Hallar razonadamente, los nmeros naturales que son iguales a la diferencia entre el cubo y el cuadrado de la suma de sus cifr

MADRID 2000

EJERCICIO 1

Hallar razonadamente, los nmeros naturales que son iguales a la diferencia entre el cubo y el cuadrado de la suma de sus cifras.

SOLUCIN.

Sea n(N. Suponemos que S es la suma de sus cifras en base 10 y que

Evidentemente, si n = 0 se verifica esta igualdad, por lo que consideraremos en lo sucesivo que n 0. Sea la expresin de n respecto de sus cifras, o lo que es lo mismo, en notacin polinmica .

Para buscar una relacin entre n y hacemos:

Como , igualando obtenemos ; lo que significa que el producto de la derecha es mltiplo de 9.

Investigamos la posibilidad de que S no sea mltiplo de 3. En tal caso, se verificar que

Si , con lo que el producto no puede ser mltiplo de 9. Absurdo.

Si , con lo que el producto no puede ser mltiplo de 9. Absurdo.

En consecuencia, S es mltiplo de 3. Como , n es mltiplo de 9, por lo que S tambin lo es. Volviendo a empezar, esto significa que n ser mltiplo de 81.

Si suponemos que S = 9m, tendremos que

Como y los son cifras decimales, el valor de S estar comprendido entre 9 y 9.(k + 1), por ser mltiplo de 9 y por estar cada comprendido entre 0 y 9, luego , estando los valores posibles de m comprendidos entre 1 y k + 1, siendo k + 1 el nmero de cifras de n.

Ahora bien, si n tiene k + 1 cifras, su mnimo valor posible es , por lo que

(*)

Si comparamos las funciones y tenemos una exponencial de base mayor que 1 y una cbica que tienden ambas a ( si x tiende a (. Sin embargo, la tendencia de la exponencial es mucho ms rpida, de modo que la grfica de la primera permanece siempre por encima de la de la segunda a partir de su punto de corte. Por tanto, basta tomar una calculadora para ver para que pocos valores naturales se verifica la desigualdad (*)

Concretamente, el mayor valor para k que verifica la desigualdad es 5, por lo que los valores posibles de n quedan restringidos a , siendo los posibles valores de m 1, 2, 3, 4, 5, 6.Si los comprobamos uno a uno:

m = 1 ( n = 648 S2(S 1) = 5508m = 2 ( n = 5508 = S2(S 1)

m = 3 ( n = 18954 = S2(S 1)

m = 4 ( n = 45360 S2(S 1) = 5508m = 5 ( n = 89100 S2(S 1) = 5508m = 6 ( n = 154548 S2(S 1) = 18954En definitiva, solo hay dos valores posibles para n, excluyendo la solucin trivial, n = 0.

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