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A.Paniagua-H.Poblete Física 21

Magnetismo Módulo 1

Campo Magnético Los imanes son capaces de atraer pequeños pedazos de hierro. Presentan dos polos uno llamado Norte y otro llamado Sur. Si el imán está ubicada de tal manera que pueda girar se orientará de tal forma que su polo Norte apunte hacia el Norte geográfico. Los polos de distinto nombre se atraen. Los polos de igual nombre se repelen. Por lo tanto el polo norte geográfico es un polo Sur magnético ya que atrae a el polo Norte de un imán. Los polos de un imán son indivisibles.

N S N S SNN S

Si colocamos limaduras de hierro entorno a un imán, éstas se ordenan de una determinada forma, lo mismo sucede alrededor de un alambre por el cual circula una corriente. Por lo tanto un imán y un alambre con corriente presentan en su entorno la misma propiedad de actuar sobre limaduras de hierro. Decimos entonces que entorno a ellos existe algo que llamaremos Inducción Magnética o Campo Magnético y que designaremos por

r B .

Las líneas que forman las limaduras entorno a los imanes y a los alambres con corriente representan a las líneas del campo magnético y se denominan Líneas de Inducción Magnética o Líneas de Campo Magnético. Se les asigna el sentido saliente del polo Norte y entrante al polo Sur. Las líneas de campo magnético tienen las siguientes características: 1) La tangente a una línea de campo en un punto dado, indica la dirección de

r B en ese punto.

2

2) Las líneas de campo se dibujan de tal forma que el número de lineas por unidad de área transversal es proporcional a la magnitud de

r B .

Donde las líneas están más concentradas el campo magnético B es mayor que en aquellas zonas donde están las líneas más separadas. Imán en un Campo Magnético uniforme

Imán en un Campo Magnético no uniforme

Definición del Campo Magnético Se observa experimentalmente que cuando una carga eléctrica tiene una velocidad

r v en la proximidad de un imán o un alambre con corriente, existe

una fuerza sobre ella que depende del valor y dirección de la velocidad. Los experimentos realizados con diversas cargas móviles con varias velocidades en un punto del espacio dan los siguientes resultados correspondientes a la fuerza magnética. 1) La fuerza es proporcional a la carga q . 2) La fuerza es proporcional a

r v .

3) El valor, dirección y sentido de la fuerza depende de la dirección y sentido de la velocidad

r v .

3

4) Si la velocidad de una partícula está dirigida a lo largo de una determinada línea del espacio, la fuerza es cero.

5) Si la velocidad no está dirigida a lo largo de esa línea, existe una fuerza que es perpendicular a la misma y es también perpendicular a la velocidad.

6) Si la velocidad forma un ángulo ! con esta línea, la fuerza es proporcional al sen! .

7) La fuerza sobre una carga negativa es de sentido opuesto, a la ejercida sobre una carga positiva con la misma velocidad.

Podemos resumir estos resultados experimentales definiendo un campo magnético vectorial

r B dirigido a lo largo

de la línea descrita en el punto 4) y escribiendo como valor de la fuerza magnética

r F = q

r v !

r B (1-T)

Unidades

Tesla =Weber

m2=

Nt

amp!m 1 Tesla =10

4

gauss

Representaremos el campo magnético entrante al plano de la hoja por una x y el campo magnético saliente del plano de la hoja por un punto. Dibuje en la fig la fuerza para cada una de las cargas que se encuentran en el campo

r B

Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético Analizaremos las siguientes situaciones: 1) Campo Magnético Uniforme

a) Cuando la partícula penetra perpendicularmente al campo magnético. b) Cuando la partícula no penetra perpendicularmente al campo magnético.

4

2) Campo Magnético No Uniforme Campo Magnético Uniforme

a)

!

r v es perpendicular a

!

r B

En este caso estudiaremos el movimiento de un electrón en un campo magnético uniforme. Ya que la fuerza magnética es perpendicular a la velocidad, el movimiento que experimenta el electrón es un movimiento circular uniforme. Tenemos entonces en este caso que la fuerza centrípeta es producida por el campo magnético.

Recordemos que :

FC=m v

2

r (2-T)

FC Fuerza Centrípeta.

