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LOS SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN SEMIÓTICA EN LA ENSEÑANZA DE

FUNCIONES POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO EN LA INSTITUCIÓN

EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO

Jorge Iván Amaya Baena

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Medellín, Colombia

2019

Los sistemas de representación semiótica en la enseñanza de funciones

polinómicas de segundo grado en la Institución Educativa Javiera Londoño

Jorge Iván Amaya Baena

Trabajo final de maestría presentado como requisito parcial para optar al título de:

Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Director:

Diego Esteban Agudelo Suarez

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Medellín, Colombia

2019

Resumen V

RESUMEN

Según los actuales planteamientos sobre la educación matemática, la enseñanza de las funciones

debe centrarse en el estudio de situaciones de variación donde se identifiquen los elementos que

varían, cómo lo hacen y de qué manera están relacionados, lo cual resulta más sencillo cuando

dichas situaciones están enmarcadas en un contexto específico y cercano para los estudiantes.

Por esto, en el presente trabajo se propone la realización de una secuencia didáctica conformada

por una serie de actividades que promueven el uso de diferentes registros de representación

semióticos (Duval, 1999), alrededor de una situación de cambio abordada con ayuda de material

concreto. Esto con el fin de analizar el concepto de función polinómica de segundo grado y

fortalecer su enseñanza en estudiantes de Noveno grado de la Institución Educativa Javiera

Londoño del municipio de Medellín. Tras el desarrollo de la secuencia se encuentra que el uso de

varios registros en una situación de variación contextualizada no sólo permite conocer las ideas

de función cuadrática que manejan las estudiantes, sino que además contribuye con la enseñanza

de su concepto.

Palabras clave: Registros de representación semióticos, situaciones de variación, función

polinómica de segundo grado, material concreto

Abstract VI

ABSTRACT

According to the current approaches to mathematical education, the instruction of functions is to

be centered on the study of situations of variability, where the variable elements can be

identified as to how and in which manner they are related, which in turn results to be less

challenging for learners when such situations are both contextually specific and close to them.

That being said, this work aims to provide a didactical teaching sequence composed of a series of

activities promoting the use of various semiotic representation registers (Duval, 1999), around

which, a situation of change is addressed with the help of specific material. This is done in order

to both analyze the concept of a second degree polynomial function and strengthen its command

in the ninth grade students from La Institución Educativa Javiera Londoño in the city of

Medellin. After having carried out the proposed didactic sequence, it was discovered that the use

of various registers in a contextually specific situation does not only allow to determine the

concept of a quadratic function held by learners but it also contributes to its instruction.

Keywords: semiotic representation registers, situations of variability, second degree polynomial

function, specific material

Tabla de contenido VII

TABLA DE CONTENIDO

Resumen .................................................................................................................................... V

Abstract ................................................................................................................................... VI

Tabla de contenido .................................................................................................................. VII

Lista de figuras......................................................................................................................... IX

Introducción ............................................................................................................................. XI

1. Capítulo I. Diseño teórico .................................................................................................. 14

1.1 Selección y delimitación del tema ............................................................................... 14

1.2 Planteamiento del problema ........................................................................................ 14

1.2.1 Descripción del problema ........................................................................................ 14

1.2.2 Formulación de la pregunta. .................................................................................... 18

1.3 Justificación ................................................................................................................... 19

1.4 Objetivos ........................................................................................................................ 21

1.4.1 Objetivo general .......................................................................................................... 21

1.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................................... 21

1.5 Marco Referencial .......................................................................................................... 22

1.5.1 Referente Antecedentes. .......................................................................................... 22

1.5.2 Referente Teórico........................................................................................................ 25

1.5.3 Referente Conceptual-Disciplinar ................................................................................ 30

1.5.4 Marco legal ................................................................................................................. 37

1.5.5 Marco espacial ................................................................................................................. 38

2 CAPÍTULO II. DISEÑO METODOLÓGICO: INVESTIGACIÓN APLICADA................ 40

2.2 Enfoque .......................................................................................................................... 40

2.3 Método ....................................................................................................................... 41

Instrumentos de recolección de información y análisis de información................................... 42

2.4 Población y Muestra ....................................................................................................... 43

2.5 Delimitación y alcance ................................................................................................... 43

2.6 Cronograma .................................................................................................................... 44

Tabla de contenido VIII

2.7 Cronograma de actividades ......................................................................................... 46

3 Capítulo III. Sistematización de la intervención ................................................................. 47

3.1 Diseño de la secuencia didáctica ................................................................................. 47

3.2 Resultados y análisis de la intervención ....................................................................... 52

3.3 Conclusiones y Recomendaciones ............................................................................... 78

3.3.1 Conclusiones ........................................................................................................... 78

3.3.2 Recomendaciones ................................................................................................ 80

Referencias ............................................................................................................................... 82

A. Anexo: Pretest, actividad diagnostica .............................................................................. 84

B. Anexo: Guía número 1 ................................................................................................... 87

C. Anexo: Guía número 2 ................................................................................................... 90

D. Anexo: Guía número 3 ................................................................................................... 95

E. Anexo: Guía número 4 ....................................................................................................... 99

Lista de figuras IX

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.5.2-1 Mapa mental de la Teoría de Registros de Representación Semiótica .......... 27

Figura 1.5.2-2. Ejemplo de conversión entre el Registro de Representación Grafos y el

Registro de Representación Algebraico.................................................................................. 28

Figura 3-1 Plano de la caja en 2D ........................................................................................... 49

Figura 3.2-3-2 Ejercicio en registro de representación gráfico ............................................. 53




Figura 3-6 Ejercicio en registro de representación gráfico ................................................... 56

Figura 3-7Función en lenguaje natural y diagrama sagital ................................................... 57

Figura 3-8 Función en lenguaje natural y gráfico .................................................................. 57

Figura 3-9 Función en lenguaje natural y diagrama sagital .................................................. 58

Figura 3-10 Función en lenguaje natural y gráfico ................................................................ 58

Figura 3-11 Identificación de variables .................................................................................. 59

Figura 3-12 Identificación de variables .................................................................................. 60

Figura 3-13 Representación de situación mediante diagrama de barras .............................. 61

Figura 3-14 Análisis de la situación ........................................................................................ 67



Figura 3-17 Análisis de la situación ....................................................................................... 68

Figura 3-18 Representación gráfica ....................................................................................... 69

Figura 3-19 Representación gráfica ....................................................................................... 69

Lista de figuras X

Lista de tablas

Tabla 1.5.3-1 Ejemplo de objeto matemático representado en varios sistemas de

representación semióticos ....................................................................................................... 35

Tabla 1.5.4-1 Normograma ..................................................................................................... 37

Tabla 2.2-1 Fuentes primarias de información ...................................................................... 42

Tabla 2.6-1 Planificación de actividades ................................................................................ 44

Tabla 3.2-3-1 Rúbrica de evaluación de la actividad diagnóstica.......................................... 52

Tabla 3-2 Rúbrica de evaluación. Guía 1 ............................................................................... 62




Introducción XI

INTRODUCCIÓN

“En la vida real, te lo aseguro, no hay algo como el álgebra”.

Fran Lebowitz

El mundo que nos rodea se caracteriza por estar en un constante cambio; el tiempo

avanza, la temperatura cambia, los objetos se desplazan. Existe una infinidad de variables que

interactúan y se relacionan unas con otras; algunas de estas relaciones son las denominadas

funciones, las cuales por definición son aquellas que relacionan dos conjuntos de elementos, en

donde el cambio en un primer conjunto de partida produce una única respuesta ubicada en un

conjunto de llegada. Esto hace que las relaciones tengan un carácter sistémico, el cual puede ser

estudiado y evaluado; es por esto que las Matemáticas cobran gran importancia, puesto que

aportan explicaciones a hechos y eventos además proporcionan predicciones de futuros

comportamientos de algo que está en constante movimiento.

¿Cómo hacen las Matemáticas para comunicar y explicar los comportamientos del mundo

real? Si bien la problemática de este trabajo no se basa en determinar si las Matemáticas son un

lenguaje o no y/o develar las reglas de formación y comunicación que existen dentro de éstas, se

puede afirmar que las formas de representar y comunicar los objetos propios de las Matemáticas

son cuando menos peculiares y particulares, diferentes a cualquier tipo lenguaje utilizado por los

seres humanos para comunicar ideas. En Matemáticas se cuenta con unas reglas de formación

que combinan signos y operadores especiales propios del área, existiendo tal variedad que se

puede comunicar la misma idea u objeto matemático utilizando reglas y signos totalmente

diferentes. Por ejemplo, si se quiere mostrar el comportamiento del cambio en la relación

Introducción XII

funcional de las distancias recorridas por un auto con referencia al tiempo que lleva en marcha,

se puede hacer por medio de la tabulación de diferentes datos o también por medio de una

gráfica cartesiana.

Cada forma que tienen las Matemáticas para expresar los objetos propios del área son

llamados registros de representación semiótica, término acuñado por el francés Raymond Duval

(1999) quien se asume como referente principal para el presente trabajo. El objetivo planteado es

pensar la enseñanza a partir de situaciones de variación en las cuales se presentan las diferentes

representaciones semióticas del concepto de las funciones polinómicas de segundo grado en la

Institución Educativa Javiera Londoño, posibilitando un inicio hacia la reconfiguración de las

formas, métodos y maneras de enseñanza, con el fin que la institución se empiece a asentar con

mayor fuerza hacia la generación de conocimiento por competencias, aplicados en el contexto

cercano al estudiante.

Para ello se plantea una secuencia didáctica dividida en tres momentos: En primer lugar

se realiza un diagnóstico de las debilidades y fortalezas que tienen los estudiantes, vislumbrando

de este modo un panorama claro de los saberes previos que tienen y que sirvieron como bases

iniciales para proponer las situaciones con las que se trabajó. El diagnóstico de los saberes de los

estudiantes posibilitó mirar en el espejo, reflejar y reflexionar sobre nuestro quehacer docente en

el aula, dando así los primeros pasos para que el presente trabajo tuviese un buen impacto, al

obtener resultados más relevantes que contribuyen con la mejora de la calidad en la educación.

Posteriormente se implementó una secuencia didáctica desarrollada a través de 4 guías de

trabajo, las cuales permitieron que los estudiantes se acercaran al objeto de conocimiento de

manera continua y progresiva, dándole un sentido y una aplicación útil para que los estudiantes

Introducción XIII

se aproximen al objeto de conocimiento desde una perspectiva dinámica, que es asequible y

comprensible para ellos. Esto además de brindar la posibilidad de crear diferentes registros de

representación, en donde se realizan transformaciones entre estos con el fin de clarificar el objeto

matemático estudiado.

Finalmente se realizó el análisis y la retroalimentación del trabajo realizado en clase, a través

de unas rúbricas de evaluación, cada una constituida por 4 criterios de observación y tres niveles

de desempeño: “Cumple”, “Cumple parcialmente” y “No cumple”.

Capítulo I. Diseño teórico 14

1. CAPÍTULO I. DISEÑO TEÓRICO

1.1 Selección y delimitación del tema

Implementación de registros de representación semiótica para el análisis del concepto de

función polinómica de segundo grado en estudiantes de Noveno grado de la Institución

Educativa Javiera Londoño del municipio de Medellín, por medio de una situación de cambio

abordada con ayuda de material concreto.

1.2 Planteamiento del problema

1.2.1 Descripción del problema

Es claro que el concepto de función guarda principal trascendencia dentro del campo

conceptual de las Matemáticas, debido a que alrededor de él se sitúan múltiples objetos

matemáticos y se desarrolla una amplia gama de habilidades de pensamiento.

Lamentablemente son muchas las dificultades que comúnmente se observan a nivel del

aprendizaje de las funciones, las cuales en parte responden a las metodologías que

tradicionalmente son empleadas para su enseñanza y que privilegian el uso de expresiones

simbólicas abstractas y descontextualizadas.

Al respecto, Azcárate (1992-1996), Sierpinska (1985-1988) & Ruiz (1998) citados por

(Diaz, Belmar, & Poblete, 2018), expresan:


Tradicionalmente en la escuela los maestros centran su interés en mostrar el aspecto

algebraico del concepto dejando de lado en muchas ocasiones un análisis profundo y

detallado sobre los elementos propios que permitan consolidar un concepto con suficiente

significado para ser aprendido convenientemente. Consecuencia de esto es que los

estudiantes en muchos casos terminan teniendo la posibilidad de repetir rutinas sobre objetos

algebraicos que poco sentido tienen para ellos. (p.1205)

Los docentes privilegian metodologías que le exijan al estudiante memorizar un

conglomerado de reglas y fórmulas que conforman un algoritmo con aplicación en situaciones

ideales que resultan desprovistas de significado para ellos. Con respecto a esto, Trigueros citado

por Betancur (2019), “explica que incluso en niveles universitarios la enseñanza de las

matemáticas se desarrolla de manera tradicional, haciendo énfasis en el uso de definiciones y

teoremas, situación a la que no escapa el concepto de función” (p 12).

