LISTA DE PROBLEMAS DE PROPAGACION

DE ONDAS ELECTROMAGNETICAS

Prof. Ramon Herrera Avila

ENERO del 2014

I. ECUACIONES DE MAXWELL.

1. Determine la resistencia presente entrelas superficies curvas interna y exter-na del bloque que aparece en la figu-ra 1. El material es plata, para la cualσ = 6.17x107

[Sm

]. Si la misma corri-

ente I cruza la superficie interna y laexterna, entonces, la densidad de corri-ente J , esta dada por: J = (kρ ) ρ

[Am2

]y E = ( k

σρ )ρ[Vm

].

Figura 1: Elemento Conductor

2. Un conductor de cobre AWG−121 tieneun diametro de 80.8 [mm], una longi-tud de 50 [ft], conduce una corrientede 20 [A]. Halle la intensidad de cam-po electrico E, la diferencia de poten-cial V y la resistencia para la seccion de50 [ft].

3. Determine la resistencia de aislamientoen una longitud L de un cable coaxial,como se muestra en la figura 2, donde elradio interno es a y radio externo b.

Figura 2: Cilindro Conductor

4. En un conductor cilındrico de radio ρ =2 [mm], la densidad de corriente varıacon el radio desde el eje hacia el volu-men de acuerdo con la expresion: J =103e−400ρ A

m2 . Determine la corriente I.

5. Dado J = 103 sin(θ)r[Am2

], en coorde-

nadas esfericas. Determine la corrienteque cruza la concha esferica de radior = 0.02 [m] .

6. Halle la resistencia de 100 [ft] deun cable conductor AWG − 4/0, tantode cobre como de aluminio. Un alam-bre AWG − 4/0, tiene un diametro de460 [mm].

7. Demuestre que la corriente de desplaza-miento en el dielectrico de un conden-sador de placas paralelas es igual a lacorriente de conduccion en los conec-tores del mismo.

8. En un material para el cual la conduc-tividad σ = 5.0

[Sm

], la permitividad

relativa εr = 1 y la intensidad de campoelectrico es E(t) = 250 sin(1010 t)

[Vm

].

Halle las densidades de las corrientes deconduccion y de desplazamiento en elmaterial.

9. Un condensador coaxial con radio inter-no de 5 [mm], y externo de 6 [mm]y una longitud de 500 [mm], contieneun dielectrico para el que la εr =6.7 y un voltaje aplicado de V (t) =250 sin(377 t) [V ]. Determine la corri-ente de Desplazamiento ID y comparelacon la corriente de conduccion IC .

10. El suelo humedo tiene una conductivi-dad σ = 1.0 × 10−3

[Sm

]y una permi-

tividad relativa εr = 2.5. Calcule la cor-riente de Desplazamiento ID y la corri-ente de conduccion IC , para un campoE(t) = 6× 10−6 sin(99 t)

[Vm

].

11. En la figura 3, un conductor de tres met-ros de largo se mueve paralelamente, aleje x, con una velocidad v = 2.50j

[ms

],

en un campo uniforme B = 0.5k [T ].Halle el voltaje inducido.

1AWG- AMERICAN WIRE GAUGE

1

2

Figura 3: Conductor Deslizante 1

12. Halle el voltaje inducido en el conduc-tor de la figura 4, donde B = 0.04j [T ]

y v = 2.50 sin(103t)k[ms

].

Figura 4: Conductor Deslizante 2

13. Un area de 0.65[m2], en el plano z = 0,

esta encerrada por un filamento conduc-tor. Halle el voltaje inducido, sabiendo

que B = 0.05 cos(103 t) (j+k)√2

[T ].

14. La espira conductora circular queaparece en la figura 5, yace en el plano

z=0, tiene un radio de 0.10 [m] y unaresistencia de 5.0 [Ω]. Dado el campo

B = 0.20 sin(103 t) k [T ]. Determine lacorriente I, que circula en la espira.

Figura 5: Espira Circular

15. Un cilindro conductor de 7 [cm], de ra-dio y 15 [cm] de altura, rota a una ve-locidad ω = 600

[revmin

]en un campo

radial B = 0.20ρ [T ]. El cilindro, tienecontactos en las dos tapas, los cuales seconectan a un voltımetro, tal como semuestra en la figura 6. Halle el voltajeinducido.

