I.S.F.D. Albino Sánchez Barros

Profesorado de Matemática

ALGEBRA I

Profesores: Mónica Aballay - Alejandro Nieto

Año 2010

Introducción a la Lógica Matemática

A través de esta presentación vamos a transitar

nuevamente un recorrido conceptual que, sin duda,

Uds. ya han recorrido durante, casi, este primer mes

de estudio en este espacio de ÁLGEBRA I.

Ha sido necesario construir un lenguaje, propio de la

lógica, y redactar un conjunto de reglas que sean

perfectamente claras y definidas y que estén libres

de las ambigüedades que pueden hallarse en

nuestro lenguaje corriente.

Qué necesitamos conocer?

Proposiciones lógicas

Conectivos lógicos ó términos de enlace de proposiciones

Operaciones lógicas. Tablas de verdad. Tipos de resultados de las operaciones lógicas.

Equivalencia lógica

Leyes lógicas

Condicionales asociados a uno que se considera directo.

Razonamientos deductivos. Reglas de Inferencia

Métodos de demostración matemática

Cuantificadores.

Proposiciones lógicas

Toda oración a la cual le podamos asignar un valor de verdad puede ser considerada una proposición lógica

Hoy es lunes

El jueves pasado no hubo clases

Un cuadrilátero es una figura que tiene cuatro lados

Tres es el menor de los números primos.

Cada una de ellas simbólicamente podrá ser simbolizada mediante una letra: p, q, r, s, etc.

Y mediante un término de enlace se pueden unir o conectar proposiciones simples o atómicas y obtener proposiciones compuestas o moleculares.

Por ejemplo: se puede decir

Hoy es lunes y el jueves pasado no hubo clases.

Simbólicamente escribiríamos: p ^ q

Más proposiciones moleculares ó

compuestas – TABLAS DE VERDAD

p v q disyunción o suma lógica

p → q implicación o condicional

~ p negación

p ↔ q doble implicación o bicondicional

p ~ p

V F

F V

p q p ^

q

V V V

V F F

F V F

F F F

p q p v

q

V V V

V F V

F V V

F F F

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

IMPLICACIÓN O CONDICIONAL

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

Las proposiciones p y q se llaman

antecedente y consecuente,

respectivamente, de la implicación o

condicional y no es necesario que el

consecuente se derive del antecedente.

Por ejemplo:

“ Si me pagan el sueldo, ENTONCES pago

las deudas” (1)

Este enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por

p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es

obvio que si p es F, es decir, si no cobro el sueldo, quedo liberado del

compromiso, y pague o no las deudas la proposición (1) será V. Por lo

tanto si el antecedente es F, la implicación es V.

Si p es V, en cuyo caso cobro el sueldo, y no pago las deudas, el

compromiso no se cumple, y la proposición (1) es entonces F. Si p y q son

V, entonces la implicación es V porque el compromiso se cumple.

De este modo, la implicación sólo es falsa si el antecedente es V y el

consecuente es F.

DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL

La doble implicación sólo es verdadera si ambas

proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

La doble implicación puede definirse como la conjunción

entre una implicación y su recíproca.

p q p ↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

p q p

→q

q →p

(p → q) ^ (q → p)

V V V V V

V F F V F

F V V F F

F F V V V

qp

Veamos algunos ejemplos

abc es triángulo equilátero si y sólo sí es equiángulo.

243 es divisible por 3 sí y sólo si la suma de sus

cifras es múltiplo de 3.

3-4-5 es una terna pitagórica si y sólo si

corresponden a los lados de un triángulo rectángulo.

3 5

4

222543

CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES

Volvamos a la tabla de valores de verdad de la

implicación: qp

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

Vemos en la misma que hay tres casos en los que

es V, y entre ellos hay uno en el que p es V, en el

cual resulta q también V. Es evidente que nos

referimos a la primera fila de la tabla, y ocurre que

si es V y p es V, entonces q es V. Diremos

entonces que p es condición suficiente para q.

qp

En cambio, si p es F, nada podemos decir acerca de q, porque puede ser

V ó F y la implicación seguirá siendo V. Es más cuando q es V, p puede

ser V ó F, pero para que sea V siendo p V ¿ qué necesitamos? …

que q también lo sea. En ese caso, diremos que q es condición

necesaria para p.

