1

GRAFICAS LINEALES-LINEALIZACIN

OBJETIVOS

1. Realizar linealizacin de grficos por el mtodo de cambios de variables. 2. Obtener experimentalmente la relacin matemtica, ms adecuada, entre dos

cantidades o magnitudes fsicas, a partir de una tabla de valores provenientes del procesamiento de los datos obtenidos en el laboratorio, los que sern graficados usando las respectivas escalas.

3. Comprobar las aproximaciones en el clculo de la ecuacin de la recta por el mtodo grafico manual y el mnimo cuadrado.

LA IMPORTANCIA DE LOS GRFICOS EN LA FSICA

Usted va a encontrar que, frecuentemente en Fsica (en la ingeniera y en otras ramas tcnicas del

conocimiento) el uso de grficos es de gran utilidad para los siguientes propsitos:

a. Ilustrar la relacin entre variables de un fenmeno, medidas en un proceso experimental, describiendo la naturaleza y el comportamiento del evento.

b. Calcular, basndose en las caractersticas de la grfica, el valor de constantes fsicas. c. Contrastar grficos trazados utilizando valores medidos en un experimento, con grficos

trazados utilizando valores obtenidos de la teora que sirve de base para el mismo experimento.

d. Obtener la expresin matemtica (ecuacin) que relaciona las magnitudes representadas en los ejes coordenados (X-Y)

REGLAS GENERALES PARA LA CONSTRUCCIN DE GRFICAS

1. Identificar las variables independiente (causa) y dependiente (efecto) teniendo en

cuenta que:

a. En el eje de las ordenadas (eje Y) se representa la variable dependiente.

b. En el eje de las abscisas (eje X) se representa la variable independiente.

2. Trazar los ejes e indicar claramente en cada uno de ellos la magnitud fsica

representada con sus respectivas unidades.

Variable Dependiente (efecto)

V

X (cm)

Variable Independiente (causa)

2

3. De acuerdo al rango de variacin de la variable a representar, divida la longitud

correspondiente al eje en un determinado nmero de segmentos iguales, asignando a

cada divisin del eje un valor que puede ser:

En el caso de que los valores a representar son muy grandes o muy pequeos, expresar dichos

valores en una potencia de 10 e indicar en el extremo del eje la potencia de 10 utilizada.

Ejemplo:

Representar los siguientes valores sobre una recta de 8.0 cm. de longitud:

L (m.) 7.900 12.300 16.800 21.400 29.900 36.500

4. Identificar claramente cada uno de los puntos experimentales graficados. Las lneas

auxiliares utilizadas para la localizacin en el grfico de los puntos experimentales

deben borrarse para obtener una fcil visualizacin del dibujo.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 x 103 (m)

7.9

12.3

16.8

21.4 29.9 36.5

3

5. Unir los puntos experimentales por medio de una lnea suavizada. Es decir una lnea

sin cambios bruscos de curvatura.

INFORMACIN OBTENIDA A PARTIR DE UNA RECTA

En el supuesto que el grfico de dos parmetros fsicos medidos en el laboratorio fuese una

lnea recta. Qu clase de informacin se puede obtener de l?

Dos tipos de informacin:

20 40 l (cm) 60 80

1.0

2.0

T (s)

Lnea no suavizada

(Incorrecta)

20 40 l (cm) 60 80

1.0

2.0

T (s)

Lnea suavizada

(Correcta)

4

a. Cualitativa: Podemos inmediatamente afirmar que entre las dos variables existe una

relacin o proporcin lineal, estos son los fenmenos ms fciles de analizar.

b. Cuantitativa: El siguiente paso del conocimiento consiste en determinar el valor de las

constantes que ligan a las dos variables. Este paso permite conocer la composicin

exacta de la ecuacin que gobierna el fenmeno estudiado. Vamos a verlo ms en

detalle.

Si el grfico de valores experimentales de dos magnitudes fsicas v y t es una lnea recta, la

ecuacin que relaciona a las dos variables debe necesariamente tener la forma lineal:

v = at + b

Donde v cambia cuando t cambia, siendo a y b constantes. De esta manera la ecuacin

responde a la forma

y = mx + c

Que es el modelo de la lnea recta. Entonces a es el equivalente de la pendiente y b es la

interseccin con el eje de las ordenadas v.

