linealizacion de edo

Linealizacion de Sistemas de EcuacionesDiferenciales con Retardo

Angel Gabriel Estrella Gonzalez

Cuerpo Academico de Ecuaciones Diferenciales yAnalisis, FMAT-UADY

Mayo, 2008

Angel G. Estrella Linealizacion de sistemas de ecuaciones diferenciales

1 Una ecuacion diferencialPuntos de EquilibrioLinealizacionEcuacion caracterıstica

2 Sistema de ecuaciones diferenciales

3 Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discreto

4 Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo

5 Ejemplos


Una ecuacion diferencialSistema de ecuaciones diferenciales

Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoSistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo

Ejemplos

Puntos de EquilibrioLinealizacionEcuacion caracterıstica





5 Ejemplos




Ejemplos


Puntos de Equilibrio

Consideremos la ecuacion diferencial ordinaria

x = f (x). (1)

Una solucion constante o punto de equilibrio x(t) = x0 cumplef (x0) = 0.




Ejemplos






5 Ejemplos




Ejemplos


Linealizacion

Tomemos una perturbacion de este punto de equilibrio x0, estoes, una solucion cercana de la forma x(t) = x0 + εu(t),entonces

x = εu = f (x)

= f (x0 + εu),

donde podemos usar una aproximacion de Taylor obteniendo

εu = f (x0 + εu) ≈ f (x0) + f ′(x0)εu= εf ′(x0)u.




Ejemplos


Linealizacion

Definiendo J = f ′(x0) obtenemos la ecuacion

u = Ju (2)

que recibe el nombre de linealizacion de (1) cerca del punto deequilibrio x0.




Ejemplos






5 Ejemplos




Ejemplos


Ecuacion caracterıstica

Supongamos que la solucion u de la linealizacion

u = Ju (3)

es de la formau(t) = Ceλt

donde λ ∈ C, entonces al sustituir obtenemos

λu = Ju

por lo tanto λ = J




Ejemplos



Proposicion

Si x0 es una solucion de equilibrio de la ecuacion (1), secumplen los siguientes casos.

a) Si J = f ′(x0) < 0 entonces x0 es asintoticamente(exponencialmente) estable.

b) Si J = f ′(x0) > 0 entonces x0 es asintoticamente(exponencialmente) inestable.

c) Si J = f ′(x0) = 0 no podemos concluir algo acerca de x0




Ejemplos


Resumen

Ecuacion:x = f (x)

Punto de equilibrio:

x0, f (x0) = 0

Linealizacion:u = Ju, con J = f ′(x0)

Ecuacion caracterıstica :

λ = J = f ′(x0)




Ejemplos


Sistema de ecuaciones diferencialesSupongamos que x , y satisfacen el sistema

x = f1 (x , y) (4)y = f2 (x , y)

Similarmente al caso de una ecuacion, un punto de equilibrio osolucion constante (x0, y0) satisface

f1(x0, y0) = 0, (5)f2(x0, y0) = 0. (6)




Ejemplos

Linealizacion

Una solucion cercana al punto de equilibrio de la forma(x , y) = (x0 + εu, y0 + εv) cumple

x = εu = f1 (x0 + εu, y0 + εv) , (7)y = εv = f2 (x0 + εu, y0 + εv) . (8)




Ejemplos

Linealizacion

Aproximaciones de Taylor en dos variables

fi (x0 + εu, y0 + εv)

≈ fi(x0, y0) + D1fi(x0, y0) · εu + D2fi(x0, y0) · εv= ε [D1fi(x0, y0) · u + D2fi(x0, y0) · v ] , (9)

donde Dj fi es la derivada de fi con respecto a la j-esimavariable.