Figura 6: Conductor Deslizante 3

3

II. MATEMATICA DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO.

1. Demostrar que g1(z − vt), g2(z + vt) yg1 + g2 son soluciones de la eciacion deonda.

2. Dado E = Emsin(wt − βz)j[Vm

]en el

espacio vacıo, halle D, B y H. Dibuje Ey H en t = 0.

3. Sea H = Hmej(wt+βz)i

[Am

], en el espa-

cio vacio . Halle E.

4. Sean E = 30πej(108t+βz)i[Vm

]y H =

Hmej(108t+βz)j

[Am

]. en el espacio vacıo.

Halle Hm y β, con β > 0.

5. Si B = ∇×A [T ], demuestre que el cam-po E, se puede escribir como:

E = −∇V − ∂A

∂t

[V

m

].

6. A partir del resultado del problema an-terior demuestre que la ecuacion de ondapara el potencial vectorial A, esta dadopor:

∇2A−µε∂2A

∂t2= −µJ+∇(∇·A+µε

∂V

∂t)

7. De la ecuacion anterior si

∇ ·A + µε∂V

∂t= 0

llamada condicion de Lorentz, de-mostar a partir de esto, que la ecuacionde onda para el potencial escalar V es:

∇2V− µε∂2V

∂t2= −ρv

ε

8. Una onda de presion en el agua se de-scribe por la ecuacion de onda

∂2p

∂z2= ρk

∂2p

∂t2

donde la presion en newton por metrocuadrado es p, la densidad de la masa

ρ = 103[Kgm3

]y la constante de compre-

sibilidad k = 4.8 × 10−10[m2

N

]. Deter-

minar la velocidad de propagacion de laonda.

9. Escriba la expresion fasorial Vs del volta-je υ(t) = 10cos(wt− 450).

10. Escriba la expresion instantanea υ(t)para el fasor Vs = 4 + j3, usando unareferencia coseno.

11. Escriba la expresion instantanea υ(t)para el fasor Vs = 4 + j3, usando unareferencia seno.

12. De las cuatro ecuaciones de Maxwell,puedes pasar a las ecuaciones de Onda.¿Se puede realizar el proceso inverso?.

4

III. PROPAGACION DE ONDAS ELECTROMAGNETICAS EN MEDIOS LIBRES.

1. Una onda que se propaga en un mediodiferente del vacıo y no magnetico,esta descrita por la ecuacion E(z, t) =0.3cos(2z + 20t)

[Vm

]. Determine:

• La velocidad de propagacion de laonda;

• La longitud de onda;

• La frecuencia;

• La amplitud;

• La grafica

2. Una onda plana se propaga en cier-to medio diferente del vacıo y nomagnetico con un campo electrico da-do por E(z, t) = 5cos(30z + 109t) j

[Vm

].

Hallar:

• La velocidad de propagacion de laonda;

• La longitud de onda;

• La frecuencia angular;

• La constante de fase;

• La amplitud;

• La constante dielectrica del medio,suponiendo que no es magnetico; esdecir cuando µ = µ0;

• El campo magnetico H(z, t).

3. Investigue a que frecuena el ojo humanotrabaja.

4. ¿Por que? a frecuencias grandes, loscampos electromagneticos son peligrosos

5. Investigar:

• A que frecuencias audi-bles se encuentran las notasDo, Re, Mi, Fa, y Sol

• ¿Se trasmiten en el vacıo?

• ¿cual es su longitud de onda?.

6. Investiga lo que es un Foton y unFonon.

5

IV. POTENCIA ELECTROMAGNETICA Y TEOREMA DE POYNTING.

1. Dado el campo electrico E = −5e−ρa ρ,

en coordenadas cilındricas. Halle la en-ergıa almacenada en el volumen descritopor: ρ ≤ 2a y 0 ≤ Z ≤ 5a.

2. Dado el potencial V = 3x2 + 4y2 [V ].Halle la energıa almacenada en el vol-umen descrito por 0 ≤ x ≤ 1 [m],0 ≤ y ≤ 1 [m] y 0 ≤ z ≤ 1 [m].

3. El campo electrico entre dos conduc-tores cilındricos, concentricos con radiosρ = 0.01 [m] y ρ = 0.05 [m] respecti-

vamente, esta dado por E = 105

ρ ρ[Vm

],

si se desprecian los efectos de los bor-des. Halle la energıa almacenada en unalongitud de 0.5 [m], en el espacio vacıo.

