C3, C4 y C5, donde C1 consiste en losalumnos que tienen 17 años, C2 consiste en los alumnos que tienen 18 años, etc. Esto motiva lassiguientes dos definiciones.

DEFINICIÓN 2.3.3 Si R es una relación de equivalencia de A llamaremos conjunto cuociente de AporR al conjunto

A/R = {[a] : a ∈ A}

es decir es el conjunto de todas las clases de equivalencia.

DEFINICIÓN 2.3.4 Sea A un conjunto. Una partición de A es una familia de subconjuntos Ci, i ∈ Ide A, tal que:

50


Ci ∩ Cj = ∅, si i 6= j⋃i∈I

Ci = A

Luego, en el ejemplo, el conjunto A queda particionado en 5 clases de equivalencia disjuntas,cuya unión es A.

Con lo visto hasta ahora es claro que se satisfacen las siguientes

PROPIEDADES 2.3.1 SiR es una relación de equivalencia de A, A 6= ∅, entonces

1. ∀a ∈ A, [a] 6= ∅

2. a ∈ [a]

3. (x, y) ∈ R ⇔ [x] = [y]

EJEMPLOS:

1. Sea A = {a, b, c} y seaR la relación en A dada por

R = {(a, a) , (b, b) , (c, c) , (b, c) , (c, b)}

entoncesR es una relación de equivalencia. Además: [a] = {a} y [b] = {b, c} = [c].Se sigue que

A/R = {{a} , {b, c}} = {[a] , [b]}

2. En Z× (Z− {0}) considere la relación

(x, y)R(u, v) ⇐⇒ xv = uy

Es claro que:

R es reflexiva, pues xy = yx

R es simétrica, pues (x, y)R(u, v) ⇒ xv = yu ⇒ uy = vx ⇒ (u, v)R(x, y)

R es transitiva, pues si (x, y)R(u, v) ∧ (u, v)R(s, t) entonces xv = yu ∧ ut = vs.Multiplicando la segunda igualdad por y(6= 0), obtenemos yut = yvs. Reemplazamosyu por xv, obteniendo xvt = yvs. Simplificamos por v(6= 0) y se tiene que (x, y)R(s, t).

Luego, la relación es de equivalencia. Para determinar (Z × (Z − {0}))/R, notamos quexv = yu «es lo mismo» que x

y = uv , y, v 6= 0. Luego, el conjunto cuociente se puede

identificar claramente con Q, el conjunto de los números racionales.

51


EJERCICIOS:

1. Sea A ⊆ R, A 6= ∅, y sea f : A −→ R una función. Se define la relaciónR en A mediante

uRv ⇐⇒ f(u) = f(v)

Demuestre que esta relación es de equivalencia en A.

Considere f(x) =

{x+ 4 si x < −1

x2 − 2x si x ≥ −1

a) Determine la cardinalidad de [2].

b) Determine [1].

c) Hallar el valor de verdad de: ∃!x ∈ R : #[x] = 2.

2. Mostrar que R = {(x, y) ∈ Z×Z : x− y es divisible por 2} es una relación de equivalenciaen Z. Encontrar las clases de equivalencia y el conjunto cociente.

3. Mostrar que R = {(x, y) ∈ Z×Z : x− y es divisible por 3} es una relación de equivalenciaen Z. Encontrar las clases de equivalencia y el conjunto cociente.

PROPOSICIÓN 2.3.1 Sea A un conjunto y sea R una relación de equivalencia en A. Entonces, Rinduce una partición en A.

Demostración: Como R es una relación de equivalencia, es reflexiva y luego cada clase es novacía. Sean ahora a, b ∈ A, a no relacionado con b. Supongamos que [a] ∩ [b] 6= ∅. Entonces,x ∈ [a] ∧ x ∈ [b]. Así, x ∈ [a] ⇒ xRa ⇒ aRx. Como también se tiene que xRb, portransitividad se tiene que aRb, lo cual es una contradicción.

Como ∀x ∈ A : x ∈ [x], se tiene que x ∈⋃a∈A

[a] de donde A =⋃a∈A

[a].

PROPOSICIÓN 2.3.2 Si (Ci)i∈I es una partición de A, entonces ésta induce una relación de equi-valencia en A.

Demostración: Definimos la relación R por aRb ⇐⇒ ayb pertenencen al mismo conjunti Ci,para algún i ∈ I . Es sencillo verificar que ésta es una relación de equivalencia, que dejamos comoejercicio.

EJEMPLOS:

1. ¿Cuántas relaciones de equivalencia es posible definir en un conjunto de tres elementos?Solución: Sea A = {a, b, c}. Por lo anterior, se debe contar el número de particiones quees posible hacer del conjunto A. Notamos que

52


{a, b, c} {a, b}, {c} {a}, {b, c}{a}, {b}, {c} {a, c}, {b}

Luego, hay 5 particiones diferentes de A y por lo tanto, es posible definr 5 relaciones deequivalencia diferentes en A.

¿Es posible encontrar una forma de contar el número de particiones que tiene un conjuntode n elementos?

2.3.1. Clases Residuales módulo n

Sea n un entero positivo fijo. En Z definimos la siguiente relación:

aR b ⇐⇒ ∃k ∈ Z : a− b = kn

Veamos queR define una relación de equivalencia en Z.

∀a ∈ Z : aRa, pues ∃k = 0 ∈ Z : a− a = 0 · n, por lo queR es reflexiva.

Si aRb, entonces ∃k ∈ Z : a − b = kn de donde ∃ − k ∈ Z : b − a = (−k)n, de dondebRa y por lo tanto la relación es simétrica.

Si aRb y bRc entonces existen k, k′ ∈ Z con a − b = kn ∧ b − c = k′n. Sumandoambas ecuaciones, vemos que ∃k′′ = k + k′ ∈ Z : a− c = k′′n, de donde R es transitiva.

El conjunto cuociente determinado por esta relación se denota por Z/nZ.

EJEMPLOS:

1. El conjunto Z/2Z consta de dos elementos:

[0] = {· · · ,−2n, · · · ,−4,−2, 0, 2, 4, · · · , 2n, · · · }.

[1] = {· · · ,−2n− 1, · · · ,−3,−1, 1, 3, 5, · · · , 2n+ 1, · · · }.

2. El conjunto Z/3Z consta de tres elementos:

[0] = {· · · ,−3n, · · · ,−6,−3, 0, 3, 6, · · · , 3n, · · · }.

[1] = {· · · ,−3n− 2, · · · ,−5,−2, 1, 4, 7, · · · , 3n+ 1, · · · }.

[2] = {· · · ,−3n− 1, · · · ,−7,−4,−1, 2, 5, · · · , 3n+ 2, · · · }.

3. Es claro, entonces, que Z/nZ = {[0], [1], [2], · · · , [n− 1]}, es decir, consta de n elementos.

Cada vez que dos enteros a y b están relacionado mediante esta relación, decimos que a escongruente con b módulo n, y escribimos a ≡ b (mod n). Por ejemplo, 2 ≡ 7 (mod 5).

53


2.4. Relaciones de Orden

DEFINICIÓN 2.4.1 Sea R ⊆ A2. Diremos que una relación R en A es una relación de orden sicumple con las siguientes propiedades:

Propiedad Condición

Reflexividad ∀a ∈ A : (a, a) ∈ R

Antisimetría (a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ⇒ a = b

Transitividad (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R⇒ (a, c) ∈ R

EJEMPLOS:

1. En R, considere la relación xRy ⇐⇒ x ≤ y. Claramente,R es una relación de orden.

2. Sea A un conjunto, y consideremos el conjunto potencia, P(A). En él, definimos la relaciónXRY ⇐⇒ X ⊆ Y . Claramente,R es una relación de orden en P(A).

3. Sea A = N. Definamos la relación R ={

(x, y) ∈ A2 : x divide a y}

; entonces R es unarelación de orden.

OBSERVACIÓN: Notamos que en el ejemplo 1 es posible comparar todos los elementos de R. Esdecir, dados dos números reales a, b cualesquiera, siempre es posible determinar si a ≤ b ∨ b ≤ a.No ocurre lo mismo en el ejemplo 2. Considere, por ejemplo, A = {1, 2, 3, 4}. Los subconjuntosX = {1, 2} e Y = {3, 4} no se pueden comparar, en el sentido que ninguno de ellos estácontenido en el otro.

Si en un conjunto A se tiene una relación de orden R, diremos que el par (A,R) es un con-junto parcialmente ordenado, o más laxamente, que A es parcialmente ordenado porR.

Así, en los tres ejemplos anteriores, los conjuntos respectivos son parcialmente ordenados. Si ade-más se satisface la propiedad que todos los elementos pueden ser comparados entre sí mediante larelación de orden, se dice que el par (A,R) es un conjunto totalmente ordenado. Más precisamente,

54

Verónica Gruenberg Stern 2.5. EJERCICIOS MISCELÁNEOS

DEFINICIÓN 2.4.2 Si en un conjuntoA tenemos una relación de ordenR, diremos que el par (A,R)

es un conjunto parcialmente ordenado. En general, denotaremos por≤ en lugar deR a una relaciónde orden.

DEFINICIÓN 2.4.3 Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado. Diremos que es totalmente or-denado si cada par de elementos en A son comparables, es decir, si ∀x, y ∈ A : x ≤ y ∨ y ≤ x.

EJEMPLOS:

1. Sea A = {1, 2, 3} y considere en P(A) la relación A ≤ B ⇐⇒ A ⊆ B.

Es fácil ver que esta relación efectivamente es de orden pues:

∀X ∈ P(A) : X ⊆ X .

Si X ⊆ Y ∧ Y ⊆ X , entonces X = Y .

Si X ⊆ Y ∧ Y ⊆ Z, entonces X ⊆ Z.

Veamos cómo podemos representar esta relación mediante un grafo dirigido.

2. En Z se define la relación a ≤ b ⇐⇒ a divide a b. Dejamos como ejercicio verificar que(Z,≤) es un conjunto parcialmente ordenado. Representar mediante un grafo dirigido estarelación de orden en el conjunto A = {1, 2, 3, · · · , 11, 12}.

2.5. Ejercicios Misceláneos

1. En R2 considere la relación (a, b)R(c, d) ⇐⇒ b = d.

a) Demuestre que es una realción de equivalencia.

b) ¿(3, 1) ∈ [(0, 1)]?

55


c) Describa la clase de (0, 1).

2. En R2 − {(0, 0)} definimos la relación

(x, y)R(u, v) ⇐⇒ ∃λ 6= 0 : (x, y) = λ(u, v)

a) Pruebe queR es una relación de equivalencia.

b) Represente en R2 las clases de equivalencia.

3. Sea A un conjunto. En P(A), se definen las relaciones

XR1Y ⇐⇒ X ∩ Y = ∅ y XR2Y ⇐⇒ X ∩ Y 6= ∅

Estudie la reflexividad, simetría y transitividad de estas relaciones.

4. Sea A = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ 0}. Defina en A la relaciónRmediante

(x1, y1)R(x2, y2) ⇐⇒ x1 = x2 ∧ y1 ≤ y2

Pruebe que (A,R) es parcialmente ordenado.

5. Sea A = {−1, 1, 2, 3} y seanR1,R2 yR3 relaciones en A definidas por

R1 = {(x, y) ∈ A×A : −x2 − y2 < 0}

R2 = {(x, y) ∈ A×A : x− y = 0}

R3 = {(x, y) ∈ A×A : x+ y ≥ 0}

Determine cuál(es) de éstas son

a) Reflexivas b) Simétricas c) Transitivas

¿Qué puede decir deR1 ∩R2 ∩R3 ?


1. Sea A = {1, 2, 3} y R una relación en A, dada por

R = { (1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2) }

Determine siR es refleja, simétrica y/o transitiva.

2. En R2 considere la relación siguiente: (a, b) R (c, d) ⇐⇒ b = d.

a) Demuestre que es una relación de equivalencia.

b) ¿(3, 1) ∈ [(0, 1)]?

c) Describa la clase de (0, 1).

56

Capítulo 3

Números Naturales

3.1. Introducción

Según el matemático Leopold Kronecker,1 nacido en Polonia, «Dios nos regaló los númerosnaturales y el resto es obra del hombre». Sin embargo, el matemático italiano Giuseppe Peano,2

uno de los fundadores de la lógica matemática y la teoría de conjuntos, axiomatizó la construcciónde los números naturales en los llamados postulados de Peano para los números naturales. No es elobjetivo de este curso profundizar en los fundamentos de la matemática, pero es importante tenerpresente en todo momento cómo se ha construído la matemática que conocemos. Adoptaremosaquí un enfoque un poco menos formal.

DEFINICIÓN 3.1.1 Llamaremos I al conjunto de todos los subconjuntos M de R tal que:

1 ∈M

x ∈M ⇒ x+ 1 ∈M

OBSERVACIÓN:

1. A los elementos de I se les llama conjuntos inductivos.

2. Notar que I 6= ∅ pues R ∈ I .

DEFINICIÓN 3.1.2 Definimos el conjunto de los números naturales como la intersección de todoslos subconjuntos inductivos de R, es decir:

N =⋂M∈I

M

Esto significa queN ⊂ R es el conjunto inductivo más pequeño.

11823–189121858–1932

57

CAPÍTULO 3. NÚMEROS NATURALES Verónica Gruenberg Stern

Veamos que⋂M∈I

M efectivamente es un conjunto inductivo:

1 ∈M ∀M ∈ I ⇒ 1 ∈⋂M∈I

M ⇒ 1 ∈ N

Sea n ∈⋂M∈I

M ⇒ n ∈M ∀M ∈ I .

Como cada M es inductivo, se tiene que n+ 1 ∈M ∀M ∈ I ⇒ n+ 1 ∈⋂M∈I

M

3.2. Inducción

La inducción matemática es un método de demostración usada, típicamente, para probar queuna determinada propiedad se cumple para todos los números naturales. Formalmente:

TEOREMA 3.2.1 Sea P (n) una función proposicional asociada a cada n ∈ N. Si

1. P (1) es verdadera.

2. ∀n ∈ N : P (n)⇒ P (n+ 1) es verdadera.

entonces, es verdadero que ∀n ∈ N : P (n).

Demostración: SeaM el conjunto de los números naturales en los que P (n) es verdadera. Tene-mos que:

1 ∈M por la hipótesis 1.

n ∈M ⇒ n+ 1 ∈M por la hipótesis 2.

Luego: M = N. Es decir, P (n) es verdadero ∀n ∈ N.

Lo que el teorema dice es que, si queremos probar que una determinada propiedad se satisfacepara todos los números naturales, bastará probar que se cumple para el primero (1 en este caso,pero podríamos considerar igualmente a 0) y que, si la propiedad se satisface para algún númeronatural, también se satisface para el siguiente. Entonces, como se cumple para n = 1, se cumplirápara n = 2 (que es el siguiente); como se cumple para n = 2, se cumplirá para n = 3 (que es elsiguiente); y así sucesivamente.

58

Verónica Gruenberg Stern 3.2. INDUCCIÓN

EJEMPLOS:

1. Demuestre que 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2∀n ∈ N.

Dem.: En este caso: p(n) : 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2. Luego:

p(1) : 1 =1 · 2

2lo cual es verdadero. ∴ p(1) es V.

Supondremos que p(n) es verdadero, y probaremos que p(n+ 1) es verdadero, donde :

p(n+ 1) : 1 + 2 + 3 + · · ·+ n+ (n+ 1) =(n+ 1)(n+ 2)

2

Notemos que:

1 + 2 + 3 + · · ·+ n+ (n+ 1) =(

1 + 2 + 3 + · · ·+ n)

+ (n+ 1)

=n(n+ 1)

2+ (n+ 1)

=(n+ 1)(n+ 2)

2

es decir, p(n) ⇒ p(n + 1) es verdadera, que es exactamente lo que queríamos probar.Luego,

1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2∀n ∈ N.

OBSERVACIÓN: Cuenta la leyenda que al matemático alemán Karl Friederich Gauss, 3 suprofesor en la escuela primaria le dio como castigo sumar los números del 1 al 100, cosa queél realizó en menos de 1 minuto. Se cuenta que el procedimiento que usó fue el siguiente:

1 + 2 + 3 + 4 + · · · + 99 + 100

100 + 99 + 98 + · · · · · · + 2 + 1

101 + 101 + 101 + 101 + · · · + 101

Es decir, al sumar dos veces los números del 1 al 100, se obtiene 100 veces 101, de donde lasuma pedida es

100 · 101

2. Claramente, este procedimiento se puede extender a una cantidad

arbitraria de números naturales, y a otras formas de progresiones numéricas, que veremosmuy pronto.

31777-1855

59


2. Demuestre que 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2 ∀n ∈ N.

Dem.: En este caso: p(n) : 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2. Luego:

p(1) : 1 = 12 lo cual es verdadero. ∴ p(1) es V.


p(n+ 1) : 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) + (2n+ 1) = (n+ 1)2

Notemos que:

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) + (2n+ 1) =(

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1))

+ (2n+ 1)

= n2 + (2n+ 1)

= (n+ 1)2

es decir, p(n) ⇒ p(n + 1) es verdadera, que es exactamente lo que queríamos probar.Luego,

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2 ∀n ∈ N

3. Demostrar que n2 + n es siempre divisible por 2, si n es un número natural.

Dem.: En este caso: p(n) : n2 + n = 2k, para algún k ∈ N. Luego:

p(1) : 12 + 1 = 2 = 2 · 1, es decir, k = 1. Luego, p(1) es verdadero.


p(n+ 1) : ∃` ∈ N : (n+ 1)2 + n+ 1 = 2`

Notemos que:

(n+ 1)2 + n+ 1 = n2 + n+ 2n+ 2

= 2k + 2(n+ 1)

= 2(k + n+ 1)

= 2` donde ` = k + n+ 1

es decir, p(n)⇒ p(n+1) es verdadera, que es exactamente lo que queríamos probar. Luego,

∀n ∈ N : n2 + n es siempre divisible por 2

OBSERVACIÓN: Otra forma de demostrar este resultado es notar que

n2 + n = n(n+ 1)

60


es decir, la expresión es simplemente el producto de dos números consecutivos, por lo quenecesariamente uno de ellos es par. O, utilizando el mismo razonamiento pero aplicado alproceso inductivo, notamos que

(n+ 1)2 + n+ 1 = (n+ 1)(n+ 1 + 1) = (n+ 1)(n+ 2)

que es producto de dos números consecutivos.

4. Demostrar que ∀n ∈ N : 2n+ 1 ≤ 3n

Dem.: En este caso: p(n) : 2n+ 1 ≤ 3n

p(1) : 2 · 1 + 1 = 3 ≤ 3. Luego, p(1) es verdadero.


p(n+ 1) : 2(n+ 1) + 1 ≤ 3n+1

Como p(n) es verdadero, ésto significa que

2n+ 1 ≤ 3n

Multiplicando por 3:

6n+ 3 ≤ 3n+1 y claramente 2n+ 3 ≤ 6n+ 3 ≤ 3n+1

es decir, p(n)⇒ p(n+ 1) es verdadera. Luego

∀n ∈ N : 2n+ 1 ≤ 3n

OBSERVACIÓN:

1. A pesar de su nombre, la inducción es un método deductivo de demostración.

2. Es importante ser cuidadosos en la demostración por inducción de ciertas afirmaciones. Mu-chas veces se verifican algunos casos iniciales y se asume que el resultado es correcto, sin hacerla demostración completa. Esto induce a errores, de lo que ya Leonhard Euler 4 (matemáticosuizo) se dio cuenta y encontró el siguiente ejemplo:

Determine el valor de verdad de la proposición ∀n ∈ N : n2 + n+ 41 es un número primo.Hacemos una tabla con los primeros cálculos:

n : 1 2 3 4 5 6 7 8 · · ·n2 + n+ 41 : 43 47 53 61 71 83 97 113 · · ·

41707-1783

61


Notamos que todos los valores que calculamos para el polinomio cuadrático son númerosprimos... la tentación de afirmar que la proposición es verdadera es grande. Sin embargo,p(41) : 412 + 41 + 41 = 41 · (41 + 1 + 1) = 41 · 43, es decir, p(41) no es un número primo.Luego, la afirmación es falsa.

Este ejemplo muestra claramente que no basta con verificar muchos casos particulares paravalidar una afirmación general.

3. Por otra parte, la verificación del caso inicial (P (1) en los casos que hemos visto hasta aquí) esfundamental. Considere la afirmación

1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ (2n− 1) = 3 + n2 para n ∈ N

Demuestre que si la afirmación es válida para algún n ∈ N, entonces también lo es paran+ 1.

¿Es verdadera la afirmación ∀n ∈ N?

Solución:

Sea p(n) : 1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ (2n− 1) = 3 + n2. Por lo tanto,p(n+ 1) : 1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ (2n− 1) + (2n+ 1) = 3 + (n+ 1)2.

Veamos ahora que p(n) ⇒ p(n+ 1) es verdadera:

1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1) + (2n + 1) = 3 + n2 + (2n + 1) = 3 + (n + 1)2, comoqueríamos probar.

Claramente, la afirmación es falsa, incluso para el caso n = 1 : 1 6= 3 + 12 = 4.

En realidad, ya probamos por inducción que la suma de los primeros "n" númerosimpares es igual a n2.

El Principio de Inducción es útil para tratar proposiciones que involucran a todos los númerosnaturales. Sin embargo, sucede a veces que interesa probar alguna propiedad que se satisface apartir de un número k ∈ N, y no para todos los anteriores. En este caso, podemos usar el Principiode Inducción Matemática Extendida.

TEOREMA 3.2.2 SeaP (n) una función proposicional asociada a cada número natural n, y sea k ∈ N.Si P (k) es verdadera y si ∀n ≥ k : P (n) ⇒ P (n + 1) es verdadera, entonces P (n) es verdadera∀n ≥ k, n ∈ N.

62


EJEMPLOS:

1. Determine todos los n ∈ N : 1 · 2 · 3 · · ·n > 2n

Solución: Estudiamos algunos casos particulares:

n = 1 : 1 > 2 Falson = 2 : 1 · 2 > 22 Falson = 3 : 1 · 2 · 3 > 23 Falson = 4 : 1 · 2 · 3 · 4 > 24 Verdaderon = 5 : 1 · 2 · 3 · 4 · 5 > 25 Verdadero

Luego, aparentemente la afirmación es válida ∀n ≥ 4. Verifiquemos que ésto es así:

Ya vimos que es válida para n = 4.

Veamos que si p(n) : 1 · 2 · 3 · · ·n > 2n es verdadera para algún n ≥ 4, entoncesp(n+ 1) : 1 · 2 · 3 · · ·n · (n+ 1) > 2n+1 también lo es. En efecto:

1 · 2 · 3 · · ·n · (n+ 1) >︸︷︷︸Hip. Inductiva

2n(n+ 1) >︸︷︷︸n+1>2

2n · 2 = 2n+1

Luego, ∀n ≥ 4, n ∈ N : 1 · 2 · 3 · · ·n > 2n.

2. Determine si el producto de 3 números consecutivos es siempre divisible por 6.

Solución: Debemos determinar el valor de verdad de:

∀n ∈ N ∃` ∈ N : n · (n+ 1) · (n+ 2) = 6`

n = 1 : 1 · 2 · 3 = 6, que es divisible por 6.

Supongamos que p(n) : n · (n+ 1) · (n+ 2) = 6`, para algún ` ∈ N.

Probemos que p(n+ 1) : (n+ 1) · (n+ 2) · (n+ 3) = 6`, para algún ` ∈ N también loes. Notemos que:

(n+ 1) · (n+ 2) · (n+ 3) = n · (n+ 1) · (n+ 2) + 3 · (n+ 1) · (n+ 2)

= 6`+ 3 · (n+ 1) · (n+ 2)

= 6`+ 6k,(

(n+ 1)(n+ 2))

divisible por 2

= 6`1

Luego, el producto de 3 números consecutivos es siempre divisible por 6.

3. Determine si la suma de 3 números consecutivos es siempre divisible por 6.

Solución: Debemos determinar el valor de verdad de:

∀n ∈ N ∃` ∈ N : n+ (n+ 1) + (n+ 2) = 6`

63


n = 1 : 1 + 2 + 3 = 6, que es divisible por 6.

Supongamos que p(n) : n+ (n+ 1) + (n+ 2) = 6`, para algún ` ∈ N.

Debemos probar que p(n+ 1) : (n+ 1) + (n+ 2) + (n+ 3) = 6`, para algún ` ∈ N.

Pero:

(n+ 1) + (n+ 2) + (n+ 3) = n+ (n+ 1) + (n+ 2) + 3 = 6`+ 3, que claramente no esdivisible por 6. Luego, p(n) verdadero no implica que p(n+ 1) sea verdadera.

Por lo tanto, la suma de 3 enteros consecutivos no es necesariamente divisible por 6.

Notemos que que n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1), de donde para que esta expresión seadivisible por 6, necesariamente el factor (n + 1) debe ser un número impar para cualquiern ∈ N, lo que es falso.

4. Sea f0(x) =x

x+ 1, fn+1(x) = (f0 ◦ fn)(x). Encuentre una expresión para fn(x), n ∈ N.

(Stewart, Conceptos y Contextos).

Solución: Determinamos algunos casos particulares:

f1(x) = (f0 ◦ f0)(x) = f0

(x

x+ 1

)=

xx+1xx+1 + 1

=x

2x+ 1

f2(x) = (f0 ◦ f1)(x) = = f0

(x

2x+ 1

)=

x2x+1x

2x+1 + 1=

x

3x+ 1

Luego, conjeturamos que fn(x) =x

(n+ 1)x+ 1, ∀n ∈ N. Probemos que la conjetura

es correcta:

El caso n = 1 fue probado arriba.

Supongamos que p(n) : fn(x) =x

(n+ 1)x+ 1es verdadero. Veamos que

p(n+ 1) : fn+1(x) =x

(n+ 2)x+ 1es verdadero.

Notamos que:

fn+1(x) = (f0 ◦ fn)(x)

= f0

(x

(n+ 1)x+ 1

)=

x(n+1)x+1x

(n+1)x+1 + 1=

x

(n+ 2)x+ 1

64


5. Una triangulación de un polígono es la descomposición del área del polígono en triángulos,de modo que los vértices sean los mismos del polígono, o se agregan al interior del mismopara servir de vértices de triángulos. Denotemos por v: número de vértices, `: número delados y c: número de caras de una triangulación dada. Demuestre que en una triangulaciónde un polígono, siempre se tiene que v − `+ c = 1.

Dem.: Si se considera 1 triángulo, éste tiene 3 vértices, 3 lados y 1 cara, de donde

P (1) : v − `+ c = 3− 3 + 1 = 1

es verdadera.

Supongamos ahora que P (n) es verdadera, es decir, que dada una triangulación Tn formadapor n triángulos, vn − `n + cn = 1. Queremos probar que P (n + 1) es verdadera, es decir,que la fórmula anterior se cumple en una triangulación de n+1 triángulos. Si Tn+1 es una taltriangulación, al «borrar» un triángulo adecuado (de tal modo de que la malla que queda aúnsea una triangulación), quedará una triangulación Tn por n triángulos, en donde podemosaplicar nuestra hipótesis de inducción, i.e., en ella se cumple que vn − `n + cn = 1. Hay 3formas en que puede «borrarse» un triángulo de tal modo que la malla resultante aún seauna triangulación:

a) Quitar 1 vértice, 2 lados y 1 cara.

b) Quitar 2 vértices, 3 lados y 1 cara.

c) Quitar 1 lado y 1 cara.

