manual conjunto-leyes-circuito 2do informatica

Dedicatoria

Dedico este trabajo a todas

aquellas personas que me

apoyaron, y en especial

a mi madre, guía de mi vida.

Luis Morales P.

1

OBJETIVOS

Objetivos Generales

Dar a comprender la importancia de la lógica matemática como instrumento básico para la formación, organización y sistematización de las diversas disciplinas científicas.

Comprender la relación entre los conjuntos y la lógica.

Objetivos Específicos

Ayudar al estudiante a aprender a razonar y formalizar correctamente.

Dar una formación global acerca de los procedimientos formales y algorítmicos de razonamiento automático y resolución formal de problemas.

Manipular en forma algebraica expresiones lógicas que permitan su aplicación tecnológica.

Introducir la utilización de lenguaje corto y preciso partiendo de las proposiciones las mismas que se analizan en su forma lógica.

Utilizar las proposiciones en la construcción de circuitos lógicos.

2

S I M B O L O S

Conjunto

Conjunto vació

U Conjunto universal

Pertenece A o es un elemento DE

No Pertenece A

Incluido

Incluye

No incluye

Unión

Intersección

Para todo

Existe por lo menos uno

y

o

, : Tales que

Igual

Desigual

Mayor que

Menor que

Menor o igual que

Mayor o igual que

Implica

, , , Negación

Condicional

Bicondicional

INTRODUCCION A LA TEORIA DE CONJUNTOS

Los conjuntos están relacionados con el proceso de contar y por tanto permiten resolver preguntas que implican la noción de cantidad. Los conceptos geométricos y aritméticos

3

pueden ser formulados de una manera clara y concisa en términos de conjuntos: desde que se introdujo formalmente la teoría de conjuntos, se facilito el desarrollo de diversas ramas de la matemática como la geometría, la aritmética, el análisis y la topología.

1.0 Información Preliminar

El estudiante debe conocer:

El conjunto de números naturales (N).

N = 1,2,3,4,5,6,7,8, ……

Interpretación, lectura y ubicación de intervalos sobre la semirrecta numérica.

0 X 8 se lee ”equis esta entre 0 y 8” (incluye extremos)

1.1 Noción de conjunto

Sabemos que la palabra conjunto implica la idea de una colección de objetos que se caracterizan en algo común.

En matemática tiene el mismo significado, sólo que a estos objetos se les llama elementos o miembros del conjunto.

La noción simple de una colección o conjunto de objetos es fundamental en la estructura básica de las matemáticas y fue Georg Cantor, en los años 1870 quien primero llamó la atención de los matemáticos a este respecto.

No puede darse una definición satisfactoria de un conjunto en términos de conceptos simples, por lo tanto la palabra "CONJUNTO" debe aceptarse lógicamente como un término no definido.

Un conjunto es una reunión de objetos, llamados elementos del conjunto o miembros del conjunto.

Ejemplos:

1. El conjunto de las principales ciudades del Ecuador esta formado por: Quito, Guayaquil,

Cuenca, Ambato, Esmeraldas, Riobamba, Manta, Portoviejo ….etc

2. El conjunto de las vocales esta formador por: a, e, i, o , u

3. El conjunto de los números naturales esta formado por: 1, 2, 3, 4, …etc

Ejercicio 1.1

Nombrar los elementos de los siguientes conjuntos:

1. El conjunto de las provincias del Ecuador2. El conjunto de las provincias de la Sierra del Ecuador

3. El conjunto de las provincias de la Costa del Ecuador

4. El conjunto de los días de la semana

5. El conjunto de los meses del año

4

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/cantor.htm

Escriba los elementos de cada uno de los siguientes conjuntos:

1. Los números naturales menores a 102. Los números naturales impares menores a 25

3. Los números naturales divisibles para 3 menores a 27

4. Los dígitos del sistema numérico decimal

5. El numero que multiplicado por si mismo es igual a 364

1.2 Notación

Normalmente se denotan a los conjuntos con las letras mayúsculas A, B, C, …M, N, O … X, Y, Z, y los elementos del conjunto con las letras minúsculas a, b, c … m, n, o … x, y, z, números o símbolos encerrados entre llaves y separados por comas.

Ejemplos:

1. El conjunto de los números naturales impares menores a 13

A = 1, 3, 5, 7, 9, 11

2. El conjunto de las capitales de Ecuador, Colombia y Venezuela se representa así:

C = Quito, Bogota, Caracas

3. El conjunto de los números naturales se representa así:

N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 …

Ejercicio 1.2

Describir los siguientes conjuntos:

1) Las vocales2) Los planetas del sistema solar

3) Los números pares divisibles para 2

4) El conjunto de los números pares menores a 10

1.3 Representación grafica de conjuntos

1.3.1 Diagramas de Venn

Para tener una idea más clara del conjunto se utilizan los llamados diagramas de Venn, que son superficies planas poligonales limitadas por líneas curvas o líneas rectas cerradas.

Ejemplos:

A B C

5

Los diagramas son empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica, desprovista de validez lógica.

1.4 Relación de pertenencia

Cuando un conjunto se encuentra definido se establece la relacion de pertenencia con los elementos que lo constituyen.

Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se utiliza el símbolo de igual forma cuando un elemento no pertenece a un conjunto se utiliza el símbolo .

Ejemplo:

Observe el siguiente diagrama y compruebe las relaciones de pertenencia.

Relaciones:

1 D 5 D q D o V 38 D

y D z D w V

Ejercicio 1.3

Observa el diagrama anterior y contesta verdadero (V) o falso (F) según corresponda

1) 1 D 2) q D 3) D 4) 216 U

5) 4 v 6) 15 U 7) U 8) 251/2 U

9) 2-1 D 10) 38 U 11) U 12) ex U

6

13) ex D 14) D 15) 216 V 16) ex U

1.5 Determinación de conjuntos

Un conjunto puede ser expresado por dos formas.

1.5.1 Por extensión ó Forma Tabular

Se dice que un conjunto es determinado por extensión (o enumeración), cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.

A = { a, e, i, o, u }

B = { 0, 2, 4, 6, 8 }

C = { c, o, n, j, u, t, s } En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento.

1.5.2 Por Comprensión ó Forma Constructiva

Se dice que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se da una propiedad que la cumpla en todos los elementos del conjunto y sólo a ellos, es decir se expresa a través de una proposición abierta por lo cual el conjunto es la proposición verdadera, esta proposición es simbólica por usa signos que facilitan su comprensión.

A = { x/x es una vocal } Se lee “x tal que x es una vocal”

B = { x/x es un número par 10 } Se lee “ x tal que x es num. Par menor a 10

C = { x/x letra de la palabra conjuntos } “x tal que x es 1 letra de la palabra conjunto”

Vamos a mostrarte un cuadro comparativo de determinación de conjuntos

A = { a, e, i, o, u } A = { x/x es una vocal }B = { 0, 2, 4, 6, 8 } B = { x/x es un número par menor que 10 }C = { c, o, n, j, u, t, s } C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }D = { 1, 3, 5, 7, 9 } D = { x/x es un número impar menor que 10 }E = { b, c, d, f, g, h, j, . . . } E = { x/x es una consonante }

Ejercicio 1.5

Enumere los elementos de los siguientes conjuntos:

1) A = x/x = n + 1, n N 10 6) F = x/x = 2.n, n = 0

7

2) B = x/x = n - 2, n N 20 7) G = x/x = 3.n, n = 2

3) C = x/x = 2.n, n N 3 8) H = x/x, 2 X 10

4) D = x/x = n + 3, n impares 3 9) I = x/x, 0 X 11

5) E = x/x = n + 5, n impares 11 10 J = x/x, 2 X 10

Expresar por comprensión los siguientes conjuntos:

1) A = 2, 4, 6, 8, 10, 12,….. 6) F = I, II, III, IV, V, VI,….

2) B = 1, 3, 5, 7, 9, 11,…… 7) G = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…

3) C = 11200, 14500, 17400, … 8) H = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,..

4) D = El sol 9) I = Dividendo,divisor,cociente,residuo

5) E = El m3

1.6 CLASES o TIPOS DE CONJUNTOSTodo conjunto tiene un determinado número de elementos, propiedad que permite su clasificación.

