libro variable rosales

INTRODUCCION AL ANALISIS COMPLEJO

J. Juan Rosales G., Manuel Guıa C. J. Francisco Gomez A.

Division de Ingenierıas, Campus Irapuato-SalamancaUniversidad de Guanajuato.

Indice general

Indice de Cuadros. IV

Indice de Figuras. V

1. Algebra de los Numeros Complejos 11.1. Los Numeros Complejos y sus Propiedades . . . . . . . . . . . . 21.2. Propiedades de los Numeros Complejos . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Propiedades de la Conjugacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Interpretacion Geometrica de los Numeros Complejos . . . . . . 81.5. Diferentes Representaciones de los Numeros Complejos . . . . . . 111.6. Raıces de los Numeros Complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7. Conjuntos de Puntos, Cırculos y Discos. . . . . . . . . . . . . . . 221.8. Regiones del Plano Complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2. Funciones de una Variable Compleja 272.1. Funciones de una Variable Compleja . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2. Funciones Complejas Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3. Lımite y Continuidad de una Funcion

Compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4. Derivada de una Funcion Compleja. . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5. Funciones Armonicas Conjugadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.7. Ejercicios Resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.8. Ejercicios Propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3. Integrales. 503.1. Integral de una Funcion Compleja. . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2. Integrales de Lınea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3. Integral Compleja en Terminos de Integrales Reales. . . . . . . . 533.4. Teorema de Cauchy-Goursat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.5. Forma Integral de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

ii

INDICE GENERAL iii

4. Series de Potencias en el Dominio Complejo 764.1. Ceros y Puntos Singulares Aislados de

Funciones Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Indice de cuadros

iv

Indice de figuras

1.1. Plano Complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

v

Capıtulo 1

Algebra de los NumerosComplejos

Los numeros complejos son una creacion esencialmente algebraica. Cardanointrodujo la unidad imaginaria en 1545 para expresar las soluciones, aunque fuer-an imaginarias, de las ecuaciones de segundo grado, y desde este momento losalgebristas encontraron cada vez mas evidencias de que los numeros imaginariosresultantes de admitir al numero i como si fuera un numero real mas eran sufi-cientes para resolver cualquier ecuacion polinomica. Sin embargo, una prueba deesta conjetura tuvo que esperar hasta el siglo XIX, cuando Gauss demostro ensu tesis doctoral que todo polinomio con coeficientes complejos se descomponeen factores lineales, formulando el teorema fundamental del algebra. Otro de-scubrimiento de Gauss mucho mas simple, pero no menos importante, fue quela aritmetica de los numeros complejos, introducida formalmente a partir dela relacion i =

√−1, tiene una interpretacion geometrica sencilla si se identi-

fican los factores lineales con los puntos del plano. Esta interpretacion puedeconsiderarse como el punto de partida del estudio analıtico de los numeros com-plejos. Ademas de que el analisis complejo es interesante por sı mismo, tambienhay aplicaciones importantes y algunas veces sorprendentes a problemas quepodrıamos entender como pertenecientes al dominio real. Esto incluye la evalu-acion de integrales reales y sumas de series por tecnicas de integracion complejas,ası como el uso de cantidades complejas tales como la transformada de Fourier yla transformada discreta de Fourier para resolver problemas sobre el movimientode ondas, propagacion de calor y analisis de senales cuyas soluciones son valoresreales. El uso de mapeos conformes entre dominios del plano complejo es tambienuna tecnica significativa para resolver ciertas ecuaciones diferenciales parciales.Estos metodos se estudian en cursos avanzados de ingenierıa y precisamente deello se ocupan estas notas.

1

CAPITULO 1. ALGEBRA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS 2

1.1. Los Numeros Complejos y sus Propiedades

Un numero complejo se define como un par ordenado de numeros reales(x, y) dados por la expresion x+ iy y se representa con la letra z. Es decir, todonumero complejo z se escribe como

z = x+ iy, x, y ∈ R (1.1)

donde i2 = −1 es la unidad imaginaria. A todo numero complejo (1.1) le corre-sponde su complejo conjugado, definido como

z = x− iy, x, y ∈ R (1.2)

Los numeros x en (1.1) y en (1.2) son la parte real de los numeros complejos z yz, iy es su parte imaginaria (y es real, pero como esta multiplicada por la unidadimaginaria i se le conoce como la parte imaginaria). Es decir, una cantidad o unnumero complejo se caracterizan por tener una parte real y otra imaginaria. Laspartes real e imaginaria del numero complejo z y su conjugado z se representande la siguiente manera

x = Rez = Rez, y = Imz = Imz (1.3)

En ocaciones, el numero complejo (1.1) y su correspondiente conjugado (1.2) seescriben como z = a + ib y z = a − ib, donde a y b son numeros reales. Estanotacion es muy conveniente para estudiar el algebra de los numeros complejos.Sin embargo, para estudar el analisis complejo es mas conveniente usar la no-tacion de (1.1) y (1.2), donde x y y seran funciones reales en lugar de numeros.En la presente obra se usara la notacion (1.1) y su conjugado (1.2).