Ejemplos

Linealizacion

Combinando (7, 8) con (9) obtenemos el sistema

u = D1f1(x0, y0) · u + D2f1(x0, y0) · v , (10)v = D1f2(x0, y0) · u + D2f2(x0, y0) · v , (11)




Ejemplos

Linealizacion

Usando notacion matricial[uv

]= J

[uv

], (12)

donde

J =

[D1f1 D2f1D1f2 D2f2

], (13)

las derivadas parciales se evaluan en el punto de equilibrio(x0, y0).El sistema (13) recibe el nombre de linealizacion de (4)




Ejemplos


Para encontrar la ecuacion caracterıstica, supongamos(u, v) = (C1eλt , C2eλt), sustituyendo en (12) obtenemos

λeλt[

C1C2

]= eλtJ

[C1C2

],

de donde

λ

[C1C2

]= J

[C1C2

],




Ejemplos


o equivalentemente

[λI − J]

[C1C2

]= 0,

y este sistema tienen una solucion no trivial si

det [λI − J] = 0.

donde J esta definida por (13). Esta ultima ecuacion esconocida como la ecuacion caracterıstica de (4)




Ejemplos


Ya que estamos trabajando en el caso de dos ecuaciones yobtenemos matrices de 2 X 2, podemos calcular eldeterminante que aparece en la ecuacion caracterısticaanterior para escribirla como

λ2 − Tλ + δ = 0

donde T y δ son la traza y el determinante de la matriz Jrespectivamente.




Ejemplos


Podemos aplicar la formula cuadratica para resolver estaecuacion y obtener el siguiente resultado

Proposicion (Acerca de la linealizacion, Perko p.25)

Sean δ = det(J) y T = Tr(J),

a) Si δ < 0 entonces (12) tiene un punto silla en el origen.

b) Si δ > 0 y T 2 − 4δ ≥ 0 entonces (12) tiene un nodo en elorigen; es estable si T < 0 y es inestable si T > 0.

c) Si δ > 0, T 2 − 4δ < 0 y T 6= 0, entonces (12) tiene un focoen el origen; es estable si T < 0 y es inestable si T > 0.

d) Si δ > 0 y T = 0 entonces (12) tiene un centro en el origen




Ejemplos

Resumen

Ecuacion:

x = f1 (x , y) ,

y = f2 (x , y)

Punto de equilibrio: (x0, y0) satisface

f1(x0, y0) = 0,

f2(x0, y0) = 0.




Ejemplos

Resumen

Linealizacion: [uv

]= J

[uv

],

donde

J =

[D1f1 D2f1D1f2 D2f2

],


λ2 − Tλ + δ = 0

donde T y δ son la traza y el determinante de la matriz Jrespectivamente.




Ejemplos

Ejercicio

Encuentre la ecuacion caracterıstica para el sistema

x = f1 (x , y , z) ,

y = f2 (x , y , z) ,

z = f3 (x , y , z) .




Ejemplos


Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoConsideremos un sistema de la forma

x = f1 (x , y , xT , yT ) (14)y = f2 (x , y , xT , yT )

donde xT (t) = x(t − T ), yT (t − T ).Un punto de equilibrio (x0, y0) satisface

f1(x0, y0, x0, y0) = 0 (15)f2(x0, y0, x0, y0) = 0, (16)




Ejemplos

Linealizacion

Una solucion cercana al punto de equilibrio de la forma(x , y) = (x0 + εu, y0 + εv) cumple

x = εu = f1 (x0 + εu, y0 + εv , x0 + εuT , y0 + εvT ) , (17)y = εv = f2 (x0 + εu, y0 + εv , x0 + εuT , y0 + εvT ) . (18)




Ejemplos

Linealizacion

Por medio de aproximaciones de Taylor de funciones de cuatrovariables tenemos

fi (x0 + εu, y0 + εv , x0 + εuT , y0 + εvT )

≈ fi(x0, y0, x0, y0) + D1fi(x0, y0, x0, y0) · εu + D2fi(x0, y0, x0, y0) · εv+D3fi(x0, y0, x0, y0) · εuT + D4fi(x0, y0, x0, y0) · εvT

= ε[D1fi(x0, y0, x0, y0) · u + D2fi(x0, y0, x0, y0) · v+D3fi(x0, y0, x0, y0) · uT + D4fi(x0, y0, x0, y0) · vT ]

= ε [D1fi · u + D2fi · v + D3fi · uT + D4fi · vT ] , (19)

donde Dj fi es la derivada parcial de fi con respecto a la j-esimavariable evaluada en el punto (x0, y0, x0, y0)




Ejemplos

Linealizacion

Combinando (17, 18) con (19) obtenemos el sistema

u = D1f1 · u + D2f1 · v + D3f1 · uT + D4f1 · vT , (20)v = D1f2 · u + D2f2 · v + D3f2 · uT + D4f2 · vT . (21)




Ejemplos

Linealizacion

Usando notacion matricial, podemos escribir este sistemacomo [

uv

]= J

[uv

]+ JD

[uTvT

], (22)

donde

J =

[D1f1 D2f1D1f2 D2f2

], (23)

JD =

[D3f1 D4f1D3f2 D4f2

], (24)

donde las derivadas parciales se evaluan en los puntosadecuados mencionados antes.