1.6.1 CONJUNTOS FINITOS

Es aquel tipo de conjunto en donde se puede enumerar todos sus elementos

A = { x / x las letras del alfabeto } Conjunto finito

M = { x / x es un río de la tierra } Conjunto finito

B = { x / x Nombres de todos los compañeros de clases } Conjunto finito

P = { x / x es un país de la tierra } Conjunto finito

1.6.1 CONJUNTOS INFINITOS

Es aquel conjunto que posee un infinito número de elementos.

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } Conjunto infinito

C = { x / x los planetas del universo} Conjunto infinito

V = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... } Conjunto infinito

D = { x / x es un numero natural } Conjunto infinito

1.6.2 CONJUNTO VACÍO

Es un conjunto que carece de elementos. Se suele llamarle conjunto nulo, y se le denota por el símbolo ø o { }.

8

A = { Los perros que vuelan } A = { } A = ØC = { x / x3 = 8 y x es impar } C = { } C = ØD = { x / x es un día de 90 horas } D = { } D = Ø

1.6.3 CONJUNTO UNITARIO

Es todo conjunto que está formado por un sólo y único elemento.

B = {números pares entre 6 y 10} = { 8 }

C = {la capital del Perú } = { Lima }

D = {x / 2x = 6} = {3}

1.6.4 CONJUNTO UNIVERSAL

Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso. Es un término relativo. Se le denota por la letra U.

Sean los conjuntos:

A = { aves } B = { peces } C = { conejos } D = { monos }

Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D. Es U = { animales }

Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.

Sean los conjuntos:

E = { mujeres } F = { hombres }

Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos E y F. Es U = { seres humanos }

Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.

9

1.6.5 CONJUNTOS DISJUNTOS

Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son disjuntos.

Conjuntos disjuntos Conjuntos no disjuntos A = { 2, 4, 6 } M = { o, p, q, r, s }B = { 1, 3, 5 } N = { s, t, v, u }A y B son disjuntos. M y N no son disjuntos. C = { x/x es una letra del alfabeto } P = { x/x es una letra de la palabra aritmética }D = { x/x es un número } Q = { x/x es una letra de la palabra algebra }C y D son disjuntos P y Q no son disjuntos

1.7 OPERACIÓN ENTRE CONJUNTOS

1.7.1 Igualdad de Conjuntos

Se dice que 2 conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. La igualdad se denota A = B o B = A.

En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa.

A = {1, 2, 3, 4} C = {1, 2, 3, 3, 4, 1} E = {vocal de la palabra mundo}

B = {3, 4, 1, 2} D = {1, 2, 2, 3, 4, 4,} F = {u, o}

A = B

C = D

E = F

1.7.2 Unión de Conjuntos

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:

A U B = {x/x, x A x B}

En forma gráfica vamos a mostrar tres casos diferentes:

10

Cuando no tienen Cuando tienen algunos Cuando todos los elementos de unelementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto

1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:

a) A U C b) B U C c) A U B

a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 }

A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 8 }

Representación gráfica de la unión de conjuntos A y C

b) B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }

B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }

Representación gráfica de la unión de conjuntos B y C

c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 0, 2, 4 }

A U B = { , 1, , 3, , 5 }

11

Representación gráfica de la unión de conjuntos A y B

1.7.3 Intersección de Conjunto

Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes

a A y B. Se denota por A B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también

se puede definir:

A B = { x/x, x A x B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:

Vamos a mostrar tres casos diferentes

Cuando tienen elementos comunes

Cuando no tienen elementos comunes

Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen a otro conjunto

1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:

a) A C b) B C c) A Ba) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 }

A C = { , }

Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y C

b) B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }

B C = { }

12

Representación gráfica de la intersección de conjuntos B y Cc) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 3, 5, 7 }

A B = { , }

Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y B

1.7.4 Diferencia de Conjuntos

Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B.

La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como:

A - B = {x/x, x A y x B}

Mediante un diagrama de Venn - Euler:

Vamos a mostrar tres casos diferentes

Cuando no tienen Cuando tienen Cuando todos los elementos de un

elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto

1. Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g }, efectuar y construir los diagramas respectivos:

a) A - C b) B - C c) A - B

a) A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g }

13

A - C = { a, b, c, e }

Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y Cb) B = { a, e } y C = { d, f, g }

B - C = { a, e }

Representación gráfica de la diferencia de conjuntos B y C

c) A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e }

A – B = { b, c, d }

Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y B

1.7.4 Diferencia Simétrica de Conjuntos

El conjunto de la diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B, esta formado por los elementos que resultan de la operación: ( A – B ) ( B – A ) la diferencia simétrica de dos conjuntos se denota: ( A B ).

Simbólicamente: A B = x/x, x ( A – B ) x ( B – A )

1. Dados los conjuntos: A = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 }, B = { 2, 3, 5, 7, 11}, determina A B, y comprueba que A B = (A B) – (A B):

A = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 } B = { 2, 3, 5, 7, 11}

A – B = { 1, 9 } B – A = { 2 }

( A B ) = ( A – B ) ( B – A ) = { 1, 9, 2 }

Para la comprobacion:

A B = (A B) – (A B)

A B = { 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11 } - { 3, 5, 7, 11}

A B = { 1, 2, 9 }

14

Gráficamente:

Ejercicios 1.8

1) Cuáles son los elementos de: a) El conjunto de los días de la semana b) El conjunto de las estaciones del año c) Los números impares menores de 11 d) Los números pares mayor que 10 y menor que 20 e) Los números primos menores de 15

2)

Colocar V ó F según lo afirmado sean verdadero o falso

a) 6 { 2, 4, 5, 6, 9 } ( ) b) y { o, p, q, x } ( )

c) x { o, p, q, y } ( )

d) Perú { países de Europa } ( )

e) Amazonas { ríos de América } ( )

3) ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos?

a) A = { x / x es día de la semana} . . . . . b) B = { vocales de la palabra vals} . . . . . c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .} . . . . . d) D = { x / x es un habitante de la luna} . . . . . e) E = { x N / x < 15} . . . . . f) F = { x N y 5 < x < 5 } . . . . . g) G = { x N y x > 15} . . . . . h) H = { x N y x = x} . . . . . i) I = { x / x es presidente del Océano Pacífico} . . . . . j) J = { x / x es número de cabellos total de los habitantes del Perú } . . . . .

4) Dados los conjuntos A y B, realiza las operaciones que se indican:

A = x/x, x números naturales 12 B = x/x, x 5 X 10

4.1) A – B y B – A 4.2) (A – B) (B – A) 4.3) (A – B) – (A B)

15

4.4) A B y B A 4.5) (B – A) (A – B) 4.6) (A B) – (A – B)

5) Si A = a, e, i, o, u B = a, m, o, r. Determina los conjuntos:

5.1) (A B) – (A B) 5.2) (A B) (B A) 5.3) (A B)

6) Resuelve los siguientes problemas:

6.1) Dados los conjuntos: A B = 2, 3, A – B = 0, 1, 4, B – A = 5, 6, 7

Hallar los conjuntos: A, B y A B.

6.2) Dados los conjuntos; A = 0, 1, 2, 3, 4, B C = 3, 5, B – C = 5, 6, 7

C – B = 4, 8, 9. Determinar los conjuntos :

B, C, (B C), (A C), (A B C), (A C), A (B C)

Dibujar el diagrama de Venn- Euler respectivo.

6.3) Dados los conjuntos: A B = 0, 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, A B = 4, 5. Determinar

(A B) Dibujar el diagrama de Venn

6.4) Dados los conjuntos: A B = 2 , A – B = 0, 1, B – A = 3, 4. Determinar

A, B, (A B) Dibujar el diagrama de Venn- Euler respectivo.

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2. LÓGICA MATEMÁTICA

2.0 Introducción

La lógica es la ciencia de las formas del pensamiento (conceptos, juicios y raciocinios), de su estructura y de las leyes del conocimiento inferido, las cuales permiten obtener conclusiones a partir de proposiciones admitidas como verdaderas, llamadas premisas. La inferencia lógica es el estudio de la validez de los razonamientos, no el de la validez de las proposiciones. Se denomina lógica formal porque se ocupa de las formas o estructuras que adopta el raciocinio más no del contenido de verdad de las proposiciones particulares de que se trate.

En otras palabras la lógica es la ciencia que enseña a razonar con exactitud, reconocida como una herramienta útil en la aplicación de los principios de algunas ciencias.