4. Una concha esferica conductora de radioa, centrada en el origen, tiene un campopotencial definido por:

V (r) =

V0 [V ] si r ≤ aV0(ar ) [V ] si r > a

Con referencia cero en el infinito. Halleuna expresion para la energıa almacena-da que este campo produce.

5. Un condensador de placas paralelas de0.5 [m] por 0.1 [m], tiene una distanciade separacion de 2 [cm] y una diferenciade potencial entre las placas de 10 [V ].Halle la energıa almacenada, suponiendoque ε = ε0.

6. Una onda plana que se propaga en el es-pacio libre con un valor pico del campoelectrico de E = 10

[Vm

]. Hallar

• El valor medio del vector de Poynt-ing

• El valor pico del vector de Poynting

• El valor pico del campo Magnetico

7. Utilizando el vector de Poynting, calcu-lar la energıa almacenada en un conden-sador y comparela con el metodo tradi-cional.

8. Considerese el caso de un hilo cilindroconductor el cual conduce una corrienteIz, si la resistencia por unidad de longi-tud es R

′, utilizando el vector de Poynt-

ing. Demuestra que la potencia disipadaes I2

zR′

[W ], por unidad de longitud.

9. Calcular el valor instantaneo y medio delvector de Poynting para la onda dadapor:

Ex = E0ej(wt−β z)

[V

m

]Hy =

√ε

µE0e

j(wt−β z)[A

m

]10. ¿Cuales son los valores de las mag-

nitudes de los campos electrico ymagnetico de un haz de microondas, quetiene una densidad de potencia mediaPmed = 100

[Wm2

], en el espacio libre?.

11. El valor medio del consumo de la poten-cia electrica en los E.U. es 2×1011 [W ].Si esta potencia se debiera transportarmediante una onda EM . ¿Cual serıael tamano del haz, suponiendo que ex-istiese una antena que pudiera colimar2

tal haz?

2Colimar.-Convertir un haz de luz en lıneas paralelas

6

V. PROPAGACION DE ONDAS ELECTROMAGNETICAS EN MEDIOS CON FRON-TERAS.

1. ¿Cual es la diferencia en porcentaje deuna onda, que viaja en el espacio librea una frecuencia de 104 [Hz], cuandopenetra en agua de mar. Ası como la ve-locidad a la que se propaga en el segundomedio.

2. ¿Cual es la perdida por kilometro de unaonda plana que se propaga en agua demar σ = 4 y agua dulce σ = 10−3, a lafrecuencia de 1 [Mhz]?.

3. ¿Cual es la perdida por kilometro de unaonda plana, que se propaga en tierra seca(σ = 10−5, εr = 3 y µr = 1

), a una fre-

cuencia de 1 MHz?

4. Determinar la perdida por kilometro deuna onda plana, que se propaga en aguadestilada, a una frecuencia de 25 [GHz].

5. ¿Para las frecuencias f =1 Khz, 10 Mhz y 1 GHz, los mate-riales siguientes son medios dielectricoso conductores?.

• Agua de Mar

• Agua Dulce

• Tierra Humeda

• Tierra seca

6. Una onda plana de 1 KHz, se trans-mite parcialmente desde el aire al aguade mar. Determinar:

• La longitud de onda λ de esta onda,en el aire y en el agua;

• La velocidad de propagacion de laonda, en el aire y en el agua;

• ¿Cual es la frecuencia de esta onda,en el agua?.

7. Si el modulo de H en una onda planaes de 10−3

[Am

]. Determinar el valor del

modulo de E de la onda plana en el es-pacio libre.

8. Una onda plana que se propaga por unmedio no magnetico: Determinar la con-stante dielectrica relativa εr, del mediosi:

• La impedancia intrınseca es de200 Ω;

• La longitud de onda a 10 Ghz es1.5 [cm]

7

VI. LINEAS DE TRANSMISION.

COMPLEMENTO

1. Demostrar que para una lınea de trans-mision de placas paralelas de area w yseparadas por un medio dielectrico (ε, µ)de espesor d, ignorando los efectos deborde, la capacitancia C ′, inductancia

L′, conductancia G′ =1

R′y la resisten-

cia R′ estan dadas por:

a) C ′ = εwd[Fm

];

b) L′ = µ dw[Hm

];

c) G′ = σwd[Sm

];

d) R′ = 2w

√fπµcσc

[Ωm

]; donde σc y µc

son la conductividad y permeabili-dad de la placa y f es la frecuenciade la senal.

