límites y continuidad -...
TRANSCRIPT
Liacutemites y continuidad
LIacuteMITES
El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo
infinitesimal (diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el
valor al que tiende una funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero
determinado o al infinito
Definicioacuten de liacutemite
Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a
observar queacute sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende
(se aproxima) a un valor determinado
Ejemplo
En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el
entorno de 2 y calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)
x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como
por la derecha tomando valores menores o mayores que 2
f (x) se aproxima tiende cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes
cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo cuando la diferencia
en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea asimismo la
diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada
vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la
tabla inferior derecha)
O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando
la variable independiente se aproxima tambieacuten a un valor
constante
19
199
1999
19999
20001
2001
201
21
261
29601
2996001
299960001
300040001
3004001
30401
341
|x 2| | f (x) 3|
|19-2| = 01
|199-2| = 001
|1999-2| = 0001
|19999-2| = 00001
|20001-2| = 00001
|2001-2| = 0001
|201-2| = 001
|21-2| = 01
|261-3| = 039
|29601-3| = 00399
|2996001-3| = 0003999
|299960001-3| = 000039999
|300040001-3| = 000040001
|3004001-3| = 0004001
|30401-3| = 00401
|341-3| = 041
De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende
a 2 es 3
Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite
Definicioacuten eacutepsilon-delta
Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite
de f (x) cuando x tiende a a es L y se escribe
Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista
Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)
En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado
aplicando la definicioacuten Eacutepsilon-delta
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
Teoremas de liacutemites
Para facilitar la obtencioacuten del liacutemite de una funcioacuten sin tener que recurrir cada vez a la definicioacuten Eacutepsilon-Delta se establecen los siguientes teoremas
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia
Teorema de liacutemite1 Si k es una constante y a un nuacutemero cualquiera entonces
Teorema de liacutemite2
Para cualquier nuacutemero dado a
Teorema de liacutemite3
Si m y b son dos constantes cualesquiera entonces
Teorema de liacutemite4
Teorema de liacutemite5
Teorema de liacutemite6
Si f es un polinomio y a es un nuacutemero real entonces
Teorema de liacutemite7
Si q es una funcioacuten racional y a pertenece al dominio de q entonces
Teorema de liacutemite8
Procedimiento para calcular liacutemites Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores el liacutemite se calcula
directamente Con respecto a las propiedades como la propiedad 6 se aplica a cualquier
polinomio y las propiedades 1 2 3 y 4 implican funciones polinoacutemicas es indistinto que
nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6
cuando calculamos el liacutemite de una funcioacuten polinoacutemica Lo mismo la propiedad 7 se
aplica a una funcioacuten racional y la propiedad 4 (III) tambieacuten
Cuando al sustituir la a por x en la funcioacuten nos da la forma indeterminada 00 es
posible calcular el liacutemite pero previamente hay que transformar la foacutermula de la
funcioacuten de tal modo que una vez hecha la simplificacioacuten pertinente se pueda evitar la
divisioacuten por cero para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces
como la factorizacioacuten la conjugada etc
Ejercicios resueltos
Evalueacute los siguientes liacutemites indicando la propiedad o propiedades que se aplican
en cada paso
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00 no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL1
7 Solucioacuten
No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00 no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL7 o el TL4(III)
8 Solucioacuten
Si pretendieacuteramos aplicar el liacutemite directamente a partir del TL7 nos dariacutea la forma indeterminada 00
por lo que se debe factorizar y luego simplificar la expresioacuten antes de poder hacer uso del TL6
9 Solucioacuten No se puede aplicar el liacutemite directamente dariacutea la forma indeterminada 00 no obstante
luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la expresioacuten en el numerador y luego reduciendo y simplificando se puede aplicar el TL para hallar el liacutemite
10 Solucioacuten
Luego de la transformacioacuten de la expresioacuten se aplican los TL7 y TL8
11 Solucioacuten
El liacutemite no se puede aplicar directamente resultariacutea la forma indeterminada 00 no obstante una vez factorizando y simplificando la expresioacuten queda expedita para hallar el liacutemite mediante los TL7 y TL6
12 Solucioacuten
Liacutemites unilaterales
Hay casos en que las funciones no estaacuten definidas (en los reales) a la izquierda o a la
derecha de un nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a
dicho nuacutemero que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no
tiene sentido
Ejemplo
Liacutemite unilateral por la derecha
Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros del intervalo abierto (a c) Entonces el
liacutemite de f (x) cuando x se aproxima a a por la derecha es L y se escribe
Liacutemite unilateral por la izquierda
Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros de (d a) Entonces el liacutemite de f (x)
cuando x se aproxima a a por la izquierda es L y se escribe
Liacutemite bilateral
Teorema de liacutemite12
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
Continuidad de una funcioacuten
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede observar un
salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de continuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a
