l'univers numèric de la recta

L’UNIVERS NUMÈRIC DE LA RECTA

Departament: Matemàtiques

Alumne: Marcos Salgado Corbillón

Tutor : David Anton Llapart

2

"Ningú entri aquí que no sàpiga geometria" Plató

"Caminem a les espatlles dels gegants que ens van precedir" Newton

"Pren el que necessitis, opera com cal, i obtindràs el que desitges" Leibniz

Agraïments a Manel Dolz, Núria Vila, Josep Pla i Carrera i, per suposat, a David Anton

INTRODUCCIÓ (segona edició) ..................................................................................................................6 INTRODUCCIÓ (primera edició).................................................................................................................7 I Construccions clàssiques o amb regla i compàs..........................................................................................8

1.Els nombres racionals(Q) o arrels de polinomis de primer grau ............................................................9 1.1.Fraccions o decimals periòdics........................................................................................................9 1.2.Representacio en la recta dels nombres racionals .........................................................................11

2.Representació a la recta de les arrels dels polinomis de primer grau ...................................................15 3.Les arrels quadrades .............................................................................................................................16

3.1.Estudi de les diagonals de rectangles amb costats naturals ...........................................................16 3.2.Construcció d’arrels quadrades en dues passes. ............................................................................18 3.3.Construcció d’arrels quadrades en tres passes...............................................................................21 3.4.Mètode inductiu.............................................................................................................................24 3.5.Mètode deductiu ............................................................................................................................27

4.Representació a la recta de les arrels dels polinomis de segon grau ....................................................30 5.Un cas particular: el nombre d’or() ...................................................................................................31 6.Limitacions del mètode grec.................................................................................................................33

6.1.Arrels cúbiques construïbles amb regla i compàs. ........................................................................33 6.2.La solució de les equacions de 3r i 4rt grau....................................................................................33

6.3.L’impossibilitat d’expressar la solució general d’una equació de 5e grau o superior amb radicals.............................................................................................................................................................34

II Construccions modernes, recurrents o iteratives mitjançant mètodes numèrics......................................36 1.Fraccions continues ..............................................................................................................................37

1.1.L’arrel de 2 ....................................................................................................................................37 1.2.Qualsevol arrel quadrada ...............................................................................................................38 1.3.El cas de .....................................................................................................................................39 1.4.La fracció contínua com a mètode numèric...................................................................................39 1.5.Vicissituds del mètode...................................................................................................................40

2. Mètode de bisecció ..............................................................................................................................41 2.1.El teorema de Bolzano...................................................................................................................41 2.2.Descripció de la prova de Bolzano ................................................................................................41 2.3.Aplicació del mètode al cas particular de 3 2 ...............................................................................42 2.4.Representació gràfica ....................................................................................................................43 2.5.Algoritme computacional ..............................................................................................................44 2.6.Vicissituds del mètode de la bisecció ............................................................................................44

3.Construcció de nombres transcendentals..............................................................................................45 3.1.El nombre pi ..................................................................................................................................45 3.2.El nombre e ...................................................................................................................................50

4.La recta real ..........................................................................................................................................53 III Construccions contemporànies, amb nombres hiperreals.......................................................................54

1.La teoria de Cantor: tipus d’infinits......................................................................................................55 1.1.Conjunts numerables .....................................................................................................................55 1.2.Conjunts no numerables: els nombres reals ..................................................................................56 1.3.Jerarquia d’infinits: la hipòtesi del continu ...................................................................................58 1.4.Propietat arquimediana ..................................................................................................................59 1.5.Axioma de Cantor-Dedekind.........................................................................................................59

2.Nombres hiperreals...............................................................................................................................60 2.1.Negant axiomes ............................................................................................................................60 2.2.Introducció.....................................................................................................................................60 2.3.Definició i nomenclatura ...............................................................................................................61 2.4.Els nombres infinitèsims ...............................................................................................................62 2.5.Propietats .......................................................................................................................................63

3. Utilitat dels hiperreals..........................................................................................................................64

33.1.Càlcul diferencial...........................................................................................................................64

4

3.2.Problemes d’optimització: exemple ..............................................................................................68 3.3.Càlcul integral................................................................................................................................70

L’ENTREVISTA.........................................................................................................................................72 eleg ............................................................................................................................................................73 CONCLUSIÓ ..............................................................................................................................................74 Annexos .......................................................................................................................................................75

A. El mètode mètric egipci ......................................................................................................................75 B. La secció àuria ....................................................................................................................................79

Rectangles àurics .................................................................................................................................79 C. La sèrie de Fibonacci ..........................................................................................................................81

1.El clàssic problema dels conills........................................................................................................81 2.Relacio entre la successió de Fibonacci i el nombre d’or.................................................................82

D. La lúnula d’Hipòcrates .......................................................................................................................83 E. Els 3 grans problemes de la geometria clàssica ..................................................................................85

1.La duplicació del cub........................................................................................................................85 2.La trisecció de l’angle.......................................................................................................................85 3.La quadratura del cercle ...................................................................................................................85

F. Fórmules de Cardano-Ferrari ..............................................................................................................86 1.Fórmula pels polinomis de tercer grau .............................................................................................86 2.Procediment pels polinomis de tercer grau.......................................................................................86 3.Fórmula pels polinomis de quart grau ..............................................................................................87

G. Mètode de la secant ............................................................................................................................88 1.Representació gràfica .......................................................................................................................88 2.Descripció de l’algoritme .................................................................................................................89 3.Aplicació...........................................................................................................................................90

H. Mètode de Newton..............................................................................................................................91 1.Representació gràfica .......................................................................................................................91 2.Descripció de l’algoritme .................................................................................................................92 3.Aplicació...........................................................................................................................................92 4.Algortime computacional .................................................................................................................93

I. Qui és pi?..............................................................................................................................................94 1.Introducció........................................................................................................................................94 2.Àrea ..................................................................................................................................................94 3.Característiques de ........................................................................................................................95 4.Incògnites sobre .............................................................................................................................95 5.Altres aspectes de ..........................................................................................................................95

J. Qui és e?...............................................................................................................................................97 1.Introducció........................................................................................................................................97 2.Taula de valors..................................................................................................................................97 3.Característiques ................................................................................................................................98

K. Proves d’irracionalitat.........................................................................................................................99 L. Tipus de funcions ..............................................................................................................................101

1.Injectiva ..........................................................................................................................................101 2.Exhaustiva ......................................................................................................................................101 3.Bijectiva..........................................................................................................................................101

M. Propietats dels nombres reals...........................................................................................................102 1.Cos commutatiu..............................................................................................................................102 2.Cos totalment ordenat.....................................................................................................................102 3.Cos complet ....................................................................................................................................102 4.Cos arquimedià ...............................................................................................................................102 5.Número d’elements.........................................................................................................................102

N. Propietats dels nombres hiperreals ...................................................................................................103 1.Cos commutatiu..............................................................................................................................103 2.Cos totalment ordenat.....................................................................................................................103

5

3.Cos complet ....................................................................................................................................103 4.Número d’elements.........................................................................................................................103

O. Propietats dels nombres racionals.....................................................................................................104 1.Cos commutatiu..............................................................................................................................104 2.Cos totalment ordenat.....................................................................................................................104 3.Cos arquimedià ...............................................................................................................................104 4.Número d’elements.........................................................................................................................104

P. Comparativa ......................................................................................................................................105 Índex de figures .........................................................................................................................................109 BIBLIOGRAFIA.......................................................................................................................................111

6

INTRODUCCIÓ (segona edició)

La matemàtica neix a l’Antic Egipte amb una finalitat eminentment pràctica, en especial la geometria que els grecs perfeccionarien i sintetitzarien en Els elements d'Euclides i que podríem considerar com a la matemàtica per antonomàsia. Amb el temps, els mètodes grecs esdevingueren insuficients, incapaços de representar tots els nombres irracionals, el descobriment dels quals va ser traumàtic per a Pitàgores i per a la resta dels matemàtics de l'època que consideraven que tots els nombres eren racionals. Per suplir les deficiències de la representació de punts en la recta geomètrica pel mètode de la regla i el compàs es van proposar mètodes reiteratius d’aproximació i sèries numèriques que permetien representar irracionals algebraics i transcendentals, és a dir, tots els reals. Conseqüentment, segons l’axioma de Cantor-Dedekind, i tenint en compte que el conjunt de nombres reals és un cos complet i ordenat, s’estableix que tot punt en la recta geomètrica és un nombre real. Aquesta conclusió resultà susceptible d’anàlisi per tal com és característic en matemàtiques la infinita extrapolació i generalització dels conceptes fins a punts inimaginables, com és el cas de l’estudi d'espais de n dimensions o el fet que la geometria euclidiana, esdevingui només un cas particular dels infinits espais de Rienman. Així doncs, el meu estudi pretén comprovar o falsar l’axioma de Cantor-Dedekind i, en cas de falsar-lo, esbrinar què és realment un punt en la recta geomètrica. Abans de poder determinar aquesta qüestió, s’han analitzat i s'han exposat els mètodes de representació dels nombres reals. Partint d’un segment arbitrari, que considerem com a unitat, hem construït una recta pràcticament "buida de punts", que consta només dels enters. A partir d’aquí hem procurat trobar mètodes per representar nombres cada cop més complexos fins a arribar als reals, moment en el qual ens hem plantejat l’existència d’altres cossos complets i ordenats. Així doncs, el treball es divideix en tres blocs: la representació mitjançant regla i compàs, la representació mitjançant mètodes reiteratius(motivada per les limitacions del mètode anterior) i, finalment, la resposta a la meva pregunta inicial: "que és realment un punt en la recta?". D’aquesta manera es pretén donar una visió global de la recta numèrica o geometria i tot l'extens univers de nombres que l’envolten.

7

INTRODUCCIÓ (primera edició)

Què és un punt en la recta geomètrica? Aquesta pregunta és una constant en la meva investigació, que vull que es faci seriosament el lector a cada pas. No és, tot i que pugui semblar-ho a primera vista, una pregunta òbvia, absurda o inútil. Si ho fos, la resposta que concep ara el lector i la que considerarà desprès d’una lectura meditada del treball seria la mateixa. Però puc assegurar que no tan sols no serà així, sinó que probablement faci trontollar el que fins ara considerava axiomàtic e indubtable, faci canviar la seva idea de recta numèrica, de la geometria i fins i tot potser de la mateixa matemàtica (grans pretensions les meves, possiblement). Amb l’ajuda d’aquesta pregunta clau, que vol partir de zero i fonamentar-ho tot de nou, m’he guiat com si es tractés d’un fanal que m’il·luminava el camí d’una abrupta, obscura i complexa cova. He procurat, així, sortir a l’exterior per trobar la veritat que s’amaga darrera dels falsos reflexos, de les excessives simplificacions que es fan en l’aprenentatge, per tal de facilitar el procés de comprensió,diuen, i que, tal com succeeix al meu nivell, és una realitat i sensació traslladable als meus lectors, ja que ni tan sols els il·lustrats en aquestes arts, poden arribar a saber-ho tot ni tan sols en les seves respectives especialitats en un món potser massa complex per la seva compressió absoluta, i on, a més, el seu enteniment augmenta dia rere dia. Així doncs, he procurat recórrer de nou la bellíssima, però també escarpada, senda cap al coneixement vertader de la meva qüestió, lluny de prejudicis i vagues concepcions. Però si bé el dubte inicial, el "què", era la meva llum, els meus peus foren el "com", com podem representar el punt a la recta. I sens dubte fou l’aparell motor, la meva intel·ligència, el que em permeté avançar assegurant cada punt del recorregut de la mateixa manera com ho fa l’alpinista o el senderista: deixant una marca en la seva ruta, una prova permanent de la seva estada i que pot ser un model o itinerari a seguir per a la resta. De la mateixa manera que jo he anat redescobrint (narcisisme apart), les grans senyals d’aquesta ruta, vull ara invitar-vos a redescobrir-ho tot junts, i si és possible, descobrir-vos noves esteles que ens guien en el firmament. Aquesta descripció idealista i platònica no és, ni molt menys, gratuïta per tal com la matemàtica és la ciència predilecta de la raó, la reina sobre totes elles i concretament la geometria és la essencial per a Plató i els antics grecs. A més, no és tracta ni molt menys d’un treball sobre matemàtica aplicada ni res de semblant que estigui en íntima relació amb la realitat física, sinó que té sentit independentment d’ella. És, doncs, un treball sobre matemàtica fonamental, sobre els seus fonaments, on conflueixen les diferents disciplines Deixant de banda el que ha significat per a mi aquest viatge abstracte que només puc definir amb metàfores, potser una mica hiperbòliques, qui sap, i concretant més en el meu trajecte durant aquest període, sense arribar a desvelar les meves passes i conclusions, diré que el meu mètode de treball era senzill: vaig partir dels nombres naturals, els més immediats que tothom sap representar sense dificultats. Tot partint d’aquests em vaig preguntar què hi ha per sobre dels naturals, què hi ha enmig dels nombres naturals en una recta, en aquell moment, pràcticament buida. Procedint així vaig redescobrir successivament els diferents nombres de la recta i amb els coneixements propis d’un batxillerat he procurat trobar mètodes per la seva representació, ajudat pel meu tutor, quan feia falta. En aquest sentit, la recerca de successius conjunts numèrics que s’anessin englobant els uns amb els altres també es pot entendre com la recerca d’un cos ideal que respongués al meu dubte inicial i que per tant fos ordenat, per tal com la recta ho és, i complet, per tal com vull omplir-la de punts.

I Construccions clàssiques o amb regla i compàs En dibuix lineal ens ensenyen el mètode geomètric de la regla i el compàs. Per tant aquest mètode prové del fet que ja sabem: -Trobar la paral·lela per un punt exterior a una recta -Trobar la perpendicular per un punt exterior a una recta -Dividir un segment en dues parts iguals -Dividir un angle en dues parts iguals -Dibuixar qualsevol polígon regular El nostre objectiu es portar el mètode a construccions més complexes com la representació de les arrels de polinomis de primer i segon grau amb coeficients enters, que representen tots els nombres racionals i alguns irracionals. Per aconseguir-ho haurem de ser capaços de dibuixar a la recta fraccions i arrels quadrades, per la qual cosa requerirem dels teoremes de Tales i Pitàgores respectivament. Amés analitzarem alguns casos particulars, com el cèlebre nombre d’or. Aquesta secció és, doncs, un recorregut per la matemàtica de l’antiga Grècia, on es mostra la seva eficiència i exactitud. Tot i això, en últim lloc, ens trobarem amb les mateixes limitacions que van impedir avançar als antics geòmetres, obsessionats en la resolució dels tres clàssics problemes irresolubles, com es demostra posteriorment.

8

1.Els nombres racionals(Q) o arrels de polinomis de primer grau En aquest primer capítol veurem que tot nombre racional (fracció o decimal periòdic) admet una representació geomètrica amb regla i compàs. En conseqüència, les arrels dels polinomis de primer grau amb coeficients enters també admetran aquest tipus de construcció clàssica. En el desenvolupament d’aquesta secció serà fonamental el teorema de Tales.

1.1.Fraccions o decimals periòdics

OBSERVACIÓ Els decimals exactes poden ser considerats decimals amb període 0 o 9. Justificació Expressem-lo amb un exemple: 0,29,12

Òbviament 0,22

ja que els ceros darrere la coma no tenen valor numèric.

Pel que fa a 9,12

,aquests infinits nous darrera la coma no difereixen en res de la unitat. Es

pot demostrar algèbricament amb el següent procediment:

29

181899,19,19109,19109,1 xxxxxxx

PROPOSICIÓ 1 A tota fracció li correspon una expressió decimal periòdica Justificació L’expressió general d’una fracció és

b

aon i 0b Zba ,

Per obtenir la seva expressió decimal només cal fer la divisió corresponent. Anem a veure amb uns exemples que el resultat sempre serà periòdic.

3.0...3333,03

1

9.00,113

3

253 7 43 36,142857 142857 142857 .... 10 30 20 60 40 50 10 ...

9

Aquest últim cas es especialment il·lustratiu ja que el seu període 142857 es composa de sis xifres. Si ens fixem en els residus, veiem que són: 10, 20, 30, 40, 50, 60. És a dir, que apareixen a la desena tots els nombres del 1 al 6. Però no pot aparèixer el 7 perquè és el dividend, així que comencen a repetir-se els residus, formant un període.

PROPOSICIÓ 2 Tota expressió decimal periòdica té una fracció generatriu Justificació Justifiquem-ho amb un exemple comentat:

6935,17

x anomenem x al nombre periòdic(en aquest cas mixt) que volem obtenir en forma de fracció

69,1735100

x Multipliquem a ambdues bandes per 10n on n es el nº de xifres decimals exactes del nombre periòdic.

69,17359610000

x Multipliquem a ambdues bandes per 10m on m es el nº de xifres decimals periòdiques

xxx 10069,17359610010000

Restem a ambdues bandes 10nx

171861990069,173569,17359699006935,1710069,1735969900 xxx

Substituïm la x de la dreta per el seu valor, per tal de poder operar. Cal prestar especial atenció al fet que d’aquesta manera aconseguim eliminar el decimal periòdic, ja que es contraresta a si mateix.

9900

171861x

Aïllem la x

3300

57287

11532

57287

11532

57287322222

x

RESUM A partir de la observació inicial i de les proposicions 1 i 2 podem concloure que “ser fracció” equival a “ser decimal periòdic”. Aquets “constitueixen” els nombres racionals, que es poden expressar com a fracció o com a decimal periòdic.

10

1.2.Representacio en la recta dels nombres racionals

TEOREMA DE TALES1 2 Els segments definits per dues rectes paral·leles creuades per altres dues rectes qualsevol són proporcionals.

Figura 1: Teorema de Tales3

Prova Existeixen diverses proves d’aquest teorema. De fet hi ha un llibre, no recordo el títol, on se’n pot trobar una recopilació considerable de proves; unes cent. De totes maneres, a l’enllaç citat a peu de pàgina podeu trobar la proposició i la prova.4

COROL·LARI 1 Podem construir amb regla i compàs un segment que mesuri un nombre racional qualsevol (tant expressat com a fracció o com a decimal periòdic). Prova L’idea és dibuixar una recta que estigui creuada per altres dos, els segments de les quals formats amb l’eix de les abscisses siguin proporcionals, de manera que podem traslladar a la recta numèrica una fracció qualsevol, com explicaré a continuació. Em centraré en la representació de racionals positius, ja que per simetria els negatius es representen igual. 1 Proposició 5 del Llibre I dels Elements de Euclides 2 Les referències al llibre Els Elements de Euclides son de: http://www.euclides.org/menu/elements_cat/indexeuclides.htm 3 Sempre que no es digui el contrari, les imatges estan fetes per mi en geogebra

11

4 Per una prova més “moderna” podeu accedir a: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/numeros/proporcionalidad/teoremadetales/teoremadetales.htm

http://www.euclides.org/menu/elements_cat/indexeuclides.htm

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/numeros/proporcionalidad/teoremadetales/teoremadetales.htm

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/numeros/proporcionalidad/teoremadetales/teoremadetales.htm

Per comoditat expressaré el nombre racional com a fracció mixta amb la part fraccionària

irreductible. Això és b

ac on i ba 0 1),.(.. baDCM amb Ncba ,,

PAS 1-Dibuixem dues circumferències prenent com a centre el punt C, buscat a la posició de la recta x corresponent al nombre natural c que composa la fracció mixta. El radi de cada una de les circumferències ve donat per la fracció, és a dir, el radi petit, CA , és igual al numerador a, i el radi gran, CB , es igual al denominador b, de la fracció mixta.

Figura 2: Representació de fraccions (1)

PAS 2- Tracem una recta que creua les dues circumferències i parteix del seu centre. Aquesta recta talla la circumferència petita en un punt D i a la circumferència gran en un punt E. Fixem-nos que:

CDCAa (1) CECBb (2)

12


PAS 3-Fixem-nos ara en el punt F ubicat a la posició de la recta x corresponent al nombre natural c+1. D’aquesta manera 1CF (3). Tracem la recta r que passa per E i F.


