ma093 { matem atica b asica 2 angulo entre retas ...chico/ma092/ma092_35_ga_circunferencia.… · 1...

$: MA093 { Matem atica b asica 2 Angulo entre retas ...chico/ma092/ma092_35_ga_circunferencia.… · 1 ângulos entre retas; 2 circunferências e c rculos. Angulo entre retas^ Circunferência$
Angulo entre retas Circunferencia e cırculo Exercıcios

MA093 – Matematica basica 2Angulo entre retas. Circunferencia e cırculo

Francisco A. M. Gomes

UNICAMP - IMECC

Novembro de 2018


Topicos importantes

O objetivo dessa aula e investigar

1 angulos entre retas;

2 circunferencias e cırculos.


Angulo entre duas retas

Definicao

Dadas duas retas nao verticais r e s, tais que r e s nao saoperpendiculares, o angulo agudo θ formado entre elas satisfaz

tan(θ) =

∣∣∣∣ ms −mr

1 + mr ·ms

∣∣∣∣ .θ = 180◦ − αr − (180◦ − αs)

θ = αs − αr

tan(θ) =tan(αs)− tan(αr )

1 + tan(αs)tan(αr )

Logo, para θ agudo:

tan(θ) =

∣∣∣∣ ms −mr

1 + mr ·ms

∣∣∣∣


Exemplo 1

Problema

As arestas de um triangulo acutangulo estao sobre as retas

r : y = −2x + 2, s : y = 3x − 6 e t : y =x

3+ 2.

Encontre o angulo interno entre as arestas sobre r e s.

1 mr = −2 e ms = 3

2 tan(θ) =

∣∣∣∣ 3− (−2)

1 + (−2) · 3

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 5

−5

∣∣∣∣ = 1

3 θ = arctan(1) = 45◦


Circunferencia

Definicao

Em um plano cartesiano, uma circunferencia e o conjunto depontos do plano que estao a uma mesma distancia r , o raio,de um ponto O(x0, y0), denominado centro.

A circunferencia e a curva verde

O raio esta em vermelho

O(x0, y0) e o centro

Todos os pontos da curva estaoa distancia r do ponto O


Equacao da circunferencia

Equacao

A equacao da circunferencia de raio r centrada em O(x0, y0) e

(x − x0)2 + (y − y0)2 = r2

Demonstracao:

A distancia entre um ponto (x , y) da circunferencia e o centroO(x0, y0) e √

(x − x0)2 + (y − y0)2

Exigindo que essa distancia seja igual ao raio, obtemos√(x − x0)2 + (y − y0)2 = r

Elevando os 2 lados ao quadrado, chegamos a equacao acima.


Exemplo 2

Problema

Determine a equacao da circunferencia de raio 3 e centro em(2,−1)

Nesse caso, temos

r = 3, x0 = 2, y0 = −1.

Logo, a equacao e

(x − x0)2 + (y − y0)2 = r2

(x − 2)2 + (y − (−1))2 = 32

(x − 2)2 + (y + 1)2 = 9


Exemplo 3

Problema

Trace o grafico da circunferencia definida por

(x − 1)2 + (y − 3)2 = 16

A circunferencia temcentro em O(1, 3)

O raio mede√

16 = 4


Exemplo 4

Problema

Determine a equacao da circunferencia que tem centro emO(−3, 4) e passa pelo ponto P(1, 7)

como o ponto P esta sobre a circunferencia, temos:

[1−(−3)]2+[7−4]2 = r2 ⇒ 42+32 = r2 ⇒ r2 = 25.

Logo, a equacao e

(x − (−3))2 + (y − 4)2 = 25

(x + 3)2 + (y − 4)2 = 25


Ponto e circunferencia

Notacao

Dado o ponto P(xP , yP) e acircunferencia C , cuja equacaoe (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2,dizemos que

P e exterior a C se(xP−x0)2+(yP−y0)2 > r2

P e interior a C se(xP−x0)2+(yP−y0)2 < r2

P pertence a C se(xP−x0)2+(yP−y0)2 = r2

P1 e exterior a C : d(P1,O)2 > r2

P2 e interior a C : d(P2,O)2 < r2

P3 pertence a C : d(P3,O)2 = r2


Exemplo 5

Problema

Determine se o ponto P(6, 3) e interior, exterior ou pertence acircunferencia

(x − 4)2 + (y + 5)2 = 64

A circunferencia tem centro O(4,−5) e r2 = 64

Calculando o quadrado da distancia entre P e O:

d2 = [6− 4]2 + [3− (−5)]2 = 22 + 82 = 68.

Como d2 > r2, ou seja

68 > 64

o ponto e exterior a circunferencia.


Cırculo

Definicao

Chamamos de cırculo com centro em O(x0, y0) e raio r o conjuntodos pontos que satisfazem a inequacao

(x − x0)2 + (y − y0)2 ≤ r2.

Ou seja, o cırculo e composto pela circunferencia e o seu interior.


Exemplo 6

Problema

Determine a inequacao que representa o cırculo abaixo.

O raio mede 3

O centro e O(4, 2)

O cırculo e dado por:

(x − 4)2 + (y − 2)2 ≤ 9.


Exercıcio 1

Problema

Determine o angulo agudo formado pelas retas

3x − y + 2 = 0 e 6x + 4y − 6 = 0.

θ = arctan(9/7) ≈ 52, 125


Exercıcio 2

Problema

Determine as equacoes das retas que passam pelo ponto P(−1, 1)e formam um angulo de 45◦ com a reta y = −2x + 4.

y = −x/3 + 2/3 e y = 3x + 4


Exercıcio 3

Problema

Determine a equacao da circunferencia de raio√

3 e centro emO(−1

2 , −1).

(x + 1/2)2 + (y + 1)2 = 3


Exercıcio 4

Problema

Determine a equacao da circunferencia que tem centro em O(2, 0)e passa pelo ponto P(5, 4).

(x − 2)2 + y2 = 25


Exercıcio 5

Problema

Verifique se o ponto R(−1, 3) e interior, exterior ou pertence acircunferencia

(x − 5)2 + (y − 1)2 = 9.

Exterior


Exercıcio 6

Problema

1 Determine as equacoes das retas AD e BC da figura.

2 Determine a inclinacao da reta CD.

3 Determine o angulo agudo formado pelas retas AD e AB.

y = 23x e y − 3 = −3

2 (x − 11) mCD = 97 θ ≈ 18, 43◦

ma093 { matem atica b asica 2 angulo entre retas ...chico/ma092/ma092_35_ga_circunferencia.… · 1...

Documents