Coordinacin de Matemtica IInstituto Universitario de Tecnologa Alonso Gamero I Semestre del 2006 Ctedra: Matemtica I LIC. LILA V. LUGO G.

Lmites Trigonomtricos De manera General los lmites trigonomtricos se pueden resolver aplicando un limite notable o una identidad trigonomtrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un numero, factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los lmites. A continuacin algunos ejemplos resueltos que permite analizar cada caso en particular. Los siguientes lmites son considerados comoCASOS NOTABLES 1) 10=xsenxLimx 2)10=senxxLimx3)00=senx Limx 4)10=KxsenKxLimx 5)1 cos0=x Limx 6) 0cos 10=xxLimx 7) 21 cos 120=xxLimx 8) 1tan0=xxLimx9) 1tan0=xxLimx 10)1tan0=KxKxLimx Algunas IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS ms usadas son: Identidades Bsicas ecxsenxcos1=xxsec1cos=anxxcot1tan =xsenxxcostan = senxxanxcoscot = Identidades Fundamentales de la Trigonometra

sen2x+cos2x=1 1+tg2x=sec2x 1+ctg2x=csc2x Identidades de la suma de ngulos

sen(xy)=senx cosycosx seny senxseny cosxcosy y) cos(x = 22 cos 12xx sen=22 cos 1cos2xx+=Identidades de ngulos Doble sen2x=2senxcosx cos2x=cos2x-sen2x Identidades de ngulos medio 2cos 1) 2 / (xx sen =2cos 1) 2 / cos(xx+ = Ejemplos:1. 2. 3. si decimos que x-1 = y entonces tendremos:1 lim0=ysenyy 4. de igual manera 5. 6. 00) 0 ( 3032lim0= =senxx senx 3222lim 231 2lim3132lim0 0 0= = = xx senxx senxx senx x x 7. 002cot2coscotcoslim2= = tttananxxx 12limcoscoslimcoscoslim2 2 2= = = = tt t tsen senxxxsenxsenxxxx x x 8.

recordando que sen2x + cos2x=1 sen2x= 1-cos2x 9.recordando que xsenxxcostan = Para resolverlo utilizaremos un procedimiento comn en algunos lmites trigonomtricos y que consiste en multiplicar por el conjugado de una expresin. Multiplicamos por el conjugado de que es 10. al evaluar resulta: 3cos 2 1)3 3(tt t sen= 001 10212 1) 0 (==sen Desarrollemos:recordando la identidad: sen(xy)= senx cosy cosx seny

Luego: 11. 00) 1 1 ( 21 1)4tan 1 ( 24tan 1) tan 1 ( 2tan 1lim224=== tttxxx ( ) ( ) = = = ==== 0100 cos coslim) cos 1 (cos cos 1limcoscos cos 1limcoscos 1limtancos 1lim0 0 0 0 0sen senxxx senxx xx senx senxx xsenxxsenxxsenx xxx x x x x 12. 00) 1 1 (00 cos 10 tancos 1tanlim2 20===xxx

( ) ( )( )( )( ) x xx xx xxx xx senxxsenxxxx x x x x202202202020cos cos 1cos 1 cos 1limcos cos 1cos 1limcos cos 1limcos 1coslimcos 1tanlim+ = ==|.|

\|= ( ) ( )211 10 cos0 cos 1coscos 1lim2 2 20=+=+=+xxx EJERCICIOSPROPUESTOS: 1) 212lim0=x senxx 2) 2323lim0=x senx senx 3)2cos2lim20=xx senxt 4) =senxxxtanlim2t 5)= 9 6)0cos 1tanlim0= xx senxx 7) 22tan 1coslim4= xx senxxt 8)0cos 1tanlim0= xsenx xx 9)0tanlim0=xx senxx 10) = -2 11)2tan 1tan 1lim24=xxxt 12) 41 cos 1lim20=xxx 13) 21 cos 1lim20=x senxx 14)= 2 15)= 3/516)= 3/517)11 1lim0= +xsenx senxx 18) 312 32 cos 1lim4=x xsenxxt