Fm = q v B sen! (3-T) Fm

Fuerza Magnética. m = masa del electrón q= carga del electrón. Ya que F

C=F

m y ! = 90° tenemos entonces a partir de las ecuaciones (2-T) y

(3-T) que

v =q B r

m (4-T) r =

v m

q B (5-T)

De estas expresiones vemos que la velocidad de la partícula y el radio de la trayectoria que describe son proporcionales, por lo tanto las partículas que posean mayor velocidad girarán en trayectorias circulares de mayor radio. Encontraremos ahora el período T de dicho movimiento ¿pero recuerdan qué es período?

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Período es el tiempo que demora una partícula en dar una vuelta completa. Frecuencia es el número de vueltas en una unidad de tiempo y corresponde al inverso del período. Tenemos que la velocidad angular ! está dada por:

! ="

t=2#

T y considerando que ! =

v

r

Tenemos que el período T está dado por la siguiente expresión;

!

T =2"r

v

reemplazando v de la expresión (4-T) tenemos finalmente para el período:

T =2! m

q B (6-T)

De esta expresión vemos que el período no depende del radio de la trayectoria que sigue la partícula en el campo magnético. ¿Cómo es posible qué suceda esto? Recordemos que la velocidad de la partícula es proporcional al radio, por lo tanto las partículas que giran en un radio mayor poseen mayor velocidad y por esta razón es que es posible que dos partículas iguales que giran en dos trayectorias de distinto radio demoren el mismo tiempo en dar una vuelta. En este principio se basa el Ciclotrón que es un acelerador de partículas. Estas partículas aceleradas se utilizan poste-riormente para bombardear núcleos y estudiarles su estructura.

b)

r v no es perpendicular a

!

r B

Tenemos que en este caso

r v forma un ángulo ! con

el campo magnético r B

Consideraremos en nuestro análisis que la partícula es positiva.

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Para analizar el movimiento de la partícula descomponemos la velocidad en dos componentes una paralela al campo magnético y la otra perpendicular al mismo.

La componente de la velocidad perpendicular al campo produce un movimiento circular. La componente de la velocidad paralela al campo produce un movimiento vertical uniforme pues la fuerza es nula en esa dirección. De la superposición de ambos movimientos obtenemos que la trayectoria descrita por la partícula es una hélice.

Campo Magnético no Uniforme

Analicemos ahora el movimiento de una partícula cargada en un campo magnético no uniforme. Observando la figura vemos que el campo representado en la fig. es más intenso en los extremos y más débil en el centro tenemos por lo tanto que se trata de un campo magnético no uniforme. Fig. 1 Para analizar la situación consideremos que penetra al campo magnético una partícula, cargada positivamente, en la posición que se indica en la figura. Analizaremos en primer lugar la mitad izquierda del campo magnético, en ella vemos que la partícula experimenta una fuerza en el sentido que se indica en la figura. Para encontrar la trayectoria que describe dicha partícula descomponemos la fuerza en dos componentes una perpendicular al campo y la otra horizontal. La componente perpendicular al campo hace que la partícula describa una trayectoria circular y la componente horizontal de la fuerza hace que acelere hacia la derecha.

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Puesto que la fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad, el módulo de ésta no puede variar y por lo tanto un aumento de la componente horizontal de la velocidad implicará una pequeña disminución de la componente perpendicular al campo magnético. Recordemos que el radio de la trayectoria circular que describe la partícula está dado por:

r =v m

q B

De esta expresión podemos ver que si la partícula pasa a una zona en que el campo magnético es más débil su radio aumenta, pero por otro lado tenemos en este caso que la componente perpendicular de la velocidad también disminuye; si la variación de la velocidad es pequeña comparada con la disminución del campo entonces el radio de la trayectoria va aumentando. Tenemos por lo tanto que la partícula sigue una trayectoria como se muestra en la fig. 2.

fig. 2 La partícula acelera horizontalmente hasta que la componente horizontal de la fuerza magnética se hace nula, hecho que ocurre en el punto medio. La partícula continúa moviéndose hacia la mitad derecha del campo por inercia, pero en esta parte podemos ver (fig 1) que la componente horizontal de la fuerza magnética cambia de sentido y comienza a desacelerar el movimiento hacia la derecha hasta llegar a anular la componente horizontal de la velocidad. Cuando eso sucede la partícula comienza a acelerar horizontalmente hacia la izquierda hasta llegar al centro donde empieza nuevamente a desacelerar, así este proceso se repite una y otra vez quedando las partículas cargadas atrapadas en el campo magnético no uniforme. Analice que sucede si una partícula en lugar de penetrar en el lugar indicado en la figura lo hiciera de igual forma en la parte de abajo del mismo campo.