14 demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es
eliminable o esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los
ejercicios 15 a 21 determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusioacuten f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 002
5
012
5
0
2
02
5
0
2
012
5
002
5
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
Liacutemites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado
Crecimiento infinito
Decrecimiento infinito
Teorema de liacutemite13
Teorema de liacutemite14
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de liacutemite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar
las asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical
Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s)
asiacutentota(s) vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
Liacutemites en el infinito
Teorema de liacutemite18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Teorema de liacutemite19
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
Definicioacuten eacutepsilon-delta
Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite
de f (x) cuando x tiende a a es L y se escribe
Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista
Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)
En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado
aplicando la definicioacuten Eacutepsilon-delta
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
Teoremas de liacutemites
Para facilitar la obtencioacuten del liacutemite de una funcioacuten sin tener que recurrir cada vez a la definicioacuten Eacutepsilon-Delta se establecen los siguientes teoremas
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia
Teorema de liacutemite1 Si k es una constante y a un nuacutemero cualquiera entonces
Teorema de liacutemite2
Para cualquier nuacutemero dado a
Teorema de liacutemite3
Si m y b son dos constantes cualesquiera entonces
Teorema de liacutemite4
Teorema de liacutemite5
Teorema de liacutemite6
Si f es un polinomio y a es un nuacutemero real entonces
Teorema de liacutemite7
Si q es una funcioacuten racional y a pertenece al dominio de q entonces
Teorema de liacutemite8
Procedimiento para calcular liacutemites Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores el liacutemite se calcula
directamente Con respecto a las propiedades como la propiedad 6 se aplica a cualquier
polinomio y las propiedades 1 2 3 y 4 implican funciones polinoacutemicas es indistinto que
nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6
cuando calculamos el liacutemite de una funcioacuten polinoacutemica Lo mismo la propiedad 7 se
aplica a una funcioacuten racional y la propiedad 4 (III) tambieacuten
Cuando al sustituir la a por x en la funcioacuten nos da la forma indeterminada 00 es
posible calcular el liacutemite pero previamente hay que transformar la foacutermula de la
funcioacuten de tal modo que una vez hecha la simplificacioacuten pertinente se pueda evitar la
divisioacuten por cero para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces
como la factorizacioacuten la conjugada etc
Ejercicios resueltos
Evalueacute los siguientes liacutemites indicando la propiedad o propiedades que se aplican
en cada paso
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00 no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL1
7 Solucioacuten
No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00 no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL7 o el TL4(III)
8 Solucioacuten
Si pretendieacuteramos aplicar el liacutemite directamente a partir del TL7 nos dariacutea la forma indeterminada 00
por lo que se debe factorizar y luego simplificar la expresioacuten antes de poder hacer uso del TL6
9 Solucioacuten No se puede aplicar el liacutemite directamente dariacutea la forma indeterminada 00 no obstante
luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la expresioacuten en el numerador y luego reduciendo y simplificando se puede aplicar el TL para hallar el liacutemite
10 Solucioacuten
Luego de la transformacioacuten de la expresioacuten se aplican los TL7 y TL8
11 Solucioacuten
El liacutemite no se puede aplicar directamente resultariacutea la forma indeterminada 00 no obstante una vez factorizando y simplificando la expresioacuten queda expedita para hallar el liacutemite mediante los TL7 y TL6
12 Solucioacuten
Liacutemites unilaterales
Hay casos en que las funciones no estaacuten definidas (en los reales) a la izquierda o a la
derecha de un nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a
dicho nuacutemero que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no
tiene sentido
Ejemplo
Liacutemite unilateral por la derecha
Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros del intervalo abierto (a c) Entonces el
liacutemite de f (x) cuando x se aproxima a a por la derecha es L y se escribe
Liacutemite unilateral por la izquierda
Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros de (d a) Entonces el liacutemite de f (x)
cuando x se aproxima a a por la izquierda es L y se escribe
Liacutemite bilateral
Teorema de liacutemite12
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
Continuidad de una funcioacuten
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede observar un
salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de continuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a
14 demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es
eliminable o esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los
ejercicios 15 a 21 determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusioacuten f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 002
5
012
5
0
2
02
5
0
2
012
5
002
5
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
Liacutemites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado
Crecimiento infinito
Decrecimiento infinito
Teorema de liacutemite13
Teorema de liacutemite14
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de liacutemite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar
las asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical
Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s)
asiacutentota(s) vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
Liacutemites en el infinito
Teorema de liacutemite18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Teorema de liacutemite19
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
Teoremas de liacutemites
Para facilitar la obtencioacuten del liacutemite de una funcioacuten sin tener que recurrir cada vez a la definicioacuten Eacutepsilon-Delta se establecen los siguientes teoremas
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia
Teorema de liacutemite1 Si k es una constante y a un nuacutemero cualquiera entonces
Teorema de liacutemite2
Para cualquier nuacutemero dado a
Teorema de liacutemite3
Si m y b son dos constantes cualesquiera entonces
Teorema de liacutemite4
Teorema de liacutemite5
Teorema de liacutemite6
Si f es un polinomio y a es un nuacutemero real entonces
Teorema de liacutemite7
Si q es una funcioacuten racional y a pertenece al dominio de q entonces
Teorema de liacutemite8
Procedimiento para calcular liacutemites Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores el liacutemite se calcula
directamente Con respecto a las propiedades como la propiedad 6 se aplica a cualquier
polinomio y las propiedades 1 2 3 y 4 implican funciones polinoacutemicas es indistinto que
nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6
cuando calculamos el liacutemite de una funcioacuten polinoacutemica Lo mismo la propiedad 7 se
aplica a una funcioacuten racional y la propiedad 4 (III) tambieacuten
Cuando al sustituir la a por x en la funcioacuten nos da la forma indeterminada 00 es
posible calcular el liacutemite pero previamente hay que transformar la foacutermula de la
funcioacuten de tal modo que una vez hecha la simplificacioacuten pertinente se pueda evitar la
divisioacuten por cero para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces
como la factorizacioacuten la conjugada etc
Ejercicios resueltos
Evalueacute los siguientes liacutemites indicando la propiedad o propiedades que se aplican
en cada paso
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00 no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL1
7 Solucioacuten
No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00 no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL7 o el TL4(III)
8 Solucioacuten
Si pretendieacuteramos aplicar el liacutemite directamente a partir del TL7 nos dariacutea la forma indeterminada 00
por lo que se debe factorizar y luego simplificar la expresioacuten antes de poder hacer uso del TL6
9 Solucioacuten No se puede aplicar el liacutemite directamente dariacutea la forma indeterminada 00 no obstante
luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la expresioacuten en el numerador y luego reduciendo y simplificando se puede aplicar el TL para hallar el liacutemite
10 Solucioacuten
Luego de la transformacioacuten de la expresioacuten se aplican los TL7 y TL8
11 Solucioacuten
El liacutemite no se puede aplicar directamente resultariacutea la forma indeterminada 00 no obstante una vez factorizando y simplificando la expresioacuten queda expedita para hallar el liacutemite mediante los TL7 y TL6
12 Solucioacuten
Liacutemites unilaterales
Hay casos en que las funciones no estaacuten definidas (en los reales) a la izquierda o a la
derecha de un nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a
dicho nuacutemero que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no
tiene sentido
Ejemplo
Liacutemite unilateral por la derecha
Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros del intervalo abierto (a c) Entonces el
liacutemite de f (x) cuando x se aproxima a a por la derecha es L y se escribe
Liacutemite unilateral por la izquierda
Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros de (d a) Entonces el liacutemite de f (x)
cuando x se aproxima a a por la izquierda es L y se escribe
Liacutemite bilateral
Teorema de liacutemite12
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
Continuidad de una funcioacuten
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede observar un
salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de continuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a
14 demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es
eliminable o esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los
ejercicios 15 a 21 determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusioacuten f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 002
5
012
5
0
2
02
5
0
2
012
5
002
5
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
Liacutemites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado
Crecimiento infinito
Decrecimiento infinito
Teorema de liacutemite13
Teorema de liacutemite14
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de liacutemite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar
las asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical
Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s)
asiacutentota(s) vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
Liacutemites en el infinito
Teorema de liacutemite18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Teorema de liacutemite19
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
4 Solucioacuten
Teoremas de liacutemites
Para facilitar la obtencioacuten del liacutemite de una funcioacuten sin tener que recurrir cada vez a la definicioacuten Eacutepsilon-Delta se establecen los siguientes teoremas
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia
Teorema de liacutemite1 Si k es una constante y a un nuacutemero cualquiera entonces
Teorema de liacutemite2
Para cualquier nuacutemero dado a
Teorema de liacutemite3
Si m y b son dos constantes cualesquiera entonces
Teorema de liacutemite4
Teorema de liacutemite5
Teorema de liacutemite6
Si f es un polinomio y a es un nuacutemero real entonces
Teorema de liacutemite7
Si q es una funcioacuten racional y a pertenece al dominio de q entonces
Teorema de liacutemite8
Procedimiento para calcular liacutemites Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores el liacutemite se calcula