13

PAS 4-Tracem des de D, la recta s, paral·lela a la recta r. Aquesta recta talla a la recta x en un punt G. Anem a veure que el punt G esta ubicat en la posició corresponent a la fracció donada

b

ac

Sigui CGk (4)

Només cal veure que b

ak

En efecte, pel teorema de Tales

CE

CD

CF

CG

Ara bé

CDCAa (1) CECBb (2)

1CF (3) CGk (4)

Per tant b

ak

1, d’on

b

ak QED5


14

5 Quod erat demonstrandum, es a dir, com volíem demostrar

2.Representació a la recta de les arrels dels polinomis de primer grau Ja estem en condicions de poder anunciar

COROL·LARI 2 L’arrel d’una equació polinòmica de 1rgrau amb coeficients enters és construïble amb regla i compàs Prova Les equacions esmentades són de la forma cbax on cba ,, Z i 0a

La solució de les mateixes es a

bcx

, de manera que x Z

Exemple

13183 x ; 6,13

21

3

5

3

1813

x

Figura 6: Representació de la solució d’una equació de primer grau

15

3.Les arrels quadrades En aquest capítol veurem com qualsevol arrel quadrada d’un nombre natural es pot representar geomètricament amb regla i compàs. Per aconseguir-ho, primerament farem un estudi exhaustiu de la construcció de les arrels quadrades amb radicands positius inferiors a cent com a diagonals de rectangles, en una, dues i tres passes. Però observant que aquest mètode no prova la possibilitat de dibuixar a la recta totes les arrels quadrades, buscarem un mitja per verificar que sí que es pot fer, per inducció. Malgrat això, aquest mètode resultarà lent i rudimentari, i tot i millorar-lo, ens trobarem amb la necessitat de estipular un procediment ràpid, deductiu, que ens permet representar qualsevol arrel quadrada en un reduït nombre de passes.

3.1.Estudi de les diagonals de rectangles amb costats naturals

TEOREMA DE PITÀGORES6 En un triangle rectangle de costats i b i amb hipotenusa es verifica que a c 222 bac Prova Existeixen diverses proves d’aquest teorema. De fet hi ha un llibre, el nom del qual no recordo, on es pot trobar una recopilació considerable, de més de cent proves. De totes maneres també podreu trobar un bon grapat de proves i enllaços a la web del peu de pagina.7

PRIMERA PART

En el quadre següent s’exposen el valor dels quadrats de les diagonals de tots els rectangles possibles amb costats de valors dins els deu primers nombres naturals. Per simetria només cal omplir mig quadre. 12=1 22=4 32=9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81 102=10012=1 2 5 10 17 26 37 50 65 82 101 22=4 8 13 20 29 40 53 68 85 104 32=9 18 25 34 45 58 73 90 109 42=16 32 41 52 65 80 97 116 52=25 50 61 74 89 106 125 62=36 72 85 100 117 136 72=49 98 113 130 149 82=64 128 145 164 92=81 162 181 102=100 200

6 Proposició 47 del Llibre I dels Elements de Euclides

16

7 http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/teoremapitagoras.htm

http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/teoremapitagoras.htm

SEGONA PART

Ara procedirem a enumerar els resultats obtinguts a la taula, posant-les en una llista ordenada: 2, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 37, 40, 41, 45, 50, 52, 53, 58, 61, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 82, 85, 89, 90, 97, 98, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 125, 128, 130, 136, 145, 149, 162, 164, 181, 200 Observem que . Això ens separa els resultats de la taula en dos blocs. Fins el 117 podem dir que estan tots els nombres que es descomponen en suma de dos quadrats naturals. A partir de 117 la taula és incomplerta, doncs si ampliéssim les files i columnes apareixerien resultats intermitjos als ja trobats.

122111 22

TERCERA PART 8

A la taula hi ha 552

1011

nombres i a la nostra llista ordenada només hi apareixen 52. Això es

perquè hi ha resultats obtinguts amb operacions diferents. Aquests són:

2222 175550 2222 184765 2222 296785

QUARTA PART Un estudi interessant és observar que 25 i 100 són els dos únics quadrats perfectes de la taula. Corresponen a les ternes pitagòriques (en negreta) i es tracta de dos triangles semblants,

i 222 435 222 8610 Per trobar un altre terna pitagòrica hauríem d’haver ampliat les files fins a 12 i haguéssim trobat la terna , aquesta ja no semblant a les dues anteriors. En el nostre estudi, però, aquests resultats són precisament els menys rellevants doncs l’arrel d’aquests nombres és natural i no necessitem per tant una construcció utilitzant él Teorema de Pitàgores.

222 12513

CINQUENA PART: CONCLUSIÓ Les arrels quadrades dels nombres que apareixen com a resultat d’aquesta taula corresponen, pel Teorema de Pitàgores, a les diagonals de rectangles amb costats naturals (p.e.

22 87113 ). Aquestes arrels quadrades admetran una simple construcció amb regla i compàs sobre una recta x donada. Són les arrels quadrades construïbles amb un sol pas.

8 2

)1(...321

nnn

n X X X X O X X X O O X X n+1 O O O X O O O O

17

Figura 7: Diagonal d’un rectangle amb costats naturals

3.2.Construcció d’arrels quadrades en dues passes. Serà possible obtenir qualsevol arrel utilitzant el teorema de Pitàgores en un màxim de dos passes?

PRIMERA PART

En la taula anterior les construccions s’assolien amb un sol pas. Partint dels resultats de la taula anterior elaborarem ara una altra taula que ens servirà per obtenir arrels construïbles en dos passes. (1) Aquesta taula n’és el resultat:

18

19

12=1 22=4 32=9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81

2 3 6 11 18 27 38 51 66 83

5 6 9 14 21 30 41 54 69 86

8 9 12 17 24 33 44 57 72 89

10 11 14 19 26 35 46 59 74 91

13 14 17 22 29 38 49 62 77 94

17 18 21 26 33 42 53 66 81 98

18 19 22 27 34 43 54 67 82 99

20 21 24 29 36 45 56 69 84 101

25 26 29 34 41 50 61 74 89 106

26 27 30 35 42 51 62 75 90 107

29 30 33 38 45 54 65 78 93 110

32 33 36 41 48 57 68 81 96 113

34 35 38 43 50 59 70 83 98 115

37 38 41 46 53 62 73 86 101 118

40 41 44 49 56 65 76 89 104 121

41 42 45 50 57 66 77 90 105 122

45 46 49 54 61 70 81 94 109 126

50 51 54 59 66 75 86 99 114 131

52 53 56 61 68 77 88 101 116 133

53 54 57 62 69 78 89 102 117 134

58 59 62 67 74 83 94 107 122 139

61 62 65 70 77 86 97 110 125 142

65 66 69 74 81 90 101 114 129 146

68 69 72 77 84 93 104 117 132 149

72 73 76 81 88 97 108 121 136 153

73 74 77 82 89 98 109 122 137 154

74 75 78 83 90 99 110 123 138 155

80 81 84 89 96 105 116 129 144 161

82 83 86 91 98 107 118 131 146 163

85 86 89 94 101 110 121 134 149 166

89 90 93 98 105 114 125 138 153 170

90 91 94 99 106 115 126 139 154 171

97 98 101 106 113 122 133 146 161 178

98 99 102 107 114 123 134 147 162 179

SEGONA PART

Ara procedirem a enumerar els resultats inferiors a 100 obtinguts a la taula, posant-les en una llista ordenada, tornant a marcar en negreta els quadrats perfectes que descartarem 3, 6, 9, 11, 12, 14, 17, 18, 19, 21, 22, 24, 26, 27, 29, 30, 33, 34, 35, 36, 38, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 53, 54, 56, 57, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 81, 82, 83, 84, 86, 88, 89, 90, 91, 93, 94, 96, 97, 98, 99.

TERCERA PART

Ara intercalarem aquests resultats amb els ja obtinguts amb la primera taula: 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 88, 89, 90, 91, 93, 94, 96, 97, 98, 99, 100

QUARTA PART

Ara enumerarem els nombres inferiors a 100 els quals no s’han pogut obtenir ni amb una ni amb dues passes: 7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71, 79, 87, 92, 95 Així, doncs, queda refutada la tesi que conjeturava que es podia obtenir qualsevol arrel en un màxim de dues passes.(1)

CINQUENA PART Exemples gràfic de la construcció amb regla i compàs 1a manera: encadenant els triangles: utilitzant la hipotenusa del primer triangle com a costat del segon.

Figura 8: Arrel quadrada en dues passes encadenant triangles

20

2a manera:superposant els triangles: construint sobre la recta la primera arrel i establint-la com a base del triangle que servirà per a construir la segona arrel

Figura 9: Arrel quadrada en dues passes superposant triangles

Aritmèticament estem construint, per exemple, 22222222 953593590115 És a dir, he trobat els nombres més petits de 100 que són suma de tres quadrats

3.3.Construcció d’arrels quadrades en tres passes. Afegim un nou quadrat a la taula, que correspon a un nou pas en la construcció de l’apartat anterior. Un altre manera equivalent de fer-lo seria posar les sumes de dos quadrats en les files i les sumes de dos quadrats en les columnes. Centrem-nos en trobar construccions en tres passes pels nombres naturals inferiors a cent les arrels dels quals encara no hem pogut construir ni amb una ni amb dues passes.

12=1 22=4 32=9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81

3 4 7 12 19 28 39 52 67 84

6 7 10 15 22 31 42 55 70 87

9 10 13 18 25 34 45 58 73 90

11 12 15 20 27 36 47 60 75 92

12 13 16 21 28 37 48 61 76 93

14 15 18 23 30 39 50 63 78 95

17 18 21 26 33 42 53 66 81 98

18 19 22 27 34 43 54 67 82 99

19 20 23 28 35 44 55 68 83 100

21 22 25 30 37 46 57 70 85 102

21

22

22 23 26 31 38 47 58 71 86 103

24 25 28 33 40 49 60 73 88 105

26 27 30 35 42 51 62 75 90 107

27 28 31 36 43 52 63 76 91 108

29 30 33 38 45 54 65 78 93 110

30 31 34 39 46 55 66 79 94 111

33 34 37 42 49 58 69 82 97 114

34 35 38 43 50 59 70 83 98 115

35 36 39 44 51 60 71 84 99 116

36 37 40 45 52 61 72 85 100 117

38 39 42 47 54 63 74 87 102 119

41 42 45 50 57 66 77 90 105 122

42 43 46 51 58 67 78 91 106 123

43 44 47 52 59 68 79 92 107 124

44 45 48 53 60 69 80 93 108 125

45 46 49 54 61 70 81 94 109 126

46 47 50 55 62 71 82 95 110 127

48 49 52 57 64 73 84 97 112 129

49 50 53 58 65 74 85 98 113 130

50 51 54 59 66 75 86 99 114 131

51 52 55 60 67 76 87 100 115 132

53 54 57 62 69 78 89 102 117 134

54 55 58 63 70 79 90 103 118 135

56 57 60 65 72 81 92 105 120 137

57 58 61 66 73 82 93 106 121 138

59 60 63 68 75 84 95 108 123 140

61 62 65 70 77 86 97 110 125 142

62 63 66 71 78 87 98 111 126 143

65 66 69 74 81 90 101 114 129 146

66 67 70 75 82 91 102 115 130 147

67 68 71 76 83 92 103 116 131 148

68 69 72 77 84 93 104 117 132 149

69 70 73 78 85 94 105 118 133 150

70 71 74 79 86 95 106 119 134 151

72 73 76 81 88 97 108 121 136 153

73 74 77 82 89 98 109 122 137 154

74 75 78 83 90 99 110 123 138 155

75 76 79 84 91 100 111 124 139 156

76 77 80 85 92 101 112 125 140 157

77 78 81 86 93 102 113 126 141 158

78 79 82 87 94 103 114 127 142 159

81 82 85 90 97 106 117 130 145 162

82 83 86 91 98 107 118 131 146 163

83 84 87 92 99 108 119 132 147 164

84 85 88 93 100 109 120 133 148 165

86 87 90 95 102 111 122 135 150 167

88 89 92 97 104 113 124 137 152 169

89 90 93 98 105 114 125 138 153 170

90 91 94 99 106 115 126 139 154 171

93 94 97 102 109 118 129 142 157 174

94 95 98 103 110 119 130 143 158 175

96 97 100 105 112 121 132 145 160 177

97 98 101 106 113 122 133 146 161 178

98 99 102 107 114 123 134 147 162 179

99 100 103 108 115 124 135 148 163 180

S’han trobat tots! Això prova que tots els nombres naturals inferiors a 100 es poden expressar com la suma de un màxim de quatre quadrats. Per exemple:

2222 6531362591619170171 2222 664236361647216488492

o bé )3321(4)9941(423492 2222 D’aquesta manera qualsevol arrel d’un nombre més petit de 100 és construïble utilitzant Pitàgores en un màxim de tres passes. Intuïm que no es pot construir l’arrel de qualsevol nombre en tres passes, però quin és el primer contraexemple, és a dir, el primer nombre que no es pot expressar com a suma de quatre quadrats? Deixo la resposta en mans del lector9

9 Primera resposta obtinguda d’un entusiasta lector: Abans del 625 hi ha un nombre no expressable com a suma de quatre quadrats usant nombres del 1 al 10 ja que 625 es el resultat de la suma de subconjunts possibles, és a dir,de totes les possibles combinacions de sumes de quatre quadrats:

6254

10

3

10

2

10

1

10)(#

AP

23

El nombre serà inferior a 625 ja que hi hauran nombres expressables de diverses maneres, com ja va succeí en la primera taula. Aquest mètode també hagués servit per saber el nº de nombres que constaven en la primera taula:

554510)!210(!2

!10

)!110(!1

!10

2

10

1

10)(#

BP

3.4.Mètode inductiu

TEOREMA

Donat un nombre natural qualsevol sempre es pot construir amb regle i compàs un segment que mesuri

n

n Prova: Ho demostrarem per inducció: cas 1n

11 que evidentment es construïble amb regla i compàs cas cas n 1n

Suposem que ja tenim construït un segment que mesuri n

Anem a utilitzar-lo per construir un segment que mesuri 1n

Construïm un triangle de costats n i 1

Figura 10: Triangle explicatiu pel mètode inductiu de representació de arrels quadrades

Pel teorema de Pitàgores la diagonal compleix: d 11222 nnd

per tant, 1 nd QED

24

Exemples de representacions gràfiques

Figura 11: Representació del mètode inductiu encadenant els triangles

Figura 12: Representació del mètode inductiu superposant els triangles

25

Figura 13: Representació del mètode inductiu per superposició prescindint dels triangles

OBSERVACIÓ Però si bé es pot construir qualsevol arrel, la quantitat de passes o triangles necessaris, mitjançant aquest mètode, es igual al nombre del radicand menys 1, es a dir, si vull representar

1729 , haure de fer 1728 triangles. L’algoritme de construcció que es desprèn de la demostració del teorema és lent i rudimentari. Per obtenir l’arrel quadrada de 1729 no cal fer 1728 circumferències, doncs no és necessari partir del triangle de catets igual a la unitat i tampoc afegir només una unitat a cada pas. Una millora notable és partir de l’arrel quadrada més propera. Per construir el residu prenem com

altura del triangle de base 241 el següent quadrat ( 26 ) , construint 17176412

22

2 .

Per construir el residu restant prenem com altura del triangle de base 1717 el següent

quadrat ( 23 ) , construint 172636412

22

22

2 , i així sucessivament... Es a dir:

48411729 2 126411729 22

336411729 222 2136411729 2222

11136411729 22222

Per tant 11136411729 22222 es pot construir en 5 passes

26

Tot i això segueix sent un mètode poc satisfactori, perquè quan més gran es el radicand de l’arrel, més passes necessita, en general, ja que més distància hi ha entre els quadrats successius de nombres grans que de petits, el qual es així perquè es tracta d’un creixement exponencial. Per aquesta raó hi havia la necessitat de trobar un procediment més ràpid i eficient.

3.5.Mètode deductiu

SEGON TEOREMA DE TALES10

Sigui AB el diàmetre d’una circumferència, i C un punt qualsevol de la mateixa exceptuant els punts que conformen el diàmetre; aleshores =90º C Prova

Figura 14: Triangle explicatiu pel mètode deductiu de representació de arrels quadrades

OCAOCOAR és isòsceles els angles 1

ˆ PA

ídem 2ˆˆ PB

11Els angles d’un triangle sumen 180º 180 180)(2

90ˆ C i són angles complementaris QED

10 Proposició 32 del Llibre III dels Elements de Euclides

27

11 Proposició 32 del Llibre I dels Elements de Euclides

TEOREMA DE L’ALTURA En un triangle rectangle el quadrat de l’altura sobre la hipotenusa és igual al producte de les projeccions dels catets sobre la hipotenusa. Prova

Figura 15: Triangle explicatiu del teorema de l’altura

i són angles complementaris en , en i en ACB ADC BDC

Per tant, com i comparteixen dos angles, són triangles semblants. Si els posem en posició de Tales (figura 15), traslladant les mesures del petit dins del gran, veurem més clarament que són triangles semblants.

ADC BDC

Aleshores

h

n

m

h d’on QED nmh 2

COROL·LARI 1 Es pot representar l’arrel quadrada de qualsevol nombre en un sol pas Prova Pel teorema de l’altura, si m=1, aleshores nnh 12

Per tant nh QED

28

Figura 16: Representació pel mètode deductiu de arrels quadrades Descripció depurada del mètode:

1. Partim de la unitat 1= AD 2. Afegim n= DB

3. Trobem amb regla i compàs el punt mig i fem la circumferència de radi 2

1n

4. Tracem la perpendicular per D i trobem així C 5. xnDC

29

4.Representació a la recta de les arrels dels polinomis de segon grau Ja estem en condicions d’anunciar

COROL·LARI 2 L’arrel d’una equació de 2ngrau (amb coeficients enters) i discriminant positiu són construïbles amb regle i compàs, sempre i quan el radicand no sigui inferior a 0. Justificació Considerem amb i cbxax 2 Zcba ,, 042 acb

Aleshores les arrels d’aquest polinomi vénen donades per l’expressió a

bx

2

Combinant el teorema de Tales i el teorema de Pitàgores podem representar un segment que mesuri x. QED Exemple

01143 xx 2 ; 3

1482

)3(2

11)3(444 2

x ; representem 3

1482 com a exemple

Figura 17: Representació de la solució d’una equació de segon grau

30

5.Un cas particular: el nombre d’or()

El nombre d’or és la solució de l’equació12 , es a dir 012 xx2

51x

Com hem vist a l’apartat anterior, podem construir les arrel de polinomis combinant els mètodes utilitzats per construir arrels quadrades i fraccions, com s’aprecia en la figura 16, pel cas

2

51x , i amb el mateix sistema haguéssim pogut fer

2

51x

Figura 18: Representació de phi com a solució d’una equació

Però aquest no és l’únic camí per construir , ja que també el trobem com a diagonal d’un pentàgon de costat 1. Com sabem construir qualsevol polígon amb regla i compàs, sabem construir . Aquest fet ho podem demostrar per semblança de triangles. Considerem els triangles i BCFABD Com és un pentàgon regular, i els triangles que es formen són isòsceles, aleshores

bBFBCAB

A més, per ser isòsceles també es compleix que aFDCF , cDBAD

per tant FBFDDB , bac (1)

31

12 trobareu una explicació més acurada d’això al annex B

Figura 19: Representació de phi com a diagonal d’un pentàgon

Com que ABD i són triangles semblant, podem establir que BCFc

b

b

a ,

2bca (2) per (1) 2)( bbaa aleshores 022 baba Aleshores, si considerem un pentàgon de costat 1,es a dir, 1b , obtenim , on 012 aa

2

51a ja que no pot ser a

2

51 perquè aleshores seria més petit que b , hi això es

impossible. Per això, si volguéssim obtenir 2

51 , hauríem de considerar com unitat la

diagonal i no el costat, ja que la proporció ha de ser la mateixa. Ho podem comprovar aritmèticament si considerem , que és la diagonal del pentàgon. 1c Si partim de (2) per (1) 2bca 2)( bcbc bac

aleshores 022 bbcc

que si queda , de manera que 1c 01 2 bb2

51

2

51

b ja que 2

51 es un

nombre negatiu, impossible, ja que les distancies no poden ser negatives en valor absolut.