Por lo tanto, midiendo la pendiente del grfico obtenemos directamente el valor de a (es decir, el

coeficiente de la variable independiente v, en la ecuacin a obtener).

V

T

b

v = at + b

T

Va

t (s)

V (m/s)

5

Por otro lado, extrapolando la curva, hasta interceptar el eje de las ordenadas, hallamos el valor

numrico de la intercepcin, o trmino constante b de la ecuacin.

Suponiendo que encontramos a = 10 m/s2 y b = 5 m/s , la ecuacin buscada sera:

5 t 10 V +=

Algunas veces la recta pasa por el origen y el trmino constante bno existe; adems, la pendiente

m = a puede ser una simplificacin de varios parmetros, de los cuales uno es desconocido y

necesita ser despejado. En este caso, el objetivo del grfico es hallar la pendiente para poder

despejar de ella alguna otra constante buscada.

Mtodo de Mnimos Cuadrados

Supongamos que hemos medido un conjunto de pares de datos (xi, yi) en una experiencia, por

ejemplo, la posicin de un mvil en ciertos instantes de tiempo. Ahora queremos obtener una

funcin y = f(x) que se ajuste lo mejor posible a los valores experimentales. Se pueden ensayar

muchas funciones, rectas, polinomios, funciones potenciales o logartmicas. Una vez establecido la

funcin a ajustar se determina sus parmetros. Debemos recordar que la funcin ms sencilla es la

funcin lineal y = ax + b. El procedimiento de ajustar los datos experimentales a una lnea recta se

denomina Regresin Lineal.

Regresin Lineal

Las observaciones (mediciones) se dispondrn en dos columnas, de modo que en cada fila se

registre la abscisa x y su correspondiente ordenada y. La importancia de las distribuciones

bidimensionales radica en investigar cmo influye una variable sobre la otra. Esta puede ser una

dependencia causa efecto, por ejemplo, a mayor altura de cada (causa), mayor es la rapidez de

impacto con el suelo (efecto). O bien, el aumento de la masa de un sistema sometido a una fuerza

constante, da lugar a una disminucin de la aceleracin del mismo.

Si utilizamos un sistema de coordenadas cartesianas para representar la distribucin

bidimensional, obtendremos un conjunto de puntos conocido como el diagrama de dispersin,

cuyo anlisis permite estudiar cualitativamente, la relacin entre ambas variables tal como se ve

en la figura. El siguiente paso, es la determinacin de la dependencia funcional entre las dos

6

variables x e y que mejor ajusta a la distribucin bidimensional. Se denomina regresin lineal

cuando la funcin es lineal, es decir, requiere la determinacin de dos parmetros: la pendiente y

la ordenada en el origen de la recta de regresin, y = ax + b.

La regresin nos permite adems, determinar el grado de dependencia de las series de valores X e

Y, prediciendo el valor Y estimado que se obtendra para un valor X que no est en la distribucin.

Vamos a determinar la ecuacin de la recta que mejor ajusta a los datos representados en la

figura. Adems se denomina error ei a la diferencia yi-y, entre el valor medido yi, y el valor

ajustado y= axi+b, tal como se ve en la figura inferior. El criterio de ajuste se toma como aqul en

el que la desviacin cuadrtica media sea mnima, es decir, la suma debe de ser mnima

( ( ))

( )

7

Los extremos de una funcin: mximo o mnimo se obtienen cuando las derivadas de s respecto de

a y de b sean nulas. Lo que da lugar a un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas del que se

despeja a y b.

( )( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

( )

Entonces la ecuacin y = ax + b donde a corresponde la pendiente y b la intercepcin en el eje y.

El coeficiente de correlacin es otra tcnica de estudiar la distribucin bidimensional, que nos

indica la intensidad o grado de dependencia entre las variables X e Y. El coeficiente de correlacin

r es un nmero que se obtiene mediante la frmula.

( )( )

( )

El signo de r es igual al signo de la pendiente de la recta de regresin lineal.

El coeficiente de correlacin puede valer cualquier nmero comprendido entre -1 y +1.

Cuando r es cercano a 1, significa que hay una fuerte relacin lineal positiva entre x y y.

Cuando r es cercano a-1, significa que hay una fuerte relacin lineal negativa entre x y y.

Cuando r es cercano a-1, significa que hay una poca relacin lineal entre x y y.

8

Ejemplo:

Dado los siguientes datos experimentales de Voltaje dado en Volts y Corriente en Ampere se

pretende realizar la grfica voltaje (V) vs corriente (I) y adems determinar la pendiente con su

respectiva incertidumbre.