El énfasis del carácter simbólico de la enseñanza de las funciones que se ha dado

tradicionalmente, repercute en un desconocimiento del mundo de significados que hay detrás de

las mismas, por lo que es común encontrar estudiantes que preguntan “¿Esto para qué sirve?”,

“¿Qué sentido tiene estudiar funciones?”, esto es debido a que no se da un contexto y prima la

ejercitación, proponiendo ejercicios como por ejemplo “Determine el dominio y el rango además

de la gráfica para la siguiente función 𝑓(𝑥) = 5𝑥2”.

Esto repercute en el hecho que los estudiantes no alcancen una comprensión significativa de

lo que implica una función y no encuentren su relación con situaciones cotidianas o fenómenos

propios del mundo real, marcados por la variación y el cambio, como es el caso de múltiples


fenómenos físicos, problemas de predicción de costos y ganancias, optimización de terrenos,

entre otros.

Con respecto a esto, los Lineamientos curriculares de Matemáticas provistos por el MEN

(1998) afirman:

El estudio de las funciones en la educación básica secundaria tiene más sentido si se

hace a partir de la modelación de situaciones de cambio, como se propuso en la Renovación

Curricular. Es importante que los alumnos se sensibilicen ante los patrones que se

encuentran a diario en diversas situaciones, a describirlos y a elaborar modelos matemáticos

de esos patrones y a establecer relaciones. Si el estudio del álgebra se hace partiendo de

expresiones simbólicas, como se ha hecho tradicionalmente, se está privando al alumno de la

experiencia de modelación para llegar a esos sistemas simbólicos. (p 102)

Lo anterior reafirma que la enseñanza de las funciones debe abordarse a partir del estudio de

situaciones de variación que sean cercanas al estudiante y posibiliten la construcción de sentidos

alrededor de ellas. Por lo anterior y con el fin de iniciar un avance con miras a dotar de sentido la

enseñanza de las funciones, para el presente trabajo se elige como objeto de estudio las funciones

polinómicas de segundo grado, ya que:

• Este tipo de función tiene profunda importancia dentro de las Matemáticas.

• No cuenta con un acervo de antecedentes en su estudio como sí lo hace la función

lineal.

• Aparece en diversidad de contextos (el presente trabajo expone una situación en

donde se analiza la relación funcional existente entre los lados y el área de un

rectángulo).


Dicha construcción de sentidos se ve potenciada cuando el acercamiento a las funciones

de segundo grado es considerada desde diferentes formas de representación de dicho objeto, con

el fin de interpretarlo no sólo desde su componente algebraico como usualmente sucede, sino

también a partir de otros tipos de representación, como por ejemplo el tabular o el verbal.

Con lo anterior se hace referencia a lo que Duval denomina representaciones semióticas y

que de manera somera consiste en los signos, imágenes o símbolos que evocan un objeto

matemático, particularmente para este trabajo las funciones polinómicas de segundo grado. Estas

representaciones son herramientas que permiten pensar a las funciones polinómicas de segundo

grado, comprenderlas y comunicarlas a través de las ideas que alrededor suyo construye el

individuo.

Duval explica que para los objetos matemáticos existen diferentes representaciones

semióticas como el lenguaje natural, la representación algebraica, tabular, gráfica e icónica; las

cuales en conjunto configuran el concepto relacionado a un objeto matemático. De ahí la

importancia de considerar diversas representaciones semióticas en el estudio de un objeto, pues

limitarse a una sola representación imposibilita su comprensión.

De este modo, se propone analizar cómo la variedad de representaciones semióticas en el

tratamiento de situaciones cotidianas marcadas por la variación y el cambio, contribuyen con la

enseñanza de funciones polinómicas de segundo grado en estudiantes de Noveno de la

Institución Educativa Javiera Londoño de Medellín.


1.2.2 Formulación de la pregunta.

¿Cómo los registros de representación semiótica contribuyen con la enseñanza de las

funciones polinómicas de segundo grado?

Justificación 19

1.3 JUSTIFICACIÓN

El presente trabajo es un esfuerzo por analizar el concepto de función polinómica de segundo

grado de los estudiantes, basándose en la implementación de diferentes tipos de registros de

representación semiótica como son el lenguaje natural, pictórico, tabular, gráfico y algebraico,

con el fin de contribuir a la enseñanza con sentido de dicho objeto matemático, ya que el uso de

múltiples registros de representación en el estudio de un eje conceptual facilita su enseñanza y

aprendizaje, tal y como lo propone Duval (1999).

Esta perspectiva de enseñanza permite mitigar el constante reclamo de los estudiantes acerca

del sin sentido que representan para ellos las Matemáticas, ya que en muchas ocasiones éstas se

presentan en las aulas de manera descontextualizada y sin significado práctico. Para esto se

propone una situación de variación y cambio que puede ser representada con material concreto,

facilitando que sea dotada de significado y éste sea expresado a través de diferentes registros de

representación.

Con referencia a lo anterior, el MEN (2003) en los Estándares Básicos por Competencias

afirma que:

(…) Este tipo de pensamiento (variacional y los sistemas algebraicos y analíticos)

tiene que ver con el reconocimiento, la percepción, la identificación y la caracterización

de la variación y el cambio en diferentes contextos, así como con su descripción,

modelación y representación en distintos sistemas o registros simbólicos, ya sean

verbales, icónicos, gráficos o algebraicos. (p. 66)

Justificación 20

La implementación de diferentes registros de representación cobra importancia debido a que

“los diferentes tipos de representación son irreductibles entre sí” (Duval,1999, p.11), por lo cual

cada registro además de cumplir su función comunicativa, dota de un significado particular al

objeto matemático, repercutiendo en un enriquecimiento del nivel de abstracción y comprensión

de los estudiantes ya que los registros de representación que como fichas de un rompecabezas

por separado no develan el significado, pero a medida que van encajando las unas con las otras

se forma un todo que dejar ver el objeto matemático.

Las conversiones entre un registro de representación semiótico y otro no se presentan de

manera espontánea en el estudio de los objetos matemáticos, a pesar de jugar un papel esencial

en el andamiaje operacional de tal objeto, ya que permite realizar conexiones entre los saberes

previos de los estudiantes y los nuevos. Por esto, es meritorio apostarle no solamente a las

diferentes representaciones, sino también al estudio de situaciones que posibiliten las

transformaciones entre sistemas de representación semióticos.

Objetivos 21

1.4 OBJETIVOS

1.4.1 OBJETIVO GENERAL

Analizar la contribución de los registros de representación semiótica a la enseñanza de las

funciones polinómicas de segundo grado en estudiantes de Noveno grado de la Institución

Educativa Javiera Londoño.

1.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Realizar un diagnóstico a través de un pretest a los estudiantes del grado Noveno de la

Institución Educativa Javiera Londoño, determinando los conocimientos previos para el

desarrollo de las funciones polinómicas de segundo grado.

• Diseñar una secuencia didáctica que utilice las representaciones semióticas de las

funciones polinómicas de segundo grado.

• Intervenir la enseñanza de las funciones polinómicas de segundo grado en el grado

Noveno a través de la secuencia didáctica.

• Evaluar el impacto de la secuencia didáctica a través de la observación de las

conversiones que realizan los estudiantes entre los diferentes registros de representación

semióticos de las funciones polinómicas de segundo grado.

Marco Referencial 22

1.5 MARCO REFERENCIAL

1.5.1 Referente Antecedentes.

A nivel internacional se toma como referente el artículo de revista titulado “Objetos,

significados, representaciones semióticas y sentido”, Bruno D`Amore (2006), donde el autor

aborda las consecuencias que se dan cuando se realizan transformaciones semióticas, tanto de

tratamientos como de conversiones, en lo concerniente a los sentidos que los estudiantes asignan

a un objeto matemático. Para ello aborda varios ejemplos y a la luz de la Teoría de las

Representaciones desarrollada por Raymond Duval, analiza cómo se pueden alcanzar diferentes

sentidos para un mismo objeto matemático.

A nivel nacional y en relación con el estudio de la enseñanza basada en las

representaciones semióticas, en su Tesis Doctoral “Articulación de saberes matemáticos:

representaciones semióticas y sentidos”, Rojas Garzón (2014) realiza un análisis de las

dificultades que los estudiantes encuentran a la hora de articular los sentidos asignados a un

mismo objeto matemático desde diversas representaciones semióticas, asociado a la práctica de

transformaciones entre representaciones tipificadas como tratamientos o conversiones. La

investigación realizada muestra que estudiantes e incluso docentes, no vinculan las

representaciones de un mismo objeto y en muchas ocasiones los sentidos que atribuyen a un

objeto matemático desde otra representación son contradictorios.

Centrando la atención en los trabajos realizados sobre las representaciones y el

pensamiento variacional, específicamente en referencia al tema de las funciones, se retoma la

Tesis de Maestría de la Universidad de Antioquia titulada “Propuesta didáctica de aproximación

al concepto de función lineal desde una perspectiva variacional”, Posada y Villa (2006), donde


se muestra el diseño de una propuesta didáctica para la enseñanza del concepto de función lineal,

basada en el concepto de variación, el proceso de modelación matemática y los registros

semióticos de representación.

Desde la Universidad Pedagógica Nacional se encuentra la Tesis de Maestría

“Caracterización de tratamientos y conversiones: el caso de la función afín en el marco de las

aplicaciones”, Gutiérrez Otálora & Parada Landazábal (2007) donde se describen las

características principales de las transformaciones hechas por estudiantes de la Escuela

Colombiana de Ingeniería, concluyendo como hallazgo principal que aunque dichos estudiantes

poseen variadas representaciones de algunos objetos matemáticos, muestran un bajo nivel en la

articulación entre registros.

Por último y en relación más directa con la temática del presente proyecto, cabe

considerar las Tesis de Maestría de la Universidad de Manizales denominadas “Tratamiento de

las representaciones semióticas de la función cuadrática”, González (2011) y “Las actividades

cognitivas de tratamiento y conversión de las representaciones semióticas en la resolución de

problemas contextuales relacionados con el concepto de función cuadrática”, Escobar (2016);

ambas propuestas se desarrollan alrededor de las representaciones semióticas y las funciones

polinómicas de segundo grado. De estos trabajos se resalta:

• Una de las dificultades principales del estudiantado es la comprensión del registro

verbal de los problemas.

• Según González (2011) “La coordinación adecuada y la congruencia entre

diversos sistemas de representación de un mismo objeto no son espontaneas y se

necesitan estrategias para concientizar al estudiante de este proceso” (p 34).


• A los estudiantes se les dificultad el reconocimiento del mismo objeto matemático

en diferentes registros de representación.

• Tal y como lo plantea Escobar (2016), “La movilidad y tratamiento entre las

representaciones semióticas de la función cuadrática son útiles al momento de

resolver problemas en contexto que requieran el planteamiento de alguno de sus

registros de representación” (p. 2).

Puede observarse que en los referentes retomados ya se han hecho análisis de cómo las

transformaciones -ya sean tratamientos o conversiones- aportan a la construcción de sentidos y

significados de los objetos matemáticos, así como a la identificación de las dificultades típicas y

su posible solución. El presente trabajo busca aprovechar los registros de representación

semióticos, tomando como objeto de conocimiento las funciones polinómicas de segundo grado,

para lo cual se utiliza como medio una situación de variación que los estudiantes construyen y

representan a través de material concreto. Luego se analizan las diferentes representaciones

construidas por los estudiantes desde la actividad planteada, para posteriormente abstraer las

construcciones particulares relacionadas con la situación y pasar a una generalización,

incluyendo dominios no representables en la vida cotidiana como es una distancia negativa.

Referente Teórico 25

1.5.2 REFERENTE TEÓRICO

El referente teórico de este trabajo apunta a dos componentes fundamentales. El primero

refiere al desarrollo de la teoría de las representaciones semióticas cuyo exponente principal es el

Doctor Raymond Duval y que permite direccionar el modo como se comunican los objetos

matemáticos abordados, además de evidenciar el aprendizaje del estudiante. El segundo tiene que

ver con el concepto de secuencia didáctica como mecanismo por medio del cual se diseña y

ejecuta la propuesta de intervención para los estudiantes.

Con respecto al primero de los componentes, las representaciones semióticas, es

necesario comenzar explicando que la comunicación guarda un papel fundamental en el acto de

enseñar, tal y como lo afirma El Ministerio de Educación Nacional (1998) en su texto

Lineamientos Curriculares de Matemáticas, al enunciar que “la comunicación es la esencia de la

enseñanza, el aprendizaje y la evaluación de las matemáticas” (p. 75), por lo cual analizar la

forma en que se representan las ideas y son expresadas entre las personas puede contribuir a

tener una mejor comprensión del acto educativo.

A propósito de la comunicación cabe mencionar el término Representación, el cual puede

entenderse como el símbolo, la imagen o el signo que evoca determinado objeto o concepto,

según Raymond Duval (1999). La representación tiene tres polos: el objeto, que es la idea que se

pretende representar; el contenido, es decir lo que se representa; y la forma, que refiere al

registro semiótico en el cual se presenta.