Por ejemplo:

“ Si abc es triángulo equilátero, entonces es isósceles” ( p es condición

suficiente para q y q es necesario para p)

“ abc es equilátero si y sólo si es equilátero”. En este caso cualquiera de

las dos proposiciones es condición necesaria y suficiente para la otra.

qp

Leyes lógicas o tautologías

Involución : ~ (~ p) p

Idempotencia:

Conmutativa:

Asociativa:

Distributiva:

ppp

ppp

pqqp

pqqp

rqprqp

rqprqp

rqrprqp

rqrprqp

Más leyes lógicas

Leyes de De Morgan:

Ley de definición de condicional:

Ley del tercero excluido:

Ley de simplificación:

Leyes de neutralidad:

Leyes de absorción:

qpqp

qpqp

qpqp

Tpp

qqp

pqp

CCp

TTp

pCp

pTp

Equivalencia Lógica Una equivalencia lógica puede ser demostrada mediante la

construcción de una tabla en la que los resultados ,PARCIALES, de un miembro y otro del equivalente (doble implicación) son equivalentes. Y el resultado FINAL es una TAUTOLOGÍA

Dada la proposición:

1º Result 2º resultado

parcial parcial

RESULT.

FINAL

qpqp

p q ~q p→q ~ (p → q) ↔ p ^ ~ q

V V F V F V F

V F V F V V V

F V F V F V F

F F V V F V F

EQUIVALENCIA LÓGICA

También podríamos demostrar la equivalencia lógica

mediante las leyes lógicas:

(1) (2) (3) (4)

De (1) llegamos a (2) por ley de definición de condicional

De (2) llegamos a (3) por ley de De Morgan

De (3) llegamos a (4) por ley de involución.

qpqpqpqp

Implicaciones asociadas

qp

qp

pq

pq

recíprocos

recíprocos

contr

arios

contr

arios

Sea el condicional considerado como un condicional

directo, en conexión con él, se presentan otros tres, llamados sus

asociados. Los cuales son obtenidos por permutaciones o negaciones

del antecedente y consecuente:.

Es muy importante tener presente, a partir de este cuadro, que los

condicionales contra recíprocos son equivalentes y esto se puede

demostrar por los métodos ya analizados.

qp

La lógica ¿De qué se trata?

La lógica y la matemática han estado estrechamente

relacionadas. A partir del siglo XVII y especialmente

a mediados del siglo XIX, debido a los progresos de

la matemática, la lógica fue adoptando los métodos

de aquella (el simbolismo, el cálculo, la

axiomatización). A fines del siglo XIX, la relación se

invirtió y la lógica matemática pasó a ser concebida

como la disciplina que permite inspeccionar los

propios procedimientos matemáticos. La lógica

deductiva actual proporciona los recursos para

justificar la mayor parte de los razonamientos de la

matemática que son formalmente correctos.

RAZONAMIENTOS DEDUCTIVOS

La lógica (la llamada lógica deductiva) ofreceherramientas para distinguir los argumentos –razonamientos- que son válidos de los que no lo son.

En matemática interesa el tipo de razonamiento llamadodeductivo. Llamamos R. D. a un par ordenado

donde la primera componente es un conjunto finito deproposiciones, llamadas premisas, y q una proposición,llamada conclusión, la cual deriva de las premisas.

Que un razonamiento sea válido quiere decir que, sitodas sus premisas son verdaderas, su conclusión nopuede ser falsa.

qpi

;

Reglas de Inferencia

Llamamos regla de inferencia, a todo esquema

válido de razonamiento. Toda regla de inferencia es

tautológica.

modus ponendo ponens modus tollendo tollens silogismo

hipotético

modus tollendo ponens silogismo disyuntivo

q

pp

qpp

:

:

2

1

p

qp

qpp

:

:

2

1

rp

rqp

qpp

:

:

2

1

q

pp

qpp

:

:

2

1

p

qp

qpp

:

:

2

1

sr

sqp

rpp

qpp

:3

:2

1:

Demostración

Un razonamiento deductivo es válido si el

condicional cuyo antecedente es la conjunción de

las premisas, y el consecuente es la conclusión, es

tautológico.

Veamos esto usando el modus tollendo tollens:

La disposición que utilizaríamos entre las premisas y

la conclusión para demostrarlo sería: pqqp

p

qp

qpp

:2

1:

Veamos algunos enunciados:

Pueden también llamarse argumentos:

Siempre que se acercan las elecciones, se intensifican las

campañas proselitistas de los candidatos.

Estamos próximos a las elecciones.

Por lo tanto se intensifican las campañas proselitistas de los

candidatos.

Si la Argentina baja su tasa de desempleo, entonces mejora la

calidad de vida de su población. Es cierto que la Argentina baja su

tasas de desempleo. A su vez, la distribución de la riqueza en la

argentina es inequitativa. En consecuencia, en la Argentina mejora

la calidad de vida de la población, pero la distribución de la riqueza

es inequitativa.

Bibliografía:

Rojo, Armando, Algebra I, capítulo I, 21º edición,

editoriales magister eos y estudio sigma, Bs. As.

2006.

Suppes P. , Hill S., Introducción a la lógica

matemática, Edición económica, edit. Reverté,

México, 2004.

Revista Novedades Educativas Nº 226, La lógica

¿De qué se trata?, octubre 2009.