Voltaje (V) 0.015 0.028 0.029 0.037 0.041 0.045

Corriente (I) 0.0068 0.0078 0.0085 0.0091 0.0095 0.00104

Observamos que los valores a representar son muy pequeos, por lo cual se expresa dichos

valores en una potencia de 10 e indicamosla potencia de 10 utilizada.

Voltaje (V)

x10 -3

15 28 29 37 41 45

Corriente (I)

x10-3

6.8 7.8 8.5 9.1 9.5 10.4

En la grfica procedemos a rotularse los ejes con el nombre asignadoa la cantidad a representar y sus unidades, se asigna la variable corriente (en el eje horizontal) y el variable voltaje (en el eje vertical) en este caso la unidad ser miliVolts (mV) y la corriente miliAmpere (mA) Recordar que usted debe verificar cual es el mnimo y mximo valor a registrar en los respectivos ejes de esta manera usted puede considerar una escala adecuada, observe que en la siguiente grafica en el eje horizontal la escala va incrementando de forma sucesiva cada diez cuadros y al registrar los puntos experimentales existe un espacio no ocupado. Este espacio es un desperdicio debido a que se puede ajustar la escala de tal forma que se maximice el uso del papel. Recordar que pueden ser diferentes las escalas vertical y horizontal; adems no necesariamente el origen de la grfica debe ser el punto (0,0)

Voltaje (V)

x10 -3

15 28 29 37 41 45

Corriente (I)

x10-3

6.8 7.8 8.5 9.1 9.5 10.4

9

Si ajustamos la escala ahora recuerde que los puntosexperimentales no deben unirse con lneasquebradas ni deben dibujarse rectas desde los ejeshasta el lugar donde hay que situar cada puntoexperimental, para eso ya contamos con el propioentramado del papel grfico.

Para trazar la lnea recta de ajuste se emplearuna regla y dicha lnea se trazar dejando a un lado y a otro el mismo nmero de puntos experimentales. Vale mencionar que en nuestro ejemplo se observa que la recta no pasa por ningn punto pero si fuese posible usted tambin puede trazar la recta de tal forma que pase por la mayor cantidad de puntos cumpliendo que el nmero de puntos experimentales que estn fuera de la recta por encima y debajo sean iguales. Adems para clculos ms precisos existe el mtodo de mnimos cuadrados.

10

En el ajuste lineal de nuestro ejemplo tenemos que obtener la relacin entre el voltaje y la corriente, la cual tendr la formaV=mI+b algo anlogo a la ecuacin de una recta y=mx+bdonde m corresponde a la pendiente y b la interseccin con respecto a la vertical. Para el clculo de la pendiente se recomienda escoger dos puntos que pertenezcan a la recta pero que no sean los puntos experimentales, en este caso se considera: Punto P1= (7.3, 20) Punto P2= (10, 43) El valor medido de la pendiente es

( )

( ) [ ]

[ ] [

] ( )

Para determinar la incertidumbre de la pendiente vale mencionar lo siguiente:

Si consideramos que se trabaja en una hoja milimetrada entonces la incertidumbre en cada eje corresponde a la mnima divisin, en este caso

( )

=

= [ ]

( )

=

= [ ]

Si estamos trabajando en una hoja de cuadro mayor a la milimetrada es recomendable qu

En nuestro ejemplo consideramos que se trabaja en una hoja milimetrada por lo cual de manera

general el clculo de la pendiente se ser:

(( ) ( ))

(( ) ( ))

( ) [ ]

( )[ ] ( )

( )

11

Es decir para determinar se necesita expresar nuestra funcin m,entonces:

( )

( )

| [ ]

| |

[ ]

|

| [ ]

| |

[( )

( )]

|

| [ ]

|

| [ ]

| |

[( )

( )]

| |

[

]

| |

[ ]

|

Reemplazando:

|

| |

|

|

| |

|

( ) [

]

( )[ ]

Si usamos el mtodo de mnimo cuadrados para la tabla de datos experimentales presentados

anteriormente

Voltaje (V)

x10 -3

15 28 29 37 41 45

Corriente (I)

x10-3

6.8 7.8 8.5 9.1 9.5 10.4

12

Por lo cual usando la ecuacin (3.1) la pendiente en este caso es:

