control por linealizacion exacta por realimentacion de estados

Universidad Nacional del Callao- FIEE 2011-B

Laboratorio de Control Avanzado 1

CONTROL POR LINEALIZACION EXACTA POR

REALIMENTACION DE ESTADOS

Cuya Solari, Omar Antonio

[email protected]

Flores Bustinza, Edwing Irwing

[email protected]

Torres Chavez, Jonathan Emmanuel

[email protected]



I.- Objetivos

Conocer el comportamiento de una planta sub-amortiguada con

proyeccin al control.

Aprender la tcnica de control por linealizacin exacta por realimentacin

de estados.

Comprobar los resultados del control en simulacin y tiempo real usando

la tarjeta NIDAQUSB-6009 de National Instruments y el software

LABVIEW.

II.- Modelamiento de una Planta Prototipo de Segundo Orden

Fig 1.-Planta prototipo de segundo orden

De la planta prototipo obtenemos las siguientes ecuaciones:

Despejando de las ecuaciones (1) y (2), e igualando obtenemos:



Despejando de la ecuacin (2) y reemplazndola en la ecuacin (4):

Ahora reemplazando la ecuacin (3):

Reemplazando las ecuaciones (3) y (6) en la ecuacin (5) se obtiene la siguiente

ecuacin diferencial de segundo orden:

Aplicando la transformada de LAPLACE y hallando la funcin de transferencia

obtenemos:

Sabemos que el sistema prototipo de segundo orden es:

Dndole la forma estndar de segundo orden a la ecuacin (7):

(

)

(

)



En este laboratorio implementamos 2 plantas las cuales fueron simuladas e

implementadas en tiempo real, demostrando un buen control mediante el MRAC

(Control Adaptivo con un Modelamiento de Referencia).

Para la primera planta como para la segunda se tomaron los siguientes valores de

componentes:

Siendo un componente diferente entre las dos plantas.

1.- Primera planta

a.- Diseo

Se diseara para que su respuesta transitoria sea subamortiguada por

lo que se ha tomado un sobrepaso del 14%.

Sabemos que la atenuacin:

Y la frecuencia de natural amortiguada:

Entonces en sobreenlogamiento se define como:

(

)

Despejando se obtiene:

(

)

Reemplazando el valor del sobreenlogamiento obtenemos:

Reemplazando en la ecuacin (9) y los valores de los componentes obtenemos:



Despejando y resolviendo la ecuacin cuadrtica se obtiene:

b.- Simulacin

Simulando el momento transitorio de la planta en PROTEUS obtenemos un

sobrepaso de 17%:

Fig 2.- Primera planta Sub-amortiguada

2.- Segunda planta

a.- Diseo

Se diseara para que su respuesta transitoria sea subamortiguada por

lo que se ha tomado un sobrepaso del 50%:

Sabemos que la parte real:

Y la frecuencia de natural amortiguada:

Entonces en sobreenlogamiento se define como:

(

)



Despejando se obtiene:

(

)

Reemplazando el valor del sobreenlogamiento obtenemos:

Reemplazando en la ecuacin (9) y los valores de los componentes obtenemos:

Despejando obtenemos, y resolviendo la ecuacin cuadrtica se obtiene:

b.- Simulacin

Simulando el momento transitorio de la planta en PROTEUS obtenemos un

sobrepaso de 50%:

Fig 3.- Segunda planta Sub-amortiguada



III.- Tcnica de control

Control por linealizacin exacta por realimentacin de estados

Esta tcnica de control es concebida como dos lazo de realimentacin, un primer

lazo que transforma el sistema original en un sistema lineal mediante una

realimentacin no lineal de las variables de estado y un segundo lazo externo que

controla el sistema lineal resultante.