Aparece en el escenario el concepto de Registro de Representación Semiótica, que según

Duval consiste en las reglas de formación que permiten combinar signos que evocan


determinados conceptos, siendo denominados estos signos como Tipos de Representaciones

Semióticas. La combinación de signos forma asociaciones que tienen un sentido definido.

Debido a la naturaleza abstracta de los objetos matemáticos, resulta imposible acceder a ellos de

manera tangible y observable; su representación se limita entonces a diferentes Tipos de

Representaciones Semióticas que se inscriben en una amplia variedad de Registros de

Representación Semiótica.

Es necesario aclarar que ningún Tipo de Representación Semiótica logra representar

fielmente los objetos y más bien es el conjunto de todos ellos el que ayuda a la comprensión de

dichos objetos, por lo cual se puede deducir que entre más representaciones semióticas realice un

sujeto de un objeto matemático, más cerca está de su conceptualización. Con respecto a esto

Duval (1999) afirma

(…) Las posibilidades de las transformaciones de las representaciones producidas

son tan esenciales como cada una de las representaciones que se puedan producir. La

actividad intelectual consiste esencialmente en la transformación de las representaciones

semióticas en la perspectiva de elaborar nuevas representaciones. Todo progreso de

conocimientos en matemáticas pasa por este trabajo de transformación. (p. 44)

Debe resaltarse que además de su funcionalidad comunicativa, los Registros de

Representación Semiótica posibilitan el tratamiento de los objetos matemáticos y su

comprensión; los registros se complementan entre ellos y cada uno deja ver en diferentes grados

de profundidad una parte del objeto. Es por esto que las actividades que se planteen en un

proceso de enseñanza aprendizaje deben permitir que los objetos matemáticos puedan expresarse

desde diferentes Registros de Representación Semiótica.


Es imprescindible mencionar que en general el paso de un Registro de Representación a

otro resulta complejo y difícil para los individuos; no es un proceso que se presenta de manera

natural, por lo cual se debe proponer a los estudiantes situaciones que propicien el uso de

diferentes formas de representar un mismo objeto matemático. El paso de un Registro de

Representación a otro es denominado Transformación y según Duval existen dos tipos que se

dan en el proceso de comunicar, estudiar y enseñar los registros de representación: el

Tratamiento que refiere a las transformaciones que se realizan internamente desde un mismo

registro de representación, y las Conversiones, que son las transformaciones que se hacen de un

registro de representación a otro.

Ahora bien, en la Figura 1.5.2-1, se muestra cómo en el presente proyecto se pretende

abordar las funciones polinómicas de segundo grado (objeto matemático), para lo cual es

pertinente utilizar los siguientes Registros de Representación Semiótica: lenguaje natural escrito

y oral, sistema de escritura algebraico, figuras geométricas planas (que para efectos de este

trabajo llamaremos lenguaje icónico), tabular, y grafos de planos cartesianos.

Figura 1.5.2-1 Mapa mental de la Teoría de Registros de Representación Semiótica


Fuente: Elaboración del autor

Las actividades que se proponen en este trabajo son situaciones de variación que pueden

ser modeladas por funciones polinómicas de segundo grado. Estas actividades deben partir desde

un Registro de Representación que sea entendible desde los conocimientos previos de los

estudiantes, a través del lenguaje natural y/o icónico, para luego adentrar a los estudiantes en

registros más refinados y especializados como son el sistema de escritura algebraico, el tabular y

el gráfico.

El nodo central de las actividades propuestas no sólo consiste en representar una situación

de variación en los diferentes Registros de Representación, sino lograr las transformaciones entre

los Registros de Representación Semiótica, realizando tratamientos en las registros

algoritmizables como es el sistema de escritura algebraico y conversiones entre todos los

registros, como por ejemplo pasar de un registro de grafos de planos cartesianos al sistema de

escritura algebraico como se visualiza en la Figura 1.5.2-2.

Figura 1.5.2-2. Ejemplo de conversión entre el Registro de Representación Grafos y el Registro de Representación Algebraico.

Fuente: elaboración del autor

Finalmente y en coherencia con los elementos presentados hasta el momento, el presente

trabajo pretende diversificar las formas de Representaciones Semióticas de las funciones


polinómicas de segundo grado, apuntando a dos vías; primero comunicar de manera efectiva y

entendible el objeto matemático, sin caer en el error de confundir su representación con el objeto

representado; y segundo, generar conexiones y/o relaciones entre los diferentes registros de

representación y sus respectivos Tipos de Representación Semiótica. Esto con el fin de aportar a

la comprensión de las funciones polinómicas (en este caso, de segundo grado), que constituyen

un eje relevante dentro de las Matemáticas ya que sirven como entrada para el estudio del

cálculo.

Respecto al segundo componente del referente teórico, se retoma lo expresado por y

tomando como referencia los aportes de Díaz Barriga (2013), se entiende una secuencia didáctica

como una organización de las actividades de aprendizaje que se realizan con los alumnos y para

los alumnos con la finalidad de crear situaciones que les permitan desarrollar un aprendizaje

significativo. Así, la secuencia didáctica consiste en la organización de una serie de actividades

que se realizan en el marco de la enseñanza y el aprendizaje, tomando como punto de partida los

saberes previos de los estudiantes y vinculando éstos a una situación problemática,

contextualizada y cercana a ellos; para así motivar el trabajo y buscar la movilización del

conocimiento.

Ahora bien, la estructura de una secuencia didáctica puede variar dependiendo de los

intereses que con ella se persigan. Sin embargo, en relación con los planteamientos de Díaz

Barriga (2013), es necesario considerar los siguientes aspectos:

• Partir de los conocimientos previos del estudiantado y tomarlos como insumo para la

realización de las primeras actividades.

Referente Conceptual-Disciplinar 30

• Articular elementos de la realidad en el proceso de enseñanza aprendizaje, que permitan

dar sentido y significado a los objetos matemáticos a trabajar.

• Las actividades planteadas deben servir en doble sentido; una como forma de expresión y

comunicación de los objetos matemáticos tratados, otra como forma de evidenciar el

aprendizaje que aportan a la evaluación sumativa final.

Y en específico para el presente trabajo, es fundamental que una secuencia didáctica

cumpla permitir diferentes tipos de representaciones semióticas del objeto matemático a trabajar,

además de posibilitar y procurar conversiones entre tales representaciones.

El Doctor en Pedagogía Ángel Diaz Barriga establece además dos líneas en las cuales

organizar una secuencia didáctica. Para esta propuesta se eligió la línea que divide la secuencia

en tres momentos: Apertura, donde se define una variedad de actividades que motiven a la

participación activa del estudiante; Desarrollo, en el cual se procura reacomodar los saberes

previos con los cuales cuenta el estudiante y llevarlo hacia un nuevo conocimiento; y por último,

el momento de Cierre, que busca una integración de las actividades realizadas durante el proceso.

La secuencia didáctica aquí asumida está movilizada a través de guías de trabajo, cada

una con una duración aproximada de 2 horas de desarrollo y que cumplen con los descriptores

antes mencionados sobre la idea de secuencia didáctica.

1.5.3 REFERENTE CONCEPTUAL-DISCIPLINAR

Desde los Estándares Curriculares de Matemáticas (2003) se plantea que “ […] el cálculo

algebraico surge como generalización del trabajo aritmético con modelos numéricos en


situaciones de variación de los valores de las mediciones de cantidades relacionadas

funcionalmente” (pág. 68). Así pues, es claro que el estudio de las funciones en términos

generales constituye uno de los componentes fundamentales al interior de las Matemáticas, pues

sirve como punto de conexión entre las Matemáticas básicas y las de carácter superior, al

posicionarse como eslabón entre la proporcionalidad directa (que emerge de la multiplicación) y

el cálculo diferencial.

Bien se sabe que la multiplicación es uno de los componentes primordiales de las

Matemáticas, ya que sirve como herramienta para la construcción de gran cantidad de conceptos

y procesos. Inicialmente la multiplicación es pensada en términos de sumas abreviadas, lo cual es

válido pero insuficiente para comprender la magnitud de este objeto matemático, por lo que se

hace necesario abordarla en una perspectiva de proporcionalidad directa.

Este hecho pone en el escenario la idea de relación entre dos cantidades (como por

ejemplo unidades de un producto y precio por unidad) que varían de manera correlacionada; esto

es, al aumentar o disminuir una de las cantidades, la otra también lo hace.

Dicha idea de variabilidad posibilita el tratamiento de fenómenos de cambio propios del

entorno cercano a los estudiantes. Existen muchas situaciones de variación que cotidianamente

los estudiantes enfrentan, como por ejemplo la relación gastos semanales y dinero obtenido o

proporcionado, fuerza proporcionada al lanzamiento de un balón y distancia recorrida, tiempo

hablando por el celular y dinero gastado, lo mismo que tiempo navegando en internet y el gasto

en megas bites de datos, entre otros, en general es cualquier situación donde una variable

dependa de otra.


Estas situaciones también guardan relación con campos del conocimiento como la física,

la economía, la agricultura, entre otros. Así pues, el estudio de las funciones desde una

perspectiva dinámica que tome como eje de conceptualización la noción de cambio y

movimiento, permite desarrollar procesos de enseñanza aprendizaje resaltando las Matemáticas

del entorno y su interdisciplinariedad con otras áreas del saber.

Ahora bien, en particular las funciones polinómicas de segundo grado son la excusa para

el tratamiento de situaciones relacionadas con problemas de cálculo de áreas, las cuales además

de encontrarse fácilmente en el entorno, son el puente de contacto entre el pensamiento

numérico, el espacial, el variacional y el métrico; es decir, este tipo de funciones promueve no

sólo la relación entre los sistemas que operan al interior de las Matemáticas, sino también entre

el área y otras disciplinas; esto es interdisciplinariedad e interdisciplinariedad respectivamente.

Se podría concluir que el estudio de las funciones polinómicas de segundo grado apunta a

cuatro focos fundamentales. En primer lugar, el acercamiento a las funciones desde una

perspectiva de tratamiento de situaciones de cambio que fortalece el desarrollo de múltiples

habilidades de pensamiento como la observación, la reflexión, la argumentación, entre otros; esto

implica pensar la función no como objetivo temático a abordar sino como proceso de aprendizaje

que sirve como puente para el desarrollo de esas habilidades de pensamiento.

En segundo lugar y en relación directa con el propósito del presente trabajo, el abordaje

de las funciones hace énfasis en el uso de diversos registros de representación como el lenguaje

natural, el icónico, el tabular, el gráfico y el algebraico.


En tercer lugar, se ubica el hecho de que las funciones son un eje transversal a los cinco

pensamientos matemáticos (Numérico, Espacial, Variacional, Aleatorio y Métrico), evidenciando

así la integralidad de las Matemáticas.

En último lugar es necesario mencionar que las situaciones de cambio que sirven como

excusa para el estudio de las funciones corresponden a diversos campos de conocimiento como

la economía, la física, la biología y otros, haciendo así evidente la gran posibilidad de

transversalidad que las Matemáticas guardan con otros saberes.

Estos focos hacen que la enseñanza a nivel escolar de las funciones polinómicas de

segundo grado cobre relevancia, cuya enseñanza requiere que los estudiantes posean varios

conceptos por lo menos de manera intuitiva. Dichos conceptos se precisan a continuación:

La variable, entendida para Leithold (1992) como “(…) símbolo que se emplea para

representar cualquier elemento de un conjunto dado.” (p. 3). Para efectos del presente trabajo se

toma la variable en el sentido de que establece una relación funcional, en donde varía su valor

dependiendo de la situación específica.

Con respecto a la representación semiótica gráfica, se consideran los siguientes

elementos: par ordenado, definido por Leithold (1992) como “Dos números reales cualesquiera

forman un par (o pareja), y cuando el orden del par tiene importancia, se le llama <<par

ordenado>>, además, <<cada pareja ordenada>> (𝑥, 𝑦) se denomina punto del plano” (p. 16).

El concepto de plano cartesiano, cuyo precursor fue el matemático filósofo francés René

Descartes, y cuya definición presentada en el libro de Leithold sostiene que “Se escoge una

recta horizontal en el plano geométrico y se le denomina eje x. se elige una recta vertical y se le


llama eje y. El punto de intersección del x y el eje y recibe el nombre de origen y se denota por la

letra O” (p. 24).

Estos elementos posibilitan que al darle valores a la variable y ubicarlos en un plano

cartesiano se logre una conversión entre registros de representación semióticas, debido a que se

pasa de un registro representación algebraico a uno gráfico.

El concepto de función, Hernández (2014), citando a Dirichlet, también tiene relevancia

y es definido como:

Si una variable y está relacionada con otra variable x de tal manera que siempre

que se atribuya un valor numérico a x hay una regla según la cual queda determinado un

único valor de y, entonces se dice que y es una función de la variable independiente. (pág.

