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Capıtulo 2

Logica Proposicional

Resumen Las inferencias logicas mas basicas involucran frases creadas con expresionescomunes tales como “no”, “y”, “o”, “si . . . entonces”. Estas expresiones nos permitendescribir situaciones indicando lo que es cierto y lo que no. Esta forma de razonamientoes no solo una forma de clasificacion, sino tambien la base de cualquier descripciondel mundo real. De la misma forma, estas frases logicas nos proporcionan la estructurafundamental de actos de comunicacion y argumentacion. Por ejemplo, cuando estamosen desacuerdo con lo que alguien afirma, una forma de refutarlo es demostrar que laafirmacion implica ( “si . . . entonces”) un hecho cuya falsedad (“no”) es facil de mostrar.Este es el tipo de patrones de razonamiento que estudiaremos en el presente capıtulo.

Para ser mas precisos, en este primer capıtulo presentaremos la Logica Proposicional, elsistema logico que describe el razonamiento con expresiones tales como “no” , “y”, “o” y“si . . . entonces”. Presentaremos conceptos tales como formula, conectivo logico, verdad,consecuencia valida, actualizacion de informacion, demostracion sintactica y expresivi-dad, y tambien discutiremos brevemente las conexiones con Ciencias de la Computaciony Ciencias Cognitivas.

2.1. Razonando en la vida diaria

La Logica se puede encontrar en muchos lugares:

Una pareja llega a un restaurante con su hijo. El padre pide pescado, la madrepide ensalada y el hijo pide carne. Un mesero distinto al que tomo la ordenllega con la comida. ¿Que pasara?

Todos aquellos que han visitado algun restaurante saben lo que sucedera. El meseroempezara preguntando algo parecido a “¿Para quien es la carne?”, y pondra el platoen el lugar correspondiente. Entonces hara una segunda pregunta, “¿Para quien es elpescado?”, y podra el plato en su lugar. Finalmente, sin hacer otra pregunta, pondra elplato restante en el lugar que le corresponde. ¿Como sucede esto?

2-1

2-2 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

Comencemos por el final. Cuando el mesero coloca el tercer plato sin hacer preguntas,estamos viendo el resultado de una accion logica importante: el realizo una inferencia.Las respuestas que recibio de las preguntas anteriores le permitieron inferir a quienle corresponde el tercer plato. Este esquema de inferencia puede ser representado de lasiguiente forma:

P o E o C, no C, no P =⇒ E. (2.1)

Esta representacion formal tiene muchas ventajas. Por ejemplo, el esquema representauna cantidad infinita de inferencias, ya que P, E y C pueden tener cualquier significado.

Este tipo de acciones es especialmente importante en juegos de ingenio y/o acertijos. Unejemplo de esto son los pasos que realizamos para resolver un sudoku de 3× 3 de acuerdoa las reglas del juego: cada una de las 9 celdas debe tener un numero, 1, 2 o 3, y ningunnumero puede repetirse en la misma columna o en la misma fila:

(2.2)

Cada diagrama hace mas explıcita la solucion que estaba ya determinada por la posicioninicial de los numeros 1 y 2. En cada paso la informacion es revelada mediante actos deinferencia similares a los que ocurren en el restaurante.

Pero esta no es la unica forma en que la informacion fluye. Antes de que la inferencia finalse realizara, el mesero busco informacion mediante otra accion: hacer una pregunta. Lasrespuestas que recibio son cruciales para el resultado final.

En esencia, las respuestas a las preguntas actualizan el estado de informacion. Duranteuna conversacion, el estado de informacion de una persona –o personas– cambia debido ala comunicacion. En el ejemplo del restaurante, el estado de informacion inicial delmeserocontiene las seis diferentes formas en que los tres platos pueden ser distribuidos entre lastres personas. Asumiendo que CPE indica que el padre pidio la carne, la madre pidio elpescadoy el hijo pidio la ensalada, las posibilidades iniciales sonCPE,CEP,PCE,PEC,ECPy EPC. La respuesta a la primera pregunta, indicando que el hijo pidio la carne, eliminalas cuatro posibilidades en las cuales esto no sucede, reduciendo el estado de informaciona PEC y EPC. La respuesta a la segunda pregunta, indicando que el padre pidio elpescado, elimina una posibilidad mas, quedando tan solo la distribucion correcta: PEC.Esta secuenciadepasospuede ser representada conuna secuenciadediagramas (podemosentenderla como una animacion) que muestra las actualizaciones sucesivamente:

2.2. PATRONES DE INFERENCIA, VALIDEZ E INVALIDEZ 2-3

CPE

CEP PCE

PEC

ECPEPC

Primera

respuestaPEC EPC

Segunda

respuestaPEC

(2.3)

2.2. Patrones de inferencia, validez e invalidez

Considere el siguiente razonamiento de un medico:

Si tomas el medicamento mejoraras.

Pero no has tomado el medicamento.

Entonces no mejoraras.

(2.4)

La palabra “entonces” (o su sinonimo “por lo tanto”) indica que la proposicion que lesigue, la conclusion, se deriva a partir de las proposiciones que le preceden, las premisas.A este tipo de acciones se les llama inferencias.

Esta inferencia en particular no es correcta: la conclusion puede ser falsa aun en el caso enel que las dos premisas sean verdaderas. Un enfermo puedemejorar simplemente usandola mejor medicina existente (difıcil de usar en tiempos modernos): esperar. Confiar en unpatron de inferencia erroneo como ese puede ser peligroso en algunas situaciones, tal ycomo lo muestra el siguiente ejemplo:

Si opongo resistencia, el enemigo me matara.

No opongo resistencia.

Entonces el enemigo no me matara.

(2.5)

Compare las inferencias anteriores con la siguiente:

Si tomas el medicamento, mejoraras.

Pero no estas mejorando.

Por lo tanto no tomaste el medicamento.

(2.6)

Esta ultima inferencia es valida: no es posible que las dos premisas sean verdaderas y laconclusion falsa. Para ser mas precisos,

decimos que una inferencia es valida si ‘transfiere la verdad’, es decir, si laconclusion es verdadera en cualquier situacion en la cual todas las premisas


son verdaderas. Si este no es el caso, entonces decimos que la inferencia esinvalida.1

Dicho de una manera diferente (pero equivalente), una inferencia es valida si no tiene‘contraejemplos’, es decir, si no hay situaciones en las cuales todas las premisas sonverdaderas pero la conclusion es falsa. El concepto de inferencia valida es crucial, ası quele dedicaremos un poco mas de tiempo.

Lo que la validez implica La definicion anterior es clara intuitivamente, pero es im-portante notar que es mas debil de lo que podrıa pensarse inicialmente. Tomemos unainferencia valida con dos premisas

P1,P2, implica C (2.7)

Existenmuchas combinaciones de valores de verdad (verdadero y falso) para las premisasy la conclusion. Por ejemplo, si alguna de las premisas es falsa, no podemos asegurarnada acerca de la conclusion: en la inferencia 2.6, si asumimos que la primera premisaes verdadera (tomar el medicamento implica mejorıa) y la segunda falsa (el pacientemejora), la conclusion puede ser falsa (el paciente tomo el medicamento) pero tambienverdadera (el paciente no tomo el medicamento y mejora por otras razones). De lasocho combinaciones posibles de valores de verdad de las dos premisas y la conclusion,el hecho de que la inferencia sea valida nos permite eliminar tan solo una posibilidad(ambas premisas verdaderas y la conclusion falsa).

Dada la validez de una inferencia, lo unico que podemos asegurar acerca de sus premisasy su conclusion puede ser dicho de dos maneras:

(a) Si todas las premisas son verdaderas, entonces la conclusion es verdadera.

(b) Si la conclusion es falsa, entonces al menos una de las premisas es falsa.(2.8)

El primer enunciado ejemplifica lo que se entiende comunmente como la funcion dela Logica: si hemos demostrado que las premisas son verdaderas, entonces podemosconcluir que la conclusion tambien lo es. Pero la Logica tambien puede ser utilizadapara refutar afirmaciones, y el segundo enunciado nos dice precisamente como hacerlo:si se demuestra que cierta conclusion es falsa, entonces uno puede dudar acerca delas premisas. Las inferencias logicas validas nos ayudan no solo a descubrir verdades,sino tambien a descubrir falsedades. Aquı es importante enfatizar que si tenemos unainferencia valida, el hecho de que la conclusion sea falsa no implica que todas las premisassean falsas; tan solo que al menos una de ellas lo es. Averiguar cual o cuales son la premisasproblematicas puede requerir informacion extra.

A manera de ejercicio, y para entender mejor lo que una inferencia valida nos indica,considere el siguiente arbol que representa un argumento complejo formado por variasinferencias validas. Las letrasmayusculas representan proposiciones, y en cada inferencialas premisas aparecen sobre la lınea y la conclusion debajo de ella.

1N.T. En Castellano tambien se usan los terminos inferencia correcta e inferencia incorrecta para referirse auna inferencia valida y una inferencia invalida, respectivamente.

2.3. CLASIFICACION, CONSECUENCIA Y ACTUALIZACION 2-5

� �

�

�

�

�

�

�

�

�

�

(2.9)

Si sabemos que A es verdadera y G es falsa, ¿que podemos decir acerca de las demasproposiciones? (La respuesta es que, adicionalmente, B es verdadera y C,D y E son falsas;acerca de F no podemos afirmar nada.)

Patrones de inferencia El siguiente paso importante en el desarrollo de la Logica fue lasiguiente observacion: la validez o invalidez de una inferencia se determina no en baseal contenido especıfico de las proposiciones que la componen, sino en base a su patronabstracto (es decir, su forma). Por ejemplo, es claro que la siguiente inferencia, identicaen forma a la inferencia 2.6, es tambien valida:

Si el enemigo rompe los diques, Holanda se inundara.

Holanda no esta inundada.

Entonces el enemigo no ha roto los diques.

(2.10)

La forma de esta inferencia tiene partes que pueden variar (algunas proposiciones hansido substituidas por otras), pero otras son constantes y su significado no debe variar afin de que la inferencia siga siendo valida. Por ejemplo, si en la segunda premisa y enla conclusion remplazamos la negacion “no” por la afirmacion “sı”, entonces obtenemosuna inferencia invalida:

Si el enemigo rompe los diques, Holanda se inundara.

Holanda sı esta inundada.

Entonces el enemigo sı ha roto los diques.

(2.11)

La inferencia es invalida porque la inundacion puede ser debida a otros factores (porejemplo, lluvia excesiva).

Para poder representar formalmente la formade una inferencia, necesitamos una notacionque nos indique adecuadamente que partes son variables y que partes son constantes.Esto se hace utilizando letras para representar expresiones que pueden ser reemplazadaspor otras de la misma categorıa, y sımbolos especiales para representar las expresionesque determinan la forma de la inferencia, llamadas comunmente conectivos logicos.

2.3. Clasificacion, consecuencia y actualizacion


Clasificacion Las ideasprincipalesde laLogicaProposicional se remontana la antiguedad(al filosofo estoico Chrysippos de Soleus2, 280–207 A.C.), pero su version moderna se ini-cio en el siglo XIX con el trabajo del matematico britanico George Boole (1815–1864).