Ejemplos

Linealizacion

La ecuacion [uv

]= J

[uv

]+ JD

[uTvT

],

recibe el nombre de linealizacion de (14)




Ejemplos


Para encontrar la ecuacion caracterıstica, supongamos(u, v) = (C1eλt , C2eλt), al sustituir en (22) obtenemos

λeλt[

C1C2

]= eλtJ

[C1C2

]+ eλte−λT · JD

[C1C2

],




Ejemplos


por lo tanto

λ

[C1C2

]= J

[C1C2

]+ e−λT · JD

[C1C2

],

equivalentemente[λI − J − e−λT · JD

] [C1C2

]= 0,




Ejemplos


Este sistema tienen una solucion no trivial si

det[λI − J − e−λT · JD

]= 0.

donde J y JD son las matrices definidas por (23, 24). Estaultima ecuacion es conocida como la ecuacion caracterısticade (14)




Ejemplos


En este caso, ya que J y JD son matrices de 2X2, tenemos

det[λI − J − e−λT · JD

]= λ2 + pλ + r + (sλ + q)e−λT + we−2λT ,

donde

p = −Tr(J),

r = det(J),

s = −Tr(JD),

q = det(J + JD)− det(J)− det(JD),

w = det(JD),

Por lo tanto la ecuacion caracterıstica la podemos escribircomo

λ2 + pλ + r + (sλ + q)e−λT + we−2λT = 0Angel G. Estrella Linealizacion de sistemas de ecuaciones diferenciales



Ejemplos

Resumen

Ecuacion:

x = f1 (x , y , xT , yT )

y = f2 (x , y , xT , yT )

donde xT (t) = x(t − T ), yT (t − T ).Punto de equilibrio: (x0, y0) satisface

f1(x0, y0, x0, y0) = 0 (25)f2(x0, y0, x0, y0) = 0, (26)




Ejemplos

Resumen

Linealizacion:[uv

]= J

[uv

]+ JD

[uTvT

],

donde

J =

[D1f1 D2f1D1f2 D2f2

],

JD =

[D3f1 D4f1D3f2 D4f2

],




Ejemplos

Resumen


λ2 + pλ + r + (sλ + q)e−λT + we−2λT = 0

p = −Tr(J),

r = det(J),

s = −Tr(JD),

q = det(J + JD)− det(J)− det(JD),

w = det(JD),




Ejemplos

Ejercicio

Encuentre la ecuacion caracterıstica para el sistema

x = f1 (x , y , z, xT , yT , zT ) ,

y = f2 (x , y , z, xT , yT , zT ) ,

z = f3 (x , y , z, xT , yT , zT ) .




Ejemplos

Punto de equilibrio

Consideremos un sistema de la forma

x = f1

(x , y ,

∫K (s)G1(x(t − s), y(t − s))ds

)(27)

y = f2

(x , y ,

∫K (s)G2(x(t − s), y(t − s))ds

)Un punto de equilibrio (x0, y0) satisface

f1(x0, y0, G1(x0, y0)I) = 0 (28)f2(x0, y0, G2(x0, y0)I) = 0, (29)

donde I =∫

K (s)ds




Ejemplos

EjercicioEncuentre

LinealizacionLa ecuacion caracterıstica para el sistema

λ2+pλ+r+(sλ+q)

∫K (s)e−λsds+w(

∫K (s)e−λsds)2 = 0




Ejemplos

Ejemplos


linealizacion de edo

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punto de equilibrio

punto de equilibrioconsideremos

son la traza

d2 fi

obtenemos

x0 ut

c1 c2

es inestable