1.- Primera Planta

Para la aplicacin concreta del control en nuestro primer diseo de planta

anloga tenemos los siguientes valores:

Recordemos que esta planta posee un sobrepaso del 14% y un coeficiente de

amortiguamiento de 0.527. Entonces tenemos como funcin de transferencia de

la planta:

()

Para llevar a cabo la tcnica de control debemos entender el siguiente diagrama de bloques:

Para desmenuzar el diagrama anterior comencemos conociendo la planta anloga

que ser sometida a control. Para ello llevaremos al espacio de estados nuestra

funcin de transferencia ()

[

] [

] [

]



[ ] [

]

De las ecuaciones de espacio anteriores podemos decir entonces:

[

] [

]

Ahora realizamos el clculo del Grado Relativo empleando las derivadas de Lie en

el modelo del proceso de segundo grado (n=2):

[ ] [

]

( ) [ ] [ ]

De acuerdo a las ecuaciones anteriores concluimos que el grado relativo del

proceso respecto a la salida es r=2. Esto implica que el proceso en

cuestin es completamente linealizable (r=n=2).

Por otro lado adems de la obtencin del grado relativo realizamos la

comprobacin estricta de la linealizacin exacta:

[ ]

Donde , , pues G es un vector constante, y:

[

]

[

] [

] [

]

Finalmente:

[ ]

Esto significa que tal conjunto est formado por campos vectoriales linealmente

independientes (primera condicin de linealizacin). Por otra parte, [ ]

es involutivo porque es constante. Finalmente podemos afirmar que el proceso

puede ser linealizado en forma exacta.



Una vez cumplidas las condiciones necesarias procedemos al diseo del

controlador en s. Primero realizaremos el cambio de coordenadas para

llevar al proceso a su forma normal:

[

] [

] [

]

Obtenidos estas nuevas coordenadas representaremos el proceso en funcin de la

variable z y hallaremos la ley de control:

[

] [

] [

]

[

] [

]

Las ecuaciones anteriores representan un doble integrador (

). La seal v

debe disearse de modo tal que siga una trayectoria angular de referencia

r(t).

De

En lazo cerrado:

[ ] [

]



Finalmente la ley de control resulta:

Adems sabemos que:

Entonces la ley de control tambin puede ser descrita por:

2.- Segunda Planta

Para esta planta de 50% de sobrepaso, tenemos los siguientes valores:

Recordemos que esta planta posee un sobrepaso del 14% y un coeficiente de

amortiguamiento de 0.527. Entonces tenemos como funcin de transferencia de

la planta:

()

Para llevar a cabo la tcnica de control debemos entender el siguiente diagrama

de bloques:



Para desmenuzar el diagrama anterior comencemos conociendo la planta anloga

que ser sometida a control. Para ello llevaremos al espacio de estados nuestra

funcin de transferencia ()

[

] [

] [

]

[ ] [

]

De las ecuaciones de espacio anteriores podemos decir entonces:

[

] [

]

Ahora realizamos el clculo del Grado Relativo empleando las derivadas de Lie en

el modelo del proceso de segundo grado (n=2):

[ ] [

]

( ) [ ] [ ]

Esto implica que el proceso en cuestin es completamente linealizable.

Por otro lado adems de la obtencin del grado relativo realizamos la

comprobacin estricta de la linealizacin exacta:

[ ]

Donde , , pues G es un vector constante, y:

[

]

[

] [

] [

]



Finalmente:

[ ]

Una vez cumplidas las condiciones necesarias procedemos al diseo del

controlador en s. Primero realizaremos el cambio de coordenadas para

llevar al proceso a su forma normal:

[

] [

] [

]

Obtenidos estas nuevas coordenadas representaremos el proceso en funcin de la

variable z y hallaremos la ley de control:

[

] [

] [

]

[

] [

]

Las ecuaciones anteriores representan un doble integrador (

). La seal v

debe disearse de modo tal que siga una trayectoria angular de referencia

r(t).