Chrysippos George Boole

En esencia, estas ideas son consecuencia de observar que las proposiciones que formanuna inferencia como las anteriores son esencialmente combinaciones de proposicionesmas simples que llamamos proposiciones basicas.

Las proposiciones basicas son generalmente representadas mediante las letras p, q, r, etc.Si tenemos un numero finito de proposiciones basicas, entonces tenemos un numero finitode situaciones posibles, cada una representando una combinacion de valores de verdadde las proposiciones basicas (verdadera o falsa). Por ejemplo, para p y q existen cuatrocombinaciones de valores de verdad, que pueden ser representados como

pq, pq, pq, pq (2.12)

donde p indica que p es verdadera y p indica que p es falsa. (Observe que p no representauna proposicion, y por lo tanto es diferente de la negacion no-p que aparece en lasinferencias que usaremos. Esta diferencia se vera claramente mas adelante.)

Derivando consecuencias Considere ahora los ejemplos anteriores de inferencias vali-das e invalidas:

(a) La inferencia que, partiendo de “si-p-entonces-q” y “no-p” deriva “no-q”,es invalida.

pero

(b) La inferencia que, partiendo de “si-p-entonces-q” y “no-q” deriva “no-p”,es valida.

2N.T. Conocido en Castellano como Crisipo de Solos.

2.3. CLASIFICACION, CONSECUENCIA Y ACTUALIZACION 2-7

Nuestra definicion anterior de inferencia valida puede ser presentada ahora de maneramas precisa. Esencialmente dice que:

cada una de las combinaciones de valores de verdad que hace verdaderas alas premisas tambien debe hacer verdadera a la conclusion.

Verifiquemos que esto se cumple con las inferencias (a) y (b). Tomemos la primera deellas:

(a) La segunda premisa, “no-p”, solo es verdadera en pq y pq. La primerapremisa, “si-p-entonces-q”, es tambien verdadera endichas situaciones porquela condicion p es falsa. Sin embargo, en pq la conclusion “no-q” es falsa. Por lotanto, la inferencia es invalida.

Para la segunda tenemos que:

(b) La segunda premisa “no-q” es verdadera en pq y pq. Pero la primerapremisa, “si-p-entonces-q”, solo es verdadera en la segunda situacion, ası quepq es la unica posibilidad en la cual ambas premisas se cumplen. En dichasituacion la conclusion “no-p” es verdadera, y por lo tanto la inferencia esvalida.

Actualizando informacion La Logica Proposicional es util para reconocer patrones deinferencia validos (e invalidos), pero tambien tiene otros usos. Uno de ellos es describir laforma en que cambia el estado de informacion actual cuando se recibe nueva informacion.

En general, inicialmente consideramos posibles varias situaciones, y la informacion querecibimos nos permite descartar algunas de ellas. Por ejemplo, supongamos que se quiereorganizar una fiesta y que los unicos invitados posibles son Marıa y Juan. Podemos uti-lizar p y q para indicar que “Marıa sera invitada” y “Juan sera invitado”, respectivamente.Ahora supongamos que nos informan que al menos una de las dos personas debe serinvitada: “p-o-q”. De entre las cuatro situaciones posibles inicialmente, esta nueva infor-macion descarta solo una: pq. Despues nos dicen que Marıa no debe ser invitada, “no-p”.Con esto descartamos dos situacionesmas, pq y pq, dejando a pq como la unica posibilidad.La siguiente secuencia de diagramas muestra como cambian los estados de informacion:

pq pq

pq pq

p o q pq pq

pq

no ppq (2.13)

Ahora podemos ver por que la conclusion q es verdadera y por lo tanto la inferenciavalida. Si en el estado de informacion final alguien afirmara q, dicho estado no cambiarıa,


es decir, ninguna posibilidad serıa eliminada:

pqq

pq (2.14)

Ejercicio 2.1 Considere el siguiente ejemplo en el que hay tres hechos a analizar. Una persona sedespierta, abre sus ojos, y se pregunta a sı mismo: “¿Me he despertado tarde?”, “¿Esta lloviendo?”,“¿Hay embotellamientos en el camino al trabajo?”. Para responder a la primera pregunta se puederevisar el reloj despertador; para responder a la segunda se puede mirar por la ventana, y pararesponder a la tercera se puede escuchar el reporte del trafico en el radio. Los tres hechos puedenser representados con tres proposiciones basicas, p, q y r, con p indicando “me he despertadotarde”, q indicando “esta lloviendo” y r indicando “hay embotellamientos en el camino al trabajo”.Suponiendo que la persona no sabe nada acerca del valor de verdad de estas tres proposiciones,¿cual es el espacio inicial de posibilidades?

Ejercicio 2.2 (Continuacion del ejercicio anterior) Ahora la persona revisa su reloj despertadory se da cuenta de que no se ha despertado tarde. ¿Que sucede con el espacio de posibilidades?

Acercandonos a un sistema formal Ahora que tenemos un sistema formal para estastareas, podemos hacer muchas cosas mas. Por ejemplo, ademas de preguntarnos si unainferencia dada es valida o no, podemos observar las premisas y preguntarnos que pode-mos concluir a partir de ellas. El siguiente ejercicio muestra una forma de inferenciabasica, utilizada comunmente en programas que realizan razonamiento automatico.

Ejercicio 2.3 Alguien nos dice que tenemos “p-o-q” y “(no-p)-o-r”. ¿Que podemos concluir acercade q y r?

Se pueden escribir programas que realizan tareas como la anterior de manera automaticay, de hecho, la Logica Proposicional es importante historicamente por la relacion que tienecon las Ciencias de la Computacion. Las computadoras son esenciales cuando se tienentareas de razonamiento complejas que involucran varias inferencias y/o actualizacionescomo las mostradas anteriormente, y el sistema de la Logica Proposicional puede serfacilmente implementado en un programa de razonamiento automatico. Como veremosen la seccion 2.10, la Logica Proposicional es, en cierto sentido, el lenguaje de las Cien-cias de la Computacion, y tiene muchas conexiones con problemas sobre complejidadcomputacional.

Pero nuestra historia no comenzo desde el punto de vista de las Ciencias de la Com-putacion, sinodesde el puntodevistadel lenguaje natural. En la siguiente seccion haremosmas preciso nuestro lenguaje, identificando los conectivos logicos basicos quenecesitamosy definiendo para ellos una notacion precisa.

2.4. El lenguaje de la Logica Proposicional

El razonamiento proposicional involucra proposiciones complejas que contienen ‘conec-tivos logicos’ del lenguaje natural, tales como “no” , “y”, “o”, “si . . . entonces”. Aunque

2.4. EL LENGUAJE DE LA LOGICA PROPOSICIONAL 2-9

estos no son los unicos conectivos que se utilizan en el razonamiento logico, sı son losmas basicos. Podrıamos utilizar el lenguaje natural para trabajar (algo que se solıa hacer),pero se ha vuelto cada vez mas claro que el uso de un lenguaje formal nos permite sermas claros y precisos, y tambien mejora el entendimiento y facilita las operaciones.

Del lenguaje natural a la notacion logica Como vimos en la seccion 2.3, hay ciertaforma logica en las inferencias validas que expresamos en lenguaje natural. Para haceresta forma logica clara debemos usar una notacion adecuada. Para empezar, utilizaremossımbolos especiales para los conectivos logicos:

Sımbolo En lenguaje natural Nombre tecnico

¬ no negacion

∧ y conjuncion

∨ o disyuncion

→ si . . . entonces condicional

↔ si y solo si bicondicional

(2.15)

Los conectivos son algunas veces representados de manera diferente. Algunas personasusan “&” en lugar de “∧” y “≡” en lugar de “↔”, pero lo importante no es el sımboloque se use sino su significado (el cual es presentado formalmente en la seccion 2.5).Denotaremos proposiciones basicas (tambien llamadas proposiciones atomicas) con lasletras minusculas p, q, r, etc. Para denotar proposiciones arbitrarias que pueden conteneralgunos de los conectivos de la tabla (2.15) utilizaremos las letras griegas minusculasϕ,ψ, χ, etc.

Disyuncion inclusiva y exclusiva El sımbolo “∨” denota disyuncion inclusiva, tal y co-mo se entiende en “para aprobar el examen se debe contestar correctamente las preguntas3 o 4”: uno espera no ser penalizado si ambas preguntas se responden correctamente.Esto difiere de la disyuncion exclusiva (frecuentemente representada con “⊕”) que apareceen enunciados como “te puedes casar con Blancanieves o Cenicienta”, cuyas opciones nodeben ser ambas verdaderas. De aquı en adelante la palabra “disyuncion” sera interpre-tada como “disyuncion inclusiva”.

Ahora podemos escribir frases en lenguaje natural como ‘formulas’ con los sımbolosque hemos definido. Por ejemplo, considere la siguiente descripcion de las cartas de unoponente:

Frase “El tiene un as si no tiene un diamante o un trebol”

Formula logica ¬(d ∨ t)→ a

Es util ver esta traduccion como un proceso que se realiza en varios pasos. En caso de quela traduccion de una frase no sea clara, siempre es posible realizar el proceso paso a pasopara identificar donde se toma la decision importante.


El tiene un as si no tiene un diamante o un trebol,

Si (el no tiene un diamante o un trebol) entonces (tiene un as)

(el no tiene un diamante o un trebol)→ (tiene un as)

no es cierto que (el tiene un diamante o un trebol)→ (tiene un as)

¬ (el tiene un diamante o un trebol)→ (tiene un as)

¬ ((el tiene un diamante) o (el tiene un trebol))→ (tiene un as)

¬ ((el tiene un diamante) ∨ (el tiene un trebol))→ (tiene un as)

¬(d ∨ t)→ a

Algunos autores aceptan como traducciones enunciados en los cuales las proposicionesbasicas se mantienen intactas, reemplazando tan solo los conectivos logicos por su sımbo-lo, de manera similar a lo que sucede en el lenguaje matematico. Esta combinacion puedeser util (el uso de los sımbolos de los conectivos enriquece el lenguaje natural y es posible-mente mas facil de entender), pero para nosotros sera mas util trabajar con traduccionescompletas en las cuales las proposiciones son reemplazadas totalmente por su formalogica.

Ambiguedad Engeneral el procesode transformar frases del lenguaje natural a su formalogica no es sencillo: es posible encontrar problemas de interpretacion. Algunas frases enlenguaje natural pueden ser ambiguas, es decir, pueden tener dos o mas interpretacionesdiferentes. Por ejemplo, la frase “si tiene plumas entonces vuela o nada” puede dar lugara dos formas logicas diferentes:

(a) Si tiene plumas, entonces vuela o nada. p→ (v ∨ n)

(b) Si tiene plumas entonces vuela, o nada. (p→ v) ∨ n(2.16)

Una de las virtudes de la notacion formal es que dichas diferencias pueden ser identifi-cadas facilmente, en este caso mediante el uso de parentesis, algo que no se puede hacercon el lenguaje natural.

Como ejemplo adicional, para algunas personas la frase “te dare una cachetada (c) site quejas (q)” tiene la forma de una implicacion (q → c) mientras que para otras tienela forma de una equivalencia (q ↔ c). Las negaciones en lenguaje natural pueden serparticularmente complicadas. Considere la siguiente pregunta, famosa en experimentospsicologicos y difıcil de responder para mucha gente:

¿Cuantas negaciones hay en la frase “nada es demasiado trivial como para serignorado”, y cual es su significado?