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Un caso de campo magnético no uniforme es el campo magnético terrestre. Si hacemos un corte transversal a la tierra, las líneas de campo magnético se verían como aparece en la fig.

Debido a ese campo magnético no uniforme es que las partículas cargadas que vienen desde el sol quedan atrapadas en regiones del espacio conocidas como Cinturones de Van Allen. Estas zonas sirven como escudo protector de la tierra.

Encuentre alguna explicación para el hecho de que las partículas positivas quedan atrapadas en un anillo y las negativas en otro.

Fuerza sobre un alambre con corriente Tenemos un trozo de alambre de longitud L=l y área transversal A, por el cual circula una corriente i.

Dicho alambre está ubicado perpendicularmente al campo magnético

r B .

En la fig. que aparece a la izquierda se ha dibujado la fuerza magnética sobre los electrones en movimiento en el conductor.

Calcularemos ahora la fuerza magnética F que actúa sobre el alambre. Tenemos que

F = NFe= nVF

e= nAlF

e (7-T)

9

donde Fe es la fuerza magnética sobre cada electrón libre en el conductor, N

el número total de electrones en el conductor y n el número de electrones por unidad de volumen. Tenemos que la fuerza magnética sobre un electrón libre en el conductor está dada por

Fe= e v

d B sen90°

1

1 2 3 = e vd B (8-T)

Puesto que vd =j

ne y j =

i

A tenemos entonces de (8-T) que F

e=i

nAB

Reemplazando esta expresión en (7-T) tenemos que la fuerza magnética que actúa sobre el alambre esta dada por

F = i l B Esta expresión podemos escribirla vectorialmente como

r F = i

r

l !r B (9-T)

Donde

r l es un vector a lo largo del alambre y que apunta en el sentido de la

corriente. En la siguiente fig. se tiene un campo magnético perpendicular saliente al plano de la hoja. En el se encuentran ubicados tres tramos de alambre por los cuales circula corriente en el sentido que se muestra en la fig. Dibuje la fuerza que actúa sobre cada uno de estos tramos.

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Movimiento de una espira con corriente en un campo magnético

Fig. 3 Fig. 4 Tenemos que la fuerza magnética sobre un alambre con corriente en un campo magnético está dada por

r F = i

r

l !r B

Aplicando esta expresión a una espira tenemos

r F

2=

r F

4= ibB sen(90°!" ) = ibB cos"

r F

1=

r F

3= iaB sen90°

1

1 2 3 = iaB

tenemos entonces que

r F ! = 0

Pero las fuerzas

r F 1 y

r F 3 producen un torque sobre la espira.

r ! =

r r "

r F ! " = bF

1 sen# = iabB sen#

Si existen N espiras tendríamos entonces que el torque total es:

! = N " ! = Niabµ momento

dipolar magnético

{ Bsen# (10-T)

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Para escribir la expresión (10-T) vectorialmente se define un vector momento dipolar magnético

r µ cuya dirección y sentido

es el que se muestra en la fig. y su magnitud es NiabB

Tenemos entonces que el torque queda definido por la expresión

r ! =

r µ "

r B (11-T)

Energía de una espira con corriente en un campo magnético

Tenemos que:

!U1"2 = #W1" 2

W1!2 =

r " # d

r $

$1

$2

% = & " 'd$$1

$2

%

!U1"2

= #d$$

1

$2

% = µB sen$ d$$

1

$2

% = &µB cos$$

1

$2

U

1!U

2= !µBcos"

2+µB cos"

1

U = !r µ

r B (12-T)

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Analizar cuando el equilibrio de una espira con corriente en un campo magnético es: a) Estable. b) Inestable. c) Indiferente.

Equilibrio Inestable Equilibrio estable

Aplicaciones del movimiento de una espira con corriente en un campo magnético

a) Galvanómetro Hemos citado anteriormente que los aparatos de medida tales como el voltímetro, amperímetro y óhmetro se basan en un dispositivo que sirve para detectar corrientes eléctricas llamado galvanómetro. Ahora veremos que es un galvanómetro y como funciona. Para entender su funcionamiento analicemos más en detalle el movimiento de una espira con corriente en un campo magnético. Veamos que sucede con las espiras que se muestran a continuación cuando por ellas circula corriente en el sentido que se muestra en la fig.