1.2. Propiedades de los Numeros Complejos

Sean z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 dos numeros complejos diferentes decero. Entonces, las operaciones sobre los numeros complejos se definen por lassiguientes reglas:

1. La suma de dos numeros complejos z1 + z2 diferentes de cero es otronumero complejo z dado por

z = z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2) (1.4)

donde la parte real del numero complejo resultante z es la suma x1 + x2

y la parte imaginaria es i(y1 + y2).

La suma de los numeros complejos cumple las siguientes leyes:


z1 + z2 = z2 + z1. Ley conmutativa respecto a la suma

(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) = z1 + z2 + z3. Ley asociativa respectoa la suma

2. La diferencia de dos numeros complejos z1 y z2 diferentes de cero es otronumero complejo z dado por

z = z1 − z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 − x2) + i(y1 − y2) (1.5)

donde la parte real del numero complejo resultante z es la diferencia (resta)x1 − x2 y la parte imaginaria es i(y1 − y2).

3. El producto de dos numeros complejos z1 y z2 diferentes de cero es otronumero complejo z dado por

z = z1 · z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + iy1x2 − y1y2

= (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1y2) (1.6)

donde hemos aplicado la propiedad i2 = −1. En este caso la parte realdel numero complejo resultante z es (x1x2 − y1y2) y la parte imaginariaes i(x1y2 + y1y2). La multiplicacion de los numeros complejos satisface lassiguientes leyes:

z1z2 = z2z1. Ley conmutativa respecto a la multiplicacion.

(z1z2)z3 = z1(z2z3) = z1z2z3. Ley asociativa respecto a la multipli-cacion.

z1(z2+z3) = z1z2+z1z3. Ley distributiva respecto a la multiplicacion.

4. El cociente de dos numeros complejos z1z2

(z2 6= 0) es otro numero complejoz dado por

z =z1z2

=z1z2z2z2

=x1x2 − ix1y2 + iy1x2 + y1y2x2

2 − ix2y2 + iy2x2 + y22

=x1x2 + y1y2x2

2 + y22

+ ix2y1 − x1y2x2

2 + y22

(1.7)

En este caso la parte real del numero complejo resultante z es x1x2+y1y2x22+y2

2

y la parte imaginaria se escribe como ix2y1−x1y2x22+y2

2.

5. Los numeros cero y la unidad en el campo de los numeros complejosposeen las mismas propiedades que en el campo de los numeros reales.Para cualquier numero complejo z = x + iy se cumplen las sigueintesigualdades:

z + 0 = z,

z · 1 = z.


6. Dos numeros complejos z1 = x1+iy1 y z2 = x2+iy2, diferentes de cero, soniguales si y solo si sus partes reales e imaginarias son iguales por separado,esto es

z1 = z2 ⇐⇒ x1 = x2, y1 = y2 (1.8)

7. Sea z = x+ iy un numero complejo diferente de cero y sea z = x− iy sucomplejo conjugado, entonces

z + z = x+ iy + (x− iy) = 2x → x = Rez =z + z

2(1.9)

8. Sea z = x+ iy un numero complejo diferente de cero y sea z = x− iy sucomplejo conjugado, entonces

z − z = x+ iy − (x− iy) = −2iy → y = Imz =z − z

2i(1.10)

donde hemos aplicado la representacion de (1.3).

9. Sea z = x+iy un numero complejo y sea z = x−iy su complejo conjugado,entonces

zz = (x+ iy)(x− iy) = x2 − ixy + iyx+ y2 = x2 + y2 (1.11)

1.3. Propiedades de la Conjugacion.

Sean z y w dos numeros complejos distintos de cero. Entonces

1. ¯z = z.

2. z + w = z + w.

3. z ± w = z ± w.

4. zw = zw.

5. |z| = |z|.

