ENUNCIADO: Es toda frase u oración que informa, expresa o dictamina alguna idea a través de afirmaciones o negaciones, preguntas, expresiones de emoción o de saludo, órdenes, etc.

LÓGICA

Es la ciencia que estudia el razonamiento inductivo y deductivo. El razonamiento inductivo es aquel que permite llegar a conclusiones generales a partir de observaciones particulares, por el contrario, el razonamiento deductivo nos permite llegar a conclusiones particulares a partir de observaciones generales.

ENUNCIADO ABIERTO: Es un enunciado en forma de expresión matemática que no es verdadero ni falso.

Ejemplos: x < 9 x + 2 = 10

a + b = 1 a2 + b2 = c2

PROPOSICIÓN LÓGICA (enunciado cerrado) es un enunciado informativo que admite la posibilidad de ser Verdadero o Falso, pero no ambos a la vez.

La veracidad o falsedad de una proposición se denomina “Valor de verdad de la proposición”

39 es un número primo ( )

Huancayo queda en Junín ( )

1/2 < 1/4 ( )

SON PROPOSICIONES:

Resuelve este problema

¿Puedes prestarme tu libro?

Buenos días profesor

NO SON PROPOSICIONES:

F

V

F

PROPOSICIÓN SIMPLE: Es aquella que contiene una sola afirmación y se simboliza con las letras p, q, r, s, t, ….. a las que llamaremos variables proposicionales

Ejemplos: VALOR DE VERDAD

1. 15 es un número primo : p ( )2. Lima es la capital del Perú : q ( )3. −32 = 9 : r ( )

PROPOSICIONES COMPUESTAS: Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples o es la negación de una proposición simple.

En toda proposición compuesta las proposiciones simples están ligadas mediante palabras conocidas como conectivos lógicos

FVF

Conectivos lógicos

Son palabras que permiten relacionar dos proposiciones o negar una proposición simple. Cuando se les representan por símbolos se les llama operadores lógicos.

Los siguientes conectivos son los más recurrentes:

1. “si y sólo si”

2. “o . . . o”

3. “si…entonces…”

4. “o”

5. “y”

6. “no”

PROPOSICIONES Y VALOR DE VERDAD

p p q p q r

V

F

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

En general para “n” proposiciones, se pueden presentar 2n

posibilidades

21

22

23

Las tablas de verdad son representaciones gráficas, en forma de arreglos, que sirven para analizar los posibles valores de verdad que puede tener una proposición simple o compuesta.

1. LA CONJUNCIÓN.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “ y “, cuyo símbolo es “∧” y se llama conjuntor.

Ejemplo: “Jorge viajó al Cusco y Luis viajó a Ica”

p q

p : Jorge viajó al Cusco

q : Luis viajó a Ica Simbología: “p ∧ q”

NOTA: También equivalen al conectivo conjunción las palabras pero, sin embargo, aunque, además, no obstante, etc.

Definición de Algunos Enunciados Compuestos

TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN

p ∧ q

V

V

V

V

F

F

FF

V

F

F

F

La conjunción sólo es verdaderacuando las dos proposiciones son verdaderas.

2. LA DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIVA.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “ o “, cuyo símbolo es “∨” y se llama disyuntor.Ejemplo: “Eliana viajará al Cuzco o a Cajamarca”

r s

r : Eliana viajará al Cuzco

s : Eliana viajará a Cajamarca Simbología: “r ∨ s”

TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN DÉBIL

p ∨ q

V

V

V

V

F

F

FF

V

F

V

VLa disyunción es falsa solo si ambas proposiciones son falsas

3. LA DISYUNCIÓN FUERTE O EXCLUSIVA.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “O…..o……. “, cuyo símbolo es “∆” y se llama disyuntor fuerte.

Ejemplo: “O Ricardo radica en Miraflores o en Barranco”

p q

p : Ricardo radica en Miraflores

q : Ricardo radica en Barranco Simbología: “p ∆ q ”

TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN FUERTE

p ∆ q

V

V

V

V

F

F

FF

F

F

V

V

La disyunción fuerte es verdaderasolo si ambas proposiciones tienen diferentes valores de verdad

La disyunción fuerte es falsasolo si ambas proposiciones tienen idénticos valores de verdad

4. EL CONDICIONAL.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo

“Si…….entonces…….”, cuyo símbolo es “→” y se llama implicador.

