mat inecuaciones explicación

Prof. Solange Zambrano Matemática – 3er año

PROPÓSITO 12: INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Inecuación

Es una expresión matemática que contiene números y al menos una variables, en la que hay se establece

relación de desigualdad entre sus miembros. Es decir, una inecuación es una desigualdad algebraica.

Por ejemplo:

• 324 <−m � Es una inecuación (con una variable)

• 7)29(8 −>+ � No es una inecuación, es una desigualdad (porque no tiene variables)

• kx +−≥ 3525 � Es una inecuación (con dos variables)

• hmy 835

2 −<

� Es una inecuación (con tres variables)

• 4824 <=p � No es válido

• 2

153 +−=− yx

� No es una inecuación, es una ecuación (porque tiene signo de igualdad)

• 393 2 ≤−+ xx � Es una inecuación (de segundo grado con una variable)

• k74

35≠ � No es una inecuación (porque tiene signo de diferencia)

• a>− 2 � Es una inecuación (con una variable)

Inecuación de primer grado con una incógnita

Es una desigualdad algebraica que contiene sólo una variable cuyo grado es uno (con exponente uno), y

tiene la forma:

0>+ bax

Observación: el número a siempre es un valor que está multiplicando a la variable y el número b es un valor que suma (algebraicamente: suma o resta) de la variable.

Coeficiente (nunca puede ser cero)

Variable (cualquier letra)

Signo de desigualdad (<, >, ≤, ≥)

Término independiente


Ejemplos:

• 2355 +−≥− x � Es una inecuación de primer grado con una incógnita

Ordenada de la forma básica quedaría: 7350 +−≥ x donde a=-35 y b=7

• m43

11

3

11 +≤ � Es una inecuación de primer grado con una incógnita

Ordenada de la forma básica quedaría: 3

114

3

110 −+≤ m � m40 ≤

donde a=4 y b=0

• 6

52 <y

� Es una inecuación de primer grado con una incógnita

Ordenada de la forma básica quedaría: 065

2 <−y donde a=2/5 y b=-6

• pp 43 < � Es una inecuación de primer grado con una incógnita

Ordenada de la forma básica quedaría: 043 <− pp � 0<− p

donde a=-1 y b=0

• yy

2

42 −=−

� No es una inecuación

• kk

2

4−≥− � Es una inecuación de primer grado con una incógnita

Ordenada de la forma básica quedaría: kk2

4−≥− � 02 ≥+− kk

∴ 0≥k

donde a=1 y b=0

Solución de una inecuación

Es un intervalo (o más) de la Recta Real cuyos elementos (números reales) hacen que la relación de

desigualdad se cumpla.

¿Cómo hallar la solución de una inecuación de primer grado con una incógnita?

El proceso para resolver una inecuación se parece al proceso que se utiliza para resolver ecuaciones. Lo que

se requiere es “despejar la variable”.


Por ejemplo:

32

5 >+x

2

53−>x

2

1>x

El resultado obtenido al resolver indica que la solución (S) a la ecuación son todos los números (x) mayores

que ½. Por lo tanto:

∞= ;2

1S

Importante:

Además de todas las normas y pasos del despeje, en inecuación agregamos uno más:

Si se quiere despejar un número negativo que está multiplicando o dividiendo, al ser despejado el sentido

de la desigualdad cambia. Es decir, se invierte el signo de desigualdad.

Por ejemplo:

795 ≥+− m

975 −≥− m

5

2

−−≤m

5

2≤m

∞−=5

2;S

Inecuación dada

La fracción se pasó al miembro derecho, restando

Resolviendo la suma (algebraica)

Escribiendo el resultado como intervalo

Inecuación dada

El término que no contiene a la variable pasa al segundo miembro, restando

El coeficiente (-5) pasó de multiplicar en el primer miembro, a dividir en el segundo miembro

Como el número que se despejó era negativo y estaba multiplicando,

“el sentido de la desigualdad cambió”

El resultado es el intervalo de todos los números menores o iguales que 2/5

Escribiendo el resultado como intervalo


Tipos de inecuaciones de primer grado con una incógnita y su proceso de solución

1. Inecuación simple: es una inecuación que contiene un solo signo de desigualdad.

Procedimiento de solución:

• Despejar la variable

• Expresar el conjunto solución como intervalo

• Representar gráficamente la solución

Ejercicio resuelto: Resolver la inecuación 63

24 −≤+− x

Solución

63

24 −≤+− x

3

264 −−≤− x

3

204 −≤− x

43

20

−

−≥x

12

20

−−≤x

3

5≤x

∞−=35

;S

Gráfica

Inecuación dada

Resolviendo la suma (algebraica)

El término que no contiene a la variable pasa al segundo miembro, restando

Despejando el coeficiente (-4) La desigualdad cambió de sentido

Resolviendo la división de fracciones

Simplificando

Conjunto solución


2. Inecuación doble: es una inecuación que tiene dos signos de desigualdad


• Separar la inecuación en dos inecuaciones simples. Del centro a la izquierda (inecuación 1) y

del centro a la derecha (inecuación 2)

• Resolver cada inecuación simple por separado, expresando el conjunto solución como

intervalo en cada una (S1 y S2)

• Determinar la solución analítica de todo el sistema: haciendo la intersección de las

soluciones parciales.

