lista de ejercicio de teoria de semigrupos
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Universidad Nacional de TrujilloFacultad de Ciencias Fısicas y MatematicasDepartamento de Matematicas
Conjunto de problemas Nro 1(Teorıa de semigrupos)
1. Sea X el espacio de Banach de dimension finita. Si A : X −→ X es un operador lineal acotadosobre X, demostrar que G(t) = etA es un grupo uniformemente continuo sobre X.
2. Sea X = `2 ={
x = (ξk)k∈N : ξk ∈ C y∑∞
k=1 |ξk|2 < ∞}
. Si se define {S(t)}t≥0 tal que para
cada x ∈ `2,S(t)x =
{e−k2txk
}k∈N
∈ `2 para cada t ≥ 0,
demostrar que {S(t)}t≥0 es un semigrupo fuertemente continuo sobre X.
3. Sea 1 ≤ p < ∞ y X = Lp(R). Si para cada f ∈ Lp(R) se define {G(t)}t≥0 como
G(t)f(x) = f(x + t) c.t.p en x ∈ R.
Demostrar que {G(t)}t≥0 es un grupo fuertemente continuo sobre X. (Grupo de traslaciones enLp(R), 1 ≤ p,∞)
4. Sea 1 ≤ p < ∞ y X = Lp(0, 1). Si para cada f ∈ Lp(R) se define {S(t)}t≥0 como
(S(t)f)(x) =
{f(x− t) si t < x < 1
0 en otros casos.
Demostrar que {S(t)}t≥0 es un semigrupo fuertemente continuo. (Semigrupo de traslaciones enLp(0, 1), 1 ≤ p,∞)
5. Sea X = L2(R) y defina la distribucion de probabilidad Gaussiana Nt : R −→ R, tal que para cadat > 0,
Nt(x) =1√2πt
e−x22t .
Si para cada u ∈ L2(R) se define
S(t)u(x) =
{∫RNt(x− ξ)u(ξ)dξ, si t > 0
u, si t = 0.
Demostrar que {S(t)}t≥0 es un semigrupo fuertemente continuo sobre X. (Semigrupo gaussiano)
6. Sea X = B(X) el espacio de la funciones continuas y acotadas sobre R con la norma ‖f‖ =supx∈R |u(x)|. Defina
S(t)u(x) = e−λt∞∑
k=0
(λk)k!
u(x− kµ), para t > 0.
Demostrar que {S(t)}t≥0 es un semigrupo fuertemente continuo sobre X.
Trujillo, mayo, 12 del 2011
Presentacion via electronica: 10/06/2011 ([email protected])
Presentacion fısica: 13/06/2011
Sustentacion ejercicios 1,2 y 3: 13/06/2011
Sustentacion ejercicios 4,5 y 6: 14/06/2011
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