Si pensamos que Tn+1 consta de Tn más cada uno de los casos anteriores, obtenemos:

a) vn+1 − `n+1 + cn+1 = vn − `n + cn + 1− 2 + 1 = vn − `n + cn = 1

b) vn+1 − `n+1 + cn+1 = vn − `n + cn + 2− 3 + 1 = 1

c) vn+1 − `n+1 + cn+1 = vn − `n + cn − 1 + 1 = 1

que es lo que queríamos probar.

6. Determine una fórmula para el número de diagonales (en términos del número de lados)que tiene un polígono convexo (es decir, un polígono tal que todas sus diagonales estén ensu «interior»).

Solución: El polígono de tres lados, el triángulo, no tiene diagonales. El polígono de cuatrolados tiene dos diagonales. Examinando otros casos, obtenemos la siguiente tabla:

n = número de lados 3 4 5 6 7 8 9 . . . n . . .Dn = número de diagonales 0 2 5 9 14 20 27 . . . Dn . . .

65


La tarea de «adivinar» la fórmula, si tal existe, no es necesariamente algo fácil, y no hayningún método seguro para esta parte del problema. Sin embargo, siendo suficientementeperspicaz, se observa lo siguiente:

2D3 = 0 = 3 · 02D4 = 4 = 4 · 12D5 = 10 = 5 · 22D6 = 18 = 6 · 32D7 = 28 = 7 · 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Esto nos lleva a conjeturar que 2Dn = n(n − 3), o que el número de diagonales Dn en unpolígono de n lados es:

P (n) : Dn =n(n− 3)

2

Usaremos ahora el principio de inducción para probar esta fórmula. Usaremos como puntode partida n = 3, puesto que para n < 3 no existe ningún polígono.

Es claro de los datos, que P (3) es verdadera. Supongamos que un polígono de n lados tienen(n−3)

2 diagonales, es decir, que P (n) es verdadera. Si podemos concluir que un polígono den + 1 lados tiene (n + 1) (n+1)−3

2 = (n+1)(n−2)2 diagonales, habremos probado que nuestra

fórmula es válida para todos los números naturales mayores o iguales a 3.

Consideremos un polígono de n lados. Por hipótesis, tiene n(n − 3)/2 diagonales. Si colo-camos un triángulo en un lado AB del polígono, lo transformamos en uno de n + 1 lados.Este último polígono tiene todas las diagonales del anterior de n lados, más las diagonalesdibujadas desde el nuevo vértice N a todos los vértices del polígono anterior, excepto 2: A yB, más la «diagonal» en que se transforma el lado AB. Es decir, el nuevo polígono de n + 1

lados posee:

Dn+1 =n(n− 3)

2+ n− 2 + 1 =

n(n− 3) + 2n− 2

2=n2 − n− 2

2=

(n+ 1)(n− 2)

2

diagonales, que es lo que queríamos probar.

TEOREMA 3.2.3 Sea P (n) una función proposicional asociada a n ∈ N. Si para algún s ∈ N:

1. P (s) ∧ P (s+ 1) es verdadera.

2. ∀n ∈ N, n ≥ s : P (s) ∧ P (s+ 1)⇒ P (s+ 2) es verdadera.

entonces, es verdadero que ∀n ∈ N, n ≥ s : P (n).

66


EJEMPLOS:

1. Demostrar por inducción que al dividir todo cuadrado perfecto por 4, se obtiene resto 0 ó 1.

Dem. Para n = 1 : 12 = 1 = 4 · 0 + 1

Para n = 2 : 22 = 4 = 4 · 1

Notamos que si la proposición es válida para n, también lo será para n + 2, pues al dividirlos cuadrados perfectos n2 y (n+ 2)2 por 4, se obtiene el mismo resto. En efecto:

(n+ 2)2 = n2 + 4n+ 4 =

{4k + 4n+ 4 = 4(k + n+ 1) (caso resto 0)

4k + 1 + 4n+ 4 = 4(k + n+ 1) + 1 (caso resto 1).

Luego, hemos probado que si es válida para un entero impar, loo será para todos los enterosimpares, y análogamente con los pares. Así, la afirmación queda demostrada.

2. Considere la sucesión de números naturales formada de la siguiente manera:

a1 = 2 , a2 = 3 , an+1 = 3an − 2an−1, n ≥ 3

Probar que an = 2n + 1, ∀n ∈ N.

Solución:

EJERCICIOS:

1. Demuestre por inducción que ∀n ∈ N:

a) 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

b) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · ·n · (n+ 1) =n(n+ 1)(n+ 2)

3

c) 1 · 5 + 2 · 52 + 3 · 53 + · · ·+ n · 5n =5 + (4n− 1)5n+1

16

d)5

1 · 2· 1

3+

7

2 · 3· 1

32+ · · ·+ 2n+ 3

n · (n+ 1)· 1

3n= 1− 1

3n(n+ 1)

e) (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...+ n)2 = 13 + 23 + 33 + 43 + ...+ n3

67


2. Demostrar que cualquier entero formado por 3n dígitos idénticos, es divisible por 3n.

3. a) Demuestre que1

1 · 2+

1

2 · 3+ · · ·+ 1

n(n+ 1)=

n

n+ 1, ∀n ∈ N

b) Demuestre que1

1 · 3+

1

3 · 5+ · · ·+ 1

(2n− 1)(2n+ 1)=

n

2n+ 1, ∀n ∈ N

c) Demuestre que1

1 · 4+

1

4 · 7+ · · ·+ 1

(3n− 2)(3n+ 1)=

n

3n+ 1, ∀n ∈ N

d) Encuentre y demuestre una fórmula general que incluya como casos particulares loscasos a), b) y c) anteriores

4. Demuestre que ∀n ∈ N:

a) 7n − 2n es divisible por 5.

b) 11n − 4n es divisible por 7.

c) 8n − 3n es divisible por 5.

d) 5n+1 + 2 · 3n + 1 es divisible por 8.

e) n(n2 + 5) es un múltiplo entero de 6.

f ) 8n+1 + 92n+1 es divisible por 73.

5. Demuestre utilizando inducción que ∀n ∈ N se cumple que:

a) 12 + 32 + 52 + . . .+ (2n− 1)2 =1

3n(4n2 − 1)

b) 4n3 + 8n es divisible por 12.

c) 8n3 + 10n es divisible por 6.

6. Sea a ∈ R, a 6= 1. Pruebe que ∀n ∈ N :

1 + 2a+ 3a2 + · · ·+ nan−1 =1− (n+ 1)an + nan+1

(1− a)2

7. Demuestre que, si n es impar, entonces 7n + 1 es divisible por 8.

8. Demuestre que la desigualdad 5n > n2 + 25 es verdadera a partir de cierto n0 ∈ N; encuentredicho n0.

9. Determine todos los n ∈ N tal que:

a) 2n > n2 b) 2n > n3 c) 7n+ 6 < 2n2 − 8

10. Sean α, β las raíces de la ecuación x2 − 2x+ 4 = 0. Pruebe que ∀n ∈ N : αn + βn ∈ Z.

11. Sea f : N −→ N definda por f(1) = 2, f(n + 1) = f(n) + 3. Examine algunos valores yconjeture una fórmula para f en términos de n. Demuestre su conjetura por inducción.

68


12. Para cada una de las funciones f0(x) indicadas, encuentre una expresión para fn(x), n ∈ N sisabe que la ley recursiva de formación es fn+1(x) = (f0 ◦ fn)(x).

a) f0(x) = x3

b) f0(x) =1

2− x

Demuestre sus conjeturas por inducción.

13. Demuestre que ∀n ∈ N:1

n+ 1+

1

n+ 2+ · · ·+ 1

2n+ 1≤ 5

6.

14. Demuestre que ∀n ∈ N, n ≥ 2 :1

n+ 1+

1

n+ 2+

1

n+ 3+ · · ·+ 1

2n>

13

24

15. Demuestre que para todo n ∈ N, n > 2, se cumple la siguiente desigualdad:

1

12+

1

22+

1

32+ · · ·+ 1

n2< 2− 1

n

16. Pruebe que (a− b) es un factor de an − bn, ∀n ∈ N.

17. Pruebe que (a+ b) es un factor de a2n − b2n, ∀n ∈ N.

18. Demostrar que si A es una conjunto con |A| = n, entonces |P(A)| = 2n.

19. Demuestre que |sennx| ≤ n|senx|, ∀x ∈ R, ∀n ∈ N

20. A un cuadrado de lado a se le dibuja en su interior otro semejante cuyos vértices se hallanen los puntos medios del original. El proceso anterior es aplicado al nuevo cuadrado paraformar un tercero y así sucesivamente, como indica la figura.

a) ¿Es posible determinar una fórmula que permita cal-cular el área del n-ésimo cuadrado?

b) ¿Cuál es el perímetro del n-ésimo cuadrado?

c) ¿Existe alguna fórmula para calcular la suma de lasáreas de los n primeros cuadrados formados con elproceso descrito?

d) ¿Es posible hallar una expresión para la suma de losperímetros de los n primeros cuadrados?

21. En un triángulo equilátero de lado a se unen los puntos medios de sus lados formando unsegundo triángulo en su interior. Este proceso se repite en este último para obtener un tercero,y así sucesivamente, como indica la figura.

69


a) ¿Es posible determinar una fórmula que permita cal-cular el perímetro del n-ésimo triángulo?

b) Exprese en una fórmula la suma de los perímetros delos primeros n triángulos generados mediante el pro-ceso descrito.

c) ¿Cuál es el área del triángulo n+ 1?

d) ¿Cuál es la diferencia entre los perímetros de lostriángulos (n+ 1)−ésimo y n−ésimo?

3.3. Sumas y Productos

3.3.1. Notación: Sumatoria

Sean a1, a2, · · · , an ∈ R. Con el fin de abreviar la notación para la suma a1 +a2 + · · ·+an, éstase denota por

a1 + a2 + · · ·+ an =

n∑k=1

ak

El sub-índice k es una variable muda, es decir:n∑k=1

ak =

n∑i=1

ai.

Más formalmente, es posible utilizar esta notación para definir la suma por recurrencia:

DEFINICIÓN 3.3.1 Sean a1, a2, · · · , an ∈ R; entonces:

1.1∑

k=1

ak = a1

2.n+1∑k=1

ak =n∑k=1

ak + ak+1

Las propiedades habituales de la suma, obviamente se preservan con esta notación:

PROPIEDADES 3.3.1 Sean a1, a2, · · · , an, c ∈ R. Entonces

1.n∑i=1

(ai + bi) =

n∑i=1

ai +

n∑i=1

bi

70

Verónica Gruenberg Stern 3.3. SUMAS Y PRODUCTOS

2.n∑i=1

c ai = ca1 + ca2 + · · ·+ can = c (a1 + a2 + · · ·+ an) = cn∑i=1

ai

3.n∑i=1

c = c+ c+ · · ·+ c = n · c, c constante.

4.n∑i=1

ai =

r∑i=1

ai +

n∑i=r+1

ai, con 1 ≤ r ≤ n

5.n∑i=1

(ai − ai−1) = an − a0 (Propiedad Telescópica de la suma)

6.n∑i=1

m∑j=1

aij

=

m∑j=1

(n∑i=1

aij

), con aij ∈ R, i = 1, · · · , n; j = 1, · · · ,m

OBSERVACIÓN: Claramente, las propiedades anteriores también se satisfacen para sumas que noparten desde i = 1 sino desde algún i = m.

EJEMPLOS:

1. La suma de los n primeros números se escriben∑i=1

i = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n. Demostramos

ya que el valor de esta suma es n(n+1)2 . Podemos escribir, entonces:

n∑i=1

i =n(n+ 1)

2.

Si la suma parte de un número natural m:n∑

i=m

i =n∑i=1

i−m−1∑i=1

i =n(n+ 1)

2− (m− 1)m

2.

2. La suma de los n primeros números impares se escriben∑i=1

2i− 1 = 1 + 3 + · · ·+ (2n− 1).

Demostramos ya que el valor de esta suma es n2, luego escribimos:n∑i=1

2i− 1 = n2.

Notar que también podemos aplicar las propiedades anteriores para realizar el cálculo:

n∑i=1

2i− 1 =n∑i=1

2i−n∑i=1

1 = 2n∑i=1

i−n∑i=1

1 = 2n(n+ 1)

2− n = n2

3.9∑i=3

(−1)i+13i = 3(3− 4 + 5− 6 + 7− 8 + 9) = 3 · 6 = 18

71


4. Calcularn∑k=7

1

k(k + 1).

Solución: Notamos que1

k(k + 1)=

1

k− 1

k + 1. Entonces (propiedad telescópica):

n∑k=7

1

k(k + 1)=

n∑k=7

1

k− 1

k + 1=

(1

7− 1

8

)+

(1

8− 1

9

)+ · · ·+

(1

n− 1

n+ 1

)=

1

7− 1

n+ 1

5. Calcular la suma de los múltiplos positivos de 13, menores que 500.

Solución: Debemos sumar 13 + 26 + · · · + x, donde x : es el mayor múltiplo de 13 que esmenor que 500, es decir, x = 13 · 38 = 494. Calculamos

38∑i=1

13 · i = 1338∑i=1

i = 1338 · 39

2= 13 · 741 = 9633

6. Calcular la suma de todos los múltiplos de 3 entre 100 y 999.

Solución:

333∑k=34

3k = 3333∑k=1

k − 333∑k=1

k = 3

(333 · 334

2− 33 · 34

2

)= 3(55 611− 561) = 165 150

7. Calcularn∑k=1

k2.

Solución: Notamos que(k + 1)3 − k3 = 3k2 + 3k + 1

Luego:n∑k=1

(k + 1)3 − k3 =n∑k=1

3k2 + 3k + 1

La suma del lado izquierdo es una suma telescópica, para la cual conocemos su valor:

n∑k=1

(k + 1)3 − k3 = (n+ 1)3 − 13 = (n+ 1)3 − 1

Por lo tanto:

(n+ 1)3 − 1 =

n∑k=1

3k2 +

n∑k=1

3k +

n∑k=1

1

es decir:

3

n∑k=1

k2 = (n+ 1)3 − 1− 3n(n+ 1)

2− n = (n+ 1)3 − (n+ 1)− 3

n(n+ 1)

2=

72


=n+ 1

2(2(n+ 1)2 − 2− 3n) =

n+ 1

2(2n2 + n) =

n(n+ 1)(2n+ 1)

2

de donden∑k=1

k2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

OBSERVACIÓN: De la misma manera se puede calcularn∑k=1

k3, que dejamos como ejerci-

cio, notando que (k+1)4−k4 = 4k3 +6k2 +4k+1, y análogamente para potencias mayores.

8. Calcularn∑k=1

1 + 2 + 3 + · · ·+ k

k.

Solución:n∑k=1

1 + 2 + 3 + · · ·+ k

k=

n∑k=1

k(k + 1)

2k=

1

2

n∑k=1

(k + 1) =1

2

(n(n+ 1)

2+ n

)=n(n+ 3)

4

9. Calcular40∑k=2

2k + 1

k2(k + 1)2.

Solución: Notamos que2k + 1

k2(k + 1)2=k2 + 2k + 1− k2

k2(k + 1)2=

(k + 1)2 − k2

k2(k + 1)2=

1

k2− 1

(k + 1)2.

Entonces, (propiedad telescópica):

40∑k=2

2k + 1

k2(k + 1)2=

40∑k=2

1

k2− 1

(k + 1)2=

1

4− 1

412

10. Demuestre por inducción:

∀n ∈ N :n∑k=1

k · 5k =5 + (4n− 1) · 5n+1

16.

Solución:

Para n = 1:1∑

k=1

k · 5k = 1 · 51 = 5 =80

16=

5 + (4− 1) · 52

16

∴ se cumple para n = 1.

Hipótesis de inducción: es verdadero que para algún n ∈ Nn∑k=1

k · 5k =5 + (4n− 1) · 5n+1

16

73


Por demostrarn+1∑k=1

k · 5k =5 + (4n+ 3) · 5n+2

16

Consideramosn+1∑k=1

k · 5k =

(n∑k=1

k · 5k)

+ (n+ 1) · 5n+1

=5 + (4n− 1) · 5n+1

16+ (n+ 1) · 5n+1

=5 + (4n− 1) · 5n+1 + 16(n+ 1) · 5n+1

16

=5 + 5n+1(4n− 1 + 16n+ 16)

16

=5 + 5n+1(20n+ 15)

16

=5 + 5n+2(4n+ 3)

16

∴ se cumple para n+ 1. Luego, se tiene:

n∑k=1

k · 5k =5 + (4n− 1) · 5n+1

16∀n ∈ N

TEOREMA 3.3.1 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Sean a1, a2, · · · , an ∈ R. Entonces(n∑k=1

akbk

)2

≤

(n∑k=1

a2k

)·

(n∑k=1

b2k

)Dem.: Considere la función:

f(x) = (a1x+ b1)2 + (a2x+ b2)

2 + · · ·+ (anx+ bn)2

Luego, f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R. Desarrollando los cuadrados, f(x) = Ax2 + 2Bx+ C, donde

A =

n∑k=1

a2k , B =

n∑k=1

akbk , C =

n∑k=1

b2k

Como f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R, se tiene que la cuadrática Ax2 + 2Bx+ C ≥ 0 ∀x ∈ R.

Luego, el discriminante debe ser estrictamente menor que 0, es decir:

(2B)2 − 4AC < 0 =⇒

(n∑k=1

akbk

)2

≤

(n∑k=1

a2k

)·

(n∑k=1

b2k

)

74


EJERCICIOS:

1. Desarrollar las siguientes sumatorias:

a)6∑i=1

1

i

b)5∑i=1

(2i− 1)

c)8∑i=1

i2

d)10∑i=1

i3

e)n∑i=1

1

2i− 1

f )13∑i=1

(−1)i−11

i

g)n∑i=2

(i+ 3)2

h)10∑i=3

(1

i− 1

i+ 1

)

i)10∑i=4

(i− 1)(i+ 1)

2. Calcular el valor de12∑k=5

(k + 1)(2k − 3)

3. Determine el valor de x si12∑k=5

(2x− 3k) = 116

4. Encontrar la suma de los números entre 50 y 3000 que son divisibles por 11.

5. De la sucesión xn se sabe que8∑i=1

x2i = 160,8∑i=1

xi = 120, x9 = 6 y x10 = 8. Obtenga el

valor de:

a)

10∑i=1

x2i b)

9∑i=1

xi(xi − 2) c)

10∑i=1

(xi − 1)2 −8∑i=1

(xi − 1)2

6. Si6∑i=1

(ai − 3)2 =

6∑i=1

(ai + 2)2 y6∑i=1

a2i = 10

6∑i=1

ai, calcule6∑i=1

ai(ai − 3).

7. Determine5∑i=1

y2i , sabiendo que

5∑i=1

(3xi − 2yi)2 = 101,

5∑i=1

x2i = 13 y5∑i=1

xi · yi = 2

8. Calcule100∑i=3

3

k2 − 1.

9. Determinen∑i=1

k(n− k + 1).

10. Demuestre que

75


a)2n∑k=1

(−1)kk2 =

n∑k=1

(4k − 1) b)n∑k=1

2k

1 + k2 + k4= 1− 1

1 + n+ n2

11. Demuestre que ∀n ∈ N:

a)n∑i=1

1√i≥√n b)

n∑i=1

1√i≤ 2√n− 1

12. Calcularn∑k=1

f(k) si: a) f(k) = 2k−1 + 8k3 − 6k2 b) f(k) = k3 +3

2k

13. Calcule200∑k=1

ak, si para k = 1, . . . , 200 se tiene que ak viene dado por

ak =

(13)k , k = 1, . . . , 99

(k + 1)2 , k = 100, . . . , 200

3.3.2. Notación: Productoria

Análogamente al caso de la suma, sean a1, a2, · · · , an ∈ R. Con el fin de abreviar la notaciónpara el producto a1 · a2 · · · an, ésta se denota por

a1 · a2 · · · an =n∏k=1

ak

Nuevamente, el sub-índice k es una variable muda. Como en el caso anterior:

DEFINICIÓN 3.3.2 Sean a1, a2, · · · , an ∈ R; entonces:

1.1∏

k=1

ak = a1

2.n+1∏k=1

ak =

(n∏k=1

ak

)· ak+1

PROPIEDADES 3.3.2 Sean ak, bk, c ∈ R, k = 1, · · · , n+ 1. Entonces:

1.n∏k=1

akbk =

n∏k=1

ak

n∏k=1

bk

76


2.n∏

k=m

c ak = cn−m+1n∏

k=m

ak

3. En particular, si ak = 1 ∀k:n∏

k=m

c ak = cn−m+1.

4.n∏k=1

akak+1

=a1an+1

, ak 6= 0, k = 2, 3, · · · , n+ 1

Un ejemplo importante es el factorial de un número natural, que podemos definir mediante laproductoria: sea n ∈ N. Definimos n factorial, que denotamos por n!, por

n! =

n∏i=1

i = 1 · 2 · 3 · · ·n

También, por comodidad, se define 0! = 1.Otra forma de definir n! es de la forma recursiva siguiente:

n! =

{1 n = 0

n (n− 1)! n ≥ 1

EJEMPLOS:

1. 2! = 2 · 1! = 2 · 1 · 0! = 2 · 1 · 1. Similarmente, 3! = 3 · 2! = 3 · 2 = 6, etc.

2. Simplificar12!

3!4!5!

3. Pruebe por inducción que para todo n ∈ N:(1 +

1

1

)1+1(1 +

1

2

)1+2(1 +

1

3

)1+3

· · ·(

1 +1

n

)1+n

=1

n!(n+ 1)n+1

Solución: Sea

p(n) :=

(1 +

1

1

)1+1(1 +

1

2

)1+2(1 +

1

3

)1+3

· · ·(

1 +1

n

)1+n

=1

n!(n+ 1)n+1

Mostraremos primero que la proposición p(n) es verdadera para n = 1; claramente,(1 +

1

1

)1+1

= 4 =1

1!(1 + 1)1+1

y por lo tanto p(n) es válido para n = 1. Supongamos ahora que la proposición es verdaderapara n = k, es decir:(

1 +1

1

)1+1(1 +

1

2

)1+2(1 +

1

3

)1+3

· · ·(

1 +1

k

)1+k

=1

k!(k + 1)k+1

77


Esta última es la Hipótesis de Inducción. Por demostrar que la proposición es válida paran = k + 1, es decir, debemos probar que:(

1 +1

1

)1+1(1 +

1

2

)1+2

· · ·(

1 +1

k + 1

)1+(k+1)

=1

(k + 1)!((k + 1) + 1)(k+1)+1

Reemplazando la hipótesis de inducción donde corresponde, se obtiene:(1 +

1

1

)1+1(1 +

1

2

)1+2(1 +

1

3

)1+3

· · ·(

1 +1

k

)1+k (1 +

1

k + 1

)1+(k+1)

=1

k!(k + 1)k+1

(1 +

1

k + 1

)1+(k+1)

=1

k!(k + 1)k+1

(k + 1 + 1

k + 1

)k+2

=1

k!(k + 1)k+1

(k + 2

k + 1

)k+2

=1

k!(k + 1)k+1 (k + 2)k+2

(k + 1)k+2

=1

k!

(k + 2)k+2

k + 1

=1

(k + 1)!(k + 2)k+2

=1

(k + 1)!((k + 1) + 1)(k+1)+1

Por lo tanto, la proposición se cumple para n = k+1 y, de esta manera, la afirmación es ciertapara todo n ∈ N.

EJERCICIOS:

1. Demuestre que ∀n ∈ N :

a) (n+ 1)!− n! = n!n b) (n+ 2)!− n! = n!(n2 + 3n+ 1)

2. Encuentre a, b, c ∈ Z : (n+ 3)!− n! = n!(n3 + an2 + bn+ c)

3. Demuestre que ∀n ∈ N :

n∑k=1

(k2 + 1)k! = n(n+ 1)!

4. Determinen∑k=1

k · k!

78

Verónica Gruenberg Stern 3.4. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

5. Demuestre que ∀n ∈ N : (2n)! < 22n(n!)2

6. Examine algunos valores de los productos

a)n∏k=1

(1− 1

k + 1

)b)

n∏k=1

(1− 1

(k + 1)2

)

para valores pequeños de n y conjetura la fórmula general; demuestre su conjetura por in-ducción.

3.4. Progresiones Aritméticas y Geométricas

DEFINICIÓN 3.4.1 Se dice que la sucesión de números a1, a2, a3, · · · , an está en progresión aritmética(P.A.) si existe un número real d, llamado diferencia tal que

ai+1 − ai = d, ∀i

TEOREMA 3.4.1 Si a1, a2, a3, · · · , an está en P.A., entonces

1. ak = a1 + (k − 1)d, ∀k.

2. La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética está dada por:

Sn =n

2

(2a1 + (n− 1)d

)=n(a1 + an)

2

Dem.: Probaremos la primera por inducción.

1. Para k = 1 : a1 = a1 + (1− 1)d, lo cual es V.

Supongamos que para algún k ∈ N : ak = a1 + (k − 1)d. (H.I.)

Queremos probar que ak+1 = a1 + kd. En efecto, por definición:ak+1 = ak + d = a1 + (k − 1)d︸︷︷︸

H.I.

+d = a1 + kd, usando la hipótesis de inducción.

Luego, ak = a1 + (k − 1)d, ∀k ∈ N.

2. Queremos probar que ∀n ∈ N : Sn =

n∑i=1

ai =n

2

(2a1 + (n− 1)d

)=n(a1 + an)

2

Notamos que:

Sn =

n∑i=1

ai =

n∑i=1

a1 + (i− 1)d =

n∑i=1

a1 +

n∑i=1

(i− 1)d = na1 + dn(n− 1)

2=n(2a1 + (n− 1)d

2

lo cual prueba la primera igualdad. Dejamos la segunda como ejercicio.

79


DEFINICIÓN 3.4.2 Se dice que la sucesión de números a1, a2, a3, · · · , an está en progresión geométrica(P.G.) si existe un número real q, llamado razón tal que

ai+1

ai= q, ∀i

TEOREMA 3.4.2 Si a1, a2, a3, · · · , an está en P.G., entonces

ak = a1qk−1, ∀k.

La suma de los n primeros términos de una P.G. está dada por:

Sn =

n∑k=1

ak = a1qn − 1

q − 1, q 6= 1

Dem.: Dejamos como ejercicio probar la primera afirmación. Para probar la segunda:

Sn =

n∑k=1

ak = a1 + a2 + · · ·+ an

qSn =

n∑k=1

qak = a2 + a3 + · · ·+ an + an+1

Restando ambas ecuaciones:

(1− q)Sn = a1 − an+1 = a1 − a1 · qn =⇒ Sn = a1 ·1− qn

1− q, q 6= 1

OBSERVACIÓN: Si en una P.G. se tiene que |q| < 1, es fácil ver que cuando n crece, la sucesión delas potencias naturales de q −→ 0. Por ejemplo, si q = 1

2 , entonces las potencias naturales formanla sucesión 1

2 ,14 ,

18 , · · · ,

12n . En este caso, decimos que

lımn→∞

qn = 0

Notar que, en este caso,

S∞ = lımn→∞

Sn = lımn→∞

a1qn − 1

q − 1=

a11− q

Esta suma se llama «serie geométrica», y se denota por∞∑k=1

ak.

EJEMPLOS:

1. Calcule la siguiente suma:1

9− 1

27+

1

81− 1

243+ . . .

