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MANUAL DE ÁLGEBA SEPT 2020

FRANCISCO JAVIER PALACIOS MÉNDEZ 1

Álgebra



Lenguaje común y algebraico

El lenguaje con que las matemáticas expresan ideas es el Álgebra. Su simbología comprende:

o Números: −5, − 4

3, 0, 100, 105, …

o Letras: p, V, a, π, r, ...

o Signos de operación: +, -, ×, ÷, √ ,...

o Signos de agrupación: {… }, [… ], (… )

o Signos de relación: =, >, <, ≤, ≥

Expresiones matemáticas algebraicas se utilizan para resolver problemas de Física, Química,

Biología, Economía, Finanzas, Psicología, Educación, Astronomía, Informática, Probabilidad,

etcétera. Por ejemplo, si se desea calcular la velocidad que necesita adquirir un cuerpo atrapado por

la gravedad de un planeta, se puede hacer usando la ecuación siguiente:

𝑉 = √2𝑔𝑚

𝑟

En ella: V es la velocidad de escape, g es la constante de la gravitación universal, m es la masa del

planeta del que se escapa y r es el radio del planeta del que se escapa. Esta ecuación comprende

constantes (2, G) y variables (V, m, r); signo de igualdad (=) y operación (multiplicación y raíz

cuadrada); la expresión es algebraica y puede leerse usando lenguaje común.

"La velocidad de escape de un planeta, V, por un cuerpo que se encuentra atrapado en él, es igual a

la raíz cuadrada del cociente del doble del producto de la constante de la gravedad universal, g, y la

masa m del planeta, entre el radio del planeta, r".

resulta evidente, pues, que el lenguaje simbólico del Álgebra supera por mucho en brevedad al

lenguaje común e informa igual siempre y cuando el lector entienda el significado de cada signo

utilizado.

En el Álgebra, tanto constantes como variables pueden escribirse usando letras, del alfabeto normal

o de otro alfabeto, específicamente el griego. La ecuación para calcular el área de un círculo se

escribe 𝐴 = 𝜋 𝑟2. La letra "𝜋" es la letra griega "pi". Esa letra representa una cantidad constante:

3.141592...

la deficiencia del lenguaje común respecto al algebraico es obvia: el lenguaje común no es conciso.

El Álgebra , que usa letras para representar cantidades, es una generalización de la aritmética.

Una ecuación es una expresión matemática que declara que dos o más cantidades son iguales, por

eso implican al signo de igualdad: "=". Ejemplos:

𝑭 = 𝒎𝒂



Expresa las siguientes oraciones del lenguaje común al lenguaje algebraico

Lenguaje común Lenguaje algebraico

1.- Un número cualquiera 𝑥

2.- Un número cualquiera aumentado en siete 𝑎 + 7

3.- La diferencia de dos números cualesquiera 𝑚 − 𝑛

4.- El doble de un número excedido en 5 2𝑝 + 5

5.- La división de un número entero entre su antecesor 𝑡

𝑡−1

6.- La mitad de un número 𝑦

2

7.- El cuadrado de un número 𝑥2

8.- La semisuma d dos números 𝑟+𝑞

2

9.- Las dos terceras partes de un número disminuido en 2

3𝑥 − 5 = 12

cinco es igual a 12.

10.- Tres números naturales consecutivos 𝑐, 𝑐 + 1, 𝑐 + 2

11.- Las tres quintas partes de un número más la mitad de su 3

5𝑧 +

𝑧+1

2= 3

consecutivo equivalen a 3.

12.- El cubo de un número más el triple producto del cuadrado 𝑥3 + 3𝑥2

de dicho número.

De aquí y hasta el final del bloque 1 (página 19) van a resolver los ejercicios no resueltos.

Expresa en lenguaje algebraico las siguientes expresiones en lenguaje común.