21)

Este concepto se toma como base para el inicio de las funciones polinómicas de segundo

grado.

Hasta acá se han definido los conceptos previos, a continuación, se pasa a definir los

conceptos que se espera que los estudiantes alcancen en el transcurso de la intervención.

Una ecuación polinómica se puede entender según Avirama & Gustín (2014) como una

ecuación de la forma 𝑎0 + 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + ⋯ . . +𝑎𝑛𝑥𝑛 = 0 donde 𝑛 es un número

natural y 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 … 𝑎𝑛 son números reales. Una ecuación polinómica de segundo grado es

aquella que tiene como mayor exponente el número 2, y es de la forma 𝑎0 + 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 = 0 y

que para efectos prácticos y de uso común se nombra 𝑎0 como 𝑐, 𝑎1 como b y 𝑎2 es 𝑎. De esta

forma se obtiene que una ecuación polinómica de segundo grado se representa como:


𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

De lo que se infiere que una función polinómica de segundo grado es aquella que tiene la

forma:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Donde 𝑓(𝑥) es una variable denominada dependiente y 𝑥 es una variable denominada

independiente.

Todos estos conceptos conforman el referente conceptual en el cual se fundamenta la

presente propuesta de enseñanza sobre las funciones polinómicas de segundo grado.

En la Tabla 1.5.3-1 se presenta un ejemplo donde se observa qué es lo que se espera que

los estudiantes logren con cada uno de los registros de representación semióticos.

Tabla 1.5.3-1Ejemplo de objeto matemático representado en varios sistemas de representación semióticos

Tipo de registro Ejemplo concreto

Lenguaje natural Se cuenta con 24 metros de alambre para encerrar un terreno rectangular.

Analice cómo varía el área del rectángulo en función del cambio de uno

de los lados del rectángulo.

En el problema se observan dos variables; la independiente, que es uno de

los lados del rectángulo que se puede nombrar como x, la otra variable es

el área del rectángulo que se nombra como variable a.

El perímetro de la variable es 24 metros, por lo que el otro lado del

rectángulo es 12 menos x, y el área del rectángulo es la multiplicación de

los dos lados, lo cual sería x multiplicado 12 menos x


Icónico

Tabular Lado 1 x 2 4 6 8 10

área a 20 32 36 32 20

Gráfico

Algebraico 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 24 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑆𝑒𝑎 𝑥 𝑙𝑎𝑑𝑜 1 𝑆𝑒𝑎 𝑦 𝑙𝑎𝑑𝑜 2

𝑆𝑒𝑎 𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 24 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑥 + 𝑦

24 = 2𝑥 + 2𝑦 24 − 2 = 2𝑦

𝑦 =24 − 2

2

𝑦 = 12 − 𝑥

𝑎 = 𝑥 ∗ 𝑦

𝑎 = 𝑥 ∗ (12 − 𝑥)

𝑎 = −𝑥2 + 12𝑥

Marco legal 37

1.5.4 MARCO LEGAL

Tabla 1.5.4-1Normograma

LEY TEXTO DE LA NORMA CONTEXTO DE LA

NORMA

Lineamientos

Curriculares de

Matemáticas

“Entre los diferentes sistemas de

representación asociados a la

variación se encuentran los

enunciados verbales, las

representaciones tabulares, las

gráficas de tipo cartesiano o sagital,

las representaciones pictóricas e

icónicas, la instruccional

(programación), la mecánica

(molinos), las fórmulas y las

expresiones analíticas”.

Norma proporcionada por el

Ministerio de Educación

Nacional como orientación

para los docentes de la

República de Colombia,

donde se dictamina que en las

instituciones educativas se

debe proporcionar como

concepto básico las funciones

a partir de situaciones de

variación.

Estándares Básicos

de Competencias

“Analizo en representaciones

gráficas cartesianas los

comportamientos de cambio de

funciones específicas pertenecientes

a familias de funciones polinómicas”.

Documento proporcionado

por el Ministerio de

Educación Nacional en el

cual se determina que las

funciones hacen parte de las

competencias mínimas que se

deben brindar en el ciclo de

8° a 9°.

1.5.5 Marco espacial 38

Derechos Básicos

de Aprendizaje

Versión 2

“Resuelve problemas mediante el uso

de las propiedades de las funciones y

usa representaciones tabulares,

gráficas y algebraicas para estudiar la

variación, la tendencia numérica y las

razones de cambio entre

magnitudes”.

Documento proporcionado

por Ministerio de Educación

Nacional donde se establece

que las funciones

polinómicas de segundo

grado deben ser estudiadas en

el grado 9°.

1.5.5 MARCO ESPACIAL

La Institución Educativa Javiera Londoño fue fundada en 1949, es de carácter oficial y se

encuentra ubicada en la calle 53 No 40-65 en la comuna número 10 del Centro de Medellín.

Inicialmente y hasta el año 2014 fue una institución femenina; hoy en día es de carácter mixto, y

su calendario es tipo A. Desde el 2015 es jornada única y aproximadamente cuenta con una

población de 2000 estudiantes matriculados.

La población estudiantil se caracteriza por ser de sexo femenino en un aproximado del

80% de la población, aunque se encuentre en el proceso de mixtura desde el 2014. Los

estudiantes mayoritariamente son de un nivel socioeconómico medio y bajo; se presenta

diversidad de estratos entre el 0, 1, 2 y 3, ya que por pertenecer al Centro de Medellín y ser una

institución de tradición en el municipio, sus estudiantes pertenecen a comunas muy variadas de

la ciudad.

El Proyecto Educativo Institucional se basa en los principios de inclusión, respeto,

responsabilidad y tolerancia, y en concordancia con esta perspectiva con la presente propuesta se

1.5.5 Marco espacial 39

buscó impactar los conocimientos de los estudiantes de manera tal que el objeto de estudio

abordado se aborde desde una metodología que apunta a su comprensión desde la aplicabilidad

en la vida cotidiana, fortaleciendo las competencias académicas de los estudiantes pero también

aportando indirectamente a sus competencias laborales y ciudadana.

CAPÍTULO II. DISEÑO METODOLÓGICO: INVESTIGACIÓN APLICADA

40

2 CAPÍTULO II. DISEÑO METODOLÓGICO: INVESTIGACIÓN

APLICADA

2.2 ENFOQUE

El presente trabajo se enmarca en el paradigma crítico social, el cual propone un enfoque de

Investigación Acción. En particular se toma la investigación Acción Educativa, que refiere

particularmente al estudio, investigación e indagación de procesos de enseñanza-aprendizaje.

Este enfoque le da al maestro un estatus de investigador de su propia práctica, éste cumple con el

rol de planear las actividades, ser partícipe de las mismas y además reflexiona sobre el hacer de

su práctica.

La investigación Acción Educativa concibe el proceso de enseñanza-aprendizaje como un

acto social que involucra incontables variables, por lo cual no puede ser estudiado e investigado

desde fuera. No es un fenómeno que un investigador externo pueda controlar o entender desde un

punto objetivo y externo, así la mirada del que realiza la práctica es fundamental, ya que los

problemas que se experimentan en la educación son más del hacer día a día. Al respecto

Restrepo (s. f) citando a Elliot afirma que:

“La I-A (Investigación Acción) aplicada a la educación tiene que ver con los

problemas prácticos cotidianos experimentados por los docentes, más que con

problemas teóricos definidos por investigadores dentro de un área del conocimiento” (p. 2).

Enfoque 41

2.3 Método

El método que se utiliza en la investigación acción es el crítico social, caracterizado por

utilizar procesos inductivos y deductivos que facilitan al docente llegar a conclusiones que sean

válidas y valiosas para el proceso de enseñanza

Este método está subdivido en 3 momentos o fases. La primera fase es el diagnóstico, en el

cual se observa un problema de la institución educativa, se delimita un tema, se realiza una

pregunta y se enuncia una propuesta de cómo se piensa abordar tal problema. Con respecto a este

problema se inicia un proceso de investigación de antecedentes que lo afecten, ya sea en el plano

local, nacional e internacional, permitiendo tener ideas de cómo abordar el problema y comenzar

a planear una solución.

La segunda fase es plan de acción; fase donde se planean y diseñan las actividades

concernientes a la propuesta, se conceptualiza el tema, se define el método de enseñanza y se

delimita la metodología de la investigación, estableciendo las herramientas con las que se va a

recolectar la información y describiendo el proceso por el cual se va a realizar el análisis de la

información recolectada. Por último en esta fase se realizan y aplican las guías que permiten

ejecutar lo anteriormente planeado.

La tercera fase corresponde a la evaluación, y es donde se triangula la información

obtenida, cotejándola con lo planeado y con las hipótesis que se tenían antes de hacer la práctica

en el aula. Esto permite evaluar el impacto que tiene la propuesta y dar un balance positivo o

Enfoque 42

negativo de lo realizado, con el fin de tomar acciones que desde un proceso planeado de

aplicación y reflexión permita mejorar las practicas docentes.

Instrumentos de recolección de información y análisis de información

Los instrumentos de recolección de información se subdividen en dos tipos, fuentes primarias

y fuentes secundarias Las fuentes primarias son las que se obtienen a través del contacto directo,

que particularmente para la presente propuesta son todas las que se obtienen a través de la

práctica docente con los estudiantes, como diario de campo, entrevistas a estudiantes,

cuestionarios o evaluaciones aplicadas a estudiantes, test, talleres, observación directa.

En la Tabla 2.2-1 se describe cada una de las fuentes primarias de información.

Tabla 2.2-1Fuentes primarias de información

Fuente Descripción

Observación directa Se registra lo que el docente observó, de manera objetiva, sin

hacer cuestionarios o preguntas a los estudiantes.

Diario de campo Se describen de manera escrita las etapas llevadas a cabo en cada

sesión durante la practica académica y se realiza una reflexión

acerca de lo ocurrido.

Pre-Test Evalúa a los estudiantes antes de realizar la intervención,

observando sus saberes previos.

Guías Son intervenciones que permiten llevar la teoría a la práctica,

recolectando información acerca del aprendizaje alcanzado por

los estudiantes.

Población y Muestra 43

Las fuentes secundarias son aquellas que brindan información a través de los datos ya

existentes. El contacto es indirecto y los instrumentos de este tipo son de origen externo, como el

Proyecto Educativo Institucional PEI, las normas que regulan la educación, las teorías de

enseñanza, los antecedentes del tema, y los libros o escritos referentes al marco disciplinar.

Después de recoger la información se realiza una triangulación entre las fuentes primarias

y las secundarias, se organizan los datos y se registran de manera ordenada.

2.4 POBLACIÓN Y MUESTRA

La población con la que se realiza este trabajo es la Institución Educativa Javiera Londoño del

Municipio de Medellín, y la muestra escogida corresponde a los estudiantes del grado Noveno.

2.5 DELIMITACIÓN Y ALCANCE

Se busca aportar al aprendizaje y comprensión del concepto de las funciones polinómicas de

segundo grado de los estudiantes de la Institución Educativa Javiera Londoño. Para tal fin, el

estudio de situaciones de variación cercanas al estudiante posibilita un avance hacia la

comprensión del pensamiento variacional y las funciones, ya que se asigna sentido y significado

a los objetos matemáticos abordados en el aula. Esto puede redundar de manera directa en las

pruebas censales, ya que uno de los aprendizajes a mejorar según información suministrada por

el ICFES (con un 75% de estudiantes aprobados) es: “Establecer relaciones entre propiedades de

las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas”. De modo tal que el estudio de

Cronograma 44

situaciones de variación a través de diferentes registros de representación semióticos puede servir

como estrategia de mejora para el aprendizaje pendiente en la institución.

De manera indirecta y aunque no es el objetivo, puede tener un alcance en las metodologías

de enseñanza de los maestros de la institución educativa, cambiando formas en las cuales se

imparte el concepto y buscando una apropiación más alta de las representaciones semióticas que

las estudiantes generan del concepto.

2.6 CRONOGRAMA

Tabla 2.6-1Planificación de actividades

FASE OBJETIVOS ACTIVIDADES

Fase 1:

Diagnóstico

Realizar un diagnóstico a

través de un pre test a los

estudiantes del grado

Noveno de la Institución

Educativa Javiera

Londoño, determinando

los conocimientos previos

para el desarrollo de las

funciones polinómicas de

segundo grado.

1.1 Revisión bibliográfica sobre la enseñanza de

las funciones polinómicas de segundo grado en

el medio local, nacional e internacional.

1.2 Revisión bibliográfica las teorías de Raymond

Duval acerca de las representaciones

semióticas.

1.3 Revisión bibliográfica de los documentos del

MEN enfocados a los estándares en la

enseñanza de las funciones polinómicas de

segundo grado.

1.4 Diseño y construcción de actividades para

evaluación de los preconceptos.

Cronograma 45

Fase 2:

Diseño

Diseñar una secuencia

didáctica que utilice las

representaciones

semióticas de las

funciones polinómicas de

segundo grado.