Ejemplo: “Si 12 es un número par entonces es divisible entre 2”

p q

p : 12 es un número par ……………….… (antecedente)

q : 12 es un número divisible entre 2 ……(consecuente)

Simbología: “p → q ”

Notas: 1. Existen otras formas de presentarse el condicional: p por

consiguiente q; p luego q; p de manera q; etc.2. También son expresiones condicionales q ya que p; q puesto que

p; q siempre que p; q porque p; etc.

La suma de las cifras de 426 es múltiplo de 3 por consiguiente es divisible entre 3

Ejemplo

(antecedente) p

(consecuente) q

426 es divisible entre 3 porque la suma de sus cifras es múltiplo de 3

(antecedente) p

(consecuente) q

La simbología para ambos casos es: p → q

TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL CONDICIONAL

p → q

V

V

V

V

F

F

FF

V

V

V

F

El condicional solo es falsocuando el antecedente es verdaderoy el consecuente es falso.

5. EL BICONDICIONAL.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “…..…si

y sólo si……….”, cuyo símbolo es “↔” llamado doble implicador.

Ejemplo: “Sicilia es una isla si y sólo si está rodeada de agua”

p q

p : Sicilia es una isla

q : Sicilia está rodeada de agua Simbología: “p ↔ q ”

TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL BICONDICIONAL

p ↔ q

V

V

V

V

F

F

FF

V

V

F

F

El bicondicional es verdaderosolo si ambas proposiciones poseenidénticos valores de verdad

El bicondicional es falsosolo si ambas proposiciones poseendiferentes valores de verdad

6. LA NEGACIÓN.- Es un tipo de proposición compuesta en la que se afirma que algo no existe, que no es verdad, o que no es como alguien cree o afirma. Para negar una proposición se le antecede el conectivo no, o equivalentes a él, cuyo símbolo

es “∼ ” y se llama negador.

Ejemplo: “Todo número elevado al cuadrado es positivo”

p

Negación: “No todo número elevado al cuadrado es positivo”

Nota: Cuando se niega una proposición compuesta, se niega al operador de mayor jerarquía en dicha proposición.

Ejemplo: No es cierto que Pablo fue al banco y retiró el dinero

∼p

q r

Simbología: ∼( q ∧ r )

TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA NEGACIÓN

p ∼ p

V

F

F

V

TABLA RESUMENConector Valor de

verdadCondición

↔ V Si ambos tienen igual valor de verdad.

∆ V Si tienen valores diferentes de verdad.

→ F Si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso

∨ F Si ambos son falsos

∧ V Si ambos son verdaderos

~ V Si la proposición es falsa.

EVALUACIÓN DE UNA FÓRMULA LÓGICA

p q r ( p ∧ q ) ∨ ∼ ( p → ∼ r)

Ejemplo: Evaluar el siguiente esquema molecular: (p ∧ q) ∨ ∼(p → ∼r)

Solución

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

V

V

V

La característica tabular de una fórmula lógica es la columna de valores de verdad debajo del operador de mayor jerarquía. Esta columna puede presentar los siguientes casos:

1. Cuando todos los valores de verdad son verdaderos, el esquema es una TAUTOLOGÍA.

2. Cuando todos los valores de verdad son falsos, el esquema es una CONTRADICCIÓN.

3. Cuando algunos valores de verdad son verdaderos y otros falsos el esquema es una CONTINGENCIA.

Ejemplo Nº2 Si se conoce que: (q ∧ ∼r) → p es FALSA

Determinar el valor de verdad de: (∼r ∨ ∼p) → (p ∧ ∼r)

SOLUCIÓN

( q ∧ ∼ r )

→ p

F

Primero analizamos la condiciónFVV V F

Luego de conocer los valores de verdad de cada variable, se evalúa la fórmula planteada

( ∼ r ∨ ∼ p ) → ( p ∧ ∼ r )

V VV F VFF

El valor de verdad de la fórmula planteada es FALSO

CONJUNTOS

INTRODUCCIÓNLa idea de conjunto se adquiere en los comienzos de la vida, al manifestarse una de las virtudes primordiales del espíritu: La diferenciación.

Activada esta virtud, comenzamos a percibir distintamente los objetos del mundo exterior y a tener conciencia de nuestra personalidad, logrando así formar estos conceptos primarios.

En el presente tema, desarrollaremos en forma breve y explícita la “Teoría intuitiva de conjuntos”, la cual sirve como preámbulo al desarrollo profundo de la aritmética.

RESEÑA HISTÓRICA George Cantor es considerado como “creador o padre de

teoría de conjuntos”, junto con Dedekind. Nació en 1845 en Alemania. Fue el primero en hallar una respuesta acertada a los

problemas que surgían sobre conjuntos infinitos. Axiomatizó y ordenó la teoría de conjuntos; mediante lo

cual descubrió que los conjuntos infinitos no tienen siempre el mismo tamaño.