Curiosament 2

51

2

51 de manera que si considerem

2

51 ,

2

511

32

6.Limitacions del mètode grec En aquest últim capítol de la secció ens adonarem que tot i l’eficiència del mètode grec, aquest pateix una greu limitació exemplificada en tres problemes clàssics que van significar la crisi del mètode de la regla i el compàs. Aquesta dificultat per representar nombres algebraics, o nombres reals en general, no serà superada fins molts segles desprès, amb mètodes moderns que tractarem a la secció següent.

6.1.Arrels cúbiques construïbles amb regla i compàs. Un pot pensar erròniament que si les arrels d’índex dos es representen en el pla (2dimensions), les arrels cúbiques es representaran en l’espai(3 dimensions).Ara bé, això no és cert, ja que la fórmula que descriu la diagonal d’un ortoedre és l’arrel quadrada de la suma dels seus costats. Així doncs, per exemple, la diagonal del cub de costat unitat és igual a 3 . Aleshores, doncs, ¿com es pot construir una arrel cúbica amb regla i compàs? La resposta és senzilla: no es pot. De fet, només es poden representar nombres racionals, arrels quadrades, i consegüentment de les arrels dels polinomis de segon grau, com determina Galois(1811-1832), geni creador d’una teoria revolucionària.13

6.2.La solució de les equacions de 3r i 4rt grau14 Des de els temps babilònics (2.500 a.C.) ja es coneixia la resolució de les equacions de 2n grau, però no va ser fins 4 mil·lennis més tard que començaren els seriosos avenços en la resolució de les equacions de 3r i 4rt grau, l’autoria de les quals es controvertida i va ser molt polèmica. Scipione del Ferro, al 1515, va resoldre un dels tres casos de l’equació de 3rgrau, ja que com no s’utilitzaven els nombres negatius (Descartes els anomena nombres falsos), s’havia reestructurat en tres casos generals que són , , (el terme en x2 sempre es pot eliminar amb una substitució adequada). Ferro va confiar el secret de la resolució del cas a un alumne seu, Fiore, que va desafiar a Tartaglia, professor universitari que coneixia el mètode per resoldre els tres casos(l’autoria del qual tampoc és segura), raó per la qual va guanyar no només el repte, sinó també molta fama.

qpxx 3 pxqx 3 qpxx 3

qpxx 3

Aleshores Cardano, interessat en la resolució d’aquestes equacions, li va demanar que les hi expliques a canvi d’una recomanació, i Tartaglia finalment cedeix i li envia l’explicació (en forma de poema) però que li guardi el secret. Però Cardano, amb l’excusa que havia trobat altres fonts més antigues a Tartaglia, va incomplir la promesa. Aquestes fonts són els documents de Scipione del Ferro on s’explicava la resolució de l’equació de 3r grau amb el mateix mètode de Tartaglia, però només d’un cas. De totes maneres, a partir del mètode de Tartaglia, Cardano i el seu molt ben dotat alumne Ferrari milloren i amplien els seus coneixement sobre aquesta temàtica, sent capaços de resoldre qualsevol equació en la seva forma general rqxpxx 23

Finalment Cardano publica, en la millor obra fins l’època sobre el tema de l’àlgebra, Ars Magna(1545), on tracta no només l’equació de 3r grau, sinó també la de 4rt grau, gràcies al fet que Ferrari trobés un mètode per transformar-les en equacions de 3r grau. Per si això fos poc

13 Continuar en el punt 6.3.

33

14 Les trobareu explícitament a l’annex F

per a l’època, també parla dels nombres imaginaris que tenen algunes equacions com a solució. En realitat, més que fórmules, van trobar mètodes de resolució que es poden resumir en les seves formules, però que no són recomanables,especialment en el cas de les equacions de 4rt grau, ja que és tan complexa que, si no ho fa un ordinador, resulta molt més fàcil fer el procediment en diverses passes. En l'annex es troben les fórmules i procediments.15

6.3.L’impossibilitat d’expressar la solució general d’una equació de 5e grau o superior amb radicals El teorema de Abel-Ruffini es el resultat de les investigacions de Ruffini entre 1799-1813 per a intentar demostrar que l’equació de grau cinc és irresoluble, la qual cosa va corroborar Abel l'any 1824. Finalment, i en un període de 1824-1829, va formular definitivament que: No es poden resoldre amb radicals les equacions polinòmiques generals de grau igual o superior a cinc, aplicant únicament un nombre finit de sumes,restes,multiplicacions, divisions y extraccions d'arrels als coeficients de l’equació. Això no vol dir que aquestes equacions no tinguin solució, sinó que els casos generals

no es poden solucionar mitjançant una fórmula, cosa que si que

es pot fer amb les equacions de grau inferior a 5 o casos específics de certes equacions de grau superior a 5, com demostra Galois que amb la seva teoria (1828-1831) no només demostra les paraules d’Abel amb més claredat i detall (fent especial èmfasi en el perquè si en els de grau inferior a 5 i no als superiors o iguals a 5), sinó que va un pas més endavant i determina quines són les condicions de resolució d’equacions polinòmiques amb radicals, i obra tota una nova branca de les matemàtiques que uneix la teoria de grups amb la de cossos.

0... 011

1 axaxaxa n

nn

n

Parlem una mica d’ell: geni precoç i de gran sensibilitat política, va viure frenèticament fent front a tot tipus d’adversitats, des de la incomprensió fins a la repressió passant pel pur atzar i a vegades per culpa del seu fort caràcter. Envià a la acadèmia de ciències tres memòries durant la seva vida on s’aprecià l’evolució de la seva teoria, tot i que sempre eren rebutjades. Per diverses circumstancies no va poder finalitzar la seva teoria que, escrita de manera concisa, no va ser compresa fins més endavant. Deixant de banda la seva vida personal16,als 17 anys comença a treballar en la teoria de equacions per tal de trobar quins criteris determinen la solubilitat de les equacions utilitzant els radicals mitjançant formules. El mètode que segueix per resoldre aquest antic problema dona lloc a la teoria de grups. En l’evolució d’aquesta teoria en el món científic, trobem la primer menció desprès de Galois per part de Liouville(1846) i Tannery(1908), que són els primers en entendre’l i els encarregats de donar a conèixer i interpretar els seus escrits, on ja s’albirava el concepte de cos que desenvoluparien Rienman i Dedekind. És cert que en treballs anteriors al de Galois o de coetanis seus ja preveien aquests conceptes, però va ser Galois qui estructurà clara i genèricament aquestes nocions

34

15 trobareu més informació sobre el conflicte de l’autoria d’aquests descobriments a: http://www.portalplanetasedna.com.ar/disputas_matematicas.htm http://gaussianos.com/la-semana-de-la-cubica-la-historia-de-su-resolucion/ 16 S’exposa amb detall a: http://www.ugr.es/~eaznar/galois.htm http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/MateOspetsuak/Galois.asp http://web.jet.es/gemart/galois.htm#v

http://www.portalplanetasedna.com.ar/disputas_matematicas.htm

http://gaussianos.com/la-semana-de-la-cubica-la-historia-de-su-resolucion/

http://www.ugr.es/%7Eeaznar/galois.htm

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/MateOspetsuak/Galois.asp

http://web.jet.es/gemart/galois.htm#v

A més a més, el que ens interessa més d'ell és que determina què es pot construir amb regla i compàs, i què no, des de la impossibilitat d’alguns polígons regulars fins l’afirmació que els tres grans problemes de la geometria clàssica són construccions impossibles, ja que els nombres necessaris per la seva resolució no són construïbles.17 Pel que fa als segments, podem dir que es pot construir tot aquell nombre que es pugui expressar com a arrel d’un polinomi irreductible de grau potencia de dos. Pierre Wantzel prova mitjançant la teoria de Galois per extensions algebraiques de cossos, que alguns polígons no són construïbles amb regla i compàs. Tot i això, va ser Gauss qui trobar una expressió analítica que determines per quins casos els polígons es podien construir amb regla i compàs en funció del nombre de costats. Així doncs, pel que fa als polígons, són construïbles sempre i quan es pugui dibuixar l’angle

n

2 on n es el nombre de costats del polígon. Observem que aquest angle és el format per

les rectes que uneixen el centre amb dos vèrtex consecutius. Aquests resultats ens impedeixen la representació exacta mitjançant regla i compàs de moltíssim nombres, de manera que necessitem de nous mètodes que ens permetin la representació de qualsevol arrel de qualsevol polinomi.

17 En “La imposibilidad o no de algunas construcciones con regla y compás” de Irene Peral Walias i Maria Asunción Sánchez Torres de la U.A.M. es presenta un treball lleugerament similar al meu, però que es fonamenta en la teoria de Galois per respondre a la constructivitat o no de segments com els que impliquen els tres problemes clàssics de la geometria grega o certs polígons. A més s’expliquen les construccions que hem donat per obvies en la introducció d'aquesta primera secció. El podeu descarregar a: http://www.uam.es/otros/fcmatematicas/Trabajos/Bartolome/Trabajo.doc.

35

http://www.uam.es/otros/fcmatematicas/Trabajos/Bartolome/Trabajo.doc

II Construccions modernes, recurrents o iteratives mitjançant mètodes numèrics L’objectiu d’aquesta secció és, deixant de banda el mètode clàssic de les construccions geomètriques, endinsar-nos en les representacions modernes mitjançant mètodes numèrics. Com a introducció tornarem a dibuixar els radicals, ara amb el nou mètode. Però aquest nou mètode ens permetrà també construir l’arrel de qualsevol polinomi, aproximant tant com vulguem, anant més enllà de les limitacions imposades per Galois.

A més de representar a la recta numèrica els nombres algebraics (nombres expressables com a arrels de polinomis), tractarem la construcció de dos nombres transcendentals (nombres no expressables com a arrels de polinomis) cèlebres mitjançant sèries numèriques: i e .

Amb les construccions següents veurem que quantes més vegades reiterem un procediment, més precisa serà l’aproximació, que convergeix al nombre que busquem en la seva iteració última. El seu apropament el podem comparar amb l’espiral arquimediana.

Així doncs, al finalitzar la secció serem capaços de representar qualsevol nombre real, ja que en aquesta secció aprenem a representar tots els irracionals(algebraics i transcendents) i en la secció anterior els racionals.

36

1.Fraccions continues En aquest primer capítol veurem com podem aprofitar una identitat notable per establir un algoritme reiteratiu que ens aproximi el valor numèric d’una arrel quadrada.

1.1.L’arrel de 2

OBSERVACIÓ observem que

11212*)12()12( 22

22)()(* bababa

Així tenim 12

112

d’on

21

112

Observem que a l’expressió algebraica obtinguda cal utilitzar el mateix nombre buscat per calcular-lo, i per tant cal utilitzar la mateixa expressió algebraica. Si substituïm a l’expressió

algebraica 21

112

aquesta mateixa expressió a la 2 del denominador un primer cop,

obtenim:

21

12

11

21

111

112

Si substituïm un segon cop obtenim:

21

12

12

11

21

111

12

112

Si substituïm un tercer cop obtenim:

21

12

12

12

112

Observem l’estructura simètrica de l’expressió algèbrica , que es repeteix cíclicament amb cada

substitució:

...2

12

12

12

112

Aquest resultat s’anomena fracció contínua de 2 ,quant més cops es substitueixi, més precís serà el nombre trobat a l’arrel buscada.

37

1.2.Qualsevol arrel quadrada Multiplicant pel conjugat i aïllant podem obtenir qualsevol arrel quadrada.

11)1()1( 22 aaaa , ja que és un producte notable

1

11

1

11

a

aa

a

aa , aïllem a

Ara ja podem substituir l’expressió a , en la a de l’expressió

....1

11

1

11

11

11

11

11

1

11

11

11

11

11

11

1

11

a

aaaa

a

aaa

a

aa

a

aa

Per fer la seva representació gràfica no caldria fer res més que representar la fracció obtinguda en la reiteració enèsima. En el cas de phi, utilitzant aquest mètode, seria:

4)15()15( , ja que és un producte notable

15

415

15

415

, aïllem 5

Amb l’expressió obtinguda podem substituir-la dins seu indefinidament,

11

115

41

41

41

41

11

15

41

41

41

115

41

41

15

415

=...

però també podem aprofitar la definició característica de phi per fer el següent:

15

4215

15

41115

.sumem 1 als dos costats

15

21

)15(2

22

2

2

2

15

, dividim entre dos als dos costats, de manera que

obtenim al primer terme el nombre i al segon terme 11

1

11 1 , de manera que mitjançant substitució infinita de phi, ens anem

aproximant cada vegada més a phi.

38

1.3.El cas de Sabem que en l’expressió , 012 xx x , de tal manera que podem dir que ,

;

012

1 2 1 ;

1; 1

1

, on si substituïm successivament phi, ens

anem apropant al mateix com demostren aquests exemples:

a) 6.13

5

3

52

3

21

2

31

1

2

11

11

1

11

11

11

b) 6.15

8

5

35

5

31

3

51

1

1

11

11

11

11

c) 625.18

13

8

58

8

51

5

81

1

1

11

11

11

11

11

1.4.La fracció contínua com a mètode numèric La expressió d’una fracció d’un nombre com a fracció contínua ens dóna una successió que

s’apropa a aquest nombre. Per exemple, ;...1

2;1

2;2

1212

ansans

39

1.5.Vicissituds del mètode La clau del mètode rau en el fet que multiplicant pel conjugat del polinomi obtenim un nombre racional, de manera que podem establir relacions reiteratives, ja que l’arrel es troba a les dues bandes. Però si tinguéssim arrels de grau major a 2, no es pot assegurar la viabilitat del mètode, que ens resultaria massa complicat amb múltiples punts de reiteració, el qual s’anirien doblant en cada repetició. Per exemple:

12)12()12( 3 233 ;12

1212

3

3 23

12)12()12( 3 233 2 ;12

1212

3

3 23 2

Aquesta seria la forma de la primera reiteració:

112

121

112

121

12

3

3 2

3

3 2

3

Ara hi hauria les quatre arrels, desprès en serien setze,etc., de manera que resulta massa complex. Caldria tenir en compte que, en aquest cas, augmenta exponencialment amb base dos, però quant major sigui l’índex de l’arrel, en general, els punts de reiteració augmentaran sempre que no siguin múltiples dels successius índex del radicand desprès de fer la multiplicació amb el seu conjugat.

40

2. Mètode de bisecció És un dels mètodes numèrics pròpiament dits més senzills que permet la construcció d’arrels de polinomis de qualsevol grau, i per tant la representació de qualsevol algebraic. Aquest mètode es basa en el teorema de Bolzano, que garanteix que entre dos imatges de signe contrari d’una funció, si es continua en aquest interval, tallarà la recta. Amb aquest coneixement podrem establir un procediment per apropar-nos al punt on talla la recta.

2.1.El teorema de Bolzano El mètode de la bisecció està íntimament relacionada amb el teorema de Bolzano, per això explicarem primerament aquest concepte. TEOREMA

)(

],[

xfx

Rba

f es continua en ],[ ba Si on ],[0)()( bacbfaf 0)( cf La demostració que va fer Bolzano del seu teorema dóna peu al mètode numèric de la bisecció

2.2.Descripció de la prova de Bolzano

Estudiem el cas on i 0)( af 0)( bf21

bad

0)( 1 df , aleshores ja hem obtingut l’arrel de la funció, 1dc

0)( 1 df , en aquest cas per tant com a valor aproximatiu de l’arrel serà: 21

2

dad

0)( 1 df , en aquest cas per tant com a valor aproximatiu de l’arrel serà: 21

2

bdd

De manera recurrent trobarem ,..., 43 dd

Bolzano demostra que aquesta successió s’apropa a c

41

2.3.Aplicació del mètode al cas particular de 3 2 Primerament necessitem obtenir la funció amb l’arrel que volem representar. Per fer-ho considerem que la incògnita x és igual al nombre que volem representar, 3 2x , d’on tenim que x ha de ser arrel de 2)( 3 xxf Com i 03)1( f 06)2( f , pel teorema de Bolzano sabem que hi ha una arrel entre 1 i 2. Ara apliquem l’algoritme d’aproximació:

5,12

36

21

ba

d

i per tant 0375,125,15,1)( 31 fdf

Prenem doncs, 25,12

15,1

21

2

bd

d

i per tant 0046,0225,125,1)( 32 fdf

Prenem doncs, 375,12

25,15,1

221

3

dd

d

i per tant 05996,02375,1375,1)( 33 fdf


25,1375,1

223

4

dd

d

i per tant 0261,023125,13125,1)( 34 fdf


25,13125,1

224

5

dd

d

i per tant 01033,0228125,128125,1)( 35 fdf


25,128125,1

225

6

dd

d

i per tant 0027,02265625,1265625,1)( 36 fdf


25,1265625,1

226

7

dd

d

i per tant 001,022578125,12578125,1)( 37 fdf


2578125,1265625,1

276

8

dd

d

i per tant 000857.0226171875,126171875,1)( 38 fdf

Les xifres subratllades dels resultats són les xifres que corresponen a la solució. Com podem veure és un mètode lent que necessita de moltes reiteracions.

42

2.4.Representació gràfica Podem fer dos coses: representar el successius punts d obtinguts a la funció (mera interpretació dels resultats), o fer els punts mitjos successius entre a i b, que és el que significa geomètricament el mètode de la bisecció

Figura 20: Representació gràfica del mètode de la bisecció

De manera més depurada:

Figura 21: Representació gràfica del mètode de la bisecció depurat

43

2.5.Algoritme computacional Partim de 0)()( bfaf

(1) Sigui 2

bac

(2) Si , prendre a = c, per el contrari fer b = c. 0)()( cfbf(3) tornar a (1) Aquestes instruccions expressen l’idea general del mètode, on caldria afegir el número de reiteracions que volem fer. Ara mostrem un exemple amb la calculadora wiris:

on i en 1..50 és el nombre de reiteracions a fer. Quan més reiteracions es facin, més precís serà el nombre, en aquest cas c és igual a 1.2599210498959…, on totes les xifres esmentades són exactes. Les 50 fraccions obtingudes les podrem representar per Tales. Tenim així una aproximació geomètrica a la solució.

2.6.Vicissituds del mètode de la bisecció La seva lentitud. Per això mostrem a l’annex G i H altres mètodes numèrics que serveixen per trobar fraccions que s’aproximin a l’arrel d’un polinomi i que milloren la velocitat de convergència del mètode de la bisecció. Aquests són el mètode de la secant i el mètode de Newton.

44

3.Construcció de nombres transcendentals Aquests nombres són aquells que no es poden expressar com a solució de cap equació polinòmica amb coeficients enters, és a dir, que no existeix cap expressió exacta ni relació algebraica que el defineixi, la qual cosa es tradueix en la impossibilitat de representar-ho amb mètodes exactes per regla i compàs o utilitzant el mètode de la bisecció ja que cap funció els defineix. La seva transcendència els fa tan especials, que només amb sèries numèriques podem obtenir el valor que fixarà el seu punt a la recta geomètrica.