80


Solución: Llamamos Sn a la suma

Sn =n∑k=2

(−1

3

)k=

1

9

n∑k=2

(−1

3

)k−2

=1

9

n−2∑k=0

(−1

3

)k=

1

9

(1−

(−1

3

)n−11 + 1

3

)

Haciendo n→∞, se tiene que Sn −→ 112

∴∞∑k=2

(−1

3

)k=

1

12

EJERCICIOS:

1. Encuentre el segundo, tercer y cuarto términos de la P.A. con a1 = −11 y d = 7.

2. El cuarto término de una P.A. es 21 y el décimo es 48. Calcule la diferencia y el tercer término.

3. Los coeficiente de una ecuación de segundo grado y el término independiente forman unaprogresión aritmética. La suma de las raíces representa la tercera parte de la suma de lostérminos de la progresión y el producto de las raíces excede en 7 unidades al coeficiente delsegundo término. ¿Cuál es la ecuación?

4. Una persona arrienda una pieza en una pensión durante el año 2006. Acuerda con la dueñareajustar la renta mes a mes en una cantidad fija. El arrendatario calcula que deberá pagar$1.058.400 anuales y que en el mes de diciembre deberá cancelar $134.400.

a) ¿Cuál fue la renta de Enero?

b) ¿Cuál es el monto del reajuste acordado?

5. El tercer término de una P.G. es 3 y el séptimo término es3

16. Calcule la razón y el primer

término de la P.G.

6. Hallar el número de términos y la razón de una progresión geométrica cuyo primer términoes 4, el último 62500 y la suma de todos sus términos 78124.

81


7. La razón de una progresión geométrica es 2, el número de términos 11 y la suma de todosellos 2047. Hallar el primero y el último de los términos.

8. Al preguntar un empleado cuánto tiempo llevaba trabajando en una empresa contestó: “Nolo sé; sólo puedo decir que llevo cobrados US$ 174.000, que este año me han dado US$ 14.400y que cada año he tenido un aumento de salario, respecto al anterior de US$ 600". ¿Cuántosaños lleva trabajando en esa empresa?

9. A un empleado una empresa A le ofrece una renta de $120.000 anuales con un aumentode $3.000 anuales, por un período de 15 años. Otra empresa B, por el mismo período detiempo, le ofrece $140.000 anuales y un aumento de $2.000 por año. ¿Cuál ofrecimiento esmás conveniente para el empleado?

10. Los dos primeros términos de una progresión aritmética son (a − b)2 y (a + b)2. Hallar ladiferencia y la suma de los siete primeros términos.

11. Hallar la suma de las 12 primeras potencias de 2.

12. La suma de los tres primeros términos de una progresión aritmética es 12 y la razón 16.Calcule el primer término de la progresión.

13. Calcule a)n∑i=1

3i − 2i b)n∑i=1

[2−(i+3) +

i+ 3

i+ 2− i+ 2

i+ 1

]c)

n∑k=1

(k2 + 1)k!

14. Determine tres números de una P.A. tales que su suma sea 27 y su producto 288.

15. El primer término de una progresión aritmética de 8 términos es 425 y el último 1

4 . Hallar lasuma de los 8 primeros términos.

16. El primer término de una progresión aritmética es 1, el segundo es 2 y la suma de todos sustérminos 210. ¿Cuántos términos tiene esta progresión?

17. Hallar la suma de los 5 primeros términos de una progresión geométrica cuya razón es igual

a 5

√1

ay el primer término es igual a

√a.

18. La suma de los 5 términos que forman una progresión geométrica es (b2 +1)(b+1) y la razónes b. ¿Cuánto vale el primer término?

19. En una progresión aritmética de 6 términos, el primero vale 2 y la suma de todos ellos esigual a la mitad del cuadrado del número de términos. Formar la progresión.

20. La suma de los cuatro términos de una progresión aritmética es 3 y el último término es 1.Hallar los otros tres términos.

82


21. Intercale siete números entre 11 y 13 de modo que formen una P.A.

22. Intercale cinco números entre 3 y 192 de modo que formen una P.G.

23. Sea1

a,

1

b,

1

cuna P. A. tal que a + b 6= 0, a − b 6= 0, a + c 6= 0 y a − c 6= 0.

Demuestre quea(a− c)

(a− b)(a+ c)= 1

24. Calcular el segundo término de una P. A. cuyo primer término es 2 y en la que el primero,tercero y séptimo término están en P. G.

25. Si el valor de un automóvil se deprecia 20 % el primer año y 5 % cada año después delprimero. ¿Cuál es el valor de un automóvil con ocho años de uso que costó originalmente$3.000.000.

26. La vida media del isótopo de Uranio 230 es de 20,8 días. Es decir, la masa m del Uranio 230se reduce a m

2 en 20,8 días. ¿Cuál es la cantidad que queda después de 104 días?.

27. Demuestre que si a, b, c están en P.A., entonces

1√b+√c,

1√c+√a,

1√a+√b

están en P.A.

28. Determine la P.A. a, b, c si sabe que satisface las siguientes propiedades:

a) a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática: ax2 + bx+ c = 0.

b)1

3(a+ b+ c) = x1 + x2

c) x1 · x2 + 7 = b, donde x1 y x2 son las raíces de la ecuación cuadrática del item a).

29. Una pelota se suelta desde 1 metro de altura. Si cada vez que rebota alcanza la mitad de laaltura que tenía antes de rebotar. Calcular la distancia que recorre antes de detenerse.

83


3.5. Teorema del Binomio

Sean x, y ∈ R y evaluemos las potencias de (x+ y):

(x+ y)0 = 1 = 1

(x+ y)1 = (x+ y) = x+ y

(x+ y)2 = (x+ y) · (x+ y) = x2 + 2xy + y2

(x+ y)3 = (x+ y) · (x+ y)2 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

(x+ y)4 = (x+ y) · (x+ y)3 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

(x+ y)5 = (x+ y) · (x+ y)4 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5

Se puede observar que aparece una regla para los coeficientes de xn−kyk de (x+ y)n con n, k ∈ N.Ésta se puede resumir en el conocido Triángulo de Pascal:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

A continuación se introducirán los conceptos y notaciones básicas para poder plantear y de-mostrar el Teorema del binomio.

DEFINICIÓN 3.5.1 (Coeficiente Binomial) Sean n, k ∈ N∪{0} tal que n ≥ k ≥ 0. Se define el nú-mero

(nk

), llamado coeficiente binomial y que leemos "n sobre k", por:(

n

k

)=

n!

k!(n− k)!

PROPIEDADES 3.5.1 Para n,m, k ∈ N0 tales que m ≥ n ≥ k se tiene que:

1.(n

0

)=

(n

n

)= 1.

2.(

n

k − 1

)+

(n

k

)=

(n+ 1

k

). (Regla de formación del triángulo de Pascal)

84

Verónica Gruenberg Stern 3.5. TEOREMA DEL BINOMIO

3.(n

k

)∈ N.

4.(n

k

)=

(n

n− k

). (Simetría del triángulo de Pascal)

Dem.: Las propiedades 1. y 4. se verifican por sustitución directa.

2.(

n

k − 1

)+

(n

k

)=

n!

(k − 1)!(n− k + 1)!+

n!

k!(n− k)!=k · n! + (n− k + 1)n!

k!(n− k + 1)!=

(n+ 1)!

(n+ 1− k)!k!

3. Por inducción sobre n:

Por 1., sabemos que(n

0

)=

(n

n

)= 1 ∀n ∈ N, en particular para n = 1.

Sea p(n) :

(n

k − 1

)∧(n

k

)∈ N y supongamos que p(n) es V.

Queremos probar que p(n+ 1) :

(n+ 1

k

)∈ N es verdadero. Pero, por la propiedad

2. se tiene: (n+ 1

k

)=

(n

k − 1

)+

(n

k

)Como por la hipótesis de inducción ambos coeficientes binomiales de la derecha sonnúmeros naturales, su suma también lo es.

EJERCICIOS: Demuestre las siguientes:

1.(

m

n+ 1

)=

(m− nn+ 1

)(m

n

). 2.

(m+ 1

n+ 1

)=

(m+ 1

n+ 1

)(m

n

).

TEOREMA 3.5.1 (Teorema del Binomio) Sean x, y ∈ R y n ∈ N, entonces:

(x+ y)n =

n∑k=0

(n

k

)xn−kyk

Dem.:

Se demostrará utilizando inducción sobre n. Notar que esta expresión es válida para n = 0 yn = 1. Supongamos que es válida para n = p. Se demostrará que la fórmula es válida para n = p+1

85


y con esto se concluirá que es válida para todo número natural.

(x+ y)p+1 = (x+ y) · (x+ y)p

= (x+ y) ·p∑

k=0

(p

k

)xp−kyk

= (x+ y) ·

(xp + yp +

p−1∑k=1

(p

k

)xp−kyk

)

= xp+1 + yp+1 +

(xyp +

p−1∑k=1

(p

k

)xp+1−kyk

)+

(xpy +

p−1∑k=1

(p

k

)xp−kyk+1

)

= xp+1 + yp+1 +

p∑k=1

(p

k

)xp+1−kyk +

p−1∑k=0

(p

k

)xp−kyk+1

= xp+1 + yp+1 +

p∑k=1

(p

k

)xp+1−kyk +

p∑l=1

(p

l − 1

)xp+1−lyl

= xp+1 + yp+1 +

p∑k=1

[(p

k

)+

(p

k − 1

)]xp+1−kyk

= xp+1 + yp+1 +

p∑k=1

(p+ 1

k

)xp+1−kyk

=

p+1∑k=0

(p+ 1

k

)xp+1−kyk

y esta última expresión es la que queríamos probar, por lo que la proposición es válida ∀n ∈ N.

OBSERVACIÓN: Notar que

• (x+ y)n =n∑k=0

(n

k

)xn−kyk =

n∑k=0

(n

k

)xkyn−k

• (x− y)n =n∑k=0

(n

k

)xn−kyk(−1)k =

(n

0

)xn −

(n

1

)xn−1y +

(n

2

)xn−2y2 − · · ·+ (−1)n

(n

n

)yn

Aplicación a Combinatoria Es importante tener presente que la notación de coeficiente binomialy factorial permite simplificar la notación para situaciones de la combinatoria:

n! es el número de formas de ordenar n elementos.

Pnk =n!

(n− k)!es el número de formas de ordenar k elementos, tomados de un conjunto de

n elementos (permutaciones).

86

Verónica Gruenberg Stern 3.5. TEOREMA DEL BINOMIO

(n

k

)representa el número de subconjuntos de k elementos, tomados de un conjunto de n

elementos.

EJEMPLOS:

1. Calcular (sin desarrollar) el sexto término del desarrollo de (x+ y)15.Solución: Sea t6 el sexto término de este desarrollo. Entonces:

t6 =

(15

5

)x10y5 = 3003x10y5

2. Calcular (sin desarrollar) el término central del desarrollo de (x1/3 − x−2/2)6.Solución: El desarrollo tiene 7 términos, por lo que el término central es el cuarto. Luego:

t4 =

(6

3

)(x1/3)3

(−x−2

2

)3

= −5x−5/2.

3. Determine, si existe, el término independiente de x en el desarrollo de(x+

1

x

)9

.

Solución: Sea tk el k−ésimo término de este desarrollo. Entonces:

tk =

(9

k − 1

)x9−k+1

(−1

x

)k−1=

(9

k − 1

)(−1)k−1x9−k+1−k+1

Para que el término sea indepediente de x, el exponente de x debe ser igual a 0, es decir:

9− k + 1− k + 1 = 0 ⇒ 11− 2k = 0 ⇒ k =11

26∈ N

∴ no hay término independiente de x en este desarrollo.

4. Demostrar: a)

n∑k=0

(n

k

)= 2n b)

n∑k=0

(−1)k(n

k

)= 0

Solución:

a) 2n = (1 + 1)n =

n∑k=0

(n

k

)1n−k1k =

n∑k=0

(n

k

).

b) 0 = 0n = (1− 1)n =n∑k=0

(n

k

)1n−k(−1)k =

n∑k=0

(−1)k(n

k

).

87


5. Obtenga el coeficiente de x8 en el desarrollo de (1 + x2 − x3)9.

Solución: Claramente, este no es un binomio. Sin embargo, podemos asociar:

(1 + (x2 − x3)

)9=

9∑k=0

(9

k

)19−k(x2 − x3)k

=9∑

k=0

(9

k

)(x2 − x3)k

Ahora:

(x2 − x3)k =k∑i=0

(k

i

)(x2)k−i(−x3)i

=

k∑i=0

(k

i

)(−1)ix2k+i

Necesitamos que 2k + i = 8, con 0 ≤ k ≤ 9 ∧ 0 ≤ i ≤ k

Notamos que: si k > 4 entonces 2k + i > 8, de donde 0 ≤ k ≤ 4.

k = 0 ⇒ i = 0 ⇒ 2k + i = 0 no sirve!k = 1 ⇒ i = 0, 1 ⇒ 2k + i = 2, 3 no sirve!k = 2 ⇒ i = 0, 1, 2 ⇒ 2k + i = 4, 5, 6 no sirve!k = 3 ⇒ i = 0, 1, 2, 3 ⇒ 2k + i = 6, 7, 8, 9 ⇒ k = 3 ∧ i = 2

k = 4 ⇒ i = 0, 1, 2, 3, 4 ⇒ 2k + i = 8, · · · ⇒ k = 4 ∧ i = 0

Así, los coeficientes que multiplican a x8 son:(

9

3

)(3

2

)y(

9

4

)(4

0

)es decir, el coeficiente

de x8 es 3

(9

3

)+

(9

4

)= 378.

EJERCICIOS:

1. Determine, si es que existe, el coeficiente de x18 en el desarrollo de(x2 +

2

x

)15

.

2. Si es que existe, determine el coeficiente del término independiente de x en el desarrollo de(3√x+

1

x

)6

.

3. Determine el coeficiente de x5 en el desarrollo de (1 + x+ x2)10.

4. Dado n ∈ N, determine el coeficiente de x4 en (1 + x)(1− x)n.

88


5. Muestre que si a1, a2, . . . es una progresión geométrica de razón ρ entonces

n∑k=1

ak+1

(n

k

)= a1 (1 + ρ)n

6. Utilizando la igualdad (1 + x)m (1 + x)n = (1 + x)n+m muestre que(n

0

)(n

1

)+

(n

1

)(n

2

)+ · · ·+

(n

n− 1

)(n

n

)=

(2n)!

(n+ 1)! (n− 1)!

7. En el desarrollo de (1 + x)2n + (1− x)2n determine:

a) el coeficiente del término que contiene xn.

b) el término constante (independiente de x).


1. Calcularn∑k=2

1

(k − 1)(k + 1)

2. Calcular

S =

n−1∑k=0

(−1)k(n− 1

k

)52n−2k · 22k−2 · 6k+2

3. Determine el coeficiente que contiene a x2 en el desarrollo de(

2x7 − 1

x

)22

4. En una P.A. se sabe que a13 = 34. Determine a11 + a15.

5. Calculen∑i=1

n∑j=1

2i+j

6. Demostrar que2n∑k=1

(−1)kk2 =

n∑k=1

(4k − 1) , ∀n ∈ N.

7. Demostrar por inducción que

∀n ∈ N :5

1 · 2· 1

3+

7

2 · 3· 1

32+ · · ·+ 2n+ 3

n · (n+ 1)· 1

3n= 1− 1

3n(n+ 1)

8. Determine el valor de n en(x− 3√y)n para que la suma de los coeficientes numéricos del

cuarto y quinto término de su expansión sea igual a 0.

89


9. Una P.A. tiene 20 términos. La suma de los términos que ocupan los lugares pares es 250 y lade los térmios que ocupan los lugares impares es 220. Encuentre los dos términos centralesde la P.A.

10. Demuestre que1

1 · 5+

1

5 · 9+ · · ·+ 1

(4n− 3)(4n+ 1)=

n

4n+ 1, ∀n ∈ N.

11. Encuentre todos los n ∈ N tales que 12 · 22 · 32 · · ·n2 > 3n.

Use inducción para justificar su respuesta.

12. Considere la siguiente desigualdad: 2n2 + 3 > 14n+ 10. Demuestre (usando inducción)que ella es verdadera a partir de cierto n0 ∈ N; encuentre dicho valor.

13. Demuestre usando inducción que (12 +1)1!+(22 +1)2!+(32 +1)3!+ +(n2+1)n! = n(n+1)!

para todo n ∈ N.

14. Determine los valores de n ∈ N para los cuales se cumple 3n > 2n + 7n. Demuestre estaproposición usando inducción.

90

Capítulo 4

Trigonometría

La trigonometría es una disciplina que proviene de la Grecia antigua, de hace más de 2000 años.De hecho, la palabra trigonometría proviene de las palabras griegas trigonon (triángulo) y metria(medición), es decir, podría traducirse como medida del triángulo.

4.1. Introducción

El concepto de ángulo es la base del estudio de la trigonometría, y es un concepto primitivo,que podría precisarse en una de las siguientes formas:

un ángulo es una figura geométrica plana que consiste en dos semirectas con sus puntosextremos en común. Este punto es llamado el vértice del ángulo, y las semirectas son suslados.

un ángulo es el conjunto de puntos del plano generados por la rotación de una semirectaalrededor de su extremos (vértice), desde una posición inicial (lado inicial) a una posiciónfinal (lado final).

En la geometría euclidiana estudiada en la enseñanza media, habitualmente se utiliza la prime-ra definición, pero la última definición tiene ventajas sobre ella, puesto que permite comprender,entre otros, el concepto de ángulo para giros mayores a una vuelta. También, permite considerarvalores negativos para los ángulos, del siguiente modo:

Por convención, la medida de un ángulo es positiva si se mide en la dirección contraria almovimiento de las manecillas del reloj, y su medida es negativa en otro caso.

Las unidades en las que habitualmente se miden los ángulos son:

grado sexagesimal, denotado por ◦, que se define de la siguiente forma:

el ángulo generado por una rotación completa de una semirecta mide 360◦. Luego,

1◦ es1

360de la medida de esta rotación completa.

El grado (◦) se divide en 60 partes iguales, llamadas minutos, denotadas por ’

El minuto (′) se divide en 60 partes iguales, llamadas segundos, denotadas por ”

91

CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA Verónica Gruenberg Stern

radián, que se define de la siguiente forma:la medida en radianes de un ángulo α, 0 ≤ α ≤ 2π es, numéricamente, igual a la longituddel arco de la circunferencia unitaria subtendida por el ángulo α.

OBSERVACIÓN: Como el perímetro de una circunferencia es P = 2πr, si r = 1 se tiene que P = 2π.Luego, el ángulo correspondiente a una circunferencia completa mide 2π. Esta simple observaciónpermite transformar las unidades de medida de los ángulos:

αrad

α◦=

2π

360

Las equivalencies más usuales son:

α◦ 0 15 30 45 60 90 120 135 180 270 360αrad 0 π

12π6

π4

π3

π2

2π3

3π4 π 3π

2 2π

OBSERVACIÓN: La medida de un ángulo no se limita a valores entre 0 y 2π; si la semirecta quegenera el ángulo rota alrededor de su extremo en más de una vuelta, la medida del ángulo serámayor a 2π. Además, la rotación se puede efectuar en el sentido negativo, de donde todo númeroreal representa la medida de un ángulo, medida en radianes.

EJEMPLOS:

1. La medida en radianes de 58◦ es58 · π180

≈ 1, 01 rad.

2. La medida en grados de 3,5 rad. es3, 5 · 180

π≈ 200, 5◦.

3. Una circunferencia tiene radio igual a 12 cm. ¿Cuánto mide el arco subtendido por un ángulodel centro que mide 135◦?

Tenemos que: αrad =135 · π

180=

3

4π

Luego, si denotamos la longitud del arco por s: s = r · αrad = 12 · 3

4π ≈ 28, 3 cm.

4. Exprese el área total de un sector circular en términos del radio y del arco subtendido.

De la geometría, sabemos que el área de un sector circular es al área total como el arco sub-tendido es a la longitud total. Entonces:

A

πr2=

s

2πr=⇒ A =

1

2sr

Además, por el ejemplo anterior, como s = r · αrad, se tiene que

A =1

2r2 · αrad

92

Verónica Gruenberg Stern 4.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

EJERCICIOS:

1. El minutero de un reloj mide 12 cm. ¿Que distancia recorre su extremo en 20 minutos?

2. Una vía férrea debe describir un arco de circunferencia para cambiar su dirección en 25◦ enun recorrido de 120 metros. ¿Cuál será el radio de dicha circunferencia?

4.2. Funciones Trigonométricas

DEFINICIÓN 4.2.1 (Función Periódica) Se dice que una función f es periódica de período p, conp ∈ R− {0} si

f(x+ p) = f(x) ∀x, x+ p ∈ Dom(f) .

OBSERVACIÓN: El valor p corresponde a la mínima constante que satisface la relación y también sellama período fundamental.

EJEMPLOS:

1. Considerar la función f (x) = x − [x] donde [x] denota la parte entera de x. Si hacemos ungráfico de la función, notamos que la función es periódica, de período 1. En efecto:

∀x ∈ R : f(x+ 1) = x+ 1− [x+ 1] = x+ 1− [x]− 1 = x− [x] = f(x)

2. La función f(x) = |x|, −1 ≤ x ≤ 1, f(x+ 2) = f(x), es periódica de período 2.

Las funciones trigonométricas básidas son las funciones seno y coseno, y, a partir de ellas, sedefinen las cuatro funciones trigonométricas restantes: tangente, cotangente, secante y cosecante.Además, hay dos maneras equivalentes de definir las funciones seno y coseno: como razones entrelos lados de un triángulo rectángulo o mediante el punto sobre el plano cartesiano definido por elextremo de un ángulo sobre una circunferencia unitaria, opción que tomaremos aquí.

Consideremos una circunferencia de radio 1:

1

!1

1!1

(x,y)

!

Notamos que a cada (x, y) sobre la circunferencia le corres-ponde un único θ, 0 ≤ θ < 2π (medido en radianes). Re-cíprocamente, a cada θ ∈ R, le corresponde un único (x, y)

sobre la circunferencia, no importando si θ es mayos a 2π omenor que 0.

Esta correspondencia nos permite definir las funciones trigonométricas:

93


DEFINICIÓN 4.2.2 Para cada θ ∈ R, con las restricciones indicadas, definimos las funciones seno,coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante mediante:

1. sen(θ) = y

2. cos(θ) = x

3. tan(θ) =y

xsi x 6= 0

4. cotg (θ) =x

ysi y 6= 0

5. sec(θ) =1

xsi x 6= 0

6. cosec (θ) =1

ysi y 6= 0

f sen cos tan csc sec cot

Dom R R R−{π

2+nπ:n∈Z

}R−{kπ:k∈Z} R−

{π2+nπ:n∈Z

}R−{kπ:k∈Z}

Rec [−1, 1] [−1, 1] R (−∞, 1] ∪ [1,+∞) (−∞, 1] ∪ [1,+∞) R

Período 2π 2π π 2π 2π π

Paridad Impar Par Impar Impar Par Impar

OBSERVACIÓN:

1. Para ver que el período de las funciones seno y coseno es 2π, notamos que al incrementarel ángulo en 2π radianes, la posición del punto (x, y) en el plano, es la misma. Es decir, six = senα, entonces sen(α+ 2π) = x. Análogamente con el coseno.En general, si θ = α+ 2kπ, k ∈ Z:

sen θ = sen(α+ 2kπ) = senα

cos θ = cos(α+ 2kπ) = cosα

2. En vista de la periodicidad de todas estas funciones, ellas no son inyectivas.

3. De manera muy sencilla, podemos hacer el cuadro:

94

Verónica Gruenberg Stern 4.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

θ 0 π2 π 3π

2 2π

(x, y) (1, 0) (0, 1) (−1, 0) (0,−1) (1, 0)

sen 0 1 0 −1 0

cos 1 0 −1 0 1

tan 0 no definido 0 no definido 0

4. Dependiendo del cuadrante (ver la introducción del capítulo 6) en el que se encuentre un án-gulo θ, es fácil determinar el signo que debe tener la correspondiente función trigonométrica.

5. Notar que sen2 θ + cos2 θ = 1, ∀θ ∈ REsta es la versión trigonométrica del Teorema de Pitágoras.

6. De la relación anterior, y para aquellos θ ∈ R para los que están definidas las correspondien-tes funciones, se tiene:

1 + tan2 θ = sec2 θ

1 + cotg 2θ = cosec2 θ

7. Para ver la definición equivalente, que considera las propiedades de semejanza de triángulos,

consideremos primeramente la figura de al lado, quemuestra la relación entre un triángulo rectángulo cual-quiera y uno definido sobre la circunferencia unitaria.

Luego, las definiciones de las funciones trigonométricas anteriores son equivalentes a la si-guiente construcción:

Considere el triángulo rectángulo de la siguiente figura:

Se define:

95


Nombre Definición

Seno senα =cateto opuesto

hipotenusa=a

c

Coseno cosα =cateto adyacente

hipotenusa=b

c

Tangente tanα =cateto opuesto

cateto adyacente=a

b

Nombre Definición

Cosecante cosecα =hipotenusa

cateto opuesto=c

a

Secante secα =hipotenusa

cateto adyacente=c

b

Cotangente cotgα =cateto adyacentecateto opuesto

=b

a

8. Notar que, debido a la semejanza de triángulos, las razones trigonométricas solamente de-penden del ángulo α considerado.

Construyendo un triángulo equilátero y un triángulo rectángulo isóceles se pueden determinarlos valores de los cuocientes trigonométricos de algunos ángulos.

de donde obtenemos

0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦

0 π6

π4

π3

π2

Seno 0 12

√22

√32 1

Coseno 1√32

√22

12 0

Tangente 0√33 1

√3 ∞

96

Verónica Gruenberg Stern 4.3. IDENTIDADES FUNDAMENTALES EN EL TRIÁNGULO

EJEMPLOS:

1. Demostrar que 1 + 2 sec2 x tan2 x− sec4 x− tan4 x = 0, ∀x 6= (2k + 1)π/2, k ∈ Z.Solución:1 + 2 sec2 x tan2 x − sec4 x − tan4 x = (1 + tan2 x)(1 − tan2 x) + (2 tan2 x − sec2 x) sec2 x =

sec2 x(1 + tan2 x− sec2 x) = sec2 x(sec2 x− sec2 x) = 0.

2. Determine el valor de 2 cos2 α+ 3 sen2 α, si tanα = 35 .

Solución:tanα = 3

5 ⇒ cosα =5√34∧ senα =

3√34

∴ 2 cos2 α+ 3 sen2 α =77

34

3. Si senα =12

13y tanα < 0, determine los valores de las funciones trigonométricas restantes.