2.1 Diseño y construcción de una secuencia

didáctica mediada por medio de guías de clase para

la aplicación y creación de sistemas de

representación semiótica.

Fase 3:

Intervención

en el aula.

Intervenir la práctica

educativa del área de

matemáticas en el grado

Noveno a través de la

secuencia didáctica.

3.1 Intervención y puesta en acción de los test que

evalúan los preconceptos.

3.2 Aplicación de las guías diseñadas en la fase 2.

Fase 4:

Evaluación

Evaluar si los estudiantes

realizan conversiones

entre los diferentes

registros de

representación semiótica

de las funciones

polinómicas de segundo

grado.

4.1 Aplicación de actividades evaluativas durante

la implementación de las guías diseñadas.

4.2 Realización del análisis de los resultados

obtenidos al implementar la estrategia didáctica.

Cronograma 46

2.7 Cronograma de actividades

Tabla 2.7-1 Cronograma de actividades

ACTIVIDADES SEMANAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Actividad 1.1 X X X

Actividad 1.2 X X

Actividad 1.3 X X

Actividad 1.4 X

Actividad 2.1 X X X

Actividad 3.1 X X X X



Actividad 4.2 X X X X X

Capítulo III. Sistematización de la intervención

47

3 CAPÍTULO III. SISTEMATIZACIÓN DE LA INTERVENCIÓN

3.1 Diseño de la secuencia didáctica

La intervención en el aula se realizó mediante la aplicación de una secuencia didáctica, la

cual en términos de Díaz Barriga (2013) es “el resultado de establecer una serie de actividades

de aprendizaje que tengan un orden interno entre sí” (p. 4). En este sentido, para este trabajo se

propone partir desde la consideración de los saberes previos de los estudiantes para luego

vincular los problemas que ponen en juego dichos saberes previos.

La secuencia didáctica desarrollada tiene como finalidad que los estudiantes representen por

medio de diferentes sistemas semióticos el concepto de función polinómica de segundo grado,

para así lograr una comprensión más significativa de dicho eje conceptual, pues tal y como lo

expresa Duval citado por MEN (2003) “si no se dispone al menos de dos formas distintas de

expresar y representar un contenido matemático, formas que el autor llama <<Registros de

representación>> o <<registros semióticos>>, no parece posible aprender y comprender dicho

contenido” (pág. 54).

Para esto se realizó en primer lugar una prueba diagnóstica donde se indagó por aspectos

como la ubicación de cantidades enteras en el plano cartesiano, el concepto de función y su

diferencia con una relación, la identificación de variables dependientes e independientes, y la

representación de una situación de cambio por medio del registro elegido libremente por los

estudiantes (tablas, gráficas y/o ecuaciones).


48

Posterior a la prueba diagnóstica se presentaron cuatro guías a los estudiantes, cada una con

un tiempo aproximado de ejecución de 2 horas y cuya realización se hizo en parejas con el fin de

propiciar el intercambio de ideas a la hora de analizar las situaciones.

Las actividades contenidas en las guías giran en torno al problema de construcción de una

caja con determinadas longitudes que varían, y la medición del área de las paredes de la caja. El

problema se basa en uno que aparece planteado en el Módulo 2, Pensamiento Variacional y

Razonamiento Algebraico; documento que hace parte de la Serie Didáctica de las Matemáticas

de la Gobernación de Antioquia en colaboración con la Universidad de Antioquia. Se elige este

problema porque permite que el estudiante realice un análisis de la correlación entre longitud y

área de un rectángulo y las variaciones que allí se presentan. Además, y de manera principal,

porque posibilita el uso de diferentes registros para representar esa correlación.

Así pues, la primera guía denominada “Construcción de cajas” apuntó a representar con

material concreto, una situación de variación que permita correlacionar variables y generar un

registro de representación semiótica tabular de la situación. Es necesario resaltar que las demás

guías toman como referencia el trabajo realizado en ésta.

En un primer momento se le pide a los estudiantes que con el material proporcionado (un

rectángulo de cartulina de 30 cm por 20 cm) realicen una caja sin tapa, y aunque todos tienen la

misma cantidad de material, a cada pareja se le asigna una altura diferente llamada X, cuyo valor

entero se ubica entre 1 y 9. En la imagen, las figuras 1 se recortan, las figuras 2 y 3 son las

paredes laterales y la figura 4 es el fondo de la caja.


49

Figura 3-1Plano de la caja en 2D


Además, se observan tres variables: la distancia X, la distancia Y, y la distancia Z, es de

notar que las variables Y, Z, dependen del valor que le asigne a X. Las funciones que serán

objeto de estudio son las áreas de la figura 1, 2, 3 y 4 las cuales varían en función de la variable

X.

En un segundo momento y con ayuda del material concreto, se realiza el cálculo de las

áreas de los rectángulos que componen la caja, incluyendo el rectángulo que se recorta (en este

punto se trabaja el concepto de área y su cálculo), para luego registrar estas áreas en una tabla.

Por último, se socializan resultados hallados y se realiza un registro general de las medidas de las

áreas de cada una figura dependiendo del valor de X, para lo que cada pareja aporta su

información y completa la de los demás.


50

La segunda guía, “De las tablas a las curvas”, tiene como objetivo convertir un registro de

representación tabular a un registro de representación gráfico en una situación de cambio que se

modela por medio de una función cuadrática; tal situación es el problema de la caja

anteriormente explicada.

En primer lugar, se les solicita a los estudiantes que analicen la situación presentada,

observando cuáles son las cantidades que varían y cuáles son la variables dependientes e

independientes. Luego, con la intención de determinar el rango y el dominio de las funciones

trabajadas, se formulan preguntas a los estudiantes como ¿qué pasaría si se asigna un X igual o

mayor que 10, una cantidad decimal o una negativa? Ya con el rango y el dominio determinados

se pasa a realizar representaciones gráficas de las funciones, tomando como punto de partida el

registro tabular hecho en la guía anterior.

La guía número 3, titulada “La ecuación de una caja”, pretendió hacer la conversión de

un registro de representación tabular y un registro de representación gráfico a uno de

representación algebraica. Para ello es necesario que se analice cómo las variables Y y Z

dependen de la variable X, para luego determinar la ecuación que describe esta relación. Por

ejemplo, como el largo de la caja mide 30 cm y el largo es 2 veces X y una vez Z, entonces se

puede afirmar que:

2𝑥 + 𝑧 = 30

Por lo tanto 𝑧 = −2𝑥 + 30

De esta manera se obtiene el registro de representación algebraico de Z que es la base o la

altura de las figuras; esto mismo se puede hacer con la variable Y.


51

Posteriormente los estudiantes analizan las gráficas y las tablas, buscando los patrones

que se repiten y las regularidades que se presentan. Por último, se pide realizar una operación

entre polinomios con la longitud de la base y la altura en términos de x, para hallar así la

representación algebraica de las áreas de las mismas figuras.

Finalmente, la guía 4 nombrada “Características de una función cuadrática”, tuvo como

objetivo realizar el proceso inverso de conversión, es decir, partir del registro algebraico para

pasar al tabular y luego al icónico. Así, debían analizar cómo se comporta gráficamente una

ecuación funcional de segundo grado o cuadrática, partiendo desde un registro algebraico hacia

uno tabular y gráfico.

En esta guía se vuelven a realizar las gráficas de las funciones estudiadas en la secuencia,

pero apartando la situación en las cuales se generaron las relaciones funcionales para realizar una

abstracción de la actividad de la cual se partió y esperando que se logre una ampliación tanto del

dominio como el rango de la función. Esto para caracterizar de manera más general las funciones

cuadráticas y realizar una comparación entre su ecuación y sus gráficas. De esta manera culmina

la secuencia didáctica desarrollada con los estudiantes.

Es importante resaltar que se propone al lector una quinta guía para caracterizar y analizar

transformaciones de las funciones cuadráticas por medio de Geogebra, aprovechando las ventajas

que aporta esta herramienta para la visualización gráfica. De este modo es posible analizar qué

sucede cuando se modifica un registro de representación como el algebraico y la variación que

esto genera en la representación gráfica.


52

3.2 Resultados y análisis de la intervención

Para el análisis de cada guía se construyó una rúbrica de evaluación específica, donde se

formulan desempeños relacionados con las acciones que los estudiantes realizaron y se determina

si cumplieron con dichos desempeños de manera total, parcial o nula, para lo cual se establecen

las categorías “Cumple”, “Cumple parcialmente” y “No cumple”.

En lo referente a la “Actividad Diagnóstica”, la rúbrica de evaluación corresponde a la Tabla

3.2.2-1:

Tabla 3.2-3-1Rúbrica de evaluación de la actividad diagnóstica

Rúbrica de evaluación para actividad diagnóstica Cumple

Cumple

parcialmen

te

No

cumple

Desempeño

1

Reconoce los elementos de un plano

cartesiano y sabe ubicar puntos en él. 13 43.3% 2 6.7% 15

50

%

Desempeño

2

Conoce cuando una relación es

funcional, además de interpretar

gráficas como diagramas sagitales y

gráficas en planos cartesianos.

9 30% 11 36.7

% 10

33.

3%

Desempeño

3

Interpreta una situación de cambio

presentada a través del lenguaje

natural y en representación tabular.

5 16.7% 4 13.3

% 21

70

%

Desempeño

4

Realiza alguna representación como

tablas, gráficas, ecuaciones para

modelar una situación de cambio que

3 10% 9 30% 18 60

%


53

se comporta como una relación de

función lineal.

Para el Desempeño 1 se pedía dibujar un plano cartesiano y ubicar en él coordenadas con

cantidades enteras. Se observó que el 43% de los estudiantes trazó los ejes de manera correcta,

escogieron una escala adecuada y ubicaron los puntos acertadamente sobre el plano cartesiano.

Del 50% (15 estudiantes) que no cumplió con el desempeño, 8 estudiantes dibujaron

correctamente el plano y usaron una escala adecuada, pero presentaron dificultades para ubicar las

parejas ordenadas. Los otros 7 estudiantes no lograron dibujar acertadamente el plano y por ende

tampoco ubicaron las coordenadas adecuadamente.

Las dificultades más recurrentes en lo que respecta al manejo del plano cartesiano se mencionan a

continuación:

Confundir el punto que corresponde a cada eje. En la Figura 3.2.3-2 se aprecia este error

en las coordenadas (3,-5), (8,2) y (-2,-3).

Figura 3.2-3-2 Ejercicio en registro de representación gráfico

Fuente: Elaboración de los estudiantes


54

• En el caso de las coordenadas donde una de sus componentes es el número cero, éste se

ubica en el punto (0,0) o por encima o debajo de alguno de los ejes y no sobre el eje. Un

ejemplo de esto aparece en la Figura 3.2.3-3, en las coordenadas (5,0) y (0,-8).



• No rotular o nombrar los puntos, lo que no permite evaluar si están ubicados de manera

correcta. Este aspecto se presentó reiterativamente, tal y como se ve en las imágenes

anteriores.


55

• Confusión en el orden de los enteros negativos. En la Figura 3.2.3-4 es posible observar

que el estudiante ubica las cantidades en orden descendente en la parte positiva del eje Y.

además, en la parte negativa de ambos ejes comienza desde -10 en lugar de -1.



• No manejar adecuadamente la escala, esto es, asignar diferentes espacios entre las unidades

(Figura 3.2.3-5). Como puede verse, en el eje negativo de Y la distancia entre las unidades

no es la misma.


56



• Dificultad para ubicar la parte positiva y negativa de un eje, tanto en X como en Y (Figura

3-6).

Figura 3-6 Ejercicio en registro de representación gráfico



57

Para el Desempeño 2, se presentaban en las actividades dos problemas; uno que contenía

una relación no funcional expresada en lenguaje natural y en un diagrama sagital, y otro que tenía

que ver con una relación funcional representada en lenguaje natural y gráfico mediante un plano

cartesiano. En ambos casos se pedía determinar si las relaciones constituían una función o no y

explicar por qué. El 30% de los estudiantes logró reconocer la relación funcional y la no funcional

(Figuras 3-7 y 3-8); en cuanto al argumento que utilizaron para justificarlo, algunos realizaron la

“Prueba de la línea reca vertical” y otros se valieron de lenguaje natural para explicar que la

relación es funcional cuando a los componentes del conjunto de partida les corresponde uno sólo

del conjunto de llegada.

Figura 3-7Función en lenguaje natural y diagrama sagital


Figura 3-8 Función en lenguaje natural y gráfico



58

En el 70% restante se identifica una dificultad generalizada para diferenciar relaciones

funcionales y no funcionales (Figuras 3-9 y 3-10); además, algunos estudiantes desconocen el

significado de relación y de función, o simplemente no dan ninguna respuesta a los interrogantes

que tienen que ver con esta parte. También se observan errores reiterados en los numerales donde

el análisis se propone a partir de un plano cartesiano.