3.1.El nombre pi

Obtenció tradicional de Arquimedes i la successió de perímetres19 Arquimedes, al segle III a.C., va idear un mètode eficaç per trobar el nombre i que s’ha utilitzat durant molts segles fins ser substituït per diferents algoritmes. Aquest consisteix a dibuixar una circumferència i en aquesta inscriure(dibuixar per dins) i circumscriure (dibuixar per fora) polígons del mateix nombre de costats, de manera que el seus perímetres respectius siguin menors i majors respectivament (de manera que la seva mitjana ens aproxima més al perímetre de la circumferència) i tendeixin al perímetre de la circumferència quan el nombre de costats dels polígons tendeix a infinit. Tenint en compte que el diàmetre de la circumferència és un nombre conegut, i el perímetre dels respectius polígons és la suma dels seus costats,

podem aplicar d

P

per calcular el nombre El procediment és senzill: 1-Dibuixem un polígon de n costats. 2-Fem una circumferència que passi pels punts del polígon, inscrivint el polígon dins de la circumferència. 3-Dibuixem els punts mitjos de cada costat. 4-Traçem la perpendicular de cada costat en el seu respectiu punt mig per trobar els punts de tall amb la circumferència. 5-Tracem en els punts de tall amb la circumferència paral·leles dels respectius costats. 6-Els punts d’intersecció entre les successives paral·leles són els vèrtex del nou polígon, el circumscrit. Les següents representacions són de polígons de 3,6,12 i 24 costats respectivament:

18 Trobareu més informació al annex I

45

19 utilitzant el mètode d’exhaustió d’Eudoxo, matemàtic del segle V a.C. Es tracta d’una de les primeres aplicacions matemàtiques del concepte d’infinit i constitueix la versió grega del càlcul integral

Figura 22: Pi,mètode d’exhaustió: triangle (1) Figura 23: Pi,mètode d’exhaustió: triangle (2)

Figura 24: Pi,mètode d’exhaustió: hexàgon (1) Figura 25: Pi,mètode d’exhaustió: hexàgon (2)

Figura 26: Pi,mètode d’exhaustió: dodecàgon (1) Figura 27: Pi,mètode d’exhaustió: dodecàgon (2)

Figura 28: Pi,mètode d’exhaustió: 24-àgono (1) Figura 29: Pi,mètode d’exhaustió: 24-àgono (2)

46

Figura 30: Pi,mètode d’exhaustió: 24-àgono (3)

47

Obtenció moderna de Algoritmes20 A partir del segle XVII, els matemàtics van començar a rellevar els mètodes geomètrics d’Arquimedes per series numèriques, influenciats, segurament, pels conceptes de càlcul 1665, Isaac Newton

...98642

7531

7642

531

542

31

32

1)arcsin(

9753

xxxx

xx

on per 62

1arcsin

2

1

x

1671,Sèrie de Gregory

...9753

)arctan(9753

xxxx

xx

on per 63

1arcsin

3

1

x

1706, fórmula de Machin

239

1arctan

5

1arctan4

4

1655, Producte de Wallis

2...

9

11

9

8

7

8

7

6

5

6

5

4

3

4

3

2

1

2

14

4

12

2

n n

n

1682, Sèrie de Leibniz

4...

13

1

11

1

9

1

7

1

5

1

3

11

12

)1(

0

n

n

n

Sèries d’Euler

2...

9753

4321

753

321

53

21

3

11

)!12(

!2

0

2

n

n

n

n

90...

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

11)4(

4

4444441

4

n n

1735, (resolució al problema de Basilea)

6...

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

11)2(

2

2222221

2

n n

48

20 trobareu més algoritmes a: http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html

http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html

Fracció de Brouncker

...15

713

611

59

47

35

23

11

4

2

2

2

2

2

2

2

Alguns exemples amb la Wiris són:

Obtenció senzilla de manipulant la realitat

Si rP 2 , i 2

1r aleshores

2

122 rP

Així doncs, si tallem qualsevol objecte circular que tingui com a radi 0,5cm o 0,5dm o 0,5m,... i mesurem la llargada de l’objecte, estarem mesurant el perímetre que és igual a

49

3.2.El nombre e 21

Definició Euler enuncià el nombre come 22:

H

He

11 on on , es a dir, on xH Rx H és un nombre infinit

o el que és el mateix en termes de límits

n

ne

n1

1lim

n

n

nn

1lim

Algoritme immediat a la definició

Si desenvolupem el binomi de Newton en

n

n

11 obtenim:

nnnnn

nn

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

1

11

11

...1

12

11

1

11

00

11

22

11

0

Si tenim en compte que 1 elevat a qualsevol nombre és 1, i que el producte de 1 entre qualsevol nombre és ell mateix, exceptuant el 0, el qual no apareix en el desenvolupament del binomi de Newton, podem ometre’l de tota l’equació, de manera que obtenim:

nnn

nn

n

nn

n

n

n

n

n

n

11

1...

1

2

1

11

11

121

Si tenim en compte que )!(!

!

mnm

n

m

n

podem substituir en la sèrie com:

...1

)!2(!2

!1

)!1(!1

!1

11

2

nn

n

nn

n

n

n

nn

nnnn

n

nnnn

n

1

)!(!

!1

))!1(()!1(

!...

1

que es redueix a

21 Trobareu més informació al annex J

50

22 Publicat en 1736 en l’obra Mechanica del matemàtic suïs Leonahard Euler

nn

n

nnn

nn

nn

nnn

nn

nn

n

11

)!1(

)!1(...

1

)!2(!2

)!2()1(1

)!1(!1

)!1(1

11

12

nn

n

nn

n

n

nn

n

n

n

1...

1

!2

)1(1

!11

11

12

nn

n

nnn

n

n

n

n

1...

1

!2

)1(

!1

11

11

2

nn

n

nnn

n

n

11...

!2

1

!1

11

11

2

nn

n

nnnn

n

n

11...

!2

1

!2!1

11

11

2

nn

n

nnnn

11...

!2

1

!2

1

!1

11

11

2

on , de manera que 0n!2

10

!2

11

!2

1

!2

1

!2

1

n

Així doncs, podem generalitzar que

n

nne

n

n

0 !

1...

!3

1

!2

1

!1

11

11lim

on, recordem, nn ...4321!

Altres algoritmes

1

2

!2n n

ne

1

3

!5n n

ne

1

4

!15n n

ne

1

5

!52n n

ne

1

6

!203n n

ne

51

n

n

n

n

ne

n

n

n

n

)2(

)1(

)1( )2(

)1(

)1(lim

on 2n

Mitjançant fraccions continues existeixen les següents igualtats:

...9

88

77

66

55

43

32

22

e

Que es pot normalitzar com:

...6

11

11

14

11

11

12

11

12

e

on s’aprecia la regularitat 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1...1,2n,1

52

4.La recta real Per finalitzar aquesta secció, recordem que ara no solament estem en condicions de representar tot nombre racional per Tales i arrels quadrades per Pitàgores de manera exacta, sinó que podem aproximar tant com vulguem qualsevol arrel de qualsevol polinomi, a més de construir també, aproximadament, els nombres transcendents i e . Fins ara, doncs, hem representat a la recta geomètrica tots els nombres reals possibles, que, si tenim en compte que els nombres reals són un cos complet23, podríem pensar que hem omplert completament la recta amb tots els punts possibles, com afirma l’axioma de Cantor-Dedekind.

Figura 31: Posició a la recta real de l’aproximació a la mil·lèsima d’alguns nombres reals

erò tot i això, i contràriament al que es pugui pensar, encara queden nombres per descobrir.

P

53

23 Annex M

III Construccions contemporànies, amb nombres hiperreals En aquesta secció examinarem la concepció de Cantor de la recta numèrica, que és la concepció habitual, on s’estableix que la recta està formada pel conjunt dels nombres reals. Segons això podríem dir que ja podem representar tots els punts de la nostra recta geomètrica, per tal com hem après a representar tots els reals a les seccions anteriors. Però no satisfets amb aquesta resposta, ens hem tornat a preguntar si hi ha quelcom més a la recta geomètrica, ara que és totalment completa i no sembla ser porosa. Desprès d’haver investigant més profundament en aquests temes, hem trobat uns nous nombres que neguen aquest axioma i la propietat arquimediana per tal com estan constituïts per nombres infinits e infinitèsims. Estem parlant dels hiperreals, un nou cos poc conegut per la majoria dels matemàtics tot i que sovint l’utilitzen de manera implícita en la anotació del càlcul integral. Aquests nombres són un model matemàtic creat per lògics amb ultraproductes i que configura un nou mètode d’ anàlisi, l’anomenat: Anàlisi No Estàndard Aquests nombres van ser la primera resposta als problemes que resolen avui el càlcul diferencial i el càlcul integral. El primer en utilitzar aquests mètodes va ser Leibniz, en contra del complex mètode de fluxions de Newton, però no va ser fins el 1966 que Abraham Robinson formalitzés i fonamentés aquests mètodes i nombres.

54

1.La teoria de Cantor24: tipus d’infinits25 Cantor va ser el geni creador de la teoria de conjunts de manera similar a com Galois confeccionà la teoria de grups. Ambos van patir el rebuig de la comunitat científica i ambos van configurar una teoria completament nova pràcticament des de zero.26 La seva teoria li va fer afirmar que tot punt a la recta representa un nombre real. Si fos així, podríem dir que estem en condicions de representar qualsevol nombre per tal com em après a representar tots els nombres reals en les seccions anteriors. Vegem, doncs, quins són els seus arguments.

1.1.Conjunts numerables

La paradoxa de Galileu: bijecció27 entre parells i naturals Si tenim un cub amb boles vermelles i blaves, per comparar la quantitat de boles de cada color podem emparellar-les. De ser possible emparellar totes les boles de diferent color, aleshores els conjunts són equivalents. Si no és així, les boles sobrants en el cub pertanyen al conjunt major. Per comparar la grandària de dos conjunts infinits també es poden emparellar els elements del primer conjunt amb els dels segon Així doncs, considerem el conjunt de tots els nombres naturals i el conjunt de tots els nombres naturals parells. A cada nombre natural li correspon biunívocament un nombre natural parell que és el doble que ell, és a dir, es poden numerar tots els parells.

Naturals parells 1 2 2 4 3 6 4 8 5 10 ... .... n 2n

Aquesta correspondència biunívoca entre els elements dels dos conjunts prova que hi ha tants nombres naturals com parells . La resposta de Cantor Cantor considera que el que Galileu qualifica de paradoxal es una propietat característica dels conjunts infinits. Aquest procediment per comparar la grandària de diferents conjunts, Cantor l’utilitza per definir equivalències entre conjunts infinits: Dos conjunts són equivalents si es pot establir una correspondència biunívoca,es a dir, una relació de bijecció (com la anterior). Si dos conjunts infinits són equivalents significa que tenen el mateix tipus d’infinit Ell demostra que es poden enumerar(posar en bijecció amb els nombres naturals) totes les fraccions (nombres enters) mitjançant un algoritme de la forma següent:

24 Més informació sobre Cantor a: http://www.cayocesarcaligula.com.ar/Textos/Cantor/georg_cantor_y_la_teoria_de_transfinitos.htm 25 Trobareu més informació amb caràcter més formal a “sobre la aritmètica transfinita de Cantor” de Antonio León Sánchez, que podeu llegir a http://www.interciencia.es/PDF/Mathematics/SobreLaAritmeticaTransfinitaDeCantor.pdf 26 Tot i que aquesta és la concepció general, en Labyrinth of Thought. A history of Set Theory and its Role in Modern Mathematics. de Jose Ferreirós s’intenta trobar els precedents, tot i que es reconeix que es Cantor qui generalitza aquests conceptes, es dóna la importància que es mereixen tot un seguit de altres matemàtics que hi contribuïren. Podeu descarrega un article que comenta i resumeix l’obra a http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/Gaceta/Historia43.pdf

55

27 Consulteu l’annex L

http://www.cayocesarcaligula.com.ar/Textos/Cantor/georg_cantor_y_la_teoria_de_transfinitos.htm

http://www.interciencia.es/PDF/Mathematics/SobreLaAritmeticaTransfinitaDeCantor.pdf

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/Gaceta/Historia43.pdf

Figura 32: Enumeració dels enters28

En aquest infinit que em trobat tant en el conjunt de nombres parells, com de nombres naturals i de nombres enters l’anomenat aleph zero i s’escriu ó 0

Els nombres alephs, també s’anomenen cardinals.

Cantor demostra que també es podien enumerar els racionals i tots els nombres algèbrics (arrels d’un polinomi)

1.2.Conjunts no numerables: els nombres reals Quan Cantor intenta enumerar els nombres reals, prova que és impossible.

l’argument diagonal Primer va determinar que en un conjunt compres entre 0 i 1, no es podien enumerar tots els possibles nombres reals. Per facilitar la demostració, ho va fer en codi binari(el qual no afecta a la validesa de la prova). Així doncs, ell va demostrar que independentment de l'ordenació que pugui tenir la llista de nombres decimals il·limitats, sempre es pot construir un de nou que no estigui contingut en la llista. Per construir aquest número dibuixem una diagonal que passi pel primer dígit decimal del primer número, pel segon dígit decimal del segon número,.... el nombre format per els dígits contraris (canviar el 0 per el 1 i el 1 per el 0) als traçats per la diagonal, no pertany a la llista ja que difereix almenys en un dígit en tots els nombres

56

28 imatge extreta de http://www.cayocesarcaligula.com.ar/Textos/Cantor/georg_cantor_y_la_teoria_de_transfinitos.htm


0.00000000... 0.10000000... 0.01000000... 0.11000000... 0.00100000... 0.10100000... 0.01100000... 0.11100000... … Si tenim en compte que tenim dues possibilitats per dígit (0 ó 1), i que hi ha infinits dígits,

podem concloure que en el conjunt (0,1) hi ha elements. Definim aquest segment, de moment, com:

Rx)1,0( , 10 x

bijecció entre el segment i la recta Si traiem un punt al segment unitat i el dobleguem, podem obtenir el segment (0,1) en forma de cercle, ja que els extrems es toquen en el punt tret. Aquest punt que hem tret representa l’infinit, i es el punt de projecció de totes les rectes secants que creuen el cercle per arribar a un punt de la recta. Les infinites rectes secants que creuen el cercle van a parar als infinits punts de la recta.

Figura 33: Bijecció entre la circumferència i la recta numèrica

bijecció entre la recta i la superfície Altrament Peano demostra que es pot construir una corba que passa per tots els punts d’un quadrat,és a dir, que es poden bijectar superfície i recta.

)(),(

]1,0[]1,0[]1,0[

xbxax

57

Figura 34: Bijecció de Peano entre la recta i la superfície29

1.3.Jerarquia d’infinits: la hipòtesi del continu

La hipòtesi del continu entén que entre i no hi ha cap altre cardinal entremig.

Així doncs, podem establir que = . De la mateixa manera podríem establir que 2 = i

així successivament, es a dir, que , el qual es coneix com la hipòtesis general

del continu. 12 n

n

L’axioma d’elecció ens diu que: donada una col·lecció de conjunts, on cada un consti almenys d’un element, es pot agafar exactament un element de cada conjunt y formar amb ells un nou conjunt, encara que hi hagi una col·lecció infinita de conjunts. Aplicant l’axioma d’elecció podem establir una escala d’infinits cardinals. Altrament també podem considerar espais de n dimensions ( ) bijectables amb aquests conjunts. Aquesta hipòtesi pot ser acceptada o no, és un axioma independent. Es poden fer matemàtiques amb ella30 i sense ella31. En general, és una hipòtesi poc utilitzada. De tota manera, aprofundir en aquest aspecte de la teoria de Cantor no correspon al nostre estudi..

29 imatge extreta de http://www.cayocesarcaligula.com.ar/Textos/Cantor/georg_cantor_y_la_teoria_de_transfinitos.htm 30 Godel,1938

58

31 Cohen,1963


1.4.Propietat arquimediana Considerem un segment x qualsevol tan petit com vulguem i un segment tan gran com es vulgui. Aleshores s’estableix que sempre el segment

mx podrà superar el segment si es

multiplica suficients cops. De manera més formal podem dir que: m

Rx i ,aleshores que compleix Rm Nn mnx

0 i , aleshores que compleix 0M Nn Mn

1.5.Axioma de Cantor-Dedekind La bijecció que Cantor fa entre un segment format per nombres reals i la recta numèrica(III-1.2) li fa afirmar el següent: Es poden representar tots els nombres reals en una recta de manera que cada un d’ells ocupi una posició unívoca en aquesta recta; els nombres reals estan formats pel continu de punts d’aquesta recta; la Recta Real. Però aquest enunciat es completament gratuït per tal com la prova que fa Cantor el que estableix es que es pot bijectar un segment amb la recta geomètrica. Però si aquest segment en comptes de pertànyer al conjunt de nombres reals englobes un altre conjunt, a ser possible més dens, aleshores cada punt de la recta no correspondria biunivocament amb els nombres reals, sinó amb altres nombres.

Tot esta tan fonamentat com sembla? Es possible l’existència d’un conjunt de nombres més dens? Es possible formalitzar-ho i treballar amb ells?

59

2.Nombres hiperreals32 En l'estudi de funcions, ens han ensenyat que un màxim absolut ha de ser sempre un nombre

real. Si la funció tendeix a l'infinit (p.e. ) , sempre podrem trobar un nombre real superior als anteriors nombres, de manera que es conclou afirmant que aquesta funció no té màxim absolut, per tal com no hi ha un nombre real, en aquesta funció, que no sigui superat per cap altre. Però aquesta consideració és valida? L'infinit no és un nombre real, però be és un nombre, i és també el límit al que tendeix aquesta funció. No podríem afirmar, doncs, que l'infinit és el màxim absolut d'aquesta funció?

2)( xxf

Vet aquí la nostra resposta. En aquesta recta final del treball albirarem al fi una mica de veritat al assumpte tractat: "què és un punt en la recta geomètrica?". Podríem dir, inclús, que la resta de treball només es una mera excusa per presentar, definir i formalitzar aquest nou cos, desconegut per la gran majoria, fins i tot per un percentatge important dels matemàtics. Sincerament, benvolgut lector, els coneixia?

2.1.Negant axiomes La negació de l’axioma de Cantor-Dedekind implicaria l’existència d’un nou conjunt de nombres que englobaria el conjunt dels reals. Anàlogament com succeïa amb el pas dels racionals als reals, on entremig de dos racionals sempre podem trobar un nombre real, podríem considerar que entre dos nombres reals hi ha quelcom més que nombres reals. Així doncs podríem dir que parlem d’uns nombres que filen més prim, que tenen una precisió major. D’altra banda, si neguem la propietat arquimediana estarem admeten l’existència de nombres que limitessin la infinitud dels nombres reals. Així doncs, estaríem creant un conjunt de nombres més dens, tal i com succeeix amb el pas de racionals a reals. Tot això es possible?

2.2.Introducció El concepte d’infinitament gran i infinitament petit es remunta a l’època grega33. Però no va ser fins al segle XVII que es fes habitual l’ús de nombres infinits(nombre més gran que qualsevol nombre real) i infinitèsims(nombre més petits que qualsevol nombre real). 34 Tot i això aquest mètode s’ha vist desplaçat pel concepte de límit, que no requereix la utilització d’aquests nombres que no pertanyen al grup dels nombres reals i que per tant no compleixen les mateixes propietats35. L’ús d’aquests nombres s’anomena Anàlisis No Estàndard (NSA)36. La diferencia fonamental entre Anàlisis No Estàndard i l’ús de límits, es que la utilització del primer implica la negació de la propietat arquimediana i de l’axioma de Cantor-Dedekind.

60

32 El llibre més complet de caràcter formal que tracta el tema i l’ús d’aquests nombres es Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach de Jerome Keisler. El podeu descarregar a http://www.math.wisc.edu/~keisler/ 33 les paradoxes de Zeno, l’atomisme de Democrit, el mètode d’exhaustió d’Eudoxo(versió grega del càlcul integral),... 34 Els nombres infinits i els infinitèsims varen ser introduïts pel matemàtic alemany Leibniz al 1684 35 dificultant aparentment la seva utilització, que s’ha vista marginada fins avui i que no s’ha formalitzat fins el 1966 per Abraham Robinson 36 deixant clar el rebuig per aquest mètode per part de la comunitat científica. A http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis podreu trobar més informació al respecte.

http://www.math.wisc.edu/%7Ekeisler/

http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis

http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis

L’afirmació dels nombres infinitèsims nega la propietat Arquimediana, ja que afirma l’existència d’un nombre més petit que qualsevol altre, de manera que no sempre es pot obtenir un nombre menor dins d’un interval, sinó que el menor nombre es un infinitesimal. Altrament, com existeix un nombre més petit als reals, la seva combinació crea uns nous nombres, els hiperreals, que estan entre els nombres reals. Així doncs, el conjunt dels nombres reals és porós i per tant no cobreix tota la recta i per tant cada punt de la recta no correspon a un nombre real sinó a un hiperreal.