La lógica como ciencia adquiere para el informático una connotación especial que le permite el diseñar, construir y utilizar computadora, los dispositivos de automatismo, de la robótica y la inteligencia artificial, y para el estudiante de la especialidad

2.1 Lógica

Es la ciencia que estudia los procesos del razonamiento mediante el análisis del lenguaje.

2.2 Lógica Matemática:

Estudia los procesos del razonamiento (su validez o falsedad) usando métodos matemáticos.

2.3 Enunciado (Oraciones)

Se llama así a toda frase u oración. En algunos casos pueden ser verdaderas o falsas; pero

en otros casos pueden ser exclamaciones, interrogaciones o mandatos.

Ejemplos:

1) ¿ Cómo se llama aquel joven? 2) Así es la vida que le vamos a hacer. 3) 2 + 4 = 8 4) Todos los perros son carnívoros 5) Buenos días

2.4 Proposición lógica

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Es toda expresión gramatical o matemática que tiene sentido completo y valor de verdad. Se

dice que una proposición simple tiene valor de verdad cuando se puede afirmar con

seguridad si es verdadera o falsa. Como ejemplos de proposiciones pueden servir las

siguientes afirmaciones:

1. Quito es la capital del Ecuador. Verdadero (V)

2. El número 5 es par y el número 8 es impar. Falso (F)

3. El gallo es un mamífero. Falso (F)

4. 10 > 4. Verdadero (V)

5. Marte es un planeta Verdadero (V)

6. 4 + 9 = 2 + 3 Verdadero (V)

Como sabemos las afirmaciones 1 y 4 son ciertas, mientras que la 2 y 3 son falsas.

Nótese que no toda oración que tiene sentido es una proposición, por ejemplo las oraciones

“no es fácil ingresar a la universidad”, “x > 0”, “Han tocado el timbre” no son proposiciones

ya que no se pueden juzgar sobre su certeza o falsedad.

2.5 Notación

A las proposiciones las notaremos mediante las letras p, q, r, etc., mayúsculas o

minúsculas. Para indicar si una proposición es verdadera o falsa emplearemos los

símbolos V o F, respectivamente.

Ejemplo:

A la proposición “7 es número impar” podemos llamarla p; y escribiremos: p: “7 es número

impar”; lo cual leeremos p es la proposición “7 es número impar”

p: Todo triangulo es un polígono (V)

q: Todo cuadrilátero es un rectángulo (F)

r: Las líneas perpendiculares no tienen puntos comunes (F)

Ejercicio 2.1

1. Determina si las siguientes expresiones son oraciones o proposiciones y obtenga el

valor de verdad.

1. Maria es bonita ____________ ____

2. Simón Bolívar nació en Venezuela ____________ ____

3. La unidad monetaria de Ecuador es el dólar ____________ ____

4. 38 = 2 ____________ ____

2.6 Valor de Verdad

18

Se llama valor de verdad de una proposición a la verdad o falsedad de su contenido.

Ejemplos:

p: 2 + 2 = 4 V

q: París es la capital de España F

r: Lima está en Argentina F

s: Todos los triángulos son cuadriláteros F

2.7 Clases de proposiciones:

Las proposiciones pueden ser: Simples o Compuestas

2.7.1 Proposición Simple ( o atómica )

Son aquellas formadas por un solo enunciado es decir presentan un solo sujeto (y también

un solo predicado), no presentan por ello conectivo lógico alguno.

Ejemplos:

a) 4 = 5 F

b) Homero fue un historiador griego V

d) Todos los triángulos son rectángulos F

e) El sol es una estrella luminosa V

2.7.2 Proposición Compuesta (o molecular )

Son aquellos enunciados formados por dos o más proposiciones atómicas, se les llama

también compuestas, por ello usa conectivos lógicos.

Ejemplos:

a) Si 3 es un número primo entonces 9 es también número primo

b) Si Pedro llega temprano, entonces dará un buen examen

c) 7 es un número impar, luego no es múltiplo de 2

d) Hace frío y está lloviendo

Ejercicios 2.2

Entre las siguientes afirmaciones halle las que son proposiciones e indique cuáles son

verdaderas o falsas.

a) Simón Bolívar nación en Ecuador ___________ ____

b) La tierra es satélite de la luna ___________ ____

c) 2 + ___________ ____

d) 3 x 5 +4 = 19 ___________ ____

e) 6 2 + 4 ___________ ____

19

f) Hay un número natural que es negativo ___________ ____

g) Existen diversas razas de perro ___________ ____

h) Se fueron de viaje ___________ ____

i) ¿Qué es la inflación? ___________ ____

j) La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º ___________ ____

2.8 Conectivos Lógicos

Son símbolos que permiten unir proposiciones simples; siendo las más usadas

2.8.1 La Conjunción

Es aquella proposición compuesta que se forma al unir dos proposiciones simples, mediante

el conectivo lógico “y”.

Simbólicamente la conjunción se expresa: p q, Se lee: “y” , “pero” , “sin embargo” ,

“además” , “aunque” , “más aún” , “ a la vez”.

2.8.1.1 Valor de verdad de la conjunción

La conjunción es verdadera cuando las proposiciones simples que la forman son

verdaderas, todas las otras combinaciones son falsas.

p q p qV V VV F FF V FF F F

2.8.2 La Disyunción

Es aquella proposición compuesta que se forma al unir dos proposiciones simples, mediante

el conectivo lógico “o”.

Simbólicamente la conjunción se expresa: p q, Se lee: “0”

2.8.2.1 Valor de verdad de la disyunción

La disyunción es verdadera cuando al menos una de sus proposiciones simples es

verdadera.

p q p qV V VV F VF V VF F F

2.8.3 La Condicional

20

La condicional se forma con dos proposiciones simples, unidas mediante las conjunciones

“si” antes de uno de los enunciados, y “entonces” antes del otro enunciado.

Logicamente significa que el antecedente IMPLICA logicamente al consecuente.

Simbólicamente la conjunción se expresa: p q, Se lee: “entonces” , “es necesario” ,

“implica” , “porque” , “puesto que” , “ya que” , “cuando”.

2.8.3.1 Valor de verdad de la condicional

Cuando el antecedente o hipótesis e verdadero y el consecuente o tesis es falso, la

condicional es falsa, todos los demás casos son verdaderos.

p q p qV V VV F FF V VF F V

2.8.4 Bicondicional

La bicondicional se forma con dos proposiciones simples unidas mediante el conectivo

lógico “si y, solo si”.

Simbólicamente la conjunción se expresa: p q, Se lee: “Si y solo sí”, “Si solamente sí”,

“es equivalente a”.

2.8.4.1 Valor de verdad de la condicional

La bicondicional es verdadera cuando las dos proposiciones que la forman son equivalentes,

es decir tener igual valor de verdad.

p q p qV V VV F FF V FF F V

2.8.5 Tabla Simbólica de los Conectivos Logicos.

Conectiva Símbolos asociados

Negación (No) ~, ¬ , -

Conjunción (Y) , &,

Disyunción (O) , , + Condicional (Si ... entonces)

21

Bicondicional (Si y solo si) , =

2.9 Negación de Proposiciones

Cuando negamos algo, generalmente acoplamos al predicado la partícula “no” o la

omitimos, si ya estaba presente. Por ejemplo, si queremos negar las proposiciones “2 es un

número par” o “no llueve”, decimos “2 no es un número par” y “llueve”, respectivamente.

Es decir este operador nos permite cambiar el sentido de la proposición y se representa con

, , , . A continuación se dan algunas proposiciones (y su valor de verdad) y sus

respectivas negaciones.

Guayaquil es un puerto (V) Guayaquil no es un puerto (F)

4 > 6 (F) 4 6 (V)

2 + 3 = 5 (V) 2 + 3 5 (F)

El número 8 es primo (F) El número 8 no es primo (V)

Eduardo es alto Eduardo no es alto o Eduardo es bajo

No, no hace frío No hace frío; hace calor

NOTA:

Al negar dos veces una proposición, la afirmamos y si quiero negar una

Conjunción ( p q ) “Es falso que” oBicondicional: ( p q ) “No es verdad que”

Ejemplo: ''El agua esta fría y el calentador está descompuesto'', se representa por

P Q. donde:

P: El agua esta fría.

Q: El calentador esta descompuesto.