directamente Con respecto a las propiedades como la propiedad 6 se aplica a cualquier
polinomio y las propiedades 1 2 3 y 4 implican funciones polinoacutemicas es indistinto que
nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6
cuando calculamos el liacutemite de una funcioacuten polinoacutemica Lo mismo la propiedad 7 se
aplica a una funcioacuten racional y la propiedad 4 (III) tambieacuten
Cuando al sustituir la a por x en la funcioacuten nos da la forma indeterminada 00 es
posible calcular el liacutemite pero previamente hay que transformar la foacutermula de la
funcioacuten de tal modo que una vez hecha la simplificacioacuten pertinente se pueda evitar la
divisioacuten por cero para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces
como la factorizacioacuten la conjugada etc
Ejercicios resueltos
Evalueacute los siguientes liacutemites indicando la propiedad o propiedades que se aplican
en cada paso
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00 no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL1
7 Solucioacuten
No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00 no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL7 o el TL4(III)
8 Solucioacuten
Si pretendieacuteramos aplicar el liacutemite directamente a partir del TL7 nos dariacutea la forma indeterminada 00
por lo que se debe factorizar y luego simplificar la expresioacuten antes de poder hacer uso del TL6
9 Solucioacuten No se puede aplicar el liacutemite directamente dariacutea la forma indeterminada 00 no obstante
luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la expresioacuten en el numerador y luego reduciendo y simplificando se puede aplicar el TL para hallar el liacutemite
10 Solucioacuten
Luego de la transformacioacuten de la expresioacuten se aplican los TL7 y TL8
11 Solucioacuten
El liacutemite no se puede aplicar directamente resultariacutea la forma indeterminada 00 no obstante una vez factorizando y simplificando la expresioacuten queda expedita para hallar el liacutemite mediante los TL7 y TL6
12 Solucioacuten
Liacutemites unilaterales
Hay casos en que las funciones no estaacuten definidas (en los reales) a la izquierda o a la
derecha de un nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a
dicho nuacutemero que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no
tiene sentido
Ejemplo
Liacutemite unilateral por la derecha
Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros del intervalo abierto (a c) Entonces el
liacutemite de f (x) cuando x se aproxima a a por la derecha es L y se escribe
Liacutemite unilateral por la izquierda
Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros de (d a) Entonces el liacutemite de f (x)
cuando x se aproxima a a por la izquierda es L y se escribe
Liacutemite bilateral
Teorema de liacutemite12
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
Continuidad de una funcioacuten
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede observar un
salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de continuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a
14 demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es
eliminable o esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los
ejercicios 15 a 21 determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusioacuten f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 002
5
012
5
0
2
02
5
0
2
012
5
002
5
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
Liacutemites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado
Crecimiento infinito
Decrecimiento infinito
Teorema de liacutemite13
Teorema de liacutemite14
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de liacutemite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar
las asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical
Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s)
asiacutentota(s) vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
Liacutemites en el infinito
Teorema de liacutemite18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Teorema de liacutemite19
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
Teorema de liacutemite5
Teorema de liacutemite6
Si f es un polinomio y a es un nuacutemero real entonces
Teorema de liacutemite7
Si q es una funcioacuten racional y a pertenece al dominio de q entonces
Teorema de liacutemite8
Procedimiento para calcular liacutemites Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores el liacutemite se calcula
directamente Con respecto a las propiedades como la propiedad 6 se aplica a cualquier
polinomio y las propiedades 1 2 3 y 4 implican funciones polinoacutemicas es indistinto que
nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6
cuando calculamos el liacutemite de una funcioacuten polinoacutemica Lo mismo la propiedad 7 se
aplica a una funcioacuten racional y la propiedad 4 (III) tambieacuten
Cuando al sustituir la a por x en la funcioacuten nos da la forma indeterminada 00 es
posible calcular el liacutemite pero previamente hay que transformar la foacutermula de la
funcioacuten de tal modo que una vez hecha la simplificacioacuten pertinente se pueda evitar la
divisioacuten por cero para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces
como la factorizacioacuten la conjugada etc
Ejercicios resueltos
Evalueacute los siguientes liacutemites indicando la propiedad o propiedades que se aplican
en cada paso
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00 no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL1
7 Solucioacuten
No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00 no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL7 o el TL4(III)
8 Solucioacuten
Si pretendieacuteramos aplicar el liacutemite directamente a partir del TL7 nos dariacutea la forma indeterminada 00
por lo que se debe factorizar y luego simplificar la expresioacuten antes de poder hacer uso del TL6
9 Solucioacuten No se puede aplicar el liacutemite directamente dariacutea la forma indeterminada 00 no obstante
luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la expresioacuten en el numerador y luego reduciendo y simplificando se puede aplicar el TL para hallar el liacutemite