2.3.Definició i nomenclatura Així doncs definim un infinitèsim com:

xi 0 on , Rx Així doncs podem definir un nombre infinit com:

xi

1on , Rx

Figura 35: Els hiperreals a la recta geomètrica37

Caldria recordar, en aquest sentit, com definia Euler el nombre , ja que ell és dels pioners en l’anàlisi no estàndard i la utilització de nombres infinits.

e

Pel que fa a la nomenclatura d’aquests nombres és variada. En Elementary Calculus utilitzen H pels nombres infinits (probablement en honor a Euler) i èpsilon, , pels infinitèsims (segurament en honor a Littlewood38). Tot i això també s’utilitza delta, , en l’anàlisi corrent, com veurem a la següent capítol o inclús com s’ha fet a Mèxic en alguns instituts de secundària, on han fet un “experiment sociològic” per demostrar que és més instintiu l’ús de hiperreals que de límits.

i

D’altra banda si bé utilitzem R per referir-nos als nombres reals, utilitzarem R* o *R (s’utilitzen ambdues)

37 imatge extreta de Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach de Jerome Keisler

61

38 A “Los matemáticos no son gente seria”, de Alsina i Guzmán, (pag.41) s’explica que Littlewood per resoldre un problema d’anàlisi va considerar una expressió “que es menor que , on es pot fer tan petita com es vulgui”. Quan el impressor va enviar a Littlewood les proves per la seva correcció, es llegia “que es menor que .”, on, amb l’ajuda d’una lupa i al costat del punt es podia veure una petita èpsilon. Sens dubte el impressor s’havia pres moltes molèsties i interès en el fet de poder-la fer tant petita com es volgués.

2.4.Els nombres infinitèsims Leibniz els defineix per primera vegada com a monada39, que només es podien observar amb l’ajuda d’un microscopi ideal. Per tant, aquests segments són més petits que els segments amb longituds donades per nombres reals. Anàlogament defineix els nombres infinits com galàxies només observables amb telescopi.

Figura 36: L’infinit40

Les operacions i propietats dels nombres infinitesimals, entre ells, és anàloga a la dels nombres reals, és a dir, se suma, resta, multiplica,divideix,.... de la mateixa forma, tal com si fossin nombres reals. Si posem tots els segments infinitesimals possibles sobre la recta numèrica amb un extrem en l'origen, els altres extrems d’aquests segments determinaran una infinitud de punts a ambdues bandes de l’origen; aquests nous punts només es podran distingir amb l’ajuda del microscopi ideal i estaran més pròxims del origen que qualsevol nombre real. A aquests nous nombres de la recta els anomenarem infinitesimals; i al conjunt de tots els nombres infinitesimals junt amb el zero, l’anomenarem àtom de zero. De la mateixa manera, podem pensar en l’àtom de qualsevol nombre real r .

39 construcció feta pels lògics amb ultraproductes.

62


2.5.Propietats41 El conjunt de nombres reals i nombres infinitesimals, que composen la recta numèrica, es el que s’anomena nombres hiperreals; aquests es defineixen amb la forma ir , on Rr , Ri Habitualment ens serà útil, donat un nombre, saber en l’àtom de quin nombre real es troba. Per tant, donat un nombre de la forma ir , direm que r és la seva part real, el seu àtom, i escriurem:

rir )Re( Aleshores, la part real de un nombre real serà ell mateix. Les seves propietats característiques són: 1)La suma de dos infinitesimals és un infinitesimal o zero 2) El producte de dos infinitesimals és un infinitesimal. 3)La suma d’un nombre real i un infinitesimal és un nombre real 4) El producte de un nombre real diferent de zero per un infinitesimal, és un infinitesimal Quan la diferència de dos nombres a,b, sigui d’un infinitesimal, direm que aquests nombres estan infinitament pròxims i que comparteixen l’àtom del mateix nombre real.(1)

63

41 als annexos M i N trobareu més explícitament la diferencia entre els nombres reals i hiperreals des de un punt de vista algebraic

3. Utilitat dels hiperreals Arribats a aquest punt un es pot qüestionar la utilitat d’aquests nombres. Serveixen per alguna cosa, preguntaran segurament els més pragmàtics. Doncs, indubtablement. De fet, ens permeten operar amb més facilitat com podrem observar a continuació

3.1.Càlcul diferencial Considerem una corba qualsevol, tallada per una recta secant, o el que és el mateix, tallada en dos punts

Figura 37: Càlcul diferencial (1)

Si tracem les rectes paral·leles als eixos de coordenades en els punts A i B, obtenim el triangle ABC.

64

Figura 38: Càlcul diferencial (2)

Base= iabiab Altura= )()()()( afiafafbf

))(,( afaA ))(,())(,( iafiabfbB

))(,())(,( afiaafbC La pendent de la recta secant és igual al quocient entre l’altura i la base del triangle. Si la recta secant talla només en un punt, la recta resultant s’anomena recta tangent. Perquè la recta secant talli només en un punt, A i B han de estar infinitament pròxims i per tant la base del triangle serà infinitesimal(1). Així doncs, definim el pendent de la recta tangent com:

i

afiafaf

)()()('

on , Ra Ri

A aquesta expressió se l’anomena derivada. D’aquesta manera podrem resoldre problemes de màxims i mínims, trobant el punt on el pendent de la recta tangent, és a dir, la derivada, sigui zero, sense dependre del concepte de límit. Contrastem ara les definicions formals en Anàlisi Estàndard(AS) i en NSA:

AS: )(' xf0

lim

h h

xfhxf )()(

NSA: x

xfxxf

x

yxf

)()(

)('

d’on es dedueix que: 2)()()( xyxfxxf

2)()(')()( xxxfxfxxf

65

Figura 39: Càlcul diferencial (3)42

Exemples comprovem quan més ràpid és el nou mètode 1) 2)( xxf

a) )(' xf0

lim

h h

xfhxf )()( =

0

lim

h

h

xhx 22)(

0

lim

h

h

xhxhx 222 2

=0

lim

h

h

h 2xh2

0

lim

hx2

hx

1

2

b) xxfxxxxxxxxxfxfxxf 2)(')(2)()()(')()( 2222 2) nxxf )(

a) )(' xf0

lim

h h

xfhxf )()( =

0

lim

h

h

xhx nn)(

0

lim

h

xh n2

h

xhn

nhx

n

nnxh

n nnnn 121

1...

21

x n

n

0

0

lim

h

h

hn

nhx

n

nxh

nxh

n nnnn 1221

1...

21

0

lim

h

h

hn

nhx

n

nxh

nx

nh nnnn 1221

1...

21

66


0

lim

h = =1221

1...

21

nnnn hn

nhx

n

nxh

nx

n 1

1

nxn 1

)!1(!1

!

nxn

n=

= 11

)!1(

)!1( nn xnx

n

nn

b) 2)()(')()( xxxfxfxxf

nnnnnnn xxn

nxx

n

nxx

nxx

nx

nxx

1221

1...

210)(

com que només ens interessa el segon terme:

)(' xf 1

1

nxn

= 1

)!1(!1

!

nxn

n= 11

)!1(

)!1( nn xnx

n

nn

3) )sin()( xxf

a) )(' xf0

lim

h h

xfhxf )()( =

0

lim

h

h

xhx )sin()sin(

0lim

h

xsin()h

hxh )sin()cos() cos()xsin(

0

lim

h

h

xhxhx )sin()sin()cos()cos()sin(

0

lim

h

h

hx

h

hx )sin()cos(1)cos()sin(

=*

0

lim

h h

hx )sin()cos( =** )cos(

)0sin()cos(x

h

x

*0

lim

h

0

0)sin(1)0cos()sin(**

1)cos()sin(

h

x

h

x

h

hx

**les funcions trigonomètriques convergeixen molt ràpid, per exemple, si h=1

0sin0001523.0

1

1)1cos()sin(

x

x

b) 2)()(')()( xxxfxfxxf )sin()cos()cos()sin()sin( xxxxxx

xxx )cos()sin( )cos()(' xxf 4) xexf )(

a) )(' xf0

lim

h h

xfhxf )()( =

0

lim

h

h

ee xhx

0

lim

h

h

eee xxh

0

lim

h

h

ee hx )1(

0

lim

hxe

h

e h 1* e x lim

0t

)1ln(t

t xelim

0t

)1ln(1

1

tt

t

xelim

0

tt /1)1ln(

1 xe**

* )1ln()ln(

)1ln()1ln()ln()1ln()ln(11

t

e

thtehtetete hhh

quan 0010 0 teth

** = ln[ ]=0

lim

ttt /1)1ln(

0

lim

ttt /1)1( 1ln e

b) =* 2)()(')()( xxxfxfxxf xxxx eee xeexe xxx )1( xexf )('

67

* xH

xH

e /111

1

xe 1x

3.2.Problemes d’optimització: exemple Imaginem que volem tancar un jardí amb una paret amb 10 metres de tanca de tal manera que l'àrea sigui màxima. Existeixen diferents possibilitats per a la llargada i l’amplada del terreny que donaran diferents valors a l’àrea, però nosaltres volem el màxim de terreny abastable.

Figura 40: Plantejament d’un problema de màxims i mínims

Figura 41: Funció d’un problema de màxims i mínims

Si anomenem x a l’amplada del terreny, la llargada serà 10-2x, ja que tenim 10 metres de tanca i la paret ens estalvia un costat(Fig.33). Així doncs, l’àrea del terreny es defineix en funció de

l’amplada com: 2210)210()( xxxxAxf

Si representem aquesta funció observem que el valor màxim de l’àrea correspon al vèrtex de la paràbola( Fig.34). Si augmentem el valor de x en una quantitat molt petita, i , el valor de l'àrea pràcticament no variarà. Així doncs, es complirà que (1) 22 )(2)(10210 iixxx x Operant: 222 2421010210 ixixixxx Restant: 224100 ixii Simplificant(dividint entre i ): ix 44100 Si tenim en compte que és un infinitesimal, es compleix que: i

mxxxix 5.22

5

4

1041004104410Re

De fet podem formalitzar aquest raonament si tenim en compte que la igualtat que em considerat al principi (1) era en realitat )()( ixfxf

68

A més a més, quan dividim entre , obtenim: ii

xfixf )()(0

que coincideix amb l’expressió que defineix el pendent de la recta tangent en un punt. Així doncs, el que estem fent és buscar el punt en el qual la recta tangent sigui horitzontal, és a dir, tingui pendent zero . Aquest punt és un màxim per tal com abans creixia i ara decreix, i correspon a un extrem relatiu per tal com no pot créixer més en aquest interval, ja que si augmentem el valor de

)('0 xf

x , l’àrea decreix. Així doncs, podem concloure que si augmentem el valor de x molt poc, amb un infinitèsim, el valor de l’àrea augmentarà o disminuirà sempre a no ser que es trobi en un extrem relatiu.

69

3.3.Càlcul integral El càlcul integral que ens ensenyen al batxillerat és la resposta que han donat les matemàtiques per calcular les àrees de funcions o superfícies corbes com la de la figura. Però, en què consisteixen realment? Quina relació s’estableix entre les integrals i el nombres hiperreals?

Figura 42: Integral de una funció corba43

El mètode d’Arquimedes per obtenir ,per exhaustió,el podem considerar com un dels primers mètodes per resoldre aquests problemes. Així doncs, podríem circumscriure i inscriure diferents figures semblants a la funció com fa Arquimedes amb el cercle. Però volent generalitzar per funcions curvilínies més complexes, com l’anterior, podem omplir l’àrea d’aquesta figura amb un conjunt de rectangles que la cobreixin completament. Però si ho fem així, aquests rectangles sobresortiran i obtindrem un àrea molt major. Per intentar minimitzar l’error, pintarem rectangles a la figura que no la cobreixin completament procurant que els fragments que sobresurtin es compensin amb els trossos buits com es veu a la figura.

Figura 43: Càlcul integral(1) 44

Un altre factor que influirà en la precisió del resultat és l’amplada del rectangles: quan més petita sigui, més precís serà el resultar ja que la diferència entre les àrees serà menor. És en aquest aspecte on radica la importància dels hiperreals i els nombres infinitèsims.


70


Figura 44: Càlcul integral(2) 45

Si la base dels rectangles fos un infinitesimal, la diferencia entre l’àrea de la funció i l’àrea de la suma dels infinits rectangles que omplirien la funció seria infinitesimal i per tant negligible.

Figura 45: Càlcul integral amb infinitèsims46

Així doncs, quan fem la integral , el que estem fent realment es sumar( ) l’àrea dels

rectangles que omplen la funció, on la base és un infinitesimal xx

x ( també anomenat diferencial de x; ) i l’altura bé donada per la funció. Com que les bases dels rectangles són infinitesimals, hem de sumar infinites bases per obtenir la base total i per tant infinits rectangles.

x

D’aquesta manera podem concloure que tot graduat en matemàtiques (o en moltes altres branques científiques) coneix els nombres hiperreals sense tenir consciència d’ells mateixos, ergo la resposta a la qüestió que inaugurava la part III-2(coneix el lector els nombres hiperreals?), probablement contra tot pronòstic, és afirmativa, tot i que d’una manera implícita


71


L’ENTREVISTA La tardana formalització del nombres hiperreals i les seves propietats característiques són possibles raons que han desplaçat el seu ús enfront l’Anàlisi Estàndard. Per aquest motiu és difícil trobar informació de qualitat sobre ells, i quan s’aconsegueix sovint és en un idioma estranger, generalment l’anglès, com en el cas del magnífic Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach de Jerome Keisler. Per tot això vaig decidir contactar amb tres de les màximes eminències de Barcelona, de les quals, per raons alienes a la meva voluntat, només me'n va respondre una: Núria Vila, actualment cap del departament de Geometria i Aritmètica a la UB i especialista en teoria de nombres. Per tal com en teoria de nombres s’estudien els diferents tipus de conjunts existents, com els hiperreals, vaig considerar que ella serià una bona candidata per explicar més profundament aquests conceptes. Arribat el dia pactat, no puc descriure la sorpresa de la seva resposta: no coneixia aquells nombres. Primerament li vaig preguntar què era un punt a la recta, per tal com és la pregunta clau del meu treball, a la qual cosa respongué que era un nombre real. Jo li vaig preguntar si hi havia res més a la recta que no fossin nombres reals i ella es reafirmà. Arribats a aquest punt li vaig definir un nombre infinitèsim: x 0 on . Primerament va dubtar que aquest nombre no fos un nombre real, per tal com seguia reafirmant que tots els nombres de la recta són nombres reals. Quan va acceptar, dubtosa, la definició que li proposava, va negar la seva existència. Quan li vaig explicar que existien unes altres matemàtiques iniciades per Leibniz i culminades per Robinson que utilitzaven aquests nombres, va posar en dubte que aquestes teories fossin correctes, per tal com sovint es poden trobar coses estranyes, posant en dubte, entenc, les meves fonts. No va ser fins que vaig esmentar l’expressió “Anàlisis No Estàndard” que va acceptar que tot allò fos possible, però que era un tema en el qual no estava especialitzada. Aleshores em va citar a Euler com un dels seus primers pioners, com queda patent en la seva definició del nombre e , utilitzant un nombre infinit.

Rx

Tot i la primera decepció, aquest fet no fa més que mentalitzar-me per tornar a intentar contactar amb els altres dos experts: Josep Pla i Carrera i Rafael Farriols. Aquests, més propers al camp de la lògica i els models, n'haurien de saber més d'aquests nombres.

72

eleg Per tal d’extreure les conclusions, primerament resumirem breument el treball fet: Primerament vaig partir dels nombres naturals, i em vaig preguntar què hi ha per sobre d’ells, que hi ha entremig dels nombres naturals en una recta, en aquell moment, pràcticament buida. Procedint així vaig redescobrir els nombres racionals (les fraccions) que vaig ser capaç de representar mitjançant Tales. D’aquesta manera també vaig ser capaç de representar les arrels de polinomis o solucions d’equacions de primer grau. Tot i que la recta semblava una mica més plena, continuava sent molt porosa i em vaig tornar a preguntar: què hi ha entremig dels nombres recentment descoberts? La resposta immediata van ser les arrels quadrades, que vaig aprendre a representar gràcies a Pitàgores després d’un exhaustiu estudi previ a la gran troballa d’un mètode de representació ràpida i eficient. D’aquesta manera també vaig ser capaç de representar les arrels de polinomis de segon grau i també de tercer i quart grau desprès de desenterrar antigues i poc utilitzades fórmules per aquests casos. Animat per la potència i exactitud del mètode grec em vaig tornar a preguntar que era un punt a la recta, que eren els forats que restaven en ella. La resposta foren els nombres algebraics en general (nombres que són arrels de polinomis), més enllà dels dels quatre primers graus; però quan vaig voler representar-los com ho faria un savi grec, vaig topar amb un mur insalvable junt amb una gran decepció equiparable a la que sentiren els antics geòmetres grecs amb els seus clàssics problemes: no es podia. Aquesta atordidora veritat en mans del geni creador d’una nova teoria revolucionària, Galois, em va donar una mica de perspectiva de l’assumpte i embargat per la pena, vaig haver d’abandonar l’excel·lència i l’exactitud grega per els valors aproximatius mitjançant algoritmes reiteratius: primer amb els mètodes poc eficients de les fraccions contínues com a preparació en la immersió d’aquestes noves aigües que eren capaces de representar qualsevol algebraic amb mètodes com el de la bisecció, la secant o el de Newton. Aleshores em vaig tornar a preguntar si hi havia res més a la recta i és quan vaig trobar els nombres no algebraics, és a dir, els transcendents (celebres nombres, com els treballats i que representem mitjançant sèries numèriques), que tots junts formaven el conjunt dels nombres irracionals i amb la resta, dels reals. En un primer moment vaig donar per acabada la recerca quan descobrí que Cantor afirmava que la recta geomètrica està formada pel conjunt de tots els nombres reals.

e

Però finalment vaig descobrir un nou cos, complet i ordenat i encara més dens que els reals. Aquests nombres, tot i que la seva invenció i utilització era antiga, la seva tardana formalització, per part de Abraham Robinson al 1966, els fa ser rebutjats per bona part de la comunitat científica, que majoritàriament ignora la seva presència, raó per la qual ens proposarem fer unes entrevistes per obtenir més informació al respecte i on vaig comprovar quant poc coneguts eren, tot i treballar amb ells de manera implícita en el càlcul integral.47

73

47 En l’annex P s’aprecia clarament aquesta visió merament indicativa, implícita dels infinitèsims

CONCLUSIÓ Desprès d’aquest fascinant viatge en què hem après a representar tots els nombres possibles a la recta geomètrica, hem arribat a la conclusió que tot nombre a la recta és un hiperreal, i no un nombre real com afirma gratuïtament Cantor, que és la concepció pròpia del Anàlisi Estàndard. Però a més em pogut comprovar com de generalitzada és aquesta concepció, especialment amb la resposta de l’entrevista. I si una doctorada en teoria de nombres els desconeix, és evident que un graduat en matemàtiques no serà una excepció a no ser que parlem d’una persona que s’ha interessat en aquests temes pel seu compte, com en el meu cas o que s’hagués especialitzat en aquests temes. Tot i aquesta marginació, aquests nombres faciliten enormement el càlcul, com hem pogut apreciar clarament en els exemples de derivades. A més, el seu caràcter més instintiu a portat a un grup d’instituts de Méxic a ensenyar aquests procediments no convencionals als seus alumnes, obtenint molt millors resultats i una major comprensió per part de l’alumnat, raó per la qual caldria, crec, plantejar exportar aquest programa educatiu. En contra de la seva oportunitat, però, s’ha criticat que és de tal potencia que és “com matar una mosca amb un canó.” D’altra banda, la concepció del fet que un punt a la recta representa un nombre hiperreal és a la més general que podem arribar tocant de peus a terra ja que aquests nombres tenen una base rigorosa, és a dir, estan formalitzats i fonamentats dins una teoria, que estableix Robinson en 1966. Però voldria meditar ara sobre la concepció d’altres conjunts utilitzant el mateix procediment, és a dir, de la mateixa manera que hem considerat x 0 on podríem parlar de

Rx 0 on *R+ i així successivament, englobant cada vegada conjunt més

densos on el cardinal del seu infinit aniria augmentant. Sigui com sigui, això només són elucubracions.