Lenguaje formal y arboles sintacticos Para los logicos, la notacion que hemos presen-tado es mas que una herramienta que ayuda a hacer el lenguaje natural mas preciso.Es importante tambien porque define un lenguaje artificial (tambien llamado lenguajeformal).

2.4. EL LENGUAJE DE LA LOGICA PROPOSICIONAL 2-11

Las formulas de este lenguaje se construyen a partir de proposiciones basicas, represen-tadas por las letras p, q, r, etc, mediante la aplicacion de los conectivos logicos (y losparentesis a fin de evitar ambiguedades).

Ejemplo 2.4 La formula ((¬p ∨ q) → r) se construye paso a paso a partir de las proposi-ciones basicas p, q y rmediante la aplicacion sucesiva de las siguientes reglas:

(a) a partir de p se construye ¬p,(b) a partir de ¬p y q se construye (¬p ∨ q)(c) a partir de (¬p ∨ q) y r se construye ((¬p ∨ q)→ r)

Este tipode construcciones puede ser representadamediante arboles sintacticos quenodanlugar a ambiguedad alguna. A continuacion mostramos el arbol tanto para la formulaanterior como para una variante. Matematicamente, la representacion con formulas esequivalente a la representacion con arboles, pero estas difieren en la claridad. Ademas,las estructuras tipo arboles han sido ampliamente estudiadas y utilizadas enMatematicas,Linguıstica y otras areas:

((¬p ∨ q)→ r)

(¬p ∨ q)

¬p

p

q

r

(¬(p ∨ q)→ r)

¬(p ∨ q)

(p ∨ q)

p q

r

Ahora estamos listos para la definicion formal del lenguaje de la Logica Proposicional.Hay dos formas de hacerlo, y las dos tienen la misma esencia: ambas son definicionesinductivas (en el apendice A se puede encontrar mas informacion sobre este concepto). Heaquı la primera:

Toda proposicion basica (p, q, r, . . .) es una formula. Si ϕ es una formula, en-tonces¬ϕ tambien es una formula. Siϕ1 yϕ2 son formulas, entonces (ϕ1∧ϕ2),(ϕ1 ∨ ϕ2), (ϕ1 → ϕ2) y (ϕ1 ↔ ϕ2) tambien son formulas. Ninguna otra expre-sion es una formula.

Observe como la formula del ejemplo 2.4 fue construida siguiendo esta ‘receta’ adecuada-mente, es decir, la construccion de dicha formula es una instancia de la definicion anterior(la definicion esta dada en terminos abstractos, usando las variables ϕ1 y ϕ2 para referirsea formulas arbitrarias). Otra opcion es usar la notacion BNF (la forma Backus-Naur, llama-da ası en honor de John Backus y Peter Naur, quienes la crearon para definir la sintaxis delos lenguajes de programacion), que es aunmas abstracta pero tiene el mismo significado.


Definicion 2.5 (lenguaje de la Logica Proposicional) SeaPunconjuntode letrasproposi-cionales basicas, y sea p ∈ P.

ϕ ::= p | ¬ϕ | (ϕ ∧ ϕ) | (ϕ ∨ ϕ) | (ϕ→ ϕ) | (ϕ↔ ϕ)

Esta definicion indica como construir objetos del tipo formulas en la Logica Proposicional(en este capıtulo, simplemente formulas). La definicion indica que una formula ϕ puedeser una proposicion basica (p), o la negacion de una formula (¬ϕ), o la conjuncion de dosformulas (ϕ ∧ ϕ), y ası sucesivamente. Este mecanismo nos permite construir formulaspaso a paso, tal y como en el ejemplo anterior.

En la practica, los parentesis son frecuentemente omitidos, y tan solo son utilizadoscuando son necesarios para evitar ambiguedad. Por ejemplo, la expresion p∨ q∧ r puedecorresponder a ((p ∨ q) ∧ r) (una formula que, para ser verdadera, requiere que r seaverdadera) pero tambien a (p ∨ (q ∧ r)) (una formula que es verdadera si p es verdadera).

Ejercicio 2.6 Escribe como formulas de la Logica Proposicional los siguientes enunciados:

Solo ire a la escuela si me dan una galleta ahora mismo.

Juan y Marıa estan corriendo.

Un extranjero tiene derecho a la seguridad social si esta empleado legalmente o si ha estadoempleado legalmente hace menos de tres anos, a menos que tenga actualmente un empleoen el extranjero.

Ejercicio 2.7 ¿Cuales de las siguientes expresiones son formulas de la Logica Proposicional?

p→ ¬q

¬¬ ∧ q ∨ p

p¬q

Ejercicio 2.8 Construya arboles sintacticos para las siguientes formulas:

(p ∧ q)→ ¬q

q ∧ r ∧ s ∧ t (construya todos los arboles posibles).

El hecho de que existan varios arboles sintacticos para la formula q ∧ r ∧ s ∧ t nos indica que estaexpresion puede ser leıda de varias maneras diferentes. ¿Que tan perjudicial es esta ambiguedad?,¿por que?

Una observacion importante Observe como las formulas y los arboles sintacticos sonentidades puramente simbolicas que carecen de un significado concreto. Historicamente,la diferencia entre la forma y el significado se volvio importante tan solo a partir deldesarrollo de las Matematicas durante el siglo XIX. La mayorıa de las frases en lenguajenatural y en el razonamiento practico involucran tambien el significado de los sımbolosutilizados (amenosque estemos enunafiesta y seayamuy tarde). Los analisis de lenguajesa un nivel puramente sintactico se han vuelto la base para establecer conexiones entreLogica,Matematicas y Ciencias de la Computacion, areas en las cuales los procesamientospuramente simbolicos juegan un papel importante.

2.5. SITUACIONESSEMANTICAS,TABLASDEVERDADYARITMETICABINARIA2-13

Logica, lenguaje, computacion y pensamiento Para aquellos con conocimiento en elarea, los arboles sintacticos anteriores pueden ser un recordatorio de los arboles de anali-sis en gramaticas para lenguajes naturales. De hecho, las traducciones entre formas logi-cas y formas linguısticas son importantes cuando se establecen conexiones entre Logicay Linguıstica, recientemente (siglo XX) mediante el uso de modelos matematicos. Lasconexiones entre lenguajes formales y lenguajes naturales se han vuelto importantes enareas tales como la Linguıstica Computacional y la Inteligencia Artificial, por ejemp-lo para establecer comunicacion entre los seres humanos con su lenguaje natural y lascomputadoras con sus lenguajes simbolicos. De hecho, los arboles sintacticos puedenentenderse de dos maneras diferentes que corresponden a dos temas principales en estasareas. De arriba hacia abajo analizan expresiones complejas en terminos de las expresionesmas simples que las forman: el proceso de analizar frases. Pero de abajo hacia arriba nosindican como construir nuevas frases: el proceso de generacion del lenguaje.

La relacion entre lenguajes naturales y lenguajes formales tambien ha sido discutida larga-mente desde un punto de vista filosofico. El nivel abstracto de los lenguajes formales hasido considerado como una forma de lenguaje ’universal‘ para el pensamiento, trascendi-endo las diferencias entre lenguajes naturales (y tal vez entre culturas). Tambien se puedeentender el lenguaje formal como una forma de reemplazar las formas confusas y am-biguas del lenguaje natural con las formas claras y precisas de un lenguaje formal a fin derealizar razonamiento de manera formal, que es precisamente lo que los primeros logicostenıan en mente cuando afirmaban que los lenguajes naturales son ‘sistematicamente en-ganosos’. Pero hay otras opiniones,menos radicales y tal vezmas realistas desde un puntode vista cognitivo empırico, que ven esta relacion como una forma de crear hıbridos entreformas de expresion existentes y nuevas formas de expresion disenadas artificialmente.Como ejemplos de esto tenemos el lenguaje de las Matematicas, que esta constituido porel lenguaje natural mas una base creciente de sımbolos, o la manera en que las Cien-cias de la Computacion extienden nuestro repertorio natural de expresiones y medios decomunicacion.

2.5. Situaciones semanticas, tablas de verdad y Aritmetica Bina-ria

En los lenguajes formales las diferencias en la sintaxis generalmente conllevan diferenciasen significado, tal y como lo muestran los arboles sintacticos anteriores. Para explicar estode manera mas precisa necesitamos una forma de asignar un significado a formulas,es decir, una manera de determinar cuando una formula es verdadera o falsa en unasituacion dada.

Valores de verdad para proposiciones basicas Como hemos dicho anteriormente, cadaconjunto de proposiciones basicas {p, q, r, . . .} genera un conjunto de situaciones posibles,describiendo las diferentes formas en que la situacion real podrıa ser. Por ejemplo, tresproposiciones basicas generan 23 = 8 situaciones posibles:

{pqr, pqr, pqr, pqr, pqr, pqr, pqr, pqr} (2.17)


Las proposiciones basicas pueden ser entendidas como proposiciones atomicas, es decir,entidades indivisibles. Los conectivos logicos pueden ser entendidos entonces como ope-raciones que nos permiten construir ‘moleculas’. Es importante enfatizar que somosnosotros quienes decidimos en que situaciones consideraremos un enunciado como unaproposicion basica, indicando de esta forma que los detallesmas finos no son importantespara nosotros.

Una manera de representar una situacion posible es mediante una funcion V que asignaun valor de verdad, “1” (verdadero) o “0” (falso) a cada proposicion basica. Por ejemplo,la situacion pqr corresponde a la funcion que asigna “1” a p, “0” a q y “1” a r. Aunque losvalores de verdad tambien pueden ser indicados con letras (v en lugar de “1” y “ f” enlugar de 0), nosotros utilizaremos numeros para enfatizar la conexion que existe con laAritmetica Binaria (la base del funcionamiento de una computadora). Cada una de estasfunciones V que representan situaciones posibles son llamadas evaluaciones; V(p) = 1indica que la proposicion basica p es verdadera en la situacion (representada por) V,y V(p) = 0 indica que p es falsa en la situacion V. Como notacion alternativa tambienescribiremos V |= p para indicar V(p) = 1, y V �|= p para indicar V(p) = 0. Si V |= pentonces decimos que “V hace verdadera a p”, que “V satisface a p” o que “V es unmodelode p”. Aunque no sera muy utilizado en este capıtulo, el sımbolo “|=” sera muy utilposteriormente.

Operaciones booleanas sobre valores de verdad Dada una situacion posible V, esposible decidir si una proposicion atomica es verdadera o falsa. Para poder hacer lomismocon formulas mas complejas necesitamos algo mas: necesitamos definir el significado delos conectivos logicos (es decir, las operaciones logicas) que las forman. El significado delos conectivos se define en base a su interpretacion intuitiva; por ejemplo, si V(p) = 0,entonces V(¬p) = 1 y viceversa, si V(p) = 1, entonces V(¬p) = 0. Estas definiciones sonmas faciles de representar en una tabla.