( )( )

( )

Procedemos a llenar la tabla con sus respectivas cifras significativas:

I (mA) V(mV) VI ( ) 6.8 15 10( ) 46 7.8 28 22( ) 61 8.5 29 25 ( ) 72 9.1 37 34 ( ) 83 9.5 41 39 ( ) 90 10.4 45 46.8 ( ) 108

=176 ( ) ( )

( )( )

( )

( )

( )( )

( )

[ ]

LINEALIZACION DE CURVAS

Desafortunadamente, existen fenmenos fsicos en los cuales las dos variables principales no se

comportan linealmente. Los grficos, por lo tanto, son curvas cuya pendiente por definicin es

variable y no es fcil obtener informacin sobre las constantes que relacionan a las variables.En

este caso es necesario emplear alguna manera de convertir la curva en recta:

Si la grfica obtenida es parablica, asumir que debe ser de la formay = axn + b, donde n es

cualquier exponente, positivo o negativo, diferente a 1 y diferente de cero. (Por qu diferente de

1 y de cero?)En general, si al graficar y vs. X obtengo uno de los siguientes resultados:

x

y

n< 0

y

x 0 < n < 1

y

x n> 1

13

La lineacin se produce graficando y vs. xn, en vez de y vs. x,obtenindose uno de los

siguientes resultados:

La lineacin se produce porque al graficar y vs. xn, se genera un cambio de variable en que x es

sustituida por z = xn , tal que la ecuacin:

y = axn + b se ha convertido en y = az + b,

Que es la ecuacin de una recta. (Si el grfico resulta ser una recta, no slo permite calcular el

valor de a sino que, el valor asumido para n es correcto).El resto del trabajo para determinar

valores de a y bes ya conocido. A la tabla de valores a graficar se deber agregarla columna de

valores z = xn.

z

y

y = az + b

xn

y

n< 0

y

xn 0 < n < 1

y

xn

n> 1

14

REGLAS GENERALES PARA EL TRAZADO DE LA RECTA MS REPRESENTATIVA

Usted ha observado que aunque la relacin y vs. x sea matemticamente lineal, no siempre

todos los puntos experimentales estn perfectamente alineados, quedando algunos al margen del

grfico. Esto sucede porque todos los datos experimentales estn sujetos a errores de medicin.

Esto plantea el problema de cmo decidir cul debe ser la posicin ms apropiada de la recta que

vamos a trazar. Hay mtodos muy precisos como el criterio de Mnimos Cuadrados que se trat

en la seccin de estadstica. Sin embargo, las siguientes recomendaciones generales le sern tiles

para obtener un grado aceptable de exactitud en el trabajo de este curso:

a. Tome la mayor cantidad de puntos que le sea posible dentro del tiempo que se le asigna para el

trabajo. Menos de cinco puntos le darn resultados muy pobres. Sera convenienteobtener

por lo menos 10 puntos.

b. Es natural que algunos puntos no estn exactamente sobre la recta, pero si alguno de ellos

queda extraordinariamente lejos de la direccin seguida por los otros (dato aberrante),

entonces hay que despreciarlo porque evidencia un grave error de medida o de clculo. Revise

ambos si tiene tiempo.

c. El nmero de puntos que quedan a un lado de la recta trazada debe ser, en lo posible, igual al

nmero de puntos que quedan al otro lado.

PRCTICA A REALIZAR

En la prctica se utiliza un pndulo simple.

Un pndulo simple es un modelo idealizado que consiste en una masa puntual suspendida de un

cordn de masa despreciable y no estirable. Si la masa se mueve a un lado de su posicin de

equilibrio (vertical), oscilar alrededor de dicha posicin.

Situaciones ordinarias, como una bola de demolicin en el cable de una gra o un nio en un

columpio pueden modelarse como pndulos simples.

La trayectoria de la masa puntual (llamada en ocasiones pesa o lenteja) no es una recta, sino el

arco de un crculo de radio L igual a la longitud del cordn (ver figura). Usamos como coordenada

la distancia x medida sobre el arco. Si el movimiento es armnico simple, la fuerza de restitucin

debe ser directamente proporcional a x.