Finalmente la ley de control resulta de la misma forma que para la primera

planta:

Adems sabemos que:



Entonces la ley de control:

IV.- Simulaciones

1.- Primera Planta

1.a.- Matlab

Conocida la tcnica de control a aplicar a nuestra planta realizaremos los

algoritmos empleados en MATLAB y LABVIEW. Se utiliz el software MATLAB con

la finalidad de adems de visualizar la respuesta de nuestra planta ante un

escaln unitario, encontrar el vector de realimentacin [ ] de acuerdo a

especificaciones de tiempo de establecimiento (ts) y mximos sobreimpulso (Mp)

que se deseen adecuar al proceso.

clear all; close all; clc

% R1=10e3;

% R2=29.74e3;

% C2=100e-9;

% C1=470e-9;

R1=str2double(input('ingrese R1

= ', 's'));

R2=str2double(input('ingrese R2 =

', 's'));

C2=str2double(input('ingrese C2 =

', 's'));

C1=str2double(input('ingrese C1 =

', 's'));

wn=sqrt(1/(C1*C2*R1*R2))

delta=((R1+R2)/2)*sqrt(C2/(R1*R2*

C1))

if(delta



Para implementar el algoritmo de diagrama de bloque empleamos la plataforma LABVIEW. En la siguiente figura se describen bsicamente 4 etapas:

Seal de Control Equivalente Lineal: recordemos segn lo mencionado en la teora de control que la seal de control equivalente lineal es:

Ley de Control: nuevamente hacemos mencin de la teora de control donde encontramos que la ley de control est determinada por:

Planta Anloga: en el diagrama de bloques diseado en Labview colocamos la planta anloga a travs de bloques que representan el sistema en espacio de estados; debemos mencionar que esta etapa forma parte de las etapas 3 y 4 del diagrama, pues en la nmero cuatro observamos la misma planta pero ahora en lazo abierto:

[

] [

] [

]

[ ] [

]

De acuerdo al algoritmo implementado en el Editor de MATLAB, ingresamos los valores de nuestra respectiva planta y el programa nos arrojan los parmetros que aseguran el subamortiguamiento.

Podemos apreciar en la Figura 4 que la funcin de transferencia obtenida es la

misma a la obtenida de manera matemtica en el modelamiento:

Transfer function:

7.154e004

--------------------------------

s^2 + 284.3 s + 7.154e004



Fig 4 .- Funcin de transferencia y parmetros de la planta

subamortiguada

Adems podemos visualizar su respuesta ante un escaln unitario:

Fig 5 .- Seal de respuesta en Lazo Abierto

Adems el programa nos permite ingresar los parmetros de tiempo de

estabilizacin y mximo sobreimpulso que se deseen para la nueva planta, a

partir de los cuales se obtendrn la matriz de ganancia K, cuyos valores

observamos en la siguiente figura. Los valores elegidos para ts = 0.05 segundos y

Mp = 2% = 0.02 :

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

1

2

3

4

5

6Sistema Subamortiguado

t(s)

Sali

da



Fig 6 .- Obtencin de matriz de realimentacin K

Los valores obtenidos de la matriz de realimentacin para los nuevos polos

deseados son:

Polo 1 = -80.0000 - 64.2449i

Polo 2 = -80.0000 +64.2449i

k1 = 1.0527e+004 k2 = 160.0000

Y la funcin d transferencia en lazo cerrado resulta ahora:

1.053e004

---------------------------------

s^2 + 160 s + 1.053e004

Adems podemos visualizar la comparacin de la planta en lazo abierto y de la

misma sometida a un control por linealizacin exacta por realimentacin de

estados. Como se menciono antes el usuario puede elegir qu tipo de respuesta

frente a un escaln unitario desea obtener.

Cabe indicar que este controlador se emplea para plantas del tipo

subamortiguadas, si se desea controlar plantas con otro tipo de respuesta se

emplearn otros algoritmos de control.



Fig 7.- Seales de respuesta inicial y controlada

1.b.- LabView

Ahora mediante la plataforma Labview en su Panel Frontal podemos observar la

simulacin del controlador y la respuesta de la Planta ante un estmulo de

amplitud de 4 voltios.

Como se indica en el grfico el primer ploteo es el de la seal de entrada (color

rojo), seal de salida en lazo abierto (color azul) y seal de salida en lazo cerrado

(verde).