Su padre trato de persuadirlo para que estudiara ingeniería. Estudió Matemática pura hasta obtener el grado de Doctor

en Ciencias en el año 1867 en la universidad de Berlín. Por lo novedoso de sus métodos y sus sorprendentes

resultados, se le considera un matemático creativo y de singularidad original.

Al igual que la mayoría de sus ideas originales, las obras de Cantor fueron objeto de escarnio por parte de matemáticos contemporáneos y famosos; entre los que destaca Krohecker quien fue su profesor en Berlín.

Como resultado de estos atropellos sufrió una serie de colapsos y murió en una institución para enfermos mentales en 1918.

Años después de su muerte, sus colegas reconocieron la importancia de su contribución, la cual radica en su percepción del significado del principio de correspondencia uno a uno y sus consecuencias lógicas.

EJEMPLOS DE AGRUPACIONES

IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOEstrictamente hablando, se entiende por conjunto a un concepto no definido; sin embargo se usa como sinónimo de conjunto las palabras: Colección, agrupación y clase.

De manera intuitiva diremos que un conjunto es una colección bien definida de objetos con características en común. A cada uno de estos objetos le denominamos elementos del conjunto, los cuales pueden ser reales, abstractos o imaginarios.

Para que un conjunto esté bien definido no deben existir ambigüedades, es decir, deben distinguirse bien todos los elementos y sin repetirse.

NOTACIÓN DE CONJUNTOS Generalmente para distinguir los conjuntos se usan las

letras mayúsculas A; B; C; …. ; Z. Sus elementos se denotan con las letras minúsculas a; b;

c; d; … ; z, los cuales son encerrados entre llaves y separados por comas.

EJEMPLOS:A = { c , o , m , p , u , t , a , d , o , r , a }

M = { 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }

F = { pera , mango , fresa , papaya , uva , naranja}

CONJUNTOS NUMÉRICOS{ }= 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . . , +∞¥

{ } ,= - ,. . ., - 4 , - 3 , - 2 -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . . , +∞ ∞¢

,

p; donde p,q y q

q

1= - ,. . ., - 4 , - 3.5 , - 3 , - 2 -1 , 0 , 0.001 , , 2 , 3 , 3.2 , 4 , . . . , +

2

= x / x = 0

∈ ≠

∞ ∞

¢

¤

¤

3 75 64 ,3

10 , - , - e , - 2I = - , . . . , - , , , e , , . . . , +ππ

π

∞ ∞

= I∪¡ ¤

N

z

Q

Q

POR EXTENSIÓN (FORMA TABULAR O ENUMERACIÓN)Un conjunto queda determinado por extensión, cuando se nombran explícitamente a cada uno de los elementos que conforman el conjunto. EJEMPLOS:

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

A = { c , o , m , p , u , t , a , d , o , r , a }

M = { 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }

F = { pera , mango , fresa , papaya , uva , naranja}

POR COMPRESIÓN (FORMA CONSTRUCTIVA)Un conjunto queda determinado por comprensión, cuando se enuncia una propiedad común que caracteriza a todos los elementos del conjunto. Dicha propiedad debe permitir identificar a los elementos sin ambigüedad.

EJEMPLOS:

{ }A= x / x es una letra de la palabra "computadora"

{ }M = x / x ; tal que 4 x 9∈ ≤ ≤¢

{ }F = x / x es una fruta

Un elemento pertenece ( ) a un conjunto si es que éste forma parte de él; en caso contrario se dice que no pertenece

a este conjunto ( ).

“La relación de pertenencia se realiza de elemento a conjunto”

EJEMPLOS:

RELACIÓN DE PERTENENCIA.

∈∉

Se dice que el conjunto A es parte del conjunto B, ó que A está incluido en B, ó que A es subconjunto de B; si todos los elementos de A están en B.

Se denota por: “La relación de inclusión se realiza de conjunto a

conjunto”EJEMPLOS:

RELACIÓN DE INCLUSIÓN O SUBCONJUNTO.

A B⊆

NOTA: El conjunto vacio “ ” es subconjunto de todo conjunto.φ

RELACIÓN DE IGUALDADDos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos y se escribe A = B .

A B A B B A= ⇔ ⊂ ∧ ⊂

EJEMPLO:

DIAGRAMAS DE VENN - EULERSon figuras planas que nos ayudan a ilustrar algunas

ideas.En el caso de la teoría de conjuntos se usan diagramas de

Venn-Euler. Se usan generalmente círculos para graficar los conjuntos y un rectángulo para el conjunto universal.