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En ambos casos se produce un torque sobre las espiras, pero estos son en sentido contrario. Dicho giro hace que en ambos casos el momento dipolar

r µ

se alinie con el campo. Un galvanómetro tiene en su interior un conjunto de espiras que se encuentran ubicadas en un campo magnético producido por dos imánes como muestra la siguiente fig. Al circular corriente por las espiras estas experimentan un torque, que se ve equilibrado por otro torque en sentido contrario producido por un alambre en espiral ubicado en el eje de giro de las espiras. Esto hace que la aguja del galvanómetro se equilibre en una determinada posición que depende de la intensidad de la corriente aplicada

permitiendo de este modo medir dicha corriente. Explique ¿qué sucedería si en un galvanómetro no se respeta la polaridad de corriente indicada en el aparato? b) Motores eléctricos de corriente continua Hemos visto en la parte anterior que el sentido del giro de espiras con corriente en un campo magnético depende del sentido de la corriente que circula por ellas.

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fig. a fig. b fig. c

fig. d

En las fig. a,b y c se muestra el giro de la espira en un campo magnético. A la posición d, pasa la espira por inercia. Vemos que en esta posición aparece un torque en sentido contrario al giro que traía, haciendo que la espira desacelere y gire en sentido antihorario. Por lo tanto la espira en estas condiciones esta imposibilitada de dar un giro completo. Veamos que sucede si cuando las espiras se encuentran en la posición d cambia el sentido de la corriente.

fig. e fig. f fig. g fig. h

Tenemos entonces que el cambio de sentido de la corriente permite que la espira realice la otra mitad del giro hasta llegar a la posición h donde nuevamente debe cambiar el sentido de la corriente para pasar a la situación indicada en la fig. a e iniciar nuevamente el ciclo. Hemos visto entonces que la corriente en la espira debe cambiar su sentido cada medio ciclo. Aqui surge la pregunta ¿cómo puede hacerse este cambio de tal manera que sea automático y determinado por la posición de la espira?

En la fig. se muestra un corte transversal de un motor.

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En la fig de la izquierda podemos ver que la corriente fluye desde la parte negra a la parte blanca de la espira. En cambio en la fig. de la derecha podemos ver que fluye desde la parte blanca a la parte negra de la espira. En las siguientes figuras se puede ver las espiras junto con los carbones que sirven para cerrar el circuito con la batería.

Vista de un motor elemental de corriente continua.

En las figuras anteriores se puede observar las espiras con corriente ubicadas en un campo magnético en distintas posiciones de su giro. También se puede observar en ellas los carbones de contacto y la fuente eléctrica que proporciona corriente a la espira.

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Problemas

Problema 1. H-33-28(V), 36(N) ESPECTRÓMETRO DE MASA La figura muestra un dispositivo utilizado por Dempster para medir las masas de los iones. La puerta S es una cámara en la cual se está efectuando una descarga en un gas y produce un ion de masa M y carga q casi sin velocidad. El ion se acelera mediante una diferencia de potencial V y se hace entrar en un campo magnético

r B . En el

campo describe un semicírculo y va a chocar con una placa fotográfica a una distancia x de la abertura de entrada dejando ahí su marca.

Demostrar que la masa M está dada por la siguiente expresión:

M =B2q x 2

8V

Datos Iones son partículas cargadas obtenidas de átomos que han perdido o ganado electrones por lo tanto pueden ser positivos o negativos. M masa del ion. q carga del ion. Vi= 0 Velocidad inicial del ion.

V diferencia de potencial (dicha diferencia de potencial acelera al ion hasta una velocidad V f ).

El ion penetra con cierta velocidad V f a un campo magnético r B y describe

la trayectoria que se muestra en la fig. ¿Diga cuál es el signo del ion para que describa esta trayectoria? x distancia donde choca el ion y x = 2r M=?

Plan de Solución Tenemos que la trayectoria que sigue el ion en el campo magnético

r B y está

determinada por la velocidad que tiene al penetrar en él.