Ejemplo 1.3.1. Sea z =√

2− i. Evaluar z + z y z − z.

Solucion: Dado el numero complejo z =√

2−i su correspondiente complejoconjugado es z =

√2 + i. Entonces

z + z = (√

2− i) + (√

2 + i) = 2√

2.

z − z = (√

2− i)− (√

2 + i) = −2i. (1.12)

Ejemplo 1.3.2. Sean z1 = 3 + 2i y z2 = −6 + 8i dos numeros complejos.Evaluar z1 + z2, z1 − z2 y z1 · z2.


Solucion: Tenemos

z1 + z2 = (3 + 2i) + (−6 + 8i) = −3 + 10i,z1 − z2 = (3 + 2i)− (−6 + 8i) = 9− 6i, (1.13)z1 · z2 = (3 + 2i) · (−6 + 8i) = −34 + 12i.

Ejemplo 1.3.3. Sean z1 = 1 + 2i y z2 = 3− 4i. Evaluar z1z2

.

Solucion: Tenemos

z1z2

=1 + 2i3− 4i

=(1 + 2i)(3 + 4i)(3− 4i)(3 + 4i)

=3 + 4i+ 6i+ 8i

9 + 16=

325

+1825i. (1.14)

Ejemplo 1.3.4. Sean z1 = 3+ i, z2 = 3− i y z3 = 15 + 1

10 i. Evaluar el productoz·z2 · z3.

Solucion: Tenemos

z1 · z2 · z3 = (3 + i)(3− i)(1

5+

110i)

= 10(1

5+

110i)

= 2 + i. (1.15)

Ejemplo 1.3.5. Sean z1 = 3 + 5i, z2 = 2 + 3i y z3 = 1 + 2i. Evaluar z1·z2z3

+ z2.

Solucion: Primero evaluamos la expresion

z1 · z2 = (3 + 5i)(2 + 3i) = 6 + 9i+ 10i− 15 = −9 + 19i. (1.16)

Luego, tenemos

z1 · z2z3

=−9 + 19i1 + 2i

=(−9 + 19i)(1− 2i)(1 + 2i)(1− 2i)

=−9 + 18i+ 19i+ 38

1 + 4

=295

+375i. (1.17)

Finalmente, tenemos

z1 · z2z3

+z2 =(29

5+

375i)

+(2+3i) =(29

5+2

)+

(375

+3)i =

395

+525i. (1.18)

Ejemplo 1.3.6. Evaluar la expresion (2−3i)(3−2i)(4−3i)(5−4i) .

Solucion: Tenemos

(2− 3i)(3− 2i)(4− 3i)(5− 4i)

=6− 4i− 9i− 6

20− 16i− 15i+ 12=

−13i32− 31i

=(−13i)(32 + 31i)

(32− 31i)(32 + 31i)=

=−416i+ 4091024 + 961

=4091985

− 4161985

i. (1.19)

Ejemplo 1.3.7. Evaluar la expresion (1+i)(−√

3+i)

(1−i)(√

3+i).


Solucion: Tenemos

(1 + i)(−√

3 + i)(1− i)(

√3 + i)

=−√

3 + i−√

3i− 1√3 + i−

√3i+ 1

=−(√

3 + 1) + (1−√

3)i(√

3 + 1) + (1−√

3)i= (1.20)

=−a+ bi

a+ bi=

(−a+ bi)(a− bi)(a+ bi)(a− bi)

=−a2 + abi+ abi+ b2

a2 + b2=

=−a2 + b2

a2 + b2+

2aba2 + b2

i,

donde definimos a =√

3+1 y b = 1−√

3. Entonces, tenemos que a2 = 4+2√

3,b2 = 4− 2

√3, a2 + b2 = 8. Luego,

−a2 + b2

a2 + b2= −

√3

2,

2aba2 + b2

= 2(√

3 + 1)(1−√

3)8

= −48

= −12. (1.21)

Sustituyendo estos valores en (1.20), tenemos el resultado final

(1 + i)(−√

3 + i)(1− i)(

√3 + i)

= −√

32− 1

2i. (1.22)

Ejemplo 1.3.8. Evaluar (17− 6i)(−4− 12i).

Solucion: Si definimos z = −4−12i, entonces su conjugado z = −4− 12i =−4 + 12i. Ahora calculamos el producto

(17− 6i)(−4− 12i) = (17− 6i)(−4 + 12i) = 4 + 228i. (1.23)

Ejemplo 1.3.9. Evaluar la expresion i3 − 4i2 + 2.