Adems los valores del vector de realimentacin K obtenidos en MATLAB estn

siendo empleados para conseguir la respuesta controlada del sistema.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

1

2

3

4

5

6Comparacion de Y y Yc

t(s)

Sal

ida

Planta L.A

Entrada

Planta L.C



Por otro lado debemos apreciar que la seal de control est siendo limitada entre 0 y 5 voltios

puesto que la idea de realizar esta simulacin es de establecer la etapa previa para luego pasar a

realizar el CONTROL EN TIEMPO REAL; y como sabemos la tarjeta de adquisicin NIDAQ 6009 que

se emplear arroja tensiones entre 0 y 5 voltios.

Fig 8.- Simulacin del controlador para la planta 1

2.- Segunda Planta

2.a.- Matlab

Para este sistema trabajamos con una planta que deriva de la original pero

regulada para que tenga 50% de sobrepaso mximo en lazo abierto, para ello

utilizamos el mismo cdigo matlab del sistema anterior para obtener los

resultados de este sistema as como su control por realimentacin de estados con

las constantes k1 y k2 con el criterio de los polos deseados:



Fig 9.- Insertando parmetro anlogos del sistema

Obtenemos la respuesta en lazo abierto con los elementos Wn , y el modelo en

lazo abierto:

El modelo en funcin de transferencia Gp(s):



Adems el programa nos permite ingresar los parmetros de tiempo de

estabilizacin y mximo sobreimpulso que se deseen para la nueva planta, a

partir de los cuales se obtendrn la matriz de ganancia K, cuyos valores

observamos en la siguiente figura. Los valores elegidos para ts = 0.045 segundos

y Mp = 2% = 0.02 :

Fig 10.- Obtencin de matriz de realimentacin K

Y la funcin de transferencia en lazo cerrado resulta ahora:

1.3e004

---------------------------------

s^2 + 177.8 s + 1.3e004

Adems podemos visualizar la comparacin de la planta en lazo abierto y de la

misma sometida a un control por linealizacin exacta por realimentacin de

estados. Como se menciono antes el usuario puede elegir qu tipo de respuesta

frente a un escaln unitario desea obtener.

Cabe indicar que este controlador se emplea para plantas del tipo

subamortiguadas, si se desea controlar plantas con otro tipo de respuesta se

emplearn otros algoritmos de control.



Fig 11.- Seales de respuesta inicial y controlada

2.b.- LabView

Ahora mediante la plataforma Labview en su Panel Frontal podemos observar la

simulacin del controlador y la respuesta de la Planta ante un estmulo de

amplitud de 0-5 voltios.

Como se indica en el grfico el primer ploteo es el de la seal de entrada (color

rojo), y seal de salida en lazo cerrado (verde). Adems de las seales de error e

y la de control u.

Adems los valores del vector de realimentacin K obtenidos en MATLAB han

sido insertados para comprobar su control al sistema.



Luego simulamos la respuesta del sistema ante el controlador diseado

anteriormente, para reducirle su alto sobrepaso (50%):

Fig 12.- Control de la planta por simulacin en LabView

V.- Control en Tiempo Real

1.- Materiales y equipos

Dentro de los materiales a emplear para esta experiencia podemos mencionar de

que se tratan de componentes electrnicos como:

- Resistencia de 1k y de 10k.

- Condensadores de 2.2uF y de 100nF.

- OPAMP TL082

- Fuente Simtrica de voltios.

Dentro de los equipos pues necesitaremos una PC con los software MATLAB

2010a y LABVIEW 2010, adems de la tarjeta de adquisicin de datos de National

Instruments NI-DAQ 6008 o 6009.



Fig 13.- Circuito y equipos a emplear (experimental).

2.- Segunda planta

Como se mencion antes las simulaciones constituyen la base para llegar a esta

etapa del control en tiempo real. Ahora haremos uso de la planta en fsico y del

algoritmo de control implementado en Labview, teniendo como interface entre la

PC y el circuito la tarjeta de adquisicin de National Instruments NIDAQ 6009.