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Fm= F

c por lo tanto qvB =

Mv2

r

Considerando que x = 2r tenemos

x =2Mv

qB (1-P1)

v = ? La velocidad con que la partícula entra al campo magnético es la velocidad que adquiere la partícula después de acelerar en la diferencia de potencial V. Entonces v = v

f

Recordemos que !K + !U = 0 y !U = q !V tenemos entonces que

!K = "q #!V

1

2 Mv f

2

! 1

2 Mv i

2

= !q v f ! vi( ) (2-P1)

ya que v

i= 0 pues los iones salen casi sin velocidad y Vf !Vi( ) = !V debido

a que los iones aceleran desde un punto de mayor a uno de menor potencial, tenemos entonces de la expresión (2-P1)

1

2 Mv2

= qV (3-P1)

de esta expresión podemos obtener la velocidad con la que la partícula penetra al campo magnético. Solución Tenemos entonces de la expresión (3-P1) para la velocidad del ion

v =2qV

M

reemplazando esta expresión en (1-P1) y despejamos M tenemos:

M =x2

q B2

8V

que corresponde a la expresión que nos pedían encontrar en el enunciado del problema.

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Problema 2. H-33-25 (V), 38 (N) Un positrón de 2 Kev se dispara en un campo magnético de inducción B = 0.10 Weber / m

2 y su vector velocidad de 89° con

r B .

Cerciórese de que la trayectoria será una hélice, con su eje en la dirección de

r B . Encontrar el período, el paso p, y el radio r de la hélice.

P

r

BFB

v

Datos Positrón es la antipartícula del electrón por lo tanto posee su misma masa y magnitud de carga, pero de signo positivo.

!

mp = 9.11"10#31Kg

qp =1.60"10#19Coul

K = 2Kev K energía cinética del positrón

Kev (Kiloelectronvolts) =103ev

ev =1.6!10

"15Joule y representa la energía que adquiere un electrón

cuando acelera en una diferencia de potencial de un volts. B = 0.10 Weber / m

2 (es un campo magnético uniforme) ! = 89° ! es el ángulo que forma la velocidad de la partícula en el campo magnético

r B

La trayectoria de la partícula será una hélice, ver apuntes: movimiento de una partícula cargada en un campo magnético uniforme. El movimiento se puede descomponer en un movimiento circular y uno vertical. Período T es el tiempo que demora una partícula en dar una vuelta. Paso p es el desplazamiento vertical de la partícula en un período de tiempo T. r es el radio de la trayectoria circular que sigue el positrón.

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Plan de solución

•En este caso debemos descomponer la velocidad de la partícula en dos componentes una paralela al campo magnético y otra perpendicular al mismo.

B

v!

vII

v

•La componente de la velocidad perpendicular v! al campo es la que determina el movimiento circular de la partícula y por lo tanto con ella se puede determinar el radio.

•La componente de la velocidad paralela v

II al campo determina el

desplazamiento vertical de la partícula y por lo tanto con ella se puede determinar el paso de la trayectoria.

•Recordemos la expresión de la fuerza magnética:

r F = q

r v !

r B

Tenemos entonces que la fuerza magnética vertical en este caso es nula ya que la componente paralela de la velocidad forma cero grado con el campo magnético.

Por lo tanto el movimiento vertical del positrón es un movimiento uniforme. Solución Calcularemos en primer término la velocidad con que el positrón penetra al campo magnético.

!

K = 1

2m v

2 entonces

!

v =2K

m

v = 2. 7!10

7

m / seg

a) T =2!m

qB T = 3.6 !10

"10seg

b) p = v

IIT = vcos89°T p = 0.17!10

"3m

c)

!

r =m v"

q B=m v sen89°

q B r = 1.5!10

"3m

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Problema 3 Se tiene un alambre que tiene la forma indicada en la figura, si por el circula una corriente i y está ubicado perpendicularmente a un campo magnético

r B , encontrar la fuerza total

que actúa sobre dicho alambre.

Solución Subdividimos el alambre en cuatro tramos y dibujamos en cada uno de ellos la fuerza magnética.

Tenemos

r F = i

r

l !r B

r

l !r B l = a

r F

1=

r F

2=

r F

3=

r F

4= iaB sen90°= iaB

r F

1=

r F

1

ˆ j

r F

2= !

r F

2cos 30° ˆ i +

r F

2sen30° ˆ j

r F

3=

r F

3cos 30°ˆ i +

r F

3sen30° ˆ j

r F

4=

r F

4

ˆ j

r F T = !

r F

2cos30°+

r F

3cos30°( )ˆ i +

r F

2sen30°+

r F

3sen30°+

r F

4+

r F

1( ) ˆ j

r F T = 2iaB sen30°

12

1 2 3 + 2iaB!

" # #

$

% & &

ˆ j = 3 iaB ˆ j

r F T = 3 iaB ˆ j