Solución: Como senα > 0 y cosα < 0, se tiene que α ∈ II cuadrante. Además,sabemos que sen2 α+ cos2 α = 1 ⇒ cosα = −

√1− sen2 α de donde:

cosα = − 5

13, tanα = −12

5, cotgα = − 5

12, secα = −13

5, cosecα =

13

12

EJERCICIOS:

1. Muestre que(

1 + cotg 60◦

1− cotg 60◦

)2

=1 + cos 30◦

1− cos 30◦

2. Sean α = β = π/4. Verificar que:

sen(α+ β) 6= senα+ senβ

cos(α+ β) 6= cosα+ cosβ

4.3. Identidades Fundamentales en el triángulo

A partir de las definiciones de las funciones trigonométricas, se tiene que:

1) senα · cosecα = 1 2) cosα · secα = 1 3) tanα · cotgα = 1

A partir de las definiciones equivalentes en el triángulo rectángulo, se tiene que:

4) senα =a

c= cosβ ⇒ senα = cos(90− α) 5) cosα = sen(90− α)

En virtud del Teorema de Pitágoras (a2 + b2 = c2), como ya señalamos, se tiene que:

6) sen2 α+ cos2 α = 1 7) tan2 α+ 1 = sec2 α 8) cotg 2α+ 1 = cosec 2α

97


4.3.1. Suma y resta de ángulos

Para la suma de ángulos, consideremos la figura

De la figura, se tiene que: cos(α+ β) =OD

OC=AO

OC− DA

OCPor otro lado

AO

OC=AO

OB

OB

OC= cosα cosβ

DA

OC=CE

OC=CE

CB

CB

OC= senα senβ

Entonces

cos(α+ β) = cosα cosβ − senα senβ

Puesto que senα = cos(π2 − α

), esto nos permite calcular razones trigonométricas de ángulos

negativos y también mayores de π2 :

sen(−α) = cos(π

2+ α

)= − senα.

De la misma manera,

cos(−α) = sen(π

2+ α

)= cosα

98

Verónica Gruenberg Stern 4.3. IDENTIDADES FUNDAMENTALES EN EL TRIÁNGULO

así

sen (α+ β) = cos(π

2− (α+ β)

)= cos

((π2− α

)+ (−β)

)= cos

(π2− α

)cos (−β)− sen

(π2− α

)sen (−β)

= senα cosβ − cosα (− senβ)

= senα cosβ + cosα senβ

De manera similar se pueden obtener

cos(α− β) = cos (α+ (−β)) = cosα cosβ + senα senβ

ysen(α− β) = sen (α+ (−β)) = senα cosβ − senβ cosα

En resumen:

cos(α+ β) = cosα cosβ − senα senβ

cos(α− β) = cosα cosβ + senα senβ

sen (α+ β) = senα cosβ + cosα senβ

sen(α− β) = senα cosβ − cosα senβ

Sumando las dos primeras obtenemos

cos(α+ β) + cos(α− β) = 2 cosα cosβ

Hacemos un cambio de variables

(α+ β = x) ∧ (α− β = y)

entoncesα =

x+ y

2∧ β =

x− y2

de dondecosx+ cos y = 2 cos

(x+ y

2

)cos

(x− y

2

)Similarmente, es posible obtener las restantes fórmulas de prostaféresis:

cosx− cos y = −2 sen

(x+ y

2

)sen

(x− y

2

)senx+ sen y = 2 sen

(x+ y

2

)cos

(x− y

2

)senx− sen y = 2 cos

(x+ y

2

)sen

(x− y

2

)99


EJEMPLOS:

1. Calcular sen(5π/12) y tan(15◦)

Solución: Observar que 5π/12 = π/4 + π/6 y que 15◦ = 45◦ − 30◦. Luego:

sen(5π/12) = sen(π/4 + π/6) = sen(π/4) cos(π/6) + cos(π/4) sen(π/6) =√22

(√3−12

)tan(15◦) = tan(45◦ − 30◦) =

sen(45◦ − 30◦)cos(45◦ − 30◦)

= · · ·

2. Determine cos 7π12 .

Notamos que cos 7π12 = cos

(π4 + π

3

)y procedemos análogamente.

EJERCICIOS:

1. Encontrar el valor de las funciones trigonométricas para α = 75◦.

2. Demuestre las llamadas fórmulas del ángulo doble:

a) sen(2α) = 2 senα cosα ∀α ∈ R

b) cos(2α) = cos2 α− sen2 α = 2 cos2 α− 1 = 1− 2 sen2 α ∀α ∈ R

c) tan(2α) =2 tanα

1− tan2 αsiempre que tanα 6= ±1.

3. Demuestre las llamadas fórmulas del ángulo medio:

a) sen2(α

2

)=

1− cosα

2

b) cos2(α

2

)=

1 + cosα

2

c) tan2(α

2

)=

1− cosα

1 + cosα

4. Un observador, ubicado a nivel de la calle, determina que el ángulo de elevación de la partesuperior de un edificio es de 30◦. Avanza 100 m hacia el edificio y el ángulo de elevación esel doble que el primero. Calcule la altura del edificio.

5. Una montaña inaccesible CD se observa desde el piso en A bajo ángulo α. Una base ABse elige en el terreno perpendicularmente a la horizontal AC y midiendo l metros: En B lamontaña se observa bajo ángulo β. Muestre que la altura de la montaña es

h =l tanα tanβ√tan2 α− tan2 β

100

Verónica Gruenberg Stern 4.4. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

4.4. Identidades Trigonométricas

DEFINICIÓN 4.4.1 Una identidad trigonométrica es una igualdad, cuya característica es la de perma-necer válida para todo número real para el cual cada una de las funciones trigonométricas queintervienen en la expresión estén definidas.

EJEMPLOS:

1. Demostrar:1− 2 cos2 x

senx cosx= tanx− cotg x

Solución:

tanx− cotg x =sen2 x− cosx

senx cosx=

1− 2 cos2 x

senx cosx

2. Demostrar que si x+ y + z = π, entonces

sen(2x) + sen(2y) + sen(2z) = 4 senx sen y sen z.

Solución:

sen(2x) + sen(2y) + sen(2z) = 2 sen(z) cos(x− y) + 2 sen(z) cos(z)

= 2 sen(z)[cos(x− y) + cos(z)]

= 2 sen(z)2 cos

(x− y + z

2

)cos

(x− y − z

2

)= 4 cos

(π2− y)

cos(π

2− x)

sen(z)

= 4 sen(x) sen(y) sen(z).

EJERCICIOS: Demuestre las siguientes identidades:

1.sen 2x

1− cos 2x· 1− cosx

cosx= tan

x

2

2.cos 5x− cosx

sen 5x− senx= − tan(3x)

3.tan2 α

1 + tan2 α· 1 + cotg 2α

cotg 2α= tan2 α

4.1 + cosx+ cos x2

senx+ sen x2

= cotgx

2

5. sen4(x) (3− 2 sen2(x)) + cos4(x) (3− 2 cos2(x)) = 1

4.5. Resolución de Triángulos

DEFINICIÓN 4.5.1 Resolver un triángulo significa determinar todos los lados y los ángulos que lodeterminan.

101


Es importante tener presente que, para resolver un triángulo, necesitamos conocer 3 datos entrelas longitudes de los lados y las medidas de los ángulos, siendo necesario que entre los datos seencuentre al menos la longitud de 1 lado. En particular, si el triángulo es rectángulo, podremosresolver el triángulo si conocemos:

un lado y otro ángulo

dos lados (los dos catetos o la hipotenusa y un cateto)

Antes de construir las herramientas que nos permitirán resolver un triángulo cualquiera, consi-deremos los siguientes problemas que involucran el triángulo rectángulo.

EJEMPLOS:

1. Del triángulo de la figura, se sabe que: AB//ED, AB ⊥ AE, BF = BC y se cono-cen los valores de α = ∠CED, β = ∠DEF, DB = a. ¿Cuánto mide CD?

A B

C

DE

F

Solución: Se tiene que BC = a+ CD = BF

En el triángulo ∆EDC : tanα =CD

ED

En el triángulo ∆EDF : tanβ =DF

ED=

2a+ CD

ED

Luego,tanβ

tanα=

2a+ CD

CDde donde CD =

2a tanα

tanβ − tanα

102

Verónica Gruenberg Stern 4.5. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

2. El triángulo ∆ABC de la figura es rectángulo en B. Además, se conocen a, b, c con c > a.Además, se sabe que γ = α. ¿Cuánto mide x?

a

b

c

!"

#

xA B

C

Solución: Tenemos que:

tanα =a

x

tan(α+ β) =a+ b

x

tan(α+ β + γ) =a+ b+ c

x

Como γ = α : tan(α+ β + α) =a+ b+ c

x

Pero: tan(α+ β + α) =tanα+ tan(β + α)

1− tanα tan(β + α)Reemplazando, obtenemos:

ax + a+b

x

1− ax ·

a+bx

=a+ b+ c

x

de donde, despejando x:

x =

√a(a+ b)(a+ b+ c)

c− a

Para la resolución de un triángulo cualquiera, necesitaremos los teoremas del seno y del coseno,que presentamos a continuación.

103


TEOREMA 4.5.1 (Teorema del Seno) Considere el triángulo ABC de la figura:

Entonces,senα

a=

senβ

b=

sen γ

c

Dem. Claramente

senα =hcb

∧ senβ =hca

⇒ b senα = a senβ,

y

senβ =hac

∧ sen γ =hab

⇒ b sen γ = c senβ

de donde:senα

a=

senβ

b=

sen γ

c

TEOREMA 4.5.2 (Teorema del Coseno) Considere el triángulo ABC:

Entonces, c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

b2 = a2 + c2 − 2ac cosβ

a2 = b2 + c2 − 2bc cosα

104

Verónica Gruenberg Stern 4.5. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

Dem. Por el Teorema de Pitágoras se tiene que

c2 = h2 + p2 ∧ a2 = h2 + (b− p)2

De aquí,c2 = a2 − (b− p)2 + p2 = a2 − b2 + 2bp

Como cos γ = (b− p)/a se tiene que p = b− a cos γ, de donde, reemplazando se obtiene

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

Con razonamientos análogos se tendrán todas las expresiones:c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

b2 = a2 + c2 − 2ac cosβ

a2 = b2 + c2 − 2bc cosα

EJEMPLOS:

1. (Teorema del seno) Una persona ubicada a nivel de la calle, determina que el ángulo deelevación de la parte superior de un edificio es de 15◦. Avanza 50 m hacia el edificio y elángulo de elevación es 45◦. Calcular la altura del edificio.

Solución: Hacer figura. Luego, por el Teo. del seno:

sen 30◦

50=

sen 15◦

x⇒ x = 50 · sen 15◦

sen 30◦

Como sen 15◦ =

√1− cos 30◦

2=

√1−

√32

2=

1

2

√2−√

3 y sen 30◦ =1

2

∴ h = x sen 45◦ = 25 ·√

2−√

3 ·√

2

2. (Teorema del coseno) Dos trenes parten simultáneamente de una estación en dirección talque forman un ángulo de 30◦. Uno va a 15 km/hr y el otro a 25 km/hr. Determinar a quédistancia se encuentran separados después de dos horas de viaje.

Solución: Hacer figura. Luego, por el Teo. del coseno:

d2 = 302 + 502 − 2 · 30 · 50 cos 30◦

105


EJERCICIOS:

1. Un edificio de 10 pisos de A m de altura cada uno, está ubicado al borde de una avenida. Elángulo subtendido por los dos pisos inferiores es equivalente al ángulo subtendido por lostres pisos superiores. Calcular el ancho de la avenida.

2. Un observador, ubicado a nivel de la calle, determina que el ángulo de elevación de la partesuperior de un edificio es de φ. Avanza 110 m hacia el edificio y el ángulo de elevación seduplica. Luego avanza otros 50 m más y ve que el ángulo de elevación triplica al ángulo deelevación inicial. Determine la altura del edificio.

3. La altura H de la torre de la figura es desconocida. Se conocen los ángulos de elevación α yβ medidos desde dos puntos A y B del suelo, separados por una distancia de L y formandocon la base de la torre un ángulo γ. Dado que la torre es vertical con respecto al suelo calculeH en términos de L, α, β y γ cuando α 6= β y luego cuando α = β.

4.6. Gráficas de las Funciones Trigonométricas

No tenemos aún las herramientas matemáticas que nos permiten justificar de manera precisapor qué las gráficas que mostraremos, efectivamente corresponden a las de las funciones trigono-métricas. Sin embargo, es importante que las conozcan a la brevedad, porque serán parte de loque utilizaremos habitualmente. Al final del curso tendremos las herramientas que nos permitiránjustificar la forma de estos gráficos.

Además de las gráficas, recordamos dominio y recorrido de cada una de ellas:

106

Verónica Gruenberg Stern 4.6. GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

sen : R −→ [−1, 1]

x 7→ y = senx-7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

cos : R −→ [−1, 1]

x 7→ y = cosx-7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

tan : R−{π

2+ nπ : n ∈ Z

}−→ R

x 7→ y = tanx-7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5

-5

-2.5

2.5

5

cotg : R− {nπ : n ∈ Z} −→ R

x 7→ y = cotg x-7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5

-5

-2.5

2.5

5

cosec : R− {nπ : n ∈ Z} −→ R−]− 1, 1[

x 7→ y = cosecx-7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5

-5

-2.5

2.5

5

107


sec : R−{π

2+ nπ : n ∈ Z

}−→ R−]− 1, 1[

x 7→ y = secx-7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5

-5

-2.5

2.5

5

Las gráficas de las funciones trigonométricas hacen evidente algunas de sus propiedades, comosu periodicidad y el hecho que no son invectivas, tema sobre el cual volveremos en la sección 3.7.

4.6.1. Funciones sinusoidales

Llamaremos funciones sinusoidales a aquellas cuyas gráficas tienen la forma de las gráficas de lasfunciones seno o coseno. Todas ellas, por cierto, se pueden escribir en la forma de estas funciones.

DEFINICIÓN 4.6.1 Sea f : R −→ R una función periódica de período p. Si f tien un valor máximo

M y un valor mínimo m, llamaremos amplitud de la función f al valor A =M −m

2.

EJEMPLOS: Las funciones seno y coseno tienen como valor máximoM = 1, y como valor mínimo

m = −1. Luego, ambas funciones tienen la misma amplitud A =1− (−1)

2= 1.

La función f(x) = −3 senx tiene como valor máximo M = 3, y como valor mínimo m = −3,y luego su amplitud es A = 3.

TEOREMA 4.6.1 Las funciones f(x) = senBx y g(x) = cosBx, con B ∈ R, son sinusoides de

período p =2π

|B|.

Demostración: Suponga que el período es p. Luego, ∀x ∈ R:

sen(B(x+ p)) = sen(Bx) ⇒ senBx cosBp+ cosBx senBp = senBx

∴ cosBp = 1 ∧ senBp = 0 ⇒ Bp =

{2π si B > 0

−2π si B < 0

Luego, el período de f(x) = senBx es p =2π

|B|. Análogamente con g(x) = cosBx.

OBSERVACIÓN: Las funciones f(x) = A senBx y g(x) = A cosBx son funciones sinusoidales de

amplitud A y período2π

|B|, y por lo tanto son fáciles de graficar.

EJERCICIOS: Grafique las siguientes funciones sinuosidades:

108

Verónica Gruenberg Stern 4.7. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

1. f(x) = 4 sen(x3

)2. de período π/3 y amplitud 2

3. de período 5π y amplitud 1/3

DEFINICIÓN 4.6.2 Definimos la frecuencia de una sinusoidal como f =2π

p, donde p es el período.

Fase de una sinusoidal Recordemos que, en general, la gráfica de una función en la que el argu-mento se modifica por una constante c > 0, se obtiene trasladando la gráfica de la función originalen c unidades a la izquierda, y si c < 0, en |c| unidades hacia la derecha. En el caso de la funciónf(x) = sen(x+ c), por ejemplo, se tendrá:

c > 0 : y = senx se traslada c unidades hacia la izquierda.

c < 0 : y = senx se traslada |c| unidades hacia la derecha.

DEFINICIÓN 4.6.3 Llamaremos diferencia de fase de la sinusoidal y = sen(x + c) al número −c.Análogamente para y = cos(x+ c).

Caso General Sean A 6= 0, B 6= 0, y considere y = A sen(Bx + C) ó y = A cos(Bx + C).

Entonces, la amplitud de la sinusoide es |A|, el período es p =2π

|B|y la diferencia de fase es

−CB

.

EJERCICIOS:

1. Grafique las siguientes:

a) f(x) = 12 cos(x2 − π)

b) f(x) = 2 sen(2x+ π3 )

2. Escriba la ecuación de una sinusoide de período π2 , amplitud 2 y diferencia de fase π

2 . Grafí-quela.

4.7. Funciones Trigonométricas Inversas

Se ha mencionado ya que las funciones trigonométricas no son inyectivas. Debemos por tantorestringirlas de modo de poder definir las funciones trigonométricas inversas, lo que hacemos acontinuación:

109


Función sen−1 =: arc sen cos−1 =: arc cos tan−1 =: arc tan

Nombre Arcoseno Arcocoseno Arcotangente

Dominio [−1, 1] [−1, 1] R

Recorrido[−π

2 ,π2

][0, π]

]−π

2 ,π2

[

OBSERVACIÓN:

1. Es importante notar que sen−1 está denotando a la función inversa de seno y no a1

sen.

2. arc senx = y ⇐⇒ x = sen y

3. La función sen : R −→ [−1, 1] no es invertible. Sin embargo, como relación, es invertible ypodemos construir la relación inversa sen−1 : [−1, 1] → R, que no es función, puesto que,por ejemplo, sen−1(1) = π

2 + 2kπ, k ∈ Z, es decir, posee infinitas imágenes, en el sentido delas relaciones.

EJEMPLOS: Determine el valor numérico de A = sec(arc tan

(23

)).

Solución: u = arc tan(23

)⇔ tanu = 2

3 . Se construye un triángulo rectángulo que verifi-que lo anterior, es decir, con hipotenusa

√13, y se deduce que A =

√133 .

EJERCICIOS:

1. Calcule el valor de sec2(

arc tan

(1√5

)).

2. Muestre que

arc tan

(1

2

)+ arc tan

(1

3

)=π

4

3. Resolver la ecuación

arc senx+ arc sen(√

3x)

=π

2

110

Verónica Gruenberg Stern 4.8. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

4.8. Ecuaciones Trigonométricas

Una ecuación trigonométrica es una ecuación que contiene al menos una función trigonométricade un ángulo. Recordemos que una ecuación es una igualdad que se cumple para ciertos valores deluniverso considerado, a diferencia de una identidad, que satisface la igualdad para todos los valoresdel universo en cuestión. En términos formales, toda identidad es una ecuación cuya solución esel dominio de la(s) funcion(es) involucrada(s).

EJEMPLOS:

1. senx+ cosx = 1 es una ecuación trigonométrica.

2. sen2 x+ cos2 x = 1 es una identidad trigonométrica.

Nuestro objetivo en esta sección es aprender a resolver ecuaciones trigonométricas, que hare-mos a través de algunos ejemplos.

EJEMPLOS: Resuelva las siguientes:

1. 3 senx = 1 + 2 senx

Solución:

3 senx = 1 + 2 senx

senx = 1 ⇒ x =π

2+ 2kπ , k ∈ Z

2. 2 cos2 x− 3 cosx = 2

Solución:

2 cos2 x− 3 cosx− 2 = 0

cosx =3±√

9 + 16

4=

3± 5

4=

{2

−12

Como cosx 6= 2 ∀x ∈ R, la única posibilidad factible es cosx = −12 . Luego,

x =

2π

3+ 2kπ

−2π

3+ 2kπ

k ∈ Z

3. 2 senx cosx− cosx = 0

Solución: En este caso factorizamos:

cosx (2 senx− 1) = 0

111


de dondecosx = 0 ∨ senx = 1

2

∴ x = π2 + kπ ∨ x =

{π6 + 2kπ5π6 + 2kπ

4. Tal como en el caso de las ecuaciones usuales, debe tenerse cuidado con elevar al cuadrado.Cuando en una ecuación aparecen senx y cosx, puede resultar tentador elevar al cuadradopara hacer desaparecer una de las dos funciones (por la identidad fundamental); este métodopuede hacer aparecer soluciones que no son soluciones del problema planteado, por ejemplo,al despejar senx en la ecuación senx+ 2 cosx = 1 y elevar al cuadrado se tiene

sen2 (x) = (1− 2 cosx)2

o seasen2 x = 1− 4 cosx+ 4 cos2 x

pero sen2 x = 1− cos2 x, luego la ecuación es

5 cos2 x = 4 cos (x)⇐⇒ cosx (5 cosx− 4) = 0

luego cosx = 0 o cosx = 4/5. Note que x = −π2 es solución de cosx = 0 pero x = −π

2 no essolución de la ecuación original

senx+ 2 cosx = 1

5. Resolver la ecuación trigonométrica:

cos4 2x− sen4 2x =

√3

2.

Solución: Tenemos por álgebra

(cos2 2x− sen2 2x

) (cos2 2x+ sen2 2x

)=

√3

2⇒ cos2 2x− sen2 2x =

√3

2

pues

cos2 α+ sen2 α = 1 ∀α

Luego, se tiene:

cos 4x =

√3

2⇒

4x = π/6 + 2kπ ⇒ x = π24 + kπ

2 , k ∈ Z

4x = 11π/6 + 2kπ ⇒ x = 11π24 + kπ

2 , k ∈ Z

112

Verónica Gruenberg Stern 4.8. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

EJERCICIOS:

1. 3 sec2 x− 4 = 0

2. 2 senx cosx+ 4 senx− cosx− 2 = 0

3. senx secx+√

2 senx− secx−√

2 = 0

4. cos2 x+ 2 cosx− 3 = 0

5. sec2 x− 2 secx = 0

6. 2 cosx− 5 + 2 secx = 0

7. tanx− 1 + cos 2x = 0

4.8.1. Ecuaciones de la forma a senx+ b cosx = c

Un tipo bastante común de ecuación trigonométrica es aquella de la forma

a senx+ b cosx = c

Para resolver este tipo de ecuaciones, se puede seguir el siguiente método:

1. Se divide la ecuación por√a2 + b2, nos queda

a√a2 + b2

senx+b√

a2 + b2cosx =

c√a2 + b2

2. Buscamos un ángulo α tal que

cosα =a√

a2 + b2y senα =

b√a2 + b2(

existe pues(

a√a2+b2

, b√a2+b2

)está sobre la circunferencia unitaria

)3. Reescribimos en la forma

cosα senx+ senα cosx =c√

a2 + b2

pero, cosα senx+ senα cosx = sen (α+ x) y así

sen (α+ x) =c√

a2 + b2

que es una ecuación de tipo básico. Luego, obtenemos x + α, y de allí x, aplicando arc sen a

la ecuación, siempre que∣∣∣∣ C√A2 +B2

∣∣∣∣ ≤ 1.

113


EJEMPLOS: Aplique el método anterior para resolver las siguientes:

1. senx−√

3 cosx = 1

2. 3 senx+ 4 cosx = 52

3. cos 2x =1

2cosx− sen2 x

4.√

3 sen 3x− cos 3x =√

3

5.1− tanx

1 + tanx= 1 + sen 2x

6. sen 2x+ sen 4x = cos 4x+ cos 6x

7. tan3 x− 3 secx = 0

8. secx+ sec 2x+ secx sec 2x = 0

Ejercicios Misceláneos

1. Resuelva la ecuación cos(8x)− cos(2x) =√

3 sen(π − 3x).

2. Resuelva la ecuación 2 cos2(x) + 4 sen2(x) = 3

3. Desde la cúspide de un faro de 80 m. de altura se observan hacia el oeste dos botes segúnángulos de depresión de 60◦ y 30◦. Calcule la distancia que separa los botes.

4. Grafique al menos dos períodos de las siguientes funciones:

a) f(x) = 1− 2 sen(x− π3 ) b) f(x) = tan(x2 )

5. Si α+ β + γ = π2 , demuestre que

sen2 α+ sen2 β + sen2 γ + 2(senα)(senβ)(sen γ) = 1

6. Pruebe las siguientes identidades trigonométricas, indicando su dominio:

a)1− tanα

1 + tanα=

1− sen(2α)

cos(2α)

b)senx+ sen 3x+ sen 5x

cosx+ cos 3x+ cos 5x= tan(3x)

7. Resuelva la siguiente ecuación, en el intervalo [−π, π]:

√3 (cos(4x) tan(2x)− sen(2x) tan(2x)) = cos(4x)− sen(2x)

114



1. Resuelva la ecuación

2 sen(x

2

)cotg (2x)− 2

√3 sen

(x2

)= cotg (2x)−

√3

2. Estudie la sinusoidal y determine amplitud, período, ángulo de fase y represente un período,si

f(x) = cos 2x+ 2 cosx cos(x− π/2)

3. Probar que sen2 α+ tan2 α =1− cos4 α

cos2 α.

4. Probar

cos

(6x+

5

4π

)+

√2

2(sen 3x+ cos 3x)2 −

√2

2=√

2 sen 6x−√

2

2cos 6x

5. a) Determine todos los a ∈ R para los cuales la ecuación

senx+ cos 2x = a

tenga solución.

b) Determine los x ∈ R tales que

0 ≤ senx+ cos 2x ≤ 1.

6. Considere el triángulo ABC, con α = ∠CAB y D un punto en AB. Determine CD si sabeque:

α = 120◦, BC = 2√

3, AC = 2, AD = DB.

7. Determine los valores de a ∈ R para los cuales la siguiente ecuación posee solución:

sen2 x− senx cosx− 2 cos2 x = a

8. Seanf : R −→ R

x 7→ senxy h : R −→ R

definida por

h(x) =

0 si x > 0

1 si −1 ≤ x ≤ 0

3 si x < −1

115


a) Determine y grafique la función g = 1h◦f .

b) Resuelva la ecuación : sen(2x) + g(x) cos(2x) =√

2.

c) Grafique u(x) = 2g(x) sen(2x).

9. Un helicóptero se halla suspendido a una altura de 3400[m] sobre la cumbre de una montañaque tiene 1730[m] de altura. Desde la cima de dicha montaña y desde el helicóptero puedeverse la cúpide de otra montaña más alta que la anterior. Desde el helicóptero, el ángulo dedepresión es de 45◦. Desde la cima de la primera montaña, el ángulo de elevación es de 30◦.Calcule:

a) La distancia entre las cimas de las montañas.

b) La altura de la montaña más alta.

10. Si x+ y = π2 , resuelva la ecuación trigonométrica

sen(x− y) = 2 senx sen y

11. Resolver la ecuación sen3 x+ cos3 x = 1− 1

2sen(2x).

12. Sea f(x) =√

2(sen 2x− cos 2x). Resolver la ecuación f(x) = 2, x ∈[0,

3π

2

].

13. Si se observa la cima de un montaña desde un punto P situado directamente al sur de lamisma, el ángulo de elevación es α; si es vista desde un punto Q que está a d metros al estede P , el ángulo de elevación es β. Expresar la altura de la montaña h en términos de d, α, β yel seno de estos ángulos.

14. a) Encuentre la solución general de

sen 4x− cos 3x = sen 2x

b) Sea f(x) =√

3 cosx+ senx

Calcule el período, la amplitud, el ángulo de fase y dibuje su gráfica.

15. Sobre un muro de altura a se ha instalado una antena receptora vertical de longitud b.

a) Encuentre el punto en el suelo desde el cual subtienden ángulos iguales, la antena y elmuro.

b) ¿Existe solución para el caso en que a = 3[m], b = 4[m]? Si existe, hállela.

16. a) Determine el dominio y recorrido de la función

f(x) =sen 2x+ tg x cosx

senx

116


b) ¿Existe x ∈ R tal que f(x) = 1? Justifique claramente su respuesta.

17. Considere el paralelogramo de la figura, en donde h1, h2 son sus alturas.

Si el perímetro del paralelogramo es 2p y h1 +h1 < p, determine los ángulos α y β en funciónde h1, h2 y p. Justifique claramente su respuesta.