1. Un número disminuido en 3.

2. El triple de un número excedido en ocho.

3. El cociente de dos números cualesquiera.

4. La parte mayor de 100 sabiendo que la parte menor es x.

5. Dos números enteros consecutivos.

6. Tres números enteros pares consecutivos. 2𝑏, 2𝑏 + 2, 2𝑏 + 4

7. El cuadrado de la suma de dos números cualesquiera. (𝑎 + 𝑏)2



8. La suma de los cuadrados de dos números cualesquiera. 𝑎2 + 𝑏2

9. El recíproco de un número. 1

𝑛

10. La raíz cúbica de la diferencia de dos números cualesquiera.

11. La suma de las raíces cuadradas de dos números cualesquiera.

12. Diez unidades menos que cinco veces un número. 5𝑚 − 10

13. La sexta parte de la suma de dos números.

14. La suma de tres números pares consecutivos, es igual al triple del menor, más las tres

cuartas partes del mayor.

15. La cuarta parte del producto de tres números cualesquiera menos 4.

16. El cuadrado de la suma de dos números es igual a 49.

17. El área de un cuadrado de lado x unidades. 𝐴 = 𝑥2

18. El perímetro de un rectángulo, si se sabe que el largo es tres veces su ancho. 𝑃 = 𝑎 + 𝑎 +

3𝑎 + 3𝑎

19. El perímetro de un triángulo rectángulo, si se sabe que el cateto mayor mide tres unidades

más que el cateto menor, y que la hipotenusa es dos unidades mayor que el cateto mayor.

20. El precio de un artículo disminuido en un 15%. 𝑝 − 0.15𝑝

21. Dos números cuya suma sea 80.

22. Tres números impares consecutivos. 2𝑎 + 1, 2𝑎 + 3, 2𝑎 + 5

23. El área de un rectángulo, si se sabe que su largo mide tres unidades menos que el triple de

su ancho.

24. La edad de una persona hace 10 años.

25. Los ángulos de un triángulo, si el primero es el doble del segundo.

26. La cantidad de alcohol en un recipiente de x litros de una mezcla si la concentración de

alcohol es 30%.

27. La edad de Alberto si tiene cuatro años más que el doble de la edad de Patricia.

28. Las dos terceras partes de un número, más el triple de su consecutivo, menos su recíproco

equivale a 10.

29. El doble de un número equivale al triple de su antecesor excedido en siete.

Cambia de lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas.

1. 𝑥 + 3 Un número cualquiera aumentado en 3 o excedido en 3.

2. 2a-11

3. 3𝑥2

4. 5

6𝑎

5. 1

𝑥

6. (𝑎 + 𝑏)2

7. 𝑥3 + 𝑦3

8. 𝑐

𝑐+1

9. 5x = 30

10. 3𝑦 − 2 = 25

11. 3

4𝑧 + 2 = 𝑧 Las tres cuartas partes de un número excedido en 2 equivale al



mismo número.

12. 1

6(𝑥 − 𝑦) + 3 = 𝑥 + 𝑦

13. 𝑥

𝑦=

1

5(𝑥 − 𝑦)

14. 𝑥2 − 𝑦2

15. 𝑥2 − 2𝑥

16. (𝑎+𝑏

2)

2 El cuadrado de la mitad de la suma de dos números.

17. √𝑎+𝑏

𝑎−𝑏 La raíz cuadrada del cociente de la suma de dos números entre la diferencia de

los mismos números.

18. 𝑥2 + (𝑥 + 1)2 La suma de los cuadrados de un número y su consecutivo.

Lenguaje algebraico

Lenguaje común

1. 𝑨 = 𝝅𝒓𝟐

2. 𝑪 = 𝝅 𝒅

3. 𝒅 = 𝒗 𝒕

4. A = b a

Identifica la expresión algebraica que corresponda a cada una de las expresiones verbales.