Definicion 2.9 (semantica de la Logica Proposicional) Una evaluacion esuna funcionqueasigna un valor de verdad (0 o 1) a cada proposicion basica. Dada una evaluacion, el val-or de verdad de proposiciones basicas puede ser obtenido inmediatamente. El valor deverdad de formulas mas complejas se obtiene a partir del valor de verdad de las proposi-ciones basicas que la componen y los conectivos logicos utilizados, tal y como se muestraen las siguientes tablas de verdad.

ϕ ¬ϕ

0 1

1 0

ϕ ψ ϕ ∧ ψ ϕ ∨ ψ ϕ→ ψ ϕ↔ ψ

0 0 0 0 1 1

0 1 0 1 1 0

1 0 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1

(2.18)

La tabla nos indica los valores de verdad que asignan los conectivos logicos en todas lascombinaciones de valores de verdad posibles: dos en el caso de conectivos con un argu-

2.5. SITUACIONESSEMANTICAS,TABLASDEVERDADYARITMETICABINARIA2-15

mento (negacion), y cuatro en los casos de conectivos con dos (conjuncion, disyuncion,condicional y bicondicional).

Explicacion Las tablas para la negacion, conjuncion, disyuncion y bicondicional corres-ponden a nuestra idea intuitiva. Sin embargo, la tabla para la condicional ha generadomucho debate debido a que no concuerda exactamente con el significado de la expresion“implica” en lenguaje natural. Por ejemplo, si el antecedente (la condicion) ϕ es falso y elconsecuente es ψ verdadero, ¿la condicional ϕ → ψ es verdadera? Se podrıa argumentarque en este caso la condicional deberıa estar indefinida, pero recuerde que trabajamosasumiendo que tenemos tan solo dos valores de verdad, verdadero y falso.

He aquı un ejemplo que ha ayudado a muchos estudiantes. La afirmacion “Todos losnumeros mayores que 13 son mayores que 12” es claramente verdadera. Otra forma dedecir lo mismo es afirmando que “si un numero n es mayor que 13 (p), entonces n esmayor que 12 (q)”. Tomemos la condicional p→ q; ahora podemos justificar los casos enlos cuales esta es verdadera asignando distintos valores a n. El caso en el que p → q esverdadera debido a que p y q son ambas verdaderas se justifica con n = 14; el caso en elque p→ q es verdadera porque p es falsa y q verdadera se justifica con n = 13; el caso enel que p→ q es verdadera porque p y q son ambas falsas se justifica con n = 12.

Las diferencias entre el lenguaje natural y el lenguaje logico formal pueden ser muyutiles. Los condicionales son tema importante de investigacion en Logica, y hay muchaspropuestas que tratan de representarlos de una manera que refleje mejor su compor-tamiento. La Logica Proposicional es el sistema mas simple que existe, pero hay otrossistemas logicos que exploran otros aspectos de la implicacion en el lenguaje natural y enel razonamiento comun. Algunos de estos sistemas se estudiaran mas adelante.

Obteniendo valores de verdad para formulas complejas ¿Como se obtienen los valo-res de verdad para formulas complejas? Una forma de hacerlo es utilizar las tablas deverdad paso a paso, empezando con las proposiciones basicas y siguiendo el orden deconstruccion representado en los arboles sintacticos. Por ejemplo, sea V una evaluaciontal que V(p) = V(q) = 1 y V(r) = 0, y considere las siguientes formulas:

((¬p ∨ q)→ r 0

(¬p ∨ q) 1

¬p 0

p 1

q 1

r 0

(¬(p ∨ q)→ r) 1

¬(p ∨ q) 0

(p ∨ q) 1

p 1 q 1

r 0

Esto nos indica que V((¬p ∨ q) → r) = 0 y V(¬(p ∨ q) → r) = 1. Observe como losvalores de verdad de las formulas son diferentes. Esta es la razon por la cual sus frases


correspondientes en lenguaje natural tienen diferente significado.

Estos calculos se pueden realizar para todas las situaciones posibles, y de esta formapodemos construir una tabla de verdad describiendo completamente el comportamientode formulas complejas.

p q r ((¬p ∨ q)→ r) (¬(p ∨ q)→ r)

0 0 0 0 0

0 0 1 1 1

0 1 0 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 1 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0 1

1 1 1 1 1

(2.19)

Estos valores se pueden calcular paso a paso respetando el orden impuesto por losparentesis. Por ejemplo, tomemos la segunda formula de (2.19). Primero hacemos unalista con todas las situaciones posibles (las primeras tres columnas), y despues copiamoslos valores de verdad de cada proposicion basica en donde sea necesario.

p q r (¬ (p ∨ q) → r)

0 0 0 · 0 · 0 · 0

0 0 1 · 0 · 0 · 1

0 1 0 · 0 · 1 · 0

0 1 1 · 0 · 1 · 1

1 0 0 · 1 · 0 · 0

1 0 1 · 1 · 1 · 1

1 1 0 · 1 · 0 · 0

1 1 1 · 1 · 1 · 1

(2.20)

Ahora podemos calcular los valores de verdad que impone el primer conectivo. En estecaso dicho conectivo es la disyuncion, ya que es el unico que tiene explıcitos los valoresde verdad de todos sus argumentos (esto se puede observar tambien en el arbol sintacticode la formula). La subformula (p ∨ q) es falsa (0) si y solo si p y q son ambas falsas (0).El resultado de este paso se muestra en la primera tabla de (2.21). Los siguientes pasos,en los cuales se calculan las tablas de la negacion y luego la condicional, aparecen en lastablas que le siguen.

2.6. INFERENCIA VALIDA Y CONSISTENCIA 2-17

(¬ (p ∨ q) → r)

· 0 0 0 · 0

· 0 0 0 · 1

· 0 1 1 · 0

· 0 1 1 · 1

· 1 1 0 · 0

· 1 1 1 · 1

· 1 1 0 · 0

· 1 1 1 · 1

(¬ (p ∨ q) → r)

1 0 0 0 · 0

1 0 0 0 · 1

0 0 1 1 · 0

0 0 1 1 · 1

0 1 1 0 · 0

0 1 1 1 · 1

0 1 1 0 · 0

0 1 1 1 · 1

(¬ (p ∨ q) → r)

1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 1

0 0 1 1 1 0

0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 1 0

0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 0

0 1 1 1 1 1

(2.21)

Por supuesto, estos calculos se pueden realizar en una sola tabla siempre y cuando losvalores de verdad de las subformulas se calculen en el orden correcto.

Ejercicio 2.10 Construya tablas de verdad para las siguientes formulas:

(p→ q) ∨ (q→ p).

((p ∨ ¬q) ∧ r)↔ (¬(p ∧ r) ∨ q).

Ejercicio 2.11 Usando tablas de verdad determine cuales pueden ser las diferentes interpreta-ciones de la expresion

¬p→ q ∨ r

(es decir, coloque parentesis en el lugar adecuado), y muestre por que estas no son equivalentes.

“Si”, “solo si” y “si y solo si” A continuacion se listan algunas formas de expresarcondicionales:

si p entonces q p→ q

p si q q→ p

p solo si q p→ q

La tercera expresion podrıa parecer extrana. Para entender el porque de ella podemospensar en terminos de la frase “te ayudamos solo si nos ayudas”, que es falsa tan solocuando “te ayudamos ” es verdadera pero “nos ayudas” es falsa.

El uso de “si” y de “solo si” explican el uso de la abreviacion “si y solo si” en lugar de labicondicional. Una frase de la forma “P si y solo si Q” indica que si P entonces Q y que siQ entonces P. La frase “si y solo si” se abrevia frecuentemente como “ssi”.

2.6. Inferencia valida y consistencia

Ahora podemos definir formalmente el concepto de inferencia valida en Logica Proposi-cional. Esta definicion es mas precisa que la definicion presentada en la pagina 2-3.


El concepto de inferencia valida se define en terminos de todas las situaciones posibles.Como veremos dentro de un momento, podemos utilizar tablas de verdad para verificarsi una inferencia dada es valida o no. En la siguiente definicion, k representa a un numerocualquiera (si k = 0, entonces no hay premisas).

Definicion 2.12 (inferencia valida) Se dice que una inferencia que nos lleva de un con-junto finito de premisas ϕ1, . . . , ϕk a una conclusionψ es una inferencia valida, en sımbolos,

ϕ1, . . . , ϕk |= ψ,

si y solo si toda evaluacion V que cumple V(ϕ1) = . . . = V(ϕk) = 1 tambien cumpleV(ψ) = 1. En este caso tambien diremos que la inferencia produce una consecuencia valida,o que ψ es una consecuencia logica de ϕ1, . . . , ϕk.

Definicion 2.13 (equivalencia logica) Si tenemos ϕ |= ψ y ψ |= ϕ, entonces decimos queϕ y ψ son equivalentes logicamente.

No esta de mas repetir la advertencia hecha anteriormente: si lo unico que sabemos esque una inferencia dada es valida, no podemos decir nada acerca del valor de verdad dela conclusion. Como se menciono anteriormente, una inferencia valida garantiza que suconclusion es verdadera solo cuando todas las premisas son verdaderas. En otras palabras, sisabemos que una inferencia es valida, solo podemos descartar situaciones en las cualestodas las premisas son verdaderas pero la conclusion no.

Otro punto que es importante enfatizar es que una inferencia valida nos ayuda no soloa establecer mas verdades a partir de las que ya conocemos, sino tambien a refutarenunciados: si una inferencia es valida pero su conclusion es falsa, al menos una de laspremisas debe ser falsa (aunque, en general, esto no nos dice cual). De hecho, muchosfilosofos han afirmado que el uso de la Logica como herramienta de refutacion podrıa serelmas importante, ya que es la base del proceso de aprendizaje, durante el cual descartamosposibilidades cuando estas contradicen los hechos.

El siguiente ejemplo nos muestra como podemos utilizar tablas de verdad para verificarla validez una inferencia.

Ejemplo 2.14 (modus tollens) El patron de refutacion mas simple es conocido comomodus tollens:

ϕ→ ψ,¬ψ |= ¬ϕ.

A continuacion se muestra la tabla de verdad que prueba la validez de esta inferencia.

ϕ ψ ϕ→ ψ ¬ψ ¬ϕ

0 0 1 1 1 !!

0 1 1 0 1

1 0 0 1 0

1 1 1 0 0

(2.22)

Hay cuatro situaciones posibles, pero solo una de ellas hace verdaderas a ambas premisas(la primera evaluacion). Dado que la conclusion tambien es verdadera en esta situacion,podemos concluir que la inferencia es valida.

2.6. INFERENCIA VALIDA Y CONSISTENCIA 2-19

Cuandouna inferencia es invalida debe haber almenos una situacion (i.e., una evaluacion)que hace verdaderas a todas las premisas pero hace falsa a la conclusion. Estas situacionesson llamadas contraejemplos. La tabla del ejemplo anterior tambien nos proporciona uncontraejemplo para otra inferencia discutida anteriormente:

a partir de ϕ→ ψ y ¬ϕ se infiere ¬ψ

Dicho contraejemplo es la segunda evaluacion, bajo la cual ϕ → ψ y ¬ϕ son ambasverdaderas pero ¬ψ es falsa.