Los componentes a emplear se mencionaron en el punto anterior; entonces lo que

resta hacer es adaptar el algoritmo en Labview mediante el Toolkit NI-DAQmx;

para lo cual tenemos que realizar la siguiente configuracin de los puertos de la

tarjeta:

Fig 14.- Diagrama de Pines de la NI-DAQ 6009



La adaptacin del algoritmo la podemos observar en la siguiente figura:

Fig 15.- Programacin en bloques de Labview para control en Tiempo Real

Para este caso emplearemos los puertos de entrada y salida anlogos, de entrada

utilizaremos los ai0 (pin Y) y para la salida el ao0 (pin X). No debemos olvidar de

conectar la tierra de la tarjeta a la tierra de nuestro circuito. A travs de la salida

ao podremos extraer la seal de control de la PC que ingresar a nuestra planta, y

mediante la entrada ai0 visualizaremos la respuesta de la planta ante los

estmulos que le brindemos desde el software pudiendo as variar el periodo o la

amplitud de la seal de referencia. En cuanto a la configuracin de la tarjeta se

realizar siguiendo los siguientes pasos:

Fig 16 .- Configuracin de la NI-DAQ como entrada



Fig 17.- Configuracin de los parmetros de la seal que vamos a obtener

Fig 18.- Configuracin de la NI-DAQ como salida



Fig 19.- Configuracin de los parmetros de la seal que va a salir a la

planta

Una vez realizada la correcta configuracin de la tarjeta y teniendo un correcto

controlador diseado procedemos a visualizar las seales obtenidas en el Panel

Frontal:

Fig 20.- Salida controlada del sistema en Tiempo Real



VI.- Conclusiones

1. A partir de la acotacin del factor de amortiguamiento podemos obtener los

valores de las resistencias y condensadores que definirn el

comportamiento transitorio de la planta.

2. Para valores del factor de amortiguamiento que estn entre cero y uno

obtendremos una planta cuyo comportamiento transitorio ser

subamortiguado.

3. Se concluye que estos sobrepasos se han hecho lo ms extremos posibles

para poder comprobar la eficiencia del controlador por linealizacin exacta

por realimentacin de estados.

4. Este tipo de control por linealizacin exacta por realimentacin de estados

es aplicado para plantas cuya respuesta frente a un impulso unitario de

entrada es del tipo subamortiguada, es decir (0 < < 1). Para plantas cuya

respuesta sea diferente a esta podemos aplicar otras tcnicas de control.

5. Este controlador resulta ser bueno para una planta de segundo orden,

incluso observamos que al realizar el control en tiempo real no debera ser

necesario modificar los valores de la matriz de realimentacin K. Sin

embargo cuando una planta presenta un sobrepaso alto como el que se ha

planteado en el tiempo real, si es necesario variar el K2, para este caso,

que regula las oscilaciones durante el establecimiento. Esto se presenta al

disear un controlador que rebajar el sobrepaso al mnimo y

rpidamente.

6. Para obtener buenos resultados y que nuestra control en tiempo real sea lo

ms exacto posible debemos emplear una electrnica adecuada es por ello

que se usa un OPAMP TL082 que posee un bajo (casi nulo) OFFSET de

salida, permitiendo que nuestra respuesta no se vea afectada en alto grado

por este problema. Adems debemos garantizar que la fuente de poder que

se emplea est en ptimas condiciones.

VII.- Bibliografa

1. Alberto Isidori. Nonlinear Control Systems. Second Edition. Springer

Verlag, Noviembre 1989.



2. Arturo Rojas Moreno. Control Avanzado: Diseo y Aplicaciones en Tiempo

Real. Publicacin Independiente, Abril 2011.

3. Ricardo Rodrguez Bustinza. No Lineal Multivariable por Realimentacin de

Estados Aplicado a un Robot Manipulador Esfrico de 2 DOF. Artculo

Independiente, 2011.

4. Ricardo Rodrguez Bsutinza. Estrategia de Diseo para el Control por

Linealizacin Exacta por Realimentacin de Estado. Artculo Independiente.

5. Ral Benites Saravia. Linealizacin por Realimentacin. Artculo

Independiente.

control por linealizacion exacta por realimentacion de estados

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