117


4.10. Propiedades trigonométricas básicas (resumen)

• cosα ∈ [−1, 1] ∧ senα ∈ [−1, 1] ∀α ∈ R

• cos2 α+ sen2 α = 1 ∀α ∈ R

• tanα =senα

cosα∀α 6= π/2 + kπ, k ∈ Z

• cotgα =cosα

senα∀α 6= kπ, k ∈ Z

• cos(α∓ β) = cosα cosβ ± senα senβ ∀α, β ∈ R

• sen(π/2− α) = cosα ∀α ∈ R

• 1 + tan2 α = sec2 α ∀α 6= π/2 + kπ, k ∈ Z

• 1 + cotg 2α = cosec 2α ∀α 6= kπ, k ∈ Z

• secα =1

cosα∀α 6= π/2 + kπ, k ∈ Z

• cosecα =1

senα∀α 6= kπ, k ∈ Z

• cos(π/2− α) = senα ∀α ∈ R

• tan(π/2− α) = cotgα ∀α 6= kπ/2, k ∈ Z

• sen(α± β) = senα cosβ ± cosα senβ

• tan(α± β) =tanα± tanβ

1∓ tanα tanβ

• sen(2α) = 2 senα cosα

• cos(2α) = cos2 α− sen2 α

• tan(2α) =2 tanα

1− tan2 α

118

Verónica Gruenberg Stern 4.10. PROPIEDADES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS (RESUMEN)

• sen2(α/2) =1− cosα

2

• cos2(α/2) =1 + cosα

2

• tan2(α/2) =1− cosα

1 + cosα

• senα cosβ =1

2[sen(α+ β) + sen(α− β)]

• cosα senβ =1

2[sen(α+ β)− sen(α− β)]

• cosα cosβ =1

2[cos(α+ β) + cos(α− β)]

• senα senβ =1

2[cos(α− β)− cos(α+ β)]

• senα+ senβ = 2 sen

(α+ β

2

)cos

(α− β

2

)

• senα− senβ = 2 cos

(α+ β

2

)sen

(α− β

2

)

• cosα+ cosβ = 2 cos

(α+ β

2

)cos

(α− β

2

)

• cosα− cosβ = −2 sen

(α+ β

2

)sen

(α− β

2

)

119


120

Capítulo 5

Funciones Exponencial y Logaritmo

5.1. Introducción

Las funciones exponencial y logaritmo aparecen en fenómenos tan diversos como el crecimien-to del número de bacterias en una población, la desintegración de sustancias radiactivas o la capi-talización de dinero colocado a interés compuesto.

5.2. Función Exponencial

La función exponencial es una generalización de la noción de potencia de un número.

DEFINICIÓN 5.2.1 Sea a > 0, a 6= 1. La función f : R −→ R+, x 7→ f(x) = ax se llama funciónexponencial de base a.

OBSERVACIÓN: Puede observar que ax = sup{ar : r ≤ x, r ∈ Q} lo que permite definir lafunción exponencial para cualquier número real.

PROPIEDADES 5.2.1 La función exponencial satisface las siguientes:

Si f(x) = ax, a > 1:

1. f(x) > 0, ∀x ∈ R

2. f(0) = 1

3. f(1) = a

4. f es biyectiva.

5. f es creciente en todo su dominio.

6. Si x→∞ entonces ax tiende a +∞.

7. Si x→ −∞ entonces ax tiende a 0.

Si g(x) = ax, 0 < a < 1:

1. g(x) > 0, ∀x ∈ R

2. g(0) = 1

3. g(1) = a

4. g es biyectiva

5. g es decreciente en todo su dominio.

6. Si x→∞ entonces ax tiende a 0.

7. Si x→ −∞ entonces ax tiende a +∞.

121

CAPÍTULO 5. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMO Verónica Gruenberg Stern

Notamos que la función exponencial es biyectiva y, por lo tanto, invertible. La función inversade la función exponencial se llama función logaritmo en base a. Si bien una manera más precisade introducir los logaritmos y estudiar sus propiedades cualitativas es por medio de integrales,que se verá en MAT022, existen maneras heurísticas que sólo precisan los contenidos hasta aquíadquiridos para conocer algunas de sus propiedades más importantes.

5.3. Función Logaritmo

DEFINICIÓN 5.3.1 Sea a > 0, con a 6= 1. La función f : R+ −→ R, x 7→ f(x) = loga(x) se llamafunción logaritmo en base a y es la función inversa de ax, es decir,

y = ax ⇐⇒ loga y = x

PROPIEDADES 5.3.1 La función logaritmo satisface las siguientes propiedades:

Si f(x) = loga x, a > 1, entonces

1. loga 1 = 0 pues a0 = 1.

2. loga a = 1 pues a1 = a.

3. f es biyectiva.

4. f es creciente en todo su dominio.

5. Si x se acerca +∞ entoncesloga x→ +∞.

6. Si x se acerca a 0 desde valores posi-tivos, entonces loga x→ −∞.

Si g(x) = loga x, 0 < a < 1, entonces

1. loga 1 = 0 pues a0 = 1.

2. loga a = 1 pues a1 = a.

3. g es biyectiva.

4. g es decreciente en todo su dominio.

5. Si x se acerca a +∞ entoncesloga x→ −∞.

6. Si x se acerca a 0 desde valores posi-tivos, entonces loga x→ +∞.

La relación entre las gráficas de ambas funciones se puede ver en la siguiente figura:

122

Verónica Gruenberg Stern 5.3. FUNCIÓN LOGARITMO

PROPIEDADES 5.3.2 Las funciones arriba definidas satisfacen las siguientes:

Función exponencial de base a

1. axay = ax+y

2.ax

ay= ax−y

3. (ax)y = axy

4. aloga x = x

Función logaritmo de base a

1. loga(xy) = loga x+ loga y

2. loga

(xy

)= loga x− loga y

3. loga xy = y loga x

4. loga xx = x

5. loga x =logb x

logb a

5.3.1. Bases 10 y e

Las bases más usuales son a = 10 y a = e, donde e es el número de Euler que, veremos másadelante, satisface la relación 2 < e < 3. Los logaritmos en estas bases se llaman y denotan de lasiguiente manera:

Logaritmo decimal (a = 10): y = log10 x = log x

Logaritmo natural (a = e): y = loge x = lnx

123


EJEMPLOS:

1. Resolver en R las ecuaciones:

a) log16 x+ log4 x+ log2 x = 7

b) log2(9x−1 + 7) = 2 + log2(3

x−1 + 1)

Solución:

a) Pasamos los términos a base 2:

log2 x

log2 16+

log2 x

log2 4+ log2 x = 7 ⇐⇒ 1

4log2 x+

1

2log2 x+ log2 x = 7

∴7

4log2 x = 7 ⇐⇒ log2 x = 4 ∴ x = 16

b) log2(9x−1 + 7)− log2(3

x−1 + 1) = 2 ⇐⇒ log2

(9x−1 + 7

3x−1 + 1

)= log2 4

∴ 9x−1 + 7 = 4(3x−1 + 1) ⇐⇒ 32(x−1) − 4 · 3x−1 + 3 = 0

Sea u = 3x−1. Entonces, la ecuación puede escribirse en la forma:

u2 − 4u+ 3 = 0 ⇐⇒ (u− 3)(u− 1) = 0

u = 3 ⇒ 3x−1 = 3 x = 2 ∨ u = 1 ⇒ 3x−1 = 1 x = 1

2. Resuelva en R:

a) log( 13) x ≥ 1

b) elnx < 0

c) log4(18

)x= 5

d) log7√x+ 4 = log7 x

Solución:

a) Restricción: x > 0. Aplicamos exponencial en base1

3:

x ≤(

1

3

)1

⇒ 0 < x ≤ 1

3⇒ S =

]0,

1

3

]

124

Verónica Gruenberg Stern 5.3. FUNCIÓN LOGARITMO

b) Restricción: x > 0. Pero, elnx = x. Luego, la inecuación queda:

x < 0, lo que contradice la restricción, de donde S = ∅.

c) Como(18

)x> 0 ∀x ∈ R, no hay restricciones. Aplicamos exponencial en base 4:(

1

8

)x= 45 ⇒ (2−3)x = (22)5 ⇒ 2−3x = 210

Aplicando log2 : −3x = 10 ⇒ x = −10

3.

d) Restricción: x > 0. Rescribiendo la ecuación:

log7√x+ log7 74 = log7 x ⇒ log7(7

4√x) = log7 x ⇒ 74√x = x

∴√x(√x− 74) = 0 ⇒

√x = 0 ∨

√x = 74

Como x > 0 :√x = 74 x = 78

EJERCICIOS:

1. Encuentre los valores de x tal que:

a) log6x−17(x2 − 9) = 1

b) log2(x2 − 5) = 2

2. Considere las funciones h(x) = log2(x+2), f(x) = ln(−x+3), m(x) = 3x+1. Determineen cada caso su dominio, y bosqueje sus respectivas gráficas.

3. Resolver las siguientes ecuaciones, aplicando las propiedades:

a) ln[(x+ 3)(x+ 5)] = ln 15

b) ln(x2 − 3x+ 2) = ln(x2 − 5x+ 5)

c) 9 · 32x − 15 · 3x − 6 = 0

4. Verifique que log12 2 + log12 6 = 1

5. Resuelva a) log1/3 (log3(x+ 2)) > 0 b) log5

(log1/2(x+ 5)

)> 0

6. Resuelva −1 < log3 x2 < 2

7. Resuelva 2x + 2x−1 + 2x−2 + 2x−3 = 960.

125


5.3.2. Aplicaciones

Como se mencionó en la introducción, las funciones exponenciales y logarítmicas pueden serutilizadas para resolver y modelar situaciones de la vida real. Algunas de estas situaciones son: elcrecimiento de bacterias en un cultivo, el crecimiento de la población de una ciudad, el tiempo quetoma un objeto para llegar a cierta temperatura, la capitalización debida al interés bancario, etc.

Modelo de crecimiento (k > 0) y decrecimiento (k < 0):

A(t) = A0ekt

Ley de enfriamiento de Newton:

u(t) = T + (u0 − T )ekt, k < 0

Modelo logístico de crecimiento:

P (t) =c

1 + ae−bt

Ejercicios propuestos

1. Calcule la vida media del radio si éste decae exponencialmente con una constante de k =

−0,0004188.

2. Un pollo que tiene una temperatura de 40◦F es movido a un horno cuya temperatura es de350◦F. Después de 4 horas la temperatura del pollo alcanza 170◦F. Si el pollo está listo paracomer cuando su temperatura llegue a 185◦F, calcule el tiempo que tomará cocinarlo.

3. La población de cierta isla se puede modelar en función del tiempo como

f (t) =35000

1 + 4 · 3−(0,1)t

en que porcentaje varía la población entre t = 5 y t = 10.

4. Cierto cultivo de bacterias tiene una tasa de crecimiento poblacional exponencial. Si inicial-mente hay 1000 bacterias y la cantidad se duplica en 5 minutos ¿Cuánto hay que esperarantes de tener 1000000 de bacterias?.

126



1. Resuelva el sistemalog x+ log(y3) = 5

log

(x2

y

)= 3

2.

3.

127


128

Capítulo 6

Geometría Analítica

6.1. Introducción

La geometría de Euclides (356-300 A.C.) es conocida desde la enseñanza escolar. La idea esen-cial de la geometría analítica proviene, esencialmente, de Descartes y Fermat, de fines del siglo XV, yconsiste en representar las figuras geométricas clásicas, utilizando herramientas algebraicas, comoson las ecuaciones.

Sabemos que cada número real x ∈ R puede ser representado como un punto en la recta real, enla cual se ha elegido un punto privilegiado O, al que llamamos origen (que corresponde a x = 0),y una dirección (por ejemplo, a la derecha) a la que llamamos positiva. La dirección contraria serállamada dirección negativa.

En el plano cartesiano R2 = R × R, escogemos, de manera análoga, un punto privilegiado O,al que llamamos origen (que corresponde al punto de intersección entre ambas rectas reales), alque le asignamos las coordenadas (0, 0). Notamos que las rectas consideradas dividen el plano encuatro sectores. Cada uno de ellos es un cuadrante. El primer cuadrante es el que considera valorespositivos para x y para y, y se enumeran consecutivamente en el orden contrario a las manecillasdel reloj.

1

2

3

4

5

6

!1

!2

!3

1 2 3 4 5 6 7!1!2!3!4

II

III IV

I

Los puntos del plano Π pueden ponerse en co-rrespondencia biyectiva con el producto carte-siano R × R de la siguiente forma: si P es unpunto del plano, por él pasa una única recta L pa-ralela al eje Y (recta vertical), la cual corta al ejeX (recta horizontal) en un único punto x. Análo-gamente, por P pasa una única recta M paralelaal eje X , determinando un único punto y en el ejeY . Así, a cada punto P se le asocia un único parordenado (x, y) ∈ R2. Recíprocamente, dado unpar ordenado (x, y) ∈ R2, x determina un único

punto en el eje X e y determina un único punto en el eje Y . Por x pasa una única recta paralela aY y por y pasa una única recta paralela al eje X , determinándose un único punto P en el plano Π.

129

CAPÍTULO 6. GEOMETRÍA ANALÍTICA Verónica Gruenberg Stern

Luego, un punto P de coordenadas (x, y) se puede graficar en este plano cartesiano, y, en talcaso, escribimos P (x, y).

6.2. Distancia entre dos Puntos

DEFINICIÓN 6.2.1 Una distancia o métrica entre dos puntos P (x1, y1) yQ(x2, y2) es una función dedos variables que denotamos por d(P,Q) que satisface

1. d(P,Q) ≥ 0

2. d(P,Q) = 0 ⇐⇒ P = Q ⇐⇒ ( x1 = x2 ∧ y1 = y2 ).

3. d(P,Q) = d(Q,P ) (Simetría).

4. d(P,Q) ≤ d(P,R) + d(R,Q) (Desigualdad Triangular).

DEFINICIÓN 6.2.2 La distancia euclidiana entre dos puntos P (x1, y1) y Q(x2, y2) está dada por

d(P,Q) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

EJEMPLOS:

1. Calcular la distancia entre (1, 2) y (−1, 3).

Solución: d ((1, 2), (−1, 3)) =√

(1− (−1))2 + (2− 3)2 =√

5

2. Muestre que d ((x, 0) , (z, 0)) = |x− z|

Solución: d ((x, 0) , (z, 0)) =√

(x− z)2 + 02 = |x− z|

3. Muestre que la distancia euclidiana definida corresponde a la noción usual de distancia en elplano.

Solución: Sean P1(x1, y1) y P2(x2, y2) dos puntos distintos en el plano, y sea Q(x2, y1).Entonces, el triángulo ∆P1QP2 es un triángulo rectángulo. Aplicando el teorema de Pitágorasa este triángulo, obtenemos lo pedido.

6.2.1. División Interior de un trazo

Considere los puntos P (x1, y1) y Q(x2, y2) y el segmento que une los puntos PQ ( o QP ). SeaR(x, y) un tercer punto que divide el segmento en la relación

PR

RQ=r

spara rs > 0

130

Verónica Gruenberg Stern 6.2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Usando semejanza de triángulos se obtiene que las coordenadas del punto R son

x =rx1 + sx2r + s

y =ry1 + sy2r + s

OBSERVACIÓN: Si R es el punto medio, entonces r = s = 1, de donde

x =x1 + x2

2, y =

y1 + y22

EJEMPLOS:

1. Demostrar que el triángulo con vértices en A(−2, 4), B(−5, 1) y C(−6, 5) es isósceles.

Solución: AB =√

9 + 9 = 3√

2, BC =√

1 + 16 =√

17, AC =√

16 + 1 =√

17

El triángulo posee dos lados de igual longitud, luego es isósceles.

2. Demostrar analíticamente que las diagonales de un rectángulo son iguales.

Solución: Consideremos un rectángulo cualquiera, cuyos vértices tienen coordenadasO(0, 0), A(a, 0), B(a, b), C(0, b). Luego:

OB =√b2 + a2 y AC =

√a2 + b2, que son iguales.

3. Demostrar analíticamente que los segmentos de rectas que unen los puntos medios de loslados opuestos de cualquier cuadrilátero se bisectan entre sí.

Solución: Consideremos un cuadrilátero cualquiera, con vértices enO(0, 0), A(a, 0), B(b, c), C(d, e). Sean:

M : punto medio de OA =⇒ M(a2 , 0)

S : punto medio de AB =⇒ S(a+b2 , c2)

N : punto medio de BC =⇒ N( b+d2 , c+e2 )

R : punto medio de OC =⇒ R(d2 ,e2)

Sean: P (x, y) y P ′(x′, y′) los puntos medios de MN y RS respectivamente. Luego:

x =a+ b+ d

4, y =

c+ e

4y x′ =

a+ b+ d

4, y′ =

c+ e

4

∴ P = P ′.

EJERCICIOS:

1. Demostrar que el triángulo con vértices en A(3,−6), B(8,−2) y C(−1,−1) es rectángulo.

2. Demostrar que los puntos A(−3, 2), B(1,−2), C(9,−10) son colineales.

131


3. La abscisa de un punto es −6 y su distancia al punto (1, 3) es√

74. Determine la ordenadadel punto.

4. El punto P (3,−4) divide al trazo P1P2 en la razón 5 : 3. Si P1(−1,−2), determinar P2.

5. Si el segmento de recta AB es dado por los puntos A(−9,−3) y B(1, 2), determine el puntoC, sobre la extensión del segmento, de manera que |AB| : |BC| = 5 : 3.

6. Si el segmento de recta AB es dado por los puntos A(−11, 1) y B(9, 11) es dividido en larazón 2 : 3 : 5 (medido de A a B), encuentre los puntos de división.

DEFINICIÓN 6.2.3 Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos del plano que satisfa-cen una condición dada en términos geométricos. Generalmente, aunque no siempre, éste quedadescrito por una ecuación que describe una curva.

EJEMPLOS:

1. Hallar la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de (1, 0)

y (0, 1).

Solución: Sea P (x, y) un punto cualquiera en el lugar geométrico. Entonces:

d ((x, y) , (1, 0)) = d ((x, y) , (0, 1))

(x− 1)2 + y2 = x2 + (y − 1)2

ecuación que se satisface si y solo si y = x. El lugar geométrico es el conjunto de puntos(x, y) ∈ R2 que satisfacen la ecuación y = x (que no es difícil ver que se trata de una recta).

2.

6.3. La Recta

Considere los puntos P (x1, y1) yQ(x2, x2) en el plano. El primer postulado de Euclides afirmaque “dado dos puntos existe una única recta que pasa por ellos”. La recta que pasa por los puntosP y Q será denotada por LPQ. Puesto que la recta que pasa por P y Q es la misma que pasa por Qy P , luego sin pérdida de generalidad la recta será denotada por L.

Sean P (x1, y1) , Q(x2, x2) y la recta que pasa por esos puntos L, y sea (x, y) ∈ L como en lasiguiente figura:

132

Verónica Gruenberg Stern 6.3. LA RECTA

En virtud del teorema de Thales, el punto (x, y) satisface:

y2 − y1x2 − x1

=y − y1x− x1

x1 6= x2

De aquí ecuación de la recta, esto es, la ecuación que satisfacen los puntos (x, y) viene dadapor:

Ecuación CartesianaL :

y − y1x− x1

=y2 − y1x2 − x1

, x1 6= x2

Ecuación Punto-PendienteL : y − y1 = m(x− x1),

Aquí, m = y2−y1x2−x1 se denomina pendiente de la recta L.

Ecuación Pendiente-IntersecciónL : y = mx+ n,

Aquí, n es el punto de intersección de la recta L con el eje Y .

OBSERVACIÓN:

1. Si x1 = x2 la ecuación de la recta será x = x1 = x2, y si y1 = y2, la ecuación de la recta seráy = y1 = y2.

2. En general, una ecuación de una recta puede ser escrita en la forma ax+ by + c = 0

133


Sean P = (x1, y1), Q = (x2, y2). Sea θ el ángulo que forma L con el eje x, como se ve en lasiguiente figura:

de donde m = tan(θ).

Sean L1 y L2 con pendientes m1 y m2 respectivamente de modo que ninguna recta sea paralelaal eje Y . Sea α el ángulo agudo formado por L1 y L2 como se muestra en la siguiente figura:

Tenemos que m1 = tan θ1 y m2 = tan θ2. Con esto, se tendrá una expresión que relaciona elángulo entre las rectas con la pendiente de ellas. Esta expresión viene dada por:

tan(α) =m1 −m2

1 +m1 ·m2

De la expresión anterior se concluye que:

L1 es paralela a L2 si m1 = m2 (ángulo entre rectas α = 0), que denotamos L1//L2.

L1 es perpendicular a L2 sim1 ·m2 = −1 (ángulo entre rectas α = π), que denotamos L1⊥L2.

134


EJEMPLOS:

1. Determine la ecuación de la recta que pasa por A(2,−3) y (−4, 3).

Solución:y + 3

x− 2=

6

−6⇐⇒ x+ y + 1 = 0

2. Determine la ecuación de la recta que pasa por A(−2,−5) y tiene pendiente√

3.

Solución: y + 5 =√

3(x+ 2) ⇐⇒√

3x− y − 3 = 0

3. El punto (2,3) es el punto medio de la porción de una recta que intersecta ambos ejes coorde-nados. Encontrar la ecuación de la recta.

Solución: Si (a, 0) y (0, b) son los puntos de intersección de la recta con los respectivosejes coordenados, entonces:

2 =a

2∧ 3 =

b

2=⇒ a = 4 ∧ b = 6

Así, la ecuación de la recta es

x

4+y

6= 1 ⇐⇒ 3x+ 2y − 12 = 0

4. Determine los valores del parámetro k ∈ R para los que que las rectas cuyas ecuaciones son

y = (3k + 2)x+ 100 ∧ y = 2kx+ 50

son a) paralelas b) perpendiculares

Solución: m1 = 3k + 2 m2 = 2k son las respectivas pendientes. Luego, las rectasserán:

a) paralelas, si 3k + 2 = 2k =⇒ k = −2

b) perpendiculares si (3k + 2)(2k) = −1 =⇒ 6k2 + 4k + 1 = 0, ecuación queno tiene soluciones reales. Luego, @k ∈ R tal que las rectas sean perpendiculares.

5. Demostrar que el área del triángulo formado por el eje Y y las rectas`1 : y = m1x+ b1 y `2 : y = m2x+ b2 está dada por

1

2

(b2 − b1)2

|m2 −m1|, m1 6= m2

Solución: Como las pendientes son distintas, las rectas se intersectan. Busquemos lospuntos de intersección:

m1x+ b1 = m2x+ b2 ⇒ (m1 −m2)x = b1 − b2 ⇒ x =b2 − b1m2 −m1

135


Este valor de x representa la altura del triángulo, de base |b2 − b1| sobre el eje Y . Luego, elárea pedida es:

A =1

2|b2 − b1|

|b2 − b1||m2 −m1|

=1

2

(b2 − b1)2

|m2 −m1|

EJERCICIOS:

1. Determine la ecuación de la recta que pasa por (1,4) y es paralela a 2x− 5y + 7 = 0.

2. Encontrar una relación entre los coeficientes de las rectas a1x+b1y+c1 = 0 y a2x+b2y+c2 = 0

para que se intersecten. ¿Pueden 2 rectas en el plano tener más de un punto en común?

3. Encuentre la ecuación de la recta L de pendiente positiva que contiene al punto (2,−12) ysabiendo que la suma de sus interceptos con los ejes coordenados es igual a −12.

4. Encontrar e identificar el lugar geométrico de los puntos que equidistan deA(−1, 3) yB(5, 1).

5. Determinar el punto en el cual la recta que corta a los ejes coordenados en (1, 0) y (0, 4)

intersecta a la curva y = 1x .

6. Encontrar el valor de k ∈ R para que la rectas kx + (k + 4)y + 8 = 0 y 5x − 2y − 6 = 0 seanperpendiculares.

7. Encuentre el ángulo entre las diagonales de un polígono con vértices (1, 2), (2,−1), (−1, 3) y(−3,−4).

8. Encuentre la ecuación de una recta paralela a ` : 6x+ y = 12 de manera que sus interceptossobre los ejes dimidien a los interceptos de la recta dada.

9. Encontrar la(s) ecuacion(es) de la(s) recta(s) perpendiculares a la recta 5x − y = 1 y queforma(n) con los ejes coordenados un triángulo de área 5 unidades.

10. Sean Pi(xi, yi) y Pj(xj , yj) dos puntos del plano. Denotamos por [Pi, Pj ] al número real:

[Pi, Pj ] = xiyj − xjyi

Considere los tres puntos P1(x1, y1), P2(x2, y2) y P3(x3, y3). Demuestre que ellos son coli-neales si y solamente si

[P1, P2] + [P2, P3] + [P3, P1] = 0

11. Estudie, de acuerdo a los parámetros a, b ∈ R, los subconjuntos del plano formados por lospares ordenados (x, y) que satisfacen la relación ax+ by − 1 = 0.

136


6.3.1. Distancia de un punto a una recta

Dada una recta ` y un punto P fuera de ella, la distancia míinima entre P y ` es la longitud delsegmento entre P y ` que es perpendicular a la recta `.

DEFINICIÓN 6.3.1 Sea ` una recta y P un punto tal que P 6∈ `. Entonces, la distancia de P a la recta` está dada por

d(P, `) = d(P,Q), donde Q ∈ ` ∧ PQ ⊥ `

TEOREMA 6.3.1 Sea ` una recta de ecuación ax+ by+c = 0, y sea P (x1, y1) un punto tal que P 6∈ `.La distancia de P a ` está dada por

d(P, `) =|ax1 + by1 + c|√

a2 + b2

Demostración: Sea Q ∈ ` : PQ ⊥ `. Luego:

mPQ ·m` = −1 ⇐⇒ mPQ = − 1

m`

Pero, m` = −ab

, de donde mPQ =b

a. Así, la ecuación de la recta que que contiene al

segmento PQ es

y − y1 =b

a(x− x1)

Para determinar el punto Q, notamos que éste también pertenece a la recta `, luego debe satis-facer

y = −abx− c

b

Resolviendo el sistema, obtenemos

x =b2x1 − ac− aby1

a2 + b2∧ y =

−abx1 + a2y1 − bca2 + b2

Luego,

(x− x1)2 + (y − y1)2 =(−a)2(ax1 + bx1 + c)2

(a2 + b2)2+

(b)2(ax1 + bx1 + c)2

(a2 + b2)2

(x− x1)2 + (y − y1)2 =(ax1 + bx1 + c)2

(a2 + b2)

∴ d(P,Q) = d(P, `) =|ax1 + by1 + c|√

a2 + b2

137


EJEMPLOS:

1. Determinar la distancia del punto P (−4, 7) a la recta que pasa por los puntos A(5, 0) yB(−7, 5).

Solución: La ecuación de la recta que pasa por A y B es

y = − 5

12(x− 5) ⇐⇒ 5x+ 12y − 25 = 0

∴ d(P, `) =| − 20 + 84− 25|√

25 + 144=

39

13= 3.

2. Determinar la distancia entre las rectas `1 : x− 2y − 5 = 0 ∧ `2 : −3x+ 6y + 2 = 0.

Solución: Notamos que ambas rectas son paralelas. Sea, entonces, (5, 0) ∈ `1.

Luego, d(`1, `2) =| − 15 + 0 + 2|√

9 + 36=

13√45

.

3. Hallar un punto de la recta 3x+ y + 4 = 0 que equidista de los puntos (−5, 6) y (3, 2).

Solución: Las coordenadas de cada punto que pertenece a la recta, para cada x, son de laforma (x,−3x − 4). Luego, el punto de la recta que cumple con la condición pedida debesatisfacer:

d((−5, 6), (x,−3x− 4)) = d((3, 2), (x,−3x− 4))

(−5− x)2 + (6 + 3x+ 4)2 = (3− x)2 + (2 + 3x+ 4)2

x2 + 10x+ 25 + 9x2 + 60x+ 100 = 9− 6x+ x2 + 9x2 + 36x+ 36

x = 2

Así, la coordenada y del punto es: y = −3 · 2− 4 = −10 ∴ P (2,−10) es el punto pedido.