10 Solucioacuten
Luego de la transformacioacuten de la expresioacuten se aplican los TL7 y TL8
11 Solucioacuten
El liacutemite no se puede aplicar directamente resultariacutea la forma indeterminada 00 no obstante una vez factorizando y simplificando la expresioacuten queda expedita para hallar el liacutemite mediante los TL7 y TL6
12 Solucioacuten
Liacutemites unilaterales
Hay casos en que las funciones no estaacuten definidas (en los reales) a la izquierda o a la
derecha de un nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a
dicho nuacutemero que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no
tiene sentido
Ejemplo
Liacutemite unilateral por la derecha
Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros del intervalo abierto (a c) Entonces el
liacutemite de f (x) cuando x se aproxima a a por la derecha es L y se escribe
Liacutemite unilateral por la izquierda
Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros de (d a) Entonces el liacutemite de f (x)
cuando x se aproxima a a por la izquierda es L y se escribe
Liacutemite bilateral
Teorema de liacutemite12
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
Continuidad de una funcioacuten
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede observar un
salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de continuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a
14 demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es
eliminable o esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los
ejercicios 15 a 21 determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusioacuten f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 002
5
012
5
0
2
02
5
0
2
012
5
002
5
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
Liacutemites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado
Crecimiento infinito
Decrecimiento infinito
Teorema de liacutemite13
Teorema de liacutemite14
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de liacutemite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar
las asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical
Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s)
asiacutentota(s) vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
Liacutemites en el infinito
Teorema de liacutemite18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Teorema de liacutemite19
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
Ejercicios resueltos
Evalueacute los siguientes liacutemites indicando la propiedad o propiedades que se aplican
en cada paso
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00 no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL1
7 Solucioacuten
No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00 no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL7 o el TL4(III)
8 Solucioacuten
Si pretendieacuteramos aplicar el liacutemite directamente a partir del TL7 nos dariacutea la forma indeterminada 00
por lo que se debe factorizar y luego simplificar la expresioacuten antes de poder hacer uso del TL6
9 Solucioacuten No se puede aplicar el liacutemite directamente dariacutea la forma indeterminada 00 no obstante
luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la expresioacuten en el numerador y luego reduciendo y simplificando se puede aplicar el TL para hallar el liacutemite
10 Solucioacuten
Luego de la transformacioacuten de la expresioacuten se aplican los TL7 y TL8
11 Solucioacuten
El liacutemite no se puede aplicar directamente resultariacutea la forma indeterminada 00 no obstante una vez factorizando y simplificando la expresioacuten queda expedita para hallar el liacutemite mediante los TL7 y TL6
12 Solucioacuten
Liacutemites unilaterales
Hay casos en que las funciones no estaacuten definidas (en los reales) a la izquierda o a la
derecha de un nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a
dicho nuacutemero que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no
tiene sentido
Ejemplo
Liacutemite unilateral por la derecha
Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros del intervalo abierto (a c) Entonces el
liacutemite de f (x) cuando x se aproxima a a por la derecha es L y se escribe
Liacutemite unilateral por la izquierda
Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros de (d a) Entonces el liacutemite de f (x)
cuando x se aproxima a a por la izquierda es L y se escribe
Liacutemite bilateral
Teorema de liacutemite12
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
Continuidad de una funcioacuten
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede observar un
salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de continuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a
14 demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es
eliminable o esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los
ejercicios 15 a 21 determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusioacuten f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 002
5
012
5
0
2
02
5
0
2
012
5
002
5
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
Liacutemites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado
Crecimiento infinito
Decrecimiento infinito
Teorema de liacutemite13
Teorema de liacutemite14
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de liacutemite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar
las asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical
Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s)
asiacutentota(s) vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
Liacutemites en el infinito
Teorema de liacutemite18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Teorema de liacutemite19
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00 no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL1
7 Solucioacuten
No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00 no obstante luego de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite
aplicando el TL7 o el TL4(III)
8 Solucioacuten
Si pretendieacuteramos aplicar el liacutemite directamente a partir del TL7 nos dariacutea la forma indeterminada 00