Ejemplo: ''Si Luis es ingeniero, entonces Luis es inteligente'', se representa por

P Q. donde:

P: Luis es ingeniero.

Q: Luis es inteligente.

2.10 Jerarquía de conectivas

22

Como se estableció anteriormente, para determinar el valor de verdad de una proposición

compuesta, es necesario conocer cuales son las reglas que se aplican para determinar si la

proposición completa es cierta o falsa; asimismo, al tener fórmulas con dos o más

conectivas, se deben conocer las reglas de precedencia y asociatividad de las conectivas

para asegurar que la evaluación es correcta. Aún cuando existen algunas diferencias en la

determinación de una jerarquía de conectivas, en este texto se utilizará el siguiente orden:

¬ , , , ,

donde ¬ (negación) es el operador con mayor jerarquía en la secuencia y (bicondicional)

es el operador con el menor peso.

Ejercicios 2.3

a) Indicar cuál de las siguientes expresiones son proposiciones.

a.1. ¿Quién eres?a.2. El número 3 es para.3. La suma de dos números impares es un número para.4. Un triángulo equilátero es isóscelesa.5. El producto de dos números negativos es positivoa.6. x + 1 = 4

Respuestas: 2, 3, 4, 5 son proposiciones

b) Niegue las siguientes proposiciones y establezca su valor de verdad

b.1. El área de un rectángulo es base por altura F ____b.2. 7 no es menor que tres F ____b.3. El cociente de dos números negativos es negativos V ____b.4. El opuesto de un número es siempre negativo F ____b.5. Cero es un número par F ____b.6. 5 – 3 3 + 2 F- ____

c) Expresar en forma verbal las siguientes proposiciones para las cuales:

c.1 p: Hace frío y q: Está lloviendo

a) p b) p q c) p q d) q p e) p q

f) q p g) p q h) p q i) q j) (p q) p

Respuesta: p: Hace frío y q: Está lloviendo

a) No hace frío

b) Hace frío y está lloviendo

c) Hace frío o está lloviendo

d) Está lloviendo si solo sí hace frío

23

e) Hace frío entonces no está lloviendo

f) Está lloviendo o no hace frío

g) No hace frío y no está lloviendo

h) Hace frío si solamente si no está lloviendo

i) Está lloviendo

j) Es verdad que hace frío y no está lloviendo entonces hace frío

c.2 p: El estudia y q: El inteligente.

a) p q b) p q c) p q d) p q e) p (p q)

f) q (q p) g) (q p) q h) q i) (p q)(q q)

Respuesta: p: El estudia y q: El es inteligente

a) El estudia entonces, el es inteligente

b) El no estudia y no es inteligente

c) El estudia o no es inteligente

d) El no estudia si solo si el es inteligente

e) El estudia si solo sí, no es verdad que el estudia entonces el es inteligente

f) El no es inteligente, entonces, es verdad que, el es inteligente, entonces el no estudia

g) No es verdad que, el es inteligente o no estudia, si solo sí no es inteligente

h) El es inteligente

i) No es verdad que, el no estudia, entonces el es inteligente, o

es verdad que, el es inteligente, entonces, el no es inteligente

d) Escribir las siguientes proposiciones en forma simbólica para las cuales:

d) Expresar en forma simbólica las siguientes proposiciones para las cuales:

p: “Ella es alta” y q: “Ella es atractiva”

a) Ella es alta y atractiva p q b) Ella es alta pero no es atractiva p q c) Es falso que ella sea pequeña o atractiva ( p q ) d) Ella no es alta ni atractiva p q e) No es verdad que ella sea baja o que no es atractiva ( p q )

p: El estudia y q: El es inteligente

24

a) Es verdad que para no ser inteligente no es necesario que estudie, entonces él es inteligente ( q p ) q b) Ser inteligente implica que el estudia q p c) El es inteligente siempre y cuando estudie q q d) El no estudia , pero es inteligente p q e) No, no estudia sí sólo si es falso que el no es inteligente p ( q p )

p: “El es rico y q: “El es feliz”

a) Ser pobre es ser infeliz p q b) El no puede ser rico y feliz ( p q ) c) Si el no es pobre, entonces es feliz p q d) Ser rico es lo mismo que ser feliz p q e) Si el no es pobre y feliz, entonces es rico p q p

e) Determinar el valor de verdad de cada una de las proposiciones compuestas

a) Si entonces es falso que o

p (q r) F (V F) F (V) F F ~F F V F V

b) Si 3 + 2 = 7, entonces 4 + 4 = 8 p q p q F V ~F V V V V

c) Si = 5 o es verdad que 5 entonces 1 + 1 2 p p q p ( p q) F ( V F ) F ( ~V F ) F ( F F ) F ( F ) F F F

d) Es falso que 3+2=5 si solo 1+30 y es falso que 1+3=0 o que 3+20 p q q p

( p q ) ( q p ) ( V V ) ( F V ) [( V V ) ( V V )] ( F V ) [( ~V V ) ( ~V V )] ( F V ) [( F V ) ( F V )] ( F V )

25

[( V ) ( V )] ( F V ) ( V ) ~ ( V ) F F F

e) No es verdad que 2+2=5 si, y solo si, 4+4=10 p q

( p q ) ( F F ) [( F F ) ( F F )] [( ~F F ) ( ~F F )] [( V F ) ( V F )] [( V ) ( V )] ( V ) F

f) Si 3>0 o es verdad que 0>5 entonces 0<3 p q r

p ( q r ) V ( F V ) V ( V ) V F V

g) París está en Inglaterra o Londres está en Francia p q p q F F F

h) No, no 1+1=3 si solo si es falso que 2+1 =3 y 1+1 3 p q q

p ( q p ) P ( q p ) F ( V V ) F ( V ) F F V

i) Es verdad que entonces 23=8; si solo si es falso que o 2 p q r p

( p q ) ( r p ) ( V V ) ( V F ) V ( V ) V F [( V F ) ( F V )] [( ~V F ) ( ~F V )] [( F F ) ( V V )] F

26

j) Si 2+2=4 entonces no es verdad que 2+1=3 y 5+5=10 p q r

p ( q r ) r ( V V ) V ( V ) V F ~V F F F F k) Si 2+2=4, entonces no es verdad que 3+3=7 si y solo si 1+1 =2 p q r

p ( q r ) V ( F V ) V ( F ) V V V

l) No es verdad que 1 +1 = 3 o que 2 + 1 = 3 p q

( p q ) ( F V ) ( V ) F

m) Es falso que París está en Inglaterra, entonces Londres está en Francia p q

( p q ) ( F F ) ( V ) F

f) Determinar el valor de verdad de las proposiciones indicadas; dadas las siguientes condiciones:

a) Hallar el valor de verdad de (p), si:

*q = F; r = F; (p r) = V p r q p r F p F V V F p F F F p F F p V

Si p = V V V = V Si p = F F V = F F = F p = F

* q = V; r = V; ( p r ) = F p ( p r ) ( q r ) = V

27

p F V F = V p ( F ) V F ) V p F ( F ) = V p F = V p V = V

P = V ; P = F F V = V V V = V V = V V = V * q = F; r = V; (r q) = V; p p q ( r q ) = V p V ( V V ) p V ( V ) p V V V V

2.11 Tablas de Verdad

Las tablas de verdad se emplean para encontrar todos los posibles valores de verdad que puede tomar una proposición compuesta. Para ello se dan los siguientes pasos.

1. Se escriben todas las posibles combinaciones de valores de verdad que pueden tomar las proposiciones simples. Si en la proposición participan n proposiciones simples, entonces el numero de combinaciones se obtiene de 2n de valores posibles.

2. Se enumera cada una de las operaciones a efectuarse en orden creciente de complejidad.

3. Se efectúan las operaciones considerando los valores de verdad obtenidos en los pasos anteriores.

4. La columna que queda bajo la proposición compuesta que está siendo analizada contiene los valores de verdad buscado.

Realizar la tabla de verdad de la proposición: p q (p q)

p q p q p q p q (p q) pq(pq)V V F F F V F VV F F V F V F VF V V F F V F VF F V V V F V V

2.12 Clase de formas Proposicionales

De acuerdo al resultado obtenido en el operador principal, tenemos: TAUTOLOGIA, CONTRADICCIONy FALACIA.