Observe que el hecho de que una inferencia sea invalida no implica que todas las evalua-ciones que satisfacen a todas las premisas ϕi deben hacer la conclusion ψ falsa. De hecho,si este fuera el caso, esto demostrarıa la validez de cierta inferencia: la refutacion de ψ:

ϕ1, . . . , ϕk |= ¬ψ (2.23)

Consistencia Finalmente, he aquı otro concepto logico importante.

Definicion 2.15 (consistencia) Un conjunto de formulas Φ = {ϕ1, . . . , ϕk} es consistente siy solo sı existe una evaluacion que satisface a todas las formulas de Φ.

Cuando un conjunto de formulas no es consistente tambien decimos que es inconsistente:no hay evaluaciones que satisfagan a todas las formulas del conjunto.

Note que consistencia no es lo mismo que verdad. Que un conjunto de formulas seaconsistente no significa que todas sus formulas sean siempre verdaderas, tan solo queexiste una situacion en la cual todas son verdaderas. Esta nocion es muy util. Cuandoconversamos con alguien, generalmente es difıcil comprobar que todo lo que nos dice escierto (por ejemplo, sus historias acerca de sus vacaciones o acerca de lo inteligente queson sus hijos), y generalmente le creemos siempre y cuando la historia sea consistente.Otro ejemplo es la labor de un abogado defensor. El no tiene que demostrar que su clientees inocente: tan solo tiene que demostrar que las pruebas presentadas en su contra y suinocencia son consistentes.

Para verificar consistencia tambien podemos utilizar la tabla de verdad. Simplementehay que buscar el renglon (i.e., la evaluacion) que hace verdaderas a todas las formulas.De hecho, validez y consistencia estan fuertemente relacionadas: a partir de nuestrasdefiniciones podemos concluir que

ϕ |= ψ si y solo si {ϕ,¬ψ} no es consistente. (2.24)

Tautologıas Revisemos ahora las ‘leyes’ de nuestro sistema:

Definicion 2.16 (tautologıa) Una formula ψ es una tautologıa (en sımbolos, |= ψ) cuandoes verdadera en toda evaluacion, es decir, en todas las situaciones posibles. Una tautologıatambien es llamada una formula valida.


Muchas tautologıas son conocidas como ‘leyes’ de la Logica Proposicional, y pueden serusadas para realizar inferencias o para simplificar afirmaciones. He aquı algunas de ellas:

Doble negacion ¬¬ϕ↔ ϕ

Leyes de De Morgan ¬(ϕ ∨ ψ)↔ (¬ϕ ∧ ¬ψ)

¬(ϕ ∧ ψ)↔ (¬ϕ ∨ ¬ψ)

Leyes de distribucion (ϕ ∧ (ψ ∨ χ))↔ ((ϕ ∧ ψ) ∨ (ϕ ∧ χ))

(ϕ ∨ (ψ ∧ χ))↔ ((ϕ ∨ ψ) ∧ (ϕ ∨ χ))

(2.25)

Se puede verificar que estas formulas son tautologıas construyendo su tabla de verdad yverificando que obtenemos un “1” en todos los renglones.

Una tautologıapuede servista comouna inferencia especial: aquella queno tienepremisas.Sin embargo, tambien podemos utilizar el concepto de de tautologıa para verificar lavalidez de una inferencia cualquiera:

ϕ1, . . . , ϕk |= ψ si y solo si (ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕk)→ ψ es una tautologıa (2.26)

En otras palabras, verificar que una inferencia de las premisas ϕ1, . . . , ϕk a la conclusionψ es valida es equivalente a verificar que la formula (ϕ1 ∧ . . .∧ϕk)→ ψ es una tautologıa.Esta equivalencia sera utilizada frecuentemente.

Ejercicio 2.17 Utilizando tablas de verdad, determine si las siguientes formulas

¬p→ (q ∨ r),¬q

implican

1. p ∧ r.

2. p ∨ r.

Construya la tabla de verdad completa y utilıcela para justificar las respuestas.

Ejercicio 2.18 Utilizando tablas de verdad demuestre que

la inferencia de p→ (q ∧ r) y ¬q a ¬p es valida, y

la inferencia de p→ (q ∨ r) y ¬q a ¬p no es valida.

Ejercicio 2.19 Verifique si las siguientes inferencias son validas (la barra ‘/” separa las premisasde la conclusion):

1. ¬(q ∧ r), q / ¬r.

2. ¬p ∨ ¬q ∨ r, q ∨ r, p / r.

Ejercicio 2.20 Construya las tablas de verdad de las siguientes formulas:

1. (p ∨ q) ∨ ¬(p ∨ (q ∧ r)).

2. ¬((¬p ∨ ¬(q ∧ r)) ∨ (p ∧ r)).

2.7. DEMOSTRACION 2-21

3. (p→ (q→ r))→ ((p→ q)→ (p→ r)).

4. (p↔ (q→ r))↔ ((p↔ q)→ r).

5. ((p↔ q) ∧ (¬q→ r))↔ (¬(p↔ r)→ q).

Ejercicio 2.21 ¿Cuales de los siguientes pares de formulas son equivalentes logicamente? Verifiquesu respuesta mediante tablas de verdad.

1. ϕ→ ψ y ψ→ ϕ

2. ϕ→ ψ y ¬ψ→ ¬ϕ

3. ¬(ϕ→ ψ) y ϕ ∨ ¬ψ

4. ¬(ϕ→ ψ) y ϕ ∧ ¬ψ

5. ¬(ϕ↔ ψ) y ¬ϕ↔ ¬ψ

6. ¬(ϕ↔ ψ) y ¬ϕ↔ ψ

7. (ϕ ∧ ψ)↔ (ϕ ∧ ψ) y ¬ϕ ∧ ¬ψ

2.7. Demostracion

Demostracion: inferencia simbolica Hasta ahora hemos verificado la validez de infe-renciasmediante tablas de verdad, basandonos en el significado semanticode las formulasque la componen. Sin embargo,muchas inferencias se realizanmediantemanipulacion desımbolos. De hecho, los seres humanos generalmente no razonamos construyendo tablasde verdad: generalmente construimos inferencias complejas en base a inferencias sim-ples que conocemos sin pensar mucho en su justificacion. Entre mas inferencias simplessepamos, mas rapido razonamos. De la misma forma, los matematicos realizan frecuente-mente calculos mediante reglas simbolicas (por ejemplo, en Algebra) y, por supuesto, lascomputadoras realizan calculos de manera puramente simbolica (ya que hasta ahora nopueden darse cuenta, como nosotros, de lo que significan sus acciones).

La Logica nos proporciona metodos de razonamiento formales que nos permiten realizardemostraciones, y mas adelante dedicaremos un capıtulo entero a este tema. Aquı pre-sentaremos tan solo las ideas basicas de lo que significa realizar una demostracion si-guiendo un calculo formal.

Presentaremos ahora un sistema axiomatico, organizadodemanera parecida al famoso librode Geometrıa Elementos de Euclides: primero establecemos unos pocos principios basicos(los axiomas) y despues presentamos una manera simple de generar mas principios (losteoremas). El uso sucesivo de estos pasos simples nos lleva a teoremas mas complejos,algunos de ellos sorpresivos.

Definicion 2.22 (axiomatizacion) Una demostracion sintactica es una secuencia finita deformulas en la cual cada formula, o es un axioma, o se obtiene a partir de las formulasanteriores mediante una regla de derivacion. Una formula es un teorema si aparece enalguna demostracion, generalmente como su ultima formula. Un conjunto de axiomas yreglas definen un sistema axiomatico para una logica dada.


A continuacion presentamos un sistema axiomatico para la Logica Proposicional. Losaxiomas se presentan como esquemas (esquemas de axiomas), con letras griegas repre-sentando formulas arbitrarias.

(1) ϕ→ (ψ→ ϕ)

(2) (ϕ→ (ψ→ χ))→ ((ϕ→ ψ)→ (ϕ→ χ))

(3) (¬ϕ→ ¬ψ)→ (ψ→ ϕ)

La unica regla de derivacion, modus ponens, ya ha aparecido anteriormente:

a partir de ϕ y ϕ→ ψ se deriva ψ.

Este sistema axiomatico, desarrollado por el logico Polaco Jan Łukasiewicz, solo nospermite usar dos conectivos logicos: condicional y negacion. En la seccion dedicada aexpresividad (seccion 2.9) se vera por que este vocabulario, que podra parecer limitado,es en realidad suficiente.

En este curso no nos enfocaremos en demostraciones sintacticas, pero es importanteobservar como esta herramienta nos permite demostrar hechos basandonos simplementeen manipulaciones sintacticas (este metodo puede ser interpretado como un juego, comose vera mas adelante). Presentaremos tan solo un ejemplo, para tener una mejor idea desu funcionamiento.

Ejemplo 2.23 Como ejemplo de una demostracion sintactica demostraremos que p → pes un teorema. Semanticamente es claro que esta formula es una tautologıa, pero nuestrointeres es ahora derivarla utilizando tan solo las herramientas que el sistema axiomaticonos proporciona. En la siguiente demostracion utilizaremos instancias concretas de losesquemas de axiomas. Por ejemplo, la primera lınea utiliza el esquema de axioma (1), conla proposicion basica p tomando el lugar de ϕ y la formula q→ p tomando el lugar de ψ.

1. p→ ((q→ p)→ p) Esquema de axioma (1)

2. (p→ ((q→ p)→ p))→ ((p→ (q→ p))→ (p→ p)) Esquema de axioma (2)

3. (p→ (q→ p))→ (p→ p) Modus ponens sobre 1 y 2

4. p→ (q→ p) Esquema de axioma (1)

5. p→ p Modus ponens sobre 3 y 4

En este curso no requeriremos que los estudiantes construyan este tipodedemostraciones,pero es importante desarrollar habilidad para realizarlas ya que esencialmente consistenen manipulaciones puramente simbolicas.

En general, una demostracion se basa no solo en los esquemas de axiomas sino tambienen ciertas suposiciones adicionales. He aquı un ejemplo mas cercano al razonamiento querealizamos en la vida diaria.

2.7. DEMOSTRACION 2-23

Ejemplo 2.24 Utilice tan solo modus ponens y los axiomas de esquemas adecuados paraderivar la solucion al siguiente problema. Se quiere organizar una fiesta respetando lassiguientes incompatibilidades:

(a) Juan es invitado si Marıa o Ana son invitadas.

(b) Ana es invitada si Marıa no es invitada.

(c) Si Ana es invitada, Juan no.

¿A quienes se debe invitar? Hay varias maneras de encontrar la solucion, incluyendolas actualizaciones que estudiaremos en la siguiente seccion. Pero, por ahora, ¿podemosdemostrar cual debe ser la solucion? He aquı un poco de ayuda:

(i) “Si Ana es invitada, Juan no” corresponde a la formula a → ¬ j, (ii) “Anaes invitada si Marıa no es invitada” es ¬m → a, (c) “Juan es invitado siMarıa o Ana son invitadas” puede ser reescrito equivalentemente como unaconjuncion, “Juan es invitado si Marıa es invitada” y “Juan es invitado si Anaes invitada”, que en nuestro lenguaje formal corresponde a las formulasm→ jy a→ j. Ahora podemos demostrar, utilizando los esquemas de axiomas y laregla de derivacion anteriores, que debemos tener ¬a, m y j. ¡A divertirse!