por lo que se debe factorizar y luego simplificar la expresioacuten antes de poder hacer uso del TL6
9 Solucioacuten No se puede aplicar el liacutemite directamente dariacutea la forma indeterminada 00 no obstante
luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la expresioacuten en el numerador y luego reduciendo y simplificando se puede aplicar el TL para hallar el liacutemite
10 Solucioacuten
Luego de la transformacioacuten de la expresioacuten se aplican los TL7 y TL8
11 Solucioacuten
El liacutemite no se puede aplicar directamente resultariacutea la forma indeterminada 00 no obstante una vez factorizando y simplificando la expresioacuten queda expedita para hallar el liacutemite mediante los TL7 y TL6
12 Solucioacuten
Liacutemites unilaterales
Hay casos en que las funciones no estaacuten definidas (en los reales) a la izquierda o a la
derecha de un nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a
dicho nuacutemero que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no
tiene sentido
Ejemplo
Liacutemite unilateral por la derecha
Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros del intervalo abierto (a c) Entonces el
liacutemite de f (x) cuando x se aproxima a a por la derecha es L y se escribe
Liacutemite unilateral por la izquierda
Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros de (d a) Entonces el liacutemite de f (x)
cuando x se aproxima a a por la izquierda es L y se escribe
Liacutemite bilateral
Teorema de liacutemite12
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
Continuidad de una funcioacuten
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede observar un
salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de continuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a
14 demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es
eliminable o esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los
ejercicios 15 a 21 determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusioacuten f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 002
5
012
5
0
2
02
5
0
2
012
5
002
5
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
Liacutemites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado
Crecimiento infinito
Decrecimiento infinito
Teorema de liacutemite13
Teorema de liacutemite14
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de liacutemite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar
las asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical
Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s)
asiacutentota(s) vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
Liacutemites en el infinito
Teorema de liacutemite18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Teorema de liacutemite19
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
10 Solucioacuten
Luego de la transformacioacuten de la expresioacuten se aplican los TL7 y TL8
11 Solucioacuten
El liacutemite no se puede aplicar directamente resultariacutea la forma indeterminada 00 no obstante una vez factorizando y simplificando la expresioacuten queda expedita para hallar el liacutemite mediante los TL7 y TL6
12 Solucioacuten
Liacutemites unilaterales
Hay casos en que las funciones no estaacuten definidas (en los reales) a la izquierda o a la
derecha de un nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a
dicho nuacutemero que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no
tiene sentido
Ejemplo
Liacutemite unilateral por la derecha
Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros del intervalo abierto (a c) Entonces el
liacutemite de f (x) cuando x se aproxima a a por la derecha es L y se escribe
Liacutemite unilateral por la izquierda
Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros de (d a) Entonces el liacutemite de f (x)
cuando x se aproxima a a por la izquierda es L y se escribe
Liacutemite bilateral
Teorema de liacutemite12
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
Continuidad de una funcioacuten
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede observar un
salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de continuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a
14 demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es
eliminable o esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los
ejercicios 15 a 21 determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusioacuten f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 002
5
012
5
0
2
02
5
0
2
012
5
002
5
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
Liacutemites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado
Crecimiento infinito
Decrecimiento infinito
Teorema de liacutemite13
Teorema de liacutemite14
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de liacutemite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar
las asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical
Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s)
asiacutentota(s) vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
Liacutemites en el infinito
Teorema de liacutemite18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Teorema de liacutemite19
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
Liacutemites unilaterales
Hay casos en que las funciones no estaacuten definidas (en los reales) a la izquierda o a la
derecha de un nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a
dicho nuacutemero que supone que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no
tiene sentido
Ejemplo
Liacutemite unilateral por la derecha
Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros del intervalo abierto (a c) Entonces el
liacutemite de f (x) cuando x se aproxima a a por la derecha es L y se escribe
Liacutemite unilateral por la izquierda
Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros de (d a) Entonces el liacutemite de f (x)
cuando x se aproxima a a por la izquierda es L y se escribe
Liacutemite bilateral
Teorema de liacutemite12
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
Continuidad de una funcioacuten