28

2.12.1 Tautología

Una proposición se llama tautología cuando la resultante de su tabla de valor de verdad es verdadera

2.12.2 Contradiccion

Forma proposicional siempre falsa para todo valor de verdad que se de a las proposiciones simples o atomicas que la componen.

2.12.3 Falacia o Contingencia

Forma proposicinal que tiene en el operador principal valores de verdad (1) y falso (0).

2.14 Equivalencia

Existe equivalencia lógica entre dos proposiciones cuando todos los valores de sus tablas de verdad son idénticos en número y orden.Ejercicio 2.5

Elaborar las tablas de valores de verdad de las siguientes proposiciones y determinar entre cuales de ellas son tautología, falacia ó equivalencias lógicas.

a)

b) (p r) qc)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k) (p q) (q p)l) (p q) (p q)m)

2.15 Leyes de la Lógica Proposicional

Vamos a examinar las propiedades que tienen las operaciones lógicas antes definidas, para ello consideramos que p, q y r son tres proposiciones cualesquiera. Entonces tenemos lo siguiente.

1. LEY DE IDEMPOTENCIA

P P P P P = P

2. LEY ASOCIATIVA

( P Q ) R P ( Q R ) ( P Q ) R P ( Q R )

29

3. LEY CONMUTATIVA

P Q Q P P Q Q P

4. LEY DISTRIBUTIVA

P ( Q R ) ( P Q ) ( P R ) P ( Q R ) ( P Q ) ( P R )

P (Q R) = (P Q) P R) P (Q R) = (P Q) P R)

5. LEY DE MORGAN

( P Q ) P Q ( P Q ) P Q ( P Q ) ( P Q ) ( P Q)

6. LEY DE IDENTIDAD

P V P P V V P F F P F P

7. LEY DE COMPLEMENTO

P P F P P V ~ (~ P) = P ~ (~ F) = F ~ (~ V) = V

8. LEY DE ABSORCIÓN P ( P Q ) P P ( P Q ) P Q P ( P Q ) P P ( P Q ) P Q 9. LEY DE LA CONDICIONAL O IMPLICACION

P Q P Q P Q ( P Q )

10. LEY DE LA BICONDICIONAL

P Q ( P Q ) ( Q P ) P Q ( P Q ) ( Q P ) P Q ( P Q ) ( P Q )

Simplificar las siguientes proposiciones, utilizando las propiedades de las operaciones lógicas.

a) (P Q) P

p ( p q ) ….Ley conmutativa ( p p ) ( p q ) ….Ley distributiva F ( p q ) ….Ley de complemento p q ….Ley de identidad

b) (p q) ( p q)

30

( p q ) ( p q ) ….Ley de Morgan p ( q q ) ….Ley distributiva p V ….Ley de complemento p ….Ley de identidad

c) (p q) ( p q)

( p q ) ( p q ) ….Ley de Mórgan ( p q ) …. Idempotencia

d) ( p q) (q p) …..Ley de Mórgan ( p q ) ( q p ) …..Condicional ( p q ) ( q p ) …..Ley de Mórgan ( p q ) ( q p ) …..Asociativa y Conmutativa ( p q ) ( q q ) ….Complemento V V V

e) (p q) (q p) (p q) (q p) Condicional / D Morgan (p q) (p q) Conmutativa / Idempotencia (p q)

f) (p q) (q p) (p q) ( q p) D`Morgan (p q) (p q) Conmutativa p (q q) Forma original p F Complemento P Identidad

g) p Condicional p Bicondicional p q (p q) (q p) Condicional Condicional p q (p q) (q p) Asociativa Conmutativa p q (p p) (q q) Complemento p q ( F ) ( F ) Asociativa p q ( F F ) Idempotencia p q F Identidad p F p

h) Condicional Complemento p ( p q) F D`Morgan p ( p q) F Asociativa (p p) q F Complemento V q F Identidad V F F

31

Simplificar los siguientes enunciados.

1. No es verdad que las rosas son rojas implica que las violetas son azules Sea p: Las rosas son rojas; y sea q: Las violetas son azules ( p q) p q las rosas son rojas y las violetas son azules

2. No es verdad que hace frío y está lloviendoSea p: Hace frio ; q: esta lloviendo

( p q) p q No hace frió o no está lloviendo

3. No es verdad que él es bajo o galánSea p: el bajo ; q: el es galan

( p q) p q El no es bajo y no galán

4. No es verdad que hace frío o está lloviendo (p q) p q p q. Así que el enunciado, que se puede denotar por (p q) donde p es Hace frió y q es está lloviendo, se puede escribir Hace frío y no está lloviendo

5. No es verdad que si está lloviendo entonces hace frío ( p q) p q Está lloviendo y No hace frío

6. No es verdad que las rosas son rojas si solo si las violetas son azules ( p q) p q Las rosas son rojas si las violetas no son azules

Miscelánea 1

a) Asignarles valor de verdad a las siguientes proposición:

1) P: Toda cantidad elevada al exponente 0 es igual a 1

2) Q: El m2 es la unidad de medida de longitud

3) R: El cubo es un prisma

4) S: Magnitud es todo aquello que podemos medir

32

5) T: Ningún átomo tiene masa

6) U: Un cuerpo se mueve por la interacción de otros sobre él.

7) V: La densidad es una propiedad mecánica de los cuerpos.

8) W: todo cuerpo metálico conduce electricidad.

9) X: La fusión es el cambio de estado de sólido a líquido.

10) Y: la licuefacción es el cambio de estado de sólido a vapor.

b) Niega las siguientes proporciones simples:

11) P: Los manómetros y barómetros miden la presión.

12) Q: Toda cantidad elevada a un exponente par es negativa.

13) R: Alfred Nobel fue un químico sueco y descubrió la dinamita.

14) S: Todo intervalo es semiabierto por la derecha.

c) Niega las siguientes proporciones:

15) p ^ p 19) p ^ q v r 23) p v q ^ r

16) (p v q) ^ r 20) (p v q) ^ r 24) p v q ^ q

17) p v p ^ r 21) (p v p) ^ q 25) p v q v r

18) p ^ q 22) p v q 26) p ^ q ^ q v r

d) Construye una tabla y determina el valor de verdad para las siguientes proporciones compuestas:

27) (p ^ p) v q 30) p v q r 33) p q r

28) (p v p) ^ q 31) (p v q) ^ r 34) p q v q r

29) ( p ^ p) ^ q 32) (p v q) p 35) p q ^ q r

e) Determine las proporciones compuestas que son tautologías,

36) p p ^ q 39) (p ^ q) (p ^ q) 42) (p ^ q) ^ (p v q)

37) p v p 40) (p v q) v (p v q) 43) (p ^ q) v (p v q)

38) p ^ p 41) (p ^ q) v (p ^ q) 44) p v q p q

f) Demuestre que :

45) p ^ p p v p 48) (p v q) p ^ q 51) p ^ p Falso

46) ( p ^ p) p 49) (p ^ q) p v q 52) p v p Verdadero

47) ( p v p) p 50) (p q) p ^ q 53) (p ^ p) Verdadero

g) Asignarles valor de verdad a las siguientes proposiciones:

33

54) P: Con 4 proposiciones simples se pueden formar 16 combinaciones de valor de verdad.

55) Q: L conjunción de una proposición con su negación es falso.

56) R: La disyunción de una proposición con su negación es verdadera.

57) S: La negación de la negación de una proposición equivale así misma.

58) T: La proposición r es una tautología.