Ası concluimos nuestra primera mirada a los sistemas de demostracion.

Propiedades del sistema: correctitud y completitud Si todos los teoremas de un sistemaaxiomatico dado son tautologıas (formulas validas), entonces decimos que el sistema escorrecto; si todas las tautologıas son teoremas, entonces decimos que el sistema es completo.Correctitud es un requerimiento obvio: uno desea un sistema de demostracion confiable.El sistema que presentamos es correcto, ya que todos los axiomas son tautologıas y launica regla de derivacion,Modus ponens, nos lleva de tautologıas a tautologıas.

Completitudesunasuntodiferente, y engeneral no es facil demostrar queun sistemadadotiene esta propiedad. (¿El sistema de axiomas de Euclides es suficiente para demostrartodas las verdades en Geometrıa? La respuesta tardo varios siglos en ser encontrada,y requirio una reformulacion del sistema.) El sistema que presentamos es completo, ytambien lo son los sistemas de demostracion que seran presentados mas adelante. (Uncaso interesante es el de la Logica de Predicados, que sera discutida en el capıtulo 4. Eldescubrimiento de un sistema completo para ella, realizado por Kurt Godel en su tesis de1929, fue el primer resultado importante en la Logica moderna.)

La demostracion sintactica es tan solo uno de los muchos metodos utilizados en Logicaparaverificar validezde formulas. Tambien tenemos deduccion natural (utilizada frecuente-mente en Teorıa de la Demostracion) y resolucion (utilizada en demostradores automaticosde teoremas). En el capıtulo 9 discutiremos estos metodos con mas detalle.


2.8. Actualizacion de informacion

Ahora podemos definir formalmente un estado de informacion, el contenido informativode una formula, y la manera en la que el estado de informacion cambia. Empecemos conlos dos primeros:

Un estado de informacion es un conjunto de evaluaciones, e indica las situa-ciones que se consideran posibles. Un estado de informacion tambien puedeentenderse como la representacion de la incertidumbre que se tiene, es de-cir, el conjunto de situaciones posibles que no se pueden descartar dada lainformacion actual.

El contenido informativo de una formula ϕ es el conjunto de sus modelos, es decir,el conjunto de evaluaciones que hacen a ϕ verdadera. Este conjunto se denotacomo MOD(ϕ).

El contenido informativo de una formula ϕ tambien puede entenderse como el conjuntode situaciones posibles que no pueden ser descartadas pese a saber que ϕ es cierta.

Actualizacion de informacion mediante eliminacion de posibilidades He aquı la for-ma en que una formula cambia el estado de informacion actual:

Una actualizacion con la informacion ϕ reduce el estado de informacion (esdecir, el conjunto de evaluaciones posibles) manteniendo tan solo aquellasque hacen verdadera a ϕ. En otras palabras, si X es un estado de informacion,al actualizarlo con ϕ este se convierte en la interseccion de X y MOD(ϕ),quedando entonces eliminadas aquellas evaluaciones en las cuales ϕ es falsa(si es que habıa alguna).

La Logica Proposicional nos permite de esta forma representar cambios de informacionbasicos en los cuales el estado de informacion se reduce al recibir informacion nueva. Ob-serve como entremas pequeno sea el estado de informacion, se tienemenos incertidumbrey, por lo tanto, mas conocimiento.

Esto no es nuevo. En ejemplos anteriores hemos visto que inferencias tales como

“a partir de p ∨ q y ¬p se infiere q”

pueden ser representadas como un proceso que se inicia en un estado de conocimientomınimo (es decir, maxima incertidumbre: todas las evaluaciones se consideran posibles)y en el cual cada premisa actualiza el estado de informacion.

Veamos otro ejemplo. Considere la pregunta hecha en el ejercicio 2.3 (pagina 2-8):

¿Que informacion proporcionan las premisas p ∨ q y ¬p ∨ r?

2.8. ACTUALIZACION DE INFORMACION 2-25

A continuacion se muestra la forma en que estas premisas cambian el estado de informa-cion:

estado inicial {pqr, pqr, pqr, pqr, pqr, pqr, pqr, pqr}

actualizacion con p ∨ q {pqr, pqr, pqr, pqr, pqr, pqr}

actualizacion con ¬p ∨ r {pqr, pqr, pqr, pqr}

(2.27)

A partir de estas premisas podemos concluir correctamente cualquier formula que seaverdadera en las cuatro evaluaciones que no son eliminadas. Una de ellas es la disyuncionq ∨ r, la cual es la respuesta que la llamada regla de resolucion proporciona en muchossistemas de razonamiento automatico. Observe, sin embargo, como las premisas son masfuertes que esta conclusion q∨ r, ya que nos permiten eliminar evaluaciones que q∨ r porsı sola no eliminarıa (por ejemplo, aunque las premisas nos permitieron eliminar pqr, laformula q∨rpor sı solanonospermitirıa hacerlo, yaque esverdadera endicha evaluacion).¿Como podemos entonces obtener una conclusion que sea tan fuerte como sus premisas?Una posibilidad es ‘comprimir’ las premisas en una sola usando la conjuncion:

(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r) (2.28)

En la practica esta idea nos puede llevar a formulas muy complejas, y es preferible tenerdescripciones mas manejables de toda la informacion que nos proporcionan las premisasdadas. Algunos principios del Algebra Booleana (ver 2.36) seran utiles en estos casos.

Planificacion Elmetodo de actualizacion de informacion es tambien util para solucionarproblemas de planificacion. El ejemplo de la fiesta, presentado en la seccion 2.7 (ejemplo2.24), es una muestra de esto. ¿Se puede invitar a gente a una fiesta bajo las restriccionesmencionadas? Una forma de verificarlo es realizar actualizaciones de informacion a partirde un estado inicial en el que no descartamos ninguna posibilidad:

{maj,maj,maj,maj,maj,maj,maj,maj} (2.29)

Las tres restricciones funcionan como premisas, actualizando el estado de informacion ydescartando entonces las evaluaciones que son incompatibles con cada una de ellas. Heaquı cada uno de los pasos:

(a) (m ∨ a)→ j {maj,maj,maj,maj,maj}

(b) ¬m→ a {maj,maj,maj}

(c) a→ ¬ j {maj}

(2.30)

En este caso particular hay una unica solucion, pero en general puede haber mas de unao inclusive ninguna.

Juegos y procesamiento de informacion El proceso de actualizacion puede describir laforma en la que la informacion cambia en juegos tales comoMente maestra, en el cual unjugador intenta adivinar una secuencia de colores oculta (sin colores repetidos). En cada


ronda el jugador propone una secuencia, y recibe como respuesta una marca negra (•)por cada color correcto en una posicion correcta, y una marca blanca (◦) por cada colorcorrecto en una posicion incorrecta.

Por ejemplo, suponga que hay cuatro colores disponibles, rojo, blanco, azul y naranja, ytres posiciones. Suponga ademas que la secuencia oculta es rojo-blanco-azul. He aquı unatabla describiendo una partida e indicando el numero de secuencias que son posiblesdespues de cada respuesta:

Propuesta Respuesta Posibilidades restantes

Inicio 24

rojo-naranja-blanco •◦ 6

blanco-naranja-azul •◦ 2

azul-naranja-rojo ◦◦ 1

Los numeros pueden ser verificados realizando las actualizaciones.

A pesar de queMente maestra puede ser jugado de manera individual (una computadorapuede dar la respuesta a cada propuesta), hay variantesmas interactivas que se utilizan enexperimentos que intentan determinar la forma en la que los ninos razonan en situacionesque involucran a varios agentes. Temas tales como actualizaciones con varios agentes ysu aplicacion a juegos mas reales seran estudiados en los capıtulos 5 y 7.

2.9. Expresividad

Un lenguaje logico no es tan solo una herramienta auxiliar para el estudio de inferencias yactualizaciones; es tambien un lenguaje que puede ser usado de la misma forma que otroslenguajes: para declarar verdades (y falsedades), para comunicar hechos, etc. Desde estaperspectiva es importante conocer la expresividad de un lenguaje logico: ¿que podemosdecir con el?

A primera vista, el lenguaje de la Logica Proposicional podrıa parecer limitado. Podemosutilizar conectivos para crear frases complejas, pero no podemos analizar frases enmuchodetalle: “Horatio Nelson murio en Trafalgar” puede ser representada tan solo como p.Pero la verdadera prueba consiste en verificar que tan expresivo es el lenguaje ‘en supropio campo’. Y aquı nos encontramos con una sorpresa agradable:

¡La Logica Proposicional es bastante expresiva! Hay un total de dieciseis operacionesbooleanas con dos argumentos (las dieciseis formas posibles de asignar valores a lascuatro combinaciones de valores de verdad de los dos argumentos), y algunas de ellascorresponden a expresiones en lenguaje natural. Por ejemplo, la disyuncion exclusiva ϕ⊕ψcorresponde en lenguaje natural a la frase “tenemos ϕ o ψ pero no ambos”. Compare sutabla de verdad, que aparece abajo, con la de la disyuncion inclusiva “∨”:

2.9. EXPRESIVIDAD 2-27

ϕ ψ ϕ ⊕ ψ ϕ ∨ ψ

0 0 0 0

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 1

Observe como podemos obtener la misma tabla de verdad si definimos la disyuncionexclusiva ϕ ⊕ ψ en terminos de los conectivos que ya tenemos:

(ϕ ∨ ψ) ∧ ¬(ϕ ∧ ψ) o, alternativamente, ¬(ϕ↔ ψ) (2.31)

Este metodo funciona no solo para la disyuncion exclusiva.

Las dieciseis operaciones booleanas pueden ser definidas en terminos de losconectivos ¬,∧ y ∨.

Como ejemplo,

la tabla de verdad de la implicacion ϕ→ ψ es identica a la tabla de verdad de¬ϕ ∨ ψ y tambien a la de ¬(ϕ ∧ ¬ψ).

De hecho, “¬” y “∧” son suficientes para definir todas las operaciones, y tambien lo son“¬” y “∨”, y “¬” y “→” (la axiomatizacion de la Logica Proposicional presentada en laseccion 2.7 se basa en este ultimo hecho).

Ejercicio 2.25 Defina todas las operaciones booleanas unicamente en terminos de “¬” y “∧”.

Ejercicio 2.26 Defina todas las operaciones booleanas unicamente en terminos “¬” y “→”.

Inclusive existe una operacion que, por sı misma, es capaz de definir a todas las demas:la barra de Sheffer

ϕ | ψ,

definido como ¬(ϕ ∧ ψ) (o, equivalentemente, como ¬ϕ ∨ ¬ψ).

El lenguaje proposicional nos permite entonces expresar cualquier cosa que queramosdecir acerca de proposiciones que pueden ser verdaderas o falsas.