Solucion: Usando la propiedad i2 = i · i = −1, se tiene i3 = i · i · i = −i,entonces

i3 − 4i2 + 2 = −i+ 4 + 2 = 6− i. (1.24)

Ejemplo 1.3.10. Evaluar la expresion(

2−3i1+2i

)2

.

Solucion: Tenemos(2− 3i1 + 2i

)2

=(2− 3i)2

(1 + 2i)2=

4− 12i+ 91 + 4i− 4

=13− 12i−3 + 4i

=(13− 12i)(−3− 4i)(−3 + 4i)(−3− 4i)

=

=−39− 52i+ 36i− 48

9 + 16= −87

25− 16

25i. (1.25)

Ejemplo 1.3.11. Sean z1 = 1 + i, z2√

3 + i y z3 = 1 + i√

3. Evaluar z1z2·z3

.

Solucion: Primero evaluamos el producto z2 · z3, obtenemos

z2 · z3 = (√

3 + i)(1 + i√

3) =√

3 + 3i+ i−√

3 = 4i. (1.26)

Finalmente, se tiene

z1z2 · z3

=1 + i

4i=

(1 + i)(−4i)(4i)(−4i)

=−4i+ 4

16=

14− 1

4i. (1.27)


Ejemplo 1.3.12. Hallar las soluciones reales de la ecuacion (2x−iy)+x+2iy =i.

Solucion: La expresion dada la podemos escribir de la siguiente manera

2x− iy + x+ 2iy = i. (1.28)

Igualando los terminos de la izquierda con el termino de la derecha, tenemos elsistema de ecuaciones

3x = 0,y = 1. (1.29)

De donde podemos concluir que las soluciones reales son x = 0 y y = 1.

Ejemplo 1.3.13. Hallar las soluciones reales de la ecuacion (3x − i)(2 + i) +(x− iy)(1 + 2i) = 5 + 6i.

Solucion: Realizando las multiplicaciones obtenemos el siguiente sistema deecuaciones

7x+ 2y = 4,5x− y = 8. (1.30)

Resolviendo este sistema resulta x = 20/17 y y = −36/17.

Ejemplo 1.3.14. Hallar las soluciones reales de la ecuacion (x−iy)(a−ib) = i5.,donde a y b son ciertos numeros reales y |a| 6= |b|

Solucion: Abriendo los parentesis en la expresion dada, tenemos

ax− ibx− iay − by = i. (1.31)

Igualando los terminos resulta el sistema de ecuaciones

ax− by = 0,bx+ ay = −1 (1.32)

Este sistema tiene las siguientes soluciones reales

y = − a

a2 + b2,

x = − b

a2 + b2. (1.33)

Ejemplo 1.3.15. Hallar las soluciones reales de la ecuacion 1z−i + 2+i

1+i =√

2,donde z = x+ iy.

Solucion: Falta resultado


1.4. Interpretacion Geometrica de los NumerosComplejos

En esta seccion analizaremos la interpretacion geometrica de los numeroscomplejos en el plano cartesiano, esto es de gran importancia practica. La ideaes simple y natural, se eligen dos ejes de coordenadas perpendiculares, el ejehorizontal x, que llamaremos eje real, y el eje vertical y que llamaremos ejeimaginario. Sobre ambos ejes se toma la misma unidad de longitud, figura (1.1).Una vez dado el sistema cartesiano se procede a graficar un numero complejo

Figura 1.1: Plano Complejo.

dado z = x + iy, como el punto P (x, y) con coordenadas x, y. Entonces, todonumero complejo z = x + iy puede ser representado en el plano xOy, llamadoplano complejo o plano Gausiano, por cualquiera de los puntos (x, y) o por elsegmento −−→OP con orıgen en el punto (0, 0) y terminal en P (x, y).

La longitud ρ del segmento −−→OP es conocida como el modulo del numerocomplejo y se representa por |z|, es decir, como

ρ = |z| (1.34)

Geometricamente, |z| es la distancia del punto origen (0, 0) al punto P (x, y). Demanera semejante |z1 − z2| es la distancia entre z1 y z2. El angulo ϕ entre elvector −−→OP y la abcisa x se llama argumento de z. Debido a que a cada punto enel plano le corresponden un conjunto de valores del angulo polar, que difierenuno del otro en 2kπ (k es un entero positivo o negativo), entonces el argumentode z es una funcion multivaluada de z. Entonces, de los valores del angulo polarϕ, el cual satisface la desigualdad −π ≤ ϕ ≤ π se llama valor principal delargumento de z y se representa como