1. El doble del cubo de un número.

a) 2a b) 2a3 c) 𝑥 + 𝑥

4

2. El número más el cuádruplo del mismo número es igual a 25.

a) x + 4x = 25 b) x + x = 25 c) 𝑥 + 𝑥

4= 25

3. El cuadrado de un número disminuido en 8 es igual a la tercera parte de otro número.

a) 2m – 8 = 3n b) (2m – 8 ) = n/3 c) m2 – 8 = n/3

4. La mitad de un número más otro número.

a) 𝑎

2+ 𝑎 b)

𝑎

2− 𝑐 c)

𝑎

2+ 𝑚

5. El cuadrado de un número más su mitad.

a) ) 𝑎

2+ 𝑎 b) 𝑎2 + 𝑎2 c) 𝑎2 +

𝑎

2

6. El cubo de un número más el cuadrado de otro número.

a) 𝑐3 + 𝑎

2 b) 𝑐3 + 𝑐2 c) 𝑐3 + 𝑎2



Identifica la expresión verbal que corresponde a cada una de las siguientes expresiones

algebraicas, colocando dentro del paréntesis la letra que corresponda a la respuesta correcta.

1. m/2 ( )

a) El doble de un número b) El cuadrado de un número c) La mitad de un número

2. 2x + c ( )

a) El doble de la suma de dos números b) El doble de un número aumentado en otro

c) La suma del doble de dos números

3. 𝑏

4− 5 ( )

a) La cuarta parte de un número disminuido en 5 b) El cuádruplo de un número

disminuido en 5 c) La diferencia de la cuarta parte de dos números

4. 2a + a2 ( )

a) El doble de un número más el mismo número b) El doble de un número más su

mitad c) El doble de un número más su cuadrado

5. 𝑎

2+

𝑏

2 ( )

a) La suma de la mitad de 2 números b) La suma del cuadrado de dos números

c) La mitad de un número más otro número

El lenguaje simbólico de la matemática se ha desarrollado para facilitar la resolución

de los problemas.



Lenguaje común Lenguaje algebraico

1. El triple de una variable disminuido el resultado en 10.

2. El cociente de la suma de dos cantidades cualesquiera entre el cubo de x.

3. El producto de dos variables más la diferencia de ellas. 4. Una variable disminuida en 5 es igual a la tercera parte de esa variable.

5. El cociente del triple de la segunda potencia de una variable entre esa misma variable añadida en 4.

6. La diferencia del cuadrado de cada una de dos variables elevada toda a la tercera potencia.

7. El cubo de la cuarta parte de una variable. (𝑏

4)

3

8. La cuarta parte del cubo de una variable. 𝑏3

4

9. El inverso del cuadrado de una variable.

10. La quinta potencia del cociente de 2 entre el triple de una variable sumada en 2.

11. La raíz cúbica del inverso del cuadrado de la diferencia de dos variables.

12. La suma de la raíz cuarta de una variable y la raíz cuadrada del inverso de la variable.

13. El precio de 1m de tela. 𝑥

14. La leche que da una vaca. 𝑚

15. La leche que dan 5 vacas. 5𝑚

16. El maíz que produce una hectárea de terreno, 2 hectáreas y 9 hectáreas.

17. La quinta parte de la producción total de huevo en una granja avícola. 1

5𝑥 ó

𝑥

5



Expresiones diferentes cuya semejanza puede confurdirnos

La suma del cuadrado de dos números

𝑎2 + 𝑏2 El cuadrado de la suma de dos números

(𝑎 + 𝑏)2

La mitad de la diferencia de dos números

𝑚−𝑛

2 La diferencia de la

mitad de dos números

𝑚

2−

𝑛

2

El cubo de la cuarta parte de un número

(𝑥

4)

3

La cuarta parte del cubo de un número

𝑥3

4

La raíz cuadrada de la suma del cubo de dos números

√𝑝3 + 𝑤3 La raíz cuadrada del cubo de la suma de dos números

√(𝑝 + 𝑤)3

Las dos terceras partes del producto de dos números

2

3𝑚𝑛 El producto de las dos

terceras partes de dos números

(2

3𝑚) (

2

3𝑛)

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