• Determinar la solución gráfica de todo el sistema: haciendo representación de los dos

intervalos (soluciones parciales) en la recta real y señalando la intersección entre ambos.

Ejercicio resuelto: Hallar la solución de xx 54

6534 −≤+−<−

Solución

Separación en inecuaciones simples xx 54

6534 −≤+−<−

Parte I

534 +−<− x

x354 −<−−

x>−−

3

9

x>3

3<x

( )3;1 ∞−=S

Parte II

xx 54

653 −≤+−

54

653 −≤+− xx

4

142 −≤x

24

14−≤x

8

14−≤x

4

7−≤x

−∞−=4

7;2S

Parte I

Parte II


Solución general

( )3;1 ∞−=S

−∞−=4

7;2S

Analítica

−∞−=4

7;21 SS I

Gráfica

3. Inecuación con valor absoluto: es una inecuación cuya variable está dentro de las barras de valor

absoluto.


• Separar la inecuación en dos inecuaciones simples, una positiva y otra negativa.

Parte positiva: escrita como fue dada, sin las barras de valor absoluto.

Parte negativa: escrita con valor negativo en uno de sus miembros y cambiando el sentido

de la desigualdad.


intervalo en cada una (S1 y S2)

• Determinar la solución analítica de todo el sistema: haciendo la intersección o unión de las


Se hace intersección: cuando la el valor absoluto es < o ≤

Se hace unión: cuando la el valor absoluto es > o ≥

• Determinar la solución gráfica de todo el sistema: haciendo representación de los dos

intervalos (soluciones parciales) en la recta real y señalando la intersección entre ambos.

NOTA: el proceso es semejante a una inecuación doble, sólo que la separación se hace en “parte

positiva” y “parte negativa”


Ejercicio resuelto 1: Determinar la solución de 845

4 >− x

Solución

Parte positiva

845

4 >− x

5

484 −>− x

5

364 >− x

45

36

−<x

20

36−<x

5

8−<x

−∞−=5

8;1S

Parte negativa

845

4 −<− x

5

484 −−<− x

5

444 −<− x

45

44

−

−>x

20

44

−−>x

5

11>x

∞= ;5

112S

Solución general

−∞−=5

8;1S

∞= ;5

112S

Analítica

∞

−∞−= ;5

11

5

8;21 UU SS


Gráfica

Ejercicio resuelto 2: Hallar la solución de la inecuación 513

2 ≤+− x

Solución

Parte positiva

513

2 ≤+− x

153

2 −≤− x

32

14

−≥x

2

12−≥x

6−≥x

)[ ∞−= ;61S

Parte negativa

513

2 −≥+− x

153

2 −−≥− x

63

2 −≥− x

3216

−

−≤x

2

18

−−≤x

9≤x

]( 9;2 ∞−=S

∞→


Solución general

)[ ∞−= ;61S

]( 9;2 ∞−=S

Analítica

][ 9;621 −=SS I

Gráfica

4. Sistema de inecuaciones: es el conjunto formado por dos o más inecuaciones de primer grado.

La solución de un sistema de inecuaciones lineales es un intervalo (o más) que permiten que todas

las inecuaciones del sistema sean válidas simultáneamente.



intervalo en cada una (S1, S2, S3…)

• Determinar la solución analítica de todo el sistema: haciendo la intersección de las


• Determinar la solución gráfica de todo el sistema: haciendo representación de todos los

intervalos (soluciones parciales) en la recta real y señalando la intersección entre ellos.

NOTA: cuando, al resolver un sistema de inecuaciones lineales, el resultado de la intersección de las

soluciones parciales sea un conjunto vacío (φ ) significa que el sistema no tiene solución.

Ejercicio resuelto 1: Hallar la solución del sistema

+≥−

>+−

4511

36

52

x

x


Solución

Inecuación 1

36

52 >+− x

6.352 >+− x

2185 +>x

5

20>x

4>x

( )∞= ;41S

Inecuación 2

4511 +≥− x

x5411 ≥−−

x515≥−

x≥−5

15

x≥− 3

3−≤x

]( 3;2 −∞−=S

Solución general

( )∞= ;41S

]( 3;2 −∞−=S

Analítica

]( 3;421 −=SS I No es coherente. Este intervalo no existe

φ=∴S y el sistema de inecuaciones lineales no tiene solución

Gráfica


Ejercicio resuelto 2: Hallar la solución del sistema

+≥+

−≤

6

451

23

4

xx

x

Solución

Inecuación 1

x−≤ 23

4

x−≤− 23

4

x−≤−3

2

x≥3

2

∞−=3

2;1S

Inecuación 2

6

451

+≥+ xx

( ) 4516 +≥+ xx

4566 +≥+ xx

6456 −≥− xx

2−≥x

)[ ∞−= ;22S

Solución general

∞−=3

2;1S

)[ ∞−= ;22S

Analítica

−=3

2;221 SS I

Gráfica

(-1) (-1)

mat inecuaciones explicación

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