EJERCICIOS:

1. Las coordenadas del punto P son (6,4), y la ecuación de la recta L es 4x+3y = 11. Determinarla distancia del punto P a la recta L siguiendo los siguientes pasos:

a) Halle la pendiente de L.

b) Halle la ecuación de la recta L′ que pasa por P y es perpendicular a L.

c) Determine las coordenadas del punto P ′ que es el punto de intersección entre L y L′.

d) Calcule la distancia entre el punto P y P ′.

2. Sean A(−2, 1), B(5, 4), C(2,−3). Calcule el área del triángulo ABC.

3. Determine la ecuación de todas las rectas que pasan por la intersección de las rectas dadaspor 3x+ y − 9 = 0 y 4x− 3y + 1 = 0, que distan 2 unidades del origen.

138

Verónica Gruenberg Stern 6.4. SECCIONES CÓNICAS

6.4. Secciones Cónicas

Se llaman secciones cónicas a las curvas obtenidas al intersectar un cono circular recto con unplano que no pasa por el vértice del cono. Las diferentes cónicas aparecen dependiendo del ángulode inclinación del plano respecto al eje del cono. Estudiaremos a continuación, desde un punto devista más algebraico, estas curvas.

6.4.1. La Circunferencia

DEFINICIÓN 6.4.1 La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equi-distan de un punto, llamado centro. Usualmente, las coordenadas del centro C se denotan porC(h, k). La distancia común al centro se llama radio, y se denota por r.

Para encontrar la ecuación de la circunferencia decentro (h, k) y radio r, sea P (x, y) un punto en lacircunferencia. Luego:

d(P,C) = r√(x− h)2 + (y − k)2 = r

h

k

r

Luego, la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (h, k) y radio r viene dada por:

(x− h)2 + (y − k)2 = r2

EJERCICIOS:

1. Determine la ecuación de las siguientes circunferencias:

a) Centro es el punto (2,−6) y su radio es 6.

b) El segmento de recta que une A(1, 1) y B(−8, 6) es un diámetro.

c) El centro está en el punto (4, 2) y la circunferencia pasa por el punto (−1,−1).

d) La circunferencia es tangente a la recta 3x− 4y = 32 y el centro está en el punto (0, 7).

2. Hallar la ecuación de la circunferencia que teniendo su centro sobre la recta 2x + y = 0 estangente a las rectas de ecuaciones: 4x− 3y + 1 = 0 , 4x− 3y − 30 = 0.

3. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0, 8), es tangente a la recta deecuación 3x− 4y = 0 y tiene su centro en la recta de ecuación 4x− 7y + 40.

4. Dado un triángulo de vértices (−2, 0), (10, 0) y (0, 4), encuentre la ecuación de la circunferen-cia que pasa por los puntos medios de los lados del triángulo.

139


6.4.2. La Elipse

DEFINICIÓN 6.4.2 Sean F1 y F2 puntos en R2. La elipse es el lugar geométrico de todos los puntosP ∈ R2 de modo que la suma de las distancias de P a F1 y P a F2 es constante. Los puntos F1 y F2

reciben el nombre de focos.

Para encontrar la ecuación de una elipse, procedemos del siguiente modo: sean a, c ∈ R+, cona > c, y supongamos que F1 = (−c, 0) y F2 = (c, 0), y que la constante es 2a. Sea P = (x, y) unpunto de la elipse. Luego, se tendrá que:

d(F1, P ) + d(F2, P ) = 2a

d((−c, 0), (x, y)) + d((c, 0), (x, y)) = 2a√(x+ c)2 + y2 +

√(x− c)2 + y2 = 2a√(x− c)2 + y2 = 2a−

√(x+ c)2 + y2

(x− c)2 + y2 = 4a2 − 4a√

(x+ c)2 + y2 + (x+ c)2 + y2

a√

(x+ c)2 + y2 = a2 + cx

(x+ c)2 + y2 =

(xc+ a2

a

)2

x2a2 + 2xca2 + c2a2 + y2a2 = x2c2 + 2xca2 + a4

x2(a2 − c2) + a2y2 = a2(a2 − c2)

Notar que a2 − c2 > 0. Sea b2 = a2 − c2. Luego la ecuación de la elipse con:

Centro (0, 0)

Focos (−c, 0) y (c, 0)

Semieje Mayor a

Semieje Menor b

Vértices en el semieje mayor (a, 0) y (−a, 0)

Vértices en el semieje menor (0, b) y (0,−b)

viene dada por:

x2

a2+y2

b2= 1

a

b

140


Para que el centro de la elipse esté en el punto (h, k) basta hacer el cambio de coordenadasx→ x− h e y → y − k. Entonces se tendrá que la ecuación de la elipse con:

Centro (h, k)

Focos (−c+ h, k) y (c+ h, k)

Semieje Mayor a

Semieje Menor b

Vértices en el semieje mayor (a+ h, k) y (−a+ h, k)

Vértices en el semieje menor (h, b+ k) y (h,−b+ k)

viene dada por:

(x− h)2

a2+

(y − k)2

b2= 1

EJERCICIOS:

1. En cada uno de los siguiente ejercicios llevar la ecuación a su forma canónica y luego deter-minar: Coordenadas de los vértices, focos y centro, longitudes de los ejes mayor y menor, yfinalmente grafique.

a) x2 + 4y2 − 6x+ 16y + 21 = 0

b) 4x2 + 9y2 + 32x− 18y + 37 = 0

c) x2 + 4y2 − 10x− 40y + 109 = 0

d) 9x2 + 4y2 − 8y − 32 = 0

2. Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor contenido en la recta 2x − 3y = 0, siademás pasa por los puntos (3, 2) y (1,−3

2). Hallar su ecuación.

3. Determine los valores de k para que la recta y = x + k sea tangente a la elipse de ecuaciónx2 + 4y2 = 20.

6.4.3. La Parábola

DEFINICIÓN 6.4.3 Sea F un punto en R2 y sea ` una recta en el plano. La parábola es el lugargeométrico de todos los puntos del plano que equidistan de F y de `. El punto F es el foco de laparábola y la recta ` se llama directriz.

141


Para encontrar la ecuación de una parábola, procedemos del siguiente modo: sea c > 0 y seanF = (0, c) y ` : y = −c. Sea P = (x, y) un punto de la parábola. Luego:

d(P, F ) = d(P, `)

d((x, y), (0, c) = d((x, y), y = c)√x2 + (y − c)2 = |y + c|

x2 + (y − c)2 = y2 + 2cy + c2

x2 = 4cy

Luego, la ecuación de la parábola, con vértice en (0, 0) viene dada por:

y =1

4cx2

Para que el vértice de la parábola esté en el punto (h, k) basta hacer el cambio de coordenadasx→ x− h e y → y − k. Entonces se tendrá que la ecuación de la parábola con vértice en (h, k)

es:

y − k =1

4c(x− h)2

EJERCICIOS:

1. Encuentre vértice, foco y directriz de las siguientes ecuaciones:

a) 4y2 − 48x− 20y − 71 = 0

b) y2 + 4x− 7 = 0

2. Hallar la ecuación de la parábola que contenga a A(−3,−4), B(5,−4) y que la distancia de Ay B al foco sea igual a 5.

3. Para que valores de k, las rectas de ecuaciones x+ 2y + k = 0

a) cortan a la parábola de ecuación y2 − 2x+ 6y + 9 = 0

b) son tangentes a la parábola y2 − 2x+ 6y + 9 = 0

4. Hallar la ecuación de la parábola de foco en el punto (3,−1), de directriz vertical y vértice enla recta de ecuación 7x+ 3y − 4 = 0.

5. Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y por los extremos del ladorecto de la parábola x2 + 8y = 0, donde el lado recto de una parábola es el segmento de rectaque pasa por el foco y es paralela a la directriz.

142


6.4.4. La Hipérbola

DEFINICIÓN 6.4.4 Sean F1 y F2 puntos en R2. La hipérbola es el lugar geométrico de todos lospuntos P ∈ R2 de modo que la resta de la distancia de P a F1 con P a F2 es constante. Los puntosF1 y F2 reciben el nombre de focos.

Para encontrar la ecuación de una elipse, procedemos del siguiente modo: sean c > a > 0 ysupongamos que F1 = (−c, 0) y F2 = (c, 0), y que la constante es 2a. Sea P = (x, y) un punto de lahipérbola. Luego, se tendrá que:

d(F1, P )− d(F2, P ) = 2a

d((−c, 0), (x, y))− d((c, 0), (x, y)) = 2a√(x+ c)2 + y2 −

√(x− c)2 + y2 = 2a√

(x+ c)2 + y2 − 2a =√

(x− c)2 + y2

(x+ c)2 + y2 − 4a√

(x+ c)2 + y2 + 4a2 = (x− c)2 + y2

(x+ c)2 + y2 =

(xc+ a2

a

)2

x2a2 + 2xca2 + c2a2 + y2a2 = x2c2 + 2xca2 + a4

x2(c2 − a2)− a2y2 = a2(c2 − a2)

Notar que c2 − a2 > 0. Sea b2 = c2 − a2. Luego la ecuación de la hipérbola con:

Centro (0, 0)

Focos (−c, 0) y (c, 0)

Vértices (a, 0) y (−a, 0)

viene dada por:

x2

a2− y2

b2= 1

OBSERVACIÓN: Si se ubican los focos en el eje y, F1 = (0,−c) y F2 = (0, c) con c > 0, y se hacencálculos análogos se tendrá que la ecuación de la hipérbola estará dada por:

y2

a2− x2

b2= 1

143


Para que el centro de la hipérbola esté en el punto (h, k) basta hacer el cambio de coordenadasx→ x− h e y → y − k. Entonces se tendrá que la ecuación de la hipérbola con:

Centro (h, k)

Focos (−c+ h, k) y (c+ h, k)

Vértices (a+ h, k) y (−a+ h, k)

viene dada por:

(x− h)2

a2− (y − k)2

b2= 1

EJERCICIOS: En cada uno de los siguiente ejercicios llevar la ecuación a su forma canónica y luegodeterminar: coordenadas de los vértices, focos y centro, ecuación de sus asíntotas y finalmentegrafique.

1. x2 − 9y2 − 4x+ 36y − 41 = 0

2. x2 − 4y2 − 2x+ 1 = 0

3. 9x2 − 4y2 + 54x+ 16y + 29 = 0

4. 3x2 − y2 + 30x+ 78 = 0

6.5. Ejemplos y Ejercicios de Lugares Geométricos

EJEMPLOS:

1. Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya suma de los cuadrados de las distancias a lospuntos (−3, 0) y (3, 0) es igual a 50.

Solución: Sea P (x, y) un punto del lugar geométrico buscado. Entonces:

(d((x, y), (−3, 0)))2 + (d((x, y), (3, 0)))2 = 50

(x+ 3)2 + y2 = (x− 3)2 + y2

2x2 + 18 + 2y2 = 50

x2 + y2 = 16

que es una circunferencia centrada en el origen, de radio 4 unidades.

144

Verónica Gruenberg Stern 6.5. EJEMPLOS Y EJERCICIOS DE LUGARES GEOMÉTRICOS

2. Sea a > 0. Encuentre la ecuación del L.G. de todos los puntos P (x, y) tales que son los puntosmedios de todas las cuerdas de la circunferencia x2 + y2 = a2, con un extremo en A(a, 0).Identifíquelo.

Solución: Sea P (x, y) un punto cualquiera en el lugar geométrico, y sea B(xB, yB) el otroextremo de la cuerda. Luego:

x =1

2(a+ xB) ∧ y =

1

2yB ⇒ xB = 2x− a ∧ yB = 2y

Como B pertenece a la circunferencia, debe satisfacer la ecuación, de donde:

(2x− a)2 + 4y2 = a2 ⇐⇒(x− a

2

)2+ y2 =

(a2

)2que es la ecuación de una circunferencia de centro en (a2 , 0) y radio a

2 .

3. Hallar el L.G. de los puntos del plano que se encuentran a la misma distancia del punto (4,0)y la circunferencia de ecuación x2 + y2 = 4.

Solución: La distancia de un punto a una circunferencia es igual a la distancia de un puntoal centro de circunferencia menos el radio. Entonces:

d((x, y), (4, 0)) = d((x, y), (0, 0))− 2√(x− 4)2 + y2 =

√x2 + y2 − 2

(x− 4)2 + y2 = x2 + y2 + 4− 4√x2 + y2

−8x+ 16 = 4− 4√x2 + y2√

x2 + y2 = 2x− 3

x2 + y2 = 4x2 − 12x+ 9

3(x2 − 4x)− y2 + 9 = 0

3(x− 2)2 − y2 = 3

(x− 2)2 − y2

3= 1

que es un hipérbola, con centro en (2, 0). Notemos, sin embargo, que solo es solución de nues-tro problema la rama derecha de la hipérbola. Basta notar que la rama izquierda intersectala circunferencia, y luego posee puntos en los que su distancia a la circunferencia es 0. Estosucede, porque al elevar al cuadrado se introducen nuevas soluciones al problema original.Es necesario, entonces, siempre estudiar la pertinencia de las soluciones obtenidas.

4. Encuentre la ecuación del L.G. de todos los puntos P (x, y) tales qued(P, T1)

d(P, T2)=√

2, donde

PT1 y PT2 son las tangentes trazadas desde P a la curva formada por la unión de lascircunferencias

(x+ 3)2 + y2 = 9 ∧ (x− 3)2 + y2 = 9

145


Identificar el L.G.

Solución: Como PT1 y PT2 son tangentes a las circunferencias, entonces, por el Teoremade Pitágoras:

d2(P, (−3, 0)) = d2(P, T1) + 9 ∧ d2(P, (3, 0)) = 9 + d2(P, T2)

∴d2(P, T1)

d2(P, T2)=d2(P, (−3, 0))− 9

d2(P, (3, 0))− 9=(√

2)2

∴(x+ 3)2 + y2 − 9

(x− 3)2 + y2 − 9= 2 ⇒ x2 − 18x+ y2 = 0 ⇔ (x− 9)2 + y2 = 92

es decir, es una circunferencia de centro (9, 0) y radio 9.

EJERCICIOS:

1. Identifique y haga el gráfico aproximado de:

a) 4y2 − 48x− 20y − 71 = 0

b) y2 + 4x− 7 = 0

c) x2 + 4y2 − 6x+ 16y + 21 = 0

2. Determinar el lugar geométrico de los centros de una circunferencia tangente a la recta deecuación y + 2 = 0 y que pasa por el punto (4, 4).

3. Encuentre el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia delpunto (2,−1) es siempre igual al doble de su distancia a la recta x+ 2 = 0.

4. La base de un triángulo es de longitud fija, siendo sus extremos los puntos (3, 0) y (−3, 0).Hallar la ecuación del lugar geométrico descrito por el tercer vértice, si el producto de laspendientes de los lados variables es siempre igual a 4.

5. Una circunferencia variable es tangente a las dos circunferencias fijas de ecuaciones:

x2 + y2 − 8x+ 12 = 0 , x2 + y2 + 8x+ 15 = 0.

Determinar el lugar geométrico del centro de la circunferencia variable.

6. Desde cada punto de la circunferencia x2 +y2 + 4x+ 4y−8 = 0 se traza una perpendicular aldiámetro paralelo al eje x (y solo hasta el diámetro). Hallar e identificar la ecuación del lugargeométrico de los puntos medios de estas perpendiculares.

7. Determine el lugar geométrico de todos los puntos del plano P (x, y) que se encuentran a lamisma distancia del punto (4,0) y de la circunferencia x2 + y2 = 4.

146

Verónica Gruenberg Stern 6.5. EJEMPLOS Y EJERCICIOS DE LUGARES GEOMÉTRICOS

8. Encuentre el L.G., y descríbalo analíticamente, de todos los puntos del plano que se encuen-tran a distancia 3 unidades de la recta x+ y − 4 = 0.

9. Sea O(0, 0) y A(3, 0). Encuentre la ecuación del L.G. de todos los puntos P (x, y) del plano

tales que ∠POA =1

2∠PAO.

10. Demostrara que el L. G. de todos lo puntos P (x, y) tal que d(A,P ) = kd(B,P ), dondek ∈ R− {1}, A(1, 2), B(2, 1) es una circunferencia. Demuestre que el centro de la circunfe-rencia obtenida está en la recta que une los puntos A y B.

11. Una circunferencia variable es tangente a las dos circunferencias fijas de ecuaciones

x2 + y2 − 8x+ 12 = 0 ∧ x2 + y2 + 8x+ 15 = 0

Determinar el L.G. del centro de la circunferencia variable.

12. Desde cada punto de la circunferencia x2 +y2 + 4x+ 4y−8 = 0 se traza una perpendicular aldiámetro paralelo al eje X (y solo hasta el diámetro). Hallar e identificar la ecuación del L.G.de los puntos medios de las perpendiculares.

13. Encuentre el L. G. de los puntos del plano tal que las rectas tangentes trazadas desde él a laelipse de ecuación

x2

a2+y2

b2= 1

son perpendiculares entre sí.

147



1. Considere la ecuación ax2 + by2 + cx+ dy = 1. ¿Qué condiciones deben cumplir los coefi-cientes a, b, c, d ∈ R para que la ecuación represente:

a) Una elipse centrada, con un foco en (√

7, 0) y un vértice en (4, 0)?

b) Una parábola centrada, con directriz x = −2?

2. Determine la distancia del centro de la circunferencia x2 + y2 − 6x+ 8y = 0 a la recta deecuación 2x+ y = −3.

3. Encuentre el L.G. de todos los centros de las circunferencias tangentes a las circunferencias

x2 + y2 = 1 ∧ x2 + y2 − 4x− 21 = 0

4. Determinar el L. G. de los puntos P del plano tal que su distancia al eje Y es igual a lamitad de la longitud del trazo tangente desde P a la circunferencia de centro (0, 0) y radio 2.Identifique la cónica.

5. Determinar el L. G. de los puntos P (x, y) que satisfacen que el producto de las pendientes delas rectas que unen P (x, y) con los puntos fijos (3,−2) y (−2, 1) es igual a −6.

6. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos A = (1, 0) y B = (5, 0). Encuentre eidentifique la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C = (x, y) si se mueve de talmanera que la distancia entre las longitudes de los lados AC y BC es igual a la mitad de lalongitud del lado AB.

7. Considere la hipérbola H de ecuaciónx2

a2− y2

b2= 1, siendo `1 : bx − ay = 0, `2 : bx + ay = 0

las ecuaciones de sus asíntotas.

a) ¿Qué condición deben satisfacer a y b para que `1 y `2 sean perpendiculares?

b) Sea P0 = (x0, y0) ∈ H . Calcule d(P0, `1), d(P0, `2) y d(P0, `1) · d(P0, `2)

c) Suponga que `1 ⊥ `2. Considere el rectángulo R definido por P0, `1, `2 y las paralelaspor P0 a `1 y a `2 ¿Qué expresa el resultado de b), con respecto al rectángulo R?

8. Determine la ecuación del L. G. de todos los puntos que dividen a las ordenadas de lospuntos de la circunferencia x2 + y2 = a2, en la razón 1 : 1. Indique el L.G.

9. Considere las circunferencias:

C1 : (x+ 3)2 + y2 = 9 C2 : (x− 3)2 + y2 = 9

148


Desde un punto P = (x, y) se trazan las tangentes a estas circunferencias. Sean T1 y T2 lospuntos de tangencia de C1 y C2, respectivamente. Encontrar el L. G. de los puntos P = (x, y)

tales que:d(T1, P )

d(T2, P )=√

2

Identificar el L. G.

149


150

Capítulo 7

Números Complejos y Polinomios

7.1. Números Complejos

La necesidad de ampliar el cuerpo R al de los números complejos C se debe, esencialmente, aque en R no es posible resolver cualquier ecuación cuadrática con coeficientes reales. La extensióndeR a C se consigue definiendo el número i como aquel número que resuelve la ecuación cuadrática

x2 + 1 = 0 ∨ x2 = −1

En otras palabras, el número i satisfacei2 = −1

Tal como se ha hecho con las sucesivas extensiones desde los números naturales N (a Z, Q yR), es deseable que el conjunto anterior esté contenido en el siguiente, en este caso, que R ⊂ C.Y, por cierto, que las operaciones definidas sean consistentes con aquellas que ya conocemos, esdecir, que se preserve la estructura.

DEFINICIÓN 7.1.1 Un número complejo se puede representar en la forma a+ib, donde i es el númeroque satisface i2 = −1 y a, b ∈ R. El número complejo a+ ib se puede representar también comoun par ordenado (a, b), elemento de R×R, y por lo tanto también puede ser representado como unpunto en el plano cartesiano, como se ve en la figura.

Luego, el conjunto de los números complejos es:

C = {a+ bi / a, b ∈ R , i2 = −1}

151

CAPÍTULO 7. NÚMEROS COMPLEJOS Y POLINOMIOS Verónica Gruenberg Stern

DEFINICIÓN 7.1.2 Sea z, w ∈ C tal que z = x+ iy en donde x, y ∈ R. Se define:

1. La parte real de z, denotado por Re{z}, al número real x. Esto es, Re{z} = x.

2. La parte imaginaria de z, denotado por Im{z}, al número real y. Esto es, Im{z} = y.

3. Además, diremos que dos números complejos z, w son iguales: z = w ssi Re{z} = Re{w}e Im{z} = Im{w}.

7.1.1. Operaciones con números complejos

Como vimos, algebraicamente los números complejos se pueden representar al menos de dosmaneras equivalentes: en la forma de binomio o como par ordenado. Definiremos la suma y elproducto en ambos casos, de manera equivalente:

Sean z1, z2 ∈ C de modo que z1 = x1+ iy1 y z2 = x2+ iy2 con x1, x2, y1, y2 ∈ R. Se define:

1. La suma de z1 y z2: z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2).

2. El producto de z1 y z2 : z1 · z2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1)

Sean z1, z2 ∈ C de modo que z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2) con x1, x2, y1, y2 ∈ R. Se define:

1. La suma de z1 y z2 : z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)

2. El producto de z1 y z2 : z1 · z2 = (x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1)

OBSERVACIÓN:

La definición del producto es consecuente con las propiedades del producto en R: siz1, z2 ∈ C con z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 con x1, x2, y1, y2 ∈ R; entonces:

z1 · z2 = (x1 + iy1) · (x2 + iy2) = x1x2 + i x1y2 + i x2y1 + i2︸︷︷︸=−1

y1y2

lo cual correponde exactamente a la definición del producto en C.

Tanto la suma como el producto son asociativas y conmutativas, y además se satisface ladistributividad.

El elemento neutro para la suma es el 0 = 0 + i0, que escrito como par ordenado es (0, 0), y elelemento neutro para el producto es el 1 = 1 + i0, que escrito como par ordenado es (1, 0). Siz ∈ C es cualquiera, entonces el complejo−z es su elemento inverso aditivo. Para determinarel inverso multiplicativo de z = x+ yi procedemos de la siguiente manera:

152

Verónica Gruenberg Stern 7.1. NÚMEROS COMPLEJOS

1

z=

1

x+ iy=

1

x+ iy· x− iyx− iy

=x− iyx2 + y2

=x

x2 + y2− i y

x2 + y2

Este elemento será denotado por z−1 =1

z.

Se puede demostrar que (C,+, ·) cumple con los axiomas de cuerpo. Luego, son válidas to-das las propiedades de las operaciones que se hacen con los números reales. Sin embargo, no sesatisfacen los axiomas de orden en los números complejos. Para ver esto tratemos de “ordenar ” i:

• si i > 0, entonces i2 = −1 > 0 , lo que no puede ser.• si i < 0 entonces −i > 0 de donde (−i)2 = −1 > 0.

EJEMPLOS:

1. Determine x, y ∈ R: (x+ iy) · (3− 2i) = 4 + i.

Solución: (x + iy) · (3 − 2i) = 3x + 2y + i(−2x + 3y) = 4 + i ⇒

{3x+ 2y = 4

−2x+ 3y = 1

Resolviendo el sistema, obtenemos x = 1013 , y = 11

13 .

2. Determine z ∈ C :z − 12

z − 8i=

5

3

Solución:

z − 12

z − 8i=

5

3⇔ 3z − 36 = 5z − 40i ⇔ z = −18 + 20i

3. Determine la parte real e imaginaria de los siguientes números complejos:

a) z1 =√

2 i b) z2 =4 + 2i

7ic) z3 =

3 + 2i

4 + 3i

Solución:

a) z1 =√

2 i ⇒ Re(z1) = 0, Im(z1) =√

2

b) z2 =4 + 2i

7i=

4 + 2i

7i· ii

=−2 + 4i

−7⇒ Re z2 =

2

7, Im z2 = −4

7

c) z3 =3 + 2i

4 + 3i=

3 + 2i

4 + 3i· 4− 3i

4− 3i=

12 + 6 + i(−9 + 8)

25⇒ Re(z3) =

18

25, Im(z3) = − 1

25

EJERCICIOS:

1. Encontrar las partes real e imaginaria de z3, si z = x+ iy con x, y ∈ R.

2. Calcular i457 + i−245 + 2i200 + i

153


3. Determine (−i)4n+3, n ∈ N.

4. Calcular 1 + i+ i2 + i3 + · · ·+ in, según el valor de n.

7.1.2. Conjugado y Módulo

DEFINICIÓN 7.1.3 Sea z ∈ C , z = x + iy con x, y ∈ R. Se define el conjugado de z, quedenotamos por z, como z = x− iy.

OBSERVACIÓN: Notar que z + z = 2 Re (z) y que z − z = 2 Im (z) i. Luego:

Re (z) =z + z

2y Im (z) =

z − z2i

Además, se cumplen las siguientes propiedades:

PROPIEDADES 7.1.1 Sean z, w ∈ C. Entonces se cumple que:

1. z = z.

2. z + w = z + w.

3. z · w = z · w.

4. Si w 6= 0 entonces( zw

)=z

w.

5. (zn) = (z)n.

6. Si z 6= 0 entonces z−1 =z

z · z.

7. z = z ⇐⇒ z ∈ R.

EJEMPLOS:

1. Determine la parte real y la parte imaginaria de

a)1

2− i=

1

2− i· 2 + i

2 + i=

2 + i

5=

2

5+ i

1

5∴ Re

(1

2− i

)=

2

5e Im

(1

2− i

)=

1

5

b)1 + 2i

1− 2i=

1 + 2i

1− 2i·1 + 2i

1 + 2i=−3 + 4i

5∴ Re

(1 + 2i

1− 2i

)= −3

5e Im

(1 + 2i

1− 2i

)=

4

5

2. Si z = 2− i, determine

a)z

z=

2 + i

2− i· 2 + i

2 + i=

3

5+ i

4

5

154


b)2− z2 + z

=2− (2− i)2 + (2− i)

=i

4− i· 4 + i

4 + i= − 1

17+ i

4

17

DEFINICIÓN 7.1.4 Dado z ∈ C, se define el módulo de z (la norma de z) por ‖z‖ =√z · z.

OBSERVACIÓN: Si z = x + iy, x, y ∈ R, entonces ‖z‖ =√x2 + y2. Con esta observación

se puede concluir que Re (z) ≤ ‖z‖ y que Im (z) ≤ ‖z‖. A continuación se presentan algunaspropiedades del módulo de un número complejo.