H) Enumera los elementos de los siguientes conjuntos:

59) A = {Los conectivos lógicos}

60) B = {x/x es un múltiplo de 3 < 23}

61) C = {x/x número natural <16}

62) D = {Las operaciones entre conjuntos}

63) E = {x/x = 2n + 3, 0 ≤ n ≤ 10}

i) Dado los conjuntos, demuestra las relaciones que se piden:

64) A = {x/x es un número par < 10} B = {x/x = 2n, 2 ≤ n 3}

Demuestre que: B A

65) A = {x/x es un número impar <15) B = {x/x = n + 1, 0 ≤ n ≤ 6} Demuestre que: B A

66) A = {x/5 < x < 12} B = {x/3 < x < 8} C = {x/2 ≤ x ≤ 15} Demuestre que: A C, B C, B A

67) A = {x/x = 3e,0 ≤ e ≤ 4} B = {x/x = 2n +1, 0 ≤ n ≤1}

Demuestre que: B A

68) A = {x/x = 2n ,0 ≤ n ≤ 3} B = {x/1 ≤ x ≤ 8}

Demuestre que: A B

j) Dado los siguientes conjuntos realiza las operaciones que se indican:

A = {x/x = 2n ,0 ≤ n ≤ 5} B = {x/0 ≤ x ≤ 10} C = {2, 4, 6}

69) ( A U B ) C 72) A B C 75) B – C

70) ( A B ) C 73) A – B 76) C – B

71) ( A C ) B 74) B – A 77) A - C

k) En base a los conjuntos A y B : A = 2, 4, 6, 8, 10 B = 0, 2, 3, 5, 6, 9,11 Demuestra que:

A B = ( A B ) – ( A B )

Sabemos que: A B = ( A – B ) ( B - A )

Entonces buscamos:

34

A – B = 2, 4, 6, 8, 10 B – A = 2, 4, 6, 8, 10

Y, A B = 2, 4, 6, 8, 10 A B = 2, 4, 6, 8, 10

Reemplazamos los valores y obtenemos:

( A – B ) ( B - A ) = ( A B ) – ( A B )

l) En base al siguiente diagrama, determine:

A = { } A B =

B = { } A B =

C = { } B C =

C ( A B ) =

m) Analiza el siguiente diagrama y determine los conjuntos que se indican

Conjunto A = Conjunto B = Conjunto C =

Conjunto A∩C ∩B = Conjunto B ∩ A = Conjunto ( A ∩ B ) U ( A ∩ C ) =

Conjunto A∩B = Conjunto ( A U B ) ∩ ( A U C ) = Conjunto C ∩B =

n) Resuelva los siguientes problemas:

78) Siendo A = 1, 2, 3, 5, 6 C B = 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9

A ( B C ) = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Determinar los conjuntos: A = B = A B = B C = A B C =

79) Siendo A = 0, 3, 4, 6 (A B) C = 4, 6, 8( A C ) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

Determinar los conjuntos:

35

B = C = A B C = A B = A C = A – B =

80) Siendo A (B C) = c, d, g B C = d, e B = c, d, e, f

Determinar los conjuntos:A = B = A B = A C = A B = (A B) (A C) =

81) Siendo (A C) B = 2, 3, 4 A = 1, 2, 4, 6 C B = 3, 4

Determinar los conjuntos:B = C = A B C = A B = B - C = A – C =

Tabla simbolica

Conjuntos Unión Intersección Complemento

A B A B A

Lógica Disyunción Conjunción Negación

P Q P Q P

Algebra Suma Producto InversorBooleana

X + Y X.Y X

Compuertas OR AND NOTLogicas

APLICACIONES:

Una de las aplicaciones más interesantes del Cálculo Proposicional es la de la Teoría de los Circuitos.

Circuitos Lógicos

Debido a que una proposición puede ser evaluada y resultar solo verdadera o falsa, se puede deducir alguna equivalencia con el álgebra booleana, que maneja solamente dos

36

valores (0 y 1). Las propiedades del cálculo proposicional son equivalentes a las del álgebra desarrollada por Boole.

En el álgebra booleana, una proposición es equivalente a una variable, y las conectivas lógicas se utilizan como compuertas lógicas. La figura 1 muestra las compuestas lógicas más representativas de esta álgebra. Los esquemas que resultan de aplicar las compuertas lógicas se conocen como circuitos lógicos.

Figura: Compuertas Lógicas.

Una fórmula del cálculo proposicional se puede representar gráficamente usando compuertas lógicas. Como se observa, para representar fórmulas con condicionales o bicondicionales se debe transformar la fórmula para eliminarlas.

Ejemplo: La representación en circuito lógico de ( ¬ P Q) ( ¬ Q R) es:

Las partes esenciales de cualquier circuito son: el hilo conductor, la fuente de electricidad y un interruptor como se ve en la figura 1 ( a )

Por facilidad; esquematizamos un circuito como el de la figura 1 (b) en donde A es el interruptor y el hilo conductor ST y suponemos que la fuente siempre está funcionando; entonces, si el interruptor A está cerrado, circula la electricidad de S a T y si A está abierto

37

A

oHILO CONDUCTOR

INTERRUPTOR

FUENTE

(a) (b)

Figura: Conductores

S T

diremos que no circula electricidad. Cuando un interruptor está cerrado diremos que su estado es V y si está abierto que está en estado FConsideremos el siguiente circuito:

Donde L es una lámpara que puede estar prendida o apagada; si está prendida diremos que está en estado V y si está apagada en estado F. Ahora consideremos los siguientes casos:

1) Que el interruptor A esté cerrado, y el interruptor B cerrado. Es claro entonces que la electricidad pasa por el hilo conductor ST y la lámpara L entonces se prende. Dicho en otras palabras si A es V y si B es V entonces L es V

2) Que el interruptor A esté cerrado, que B esté abierto. Luego la lámpara L estará apagada.

3) Que el interruptor A esté abierto, que B esté cerrado. Luego la lámpara L estará apagada

4) Que el interruptor A esté abierto, que B esté abierto. Luego la lámpara L estará apagada

Resumiendo los casos tenemos que:

A B L

V V V

A B L

V F F

A B L

F V F

A B L

F F F

A B L V V V V F F F V F F F F

38

S LA TB

. .S A B TL

. .S A B TL

. .SA

B TL

. .SA B

TL

S LA

TB

A este tipo de circuitos, se lo llama circuito en serie; por la analogía con la tabla de verificación de la conjunción, podemos poner L A B; en donde significa la igualdad pero de estados de circuito.

NOTA: para el diseño de circuitos eléctricos se usa la notación:

El “1” en lugar de: “V” indica “Pasa corriente”

El “0” en lugar de: “F” indica “No pasa corriente”

.Cuantificadores

Funciones Proposicionales

Una función proposicional (a una variable) es una expresión P(x), de tal modo que al reemplazar (x) por un elemento determinado, se obtiene una proposición.

Ejemplos

1. P(x) : “x + 1 = 3”, es una función proposicional, pues al reemplazar (x) por un número, por ejemplo x = 4 tenemos P(4): “4 + 1 = 3” ésta se convierte en una proposición; en este caso falsa.

2. Py: “y fue un escritor”; es una función proposicional, pues podemos reemplazar y por “Juan León Mera” y se convierte en proposición.

Una función proposicional a varias variables es una expresión P(x), (y), (z)….(w) de tal modo que al reemplazar x, y, z,……w por elementos, se obtiene una proposición. Así. P(x, y): “x + y = 1” es una función proposicional de dos variables; pues P1,0 es una proposición en este caso verdadera

Cuantificadores

Son símbolos que permiten evaluar una función proposicional. Pudiendo ser de dos tipos: Universal o Existencial.. a) Cuantificador Universal: Utiliza el símbolo “” ; se lee: “Para todo” La función proposicional junto con el cuantificador universal, suele escribirse de la siguiente forma (x) P(x) que se lee “para todo x, P(x)”

b) Cuantificador Existencial:

Se simboliza por “” ; y se lee “Existe” La función proposicional junto con el cuantificador existencial suele escribirse de la siguiente manera (x ) P(x) “existe un x tal que, P(x)”

EJEMPLOS.- Son proposiciones las siguientes: ( x ) (x dice la verdad), ( x ) (x es falso). Está claro que la una proposición es negación de la otra; decimos que la negación de ( x) (Px) es (x)( Px) y la negación de ( x)(Px) es ( x)( Px)

39

NOTA:

La negación del cuantificador Universal equivale al cuantificador Existencial y la negación afecta únicamente a la proposición.