74

Annexos A. El mètode mètric egipci Alguns dels documents matemàtics més antics són egipcis, com el papir de Rhind. Se sap que els grans primers geòmetres d’occident van ser els egipcis ja que el periòdic desbordament del riu Nil esborrava els límits dels terreny, i això dificultava que es poguessin establir amb exactitud les parcel·les de cada propietari. La solució a aquest problema va ser la invenció de la geometria, que els permetia mesurar i delimitar els camps, i d’ella se’n valgueren les seves portentoses i celebres piràmides. De la mateixa manera que la geometria neix per necessitat i utilitat, per una finalitat practica, els egipcis no es van interessar en formalitzar els seus coneixements, cosa que sí que van fer Tales i Pitàgores en els seus viatges a Egipte, aprofitant els coneixements implícits de la cultura egípcia. Si bé em vist, a la primera secció del treball, que amb el mètode grec de la regla i el compàs podem representar qualsevol arrel, volem ara saber si aquest coneixement prèviament pertanyia als egipcis. Els egipcis tenien un particular instrument mètric, que estava dividit en dues parts relacionades de tal manera que els permetien construir angles de 90º

Figura 46: Instrument de mesura egipci

on 3841.021 rrr

543.0R 159.0x

Rxr d’on (1) rRx El procediment que seguien era el següent:

75

1-Traçaven una circumferència de radi r amb centre A i extrem B

Figura 47: Mètode mètric egipci (1)

2-Traçaven una circumferència de radi R, amb centre B i dibuixaven el punt d’intersecció C entre les dues circumferències


76

3-Traçaven el segment AC , que es igual a r , i el segment BC , que es igual a R


Si utilitzem les dades egípcies, ens adonem que no és veritablement un triangle rectangle, però s’hi assembla molt

ABC48

Com apreciem a la imatge, els termes egipcis formen part d’un triangle quasi rectangle, de

manera que es compleix que i per tant22

21

2 rrR 22rR d’on 2r

R

Si considerem r unitat, aleshores 2R D’aquesta manera, els antics egipcis podien representar qualsevol arrel amb el mètode inductiu(I-2.4) Però no només això, sinó que podem formar un triangle amb catets CAD r , x i hipotenusa ,

de manera que

hxrh 2

77

48 %57.97%10023841.0

543.0 correcte


Com que hem considerat r unitat, aleshores xh Tot i que en un primer moment puguem pensar que els egipcis ja eren capaços de representar qualsevol arrel per aquest mètode, no hem de caure en aquest subtil error, ja que hem de tenir

en compte que (1) i per tant rRx rRh d’on 1 Rh ja que, recordem, hem considerat 1r A més a més, entre r i existeix una correlació tal, que si considerem R 1r 2R i per

tant 12 h

78

B. La secció àuria L’antic problema de la secció àuria buscava dividir un segment de manera que la proporció entre el costat petit i el gran fos la mateixa que entre el gran i el tot. Considerant la part petita

com la unitat, i la part gran com x s’estableix el següent: x

xx 1

1

; ; 12 xx 012 xx

2

51

2

51

)1(2

411

2

42

a

acbbx 1,6180339887498948482…

Aquest és un dels molts llocs on es pot trobar la divina proporció. Aquesta proporció és omnipresent en la natura: en el creixement de plantes i caracoles, en l’anatomia humana, la Llei de Ludwig,… També en l’art: L’home de Vitruvi de Leonardo da Vinci, La Gran Piràmide de Keops d’Egipte, el Panteó grec,...A més, els seus coneixements són imprescindible en estudis universitaris d’art. Inclús en la musica té gran rellevància: acords perfectes, implícit en composicions com en les sonates de Mozart, la Cinquena Simfonia de Beethoven,algunes obres de Schubert y Debussý, ... Però en un aspecte més matemàtic, també es pot trobar en la sèrie numèrica de Fibonacci o en problemes de proporció com la secció àuria. Concretament en geometria és el resultat de la diagonal del pentàgon de costat unitat, de rectangles auris, de l’espiral d’Arquimedes,...

Rectangles àurics Primer de tot hem de definir de manera genèrica què és un rectangle àuric, el qual consisteix en un rectangle el qual la relació entre els seus costats és igual al nombre d’or, és a dir:

2

51

b

a on ),0( a ; ; ja que en la realitat física no hi ha distàncies negatives. ),0( b

Ara bé, els costats del rectangle no han de ser necessàriament iguals al denominador i numerador, respectivament, simplement s’ha de mantenir la relació, el qual significa que a i b són múltiples del denominador i numerador respectivament i que a més aquest múltiple és

compartit, és a dir: ca )51()51( ; on cb 22 c de manera que s’inclouen els negatius ja que estem multiplicant per tant en el denominador com en el numerador, de tal manera que es poden simplificar. De fet és com multiplicar per 1, la relació no es perd, simplement possibilita la construcció de rectangles de diferents dimensions. A més, almenys un dels seus costats és irracional ja que perquè no fos irracional, si ho seria i per tant

també, per exemple:

c

a c b

52

51

1(2

)51(

2

)51(

c

c

b

a

2)5

)51(

Així i tot no és recomanable tenir arrels al denominador i hauríem de racionalitzar-lo, amb la qual cosa l’arrel queda sempre a dalt, tot i que en aquest cas, com esta contextualitzat i resulta una expressió intel·ligible es podria permetre no fer-ho. En qualsevol cas, si es fes, l’expressió

resultant seria el nombre d’or:2

51

16

)51(8

204

588

)522(

)522(

522

4

De totes maneres quan introduïm el concepte de múltiple és per fer rectangles àurics de diferents dimensions i el que ens interessa són els costats de manera independent, i no la seva relació, que ja la coneixem. Un cop establertes les bases, considerem el problema proposat: A, B,C són alineats?

79

http://es.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Amadeus_Mozart

http://es.wikipedia.org/wiki/Quinta_Sinfon%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Ludwig_van_Beethoven

http://es.wikipedia.org/wiki/Franz_Schubert

http://es.wikipedia.org/wiki/Claude_Debussy

Figura 51: Rectangles àurics

Per resoldre el problema, utilitzarem la geometria analítica. Primer definirem els segments i els punts, de manera generalitzada per a qualsevol rectangle auri, com havíem definit abans.

ca )51( cb 2

D=(0,0)

E= cc 2,)51(

F= ccccccccc )51(,)53()51(),53()51(,25( Ara determinarem l’equació de la recta que creua A i B

2211 , dfdfDFv cc )51(,)53(

59

)53()51(

53

)51()53()51(

)51()53(21

21

xxycycx

c

dy

c

dx

v

qy

v

px

2

5

4

522

4

)55353( xxxxx

Si al substituir les coordenades del punt E a l’equació de la recta DF obtenim una igualtat, significarà que els punts estan alineats.

ccc

cg

gx

y 22

)15(

2

)15()15(2

2

)15(

2

)15( 12

QED

80

81

C. La sèrie de Fibonacci El matemàtic italià Leonardo de Pisa, més conegut com Fibonacci, va plantejar un problema sobre el creixement de població dels conills, la solució del qual és la seva cèlebre successió que es defineix per reiteració i crea cada nou nombre amb la suma dels dos anteriors, partint de 0 i 1 com a primers termes La successió posseeix múltiples aplicacions en computació, teoria de jocs i matemàtiques. De fet, existeix una publicació especialitzada, Fibonacci Quarterly49, dedicada a l’estudi de la successió de Fibonacci y temes afins.

1.El clàssic problema dels conills Quantes parelles de conills es produiran en un any, començant amb una parella única, si cada més qualsevol parella engendra una altra parella, que es reprodueix a la seva vegada des del segon més?

Per resoldre el problema primer establirem una nomenclatura: n=número de mesos a= número de parelles de conills grans, es a dir, que es reprodueixen b=número de parelles de conills petits, es a dir, que no es reprodueixen c=número de parelles de conills totals

Per aclarir el problema elaborem una taula n a b c 0 1 0 1 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2 5 4 5 3 8 5 8 5 13 6 13 8 21 7 21 13 34 8 34 21 55 9 55 34 89 10 89 55 144 11 144 89 233 12 233 144 377

Ara formalitzarem l’enunciat per fer-lo més entenedor: 1-Ja que cada parella de conills adults engendra una nova parella de conills petits, podem dir que el nombre de parelles de conills adults d’un més és igual al nombre de parelles de conills petits del més següent, o el que és el mateix: an=bn+1

2-Com que en el marge de temps d’un més els petits es fan gran, el número de parelles de conills grans desprès d’aquest més és igual al número de parelles de conills grans que hi havia el més anterior més el número de parelles de fills que han crescut, és a dir: an+1=an+bn 3- Podem combinar les dues expressions per obtenir-ne una de sola.

49 http://www.engineering.sdstate.edu/~fib/

http://www.engineering.sdstate.edu/%7Efib/

an=bn+1

an+1=an+bn substituïm la primera expressió en la segona i obtenim: an+1= bn+1 +bn

si an=bn+1, deduïm que an+1=bn+2, sumant a les dues bandes dels subíndexs, mantenint la igualtat. substituïm aquesta nova expressió en l’híbrid anterior per obtenir la fórmula per recurrència de la sèrie de Fibonacci: bn+2= bn+1 +bn, és a dir, la suma de dos números consecutius dóna el tercer. 4-Pel que fa al nombre de parelles de conills totals, òbviament, és igual al nombre de parelles adultes d’aquest més sumat al nombre de parelles petites del mateix més, és a dir: cn=an+bn . Tenint en compte que an=bn+1 ,podem dir que cn=bn+1+bn , que curiosament és igual a l’expressió anteriorment obtinguda: : bn+2= bn+1 +bn (que es la definició per reiteració de la successió de Fibonacci; així doncs, podem citar-la per la taula com:0,1,1,3,5,8,13,21,...); amb la qual cosa podem dir que cn= bn+2

Per finalitzar, concretarem en allò que se’ns demana. El nombre de conills totals al dotze mesos (1 any) és igual a 233+144=377

2.Relacio entre la successió de Fibonacci i el nombre d’or Si ens fixem en les operacions fetes a la secció II-1.3 que recordem a continuació podem observar que els nombres que hem obtingut amb dos, tres i quatre reiteracions a les operacions anteriors són iguals a fraccions en les quals el seu numerador i denominador formen part de la successió de Fibonacci, on el numerador és el número següent, en la

successió, al denominador, és a dir: 1n

n

a

aquan n

per dos reiteracions: 6.13

5

1

11

11

11

11

per tres reiteracions 6.15

8

1

11

11

11

11

per quatre reiteracions 625.18

13

1

11

11

11

11

11

Així doncs, podem suposar que la fórmula per la qual podríem obtenir els diferents termes de la successió de Fibonacci està íntimament relacionada amb el nombre d’or. De fet es dedueix que

5

)( nn

nb

82

D. La lúnula d’Hipòcrates Les lúnules són figures geomètriques amb la forma de lluna formades per la intersecció de cercles. Alguns casos particulars d’aquestes van constituir una excepció de la quadratura de superfícies curvilínies que va donar falses esperances als antics grecs de resoldre la irresoluble quadratura del cercle. Amb el problema plantejat per Hipòcrates es fa patent la potència del mètode grec, ja que amb procediments senzills resol el problema ràpidament, si bé amb mètodes moderns caldria solucionar-lo per complexos càlculs integrals dels quals no requerim i que ens ocuparíem molt espai i temps.

Figura 52: Lúnula d’Hipòcrates (1)

Primer determinarem la nomenclatura

A1= R2=

22

2 RPR

R

Pàrea del cercle gran, amb centre en O1

A2= r2=

22

2 rpr

r

pàrea del cercle petit, amb centre en O2

A3= àrea del triangle rectangle isòsceles A4= àrea de la lúnula A5=àrea de color blanc, en la segona imatge, que separa la lúnula del triangle

Ara formalitzarem el dibuix en els següents enunciats: Els catets del triangle són iguals al radi de la circumferència de centre O1, és a dir: c=b=R

83

Aquest fet simplifica molt l’àrea del triangle ja que 22

2

3

RcbA

A més podem expressar la hipotenusa en funció del radi gràcies al Teorema de Pitàgores de la

manera següent: 22 2222 RaRcba Un altre fet important es que O2 està enmig de la hipotenusa, amb la qual cosa deduïm que el

radi és la meitat de la hipotenusa, és a dir: 2

2

2

Rar o el que es el mateix en funció del radi

gran: 22

2rR

r

Pel que fa a l’àrea de la lúnula, podem afirmar que és igual a la meitat de l’àrea del cercle petit menys A5 (el fragment blanc que s’aprecia a la segona imatge). Aquest fragment A5 és igual al quadrant corresponent del cercle menys el triangle. Com aquestes àrees ja les hem definit, procedim a operar de la següent manera:

4

22

242422

222222

312

52

4

RRrRRrA

AAA

AA

3

2222222

222

2

24

2

4

2

4

24

22

4

22

22

ARRRRR

RRRRR

R

Mètode grec [sense la utilització explicita de utilitzant la seva proporció)]- la potència de la geometria clàssica.

3333312

52

4 8

)22(*

8

2

24

2

4222422AA

xA

rPRpA

RPrpA

AAA

AA

* xrPRp ja que r

p

R

P

22

Figura 53: Lúnula d’Hipòcrates (2)

84

E. Els 3 grans problemes de la geometria clàssica Aquests tres clàssics problemes grecs simbolitzen la fi del seu mètode, i van representar un mur insalvable per als antics geòmetres obsessionats en la resolució d’aquests problemes irresolubles, com es prova posteriorment. Són, doncs, l’estímul que va permetre el salt de l’exactitud de la regla i el compàs a la infinita aproximació dels mètodes reiteratius.

1.La duplicació del cub Consisteix en obtenir el costat d’un cub de manera que el seu volum sigui el doble del volum d’un altre cub del qual coneixem el costat, es a dir, sigui el volum petit i el volum

gran, el costat del qual volem saber, aleshores,

31 xV

2

32 yV

12 VV i per tant , del que deduïm

elevant a ambdues bandes per un terç

332 yx 3 3y3 32x ; yx 3 2 el que implica que el factor de

proporció és 3 2 , nombre el qual, tot i ser algebraic, no es pot obtenir dels nombres enters per suma, resta, multiplicació, divisió y extracció d’arrels quadrades, que són les úniques operacions que es poden fer amb regla i compàs. Això és així perquè el polinomi de grau més petit que té com arrel 3 2 , té grau 3.

2.La trisecció de l’angle Divisió d’un angle en tres parts iguals, és a dir, que les raons trigonomètriques (tg,sin,cos) del angle obtingut amb la trisecció siguin nombres construïbles ja que dibuixar un angle equival a representar un punt en la circumferència (goniomètrica).Només és possible fer-ho en el cas de l’angle de 90º en parts de 30º (raó per la qual el cos30º és un número algèbric).Pel que fa als altres, requereixen l’obtenció de l’arrel cúbica d’un nombre complex qualsevol, de valor absolut igual a 1, la qual cosa és impossible amb regla i compàs.

3.La quadratura del cercle Consisteix en construir un quadrat l’àrea del qual equivalgui a la d’una circumferència donada, és a dir, si l’àrea d’un quadrat es i l’àrea d’un cercle es , aleshores

del que es pot deduir si elevem a una meitat a banda i banda

21 lA 2

2 rA 22

21 rlAA 22 rl ;

rl el que implica que el factor de proporció es , nombre el qual es transcendent [número irracional que no prové de una simple relació algebraica sinó que es defineix com una propietat fonamental de les matemàtiques, és a dir, que no és arrel de cap polinomi (no nul) amb coeficients enters (o racionals)], ja que es transcendent (demostrat per Lindemann), i per tant no es pot dibuixar amb regla i compàs [mètode per el qual només es poden dibuixar els nombres algèbrics(antònim de transcendent, és a dir, que es arrel de polinomis (no nuls) amb coeficients enters (o racionals))]. Una excepció de la quadratura de superfícies curvilínies són 5 lúnules, 3 de Hipòcrates i 2 de Euler (demostrat per Chebotariov y Dorodnov que només són aquestes) que va donar falses esperances als antics grecs. Així doncs, tot i que queda demostrada la potència del mètode grec amb el cas de la lúnula, podem dir que aquests últims problemes representen el límit de la geometria clàssica, de la regla i el compàs. A partir d’aquí són necessaris nous mètodes que ens descobriran tot un seguit de nombres que romanen amagats sota una recta porosa.

85

F. Fórmules de Cardano-Ferrari50 Des de ben petits se’ns ensenya i se’ns fa memoritzar la fórmula que resol les equacions de segon grau, però tot i això ni als graduats en matemàtiques se’ls presenten les fórmules que resolen les equacions de tercer i quart grau, segurament perquè resulta molt més fàcil procedir per Ruffini. Això podria fer dubtar de la seva existència a més d’un ingenu. Per reivindicar l’habilitat dels excel·lentíssims matemàtics del renaixement italià, les exposem a continuació.

1.Fórmula pels polinomis de tercer grau

Sigui un polinomi qualsevol de la forma 023 cbxaxxLes seves arrels es poden trobar mitjançant

32233

aqqx

on

32

32

pq

27

2792 3 cabaq

3

3 2abp

2.Procediment pels polinomis de tercer grau Sigui un polinomi qualsevol de la forma 023 cbxaxx

fem el canvi de variable 3

ayx (1)

0333

23

c

ayb

aya

ay

033

2333

33

32

232

23

cb

ayb

ay

aya

aay

ayy

033

29273

22

3223 cb

ayba

aya

aay

aayayy

33223

27933

2

3

aacb

ab

aayy

3323

2727

3

33

aacb

ab

ayy

50 trobareu més informació amb caràcter més formal a: Teoria de Galois de María Julia Redondo del Instituto de Matemática – UNS (Av. Alem 1253, Bahía Blanca) que podeu descarregar a http://inmabb.criba.edu.ar/gente/mredondo/MJRedondoGalois33.pdf

86

i a Las formulas de Cardano-Ferrari de Carlos Ivorra que podeu descarregar a: http://www.uv.es/ivorra/Libros/Ecuaciones.pdf

http://inmabb.criba.edu.ar/gente/mredondo/MJRedondoGalois33.pdf

http://www.uv.es/ivorra/Libros/Ecuaciones.pdf


27

2

33

323 a

cba

ba

yy

D’aquesta manera obtenim una equació de la forma , les quals sabia resoldre fent un altre canvi de variable,

qpyy 3

vuy (2) aleshores

qvupvu )()( 3

qpvpuvuvvuu 3223 33

qvupvuuvvu )()(333 Arribats a aquest punt, deia: si , aleshores 0 vu qvu 33

i si i 00 33 vuq 1 vu aleshores 03 puv D’aquesta manera elabora un sistema d’equacions de dos equacions amb dos incògnites

qvu 33 (3) 03 puv (4)

Això es resol fàcilment fent

v

pu

3

qvv

p

3

3

3

027

33

3

qvv

p

02727 363 qvvp

Mitjançant un nou canvi de variable, (5) zv 3

02727 32 pzz , que es una simple equació de segon grau que sabem resoldre. Per trobar x hauríem de retornar els canvis de variables, és a dir, (5), esbrinar , (2) i (1) u

3.Fórmula pels polinomis de quart grau Sigui un polinomi qualsevol de la forma 0234 dcxbxaxxLes seves arrels es poden trobar mitjançant

42

)(42 aRPQQx

42

)(42 aRPQQx

on

22

28

38QP

abp

QRaabc

q 28

48 3

2242

256

31664256RP

abaacdr

87

G. Mètode de la secant La lentitud del mètode de la bisecció gairebé ens obliga a buscar i aprofundir en altres mètodes existents. Un dels més famós i eficients és el mètode de Newton, cas particular del mètode de la secant que exposem a continuació com a pas previ per entendre més fàcilment el mètode de Newton.

1.Representació gràfica 1-Representem a l’eix d’abscisses dos punt qualsevol i proper a f(x)=0. 2-Tracem les seves perpendiculars amb l’eix de d’abscisses per tal d’obtenir els punts d’intersecció amb la funció. 3-Tracem la recta secant a la funció que passa pels dos punts de la funció abans hem obtingut per tal d’obtenir el punt d’intersecció amb l’eix d’abscisses. 4-Tracem la perpendicular del nou punt amb l’eix d’abscisses per tal d’obtenir el punt d’intersecció corresponent a la funció i traçar una nova recta secant amb aquest nou punt i el més pròxim dels anteriors, per tal d’obtenir el punt d’intersecció amb l’eix d’abscisses. 5-Repetim indefinidament el punt 4.