PROPOSICIÓN 7.1.1 Sean z, w ∈ C. Entonces se cumple que:

1. ‖z‖ ≥ 0 y ‖z‖ = 0 ⇔ z = 0.

2. ‖z · w‖ = ‖z‖ · ‖w‖.

3. ‖z‖2 = z · z

4. ‖z‖ = ‖z‖

5. Si w 6= 0, entonces∥∥∥ zw

∥∥∥ =‖z‖‖w‖

6. | ‖z‖ − ‖w‖ | ≤ ‖z + w‖ ≤ ‖z‖+ ‖w‖.

EJEMPLOS:

1. El módulo de 3 i es ‖3 i‖ =√

3i · (−3i) = 3.

El módulo de 1 + i es ‖1 + i‖ =√

1 + 1 =√

2.

El módulo de2 + 3i

2− 3ies

∥∥∥∥2 + 3i

2− 3i

∥∥∥∥ =‖2 + 3i‖‖2− 3i‖

=

√13√13

= 1

2. Encontrar todos los z ∈ C: ‖z‖ ≤ 1.

Solución: Sea z = x+ iy. Entonces:

‖z‖ ≤ 1 ⇐⇒ ‖x+ iy‖ ≤ 1 ⇐⇒√x2 + y2 ≤ 1 ⇐⇒ x2 + y2 ≤ 1

es decir, son todos los puntos en el plano complejo que están dentro de la circunferenciacentrada en el origen de radio 1, incluido el borde.

155


3. Sea w =z + 1

z − 1. Pruebe que si ||z|| = 1, entonces w = λi, λ ∈ R.

Solución: Si z = a+ ib, entonces w =(a+ 1) + ib

(a− 1) + ib. Luego:

w =(a+ 1) + ib

(a− 1) + ib· (a− 1)− ib

(a− 1)− ib=

a2 − 1 + b2 + i(b(a− 1)− b(a+ 1))

(a− 1)2 + b2

=a2 + b2 − 1

(a− 1)2 + b2+ i

−2b

(a− 1)2 + b2

||z|| = 1 ⇒√a2 + b2 = 1 ∴ w = − 2b i

2− 2a=

b i

a− 1= λi , λ =

b

a− 1∈ R, a 6= 1.

EJERCICIOS:

1. Encontrar todos los z ∈ C: ‖z − (1 + i)‖ ≤ 1.

2. Determine el módulo del número complejo z =

(1 +√

3i)3

(1 + i)5

(1− i)4.

3. Encuentre todos los z ∈ C : z−1 + 2(z)−1 = 3 + i.

4. Probar que si z +1

z∈ R, entonces Im z = 0 ∨ ‖z‖ = 1.

7.1.3. Forma Polar de un Número Complejo

Sea z = x+ iy ∈ C , con x, y ∈ R. Vimos que este número complejo se puede representar comoun par ordenado (x, y), elemento de R × R, y por lo tanto como un punto en el plano cartesiano.Tal punto queda completamente determinado si se conoce su distancia al origen y el ángulo θ, desdeel eje OX al rayo desde el origen al punto.

Luego: x = R cos θ, y = Rsen θ y R = ‖z‖ =√x2 + y2. Además se tendrá que

tan θ = y/x. Luego:

z = x+ iy = ‖z‖(cos θ + isen θ)

que es la forma polar del número complejo z.

R = ‖z‖ es el módulo de z y θ es el argumento de z.

Es habitual abreviar la expresión cos θ + isen θ usando la notación cis θ = cos θ + isen θ dedonde todo número complejo puede ser expresado de la forma z = ‖z‖ cis θ.

156


EJEMPLOS:

Están en forma polar: 3(cos π4 + i sen π4 );

√3(cos −π7 + i sen −π7 )

No están en forma polar: sen 3π4 + i cos 3π

4 ;√

3(cos 2π3 − i sen 2π

3 ); −3(cos π5 + i sen π5 )

Sin embargo, estas últimas expresiones igualmente representan números complejos, y podemosdeterminar sus respectivas « formas polares »:

sen 3π4 + i cos 3π

4 =︸︷︷︸sen(π

2−x)=cosx

cos 7π4 + i sen 7π

4

√3(cos 2π

3 − i sen 2π3 ) =

√3(cos 4π

3 + i sen 4π3 ) pues

{cos(π + π

3 ) = cos(π − π3 )

sen(π + π3 ) = − sen(π − π

3 )

−3(cos π5 + i sen π5 ) = 3(cosπ + i senπ)︸︷︷︸

−3

·(cos π5 + i sen π5 ) = 3(cos 6π

5 + i sen 6π5 )

Muestre que para todo n ∈ N,

z =(1 + 2i)n + (1− 2i)n

(1 + 3i)n + (1− 3i)n

es un número real.

PROPOSICIÓN 7.1.2 (Geometría del producto.) Sean z1, z2 ∈ C de modo que z1 = ‖z1‖ cis θ1 yz2 = ‖z2‖ cis θ2. Entonces:

1. z1 · z2 = ‖z1‖ · ‖z2‖ cis (θ1 + θ2).

2. z1z2

= ‖z1‖‖z2‖ cis(θ1 − θ2).

3. z1 = ‖z1‖ cis(−θ1).

4. z−11 = 1‖z1‖ cis (−θ1), si z 6= 0.

Dem.: Sean z1 = r1 cis θ1, z2 = r2 cis θ2. Entonces:

1. z1 · z2 = r1 cis θ1 · r2 cis θ2 = r1r2

(cos θ1 cos θ2− sen θ1 sen θ2 + i(sen θ1 cos θ2− sen θ2 cos θ1)

)= r1r2 cis(θ1 + θ2)

2.z1z2

=r1 cis θ1r2 cis θ2

=︸︷︷︸racionalizando

r1r2

(cis(θ1 − θ2)

)

157


EJEMPLO 7.1.1 Como ejemplo de una aplicación de esta forma de representar a los números com-plejos, considere la función φ : C −→ C definida por φ(z) = iz. Esta función representa unarotación en el plano complejo. En efecto, se tiene que z = ‖z‖ cis θ e i = cis π2 . Luego,φ(z) = ‖z‖ cis

(θ + π

2

).

EJERCICIOS:

1. Exprese los siguientes números complejos en su forma polar, y representelos en el planocomplejo:

a) 2− 2i

b) −1 +√

3i

c) −i

d) 2√

2 + 2√

2i

e) −2√

3− 2i

f )√

3

2− 3i

2

g) 3 + 3i

h)1

2 + 3i+

1

1− 2i

i) 1− cos θ + i sen θ

2. Estudiar el efecto de la transformación φ : C −→ C definida por φ(z) = z2. Si z = |z| cis θ

entoncesφ(z) = z2 = (‖z‖ cis θ)2 = ‖z‖2 cis (2θ)

¿En que se transforma el conjunto A = {z ∈ R : Re (z) > 0 ∧ Im (z) > 0} a través de lafunción φ(z)?

7.1.4. Teorema de de Moivre

Sean z1, z2 ∈ C de modo que z1 = ‖z1‖ cis θ1 y z2 = ‖z2‖ cis θ2. Si z1 = z2 entonces se tendráque ‖z1‖ = ‖z2‖ y que cis θ1 = cis θ2. Por la igualdad de números complejos se concluye queθ1 = θ2 + 2kπ con k ∈ Z.

TEOREMA 7.1.1 Sea z ∈ C de modo que z = ‖z‖ cis θ, y sea n ∈ N. Entonces: zn = ‖z‖n cis(nθ).

Dem.: La demostración es por inducción sobre n y queda como ejercicio.

Una aplicación de este teorema es la obtención de las raíces n-ésimas de un número complejo(en particular, de un número real).

EJERCICIOS: Exprese en forma polar:

1. (1 + i)3

2.(

3

2− i

2

)−5 3.(−1 + i

1− i

)80

4. (1 + i)3(√

3 + i)−4

158


7.1.5. Raíces n-ésimas de un número complejo

Obtener las raíces n-ésimas de la unidad quiere decir encontrar n números w, de modo quewn = 1. Por notación se tendrá que w = n

√1.

Se tiene que w = ‖w‖ cis θ y que 1 = cis 0. Por el teorema de Moivre, wn = ‖w‖n cis(nθ). Porhipótesis tenemos que wn = 1 cis 0, luego se concluye que ‖w‖n = 1 y cis(nθ) = cis 0. De aquí:‖w‖ = 1 y nθ = 2kπ con k ∈ Z.

k = 0 , θ0 = 0 , w0 = 1

k = 1 , θ1 = 2π/n , w1 = cis(2π/n)

k = 2 , θ2 = 4π/n , w2 = cis(4π/n)

... ,... ,

...

k = n− 1 , θn−1 = 2(n− 1)π/n , wn−1 = cis(2(n− 1)π/n)

k = n , θn = 2π , wn = 1

Notar que para k = n se empieza a repetir la solución. Luego las raíces de la unidad vienendadas por:

wn = cis(2kπn ) con k = 0, 1, . . . , n− 1.

EJEMPLOS: Determine las raíces cúbicas de la unidad y graficarlas.

Solución:

w0 = 1

w1 = cis

(2π

3

)= cos

2π

3+ isen

2π

3=−1 + i

√3

2

w2 = cis

(4π

3

)= cos

4π

3+ isen

4π

3=−1− i

√3

2

159


OBSERVACIÓN: Todas las raíces de la unidad se encuentran en la circunferencia unitaria. Estoquiere decir que si w es una raíz de 1 entonces ‖w‖ = 1.

Sea z ∈ C y n ∈ N. Para calcular la raíz n-ésima de z se debe encontrar n números w demodo que wn = z. Se tiene que: z = ‖z‖ cis θz y w = ‖w‖ cis θw. Por el teorema de Moivre:wn = ‖w‖n cis(nθw). Luego ‖w‖n = ‖z‖ y nθw = θz + 2kπ con k = 0, 1, . . . , n− 1.

Así, es claro que si z = ‖z‖ cis(θz) ∈ C y n ∈ N, las raíces n-ésimas de z, n√z, vienen dadas por:

ωk = n√‖z‖ cis

(θz + 2kπ

n

)con k = 0, 1, . . . , n− 1.

El gráfico en el plano complejo de las raíces n-ésimas de la unidad, w0, . . . , wn−1, forman losvértices de un polígono regular de n lados (polígono n-regular). Esto es, uniendo con una línearecta los puntos w0 con w1, w1 con w2, y así hasta unir wn−1 con w0.

OBSERVACIÓN: Las raíces n-ésimas de un complejo z pueden ser obtenidas conociendo sólo unade ellas, a partir de las raíces de la unidad.

En efecto, sean w0, . . . , wn−1 las n raíces de la unidad, y sea u una raíz n-ésima cualquiera de z.Entonces, las raíces n-ésimas de z están dadas por:

uw0, . . . , uwn−1

160


EJEMPLOS:

1. Determine

a) 3√

1 + i b)√i c) 3

√−27

Solución:

a) z = 1 + i ⇒

{‖z‖ =

√2 ⇒ 3

√‖z‖ =

3√√

2 = 6√

2

θ =π

4

∴ ωk =6√

2 cis

(θ + 2kπ

3

), k = 0, 1, 2

es decir,

ω0 =6√

2 cis( π

12

), ω1 =

6√

2 cis

(9π

12

), ω2 =

6√

2 cis

(17π

12

)

b) z = i ⇒ ‖i‖ = 1 ∧ θ =π

2⇒ ωk = 1 · cis

( π2 + 2kπ

2

), k = 0, 1

∴ ω0 = cisπ

4, ω1 = cis

5π

4

c) z = −27 ⇒ ‖− 27‖ = 27 ⇒ 3√

27 = 3 ∧ θ = π

∴ ωk = 3 · cis

(π + 2kπ

3

), k = 0, 1, 2

es decirω0 = 3 cis

(π3

), ω1 = 3 cis (π) , ω2 = 3 cis

(5π

3

)

2. Dado el número complejo z =1√2

+i√2

,

a) Determine las raíces quintas de z.

b) ¿Cuántas raíces se encuentran en el semiplano superior?

c) Si α y β son las raíces ubicadas en el primer cuadrante, calcule α20 + β20.

Solución:

a) Sea w = r cis θ tal que w5 =π

20+

2kπ

5. Se tienen las soluciones

w0 = cis( π

20

), w1 = cis

(9π

20

), w2 = cis

(17π

20

), w3 = cis

(25π

20

), w4 = cis

(33π

20

)

161


b) Hay 3 raíces en el semiplano superior, a saber, w0, w1 y w2.

c) Las raíces en el primer cuadrante son w0 y w1. Se cumple:

w200 + w20

1 = cisπ + cis 9π = −2

EJERCICIOS:

1. Resuelva las siguientes ecuaciones en C:

a) z4 + 8iz = 0 b) z4 + 2z2 + 2 = 0

c) z3 + 3z2 + z − 5 = 0 d) 9z2 + 6(4− 3i)z − (1 + 9i) = 0

e) z3 − 1 + i = 0 f) 2z4 + z2 − z + 1 = 0 (raíz cúbica de la unidad es una raíz)

2. Calcule en C:

a) (2√

3− 2i)12 b) (−4 + 4i)

15

c) (2 + 2√

3i)13 d) (−16i)

14

e) 3√

8 f) 4√

16

g) (−8− 8√

3i)14 h)

√2i

3. Encuentre z ∈ C que cumpla con θ ∈ [π, 3π/2], Re(z) =√

3 Im(z) y que ‖z‖2+3√z · z−4 = 0.

4. Pruebe que el producto de 2 raíces n-ésimas de la unidad es raíz n-ésima de la unidad.

5. Pruebe que el inverso multiplicativo de raíz n-ésima de la unidad es raíz n-ésima de la uni-dad.

7.1.6. Forma Exponencial

Sea z ∈ C de modo que z = x+ iy con x, y ∈ R, el que puede ser expresado por z = |z| cis θ. LaFórmula de Euler, nos dice

eiθ = cos θ + isen θ

162

Verónica Gruenberg Stern 7.2. POLINOMIOS

Así, podemos introducir la Forma exponencial del complejo z por, z = ‖z‖eiθ

OBSERVACIÓN: Una expresión famosa se obtiene al sustituir θ = π en la fórmula de Euler:

eiπ + 1 = 0

PROPOSICIÓN 7.1.3 Sean α, β, n ∈ R, entonces se tiene que:

1. eiα · eiβ = ei(α+β)

2. (eiθ)n = einθ

OBSERVACIÓN: Notar que ea+ib = eaeib = ea(cos b+ i sen b)

De la segunda parte de la proposición se concluye que (cos θ + isen θ)n = cos (nθ) + isen (nθ).

EJERCICIOS:

1. Calcule las raíces de los siguientes números.

a) (2√

3− 2i)12 b) (−4 + 4i)

15

c) (2 + 2√

3i)13 d) (−16i)

14

e) 3√

8 f) 4√

16

g) (−8− 8√

3i)14 h)

√2i

2. Calcular la forma exponencial de los números 1, i, −i14, (2√

3− 2i)10.

7.2. Polinomios

DEFINICIÓN 7.2.1 Sea K un cuerpo (en nuestro caso,K = Q, R o K = C).

Un polinomio de grado n sobre K es una expresión de la forma:

p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + . . .+ anx

n

en donde ai ∈ K para i = 1, . . . , n .

163


Los números ai serán llamados como los coeficientes del polinomio. En particular, el coefi-ciente an será llamado el coeficiente principal del polinomio, y el coeficiente a0 se llama términoconstante.

El grado de un polinomio es el exponente más grande en la variable x. Si

p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + . . .+ anx

n

con an 6= 0, el grado del polinomio p(x) es n; esto se denota por gr(p(x)) = gr(p) = n.

Si ai = 0 ∀i ≥ 1, p(x) es el polinomio constante y gr(p) = 0. Por convención, se dice queel polinomio nulo, p(x) = 0, no tiene grado. Esto permite una formulación más precisa dealgunos teoremas.

Denotaremos por K[x] al conjunto de todos los polinomios en la variable x, cuyos coefi-cientes están en K. En particular, R[x] es el conjunto de todos los polinomios en la variablex, cuyos coeficientes están en R.

Denotaremos por Kn[x] al conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual a nen la variable x, cuyos coeficientes están en K, incluido el polinomio nulo. En particular,Rn[x] es el conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual a n en la variable x, cuyoscoeficientes están en R, incluido el polinomio nulo.

DEFINICIÓN 7.2.2 Sean p, q ∈ K[x] con p(x) =n∑i=0

aixi y q(x) =

m∑i=0

bixi . Diremos que ellos

son iguales, “p(x) = q(x)”, si:

1. Tienen el mismo grado, es decir: gr(p) = gr(q), o equivalentemente, m = n.

2. Tienen los mismos coeficientes, es decir: ai = bi ∀i = 0, · · · , n.

7.2.1. Estructura algebraica

Para poder dotar a K[x] de una estructura algebraica, debemos primeramente definir las opera-ciones entre polinomios:

DEFINICIÓN 7.2.3 Sean p, q ∈ K[x] con p(x) =n∑i=0

aixi , q(x) =

m∑i=0

bixi con m ≥ n, y sea

α ∈ K. Se definen las siguientes operaciones:

164


Adición

(p+ q)(x) = p(x) + q(x)

= (a0 + . . .+ anxn) + (b0 + . . .+ bmx

m)

= (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ (a2 + b2)x2 + . . .+ (an + bn)xn + bn+1x

n+1 + . . .+ bmxm

Multiplicación

(p · q)(x) = p(x) · q(x)

= (a0 + . . .+ anxn) · (b0 + . . .+ bmx

m)

= (a0 · b0) + (a0b1 + a1b0)x+ (a2b0 + a1b1 + a0b2)x2 + . . . + anbmx

n+m

Producto por escalar

(α · p)(x) = α · (a0 + . . .+ anxn)

= α a0 + α a1x+ . . .+ α anxn

OBSERVACIÓN:

1. En el caso de la adición, se dice que la suma de polinomios se realiza término a término. Enel caso del producto por escalar, el escalar multiplica cada término del polinomio.

2. En el caso de la multiplicación, podemos escribir el producto de manera formal:

(p · q)(x) =n+m∑i=0

cixi, donde ci = [pq]i =

∑j+k=i

ajbk

EJEMPLOS: Si p(x) = 7x3−2x2 + 5x−3, q(x) = 2x2−3x+ 1 y r(x) = −2x2 + 5x−3, entonces

1. p(x) + q(x) = 7x3 + 2x− 2 y q(x) + r(x) = 2x− 2.

2. p(x) · q(x) = (7x3 − 2x2 + 5x− 3) · (2x2 − 3x+ 1) = 14x5 − 25x4 + 23x3 − 21x2 + 14x− 3

3. 4 · r(x) = 4 · (−2x2 + 5x− 3) = −8x2 + 20x− 12

PROPOSICIÓN 7.2.1 Sean p, q ∈ K[x]. Entonces:

1. gr(p+ q) ≤ max{gr(p), gr(q)}.

2. gr(p · q) = gr(p) + gr(q).

165


3. Sea n ∈ N; entonces gr(pn) = n · gr(p).

Veremos a continuación las propiedades que satisfacen las operaciones arriba definidas. Ellasdeterminan la estructura algebraica, llamada anillo, que satisfacen los polinomios. Esencialmente,K[x] es “casi” un cuerpo... falla la propiedad del inverso multiplicativo, que no pertenece, engeneral, aK[x].

TEOREMA 7.2.1 EnK[x] dotado de la adición, que escribimos (K[x],+), se cumplen las siguientes:

1. Si p, q ∈ K[x] entonces (p+ q) ∈ K[x] . (Clausura)

2. ∀p, q, r ∈ K[x]: p(x) + (q(x) + r(x)) = (p(x) + q(x)) + r(x) . (Asociatividad)

3. ∀p, q ∈ K[x] : p(x) + q(x) = q(x) + p(x) . (Conmutatividad)

4. ∃e ∈ K[x] : p(x)+e(x) = p(x) ∀p ∈ K[x]. Además, e(x) = 0 . (Existencia del neutroaditivo)

5. ∃q ∈ K[x] : p(x) + q(x) = e(x) ∀p ∈ K[x], donde q(x) = −p(x) . (Existencia delinverso aditivo)

Cuando un conjunto dotado de una operación satisface las propiedades anteriores, se dice quetiene estructura de grupo abeliano con esa operación. En este caso, decimos que (K[x],+) tieneestructura de grupo abeliano, en donde el “+ ” representa la operación adición.A continuación se presentan las propiedades correspondientes a la operación multiplicación:

TEOREMA 7.2.2 EnK[x] dotado de la suma y la multiplicación, se cumplen las siguientes:

1. Si p, q ∈ K[x] entonces (p · q) ∈ K[x]. (Clausura)

2. ∀p, q, r ∈ K[x] : p(x) · (q(x) · r(x)) = (p(x) · q(x)) · r(x). (Asociatividad)

3. ∀p, q ∈ K[x]: p(x) · q(x) = q(x) · p(x). (Conmutatividad)

4. ∃e ∈ K[x] de modo que p(x) · e(x) = p(x) ∀p ∈ K[x]. Además: e(x) = 1. (Existenciadel neutro multiplicativo)

5. Si p, q, r ∈ K[x] entonces p(x)(q(x) + r(x)

)= p(x)q(x) + p(x)r(x) . (Distributividad)

OBSERVACIÓN: Si p(x) es un polinomio de grado mayor o igual que 1, entonces no existe suinverso multiplicativo. Basta considerar p(x) = x. Su inverso debe ser un polinomio q(x) tal quep(x) · q(x) = 1, es decir, x · q(x) = 1, de donde q(x) = 1/x = 1 · x−1, luego q /∈ K[x]. Soloexisten los inversos para los polinomios constantes no nulos, siempre que K sea un cuerpo.

166


La estructura algebraica que satisfacen los polinomios dotados de la adición y el producto porescalar será vista en MAT022.

7.2.2. Raíces

DEFINICIÓN 7.2.4 Sean p ∈ K[x] y x0 ∈ K . Se dice que x0 es una raíz (o cero) de p(x) sip(x0) = 0 . Se dirá que x0 es una raíz de multiplicidad k (k ≤ n) si existe un polinomio h(x) talque p(x) = (x− x0)k · h(x) , con h(x0) 6= 0 .

EJEMPLOS: Sea p(x) = x5 − 2x3 + 2x2 − 3x+ 2 = (x− 1)2(x+ 2)(x2 + 1).

1. Si p ∈ R[x], se tiene que x0 = 1 es una raíz de multiplicidad 2 (aquí h(x) = (x+ 2)(x2 + 1)) ,por otra parte x1 = −2 es una raíz de multiplicidad 1 (aquí h(x) = (x− 1)2(x2 + 1)) .

2. Si p ∈ C[x], adicionalmente a lo anterior se tiene que x2 = i y x3 = −i, son, cada una deellas, raíces de multiplicidad 1.

OBSERVACIÓN: Sean K = R, p ∈ R[x] y x0 ∈ R una raíz de p(x). Si se gráfica p(x) como funciónde x, es decir, y = p(x), se tendrá que (x0, 0) corresponde al punto en donde la gráfica de p(x)

intersecta al eje x.

DEFINICIÓN 7.2.5 Sea (K,+, ·) un cuerpo. Diremos que K es algebraicamente cerrado si todopolinomio de grado mayor o igual que 1 tiene al menos una raíz en K .

Notar que si K = R se tiene que (R,+, ·) no es algebraicamente cerrado: basta considerar enR[x] el polinomio p(x) = x2 + 1 . Este es un polinomio de grado 2 sin raíces en R.

OBSERVACIÓN: K es algebraicamente cerrado si y solo si todo polinomio de grado n con n ≥ 1 ,tiene exactamente n raíces en K , salvo multiplicidad.

TEOREMA 7.2.3 (Teorema Fundamental del Álgebra) C es algebraicamente cerrado .

OBSERVACIÓN: Una formulación equivalente del teorema anterior es, todo polinomio de grado mayoro igual a 1 tiene al menos una raíz en C.

PROPOSICIÓN 7.2.2 Sea p ∈ R[x] de modo que z ∈ C es una raíz de p(x), entonces z ∈ C tambiénes una raíz de p(x).

167


Dem.: Sea p(x) =n∑i=0

aixi ∈ R[x] ∴ ai ∈ R, i = 0, 1, · · · , n

Se sabe que p(z) = 0 y se quiere probar que p(z) = 0 Pero:

p(z) = 0 ⇒n∑i=0

aizi = 0. Calculamos:

p(z) =

n∑i=0

aizi =

n∑i=0

aizi =

n∑i=0

ai zi =

n∑i=0

ai zi = 0 = 0

Considerando el teorema fundamental del álgebra y esta proposición, se puede concluir quetodo elemento de R[x], p(x) con gr(p) = n, puede ser factorizado como:

p(x) = (x−x1)n1 · (x−x2)n2 · . . . · (x−xi)ni · (x2 +α1x+β1) · (x2 +α2x+β2) · . . . · (x2 +αjx+βj)

con n1 + . . .+ ni + j2 = gr(p) = n.

EJEMPLOS:

1. Determine todas las raíces de p(x) = x3 − 7x2 + 17x − 15, si sabe que 2 + i es un cero delpolinomio.

Solución: Como 2+i es raíz del polinomio, sabemos que 2−i también lo es. Además, comop(x) ∈ R[x], sabemos que la otra raíz del polinomio es necesariamente real. Luego, sabemosque ∃a ∈ R :

x3 − 7x2 + 17x− 15 =(x− (2 + i)

)·(x− (2− i)

)· (x− a)

=((x− 2) + i

)·((x− 2)− i

)· (x− a)

=((x− 2)2 + 1

)· (x− a)

= (x2 − 4x+ 5) · (x− a)

El término constante de ambos polinomios debe ser igual, de donde a = 3. Por lo tanto, lastres raíces del polinomio son 2 + i, 2− i y 3.

2. Considere el polinomio p(x) = (k − 3)x3 − 3(k − 1)x2 + 8kx− 6k ∈ R[x].

a) Demuestre que x = 1 es una raíz de p(x).

b) Encuentre los valores de k ∈ R de modo que todas las raíces de p(x) sean reales.

Solución:

a) p(1) = k − 3− 3(k − 1) + 8k − 6k = 0. Luego, x = 1 es una raíz de p(x).

b) Como x = 1 es raíz de p(x), existe q(x) ∈ R[x] :

(k − 3)x3 − 3(k − 1)x2 + 8kx− 6k = (x− 1) · q(x)

168


Es fácil deducir que q(x) = (k − 3)x2 − 2kx+ 6k.

Las raíces de q están dadas por

x =2k ±

√4k2 − 4(k − 3)(−6k)

2(k − 3)

=2k ±

√28k2 − 72k

2(k − 3)=

k ±√

7k2 − 18k

k − 3

Serán reales ssi 7k2 − 18k ≥ 0 ⇐⇒ k(7k − 18) ≥ 0

∴ k ≥ 18

7∨ k ≤ 0.

3. Sea p(x) = 2x3 − (5 + 6i)x2 + 9ix + 1 − 3i ∈ C[x], del cual se sabe que tiene una raíz real.Encuentre todas las raíces de p.

Solución: Supongamos que a ∈ R es una raíz del polinomio. Luego, p(a) = 0, es decir:

2a3 − (5 + 6i)a2 + 9ia+ 1− 3i = 2a3 − 5a2 + 1︸︷︷︸Re

+i (−6a2 + 9a− 3︸︷︷︸Im

)

∴ 2a3 − 5a2 + 1 = 0

−6a2 + 9a− 3 = 0

De la última ecuación obtenemos que a = 1 ∨ a = 12 .