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede observar un
salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de continuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a
14 demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es
eliminable o esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los
ejercicios 15 a 21 determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusioacuten f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 002
5
012
5
0
2
02
5
0
2
012
5
002
5
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
Liacutemites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado
Crecimiento infinito
Decrecimiento infinito
Teorema de liacutemite13
Teorema de liacutemite14
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de liacutemite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar
las asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical
Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s)
asiacutentota(s) vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
Liacutemites en el infinito
Teorema de liacutemite18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Teorema de liacutemite19
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
Continuidad de una funcioacuten
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede observar un
salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de continuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a
14 demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es
eliminable o esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los
ejercicios 15 a 21 determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusioacuten f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 002
5
012
5
0
2
02
5
0
2
012
5
002
5
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
Liacutemites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado
Crecimiento infinito
Decrecimiento infinito
Teorema de liacutemite13
Teorema de liacutemite14
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de liacutemite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar
las asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical
Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s)
asiacutentota(s) vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
Liacutemites en el infinito
Teorema de liacutemite18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Teorema de liacutemite19
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
Continuidad de una funcioacuten
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede observar un
salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de continuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a
14 demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es
eliminable o esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los
ejercicios 15 a 21 determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusioacuten f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 002
5
012
5
0
2
02
5
0
2
012
5
002
5
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
Liacutemites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado
Crecimiento infinito
Decrecimiento infinito
Teorema de liacutemite13
Teorema de liacutemite14
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de liacutemite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar
las asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical
Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s)
asiacutentota(s) vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
Liacutemites en el infinito
Teorema de liacutemite18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Teorema de liacutemite19
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede observar un
salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de continuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a
14 demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es
eliminable o esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los
ejercicios 15 a 21 determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusioacuten f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 002
5
012
5
0
2
02
5
0
2
012
5
002
5
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
Liacutemites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado
Crecimiento infinito
Decrecimiento infinito
Teorema de liacutemite13
Teorema de liacutemite14
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de liacutemite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar
las asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical
Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s)
asiacutentota(s) vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
Liacutemites en el infinito
Teorema de liacutemite18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Teorema de liacutemite19
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de continuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a
14 demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es
eliminable o esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los
ejercicios 15 a 21 determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusioacuten f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 002
5
012
5
0
2
02
5
0
2
012
5
002
5
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
Liacutemites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado
Crecimiento infinito
Decrecimiento infinito
Teorema de liacutemite13
Teorema de liacutemite14
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de liacutemite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar
las asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical
Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s)
asiacutentota(s) vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
Liacutemites en el infinito
Teorema de liacutemite18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Teorema de liacutemite19
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 002
5
012
5
0
2
02
5
0
2
012
5
002
5
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
Liacutemites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado
Crecimiento infinito
Decrecimiento infinito
Teorema de liacutemite13
Teorema de liacutemite14
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de liacutemite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar
las asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical
Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s)
asiacutentota(s) vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
Liacutemites en el infinito
Teorema de liacutemite18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Teorema de liacutemite19
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 002
5
012
5
0
2
02
5
0
2
012
5
002
5
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
Liacutemites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado
Crecimiento infinito
Decrecimiento infinito
Teorema de liacutemite13
Teorema de liacutemite14
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de liacutemite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar
las asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical
Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s)
asiacutentota(s) vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
Liacutemites en el infinito
Teorema de liacutemite18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Teorema de liacutemite19
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
Liacutemites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado
Crecimiento infinito
Decrecimiento infinito
Teorema de liacutemite13
Teorema de liacutemite14
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de liacutemite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar
las asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical
Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s)
asiacutentota(s) vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
Liacutemites en el infinito
Teorema de liacutemite18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Teorema de liacutemite19
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
Liacutemites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado
Crecimiento infinito
Decrecimiento infinito
Teorema de liacutemite13
Teorema de liacutemite14
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de liacutemite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar
las asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical
Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s)
asiacutentota(s) vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
Liacutemites en el infinito
Teorema de liacutemite18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Teorema de liacutemite19
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
Liacutemites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado
Crecimiento infinito
Decrecimiento infinito
Teorema de liacutemite13
Teorema de liacutemite14
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de liacutemite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar
las asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical
Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s)
asiacutentota(s) vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
Liacutemites en el infinito
Teorema de liacutemite18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Teorema de liacutemite19
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
Liacutemites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado
Crecimiento infinito
Decrecimiento infinito
Teorema de liacutemite13
Teorema de liacutemite14
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de liacutemite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar
las asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical
Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s)
asiacutentota(s) vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
Liacutemites en el infinito
Teorema de liacutemite18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Teorema de liacutemite19
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
21 Solucioacuten
Liacutemites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado
Crecimiento infinito
Decrecimiento infinito
Teorema de liacutemite13
Teorema de liacutemite14
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de liacutemite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar
las asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical
Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s)
asiacutentota(s) vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
Liacutemites en el infinito
Teorema de liacutemite18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Teorema de liacutemite19
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
Teorema de liacutemite14
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de liacutemite 17
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar
las asiacutentotas tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas
uacuteltimas) es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de una funcioacuten
Asiacutentota vertical
Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s)
asiacutentota(s) vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
Liacutemites en el infinito
Teorema de liacutemite18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Teorema de liacutemite19
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s)
asiacutentota(s) vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
Liacutemites en el infinito
Teorema de liacutemite18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Teorema de liacutemite19
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
Liacutemites en el infinito
Teorema de liacutemite18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Teorema de liacutemite19
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
Liacutemites en el infinito
Teorema de liacutemite18
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Teorema de liacutemite19
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
Teorema de liacutemite19
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
Miscelaacutenea2
S o l u c i o n e s
Miscelaacutenea3
Miscelaacutenea3