2. Demostrar que para una lınea de trans-mision de dos alambres, cada uno de ra-dio a y separadas por una distancia Dpor un medio dielectrico (ε, µ), la capac-itancia C ′, inductancia L′, conductancia

G′ =1

R′y la resistencia R′ estan dadas

por:

a) C ′ = πεcosh−1( D2a )

[Fm

];

b) L′ = µπ cosh

−1( D2a )[Hm

];

c) G′ = σπ

cosh−1(D

2a)

[Sm

];

d) R′ =1

πa

√fπµcσc

[Ωm

]; donde σc y

µc son la conductividad y perme-abilidad de la placa y f es la fre-cuencia de la senal.

3. Demostrar que para una lınea de trans-mision coaxial, coyo conductor internode radio a y separado por un mediodielectrico (ε, µ), de un tubo exteriorconcentrico de radio interior b, la capac-itancia C ′, inductancia L′, conductancia

G′ =1

R′y la resistencia R′ estan dadas

por:

a) C ′ = 2πεln( ba )

[Fm

];

b) L′ = µ2π ln( ba )

[Hm

];

c) G′ = 2πσln( ba )

[Sm

];

d) R′ = 12π ( 1

a + 1b )

√fπµcσc

[Ωm

]; donde

σc y µc son la conductividad y per-meabilidad de la placa y f es la fre-cuencia de la senal.

4. Ignorando los efectos de borde, supon-ga que el sustrato de una microtiratiene un espesor de 0.4 [mm] y constantedielectrica εr = 2.25.

a) Determine el ancho w requerido pa-ta la tira metalica de manera que lamicrotira tenga una resistencia car-acterıstica Z0 = 50 [Ω];

b) Determine L′ y C ′ de la lınea;

c) Determine la velocidad de propa-gacion en la lınea;

d) Repita los incisos (a), (b) y (c) parauna impedancia Z0 = 100 [Ω].

5. Demuestra que el voltaje y la corrienteen cualquier punto de la lınea de trans-mision estan dados por:

V (z′) = IL(ZLcosh(jβz′)+Z0sinh(jβz′)) [V ]

y

I(z′) =ILZ0

(Z0cosh(jβz′)+ZLsinh(jβz′)) [A]

6. Demuestra a partir del problema 5 quela impedancia Z(z′) viendo hacia la car-ga desde una distancia z′ de la carga es:

Z(z′) = Z0ZL + Z0tgh(jβz′)

Z0 + ZLtgh(jβz′)[Ω] .

7. Demuestre que para una lınea de trans-mision con una discontinuidad como seobserva en la figura 7, en la que se vecual es su circuito equivalente, que:

a) La resistencia equivalente de la dis-continuid esta dada por: Req =

R1R2Z

′0

R2+Z′0

[Ω];

b) El coeficiente de reflexion es: Γ =

R1+R2Z

′0

R2+Z′0

−Z0

R1+R2Z

′0

R2+Z′0

+Z0

;

c) El coeficiente de transmision es: τ =2R2Z

′0

(R1+Z0)(R2+Z′0)+R2Z

′0

.

Figura 7: Lınea de transmision con unadiscontinuidad

.

8

8. Determinar de forma analıtica y graficael valor de la impedancia de entrada deuna lınea de transmision sin perdidas de50 [Ω] con longitud de 0.1 longitudes deonda, terminada en un corto circuito.

9. La impedancia de entrada de una lıneade transmision en circuito abierto deZ0 = 75 [Ω] es una impedancia de reac-tancia capacitiva de 90 [Ω]. Determinarla longitud de la lınea en longitudes de

onda.

10. Una lınea de transmision cuya longitudes 0.634λ [m] y cuya impedancia carac-terıstica es de Z0 = 120 [Ω] esta termi-nada en una impedancia ZL = 425 +j220 [Ω]. Determinar de forma analıticay grafica:

a) El coeficiente de reflexion;

b) La impedancia de entrada