U

A B

C D

CARDINALIDAD DE UN CONJUNTOSe define como el número de elementos diferentes contiene el conjunto.NOTACIÓN:

( )( )

Card A : Se lee "Cardinal del conjunto A"

n A : Se lee "Cardinal de A"

EJEMPLOS: ( )

{ } ( )

{ } ( )

2Si : G = 0 , , π , 6 , - 20 n G = 5

3

Si : H = pera , mango , platano n H = 3

Si : L = n L = 0

⇒

⇒

⇒

CLASES DE CONJUNTOSA. CONJUNTO FINITO: Si tiene determinado número de

elementos diferentes y el proceso de contar dichos elementos tiene límite.

EJEMPLOS: { }{ }

B = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8

N = Blanca , Ana , Tania , Antonella , Nelly

B. CONJUNTO INFINITO: Si el conjunto no es finito. Es decir, si el número de elementos que posee es ilimitado y el proceso de conteo no tiene fin.

EJEMPLOS: { }{ }{ }/

S = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , . . . , +

N = x / x

D x x es un número par

∞ =

∈

=

¥

¡

CONJUNTOS ESPECIALESA. CONJUNTO VACIO: Llamado también conjunto nulo, es

aquel conjunto que carece de elementos. Se denota con la letra griega “ ” o por medio de { }.

EJEMPLOS: { }{ }

2/P = x x +4 = 0

T = x / 3 < x < 4

φ

φ

∈ =

∈ =

¡

¥

B. CONJUNTO UNITARIO: Llamado también singletón, es aquel que posee un sólo elemento.

EJEMPLOS: { }{ }{ }{ }

/

A= Silvia

B = x / 8 < x < 10

C a a+3 = -5

D φ

∈

= ∈

=

¥

¢

φ

C. CONJUNTO UNIVERSAL: Es un conjunto referencial que se toma para el análisis de una situación en particular. Se denota por la letra “U ”. Gráficamente se representa mediante un rectángulo.

EJEMPLO:

{ }{ }{ }

{ }/

A= x / x es una rosa

B = x / x es un geranio

C = x / x es un clavel

U x x son flres=∴

A B

C

U

D. CONJUNTO DE CONJUNTOS: Llamado también familia de conjuntos; es aquel conjunto que tiene como elementos a otros conjuntos.

EJEMPLOS: { } { } { }{ }{ } { } { }{ }{ } , ,

, , , ,

A= a d , e 1 , 2 , 3

D a 1 , 2φ φ φ=E. CONJUNTO DISJUNTOS: Dos o más conjuntos son

disjuntos si todos sus elementos son diferentes; es decir no tienen elementos en común.

EJEMPLO:

{ }{ }

B = 1 , 2 , 3 , 4 , 5B N

N = a , b , c , d , eφ

⇒ =

∴I

B y N son conjuntos disjuntos

B

N

U

CONJUNTO POTENCIA: Llamado también conjunto de partes; es el conjunto formado por todos los subconjuntos de un

conjunto A. Se denota por P(A); y se lee: “Conjunto potencia de A”

El número de elementos de , donde “x” es el

número de elementos de A.EJEMPLO:

{ }

( ) { } { } { } { } { } { } { }{ }

( )

F = a , b , c

Entonces :

P F = a , b , c , a , b , a , c , b , c , a , b , c ,

Además :3n P F = 2 = 8

φ

( )n xP A = 2

{ }/ A B x x A x B= ∈ ∨ ∈U

Gráficamente:

PROPIEDADES DE UNIÓN

{ }/ A B x x A x B= ∈ ∧ ∈I

Gráficamente:

{ }/ A B x x A x B− = ∈ ∧ ∉

(A − B); Se lee: “A menos B”; “A diferencia con B”; “Solamente A”

Gráficamente:

( ) ( ){ }/ A B x x A x B x A x B= ∈ ∧ ∉ ∨ ∉ ∧ ∈VTambién se utiliza las equivalencias:

A ∆ B = ( A – B ) ∪ ( B – A )

A ∆ B = ( A ∪ B ) – ( A ∩ B )

Gráficamente:

NOTACIÓN:

{ }/ CA = x x U x A∈ ∧ ∉

;

AB

Se lee : "Complemento de A"

C ó B\ A ; Se lee : "Complemento de A respecto a B"

CA = A´= C = AA

IMPORTANTE: CA =U A−

Gráficamente: