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Registros de representación semiótica: las

funcionesMario Dalcín – Mónica Olave – Yacir Testa

Instituto de Profesores Artigas

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gf

Esbozar el gráfico de f+g, sabiendo que f es una función polinómica de 2º grado. Determinar gráficamente sus raíces.

Esbozar el gráfico de las funciones f.g, f/g y g/f

Para la actividad siguiente, describa detalladamente los procesos de pensamiento que pone en juego al abordar las mismas.

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¿Qué nos dice la historia?

1ª Etapa: representación tabular.

• 2000 a.C. Babilonios: tablas de cuadrados, cubos, astronómicas.

• Siglo V a.C. Pitagóricos: las longitudes y los tonos de las notas emitidas por cuerdas de la misma especie, al ser pulsada bajo tensiones iguales.

• Época alejandrina: trigonometría de las cuerdas correspondientes a una circunferencia de radio fijo.

• Siglo XI. Mayas: Códice de Dresde donde se encuentra material astronómico - astrológico en dos tablas: de eclipses y de Venus.

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2ª Etapa: representación gráfica.

• Nicolás de Oresme (1323-1382) que propone en su Treatise, “representar a las cosas que varían mediante un dibujo, señalando que ... todo lo que varía, se sepa medir o no, lo podemos imaginar como una cantidad continua representada como un segmento rectilíneo”. (Citado en Youschkevitech, 1997).

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3ª Etapa: representación algebraica

• En 1591 Vieta (1540-1603) introduce los símbolos para representar cantidades conocidas y desconocidas

• Esto influye en forma determinante en los trabajos de Descartes (1596-1650) y Fermat (1601-1655).

• Se introduce a las funciones en forma de ecuación lo que representa el nacimiento del “marco algebraico” en el cual el uso de las expresiones analíticas permite efectuar operaciones con reglas específicamente definidas.• Descartes por primera vez, y en forma perfectamente clara, sostiene que una ecuación en x e y es un medio para introducir una dependencia entre cantidades variables, que permite el cálculo de los valores de una de ellas que corresponden a valores dados de la otra.

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4ª Etapa: representación analítica

(serie infinita de potencias de la variable).

En la etapa anterior, la gama de las funciones que se expresaban analíticamente se limitaban a las algebraicas , y Descartes incluso excluyó de su geometría a todas las curvas mecánicas porque, a su parecer no se prestaban a su método de análisis.

En esta etapa se afianza la aceptación de los procesos infinitos en matemáticas; esta aceptación es llevada al universo de las dependencias funcionales concebibles, pues se trabaja en desarrollar todas las funciones conocidas en la época en series de potencias infinitas (para que estas sean susceptibles al análisis).

J. Bernoulli y L. Euler, definen entonces el concepto de función, diciendo que se trata de una expresión analítica, cuya forma más general es una serie de potencias, definición que fue aceptada por la mayoría de los matemáticos de esa época.

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5ª Etapa: Simbolización y definición general

• La definición de Dirichlet – Bourbaki: la relación entre pares de elementos de dos conjuntos A y B, tal que a cada elemento x A se le asigna un elemento y, y sólo uno, tal que y B, según alguna regla definida.

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ABCD rectángulo donde AB = 6 cm ABCD rectángulo donde AB = 6 cm y BC = 9 cm. Se consideran los y BC = 9 cm. Se consideran los puntos M, N, O, P, pertenecientes a puntos M, N, O, P, pertenecientes a los segmentos AB, BC, CD, DA los segmentos AB, BC, CD, DA respectivamente, de modo que respectivamente, de modo que AM = BN = CO = DP.AM = BN = CO = DP.

¿Cómo varía el área del cuadrilátero MNOP cuando M se desplaza sobre el segmento AB? Calcular su valor mínimo.

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Los objetos matemáticos, ideales por naturaleza, no pueden ser captados directamente por los sentidos, de aquí la necesidad de representaciones para poder mediar con esos objetos. En el campo de la matemática se presentan muchas veces varias representaciones para un mismo objeto; distinguir la representación del objeto mismo es fundamental para que exista comprensión. Cada concepto matemático necesita para su total comprensión, del empleo de más de un sistema de representación. Cada representación, junto con las reglas que la acompañan, implica una significación distinta del concepto.

¿Por qué en matemática se usan las representaciones?

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En los trabajos de R. Duval (1992, 1999) y de las últimas investigaciones en didáctica de las matemáticas, se pone en evidencia que el aprendizaje de un concepto se realiza en una forma más efectiva si se trabaja con las distintas representaciones del mismo.

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En el campo de la educación matemática, el concepto de representación se toma como equivalente a señal externa que muestra y hace presente un concepto matemático, también como signo o marca que los sujetos utilizan para pensar la matemática, también como esquemas o imágenes mentales con los que la mente puede trabajar en ideas matemáticas.

Se podría decir que las representaciones semióticas utilizadas en la matemática son todos los signos o gráficos que permiten a un sujeto abordar e interactuar con el conocimiento matemático. El sujeto las utiliza para registrar y comunicar sus ideas.

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¿Qué es un registro de representación semiótica?

Un sistema de representación semiótica es entendido como un sistema de signos que tiene como función principal la de comunicación. En el caso de la matemática las representaciones cumplen además, otras funciones muy importantes que son la de mediación con los objetos matemáticos y la de favorecer el entendimiento.

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gf

Esbozar el gráfico de f+g, sabiendo que f es una función polinómica de 2º grado. Determinar gráficamente sus raíces.

Esbozar el gráfico de las funciones f.g, f/g y g/f

Para la actividad siguiente, describa detalladamente los procesos de pensamiento que pone en juego al abordar las mismas.

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¿Qué representa la “parte lineal” de una función polinómica de segundo grado?

¿Y de una de tercer grado?

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¿Qué actividades cognitivas debe permitir un registro de representación?

• Formación de una representación identificable como una representación de un registro dado.

• El tratamiento de una representación que es la transformación de esta representación en el registro mismo donde ha sido formada. El tratamiento es una transformación interna a un registro. El cálculo es una forma de tratamiento propio de las escrituras simbólicas. Dentro de cada registro existen reglas de tratamiento.

• La conversión de una representación es una transformación de esta representación en una representación de otro registro conservando la totalidad o solamente una parte del contenido de la representación inicial. La conversión es una transformación externa al registro de partida.

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¿Qué es construir un concepto?

La construcción de los conceptos matemáticos depende estrechamente de la capacidad de usar varios registros de representación semiótica de dichos conceptos:• De representarlos en un registro dado• De tratar tales representaciones al interior de un mismo registro• De convertir tales representaciones de un registro dado en otroLa coordinación de varios registros de representación semiótica aparece así como fundamental para una aprehensión conceptual de los objetos:• Es necesario no confundir el objeto con sus representaciones y• Reconocerlo en cada una de sus representacionesBajo estas dos condiciones una representación funciona verdaderamente como una representación, es decir proporciona el acceso al objeto representado

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La complejidad del concepto de función se refleja en las diversas concepciones y diversas representaciones con las que se enfrentan los estudiantes y profesores en la actualidad y además se le puede percibir en las diferentes etapas que en su evolución ha tomado.

De acuerdo a la reseña histórica vemos que las relaciones funcionales se pueden representar mediante tablas, gráficas, expresiones algebraicas, las cuales son mediadas por el lenguaje cotidiano.

Una mirada al concepto de función desde la Didáctica de la Matemática

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En cuanto a las representaciones semióticas para las funciones podemos decir que se materializa a través de cuatro sistemas de representación. Cada una de ellas pone en relevancia aspectos distintos del concepto. Estas representaciones son, según Janvier:

• representación gráfica

• representación tabular

• representación analítica

• representación verbal

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La representación gráfica tiene por excelencia, la potencialidad del entendimiento que da la visualización, se relaciona con los aspectos geométricos y topológicos del concepto.

La representación tabular pone de manifiesto los aspectos numéricos.

La representación analítica requiere del uso del lenguaje del álgebra.

La representación verbal es la más natural, la más próxima a las destrezas comunicativas del individuo, permite articular a todas las representaciones y actúa como intérprete de todas ellas.

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Estas cuatro representaciones semióticas de las funciones, utilizan códigos diferentes para manifestar la relación funcional entre las variables. Estos códigos no son equivalentes, ni en el tipo de información que codifican, ni en complejidad, ni en la formación que requiere un estudiante para su comprensión.

En el aprendizaje del concepto de función será fundamental lograr que el estudiante comprenda el sistema semiótico de representación utilizado en cada caso y desarrolle la capacidad y la destreza de traducir la información de una representación a otra.

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Los cuatro sistemas de representación mencionados más arriba generan dieciséis posibles conversiones de un sistema a otro o tratamientos dentro de cada sistema, que se representan en el siguiente esquema de Janvier:

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Las conversiones de un sistema a otro no se encuentran en carácter “puro” sino que muchas veces transitamos otros sistemas para llegar al deseado, siendo el lenguaje verbal el que actúa como un articulador de los otros lenguajes. El costo de la tarea cognitiva cambia con el sentido de la conversión, cada uno de los sistemas de representación debe ser el objeto de un trabajo de exploración de las variaciones sistemáticas y de un trabajo de observación de las variaciones concomitantes.En general en el aula se realiza este tránsito entre registros como si se tratara de nociones transparentes, como nociones intuitivas que no hay necesidad de explicar, lo que podría generar dificultades de entendimiento del concepto por parte de los estudiantes.

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Número

Álgebra

Geometría

Medida

Análisis de datos

y probabilidad

0 - 6 7 - 9 10 - 12 13 - 17

¿Qué nos dice el colectivo docente?

El NCTM propone organizar el estudio de las matemáticas alrededor de dos aspectos fundamentales:a) Líneas de contenidos:

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b) Incluir actividades o procesos propios del quehacer matemático como la resolución de problemas; el razonamiento y la demostración; la comunicación; las representaciones; las visualizaciones; la interpretación de diagramas; la descripción de situaciones; la traducción de información visual y viceversa; la detección de invariantes.

Los procesos inherentes a la actividad matemática se presentan al mismo nivel que los contenidos.

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El desarrollo de actividades o procesos propios del quehacer matemático garantiza que independientemente del tipo de contenidos que pueda ser vigente dentro de 10 o 20 años, la forma de interactuar con esos contenidos siempre se realiza necesariamente a partir de estos procesos. No importa si el contenido específico es la ecuación de segundo grado o las ternas pitagóricas, u otro contenido nuevo: siempre será de mayor interés visualizar relaciones, buscar patrones o invariantes, plantear conjeturas, o establecer argumentos o pruebas.

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Estándares de Álgebra

• Entender patrones, relaciones y funciones.

• Representar y analizar situaciones y estructuras matemáticas usando símbolos algebraicos.

• Usar modelos matemáticos para representar y entender relaciones cuantitativas.

• Analizar el cambio en varios contextos.

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ENTENDER PATRONES, RELACIONES Y FUNCIONES

Nivel 0 a 6 años• Ordenar y clasificar objetos por tamaño, número u otras propiedades.• Reconocer, describir y continuar patrones así como traducir de una representación a otra.• Analizar cómo se generan los patrones.

Nivel 7 a 9 años• Describir, continuar y hacer generalizaciones sobre los modelos geométricos y numéricos.• Representar y analizar patrones y funciones, usando palabras, tablas, y gráficos.

Nivel 10 a 12 años• Representar, analizar y generalizar una variedad de patrones con tablas, gráficos, palabras, y, cuando sea posible, con reglas simbólicas.• Relacionar y comparar formas diferentes de representación para una relación.• Identificar funciones como ser lineales y no lineales y contrastar sus propiedades a través de tablas, gráficos, o ecuaciones.

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Nivel 13 a 17 años

• Generalizar patrones a través de funciones definidas por recurrencia y en su forma explícita.

• Entender relaciones y funciones por medio del uso de varias representaciones para ellas y adquirir flexibilidad en pasaje de una representación a otra.

• Analizar funciones de una variable por medio de la investigación de razones de cambio, ceros, asíntotas y comportamiento local y global. • Entender y realizar transformaciones como operaciones aritméticas, composición e inversión de funciones usando la tecnología para realizar dichas operaciones con expresiones más complicadas. • Entender y comparar las propiedades de clases de funciones incluyendo las funciones exponenciales, logarítmicas, polinómicas, racionales y periódicas. • Interpretar las representaciones de funciones de dos variables.

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REPRESENTAR Y ANALIZAR SITUACIONES Y ESTRUCTURAS MATEMÁTICAS USANDO SÍMBOLOS ALGEBRAICOS

Nivel 0 a 6 años• Ilustrar propiedades de las operaciones, como ser la conmutativa, usando números específicos.• Usar representaciones concretas, pictóricas y verbales para desarrollar una comprensión de las notaciones convencionales o inventadas.

Nivel 7 a 9 años• Describir, continuar y hacer generalizaciones sobre los modelos geométricos y numéricos.• Representar y analizar patrones y funciones, usando palabras, tablas, y gráficos.

Nivel 10 a 12 años• Explorar las relaciones entre las expresiones simbólicas y los gráficos de rectas.• Usar el álgebra simbólica para representar situaciones y resolver problemas.

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Nivel 13 a 17 años

• Entender el significado de formas equivalentes de expresiones, ecuaciones, inecuaciones y relaciones.

• Escribir formas equivalentes de ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones y resolverlos con eficacia ya sea en forma mental, o con lápiz y papel en casos sencillos y usando la tecnología en todos los casos.

• Usar el algebra simbólica para representar y explicar relaciones matemáticas.

• Usar representaciones simbólicas variadas incluyendo expresiones recursivas y paramétricas para funciones y relaciones.

• Juzgar el significado, utilidad y razonabilidad de los resultados obtenidos por medio de la manipulación simbólica incluyendo aquellos que se obtienen a través de la tecnología.

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USAR MODELOS MATEMÁTICOS PARA REPRESENTAR Y ENTENDER RELACIONES CUANTITATIVAS

Nivel 0 a 6 años• Modelar situaciones que involucren la adición y sustracción de números enteros usando objetos, pinturas y símbolos.

Nivel 7 a 9 años• Modelar situaciones problemáticas con objetos y usar representaciones, como ser gráficas, tablas y ecuaciones, para arribar a conclusiones.

Nivel 10 a 12 años• Modelar y resolver problemas contextualizados usando varias representaciones, como ser tablas, gráficas y ecuaciones.

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Nivel 13 a 17 años

• Identificar relaciones cuantitativas escenciales en una situación y determinar la clase o clases de funciones que pueden modelar dichas relaciones.

• Usar expresiones simbólicas, incluyendo formas iterativas y recursivas, para representar relaciones provenientes de diferentes contextos.

• Redactar conclusiones razonables acerca de las situaciones que han sido modeladas.

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ANALIZAR EL CAMBIO EN VARIOS CONTEXTOS.

Nivel 0 a 6 años• Describir cambios cualitativos, como ser el estar más alto.• Describir cambios cuantitativos, como ser el crecimiento de “tantos” centímetros en un año.

Nivel 7 a 9 años• Investigar cómo influye el cambio de una variable en la otra.• Identificar y describir situaciones con cambios constantes o variables compararlos.

Nivel 10 a 12 años• Usar gráficos para analizar la naturaleza de los cambios en las cantidades en las relaciones lineales.

Nivel 13 a 17 años• Aproximar e interpretar las razones de cambio de datos gráficos y numéricos.

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De Guzmán, M.; Colera, J.; Salvador, A. (1995). Matemáticas. Bachillerato 1. Madrid: Anaya.

De Guzmán, M.; Colera, J.; Salvador, A. (1995). Matemáticas. Bachillerato 2. Madrid: Anaya.

Duval, R. (1992). Gráficas y ecuaciones: la articulación de dos registros. En R. Cambray, E. Sánchez & G. Zubieta (comp.), Antología en educación matemática, material de apoyo para el seminario de educación matemática. Maestría en Ciencias, Especialidad en Matemática Educativa, Nivel Medio Superior. Cinvestav- IPN. 125-141.

Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano. Registros semióticos y aprendizajes intelectuales. Cap.1. Cali, Colombia: Universidad del Valle, Grupo de Educación Matemática.

Referencias

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Janvier, C. (1987). Problems of representation in the teaching and learning of mathematics. Hillsdale, New Jersey: Lawrence Erlbaum A.P.

National Council of Teachers of Mathematics (2000). Standards and Principles for School Mathematics. Algebra.http://www.nctm.org/standards/standards.htm

Youschkevitech, A. P. (1997). El concepto de función hasta la primera mitad de siglo XIX. Serie de Antologías No. 1. Área de Nivel Superior (pp. 99-146). México: Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN. Traducción de R. M. Farfán de The concept of function up to the middle of the 19th century. Arch. Hist. Exact. Sci. 16, 37-85.