15

En la figura, representamos las fuerzas que actan sobre la

masa en trminos de componentes tangencial y radial. La

fuerza de restitucin es la componente tangencial de la

fuerza total:

La fuerza de restitucin se debe a la gravedad; la tensin T slo

acta para hacer que la masa puntual describa un arco. La

fuerza de restitucin es proporcional no a sino a , as que

el movimiento no es armnico simple. Sin embargo, si el

ngulo es pequeo, , es casi igual a en radianes. Por

ejemplo, si (unos 6), , una

diferencia de slo 0.2%. Con esta aproximacin, la ecuacin

(3.4) se convierte en

La fuerza de restitucin es entonces proporcional a la coordenada para desplazamientos

pequeos, y la constante de fuerza es

. La frecuencia angular de un pndulo simple con

amplitud pequea es:

La dependencia de L y g en las ecuaciones es justo lo esperado. Un pndulo largo tiene un periodo

ms largo que uno corto. Si aumenta g, aumenta la fuerza de restitucin, causando un aumento de

la frecuencia y una disminucin del periodo.

16

Procedimiento de la Prctica

Una vez identificado el equipo que va utilizar en la prctica el cual consiste de una esfera atada a

una cuerda, un soporte universal y una nuez.

Registrar la longitud de la cuerda en la tabla del reporte

Separar el pndulo de una posicin vertical un ngulo

pequeo y luego soltarlo.

Dejar oscilar libremente, debe verificar que el pndulo

oscila en un plano vertical (desde b hasta c) Cuando este

seguro que las oscilaciones son regulares, se presiona inicio

en el cronometro y se cuenta N oscilaciones cada vez que

regrese la masa al punto de mxima separacin de

equilibrio (posicin b).

Con el dato del tiempo t de las N oscilaciones se procede a

determinar el periodo T

( )

( )

Se repite los pasos anteriores para diferentes longitudes y adems con el mismo nmero

de N oscilaciones.

17

PREGUNTAS PARA LA PRUEBA DE ENTRADA

En la siguiente tabla se muestra los resultados obtenidos en una experiencia en que se trata de determinar la relacin entre el alargamiento ( ) de un resorte y la fuerza (F) que se le aplica

X (metro) 0.10 0.18 0.26 0.35 0.48 0.60 0.72 0.80

F(N) 40 72 104 140 192 240 288 320

a) Grafique F vs. , en papel milimetrado y linealice de ser necesario

b) Hallar la pendiente y el intercepto

c) Determine la incertidumbre de la pendiente

d) Use el mtodo de mnimo cuadrados para el clculo de la pendiente y la intercepcin con

la ordenada.

En la siguiente tabla se muestra los resultados obtenidos

S(cm.) 0 300 432 675 972 1200 1452 1728 2028 2352

t(s) 0 10 12 15 18 20 22 24 26 28

a) Grafique S vs. t y linealice de ser necesario

b) Hallar la pendiente y el intercepto

c) Determine la incertidumbre de la pendiente

d) Determine la ecuacin emprica

e) Use el mtodo de mnimo cuadrados para el clculo de la pendiente y la intercepcin con

la ordenada.

Dado las siguientes ecuaciones proceda a linealizar:

18

REPORTE DE DATOS Y RESULTADOS

Prctica Linealizacin Fecha_________ Paralelo____ P.Entrada ____

Apellidos_____________________ Nombres____________________ Desempeo en clase ____

Informe Tcnico ____

P.Slida ____

Total ____

Objetivos de la prctica

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Durante cada observacin proceda a registrar los datos en la siguiente tabla

Obs N oscilaciones Tiempo (s) Periodo Longitud L (m)

1

2

3

4

5

6

7

8

1.-Con los datos obtenidos realice una grfica T vs L en una hoja milimetrada, donde la

longitud de la cuerda es L que corresponde a la variable independiente y T (periodo) la

variable dependiente.

2.-De ser posible linealice la grfica T vs L la misma que est dado por la expresin

y proceda a graficar en una hoja milimetrada.

19

3.-Determine la pendiente de la grfica y su respectiva incertidumbre (use el mtodo de

clculo diferencial), registre sus clculos en el siguiente espacio.

4.- Determine el valor de la gravedad con su respectiva incertidumbre (use el mtodo de

clculo diferencial), registre sus clculos en el siguiente espacio considere el valor de pi como

una constante igual 3.1416.

20

5.- Calcule el valor de la pendiente a partir del mtodo de mnimo cuadrados (use cifras

significativas).

6.- Determine el porcentaje de error de la pendiente entre el mtodo mnimo cuadrado y la

grfica de forma manual.