Esta es tan solo una de las muchas caracterısticas de definibilidad de la Logica Proposi-cional. He aquı otra, que presentamos sin discutirla en detalle: cualquier formula proposi-cional, sin importar su complejidad, es equivalente a una conjuncion de disyunciones deproposiciones basicas o sus negaciones. A esto se le conoce como la “forma normal con-juntiva” (tambien existe una formal normal disyuntiva: una disyuncion de conjunciones deproposiciones basicas o sus negaciones). Por ejemplo, la forma normal conjuntiva de unadisyuncion exclusiva p ⊗ q es

(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q). (2.32)


Buscando un balance Hay, ciertamente, muchas cosas que no pueden ser expresadasen la Logica Proposicional. Los siguientes capıtulos presentan lenguajes mas expresivos,tales como la Logica de Predicados o la Logica Epistemica. Sin embargo, algo importantea tener en cuenta es el balance. Tanto en Logica como en Ciencia, el arte esta en ser tansimple como sea posible: ‘la sencillez es belleza’. Un lenguaje poco expresivo puede tenerpropiedades especiales que lo hacen elegante y util. La Logica Proposicional cumple sutarea al permitirnos descubrir patrones de razonamiento basicos. Ademas, su reducidaexpresividad nos permite trabajar con modelos semanticos y metodos de demostracionsimples y elegantes. Para lenguajes mas expresivos generalmente necesitamos modelosmas elaborados y metodos de demostracion mas complejos.

El contenido estandar de este capıtulo llega hasta aquı. Las secciones siguientes contienen topicosespeciales que nos permiten ubicar a la Logica Proposicional en un contexto cientıfico mas amplio.

2.10. Un panorama — Logica, Matematicas y Computacion

El estudio de fenomenos logicos con herramientas matematicas ha sido historicamenteexitoso, y el estudio del lenguaje logico presentado nos da ideas sobre su poder expresivo,tal y como hemos visto. Pero el estudio del sistema de formulas validas tambien producenuevas ideas que pueden ser utilizadas en varias areas. A continuacion presentamosalgunos ejemplos.

Algebra Booleana Las leyes de la Logica Proposicional siguen muchos patrones intere-santes. Por ejemplo, tanto las leyes de De Morgan como las leyes de distribucion existenen dos formas, siendo una de ellas el resultado de intercambiar disyunciones y conjun-ciones en la otra. Esta ‘dualidad’ sucede en general, y refleja la similitud que existe entrela Logica Proposicional y la Aritmetica Binaria. En particular, las tablas de verdad puedenser vistas como leyes de la Aritmetica Binaria si interpretamos

“∨” comounoperador que regresa elmaximode entre dos numeros, “∧” comoun operador que regresa el mınimo, y “¬” como un operador que intercambia“0” y “1”.

Por ejemplo, la distribucion de la conjuncion sobre la disyuncion,

(ϕ ∧ (ψ ∨ χ))↔ ((ϕ ∧ ψ) ∨ (ϕ ∧ χ)),

es similar a la distribucion aritmetica de la multiplicacion sobre la suma:

x · (y + z) = (x · y) + (x · z).

Observe, sin embargo, que la Aritmetica Binaria se comporta de manera mas uniformeque la Aritmetica en general, ya que tambien cumple otra ley de distribucion, x+ (y · z) =(x+ y) · (x+ z), que no se cumple en esta ultima (esto se puede verificar asignando valoresa x, y y z). Relaciones entre la Logica y la Computacion seran estudiadas en mayor detallemas adelante.

2.10. UN PANORAMA— LOGICA, MATEMATICAS Y COMPUTACION 2-29

Abstraccion y aplicacion Los sistemas logicos abstractos surgen como una manera deformalizar lo que ya sucedıa en la practica. Pero, una vez que tenemos sistemas abstractos,estos pueden tener nuevas interpretaciones. El Algebra Booleana es un ejemplo de esto,ya que puede describir fenomenos muy variados, incluyendo razonamientos proposi-cionales, Aritmetica Binaria, operaciones sobre conjuntos (con “¬” interpretado comocomplemento, “∧” como interseccion y “∨” como union) e inclusive el comportamientode circuitos electricos (entendiendo la conjuncion como composicion serial y la disyuncioncomo composicion paralela). ¡Una simple formula puede decir muchas cosas!

Por ejemplo, considere un principio abstracto del Algebra Booleana, la ley de absorcion:

ϕ↔ (ϕ ∧ (ϕ ∨ ψ)) (2.33)

En la Logica Proposicional esta tautologıa nos permite eliminar partes del discurso queson redundantes (o, si se usa en la direccion contraria, hace que las cosas simples suenencomplicadas). En la Aritmetica Binaria describe el comportamiento de operadores quecalculan el maximo y el mınimo:

x = mın{x,max{x, y}} (2.34)

En Teorıa de Conjuntos, absorcion es el principio valido

X = X ∩ (X ∪ Y) (2.35)

que indica que intersectar X con la union de X e Y nos da como resultado el mismo X.

La Logica Proposicional tambien juega un papel importante en el diseno de circuitos(logicos) electronicos. Una compuerta NAND (abreviatura de NOT-AND) es un circuitoelectronico que se comporta como la barra de Sheffer. La compuerta tiene dos entradasy una salida: si ambas entradas son 1 (indicando que hay voltaje), entonces la salida es0 (indicando que no hay voltaje). Para cualquier otra combinacion de valores de entrada(voltaje - no voltaje, no voltaje - voltaje, no voltaje - no voltaje) el resultado es 1. Dadoque cualquier operacion booleana puede ser definida en terminos de la barra de Sheffer,cualquier circuito logico que necesitemos puede ser construido tan solo con compuertasNAND. Por ejemplo, la negacion ¬ϕ se puede definir de la siguiente forma:

ϕ | ϕ.

Por lo tanto, podemos construir una compuerta NOT a partir de una compuerta NAND:

NOTentrada salida

NANDentrada salida

Compuerta NOT Compuerta NOT construida con una compuerta NAND

El Algebra Booleana es la base del funcionamiento de los circuitos booleanos en lascomputadoras. Se pueden encontrar detallesmas precisos enmuchos lugares, incluyendovarios sitios en internet.


Correctitud y completitud Las propiedades que mencionamos cuando presentamosla axiomatizacion de la Logica Proposicional tambien tienen sentido bajo interpretacionBooleana. En el siglo XIX el matematico George Boole presento un analisis algebraicocompleto para la Logica Proposicional basado en los operadores “no”, “y” y “o”. Elsistema, en el cual se utiliza “1” para indicar verdad, “0” para indicar falsedad, “−” paraindicar “no”, “·” para indicar “y”, y “+” para indicar “o”, es el siguiente:

x + (y + z) = (x + y) + z x · (y · z) = (x · y) · z

x + y = y + x x · y = y · x

x + x = x x · x = x

x + (y · z) = (x + y) · (x + z) x · (y + z) = (x · y) + (x · z)

x + (x · y) = x x · (x + y) = x

−(x + y) = −x · −y −(x · y) = −x + −y

x + 0 = x x · 0 = 0

x + 1 = 1 x · 1 = x

x + −x = 1 x · −x = 0

− − x = x

(2.36)

Observe como cada una de estas ecuaciones corresponde a una tautologıa cuando laigualdad es leıda como equivalencia entre las formulas que corresponden a la expresionde cada lado. Esto nos da correctitud, ya que el calculo contiene tan solo ecuacionesvalidas. Pero tambien tenemos completitud, ya que cualquier ecuacion valida puede serderivada a partir de las anteriores.

Complejidad computacional La Logica Proposicional esta relacionada con la Com-putacion de muchas formas, tal y como hemos visto en el presente capıtulo. En particular,nos permite decidir si una formula es valida mediante un procedimiento que puede re-alizarse de manera automatica: el uso de tablas de verdad. De hecho, existen programascomputacionales para cada una de los metodos que hemos estudiado en este capıtulo.Esto cumple, dentro de sus propias limitaciones, un proyecto historicamente famoso: elCalculus ratiocinator de Leibniz, presentado alrededor de 1700, y que proponıa que todoproceso de razonamiento podıa llevarse a cabo de manera automatica. La construccionde ‘maquinas logicas’ disenadas para llevar a cabo tareas de inferencia tienen una largahistoria que se remonta a la Edad Media.3

Observe, sin embargo, que el hecho de que podamos decidir automaticamente si unaformula es valida o no, solo implica que los calculos pueden llevarse a cabo en principio;en la practica las cosas pueden ser diferentes. Un procedimiento mecanico basado enpasos simples puede ser altamente complejo si hay que realizar una gran cantidad dedichos pasos. En el caso de las tablas de verdad, un renglon para una formula dada puedeser calculado en un numero ‘lineal’ de pasos, es decir, en un cantidad de pasos del mismoorden que el numero de sımbolos de la formula.

3N.T. Uno de los primeros impulsores de la idea fue Ramon Llull.

2.11. UN PANORAMA— LOGICA EN LA PRACTICA 2-31

El valor de verdad de una formula puede ser calculado en tiempo lineal.

Pero considere ahora la tabla de verdad completa. Si tenemos n proposiciones basicasnecesitamos 2n renglones: la tabla crece de manera exponencial en relacion al tamano de laentrada:

calcular la tabla de verdad de una formula toma tiempo exponencial.

Esta proporcion de crecimiento hace que problemas que parecen simples puedan so-brepasar el poder de calculo de las computadoras mas potentes. Debido a esto se hanintentado desarrollar metodos mas ‘inteligentes’ que requieren un menor numero de pa-sos para verificar validez (un ejemplo son las tablas semanticas que se estudiaran en elcapıtulo 8). Desafortunadamente los metodos encontrados hasta ahora requieren, en elpeor de los casos, tiempo exponencial cuando trabajan con formulas complejas.

Esto no es una coincidencia: la complejidad computacional exacta de la Logica Proposi-cional es desconocida, y aunque podrıa haber metodos mas rapidos (metodos que nece-sitan tiempo polinomial para responder preguntas sobre validez) que los que se conocenahora, la mayorıa de los expertos ven esto poco probable. Determinar la complejidadexacta de la Logica Proposicional es esencialmente encontrar la respuesta al famoso pro-blema

P = NP ,

que aparece en la lista de los problemas matematicos mas importantes ‘2000 MillenniumList’, publicada por el Instituto de Matematicas Clay.

La complejidad de la Logica Proposicional es importante no solo por lo que representa ensı, sino porque se ha demostrado que muchas tareas computacionales basicas se reducena decidir la validez y/o consistencia de formulas proposicionales. Con mas de 2000 anosde existencia, la Logica Proposicional aun presenta retos importantes.

Mayor expresividad e indecibilidad Sea altamente complejo o no, la validez en laLogica Proposicional es un problema decidible: dada una formula cualquiera, existe unprocedimiento mecanico que nos puede decir si la formula es valida o no, al menos enprincipio. Esto podrıa hacernos creer que las computadoras pueden realizar las tareasde los logicos, pero la situacion cambia cuando trabajamos con logicas con mayor poderexpresivo como la Logica de Predicados del capıtulo 4, que incluye los cuantificadores“todos” y “algun”. Gracias a los trabajos de Godel, Turing y otros en la decada de los30, sabemos que no existe ningun procedimiento mecanico que nos permita decidir lavalidez de una formula de la Logica de Predicados. Estos sistemas tiene que pagar unprecio por su mayor expresividad: son indecidibles.