Figura 3-9 Función en lenguaje natural y diagrama sagital


Figura 3-10 Función en lenguaje natural y gráfico



59

En el Desempeño 3 se presentaron 4 literales; los dos primeros preguntaban por la variable

dependiente y la independiente, los otros pedían hacer una optimización a través de un análisis

costo beneficio para un valor determinado de la variable independiente. Sólo el 16.7% logró

identificar qué elementos estaban variando y cuáles eran dependientes e independientes, además

de seleccionar el plan que optimizaba el beneficio al menor costo.

Respecto a los numerales 1 y 2 de esta guía, se observan como errores más comunes:

• Asumir como variable el valor básico del plan de minutos y la cantidad básica de minutos

que trae cada plan, los cuales son constantes en el problema (Figura 3-11).

Figura 3-11 Identificación de variables


• Señalar el valor a pagar como variable independiente y los minutos gastados como

dependiente (Figura 3.12).


60

Figura 3-12 Identificación de variables


En lo concerniente a los numerales 3 y 4 de la misma guía, se observa dificultad para la

interpretación del problema, tanto en la información que presenta como en lo que se pide hacer.

Esto se hace evidente al no lograr optimizar el costo beneficio del plan de telefonía celular, y al

responder con un valor en dinero cuando se pregunta por el plan que resulta más óptimo.

Ahora bien, para el Desempeño 4 se presenta al estudiante una situación en lenguaje natural

y se le pide que la exprese por medio de otra representación semiótica de su preferencia. El 10%

realiza una gráfica o una tabla que demuestra comprensión de la situación de variación,

permitiendo apreciar el momento en el que cada uno de los planes de pago se optimiza dependiendo

de la cantidad de clientes.

Respecto a los errores más comunes en los estudiantes que cumplieron parcialmente o no

cumplieron con el desempeño, se observa:


61

• No identifican la correlación existente entre las variables, lo que puede verse en la Figura

3.13 donde la situación se representó con un diagrama de barras donde una barra

corresponde al sueldo básico y la otra la comisión.

Figura 3-13 Representación de situación mediante diagrama de barras


• Dificultad para reconocer que era un problema de variación, pues le daban un tratamiento

meramente aritmético al limitarse a operar las cantidades.

• Cuando se les pedía explicar cada plan, se centraban en determinar bajo qué circunstancias

uno es más rentable que el otro, pero no realizaban una representación completa de las

características de cada uno, que permitiera observar su comportamiento a medida que varía

la cantidad de clientes. Esto es, que determinaron de manera aritmética el punto de máximo


62

beneficio, pero no se apoyaron en registros tabulares o gráficos para representar la situación

de variación contenida en cada plan.

Analicemos ahora la Guía 1 (Tabla 3-2):

Tabla 3-2 Rúbrica de evaluación. Guía 1

Rúbrica de evaluación guía 1 Cumple Cumple

parcialmente

No

cumple

Desempeño 1 Crea una caja de cartón a

partir de unas indicaciones

presentadas en lenguaje

natural de forma verbal y

escrita.

27 90% 3 10% 0 0%

Desempeño 2 Sobre una caja de cartón

logra hallar el área de los

rectángulos que componen

sus paredes. Registro 1.1

28 93.4% 1 3.3% 1 3.3%

Desempeño 3 Logra determinar que esta

variando y cual es la variable

dependiente e independiente

en la situación de cambio

planteada registro 2.1

28 93.4% 1 3.3% 1 3.3%

Desempeño 4 Representa de forma tabular

la situación de cambio

22 73.3% 7 23.4% 1 3.3%


63

generada al variar la altura de

la caja. Registro 1.2


Sobre el Desempeño 1, es necesario mencionar que los estudiantes debían crear una caja

de cartón a partir de ciertas indicaciones presentadas en lenguaje natural de forma verbal y escrita.

La mayoría de estudiantes entendieron las instrucciones y construyeron adecuadamente la caja,

aspecto fundamental para realizar el resto de la secuencia didáctica, pues todo su planteamiento

gira en torno al análisis de dicho material. Sólo 3 personas cumplieron parcialmente con el

desempeño, debido a que presentaron errores en la medición de las dimensiones de la caja.

Es importante resaltar que los estudiantes se mostraron interesados y motivados debido al

uso de material concreto, lo que además permitió que casi la totalidad comprendiera la situación.

El Desempeño 2 apuntaba a hallar el área de los rectángulos que componen las paredes de

la caja construida. El 93% logró determinar las áreas de los rectángulos calculando el producto de

la base por la altura de cada uno, conocimiento éste que hace parte de los sabres previos con que

debe contar un estudiante de Noveno grado.

Como el rectángulo es una figura conocida por los estudiantes y el procedimiento para el

cálculo de su área es dominado con destreza, esta parte de la guía se realizó con facilidad. Sería

interesante analizar qué estrategias utilizan para encontrar el área de las paredes de una caja cuya

forma es un polígono irregular y para lo cual no hay un algoritmo estandarizado.

Pasando al Desempeño 3, se hacía énfasis en analizar qué elementos varían en la situación

y determinar cuál es la variable independiente y cuál la dependiente, lo que supone una


64

comprensión global de la situación de cambio. El 93,4% de los estudiantes pudo identificar que

las áreas varían dependiendo del valor de X asignado, que corresponde a la altura de la caja. De

este modo, la variable independiente es X y la dependiente, el área de cada rectángulo.

El 6,6% que cumplió parcialmente o no cumplió con el desempeño, presenta dificultades

para comprender lo que implica una relación de dependencia y en sentido más estricto, lo que es

una relación funcional.

En el Desempeño 4 se pretendía representar de forma tabular la situación de cambio

generada al variar la altura de la caja y la variación que esto produce en las áreas de los

rectángulos. Se observó que a medida que avanzaban en la realización de la tabla, cada vez

necesitaban menos observar la caja pues habían logrado una buena comprensión de la situación y

sus elementos constitutivos.

Además, se resalta que la representación por medio de tablas se torna sencilla para los

estudiantes y logran por medio de ella establecer la relación funcional entre las variables altura y

área. Incluso en ocasiones se observan dificultades para expresar mediante el lenguaje verbal la

variación, pero a la hora de elaborar las representaciones tabulares y observar allí el

comportamiento de las variables, se logra una comprensión de la situación de manera global.

Obsérvese ahora la rúbrica para la Guía 2 (Tabla 3-3):


65



parcialmente

No

cumple

Desempeño 1 Determina el valor del área

de las caras de la caja

cuando se asigna un valor a

x que sea decimal.

20 64.5% 8 25.8% 3 9.6%

Desempeño 2 Indica cuando un valor para

la variable x no puede ser

utilizado, ya que no tiene

sentido en el contexto del

problema.

24 77.4% 4 12.9% 3 9.6%

Desempeño 3 Convierte un registro de

representación tabular a un

registro de representación

gráfico.

17 54.8% 8 25.8% 6 19.3%

Desempeño 4 Compara representaciones

de un mismo registro e

identifica similitudes entre

ellas.

20 64,5% 6 19,3% 5 16,2%



66

Para el Desempeño 1 era necesario determinar el valor del área de las caras de la caja

cuando se asigna un valor decimal a X. Más del 90% de los estudiantes tiene claridad en cuanto

al procedimiento para hallar el área; la mayor dificultad aparece a la hora de realizar operaciones

con cantidades decimales. Esto es una muestra de que en ocasiones el concepto es comprendido

pero su representación se ve afectada por dificultades a nivel operativo, las cuales es necesario

intervenir para fortalecer su enseñanza y aprendizaje.

Por otra parte, para este momento los estudiantes se han desligado del material concreto y

están en condiciones de realizar el cálculo del área de las caras de la caja sin tener que recurrir a

su observación y valiéndose sólo del análisis matemático configurado a partir del material

concreto. Esto resalta una vez más el potencial de la utilización de material concreto para la

enseñanza de las Matemáticas, pues es un excelente recurso para facilitar el paso del pensamiento

concreto al abstracto, mediado en este caso por el uso de los diferentes registros de representación

semióticos.

Sobre el Desempeño 2, se buscaba que los estudiantes indicaran cuándo un valor para la

variable X no puede ser utilizado ya que no tiene sentido en el contexto del problema. Más del

77% determinó adecuadamente las restricciones para los valores de X, refiriéndose así y de

manera tácita a la idea de dominio de una función. El hecho de que fuese una situación real

favoreció esta parte del análisis, pues aritméticamente los valores de X podrían variar en todo el

conjunto de los números Reales, pero en el marco de la situación propuesta, del dominio se reduce

significativamente.

Las Figuras 3-14, 3-15 y 3-16 esbozan un par de aportes de los estudiantes:


67

Figura 3-14 Análisis de la situación







68



En relación con este desempeño también se evidenció que los estudiantes logran

comprender que no existe un límite para el valor de X, ya que no se le pueden asignar el 0 ni el

10 como valores, pero sí cualquier número mayor que 0 y menor que 10.

Además, se resalta que la simbolización que realizan los estudiantes del dominio de las

funciones se vale del lenguaje natural, haciendo necesaria una intervención del docente para

explicar el procedimiento para expresar un dominio a través del lenguaje matemático.

El Desempeño 3 consistía en la conversión de un registro de representación tabular a un

registro de representación gráfico. El 19% de los estudiantes no presentaron la actividad debido a

que el tiempo no les fue suficiente y por motivos del cronograma de clases de la institución, no

fue posible dedicar otro momento para esta actividad.

Se vio también que el 25% de los estudiantes tiene dificultades con el trazado y ubicación

de puntos en el plano cartesiano, sobre todo cuando la escala del eje es grande (por ejemplo si la

escala va de 50 en 50, hay errores al ubicar puntos como A(3 , 42)).

Por último, con respecto a este desempeño, es satisfactorio ver que un 55% de los

estudiantes logra realizar conversiones de un registro de representación tabular a un registro de

representación gráfico, tal y como se aprecia en las Figuras 3-18 y 3-9.


69

Figura 3-18 Representación gráfica


Figura 3-19 Representación gráfica


El Desempeño 4 estaba enfocado a comparar representaciones de un mismo registro e

identificar similitudes entre ellas. Esto consistía en (después de construir una representación

gráfica que relacionara altura con área de cada rectángulo) comparar las diferentes gráficas. La

mayoría de estudiantes construyó adecuadamente las gráficas, siendo posible visualizar que todas

contenían una curva parabólica, aunque -por supuesto- no lo nombraran de esta forma. Los


70

estudiantes que cumplieron parcialmente o no cumplieron, tuvieron errores en la construcción de

las gráficas, por lo que al estar mal elaboradas no ofrecían ninguna similitud. Nuevamente los

vacíos en algunos saberes previos obstaculizaron el desarrollo de la secuencia didáctica.

Continuando con la Guía 3, la rúbrica de análisis fue la siguiente (Tabla 3-4):



parcialmente

No

cumple

Desempeño 1 Expresa a través de una tabla

la correlación lineal existente

entre los lados de la caja y la

variable x (altura de la caja).

31 96.8% 0 0% 1 3.1%

Desempeño 2 Reconoce las reglas de

formación para determinar las

funciones algebraicas de las

variables y, z en función de la

variable x .

25 78.1% 6 18.7% 1 3.1%

Desempeño 3 Utiliza y entiende

correctamente la fórmula del

área para trabajar con las

variables x, y, z en función de

x .

29 90.6% 2 6.2% 1 3.1%


71

Desempeño 4 Realiza tratamientos en el

registro de representación

algebraico, para determinar de

manera simplificada la

representación algebraica de

las áreas de las figuras 1, 2, 3,

4.

17 53.1% 14 43.7% 1 3.1%


En relación con el Desempeño 1, se buscaba expresar a través de una tabla la correlación

lineal existente entre la base de la caja y la variable X (altura de la caja), expresando la primera

en términos de la segunda. Se observó que gracias al trabajo realizado hasta el momento en la

secuencia didáctica, los estudiantes fácilmente lograron transformar la situación y realizar la

conversión desde el lenguaje natural a un registro tabular. Para ello, varios estudiantes

coincidieron en establecer una correspondencia uno a uno entre el valor de la altura y el

correspondiente de la base, hasta encontrar una regularidad (en este caso, una relación

inversamente proporcional) que les permitiera hacer los cálculos para otros valores de X de

manera más ágil.

Resulta importante señalar que el desarrollo acertado de la situación responde en parte a

que con anterioridad se había abordado en clase la función lineal y por ende los estudiantes

contaban con bases para realizar las actividades propuestas.

En lo concerniente al Desempeño 2, se buscaba reconocer las reglas de formación para

determinar las funciones algebraicas de las variables y (ancho), z (largo) en función de la variable


72

x (altura). Un 97% supo plantear la ecuación, para lo cual se les indicó expresar las funciones

con la forma general 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏. No obstante, aparecen dificultades a la hora de efectuar

tratamientos sobre el registro de representación algebraico, tal y como sucede con el 18% que

tuvo inconvenientes para efectuar el producto entre la base y la altura de los rectángulos, estando

la primera expresada en términos de la segunda.