La negación del cuantificador Existencial equivale al cuantificador universal y la negación afecta únicamente a la proposición

Ejemplos:

Negar las siguientes proposiciones:

“Todos los ecuatorianos son optimistas”

xx es optimista xx no es optimista

“Algún gato es negro”

xx es negro xx no es negro “El cuadrado de todo número real es negativo”

xRx2 0 xR x2 0

“Para algún número real x, x2 =16

xR x2 = 16 xRx2 16

Negar los siguientes enunciados:

a) x y c) x:; x2 – 2x + 5 = 0

x y q(x,y)] x; x2 -2x + 5 0

b) y x d) y x z p (x, y, z)

y x [pxqy y x z p (x,y,z)

e) (z) (z2 0) f) ( x )( y )

z (z2 0 ) (x )( y )

g) ( s )( t ) ( s – t = 0 ) h) ( x) ( y ) ( x + y es número par)

(s )( t ) ( s – t 0 ) (x) (y ) ( x + y es número impar)

40

METODO DEL MAPA DE KARNUGH

El mapa de Karnaugh es un método gráfico que se utiliza para simplificar una ecuación lógica para convertir una tabla de verdad a su circuito lógico correspondiente en un proceso simple y ordenado. Aunque un mapa de Karnaugh (que de aquí en adelante se abreviará como mapa K) se puede utilizar para resolver problemas con cualquier número de variables de entrada, su utilidad practica se limita a seis variables. El siguiente análisis se limitara a problemas de hasta cuatro entradas , ya que los problemas con cinco y seis entradas son demasiado complicados y se resuelven mejor con un programa de computadora.

Formato del mapa de Kamaugh El mapa K, al igual que una tabla de verdad, es un medio para demostrar la relaci6n entre las entradas l6gicas y la salida que se busca. La figura +-11 da tres ejemplos de mapas K para dos, tres y cuatro variables, junto con las tablas de verdad correspondientes. Estos ejemplos ilustran varios puntos importantes:

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1. La tabla de verdad da el valor de la salida X para cada combinaci6n de valores de entrada. El mapa K proporciona la misma informaci6n en un formato diferente. Cada caso en la tabla de verdad corresponde a un cuadrado en el mapa. Por ejemplo, en la figura 4-11 (a),

Figura 4-11 Mapas de Karnaugh y tablas de verdad para (a) dos, (b) tres y (c) cuatro variables.

la condicion A = 0, B = 0 en la tabla de verdad corresponde al cuadrado A’ B’ en el mapa K. Ya que la tabla de verdad muestra X = 1 para este caso, se coloca un 1 en el cuadrado A’B’ en el mapa K. En forma similar, la condicion A = 1, B = 1 en la tabla de verdad corresponde al cuadrado AB del mapa K, ya que X = 1 para este caso, se coloca un 1 en el cuadrado AS. Los demás cuadrados se llenan con ceros. Esta misma idea se utiliza en los mapas de tres y cuatro variables que se muestran en la figura. 2. Los cuadrados del mapa K se marcan de modo que los cuadrados horizontalmente adyacentes so1o difieran en una variable. Por ejemplo, el cuadrado superior de la izquierda del mapa de cuatro variables es A’B’C’D’ en tanto que el cuadrado que se encuentra a la derecha es A’B’C’D (solo la variable D es diferente). De la misma manera, los cuadrados verticalmente adyacentes difieren so1o en una variable. Por ejemplo, el cuadrado superior izquierdo es A’B’C’D’ en tanto que el que se encuentra a la derecha es A’BC’D’ (solo la variable B es diferente).Note que cada cuadrado del renglon superior se considera adyacente al correspondiente cuadrado del renglon inferior .Por ejemplo, el cuadrado A’B’CD del renglon superior es adyacente al cuadrado AB’CD del rengl6n inferior porque so1o difieren en la variable A. Haga de cuenta que la parte superior del mapa se dobla hasta tocar la parte inferior. Asimismo, los cuadrados del extremo izquierdo de la columna son adyacentes a los del extremo derecho de la columna.

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3. A fin de que los cuadrados que son adyacentes tanto vertical como horizontalmente difieran en una sola variable, el marcado de arriba hacia abajo debe hacerse en el orden indicado, -A’B’, A’ B, AB, AB’. Lo anterior también es válido para el marcado de izquierda a derecha: 4. Una vez que el mapa K se ha llenado con ceros y unos, la expresi6n de suma de productos para la salida X se puede obtener operando con OR aquellos que contienen un 1. En el mapa con tres variables de la figura 4-11(b), los cuadrados A’B’C’, A’BC', A BC’ y ABC contienen un 1, de modo que X = A’B’C’ + A’B’C + A’BC’ + ABC’. Agrupamiento La expresión de salida X se puede simplificar adecuadamente combinando los cuadros en el mapa K que contengan 1. El proceso para combinar estos unos se denomina agrupamiento.

Agrupamiento de grupos de dos (pares) La figura 4-12(a) es el mapa K de una tabla de verdad con tres variables. Este mapa contiene un par de unos que son verticalmente adyacentes entre si; el primero representa A’BC’ y, el segundo ABC’. Note que en estos dos términos sólo la variable A aparece en forma normal y complementada (B y C’ permanecen sin cambio). Estos dos términos se pueden agrupar (combinar) para dar un resultante que elimine la variable A, ya que ésta aparece en forma normal y complementada. Esto se demuestra fácilmente como sigue:

Este mismo principio es válido para cualquier par de unos vertical u horizontalmente adyacentes. La figura 4-12(b) muestra un ejemplo de dos unos horizontalmente adyacentes. Estos se pueden agrupar y luego eliminar la variable C, ya que aparecen en forma no complementada y complementada para dar una resultante de X = A’ B. Otro ejemplo se da en la figura 4-12{c). En un mapa K los cuadrados de los renglones superior e inferior se consideran adyacentes. Asi, los dos unos en este mapa se pueden repetir para dar una resultante de A’B’C’ + AB’C’ + B’C’.

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La figura 4-12(d) muestra un mapa K que tiene dos pares de unos que se pueden agrupar. Los dos unos en el renglón superior son horizontalmente adyacentes. Los dos unos en el renglón inferior son, asimismo, adyacentes puesto que en un mapa K los cuadrados de las columnas de los extremos izquierdo y derecho se consideran adyacentes. Cuando se agrupa el par superior de unos, la variable D se elimina (ya que aparece como D y D’) para dar el término A’B’C. El agrupamiento del par inferior elimina la variable C para dar el término AB’C’. Estos dos términos se operan con OR a fin de obtener el resultado final para X. Para resumir lo anterior:

El agrupamiento de un par de unos adyacentes en un mapa K elimina la variable que aparece en forma complementada y no complementada.

Agrupamiento de grupos de cuatro (cuádruples) Un mapa K puede contener Un grupo de cuatro unos que sean adyacentes entre sí. Este grupo se denomina cuádruple. La figura 4-13 muestra varios ejemplos de cuádruples. En la parte (a) los cuatro unos son verticalmente adyacentes y en la parte (b) son horizontalmente adyacentes. El mapa K de la figura 4 - 13(c) contiene cuatro unos en un cuadrado y se consideran adyacentes entre sí. Los cuatro unos en la figura 4-13(d) también son adyacentes igual que los de la figura 4 - 13(e) ya que, como mencionamos anteriormente. los renglones superior e inferior y las columnas de los extremos izquierdo y derecho se consideran adyacentes entre sí. Cuando se repite un cuádruple, el término resultante contiene sólo las variables que no cambian de forma para todos los cuadrados del cuádruple. Por ejemplo, en la figura 4 - 13(a) los cuatro cuadrados que contienen un uno son A’B’C, A’BC, ABC y AB’C. El análisis de

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estos términos revela que solamente la variable C permanece sin alterarse (A y B aparecen en forma complementada y no complementada). De este modo, la expresión resultante para X es simplemente X = C. Esto se puede demostrar de la siguiente manera:

Para poner otro ejemplo, consideramos las figura 4 - 13(d), donde los cuatro cuadrados que contienen unos son ABC’D’, A’B’C’D’, ABCD’, y AB’CD’. El análisis de estos términos indica que sólo las variables A y D’ permanecen sin cambios, así que la expresión simplificada para X es X = AD

Esto se puede probar de la misma manera anteriormente utilizada. El lector debe verificar cada uno de los otros casos de la figura 4 –13 para comprobar que sean las expresiones indicadas para X. Para resumir:

El agrupamiento cuádruple de unos elimina las dos variables que aparecenen la forma complementada y no complementada.

Agrupamiento de grupos en ocho (octetos) Un grupo de ocho unos que son adyacentes entre sí se denomina octeto. En la figura 4-14 se dan varios ejemplos de octetos. Cuando

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porque solo una de ellas permanece inalterada. Por ejemplo, el análisis de los ocho cuadrados agrupados en la figura 14 -14(a) muestra que so1o la variable B está en la misma forma para los ocho cuadrados; las otras variables aparecen en forma complementada y no complementada. Así, para este mapa, X = B. El lector puede verificar los resultados de los otros ejemplos en la figura 4 – 14. Para resumir:

El agrupamiento de un octeto de unos elimina las tres variables que aparecen en forma complementada y no complementada.