2.11. Un panorama — Logica en la practica

El arte del modelado Para aplicar de manera adecuada un sistema abstracto como laLogica Proposicional se necesitan ‘habilidades para modelar’. Por ejemplo, ya hemos


observado que es necesario traducir del lenguaje natural al lenguaje logico para descubrirla parte esencial de una inferencia. Este paso requiere de practica pero tambien puedeser divertido, como lo muestran los muchos acertijos logicos que se pueden encontrar enrevistas y periodicos. He aquı un ejemplo sencillo.

El siguiente ejercicio es del libro The Lady, or the Tiger? (¿La dama o el tigre?), de RaymondSmullyan.

Ejercicio 2.27 Hay dos habitaciones cerradas y cada una tiene en la puerta uno de los siguientesletreros:

(A) En esta habitacion hay una dama y en la otra hay un tigre.

(B) En una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones hay un tigre.

Uno de los letreros es verdadero y el otro es falso. ¿Detras de que puerta esta la dama?

La Logica Proposicional tambien es una herramienta util en areas mas serias que vandesde el razonamiento legal hasta la solucion de diversas tareas computacionales comocoordinar semaforos o cruces de trenes. Estas aplicaciones no son rutinarias, y requierenciertas habilidades creativas.

Habilidades practicas La Logica Proposicional tambien se ha utilizado para desarrollarhabilidades practicas. Cuenta la leyenda que en los examenes logicos en la epocamedievalse comprobaba la habilidad de los estudiantes para razonar logicamente en tiempo real:

Juego de ‘Obligatio’. El profesor da una lista de proposiciones, ϕ1, . . . , ϕn que elestudiantedebe aceptar o rechazar en cuanto sonmencionadas. Si el estudianteacepta ϕi, entonces se compromete a ella; si la rechaza, se compromete a sunegacion ¬ϕi. El estudiante aprueba el examen si puede ‘procesar’ la listacompleta sin caer en inconsistencias.

Supongamos que se trabaja con las tres proposiciones siguientes:

(1) q ∨ ¬(p ∨ r), (2) p→ q, (3) q. (2.37)

Si se acepta (1) se debe aceptar (2), que es una de sus consecuencias, y se puede aceptaro rechazar (3). Si (1) es rechazada, se puede aceptar o rechazar (2) pero (3) debe serrechazada, ya que es consecuencia de la negacion de (1). He aquı el diagrama completo:

2.12. UN PANORAMA— LOGICA Y COGNICION 2-33

•

q ∨ ¬(p ∨ r)

p→ q

q

gana

¬q

gana

¬(p→ q)

pierde

¬(q ∨ ¬(p ∨ r))

p→ q

q

pierde

¬q

gana

¬(p→ q)

q

pierde

¬q

gana

El diagrama se puede entender como la descripcion completa de un juego, es decir, unarbol de juego que describe todas las opciones posibles y sus resultados. (El juego se vuelvemas interesante si el profesor puede elegir cual es la proposicion que presentara en cadapaso, posiblemente influido por las decisiones que el estudiante ha hecho. El arbol deeste nuevo juego es, por supuesto, mas complejo.) Observe que, para tranquilidad delestudiante, existe una estrategia ganadora. La razon logica es la siguiente.

Dado un conjunto consistente de afirmaciones y una proposicion cualquiera“ϕ”, el conjunto puede ser ampliado de manera consistente con al menos unade las proposiciones en {ϕ,¬ϕ}.

El enunciado anterior parece decir que, para ganar el juego, el estudiante debe verificar encada ronda la consistencia de un conjunto de formulas, lo cual es un proceso complicado.Una estrategia mas sencilla es la siguiente:

elija un modelo (es decir, una evaluacion) antes de iniciar el juego, y simple-mente evalue cada una de las proposiciones, aceptandola cuando es verdaderaen el modelo y rechazandola en caso contrario.

2.12. Un panorama — Logica y cognicion

¿Como se relacionan los sistemas logicos con lo que realizamos en la practica todos losdıas? Una conexion con esta realidad se ha presentado ya en varias ocasiones:

Logica y Linguıstica En el lenguaje natural las frases tiene un significadomas rico que elque les asignamos en la Logica Proposicional. Por ejemplo, la expresion “y” tiene tambiensignificados nobooleanos: “JuanyMarıa se pelearon”puede significar simplemente “Juanse peleo y Marıa se peleo”, pero tambien “Juan y Marıa se pelearon entre ellos”. Tambien


hemos mencionado como las expresiones condicionales tales como “si . . . entonces” nocorresponden exactamente a la tabla de verdad de la condicional “→”: por ejemplo, el noser millonario no implica que si fuera millonario serıa generoso.

Pero esto no significa que los metodos logicos no son utiles. De hecho, la diferencia se havuelto una ventaja creativa. La riqueza del lenguaje natural ha sido una fuente inagotablede nuevas teorıas logicas: por ejemplo, la Logica Proposicional se ha generalizado paratrabajar con mas de dos valores de verdad a fin de modelar vaguedad e indeterminacion,y el estudio de distintos tipos de condicionales se ha vuelto una subdisciplina florecienteen la cual trabajan juntos logicos y linguistas.

Logica y Psicologıa Cognitiva La relacion entre Logica y Psicologıa ha sido un pocomas tormentosa. Muchos psicologos afirman que el razonamiento humano es altamenteno-logico. He aquı un ejemplo famoso.

La tarea de seleccion de Wason es un acertijo logico que hace la siguiente pregunta:

Se tiene cuatro cartas, cada una de las cuales tiene un numero en un lado y unaletra en el otro. Las cartas son puestas sobre la mesa de forma que las carasvisibles muestran “A”, “K”, “2” y “7”. ¿Que carta o cartas se deben volteara fin de verificar que si una carta tiene un numero par de un lado, tiene unavocal del otro?

Tarea de seleccion de Wason

De acuerdo a lo estudiado en este capıtulo, esta es la respuesta correcta:

se deben voltear unicamente las cartas que muestran “2” y “K”.

La explicacion es que a fin de verificar la implicacion “par → vocal” necesitamos ver elotro lado de la carta que muestra el “2”, pero no debemos olvidar la ya mencionadarefutacion: si la carta no muestra una vocal de un lado, debemos verificar que no tiene unnumero par del otro. Sin embargo, los resultados de este experimento, realizado variasveces durante varias decadas, indican que

la mayorıa de la gente elige (a) voltear tan solo la carta que muestra “2”, o (b)voltear las cartas que muestran “2” y “A”.

2.12. UN PANORAMA— LOGICA Y COGNICION 2-35

Los psicologos han propuesto varias explicaciones, algunas sugiriendo que los sereshumanos tenemos una tendencia a comprobar y no a refutar. Estos resultados parecensugerir que el razonamiento normal es muy diferente a lo que la Logica nos indica.

Sin embargo, si en el experimento cambiamos numeros y letras por tareas mas familiares,los resultados se acercan mas a lo que indica la Logica. Por ejemplo, si la regla a verificares “si bebes alcohol, debes tener mas de 18 anos” y las cartas tienen una bebida y laedad, por ejemplo “22”, “cerveza”, “17” y “Coca Cola”, la mayorıa de la gente eligelas cartas correctas (“cerveza” y “17”). Algunos psicologos han utilizado esto como unargumento contra la Logica: los dos experimentos tienen la misma forma logica y, sinembargo, los resultados son diferentes dependiendo del efecto de familiaridad. (Se puedeencontrar mas informacion sobre este experimento en http://en.wikipedia.org/wiki/Wason_selection_task.)

Esta polemica no es tan importante. Ciertamente los seres humanos no somos irracionales:si ignoraramos la Logica y tan solo extrajeramos informacion incorrecta a partir de losdatos a nuestra disposicion, serıa difıcil entender la supervivencia de la especie. Al pare-cer el problema tiene que ver con la representacion de las tareas de razonamiento, y otrosprincipios pudieran ser importantes aquı. Y todavıa hay mas: la diferencia en los resul-tados concuerda con una tendencia en la Logica moderna que sugiere que las formasde inferencia utilizadas dependen de la tarea que se lleve a cabo. Esto nos darıa reglasque pueden ser diferentes a las estudiadas en este capıtulo, incluyendo ciertas formasde ‘inferencias por defecto’ que no son validas pero que pueden ser utilizadas hasta quesurge algun problema que nos obliga a revisar lo que se ha concluido hasta ahora.

Pero demos la ultima palabra a George Boole, frecuentemente considerado como el padredel estudio puramente matematico de la Logica (Proposicional). Podrıa parecer que eltıtulo de su obra, “The Laws of Thought” (Las Leyes del Pensamiento) imponen una pers-pectiva matematica normativa e intransigente. Cerca del final del libro, Boole confirmaque considera el tıtulo demanera seria: las leyes de la Logica Proposicional describen unaparte esencial del razonamiento humano. Sin embargo, tambien reconoce que frecuente-mente el razonamiento humano no sigue estos canones. Lo que esto significa, dice el, esque hay mas reglas del pensamiento humano que aun deben de ser descubiertas. Eso esprecisamente de lo que trata la conexion entre la Logica y las Ciencias Cognitivas.

Ejercicios extra

Ejercicio 2.28 Demuestre que todos los conectivos proposicionales pueden ser definidos con labarra de Sheffer

ϕ | ψ,

definido como ¬ϕ ∨ ¬ψ.

Ejercicio 2.29 ¿De cuantas maneras se puede ganar el siguiente juego de Obligatio?

(1) (p→ q) ∨ (r→ q), (2) ¬((p ∧ r)→ q), (3) q.

Ejercicio 2.30 Considere la siguiente formula:

(p ∧ (q→ r))→ ¬(¬p ∨ ((¬q→ q) ∧ (r→ ¬r))).


Los sımbolos logicos de la formula son todos los que aparecen en ella con excepcion de losparentesis y las proposiciones basicas. La formula tiene entonces 11 sımbolos logicos. Responda alo siguiente:

1. ¿Cuantas celdas tiene la tabla de verdad de la formula dada? ¿Cual es la relacion de estenumero con la cantidad de sımbolos logicos?

2. La tabla de verdad de una formula ϕ con 3 proposiciones basicas tiene 23 = 8 renglones.¿Cuantas celdas se deben calcular en la tabla de verdad de ϕ (en el peor de los casos) paradecidir si la formula es valida o no, suponiendo que tiene n sımbolos logicos?

Resumen En este capıtulo hemos presentado nuestro primer sistema logico, y ahora sabemoscomo razonar de una manera matematica formal acerca de proposiciones. En particular, hemosaprendido a

leer y escribir formulas proposicionales,

traducir frases simples en lenguaje natural a formulas,

construir tablas de verdad para diferentes propositos

verificar la validez de inferencias,

obtener actualizaciones en estados de informacion,

realizar demostraciones sintacticas simples.

Ademas, ahora podemos trabajar con nociones tales como

sintaxis, semantica, evaluacion, verdad, inferencia valida, tautologıa, consistencia,demostracion sintactica, poder expresivo, sistema logico

Por ultimo, hemos hecho una primera exploracion a las conexiones que existen entre la LogicaProposicional y la demostracion matematica, la Computacion, la complejidad y algunos temascognitivos tales como el lenguaje natural y los experimentos psicologicos.

logica´ proposicional - personal.us.espersonal.us.es/hvd/doc/proposicional.pdf · 2.1....

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