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1Ing. Gabriela Ortiz L. 1
Aproximaciones lineales de Sistemas Fsicos
Sistema Lineal: Se define en trminos de su excitacin y
respuesta
Un sistema lineal satisface las propiedades de: Superposicin Homogeneidad
Ing. Gabriela Ortiz L. 2
Aproximaciones lineales de Sistemas Fsicos
Sistemas No Lineales Ejemplos y = x2
y = mx+b
No satisface la propiedad de superposicin
No cumple principio de homogeneidad
Ing. Gabriela Ortiz L. 3
Aproximacin Lineal de Sistemas Matemticos No Lineales
Mtodo Series de Taylor para obtener aproximacin
Considerando un sistema dinmico donde:x(t): excitaciny(t) : respuesta
Las variables se relacionan por y(t)=f(x(t))
Punto de operacin normalx0, y0
Ing. Gabriela Ortiz L. 4
Aproximacin Lineal de Sistemas Matemticos No Lineales
Considerando que en el rango de inters la funcin es continua, por tanto puede emplearse una expansin en Serie de Taylor en el punto de operacin x0:
Si la variacin (x-x0) es pequea, es posible no considerar los trminos de orden superior de (x-x0)
...)(!2
1)()()( 202
2
00
00
+++===
=
xxdx
fdxx
dx
dfxfxfy
xxxx
-
2Ing. Gabriela Ortiz L. 5
Aproximacin Lineal de Sistemas Matemticos No Lineales
Adems la pendiente en el punto de operacin est dada por:
Entonces la expansin se reduce a:0xx
dx
dfk
=
=
)( 00 xxkyy +=Ing. Gabriela Ortiz L. 6
Aproximacin Lineal de Sistemas Matemticos No Lineales
Aproximacin lineal cerca del punto de operacin se puede representar como:
Una aproximacin lineal es exacta si es aplicable la hiptesis de pequea seal.
)( 00 xxkyy =
Ing. Gabriela Ortiz L. 7
Sistema No Lineal cuya salida es funcin de 2 entradas
Considere y=f(x1,x2) donde x1 y x2 son entradas
Punto de operacin normal x10, x20
Sistema yx2
x1
Ing. Gabriela Ortiz L. 8
Sistema No Lineal cuya salida es funcin de 2 entradas
Expansin en series de Taylor alrededor del punto de operacin normal
K+
+
+
+
+
+
+=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
22022
2
2
202101
21
22
10121
2
202
2
101
1
2010
)())((2)(!2
1
)()(),(
202
101
202
101
202
101
202
101
202
101
xxx
fxxxx
xx
fxx
x
f
xxx
fxx
x
fxxfy
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
-
3Ing. Gabriela Ortiz L. 9
Sistema No Lineal cuya salida es funcin de 2 entradas
Trabajando cerca del punto de operacin:
Donde
)()( 202210110 xxkxxkyy +=
202
101
202
101
2
2
1
1
xx
xx
xx
xx
x
fk
x
fk
=
=
=
=
=
=
Ing. Gabriela Ortiz L. 10
Linealizacin utilizando ecuaciones de estado
Un sistema con p-entradas y n-variables de estado se representa por:
Donde
)](),([)(
ttfdt
tdrx
x=
nx1defuncinvectorrx =)](),([ ttf
nx1deestadodevectorx =)(t
px1entradadevectorr =)(t
Ing. Gabriela Ortiz L. 11
Linealizacin utilizando ecuaciones de estado Trayectoria de operacin
x0(t) :entrada nominal r0(t) : estados iniciales
Expansin de la serie de Taylor alrededor de x0(t) y despreciando los trminos de orden superior
=
=
+
+
+=
p
jjj
rxj
i
n
jjj
rxj
ii
rrr
f
xxx
ffix
10
,
10
,
00
)(),(
)(),(
),(
00
00
rx
rxrx&
Donde i=1,2,n Ing. Gabriela Ortiz L. 12
Linealizacin utilizando ecuaciones de estado
Hacemos
0
0
0
000 ),(
jjj
jjj
iii
i
rrr
xxx
xxx
fx
==
==
&&&
& rx
-
4Ing. Gabriela Ortiz L. 13
Linealizacin utilizando ecuaciones de estado
La ecuacin se describe entonces como:
Matricialmente
==
+
=p
jj
rxj
in
jj
rxj
ii r
r
fx
x
fx
1,
1, 0000
),(),( rxrx&
rBxAx += &
Ing. Gabriela Ortiz L. 14
Linealizacin utilizando ecuaciones de estado
Donde
=
n
nnn
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
L
MLMM
L
L
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
A
=
p
nnn
p
p
r
f
r
f
r
f
r
f
r
f
r
f
r
f
r
f
r
f
L
MLMM
L
L
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
B
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Referencias
[1] Kuo, Benjamn C. Sistemas de Control Automtico. Prentice Hall, 7 edicin, 1996, Mxico.
[2] Ogata, Katsuhiko. Ingeniera de Control Moderna. Prentice Hall, 4 Edicin, 2003, Mxico