EJEMPLO 2. COLECTOR AUTOMÁTICO DE PEAJE.

Se han introducido colectores automáticos de peaje en diversas casetas de autopistas para acelerar el flujo de tráfico. Se nos pide construir un circuito lógico combinatorio que sea parte del colector automático. Este circuito es para contar la cantidad de monedas que han sido colocadas en el colector. Si se depositan 15 centavos (únicamente monedas de 5 y 10 Ctvs), entonces se enciende una luz de pasa (color verde) y se envía una señal al colector para recolectar las monedas; de otra manera, la luz de alto (color rojo) permanecerá encendida.

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SOLUCIÓN

Examinando el planteamiento del problema, se observa que hay dos señales de entrada y una señal de salida, las que se definen como:

C = Número de monedas de cinco centavos depositadasD = Número de monedas de diez centavos positadasZ = Comando para la señal luminosa y el control de recolección

Estas variables tomarán los siguientes valores enteros y lógicos:

0 # C # 3 Número de monedas de cinco centavos0 # D # 1 Número de monedas de diez centavosZ = 0 No contiene los 15 centavos (luz roja)Z = 1 Si contiene los 15 centavos (luz verde)

Ahora, se puede codificar la información como sigue:

C = [A, B] ; [0,0] cero ctvos[0,1] cinco ctvos[1,0] diez ctvos[1,1] quince ctvos

D = [C] ; [0] cero ctvos[1] diez ctvos

a) Tabla funcional:

DEC A B C Z

01234567

00001111

00110011

01010101

00010111

b) Función canónica:

Z(A,B,C) = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C = (3,5,6,7)

c) Reduciendo por mapas K:

d) Siguiendo el mismo procedimiento del ejemplo anterior para cada uno de los enlaces del mapa K, se obtiene la siguiente función reducida:

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Z(A,B,C) = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C

e) De la función reducida, obsérvese que ésta se complementó 2 veces y después se aplicó uno de los complementos, de tal manera que cada uno de los términos puede generarse por medio de una compuerta NO-Y. Por tanto, el logigrama queda como:

En un banco, un sistema de alarma contra robo funcionará sólo si se activa el conmutador maestro en la estación de policía. De acuerdo a esta condición, la alarma sonará si la puerta de la bóveda es perturbada en cualquier forma, o si la puerta del banco se abre, a menos que primero se opere un interruptor especial, utilizando la llave del velador. La puerta de la bóveda está equipada con un sensor de vibración que hará que se cierre un interruptor cuando se perturbe dicha puerta, y se montará dicho interruptor sobre la puerta del banco, de tal manera que se cerrará siempre que la puerta del banco se abra.

SOLUCIÓN

Determinación de las variables:

I = Conmutador maestro de la policía activado P = Puerta de bóveda perturbada B = Puerta del banco abierta V = Interruptor general especial operado por el velador A = Alarma sonará

A = I v [P w (B v V)]

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1.) Simplifique, compuerta AB’C + A’BC + A’B’C + A’B’C’ + AB’C’B’C (A + A’) + B’C’(A’ + A) + A’B’CB’C(1+ 0) + B’C’(0 + 1) + A’B’C

B’C + B’C’ + A’B’C B’(C + C’) + A’BCB’(1+ 0) + A’BCB’ + A’BC

1. Encierre en un círculo el literal correspondiente a cada pregunta.

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1. Una proposición es un enunciado que:

a) Es interrogativo o exclamativo. b) No se puede demostrar si es verdadero o falso. c) *Se le puede asignar un valor de verdad (verdadero o falso)

2. La lógica investiga:

a) La relación de consecuencias que se da entre una serie de premisas y la conclusión de un argumento correcto. b) La relación de consecuencia desde la perspectiva psicológica c) Las conclusiones sean verdaderas o falsas. d) *Los procesos del razonamiento mediante el análisis del lenguaje

3. Cuál de los siguientes enunciados es atómico o simple?

a) No es cierto que existe guerra en Ecuador.b) El cuadrado de un número negativo es positivo.c) *Sale el arco iris siempre que llueve.

4. Un circuito cerrado en paralelo se simboliza:

a) ¬P v ¬Q b) P v Q c) *P . Q

5. Cuál de los siguientes literales hace referencia a la ley de complemento

a) P . V = P b) P .¬P = F c) *P v ¬P = V

6. La equivalencia de la proposición es (¬P . Q ) . P :

a) P . Q b) P c) ¬P

7. La equivalencia en teoría de conjuntos para la conectiva de implicación es:

a) Unión b) Inclusión c) Intersección

8. Simbolizar las siguientes proposiciones. Utilice las letras P, Q, R.

En México no hablan español y si cantan entonces son mariachis (p q) rNo es cierto que, si no trabajamos hoy, entonces perderemos las vacaciones y el dinero Pablo canta sin embargo no puede bailar Si no trabajo horas extras entonces no podré comprar un auto Si 9= 15 entonces no se da que 9 es múltiplo de 15.

9. Construir las tablas de verdad, indicar si es tautológica contingente o contradictoria

a) ¬ (p ^ q) . (q v r)

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b) (p . q) v ¬( p .q)

10. Construya el circuito lógico de las siguientes expresiones:

a) (p ^ q) v ((r ^ s) v ¬p ) b) (¬p v q) ^ ((p ^ ¬r) v (r ^ ¬p) )

11. Simplificar las siguientes expresiones, indique las leyes del álgebra que utiliza.

a) ¬ (p v q) . (¬p ^ ¬q)b) ( (p . q) v (p .r) ) ^ (¬ p ^ ¬ r)

12) Para que el candidato llegue a la presidencia es necesario que gane las elecciones en el departamento. El ganará las elecciones en el departamento únicamente si defiende los derechos civiles. El no defenderá los derechos civiles. Por tanto, el candidato no llegará a la presidencia.

13) Indicar dos ejemplos en lenguaje natural, en el que se utilice las conectivas indicadas en el cuadro.

CONECTIVA EJEMPLO

NEGACION - No es cierto que llueve CONJUNCIÓN - María estudia pero Carlos escucha música DISYUNCIÓN --IMPLICACIÓN --BICONDICIONAL --

14. El álgebra de Boole trabaja con los operadores:

a) Suma, resta y productob) Suma, producto y complementaciónc) Suma, resta y división

15. Con las entradas A = 10001110 y B = 11101110, la salida del operador AND es:

a) 01101110 b) 10001110 c) 00010001

16. Cuál de las siguientes expresiones esta en forma normal conjuntiva.

a) x`.y + x.y` b) (x + y).(x`+ y`) c) (x`.y).(x`.y`)

17. Represente la siguiente expresión en el mapa de Karnaugh y encuentre su simplificación utilizando adyacencias. (x`.y`.z).+ (x.y`.z).+ (x`.y`.z`) + (x’.y.z) 18. Utilizando las reglas del algebra de boole, simplifique las expresiones. a) (x.y + x`.y + x`.y`)`b) (x.y`.z`)` (x.y`.z)`

Especialidad Técnico en Informática

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Alumno: Informática

Curso: Segundo Paralelo: Fecha:

1.- Escribir las siguientes proposiciones en forma simbólica para las cuales:



2.- Simplificar las siguientes proposiciones, utilizando las propiedades de las operaciones lógicas.

[ ( p q)] (q p) …..Ley de Mórgan [ ( p q ) ] ( q p ) …..Condicional ( p q ) ( q p ) …..Ley de Mórgan ( p q ) ( q p ) …..Asociativa y Conmutativa ( p q ) ( q q ) ….Complemento V V V

3.- Realizar la tabla de verdad de la proposición: p q (p q)


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p Condicional

p Bicondicional

p q (p q) (q p) Condicional Condicional

p q (p q) (q p) Asociativa Conmutativa

p q (p p) (q q) Complemento

p q ( F ) ( F ) Asociativa

p q ( F F ) Idempotencia

p q F Identidad

p F p




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[ ( p q)] (q p)




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p p




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manual conjunto-leyes-circuito 2do informatica

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