Si a = 1, al reemplazar en la ecuación de la parte real, obtenemos una contradicción. ∴ a 6= 1

Si a = 12 , al reemplazar en la ecuación de la parte real, obtenemos que a la satisface. ∴ a = 1

2

Por lo tanto, 2x3 − (5 + 6i)x2 + 9ix+ 1− 3i = (x− 12) · q(x), para algún q(x) ∈ C[x].

Como aún no hemos visto el algoritmo de la división, simplemente supondremos que

q(x) = 2x2 + ux+ v, u, v ∈ C

∴ 2x3 − (5 + 6i)x2 + 9ix+ 1− 3i =

(x− 1

2

)· (2x2 + ux+ v)

= 2x3 + (u− 1)x2 + (v − 1

2u)x− 1

2v

Igualando coeficientes, obtenemos el sistema:

−5− 6i = u− 1

9i = v − 12u

1− 3i = −12v

=⇒u = −4− 6i

v = −2 + 6i

Luego, el polinomio queda:

2x3−(5+6i)x2+9ix+1−3i =

(x− 1

2

)·(2x2 + (−4− 6i)x− 2 + 6i

)= (2x−1)(x2−(2+3i)x−(1−3i))

169


Buscamos las raíces de q(x) = x2 + (−2 − 3i)x − 1 + 3i, es decir, debemos resolver laecuación cuadrática

x2 − (2 + 3i)x− (1− 3i) = 0

x =2 + 3i±

√(2 + 3i)2 + 4(1− 3i)

2

=2 + 3i±

√4− 9 + 12i+ 4− 12i

2

=2 + 3i± i

2=

{1 + 2i

1 + i

Luego, las raíces de p(x) son x1 = 12 , x2 = 1 + 2i, x3 = 1 + i. Más aún, es posible escribir

p(x) = (2x− 1) ·(x− (1 + 2i)

)·(x− (1 + i)

)

EJERCICIOS:

1.

2.

3. Resuelva la ecuación 4x3 − 24x2 + 23x + 18 = 0 sabiendo que las raíces están en progresiónaritmética

7.2.3. Funciones Polinomiales y Racionales

Una función definida por medio de un polinomio con coeficientes en R recibe el nombre defunción polinomial. Una propiedad de este tipo de funciones es que su dominio corresponde alconjunto de los números reales y que son de clase C∞(R).

DEFINICIÓN 7.2.6 Sean p, q ∈ R[x] dados por p(x) = anxn + . . .+ a1x+ a0 y q(x) = bmx

m +

. . .+ b1x+ b0. Una función racional es una función de la forma:

f(x) =p(x)

q(x)=anx

n + . . .+ a1x+ a0bmxm + . . .+ b1x+ b0

El dominio de la anterior función racional será R − {x1, . . . , xk} donde x1, . . . , xk son las k ≤ m

raíces reales del polinomio q(x).

170


OBSERVACIÓN: Más adelante se verá que toda función racional puede ser descompuesta en sumade fracciones del tipo

A

(x− c)k,

Bx+ C

(x2 + αx+ β)n

donde α, β, c, A,B,C ∈ R y α2 − 4β < 0.

7.2.4. Algoritmo de la División (o de Euclides)

PROPOSICIÓN 7.2.3 Dados p(x), d(x) ∈ K[x], existen q(x), r(x) ∈ K[x] tales que p(x) = d(x)q(x) +

r(x), en donde gr(r) < gr(d) o r(x) = 0.

OBSERVACIÓN: Observe que si gr(p) = 1 entonces r(·) debe ser una función constante.

El polinomio q(x) recibe el nombre de cuociente (de dividir p(x) por d(x)) y el polinomio r(x)

recibe el nombre de resto. Para ilustrar el algoritmo de la división, considere el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 7.2.1 Sean p(x) = x4 − 3x2 + 2x− 1 y d(x) = x2 + x+ 1. Encuentre la división de p(x)

con d(x) indicando cual es el cuociente y el resto.

x4 − 3x2 + 2x − 1 : x2 + x+ 1 = x2 − x− 3

−(x4 + x3 + x2 )

−x3 − 4x2 + 2x− 1

−( x3 − x2 − x )

−3x2 + 3x+ 1

−( −3x2 − 3x− 3 )

6x+ 4

De aquí se obtiene que el cuociente viene dado por q(x) = x2−x−3 y su resto por r(x) = 6x+4.Notar que x4 − 3x2 + 2x− 1 = (x2 − x− 3)(x2 + x+ 1) + (6x+ 4).

DEFINICIÓN 7.2.7 Dados p, d ∈ K[x] se dice que d(x) divide a p(x) si r(x) = 0. Es decir, existeq ∈ K[x] de modo que p(x) = d(x)q(x). Esto será denotado por d(x)\p(x).

PROPOSICIÓN 7.2.4 Para p, q, h ∈ K[x] se tiene que:

1. p(x)\p(x).

2. Si q(x)\p(x) y p(x)\h(x) entonces q(x)\h(x).

171


3. Si q(x)\p(x) y q(x)\h(x) entonces q(x)\(a(x)p(x) + b(x)h(x)) ∀a, b ∈ K[x].

EJEMPLO 7.2.2 Dado a ∈ Rmuestre que si p ∈ R [x] entonces (x− a) divide a q(x) = p (x)− p (a).

7.2.5. División Sintética (Regla de Ruffini)

La división sintética es un método que permite dividir un polinomio de la forma p(x) = anxn+

. . .+ a1x+ a0 por otro polinomio de la forma q(x) = x− c. Este método consiste en la construcciónde la siguiente tabla:

an an−1 an−2 . . . a1 a0

c bn−1 c bn−2 . . . . . . cb0 c

bn−1 bn−2 bn−3 . . . b0 r

y en el cálculo de los números b0, b1, . . . , bn−1 y r. Estos números vienen dados por:

bn−1 = an

bn−2 = an−1 + cbn−1bn−3 = an−2 + cbn−2

......

...b0 = a1 + cb1

r = a0 + cb0

El cuociente será dado por h(x) = bn−1xn−1 + bn−2xn−2 + . . .+ b1x+ b0 y el resto por r(x) = r.Esto quiere decir, que p(x) = h(x)q(x) + r(x). Observar que si r = 0 se tendrá que p(x) = h(x)q(x),luego c será una raíz de p(x).

Para ilustrar este método, considere el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 7.2.3 Dividir (3x3 − 4x+ 2) por (x+ 3), indicando cuál es el cuociente y el resto.

3 0 −4 2

−9 27 −69 −3

3 −9 23 −67

Luego el cuociente es q(x) = 3x2 − 9x+ 23 y el resto es r(x) = −67. Notar que

3x3 − 4x+ 2 = (3x2 − 9x+ 23)(x+ 3) + (−67)

172


EJEMPLO 7.2.4 Verificar que 2 es una raíz múltiple del polinomio

p (x) = x5 − 6x4 + 11x3 − 2x2 − 12x+ 8

TEOREMA 7.2.4 (Teorema del Resto) Sea p(x) ∈ K[x], a ∈ K. El resto de dividir el polinomiop(x) por d(x) = x− a es p(a).

Dem.: Debemos probar que p(x) = (x− a)q(x) + p(a).Por el algoritmo de la división: p(x) = (x− a)q(x) + r(x), con gr(r) < gr(x− a) = 1.∴ gr(r) = 0 ∨ r(x) = 0. Luego, r(x) = cte. Evaluando p en a : p(a) = r(a) = r(x).Luego: p(x) = (x− a)q(x) + p(a).

TEOREMA 7.2.5 (Teorema del Factor) Un polinomio p(x) es divisible por d(x) = x − a si y sólo sip(a) = 0.

Dem:⇒ p(x) es divisible por x− a ⇒ r(x) = 0 ⇒ p(x) = (x− a)q(x) ∴ a es raíz de p(x).⇐ Si a es raíz de p(x) : ⇒ p(x) = (x− a)q(x) ∴ p(x) es divisible por x− a.

COROLARIO 7.2.1 Sea p(x) ∈ R[x], con gr(p) = n. Entonces, p tiene a lo más n raíces en R.

EJEMPLOS:

1. Sea p(x) = 4x4 + 10x3 + 19x+ 5. Hallar p(−3).

Solución: Es posible evaluar directamente, pero es tedioso. Al hacer la división sintética, seobtiene resto igual a −2. Luego, p(−3) = −2.

2. Sea p(x) = x5 − 10x3 + 7x+ 6. ¿Es x− 3 un factor de p(x)?

Solución: Al dividir p(x) por x− 3, obtenemos resto =0, de donde x− 3 es un factor de p(x).

EJERCICIOS:

1. ¿Cual es el resto de dividir x100 − x+ 2 por x2 − 1?

2. Sea p(x) = x4 + bx3 − 13x2 − 14x+ 24.

a) Determinar b ∈ R de modo que −2 sea raíz de p(x).

b) Determinar las otras raíces del polinomio encontrado en a).

173


3. En cada una de las siguientes ecuaciones compruebe, por división sintética, que el valorindicado para x0 es raíz de la ecuación, y determine las otras raíces reales, si es que existen.

a) 4x3 + 3x2 − 5x− 2 = 0 , x0 = 1.

b) x3 − 2x2 − 5x+ 6 = 0 , x0 = −2.

c) 2x3 − 11x2 + 17x− 6 = 0 , x0 = 2.

TEOREMA 7.2.6 Si p(x) ∈ R[x], y p(a) · p(b) < 0 entonces existe una raíz real de p entre a y b.

Dem.: Teorema del Valor Medio

EJEMPLO 7.2.5 p(x) = x4 + 3x2 − x− 5 tiene un cero entre 1 y 2, pues p(1) < 0 y p(2) > 0.

TEOREMA 7.2.7 Sea p(x) =n∑i=0

aixi, an > 0, ai ∈ R. Si p(x) se divide por x − r usando

división sintética, entonces:

i) Si r ≥ 0 y todos los números de la última fila (del cuociente y del resto) son ≥ 0, entoncestodos los ceros α de p(x) satisfacen: α ≤ r.

ii) Si r ≤ 0 y todos los números de la última fila (del cuociente y del resto) se alternan en signo,pudiendo considerarse +0 o −0, entonces todos los ceros α de p(x) satisfacen: α ≥ r.

Dem.: Demostraremos solo i) dejando ii) como ejercicio.

Por el algoritmo de la división: p(x) = q(x)(x − r) + p(r). Como los coeficientes de q son ≥ 0

y p(r) ≥ 0, entonces, si x > r > 0 : q(x) ≥ 0 ∧ x− r > 0 de donde p(x) > 0 y luego no puedetener raíces para x > r.

EJEMPLO 7.2.6 Encontrar cotas superiores e inferiores en Z para las raíces del polinomiop(x) = x3 − 4x2 − 5x− 8.

DEFINICIÓN 7.2.8 Sea p(x) ∈ R[x], escrito de manera ordenada en orden decreciente por grado. Sedice que hay una variación de signo si dos términos consecutivos tienen signo opuesto.

EJEMPLO 7.2.7 Considere p(x) = 5x8 + 7x6 − 5x4 + 2x3 − 3x− 1. Entonces:

p(x) tiene variación de signo = 3.

p(−x) = 5x8 + 7x6 − 5x4 − 2x3 + 3x− 1 tiene variación de signo = 3.

174


TEOREMA 7.2.8 (de los signos de Descartes) Sea p(x) ∈ R[x].

i) El número de ceros en R+ contados cada uno según su multiplicidad es igual a la variaciónde signo de p(x) o menor que ésta en un número par.

ii) El número de ceros en R− contados cada uno según su multiplicidad es igual a la variaciónde signo de p(−x) o menor que ésta en un número par.

EJEMPLOS: Determine el nmuero posible de raíces reales de los siguientes:

1. p(x) = 5x8 + 7x6 − 5x4 + 2x3 − 3x− 1.

Como vimos antes, las variaciones de signo de p(x) y de p(−x) son ambas iguales a 3. Luego,este polinomio de grado 8 tiene:

• 3 ó 1 raíz en R+

• 3 ó 1 raíz en R−

Así, sabemos que posee al menos 2 raíces en R, y a lo más 6 raíces enR. Su factorización tieneal menos un factor irreducible de grado 2.

2. p(x) = 4x5 + 2x4 − x3 + x− 5

3. p(x) = x3 − 2x− 6

TEOREMA 7.2.9 Sea p(x) ∈ Z[x]. Si cd ∈ Q es raíz de p(x), donde c y d no tienen divisores en común,entonces

c divide a a0 y d divide a an

Dem.: Como cd ∈ Q es raíz de p(x):

an

( cd

)n+ an−1

( cd

)n−1+ · · ·+ a1

( cd

)+ a0 = 0

ancn + an−1cn−1d+ · · ·+ a1cd

n−1 + a0dn = 0

c (ancn−1 + an−1cn−2d+ · · ·+ a1d

n−1) = −a0dn

Luego, c divide a a0dn. Como c y d no tienen divisores en común, necesariamente c divide a a0.Análogamente se prueba que d divide a an.

EJEMPLO 7.2.8 Hallar todas las raíces reales de p(x) = 8x4 + 30x3 + 29x2 − 2x− 30.

Solución:

175


Hay una raíz entre 0 y 1. Como var(p(x)) = 1, hay exactamente una raíz en R+, que es ésta.

Hay una raíz entre −3 y −2.

Las posibles raíces racionales son: ±{1, 12 ,14 ,

18 , · · · }. Se debe probar, con la información

disponible.

7.2.6. Polinomios Irreductibles

DEFINICIÓN 7.2.9 Si p ∈ K[x] y gr(p) ≥ 2 se dice que p es reducible (o reductible) en K[x] si esdivisible en K[x], es decir, existen q, h ∈ K[x], con gr(q) ≥ 1, gr(h) ≥ 1, tales que p(x) = q(x)h(x).En caso contrario se dice que p es irreducible o primo en K[x].

EJEMPLOS:

1. p(x) = x2 + 1 es reducible en C[x] y es irreducible en R[x] y en Q[x].

2. Los polinomios de grado 1, p(x) = a0 + a1x, son irreducibles o primos en K[x] .

3. El polinomio x4 + 3x2 + 2 ∈ Q[x] se puede factorizar como (x2 + 1)(x2 + 2). Vemos queno tiene raíces en Q ni R, pero es reducible tanto en Q como en R.

TEOREMA 7.2.10 (de Factorización Única) Todo p(x) reducible sobreK puede escribirse como pro-ducto en la forma

p(x) = ap1(x) p2(x) · · · pi(x) , 1 ≤ i ≤ gr(p(x))

donde a es el coeficiente principal de p(x), pj(x) (j = 1, · · · , i) son irreducibles sobre K y cadauno de ellos tiene coeficiente principal igual a 1. Una factorización de este tipo es única, salvo elorden de los factores.

7.2.7. Descomposición en Fracciones Parciales

DEFINICIÓN 7.2.10 Se dice que una función racionalP (x)

Q(x)es una fracción propia, si el grado del

polinomio P (x) es menor que el grado del polinomio Q(x). En caso contrario, es decir, si el gradode P (x) es mayor o igual al de Q(x), la fracción se llama impropia.

Toda fracción impropia se puede expresar, efectuando la división, como la suma de un polinomiomas una fracción propia. Es decir,

P (x)

Q(x)= M(x) +

N1(x)

Q(x)donde M(x) es un polinomio

176


Caso 1 El denominador Q(x) es un producto de factores lineales distintos.

Esto significa que podemos escribir

Q(x) = (a1x+ b1)(a2x+ b2) · · · (akx+ bk)

en donde no hay factor que se repita. En este caso, existen constantes A1, · · · , Ak tal que

P (x)

Q(x)=

A1

a1x+ b1+

A2

a2x+ b2+ · · ·+ Ak

akx+ bk

EJEMPLOS: Descomponer en fracciones parciales las siguientes funciones racionales:

1. f(x) =7x+ 3

x2 + 3x− 4

Solución El denominador de la función racional se puede descomponer en factores linealesen la forma:

x2 + 3x− 4 = (x+ 4)(x− 1)

Luego la descomposición en fracciones parciales es:

7x+ 3

x2 + 3x− 4=

7x+ 3

(x+ 4)(x− 1)=

A

x+ 4+

B

x− 1

Para encontrar los valores deA y B, multiplicamos la igualdad por (x+4)(x−1), obteniendo

7x+ 3 = A(x− 1) +B(x+ 4)

Desarrollando se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

A+B = 7

−A+ 4B = 3⇒ A = 5, B = 2

Luego, la función original queda:

7x+ 3

x2 + 3x− 4=

5

x+ 4+

2

x− 1

2. g(x) =x2 + 2x− 1

2x3 + 3x2 − 2x

Solución El denominador se puede factorizar como sigue:

2x3 + 3x2 − 2x = x(2x2 + 3x− 2) = x(2x− 1)(x+ 2)

177


Luego, la descomposición en fracciones parciales es:

x2 + 2x− 1

x(2x− 1)(x+ 2)=A

x+

B

2x− 1+

C

x+ 2

multiplicando ambos lados de la igualdad por el denominador común, y luego resolviendola ecuación, se obtiene

x2 + 2x− 1 = A(2x− 1)(x+ 2) +Bx(x+ 2) + Cx(2x− 1)

Construyendo el sistema de ecuaciones análogamente al caso anterior, obtenemos

A =1

2, B =

1

5y C = − 1

10

de dondex2 + 2x− 1

2x3 + 3x2 − 2xdx =

12

x+

15

2x− 1+− 1

10

x+ 2

Caso 2 El denominador Q(x) es producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten.

Si Q(x) tiene un factor lineal repetido k veces, de la forma (a1x+ b1)k, entonces la descomposi-

ción en fracciones parciales contiene k términos de la forma:

A1

a1x+ b1+

A2

(a1x+ b1)2+ · · ·+ Ak

(a1x+ b1)k

donde A1, A2, · · · , Ak son constantes.

EJEMPLOS: Descomponer en fracciones parciales las siguientes funciones racionales:

1. f(x) =5x2 − 36x+ 48

x(x− 4)2

Solución La descomposición en fracciones parciales es:

5x2 − 36x+ 48

x(x− 4)2=A

x+

B

(x− 4)+

C

(x− 4)2

Multiplicando ambos miembros de la igualdad por el denominador común

5x2 − 36x+ 48 = A(x− 4)2 +Bx(x− 4) + Cx

se obtiene el sistema:

178


A+B = 5

−8A− 4B + C = −36

16A = 48

de donde A = 3, B = 2, C = −4

Luego:5x2 − 36x+ 48

x(x− 4)2=

3

x+

2

(x− 4)− 4

(x− 4)2

2. g(x) =7x+ 3

(x+ 4)(x− 1)2


7x+ 3

(x+ 4)(x− 1)2=

A

x+ 4+

B

x− 1+

C

(x− 1)2

Para encontrar los valores de A,B y C, multiplicamos la igualdad por (x+ 4)(x− 1)2, obte-niendo

7x+ 3 = A(x− 1)2 +B(x+ 4)(x− 1) + C(x+ 4)

Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

A+B = 0

−2A+ 3B + C = 7

A− 4B + 4C = 3

⇒ A = −1, B = 1, C = 2

Luego, la función original queda:

7x+ 3

(x+ 4)(x− 1)2=−1

x+ 4+

1

x− 1+

2

(x− 1)2

3. h(x) =7x+ 3

(x+ 4)2(x− 1)2


7x+ 3

(x+ 4)2(x− 1)2=

A

x+ 4+

B

(x+ 4)2+

C

(x− 1)+

D

(x− 1)2

Para encontrar los valores de A,B,C y D, procedemos análogamente, obteniendo

A =−3

25, B = −1, C =

3

25, D =

2

5(Ejercicio)

179


4. r(x) =x4 − 2x2 + 4x+ 1

x3 − x2 − x+ 1

Solución Esta es una fracción impropia, por lo que comenzaremos por efectuar la divisiónentre los polinomios que la componen:

x4 − 2x2 + 4x+ 1

x3 − x2 − x+ 1= x+ 1 +

4x

x3 − x2 − x+ 1

luego, descomponemos en fracciones parciales a la parte propia de la función original, quees de la forma:

4x

(x− 1)2(x+ 1)=

A

x− 1+

B

(x− 1)2+

C

x+ 1

de donde se obtiene: A = 1, B = 2 y C = −1, de modo que

x4 − 2x2 + 4x+ 1

x3 − x2 − x+ 1= x+ 1 +

1

x− 1+

2

(x− 1)2− 1

x+ 1

Caso 3 El denominador Q(x) es producto de factores cuadráticos irreducibles distintos.

SiQ(x) tiene un factor cuadrático no repetido de la forma ax2 +bx+c, en donde, b2−4ac < 0,entonces la descomposición en fracciones parciales contiene un término de la forma:

Ax+B

ax2 + bx+ c

donde A y B son constantes.

EJEMPLOS: Descomponer en fracciones parciales:

1. f(x) =4x2 − 8x+ 1

x3 − x+ 6

Tenemos que

4x2 − 8x+ 1

x3 − x+ 6=

4x2 − 8x+ 1

(x+ 2)(x2 − 2x+ 3)=

A

x+ 2+

Bx+ C

x2 − 2x+ 3

Multiplicando por el común denominador:

4x2 − 8x+ 1 = A(x2 − 2x+ 3) + (Bx+ C)(x+ 2)

obtenemos el sistema

180


A+B = 4

−2A+ 2B + C = −8

3A+ 2C = 1

de donde A = 3, B = 1, C = −4

Por lo tanto,

4x2 − 8x+ 1

x3 − x+ 6=

3

x+ 2+

x− 4

x2 − 2x+ 3

2. g(x) =2x2 − x+ 4

x3 + 4x

Solución Se tiene que la fracción se puede descomponer de la siguiente forma:

2x2 − x+ 4

x3 + 4x=

2x2 − x+ 4

x(x2 + 4)=A

x+Bx+ C

x2 + 4

Procediendo análogamente se obtiene

A+B = 2, C = −1, 4A = 4 ⇒ A = 1, B = 1 y C = −1

de donde2x2 − x+ 4

x3 + 4x=

1

x+

x− 1

x2 + 4

Caso 4 El denominador Q(x) contiene un factor cuadrático irreducible repetido.

SiQ(x) tiene un factor cuadrático repetido k veces de la forma (ax2+bx+c)k, donde b2−4ac < 0,entonces la descomposición en fracciones parciales contiene k términos de la forma:

A1x+B1

ax2 + bx+ c+

A2x+B2

(ax2 + bx+ c)2+ · · ·+ Akx+Bk

(ax2 + bx+ c)k

donde A1, A2, · · · , Ak y B1, B2, · · ·Bk son constantes.

EJEMPLOS: Descomponer en fracciones parciales1− x+ 2x2 − x3

x(x2 + 1)2

Solución La forma de descomponer esta división de polinimios en fracciones parciales es

1− x+ 2x2 − x3

x(x2 + 1)2=A

x+Bx+ C

x2 + 1+

Dx+ E

(x2 + 1)2

Multiplicando por x(x2 + 1)2, y luego igualando coeficientes, se obtiene el siguiente sistema

181


A+B = 0, C = −1, 2A+B +D = 2, C + E = −1, A = 1

cuya solución es (Ejercicio):

A = 1, B = −1, C = −1, D = 1 y E = 0

Entonces

1− x+ 2x2 − x3

x(x2 + 1)2=

1

x− x+ 1

x2 + 1+

x

(x2 + 1)2

Podemos resumir todo lo anterior en el siguiente

TEOREMA 7.2.11 (Descomposición en fracciones parciales) Cualquier fracción propiaP (x)

Q(x)se pue-

de descomponer en la suma de fracciones parciales del iguiente modo:

Si Q(x) tiene un factor lineal de la forma ax+ b, no repetido, entonces la descomposición deP (x)

Q(x)contiene un término de la forma

A

ax+ b, A =cte.

SiQ(x) tiene un factor lineal de la forma ax+b, repetido k veces, entonces la descomposición

deP (x)

Q(x)contiene términos de la forma

A1

ax+ b+

A2

(ax+ b)2+ · · · + Ak

(ax+ b)k, Ai =cte.,

∀i = 1, · · · , k.

Si Q(x) tiene un factor cuadrático irreducible de la forma ax2 + bx+ c, no repetido, entonces

la descomposición deP (x)

Q(x)contiene un término de la forma

Ax+B

ax2 + bx+ c, A,B =ctes.

Si Q(x) tiene un factor cuadrático irreducible de la forma ax2 + bx + c, repetido k veces,

entonces la descomposición deP (x)

Q(x)contiene términos de la forma

A1x+B1

ax2 + bx+ c+

A2x+B2

(ax2 + bx+ c)2+ · · ·+ Akx+Bk

(ax2 + bx+ c)k, Ai, Bi =ctes., ∀i = 1, · · · , k.

Ejercicios Descomponer en fracciones parciales:

1. f1(x) =5x+ 7

x2 + 2x− 3

2. f2(x) =x2 + 11x+ 15

(x− 1)(x+ 2)2

3. f3(x) =7x2 − 11x+ 6

(x− 1)(2x2 − 3x+ 2)

182


4. f4(x) =3x3 − 6x2 + 7x− 2

(x2 − 2x+ 2)2


1. Resuelva en C z4 = (1 +√

3 i)z

2. Escribir en forma polar z = (1 + i)100 + (1− i)100

3. Sea p(x) = x6 + ax5 − 15x4 − (14 + 2a)x3 + 50x2 + 28x− 48. Determine:

a) la constante a ∈ R tal que 1 sea raíz del polinomio p(x).

b) las restantes raíces de p(x) si sabe que√

2 también es raíz.

4. Al dividir cierto polinomio p(x) por x − 1, el resto es a y al dividirlo por x − 2 el resto es b.Encontrar el resto, al dividir p(x) por (x− 1)(x− 2).

5. Al dividir un polinomio p(x) por (x− 1) el resto es 1, al dividirlo por (x− 2) el resto es 2 y aldividirlo por (x− 3) el resto es 3. Encuentre el resto al dividir p(x) por (x− 1)(x− 2)(x− 3).

6. Determine a, b ∈ R para que el polinomio

p(x) = x4 + 2x3 − x2 + ax+ b

sea divisible por x2 − 1, y encuentre todas las raíces reales de p(x).

7. Considere los conjuntos

A = {z ∈ C : |z − 1| < 3}

B = {z ∈ C : |z − 2i| < 2}

Describa y represente gráficamente los conjuntos A ∩B y A ∪B.

8. Sean z, w ∈ C, con |z| =√

3. Calcule∣∣∣∣ z + w

zw + 3

∣∣∣∣.9. a) Resuelva la ecuación z3 − 1 + i = 0.

b) Represente en R2 la región determinada por

2 ≤ |z − (1− i)| < 3 donde z = x+ iy

10. Sea z∗ la solución de la ecuación z7 +1 = 0 que se encuentra en el tercer cuadrante. Calculeel valor de A, donde

A =

∣∣∣∣1− 1

z∗

∣∣∣∣183


11. Sea z = x+ iy. Dibuje la región del plano dada por todos los z ∈ C : Re

(1 + z

z

)> 0.

12. Dado el polinomio p(x) = (a− 1)xn + (bn)xn−1 + x− 2, determine a y b de modo que p(x)

sea divisible por x2 − 3x+ 2.

13. Demuestre que

z =1− i

− cos π3 + i sen π3

es solución de la ecuación z2 − i−√

3 = 0.

184

apunte complementos mat021

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