El Desempeño 3 refiere a utilizar y entender correctamente la fórmula del área para

trabajar con las variables y (ancho), z (largo) en función de x (altura). Pudo apreciarse que los

estudiantes reconocen la formula del área de un rectángulo y la expresan a través de variables

relacionadas; adicionalmente el 90% de los estudiantes expresan de manera correcta las variables

en función de la variable x. Sin embrago, por observación directa del docente se notó que los

estudiantes no tienen claro el sentido del porqué se deben escribir las variables y, z en función de

x, y simplemente lo hicieron porque la guía lo requería.

Para el Desempeño 4 se esperaba realizar tratamientos en el registro de representación

algebraico, para determinar de manera simplificada la representación algebraica de las áreas de

las figuras 1, 2, 3, 4. Se presentaron problemas en el tratamiento del registro de representación

algebraico. Aunque la gráfica y los demás registros de representación apuntan a mostrar que las

ecuaciones deben contener una forma específica, los estudiantes no toman en cuenta esta

situación, es decir no poseen una iniciativa para analizar si hay coherencia entre registros de

representación

Llama la atención que los estudiantes no se dieron a la tarea de verificar si las ecuaciones

funcionales que estaban representando eran coherentes con los pares ordenados anteriormente


73

hallados mediante tablas. Es decir, no se comprueba la coherencia global entre las diferentes

representaciones de una misma situación.

Finalmente, obsérvese la rúbrica de la Guía 4 (Tabla 3-5):

Tabla 3-5Rúbrica de evaluación. Guía 4


parcialmente

No cumple

Desempeño 1 Representa mediante un

registro tabular los registros de

representación algebraico,

asignando valores a la variable

x que por fuera del dominio

que proporciona el contexto de

la situación inicial .

30 100% 0 0% 0 0%

Desempeño 2 Logra dar el paso de un registro

algebraico a uno tabular y

luego a uno gráfico.

20 66.6% 5 16.6% 5 16.6%

Desempeño 3 Amplía los valores del rango y

el dominio en su

representación gráfica,

desligándolo de la situación

real inicial.

15 50% 3 10% 12 40%


74

Desempeño 4 Realiza un análisis de las

ecuaciones funcionales

comparándola con su

comportamiento a nivel

gráfico.

10 33.3% 3 10% 17 56.6%


En cuanto al Desempeño 1, era necesario representar mediante un registro tabular los

registros de representación algebraico, asignando valores a la variable x que por fuera del dominio

que proporciona el contexto de la situación inicial. El rendimiento en este desempeño es de un

100%, que puede deberse a que los estudiantes tienen un conocimiento significativo de la

situación y a que se hace más fácil realizar una conversión desde el registro de representación

algebraico al registro de representación tabular.

En la guía se establecían los valores para x que los estudiantes debían evaluar, pero se

sugiere como recomendación que sean ellos quienes los seleccionen de acuerdo a lo que se pide

en la situación.

Ya en el Desempeño 2 se logra dar el paso de un registro algebraico a uno tabular y luego

a uno gráfico. Debe mencionarse que los estudiantes no conocían la curva general de una gráfica

de una función cuadrática, por lo cual se basaron en los valores que obtenían de la tabla, aunque

se presentaron fallas a la hora de asignar valores donde la escala de la gráfica debía ser alta.

Varios aspectos se observaron:

• Se presentaron casos donde se unían los puntos no mediante una curva, sino a través de

segmentos de recta.


75

• Aunque contaban con una tabla correctamente construida, aún se presentaron

equivocaciones para ubicar coordenadas en el plano cartesiano.

• La mayoría de los estudiantes sabe dibujar un plano cartesiano y ubicar puntos en él, así

como asignar una escala adecuada para representar los valores obtenidos en la tabla.

Para el Desempeño 3 se ampliaban los valores del rango y el dominio en su representación

gráfica, desligándolo de la situación real inicial. Aquí se buscaba observar si los estudiantes

lograban completar la gráfica o por lo menos indicar de alguna manera que la gráfica continuaba

con el mismo comportamiento, encontrando que el 50% de los estudiantes logró comprenderlo.

Sin embargo, los estudiantes se limitan a observar el fragmento de la gráfica construido y no se

peguntan por cómo continúa su comportamiento; es necesaria la intervención del docente para

sugerir este interrogante.

Por último, en el Desempeño 4 se realiza un análisis de las ecuaciones funcionales,

comparándolas con su comportamiento a nivel gráfico. Este desempeño es el menos alcanzado en

todos los equipos de trabajo, lo que puede ser debido a:

• Dificultad para realizar un análisis desde un registro de representación algebraico y

asociarlo a otro registro, en este caso al de representación algebraica.

• Muchos de los estudiantes no realizaron el momento 3 de la guía 4.

• Debido a la extensión de la secuencia didáctica, los estudiantes empezaron a perder interés

en ella y la exigencia en el trabajo disminuyó. Éste es un aspecto a revisar en próximas

intervenciones.

Ahora bien., de manera general en la secuencia didáctica se resaltan los siguientes aspectos:


76

• La mayoría de estudiantes logra determinar qué está variando en la situación, así como

cuál es la variable independiente y la dependiente. Esto constituye un significativo avance

en comparación con los hallazgos de la actividad diagnóstica, donde determinar estos

aspectos generó varias dificultades.

• Se logra fácilmente la conversión de un registro de representación tabular a un registro de

representación gráfico.

• A diferencia del pretest o actividad diagnóstica donde se presentaron inconvenientes con

el trazado y dibujo de los planos cartesianos, en las actividades de las guías (aunque el

nivel de complejidad aumentó debido a que las escalas que debían utilizar las estudiantes

eran mucho más grandes) se presentó una mejoría en el desempeño y un manejo más claro

del registro de representación.

• Los estudiantes se limitan a realizar las actividades propuestas en las guías y no proponen

otras formas de representación. Lo mismo sucede con el análisis que hacen a partir de las

gráficas y que gira en torno a los interrogantes planteados en las guías.

• Tal y como se mencionó varias líneas atrás, los estudiantes no revisan la coherencia entre

los distintos registros de una misma situación.

• Se observan tratamientos en el registro de representación algebraico, para determinar de

la forma más simplificada posible la representación algebraica de las áreas de las figuras.

• A nivel general se presentaron problemas con las transformaciones de tipo tratamiento

(ver Referente Conceptual) en el registro representación algebraico, aspecto éste que no

fue considerado en el pretest y hace parte de los saberes previos que los estudiantes deben

contar. La razón de las fallas reiteradas en este aspecto puede responder a vacíos

conceptuales relacionados con operaciones básicas entre polinomios.


77

• Al analizar el trabajo realizado por los estudiantes en toda la secuencia didáctica, es

posible afirmar que a medida que se avanzaba en la realización de las guías, se evidenciaba

un avance en el paso de un registro de representación a otro, y más importante aún, en la

comprensión de la situación de variación. En las primeras guías por ejemplo, los

estudiantes se limitaban a realizar acciones muy concretas con valores específicos, pero

en las últimas lograron llegar a abstracciones más generales en un dominio mucho más

amplio.

• El desarrollo de la secuencia didáctica, además de contribuir con la enseñanza de las

funciones polinómicas de segundo grado, ayuda a identificar las dificultades que tienen

que ver con saberes previos a este eje conceptual, permitiendo solucionarlas a medida que

se avanza en el trabajo.

Más que lograr una profundización en la enseñanza de las funciones polinómicas de segundo

grado, el presente trabajo permitió fortalecer el razonamiento funcional y el razonamiento

variacional que se pone en juego gracias a él, y que se ve potenciado por el uso de los registros

de representación semióticos. Así pues, en lugar de apuntar a un tema en específico (funciones

cuadráticas en este caso), lo que se logra con este trabajo es fortalecer el análisis de situaciones

de variación y cambio que denotan una relación funcional.


78

3.3 Conclusiones y Recomendaciones

3.3.1 Conclusiones

Teniendo como referencia el objetivo y los alcances a los que se pretendía llegar con este

trabajo, se puede concluir a nivel general que una buena estrategia de enseñanza de las funciones

polinómicas de segundo grado es aquella que favorece la utilización de variados registros de

representación, además de posibilitar el uso de transformaciones entre estos registros. Esto permite

comunicar las ideas matemáticas de una manera más efectiva y comprensible, además de hacer

posible dotar de sentido y significado a los objetos matemáticos con los cuales se está trabajando.

En procura de dotar sentido y significado a los objetos matemáticos es indispensable que

se propongan secuencias didácticas que consideren situaciones de variación que le sean próximas

a los estudiantes, en mayor medida si estas situaciones pueden ser representadas a través de

material concreto. Esto posibilita un afianzamiento de la actividad cognitiva en referencia a las

formas de representación más abstractas como son por ejemplo el registro de representación

algebraico, además de hacer las conversiones entre los tipos de registros menos traumáticas y con

un significado evidente.

Una parte importante de la secuencia didáctica es el diagnóstico hecho a los estudiantes, ya

que permitió evidenciar que a la mayoría se les dificulta manejar los signos y símbolos propios de

los registros de representación semiótico, como, por ejemplo, el uso del plano cartesiano y la

comprensión de problemas presentados en lenguaje natural. Además fue posible ver que la

identificación de variables dependiente e independiente en una situación de cambio es un problema

generalizado, por lo cual y tomando como base los saberes previos de los estudiantes, se


79

consideraron aspectos como utilizar hojas de papel milimetradas para dibujar los planos

cartesianos, crear una plantilla para la realización de tablas, realizar explicaciones adicionales por

parte del docente y utilizar una situación de variación a través de la construcción grupal por medio

de material concreto.

La aplicación de la secuencia didáctica mediada por guías de trabajo tenía como objetivo

principal que los estudiantes expresaran las funciones polinómicas de segundo grado desde

diferentes registros de representación como son el tabular, algebraico, lenguaje natural, icónico y

gráfico, además de propiciar la conversiones y transformaciones entre tales registros. Esto debido

a que los estudiantes de manera natural no logran de manera inmediata representar un objeto

matemático desde los diferentes tipos de registro de representación, y muchos menos, realizar de

manera espontánea transformaciones. El objetivo se logró cumplir en un porcentaje de aprobación

satisfactorio, donde se presentó más dificultad fue cuando se pedía la conversión desde cualquier

registro de representación hacia el algebraico, esto puede ser debido a que se pasa de una

representación de casos hacia una generalización.

Por último, queda como aspecto de análisis y reflexión que aunque se logró que los

estudiantes utilizaran variados registros de representación semióticos e hicieran transformaciones

entre estos, los estudiantes por iniciativa propia no analizaban la coherencia subyacente que debe

existir entre estos, es decir que, si se presentaban errores en uno de los registros de representación

los estudiantes no reflexionaban ni utilizaban los otros registros de representación como

herramienta para verificar o buscar el porqué de estos errores.


80

3.3.2 Recomendaciones

Como se dijo anteriormente, una de las recomendaciones a realizar es idear una guía

adicional en la secuencia didáctica que esté enfocada en desarrollar habilidades que permitan ver

la coherencia entre registros de representación, haciendo énfasis en el emparejamiento de los

registros de representación algebraico y gráfico. Este tipo de conversiones es ideal hacerlo a través

de una herramienta tecnológica como celular, Tablet o computador, así como el uso de aplicaciones

como GeoGebra, que tal y como su nombre lo indica, mezcla la geometría con el álgebra. Esto

repercutiría en que los estudiantes hagan análisis más profundos y críticos de cada registro y de la

relación entre diferentes tipos de ellos.

Otra actividad interesante con la cual es posible trabajar la secuencia didáctica y

complementar la situación planteada, apuntaría a pensar en una caja (ver descripción de la

secuencia didáctica) donde las paredes no sean rectangulares. Esto complejizaría en gran medida

la situación aumentando el nivel de dificultad y promoviendo otros análisis interesantes. Se podría

observar que aun si cambia la forma de los polígonos que forman la caja, cuando se pregunta por

un área en función de uno de sus lados, esta relación se comporta también como una función

polinómica de segundo grado y se realizaría el mismo análisis tal y como se hizo con la situación

anterior.

Cabe también enunciar que el estudio de las funciones polinómicas de segundo grado se

puede realizar con más contundencia si las situaciones propuestas son variadas e incluyen muchos

ámbitos de aplicación. Así, como se evidenció, en general toda la secuencia didáctica estuvo

enmarcada en una sola situación de variación referente a las áreas de una caja, pero sería


81

importante también pensar la situación en otros campos como la economía, la física, el movimiento

de los objetos, entre otros.

Finalmente se propone extender la utilización de situaciones de variación en el estudio de

otras funciones además de las funciones polinómicas de segundo grado y realizar el análisis de los

registros de representación que se utilizan para cada una de éstas, buscando que los estudiantes

logren conceptualizar con un significado más amplio y entendiendo su aplicabilidad y necesidad

en el contexto real.