Figura 54: Representació gràfica del mètode de la secant (1)

88

Figura 55: Representació gràfica del mètode de la secant (2)

2.Descripció de l’algoritme El que volem és trobar una expressió que relacioni els dos punts inicials amb el tercer. Hem de tenir en compte, per fer-ho, que formen part de la mateixa recta, la qual la podem deduir mitjançant els dos punts inicials i arbitraris(però propers a f(x)=0). Així doncs si es la funció que defineix la recta secant, podem dir: dxcxg )(

dacdxcagaf )()( dbcdxcbgbf )()(

bcbfdacaf )()( ; bcacbfaf )()( ; )()()( bacbfaf ; cba

bfaf

)()(

dacaf )( ; daba

bfafaf

)()(

)(

aba

bfafafx

ba

bfafdxcxg

)()(

)()()(

)(

Un cop definida la recta secant, hem de tenir en compte que nosaltres volem obtenir aproximacions de l’arrel de la funció i per tant el tercer punt, és a dir, el nou punt d’aproximació, talla l’eix d’abscisses ja que el que ens interessa saber és el valor de x quan g(x)=0, que és l’arrel de la funció. Per tant:

aba

bfafafx

ba

bfafxg

)()(

)()()(

0)(

aba

bfafafx

ba

bfaf

)()(

)()()(

89

)()(

)()(

)()()(

bfaf

baa

ba

bfaf

bfaf

baafx

abfaf

baafx

)()(

)( ; )()(

)(bfaf

baafax

Si tenim en compte que b,a,x són successives aproximacions del 0 de la funció, és a dir, de l’arrel o solució de la funció, podem tornar anomenar la relació entre les successives aproximacions com:

)()()(

1

11

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx

3.Aplicació

)()()(

1

11

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx

1)(;1)1,1( nn xfxa

6)(;2)6,2( 11 nn xfxb

1428.17

8

7

11

7

11

61

21)1(11

nx ; 343

1742

7

8)(

3

1

nxf

)1(343

174

17

8

343

174

7

8

)()()(

1

1112

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx

8992.1169

218

1183

174

7

8

169

49

343

174

7

8

343

1697

1

343

174

7

82 nx ;

4826809

7066142

169

218)( 2

nxf

3

725.11036622

1303035

343

174

4826809

7066147

8

169

218

4826809

706614

169

2183

nx ;

Com es pot apreciar als resultats, aquest és un mètode molt més potent que el de la bisecció. En un pas menys hem obtingut un decimal de precisió més, i això que estem parlant de un nombre molt reduït de passes. De fet, a cada nova reiteració obtenim un de nou, mentre que en l’altre cas s’han necessitat quatre passes per obtenir un sol decimal de precisió. A més a més, mitjançant aquest obtenim les aproximacions en forma de fracció, de manera que les podem representar fàcilment

90

H. Mètode de Newton Ara ja estem en condicions de poder exposar el mètode de Newton, la convergència del qual és molt elevada comparada amb el mètode de la bisecció. El mètode anterior s’ha explicat com a pas previ per entendre amb major facilitat aquest, ja que es tracta d’un cas particular on la distància entre els dos punts inicials és infinitesimal i per tant la secant corresponent equival a la tangent.

1.Representació gràfica 1-Representem a l’eix d’abscisses un punt A qualsevol i proper a f(x)=0. 2-Tracem la seva perpendicular amb l’eix de d’abscisses per tal d’obtenir el punt B d’intersecció amb la funció. 3-Tracem la tangent de la funció en el punt B per tal d’obtenir el punt C d’intersecció amb l’eix d’abscisses. 4-Repetim el punt 2.

Figura 56: Representació gràfica del mètode de Newton(1)

91

Figura 57: Representació gràfica del mètode de Newton (2)

2.Descripció de l’algoritme Com ja hem esmentat abans, el mètode de la secant esta íntimament relacionat amb el mètode de Newton, de tal manera que aquest esdevé un cas particular on la distancia entre els dos punts inicials es infinitesimal i per tant aquests punts són iguals entre ells. Així doncs, a partir d’aquest raonament, podem deduir, prenent com a base la relació del mètode anterior, l’expressió que relaciona les successives aproximacions al mètode de Newton.

)()()(1

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx

; 0

0)(1 nnn xfxx ;de manera que obtenim un indeterminació.

Mitjançant la interpretació gràfica dels apartats anteriors, sabem que la recta secant passar a ser una recta tangent, i sabem que qualsevol tangent és la derivada de la funció de la qual és tangent, així que podem dir que:

)('

)(1

n

nnn xf

xfxx

3.Aplicació

)('

)(1

n

nnn xf

xfxx

2)(;1 3 xxfx nn

3.13

4

3

11

3

211

3

21

2

3

1

x

xxn

92

8632.172

91

72

5

3

4

3

1627

10

3

4

33

16327

27264

3

4

3

43

23

4

3

4

3

2

3

42

3

2

3

2

x

xxn

332599.1894348

1126819

72

913

272

91

72

912

3

3

nx

Com es pot apreciar als resultats, aquest és un mètode molt més potent que el de la secant. En el mateix nombre de iteracions hem obtingut dos decimal de precisió més, i això que estem parlant de un nombre molt reduït de passes. De fet, a cada nova reiteració obtenim més del doble de xifres decimals, de manera que s’aproxima a l’arrel amb velocitat exponencial. A més a més d’expressar el resultat en forma de fracció, té el gran afegit respecte el mètode anterior que només treballem amb una variable, cosa que facilita i accelera la velocitat d’execució de les iteracions.

4.Algortime computacional

La precisió en només quatre reiteracions és aclaparadora. Un altre fet que demostra la inferioritat del mètode de la bisecció contra el de Newton es que amb el primer es poden arribar a fer unes 900 reiteracions. A partir d’aquest nombre es manifesten bugs, a causa de la precisió del nombre. En canvi, amb el mètode de Newton, això succeeix a la sisena reiteració.

93

I. Qui és pi? Com a continuació de la secció II-3.1, i per tal d’aprofundir en un nombre tan rellevant en matemàtiques i especialment en geometria, analitzarem ara diferents trets i característiques d’un dels més mediatics elements matemàtics.

1.Introducció

Figura 58: El cercle i les seves propietats

El diàmetre es qualsevol segment limitat per dos punts oposats de la circumferència formant un angle de 180º(en el dibuix, de color vermell).El radi és exactament la meitat, és a dir, és qualsevol segment limitat per el centre de la circumferència i qualsevol punt de la perifèria de la circumferència formant un angle de 180º. El perímetre en qualsevol polígon és la suma dels seus costats, o el que es el mateix, és el conjunt de segments que formen el polígon, les línies que el conformen. A més, podem afegir que un segment és igual a la suma dels infinits punts que el formen. Per això, el fet que una circumferència no tingui costats, a simple vista, no significa que no en tingui realment, ja que aquests costats són infinitesimals. Així doncs, el perímetre, línia que dibuixa la circumferència (en el dibuix, de color blau), es igual a la suma del seus infinits costats infinitesimals. Tant es així, que el segment i el punt coincideixen. Per tant, la manera rigorosa d’obtenir el perímetre d’una circumferència seria mitjançant un càlcul integral, que consisteix precisament en això: sumar els infinits punts de la circumferència. és la relació que hi ha entre el perímetre (P) i el diàmetre (d) de qualsevol circumferència, és

a dir, r

P

d

P

2

Per tant, podem simplificar molt el complex càlcul del perímetre per integrals mitjançant: rdP 2

2.Àrea L’àrea de qualsevol polígon és la superfície que ocupa en el pla. Tot i que el més habitual es utilitzar una fórmula particular segons el polígon, existeixen una sèrie de formules genèriques, cada qual més complexa i més general que la anterior. Per aquesta raó assumirem la veracitat d’aquestes sense la necessitat de deduir-les, ja que a més això no forma part del treball. Així doncs, ara relacionarem les següents àrees:

circumferència 22

22 rPr

r

PrAC

94

Quadrat on l és el costat del quadrat 2lAQ

triangle2

hbAT

on b és la base i h es la altura del triangle

1-Si l , aleshoresrQ

C

A

A ja que

2

2

2

2

r

r

l

r

A

A

Q

C

2- Si i , aleshores ja que Ph rb TC AA 22

rPhbAT

i

2222 rP

rr

PrAC

Així doncs, podem dir que 22 r

A

r

A CT ja que si TC AA aleshores CT AAr 2

3.Característiques de El 1761, Johann Heinrich Lambert demostra la irracionalitat de , o el que és el mateix, demostra que no es pot expressar com a quocient de dos nombres racionals. �En 1882, Ferdinan Lindemann demostra la transcendència de , o el que és el mateix, demostra que no es pot expressar com a solució de cap equació polinòmica amb coeficients racionals, és a dir, que no existeix cap expressió exacta ni relació algebraica que el defineixi, el qual es tradueix en la impossibilitat de representar-ho, donant com a resposta al clàssic problema grec de la quadratura del cercle que és irresoluble.

4.Incògnites sobre 1- Apareixen sempre cada un dels dígits decimals de ? 2- Qüestió de Brouwer:existeix un punt en l’extensió decimal de on es puguin trobar una successió de mil ceros consecutius (o per extensió n xifres iguals consecutives)? 3-Es normal(es repeteixen el mateix nombre de cops tots els dígits,o el que és el mateix, tenen la mateixa probabilitat d’aparèixer en el llistat de xifres decimals) en base 10?

4- e , e

, )ln( són irracionals? Se sap que no són transcendents.

5.Altres aspectes de Durant molt de temps l’obtenció de xifres decimals de ha donat gran prestigi als matemàtics. Tant és així que abans de ser anomenat 51 se’n deia constant de Ludolph(1540-1610) o constant d’Arquimedes, ja que van ser dos dels primers personatges claus en l’obtenció de decimals de p. El seu lloc l’ocupen avui dia les supercomputadors que estableixen records contínuament, l’últim en l’any 2009, per la supercomputadora T2K Tsukuba System amb 2.576.980.370.000 xifres. Però realment es necessària aquesta quantitat de xifres? Amb 50 decimals es podria descriure amb precisió la curvatura de l’Univers amb un error més petit que la grandària d’un protó52 Si bé és cert que existeixen partícules encara més petites al protó (leptó, quark, bosons), també és cert que parlem només de 50 xifres (al 1699 ja es coneixien 71 xifres). A més, per què volem tanta precisió inapreciable?

51 notació de William Jones (1706) que popularitza Euler(1748)

95

52 Bailey, David H., Borwein, Peter B., and Borwein, Jonathan M. (January 1997). "The Quest for Pi". Mathematical Intelligencer (1): 50-57.

Les raons són diverses: primerament perquè estimula la competitivitat i desenvolupament de supercomputadores, d’altra banda per ajudar a resoldre els enigmes sense resposta de de manera empírica, també per meravellar-nos amb les constants de la Natura. En aquest últim sentit cal destacar, entre altres arts matemàtiques, la música. En aquest aspecte podem dir que si canviem el nombre del sistema decimal al hexadecimal, el podrem escoltar mitjançant programes de midi. En aquest sentit voldria aplaudir al compositor pare de la web http://web.archive.org/web/20071225213740/http://www.geocities.com/Vienna/9349/index.html, que ha anat més lluny, utilitzant hàbilment tot tipus de constants i processos matemàtics per crear vertaderes obres d’art. No és l’únic que ho fa, ni la única manera ni en la única branca artística(els fractals són un altre bon exemple). D’aquesta manera es poden obtenir melodies infinites, ja que el nombre de xifres decimals dels números irracionals és infinit. D’altra banda, en aspectes més socioculturals, cal destacar que el dia 22 de juliol és el dia mundial de l’aproximació de ja que 22/7 és una de les primeres aproximacions decents de . A més, l’expressió 355/113, una millor i igualment antiga aproximació de , s’utilitza a vegades per denotar la quasi-perfecció d’alguna cosa. A més, és un dels nombres matemàtics més mediatic.53

96

53 existeix una pel·lícula amb el seu nom(Pi, fe en el caos), kate bush te una cançó sobre ell, el citen en els Simpsons, Futurama, Contacte, Cortines rasgades de Alfred Hitchcock,...

http://web.archive.org/web/20071225213740/http:/www.geocities.com/Vienna/9349/index.html

J. Qui és e? Com a continuació de la secció II-3.2, i per tal d’aprofundir en un nombre tan rellevant en matemàtiques.

1.Introducció L’estudi de les potències de nombres molt propers a 1 apareix al segle XVII54 . és fruit d’aquests estudis. De fet, la seva utilització de un nombre H més gran que qualsevol altre nombre real el qualifica com un dels pioners en l’Anàlisi No Estàndard i l’ús de nombres infinits (vegeu III-2.1).

e

2.Taula de valors n f(n) 1 2 2

25.24

9

2

32

3 073.2

27

64

3

43

4 4414065.2

256

625

4

54

5 48832.2

3125

7776

5

65

10 5937424601.21.1

10

11 1010

102

...0481382947.201.1100

101 100100

103

...6923932271.2001.11000

1001 10001000

104 ...1459268718.20001.1

10000

10001 1000010000

105 ...6823717182.200001.1

100000

100001 100000100000

106 ...0469371828.2000001.1

1000000

1000001 10000001000000

97

54 als estudis sobre logaritmes (exponent a la que una base s’ha d’elevar per obtenir un resultat donat) de Napies(1614) i Bürgi(1620) de manera independent

107 ...69413718281.20000001.1

10000000

10000001 1000000010000000

108 ...79834718281.200000001.1

100000000

100000001 100000000100000000

A la taula observem clarament que tot i que quan major és n, major és f(n), hi ha unes xifres que es mantenen fixes i mai arribarà a 3 55. En aquest sentit el podem qualificar com a nombre convergent d’una successió de Cauchy, de manera que la possibilitat de representar-lo a la recta ens assegura que la recta es completa. Un altre fet interessant és que a partir de n=102, les xifres correctes augmenten en 1 fins n=107, moment en el qual no augmenta en una xifra decimal correcta. És a dir, la velocitat de convergència disminueix a mesura que n augmenta.

3.Característiques El nombre és irracionale 56,és a dir, no es cap quocient de nombres racionals; i transcendent57, és a dir, no és solució de cap equació polinòmica amb coeficients racionals. Així doncs, compleix dos característiques que també complia .

Una propietat que el fa molt especial es que la derivada de f(x)=ex és igual a la mateixa ex .

També apareix en la identitat d’Euler , cas particular de la fórmula d’Euler

.

01 ie

xixeix sincos

55 demostrat pe Bernulli al 1713, qui proposa el seu estudi per determinar el seu darrer valor per resoldre el problema de l’interès compost 56 demostrat per Euler el 1737

98

57 demostrat per Hermite al 1873

K. Proves d’irracionalitat Els nombres reals es classifiquen en racionals e irracionals. Les xifres decimals d’aquests últims són infinites i no es poden expressar com a relació entre dos nombres, és a dir, com a fracció. Aquest fet va trastornar als pitagòrics que creien que tots els nombres eren racionals. Dins els irracionals trobem els algebraics i els transcendents. A continuació veurem com provar si un algebraic es irracional. LEMA p és parell es parell 2p prova

)()( ABBA p és parell (2) np 2

2p és parell )2(24)2( 2222 nnnp p és imparell 12 np

22222 1)22(2144)12( pnnnnnp és imparell per , si )()( ABBA npnpnp 212122 IRRACIONALITAT DE 2 Per fer-ho procedirem amb el mètode de reducció al absurd, és a dir, afirmarem el contrari del que pensem, i si es produeix alguna contradicció, és que la primera premissa, sense negar, era certa. En aquest cas, si volem provar la irracionalitat de 2 , considerarem que 2 és racional. prova

q

p2 on , Zqp , 1),.(.. qpDCM

2

2222

2q

qpq

; (1) 222 pq

p és parell(2) , que per (1) dona np 2 22 )2(2 nq

22 42 nq 22 2nq

2

q és parell q és parell(3) com que p , són primers relatius, aleshores tots dos no poden ser parells com deduïm en (2) i (3), perquè aleshores el seu quocient no és irreductible, de manera que hem arribat a una contradicció, ergo

q

2 és irracional.

99

OBSERVACIÓ el producte entre dos irracionals pot donar com a resultat un nombre racional

222)()( babababa

EXEMPLES a) 23

Si 23 fos racional, aleshoresq

p 23 , o el que es el mateix 23

q

p. Això es

impossible, ja que sabem d’antuvi que 2 es irracional, i cap irracional es pot obtenir com la diferència entre un natural i un racional, ja que d’aquesta manera obtindríem un altre racional amb les xifres no decimals canviades.

b) 2

51

Amb el mateix procediment d’abans, podem demostrar que 5 es irracional, on en aquest cas el nombre p seria imparell múltiple de 5, es a dir, mp 5 , on m ha de ser imparell per a que p

ho sigui també. Al substituir obtindríem que 5 ; ; demostrant que p,q són imparells i tenen factor comú 5, el qual es contradictori.

2)5( m2q 22 255 mq 22 5mq

Ara procedirem amb2

51, considerant-lo racional per torbar una contradicció. En

q

p

2

51

aïllem 12

5 q

p, el qual es absurd, perquè cap irracional es pot expressar com un racional

doblat, ja que només els fa caviar els decimals i no els converteix en infinits sense periodicitat, definició del tot irracional. A més, com hem dit abans, la resta o suma de naturals no afecta.

c) 3 3

5

com ja sabem, 3 3 és irracional i o podem comprovar amb el mètode descrit ja dues vegades, més i menys detallat, en els apartats anteriors. Només canvia l’índex de l’arrel, per la qual cosa

haurem d’elevar al cub. Aleshores diem q

p

3 3

5 i aïllem 3 3

5

p

q, el qual és impossible com en

comentat en l’apartat anterior, que l’índex de l’arrel sigui 3 no afecta en absolut. d) 3 22 és exactament com en els casos anteriors, però si volem, podem demostra-ho directament, ja que al elevar al cub aquest nombre, obtenim un número enter que no dificulta les operacions.

100

L. Tipus de funcions

1.Injectiva Una funció és injectiva si a cada valor d’un conjunto X (Domini) li correspon un valor diferent en la imatge de la funció, es a dir, li correspon només un valor del conjunt Y, de manera que, en el conjunt X no pot tenir dos o més elements que tinguin la mateixa imatge. Per tant es compleix que:

zxzfxf )()(

2.Exhaustiva Una funció es exhaustiva si cada element de Y és la imatge de com a mínim un element de X. Per tant es compleix que:

YXc )(Re

3.Bijectiva

Una funció es bijectiva si és alhora injectiva i exhaustiva. Per tant el nombre d’elements de X és

igual al nombre d’elements de Y

101

M. Propietats dels nombres reals Es demostra que és l’únic cos amb les seves propietats

1.Cos commutatiu

1.1.Suma (propietats)

-Commutativa: abba -Associativa: )()( cbacba - Element neutre: aa 00 - Element simètric: 0)( aaa

1.2.Multiplicació (propietats)

-Commutativa: abba -Associativa: )()( cbacba - Element neutre: aa 11

- Element simètric: 111

aa

a, 0a

-Distributiva respecte de la suma: cabacba )(

2.Cos totalment ordenat

)()()(, bavbavbaba

3.Cos complet Tota successió de Cauchy és convergent . Cobreix tots els punt de la recta(axioma de Cantor-Dedekind)

4.Cos arquimedià Entre dos nombres reals qualsevol hi ha sempre infinits nombres reals, de manera que sempre es pot trobar un nombre qualsevol mitjançant un nombre menor si aquest es multiplica suficients cops. Per tant, podem dir que és un cos infinitament dens.

5.Número d’elements

02 = 1

102

N. Propietats dels nombres hiperreals Es demostra que es l’únic cos amb les seves propietats. A diferència del anterior, no compleix la propietat arquimediana.

1.Cos commutatiu






aa

a, 0a



)()()(, bavbavbaba

3.Cos complet Tota successió de Cauchy és convergent . Cobreix tots els punt de la recta.


022

= 2

103

O. Propietats dels nombres racionals A diferència dels nombres reals, els demostra que els racionals no són un cos complet.

1.Cos commutatiu






aa

a, 0a



)()()(, bavbavbaba

3.Cos arquimedià Entre dos nombres reals qualsevol hi ha sempre infinits nombres reals, de manera que sempre es pot trobar un nombre qualsevol mitjançant un nombre menor si aquest es multiplica suficients cops. Per tant, podem dir que és un cos infinitament dens.


0

104

P. Comparativa En referència a l’ultima part del treball, he volgut veure com introdueixen diferents llibres de batxillerat els nombres infinitèsims que s’utilitzen en el càlcul. He comprovat, procurant ser el més crític possible i tenint en compte en tot moment el descobriment dels hiperreals, que els introdueixen d’una manera gairebé gratuïta, sense massa presentacions i com una mera anotació convencional que pot facilitar la comprensió. En cap moment s’utilitzen noms com infinitèsim o hiperreal, i alhora de definir-los, es fa incorrectament, ja que no es té en compte que no formen part dels reals(com s’aprecia clarament al llibre de Cou). Aresta, Matemàtiques I, Cou, (opció A i B), Barcanova (1990) 1) A la pag. 210, com a concepte previ a l’anàlisi, en el primer paràgraf es parla de l’axioma de Cantor-Dedekind, anomenant-lo “propietat de completitud dels reals”. Aquest fet resulta certament irònic, per tal com en l’anàlisi s’utilitzen nombres infinitesimals que no pertanyen als reals. D’aquesta manera es confirma com n’està de generalitzat l’Anàlisi Estàndard. 2) A la pag. 234 surt per primer cop els nombres infinitèsims, amb la forma de diferencial, en l’explicació de la regla de la cadena. L’anomena “notació clàssica [...] expressió que per la seva simplicitat justifica aquesta notació”. D’aquesta manera, i sense majors presentacions, ens ha introduït els nombres infinitèsims per tal de fer una explicació més senzilla. Així doncs s’admet que l’NSA és més senzill e intuïtiu, i tot i això, irònicament, no és el que s’ha imposat.

dx

du

du

dg

dx

fgd

)( on )(xfu

3) A la pag.235 es dedica una secció al diferencial sense arribar a explicar què és de manera formal. En aquesta part es recorda la definició geomètrica de la derivada en un punt, és a dir, com el pendent de la recta tangent (seccio III-3.1), o amb les seves paraules “el límit del quocient entre l’increment de la variable dependent( y ) i l’increment de la variable independent( ) quan aquest últim tendeix a zero”, és a dir: x

dx

dy

0

lim

x x

y

on els seus i corresponen en la nostra figura 38 a l’altura i la base del triangle. Novament utilitza els nombres infinitèsims sense cap introducció previa. De fet arriba a dir “Hem expressat la derivada com a quocient de diferencials sense donar-ne cap significat i això és el que farem en aquest apartat.” Però quan ho fa, diu que

y x

dxxfdy )(' i que Rdx el qual és erroni, ja que forma part dels hiperreals. Aleshores utilitza la definició de derivada trobada abans per dir:

0

lim

x0

dx

dy

x

y

Desprès considera que per obtenir xdx 0

lim

x0

x

dyy

de manera que conclou que (“és una aproximació”) si considerem , amb ydy xdx x “petit”, en paraules de l’autor, quan el que esta considerant és que x és un infinitèsim i no un nombre merament “petit”. Definició bastant rudimentària, la seva, diria jo. 4) Considerant que la seva “definició” d’un diferencial de x és suficient, tornem a trobar de nou aquesta notació, sense més preàmbuls ni explicacions, a la pag. 300, en la secció de càlcul integral, quan escriu:

)()(')(

))(( xfxFdx

xdFCxF

dx

d

105

A partir d’aquest moment assoleix aquesta notació com a pròpia sense donar més explicacions

formals al respecte, definint com “el conjunt de les primitives de la funció (el símbol

indica que considerem la variable independent dxxf )( f

dx x )”. Cal remarcar la seva concepció de al parèntesis com un simple símbol, una mera anotació que ha adoptat sense més raó de ser.

dx

5) En la pag. 317, tractant el tema de les integrals per substitució escriu:

dxxftgtg )(')(')(

i com que havia definit prèviament dttgtg )(')(

dedueix que “formula que justifica l’indicador en la definició del símbol integral perquè es comporta com els diferencials”. Novament el tracta com una mera indicació que ha perdut el seu significat originari com a infinitesimal i es remet a la primera explicació de la pag. 234.

dxxfdt )(' dx

6) Resulta divertit com citen a Leibniz a la pag. 208 (introducció històrica a l’anàlisi) i utilitzen la seva notació sense saber ben bé què és. Matematicas 2, Bachillerato LOGSE, Mc Graw Hill(1996) 1) A la pag. 310, amb el títol de “notación alternativa para la derivada” considera

x

f

h

afhaf

)()(

on els seus i f x corresponen en la nostra figura 38 a l’altura i la base

del triangle, respectivament. Així doncs, considera hx i )()( afhaff

“Al resultado de tomar se le denota, en esta notación, por 0hdx

df”, de manera que està

considerant que , ja que utilitzant el mateix raonament d’abans consideraríem

0dxhxdx

Tot i que la definició d’un infinitesimal com un nombre que tendeix a zero no es massa formal, jo la consideraria més correcta que la vista en el llibre anterior, tot i que tampoc arriba a aprofundir sobre aquests nombres. Aleshores, utilitzant la nova terminologia, defineix

dx

df

0

lim

x x

f

Tot i això, l’ús dels infinitesimals torna a ser una mera qüestió de terminologia, “símbols”, en paraules de l’autor, com expressa quan diu “desde ahora la derivada de respecto de x

se denotarà indistintamente por cualquiera de los símbolos

)(xfy

dx

dy

dx

dfxf ,),(' ”

2) A la pag. 319, en l’explicació de la regla de la cadena, es tornen a utilitzar els infinitesimals per tal de facilitar el seu enteniment. “La razón de que se llame regla de la cadena queda más clara, si cabe, en la notacion alternativa para la derivada [...] fácil de memorizar[...]”. L’explica de manera similar al llibre anterior i al·legant novament a la seva senzillesa. Al marge de la pag. 318 se’n fa un exemple amb el cas )ln()( 2xxf A partir d’aquest moment utilitza la “anotació alternativa” assíduament com a definició alternativa a la convencional, com en el cas de la regla de la cadena per més de dos funcions(pag.320), per la derivada de la funció inversa(que aquest cop qualifica de “notación

106

más explicita”), en la derivada de (pag.321) i en les taxes de variacions relacionades(pag.322).

xe

3) A la pag.365, en el tema d’integrals es fa una introducció molt interessant i semblant a la nostra, en contraposició del llibre anterior que era menys explicatiu. D’aquesta manera, utilitzant el mètode d’Arquimedes, sense citar-ho explícitament, construeix un grup de rectangles l’altura dels quals es limitada pel valor màxim de la funció dins la franja de la seva base i que per tant sobresurten i construeix un altre grup de rectangles aquest cop limitats, en altura, pel valor mínim de la funció dins la franja de la seva base i que per tant no sobresurten. Aleshores estableix que la suma de les àrees que sobresurten i les que no ho fan són respectivament majors i menors a l’àrea de la funció. A més a més, s’adona que quan més particions fem de la funció en rectangles [es a dir, quan més petita sigui la base dels respectius rectangles] aquests valors s’aproximen a l’àrea desitjada. De manera que si fem infinites particions [o el que és el mateix, prenem rectangles de base infinitesimal], trobarem l’àrea de la funció.

Al marge s’explica més detallada la nomenclatura de la deduïda dxxf )( : “ el símbolo fue

introducido por Leibniz como una S alargada, para representar <<suma>>. Invita a pensar [de fet es així] en la integral definida como una suma de rectángulos de anchura infinitamente pequeña [infinitesimal] y altura , como si una varilla de altura variable barriera desde a hasta b, mediante rectángulos estrechísimos[de base infinitesimal], la región R íntegramente(de ahí el nombre de <<integral>>).” Voldria recalcar l’expressió “infinitament petit” com a eufemisme de infinitèsim, nom el que sembla que té por de pronunciar. Menys formal és, de totes maneres, quan diu “rectangles estretíssims”(!I tan estrets! Com que són infinitesimals).

dx )(xf )(xf

Tot i aquesta bona explicació del marge (malgrat no aprofundir en els conceptes d’infinitesimal), al text central és diu “El símbolo […] recuerda como se esta llamando a la variable respecto de la cual se efectúa la integración”. Cal remarcar d’això la concepció de símbol que només serveix per recordar de que parlem. És una simple anotació que s’utilitza per conveni.

dx

A partir d’aquest moment utilitza el diferencial de x amb total llibertat com a mera notació sense aprofundir més en els conceptes d’hiperreals, tot i utilitzar-los. Batxillerat 2,Matemàtiques ciències de la naturalesa i la salut–tecnologia, editorial Cruïlla (1998) 1)La seva particular introducció al diferencial d’una funció diu, a la pag. 242: “ El producte

és una bona aproximació de la taxa de variació de la funció [recordem en aquest aspecte que , com diu posteriorment com a definició del diferencial de la funció , considerant , e interpretem que per tal com anteriorment considerava que , tot i que això no ho diu explícitament; en aquest sentit es torna a definir un diferencial com un nombre que tendeix a 0, com es veia al llibre anterior ]; a més, com que és fàcil de calcular, s’utilitza en moltes ciències. Tot això ha contribuït a la popularització d’aquest valor, que té un nom propi: diferencial.”

haf )(' )(xfdxafdyf )('

) dx0h

(xf h 0dx

Resulta curiosa aquesta visió dels diferencials com a expressió “popular”, sobretot tenint en compte que en part és veritat, per tal com hem vist que s’utilitzen sovint en càlcul integral; però aquesta “popularitat” també ha vulgaritzat el seu ús, l’ha “col·loquialitzat” en la matemàtica com una “crossa lingüística” sense massa sentit, ara per ara. Podríem comparar aquest fet amb l’ús de l’expressió “amor platònic”. Quanta gent coneix realment a que es referia Plató? Qui ha llegit El convit on exposa la seva teoria? I tot i això, qualsevol illetrat utilitza l’expressió.

107

“ i són símbols formals les dues lletres, per tant, són inseparables”. Aquesta proposició no sabria dir fins quin punt és certa. Indubtablement es consideren com a tal, en el seu ús corrent en el càlcul integral. Però admeten els nombres hiperreals, i definint com un infinitesimal, no m’atreviria assegurar tan agosaradament com fa l’autor que és una unitat, tot i que reiterem, s’utilitza com a tal en el càlcul, però no necessàriament en altres construccions amb hiperreals.

dy dx

ddx

2) Quan, a la pag.243, s’explica la interpretació geomètrica del diferencial (altura de la figura 38), queda patent la seva falta de formalització: )(' xfdyy , prescindint del concepte de límit en front de l’aproximació. 3) No tornem a veure els diferencial fins la pag. 305, on desprès d’haver definit la primitiva com, en paraules de l’autor, “notació de derivades”( és primitiva de ), on li dedica una pàgina sencera, a la pàgina següent trobem amb el títol “notació diferencial” un requadre-resum igual al de la pagina anterior però canviant la paraula derivada per diferencial i la definició anterior per és primitiva de

)(xF

xf (

)()(')( xfxFxf

dxx))(xF fxdF ()() (pura optimització de l’espai, sens dubte). 4) Si bé en els altres llibres es mencionava a Leibniz com a pioner en aquests càlculs, l’única menció que he trobat d’ell en aquest present llibre ha estat a la pag. 306, com un simple suggeridor de la nomenclatura que s’usa en les integrals. Sincerament ridícul, tenint en compte la seva importància en la invenció del càlcul. Deixant de banda aquesta nota històrica al marge, diu: “La segona notació la devem a Leibniz, que va tenir les seves raons per utilitzar la s

allargada, , i també la ; però aquestes raons, de moment, no adquireixen ple sentit. N’hi

ha prou de saber que el símbol serveix per indicar les primitives d’una funció respecte a

x.”.

dx

dx...

Per enèsima vegada ens repeteixen que només és una qüestió de nomenclatura, que no hem de saber res més al respecte (gairebé podríem dir que són els sofistes grecs que ens enganyen per tal de no escapar de la cova i conèixer la veritat, dins el marc de la introducció). Voldria emfatitzar “va tenir les seves raons [per utilitzar la seva nomenclatura], però aquestes raons, de moment, no adquireixen ple sentit”. Aquestes “raons” són ni més ni menys la seva teoria de les nòmades, dels infinitèsims, dels hiperreals. I com bé expressa l’autor, aquest significat s’ha perdut; els símbols que resten de la seva teoria només són una perenne petjada del passat històric. El que no tinc tan clar és a què es refereix amb el “de moment”, sobretot tenint en compte que ni tan sols una doctorada en números coneixia els nombres infinitesimals o hiperreals, o si més no, no els tractava com a tal, i els utilitzava, com tothom, sense saber-ho.

108

109

Índex de figures Figura 1: Teorema de Tales .........................................................................................................................11 Figura 2: Representació de fraccions (1) .....................................................................................................12 Figura 3: Representació de fraccions (2) .....................................................................................................13 Figura 4: Representació de fraccions (3) .....................................................................................................13 Figura 5: Representació de fraccions (4) .....................................................................................................14 Figura 6: Representació de la solució d’una equació de primer grau..........................................................15 Figura 7: Diagonal d’un rectangle amb costats naturals..............................................................................18 Figura 8: Arrel quadrada en dues passes encadenant triangles....................................................................20 Figura 9: Arrel quadrada en dues passes superposant triangles ..................................................................21 Figura 10: Triangle explicatiu pel mètode inductiu de representació de arrels quadrades..........................24 Figura 11: Representació del mètode inductiu encadenant els triangles .....................................................25 Figura 12: Representació del mètode inductiu superposant els triangles ....................................................25 Figura 13: Representació del mètode inductiu per superposició prescindint dels triangles ........................26 Figura 14: Triangle explicatiu pel mètode deductiu de representació de arrels quadrades .........................27 Figura 15: Triangle explicatiu del teorema de l’altura ................................................................................28 Figura 16: Representació pel mètode deductiu de arrels quadrades............................................................29 Figura 17: Representació de la solució d’una equació de segon grau ........................................................30 Figura 18: Representació de phi com a solució d’una equació ...................................................................31 Figura 19: Representació de phi com a diagonal d’un pentàgon.................................................................32 Figura 20: Representació gràfica del mètode de la bisecció........................................................................43 Figura 21: Representació gràfica del mètode de la bisecció depurat...........................................................43 Figura 22: Pi,mètode d’exhaustió: triangle (1) Figura 23: Pi,mètode d’exhaustió: triangle (2) ............................................................................................46 Figura 24: Pi,mètode d’exhaustió: hexàgon (1) Figura 25: Pi,mètode d’exhaustió: hexàgon (2)...........................................................................................46 Figura 26: Pi,mètode d’exhaustió: dodecàgon (1) Figura 27: Pi,mètode d’exhaustió: dodecàgon (2) .......................................................................................46 Figura 28: Pi,mètode d’exhaustió: 24-àgono (1) Figura 29: Pi,mètode d’exhaustió: 24-àgono (2) ........................................................................................46 Figura 30: Pi,mètode d’exhaustió: 24-àgono (3) ........................................................................................47 Figura 31: Posició a la recta real de l’aproximació a la mil·lèsima d’alguns nombres reals ......................53 Figura 32: Enumeració dels enters ..............................................................................................................56 Figura 33: Bijecció entre la circumferència i la recta numèrica..................................................................57 Figura 34: Bijecció de Peano entre la recta i la superfície ..........................................................................58 Figura 35: Els hiperreals a la recta geomètrica............................................................................................61 Figura 36: L’infinit ......................................................................................................................................62 Figura 37: Càlcul diferencial (1)..................................................................................................................64 Figura 38: Càlcul diferencial (2)..................................................................................................................65 Figura 39: Càlcul diferencial (3)..................................................................................................................66 Figura 40: Plantejament d’un problema de màxims i mínims.....................................................................68 Figura 41: Funció d’un problema de màxims i mínims...............................................................................68 Figura 42: Integral de una funció corba.......................................................................................................70 Figura 43: Càlcul integral(1) .......................................................................................................................70 Figura 44: Càlcul integral(2) .......................................................................................................................71 Figura 45: Càlcul integral amb infinitèsims ................................................................................................71 Figura 46: Instrument de mesura egipci ......................................................................................................75 Figura 47: Mètode mètric egipci (1) ............................................................................................................76 Figura 48: Mètode mètric egipci (2) ............................................................................................................76 Figura 49: Mètode mètric egipci (3) ............................................................................................................77 Figura 50: Mètode mètric egipci (4) ............................................................................................................78 Figura 51: Rectangles àurics........................................................................................................................80

110

Figura 52: Lúnula d’Hipòcrates (1) .............................................................................................................83 Figura 53: Lúnula d’Hipòcrates (2) .............................................................................................................84 Figura 54: Representació gràfica del mètode de la secant (1) .....................................................................88 Figura 55: Representació gràfica del mètode de la secant (2) .....................................................................89 Figura 56: Representació gràfica del mètode de Newton(1) .......................................................................91 Figura 57: Representació gràfica del mètode de Newton (2) ......................................................................92 Figura 58: El cercle i les seves propietats....................................................................................................94

111

BIBLIOGRAFIA Durant tot el treball he anat citant tot de links i obres alienes. Els reescric ara tot junts per tal de respectar aquesta secció típica de qualsevol escrit: -Aresta, Matemàtiques I, Cou, (opció A i B), Barcanova (1990) -Matematicas 2, Bachillerato LOGSE, Mc Graw Hill(1996) -Batxillerat 2,Matemàtiques ciències de la naturalesa i la salut–tecnologia, editorial cruïlla (1998) -Los matemáticos no son gente seria de Claudi Alsina i Miguel de Guzmán - Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach de Jerome Keisler, que podeu llegir a http://www.math.wisc.edu/~keisler/ - La imposibilidad o no de algunas construcciones con regla y compás de Irene Peral Walias i María Asunción Sánchez Torres de la U.A.M. que podeu llegir a http://www.uam.es/otros/fcmatematicas/Trabajos/Bartolome/Trabajo.doc. -Teoria de Galois de María Julia Redondo del Instituto de Matemática – UNS (Av. Alem 1253, Bahía Blanca) que podeu llegir a http://inmabb.criba.edu.ar/gente/mredondo/MJRedondoGalois33.pdf - Las formulas de Cardano-Ferrari de Carlos Ivorra que podeu llegir a: http://www.uv.es/ivorra/Libros/Ecuaciones.pdf -Sobre la aritmética transfinita de Cantor de Antonio Leon Sanchez, que podeu llegir a http://www.interciencia.es/PDF/Mathematics/SobreLaAritmeticaTransfinitaDeCantor.pdf -Georg Cantor y la teoría de conjuntos transfinitos de Joseph W. Dauben que podeu llegir a http://www.cayocesarcaligula.com.ar/Textos/Cantor/georg_cantor_y_la_teoria_de_transfinitos.htm -Article de la Gaceta , Labyrinth of Thought. A history of Set Theory and its Role in Modern Mathematics. Birkhauser Verlag, Basel, 1999. per Ignacio Jan que podeu llegir a http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/Gaceta/Historia43.pdf Webs (pròpiament dites): http://www.euclides.org/ www.wikipedia.org http://www.portalplanetasedna.com.ar/disputas_matematicas.htm http://gaussianos.com/la-semana-de-la-cubica-la-historia-de-su-resolucion/ http://www.ugr.es/~eaznar/galois.htm http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/MateOspetsuak/Galois.asp http://web.jet.es/gemart/galois.htm#v

http://www.math.wisc.edu/%7Ekeisler/

http://www.uam.es/otros/fcmatematicas/Trabajos/Bartolome/Trabajo.doc

http://inmabb.criba.edu.ar/gente/mredondo/MJRedondoGalois33.pdf


http://www.interciencia.es/PDF/Mathematics/SobreLaAritmeticaTransfinitaDeCantor.pdf



http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/Gaceta/Historia43.pdf

http://www.euclides.org/

http://www.wikipedia.org/

http://www.portalplanetasedna.com.ar/disputas_matematicas.htm

http://gaussianos.com/la-semana-de-la-cubica-la-historia-de-su-resolucion/

http://www.ugr.es/%7Eeaznar/galois.htm

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/MateOspetsuak/Galois.asp

http://web.jet.es/gemart/galois.htm#v

l'univers numèric de la recta

Documents