Referencias 82

REFERENCIAS

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MATEMÁTICAS. Medellín : Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia.

Anexo: Pretest, actividad diagnostica 84

A. ANEXO: PRETEST, ACTIVIDAD DIAGNOSTICA

Institución Educativa Javiera Londoño

Actividad diagnostica Nombre: _________________________________________________________

Fecha: _______________ Grado: _______________

Docente: Jorge Iván Amaya

Objetivo: observar los saberes previos de los estudiantes del grado noveno sobre los

sistemas de representación semióticos de las funciones.

Duración: 2 horas

1) Dibuje un plano cartesiano y ubique los siguientes puntos sobre él.

• 3, -5

• 8, 2

• -5, 2

• 0, -3

• 5, 0

• -2, -3

2) A partir de las gráficas expuestas a continuación, responda a las siguientes preguntas:

a. Los meses de cumpleaños en los cuales cumple este grupo de amigos, se distribuyen de la siguiente manera:

¿Esta relación es una función? Justifique su respuesta.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


b. El sueldo de María está determinado por un básico de $1´200.000 además de comisiones, por las cuales cada unidad de carro vendida tiene como ganancia $100.000. Teniendo en cuenta esta información, la gráfica se compone de la siguiente forma.

¿Esta relación es una función? Justifique su respuesta.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3) Una compañía de telefonía móvil cuenta con los siguientes planes de minutos:

Plan Valor básico

Cantidad básica minutos

Valor por minuto después del plan básico

1 18.000 190 120

2 15.000 160 130

3 30.000 350 100

4 25.000 300 140

Responda y justifique:

a. En la situación anterior, ¿Cuál es la variable independiente?

______________________________________________________________________

b. En la situación anterior, ¿Cuál es la variable dependiente?

______________________________________________________________________

c. Para alguien que gasta menos de 100 minutos al mes, ¿Qué plan debería elegir?

______________________________________________________________________

d. ¿Qué plan le conviene más a una persona que gaste en promedio 230

minutos?

______________________________________________________________________


4) La empresa Plumones Amaya fabrica lapiceros, actualmente dispone de dos formas de pago para los empleados. La Primera forma, cuenta con un básico de $850.000 junto con una comisión de $50.000 por cada cliente mayoritario que contrate con la empresa. La Segunda forma de pago consta de un plan básico de $ 980.000 incluyendo una comisión de $10.000 por cada cliente mayoritario que contraten. Usted como gerente de la empresa debe explicar a los empleados cada plan, y para ello prepara una exposición en la cual deberá responder la siguiente pregunta: ¿cuándo es más rentable cada plan de pago? ¿Cómo lo haría?, anexe una hoja con su respuesta justificada.

Anexo: Guía número 1 87

B. ANEXO: GUÍA NÚMERO 1

Institución Educativa Javiera Londoño

Guía numero 1 Construcción de cajas

Nombre: _________________________________________________________

Fecha: _______________ Grado: _______________


Objetivo: Representar con material concreto, una situación de variación que permita

correlacionar variables y generar un registro de representación semiótica tabular

de la situación.

Duración: 2 hora 2 sesiones

Materiales:

• 1/8 de Cartulina por persona

• Regla

• Tijeras

• Pegamento

• Lápiz

• Hoja de trabajo

Momento 1

Con ayuda de tu regla mida en el octavo de cartulina un rectángulo de 20 cm x 30 cm,

luego recorte el mismo.

Con tal rectángulo se realizarán cajas, una por cada estudiante, en las cuales variarán

sus dimensiones, su motivo se debe a que el docente asignara un número del 1 al 9

de forma aleatoria

a cada alumno, el número

asignado es el valor en

centímetros de la distancia

x, la cual se

encuentra

representada en la

siguiente gráfica:

Anexos 88

La figura nombrada con el número 1 en la gráfica anterior, es la pieza que debe

recortarse dejando un pequeño sobrante, en la medida de lo posible del mismo

tamaño, éstas serán de utilidad para unir los lados laterales de la caja. El borde de la

figura cuatro servirá como guía a la hora de hacer el doblez de las paredes de dicha

caja.

Momento 2

Teniendo en cuenta que, el área de un rectángulo es la multiplicación de la longitud

de la base por la longitud de la altura 𝐴 = 𝑏𝑥ℎ , mida la base y la altura de cada figura

que compone la caja (figura 1, 2, 3, y 4) y determine el área de cada una. Plasme los

resultados en la siguiente tabla, no olvide marcar cada respuesta con la unidad de

medida correspondiente (cm, 𝑐𝑚2)

Nota: de la figura número 1 se recortó un pedazo ya que de éste se extrajeron las

pestañas para unir la caja, ignore este hecho y suponga que la figura sigue siendo un

rectángulo.

Registro 1.1

Figura Base Altura Área

1

2

3

4

Momento 3

Como las dimensiones de la caja varían, el grupo de estudiantes deberá socializar los

resultados obtenidos, llenando así, cada espacio de la gráfica expuesta a

continuación con la información obtenida.

Anexos 89

Registro 1.2

Medida de x en

cm

Área de

Figura 1

Área de

Figura 2

Área de

Figura 3

Área de

Figura 4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Anexos 90

C. ANEXO: GUÍA NÚMERO 2

Institución Educativa Javiera Londoño Guía número 2

De las tablas a las curvas Nombre: _________________________________________________________

Fecha: _______________ Grado: _______________


Objetivo: convertir de un registro de representación tabular a un registro de

representación grafico en una situación de cambio que se modela por medio de

una función cuadrática

Duración: 2 horas

Materiales:

• guía 1

• cajas realizadas en la primera guía

• Lápiz

• Hoja milimetrada

Anexos 91

Momento 1

• Observe detenidamente las cajas y compare entre las cajas realizadas por los

compañeros y la suya, luego realice un diálogo con el docente y a nivel general

escriba una lluvia de ideas en el tablero acerca de lo observado

• Asigne un nombre a cada una de las variables, como por ejemplo la variable x,

el área de la figura número 1, etc.

• Determine cuáles son variables dependientes y variables independientes.

• Escriba una conclusión que englobe todo el momento número 1, en la cual

deberá definir las variables, el nombre asignado, y cuáles serían las variables

dependientes e independientes.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Momento 2

Analice y de respuesta a las siguientes preguntas.

• En la guía anterior el docente asignó números del 1 al 9, los cuales que

correspondían al valor en centímetros que debía tomar la variable x para cada

estudiante, ¿Qué pasaría si el docente asigna a un alumno 10 centímetros como

valor de x?

________________________________________________________________

________________________________________________________________

• ¿Qué pasaría con el área de figura 4 si el docente asigna a un estudiante 3,5

centímetros como valor de x?

________________________________________________________________

________________________________________________________________

Anexos 92

• Realice un debate con sus compañeros y resuelvan si es posible que el docente

asigne a un estudiante el número 0,1 cm como valor de x, e imaginen cómo

quedaría formada la caja. Describa las conclusiones a las cuales llegaron.

________________________________________________________________

________________________________________________________________

• En caso tal de que se asignara a un estudiante el valor de 9.5 cm como valor de

x, indique cuál sería el valor del área para cada una de las 4 figuras en el

siguiente cuadro:

Registro 2.1

Figura Base Altura Área

1

2

3

4

Momento 3

Realice la gráfica en un plano cartesiano del área de la figura 1, figura 2, figura 3 y

figura 4 (Una gráfica por cada figura) en términos de la variable independiente x. Para

ello se tiene como apoyo el registro 1.2 de la guía 1.

Se debe tener en cuenta que, para cada gráfica el eje x va a tener los mismos valores

(del 0 al 10), y para el eje y se debe escoger una escala que sea propicia a los valores.

Recorte y pegue las gráficas realizadas en el papel milimetrado.

Registro 2.2

Anexos 93

Registro 2.3

Registro 2.4

Anexos 94

Registro 2.5

Analice y de solución a las siguientes preguntas:

• ¿Qué hay de común en cada una de las gráficas resueltas en clase?

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________

• ¿Hay valores negativos? Sí__ NO__ ¿Por qué?

________________________________________________________________

________________________________________________________________

Anexos 95

D. ANEXO: GUÍA NÚMERO 3

Institución Educativa Javiera Londoño Guía numero 3

La ecuación de una caja Nombre: _________________________________________________________

Fecha: _______________ Grado: _______________


Objetivo: convertir de un registro de representación tabular y registro de representación

grafico a un registro de representación algebraico en una situación de cambio

que se modela por medio de una función cuadrática

Duración: 2 horas

Materiales:

• Guía 1 y 2

• Regla

• Lápiz

• Hoja de trabajo

Momento 1

En una tabla analice el comportamiento de las variables 𝒚 , 𝒛 según la forma en la que

modifica la variable 𝒙, tome la variable x como la variable independiente. Para ello

complete:

Anexos 96

Registro 3.1

Variable x en cm Variable y en cm Variable z en cm

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Momento 2

Analice y de respuesta:

• ¿Se observa alguna secuencia entre los números que se le van

asignando a la columna de la variable y?

___________________________________________________________

___________________________________________________________

• ¿Se observa alguna secuencia entre los números que se le van

asignando a la columna de la variable z?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

• Para calcular las áreas de la figura 1, 2, 3 y 4 en el momento que la

variable x toma el valor de 2, 5, 8, y 5.5 ¿Sería capaz de realizar sin tener

que mirar la caja o la tabla anteriormente realizada? Explique qué

procedimiento utilizaría.

______________________________________________________________

______________________________________________________________

Anexos 97

• Si le pidieran una ecuación que nos permita calcular y en función del valor

que se le asigne a x, ¿Qué ecuación daría?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

• Si le pidieran una ecuación que nos permita calcular z en función del valor

que se le asigne a x, ¿Qué ecuación daría?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

Como se puede observar, las ecuaciones funcionales resultantes de la

correlación entre la variable x con las variables y, z son ecuaciones del tipo

lineal con forma 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 anteriormente estudiadas.

Momento 3

La intención de esta guía es poder lograr la deducción de la ecuación funcional que

relaciona la variable independiente x con los valores variables de las áreas de las

figuras 1, 2, 3, 4. Para ello vamos a tomar como base de nuestro estudio la fórmula

para hallar el área de un rectángulo 𝑨 = 𝒃𝒙𝒉 (área igual a la base por altura).

Complete la siguiente tabla, para ello debe repasar cómo se realiza la multiplicación de

polinomios, reducir términos semejantes de manera tal que se presente la ecuación

funcional lo más simplificada posible. Utilice una hoja de operaciones adicional para

realizar sus cálculos y anéxela a la guía.

Anexos 98

Registro 3.2

Figura Base Base en

términos de

x

Altura Altura en

términos de

x

Ecuación del

área

(multiplica

base en

términos de x

por la altura)

1

2

3

4

Anexos 99

E. ANEXO: GUÍA NÚMERO 4

Institución Educativa Javiera Londoño Guía numero 4

Características de una función cuadrática Nombre: _________________________________________________________

Fecha: _______________ Grado: _______________


Objetivo: observar cómo se comporta gráficamente una ecuación funcional de segundo

grado o cuadrática, partiendo desde un registro algebraico hacia uno tabular y

gráfico

Duración: 2 horas

Materiales:

• Guía 1, 2 y 3

• Regla

• Lápiz

• Hoja de trabajo

• Hoja de papel milimetrado Momento 1 Como se analizó anteriormente en la guía número 2, para la construcción de la caja el

docente no puede asignar un número para x igual o mayor a 10 e igual o menor a 0, ya

que si lo hace es imposible que se configure la construcción de una caja con el material

dado, pero, gracias al poder de abstracción que tienen las matemáticas podemos

analizar que sucede con el registro gráfico y tabular si se amplía el dominio de la

función a números negativos y números mayores que el 10.

• Utilizando como apoyo el registro 3.2 donde están consignadas las

ecuaciones de cada una de las funciones estudiadas, evalúe y complete

las siguientes tablas:

Anexos 100

Registro 4.1 función de la figura 1

x -5 -3 -2 0 2 4 8 12 14

y


x -5 -3 -2 0 2 4 8 12 14

y


x -5 -3 -2 0 2 4 8 12 14

y


x -5 -3 -2 0 2 4 8 12 14

y

Momento 2

En base a los registros realizados en el momento número 1 de la presente guía, se

realizará en la hoja de papel milimetrado las gráficas correspondientes a las funciones,

en esta ocasión excediendo los límites que nos impone el contexto real de la situación

estudiada, por consiguiente, los ejes de la gráfica deben tener tanto la parte positiva

como negativa.

Recorte y pegue las gráficas realizadas en el papel milimetrado.

Anexos 101

Registro 2.2

Registro 2.3

Anexos 102

Registro 2.4

Registro 2.5

Anexos 103

Momento 3

Analice y de solución a la siguiente pregunta, ¿Qué pasa con la gráfica cuando el signo

que acompaña a la variable x es positivo y qué sucede cuando este signo es negativo?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

los sistemas de representaciÓn semiÓtica en la …

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