ϕ = argz (1.35)

En adelante ϕ representara solo los valores principales del argumento de z, esdecir, ϕ = argz, de tal manera que para los otros valores del argumento ztendremos la igualdad

Argz = argz + 2kπ. k = 0,±1,±2, ... (1.36)

donde argz es el valor principal del argumento Argz, a decir (namely)

−π < argz < π, (1.37)


con

argz =

arctg(

yx

)si x > 0

π + arctg(

yx

)si x < 0 y y ≥ 0

−π + arctan(

yx

)si x < 0, y y < 0,

π2 si x = 0, y y > 0,−π

2 si x = 0 y y < 0

(1.38)

Las siguiente formulas son validas:

tan(Argz) =y

x, sen(Argz) =

y√x2 + y2

,

cos(Argz) =x√

x2 + y2(1.39)

Dos numeros complejos z1 y z2 son iguales si y solo si sus modulos son igualesy sus argumentos son iguales o difieren por un multiplo de 2π.

|z1| = |z2|, Argz1 = Argz2 + 2πn, (n = 0,±1,±2, . . .) (1.40)

Las relaciones entre el modulo y el argumento de un numero complejo z y suparte real e imaginaria estan dadas por las siguientes formulas

x = ρ cosϕ, y = ρ senϕ (1.41)

Elevando al cuadrado las expresiones (1.41) y sumandolas, se tiene

x2 + y2 = ρ2 cos2 ϕ+ ρ2 sen2 ϕ = ρ2(cos2 ϕ+ sen2ϕ) = ρ2 (1.42)

donde hemos usado la identidad trigonometrica cos2 ϕ+ sen2ϕ = 1.

Sea z un numero complejo diferente de cero y sea z su complejo conjugado.Entonces el producto de un numero complejo por su complejo conjugado es

zz = (x+ iy)(x− iy) = x2 − ixy + ixy + y2 = x2 + y2 (1.43)

Por consiguiente, igualando las expresiones (1.42) y (1.43) obtenemos la sigu-iente expresion

ρ = zz = |z| =√x2 + y2 (1.44)

Ejemplo 1.4.1. Hallar el modulo, el argumento y las partes reales e imaginariasdel numero complejo z = (1 + i)3

Solucion: Por definicion el modulo es

|z| =∣∣∣(1 + i)3

∣∣∣ =∣∣∣(1 + i)

∣∣∣3 = (√

2)3 = 23/2 (1.45)


Tambien podemos calcular el modulo de la siguiente manera

|z| =∣∣∣(1 + i)3

∣∣∣ =∣∣∣1 + 3i− 3− i

∣∣∣ =∣∣∣− 2 + 2i

∣∣∣ = 2√

2 = 23/2. (1.46)

El resultado es el mismo. El argumento de z es

argz = arg(1 + i)3 = arg(−2 + 2i) = π + arc tg(−1) = π − π

4=

3π4

(1.47)

Donde, hemos identificado x = −2 < 0, y = 2 > 0 y usamos la formula (1.38).

Ejemplo 1.4.2. Hallar el modulo y el argumento del numero complejo(

1−i1+i

).

Solucion: Tenemos, que el modulo es∣∣∣1− i

1 + i

∣∣∣ =∣∣∣ (1− i)(1− i)1 + i)(1− i)

∣∣∣ = | − i| = 1 (1.48)

Su argumento es

arg(1− i

1 + i

)= arg(−i) = −π

2(1.49)

Ejemplo 1.4.3. Verificar la igualdad∣∣∣a+ bi

b+ ai

∣∣∣ = 1. (1.50)

Solucion: Simplificando, se tiene

a+ bi

b+ ai=

(a+ bi)(b− ai)(b+ ai)(b− ai)

=2ab

a2 + b2+b2 − a2

a2 + b2i (1.51)

Por consiguiente

∣∣∣a+ bi

b+ ai

∣∣∣ =

√4a2b2

(a2 + b2)2+b4 − 2a2b2 + a4

(a2 + b2)2=

√a4 + 2a2b2 + b2

(a2 + b2)2= 1. (1.52)

Ejemplo 1.4.4. Hallar la curva que describe la ecuacion

|z − z0| = R con R real (1.53)

Solucion: De la definicion de valor absoluto, podemos escribir la ecuacion(1.53) de la siguiente manera√

(x− xo)2 + (y − y0)2 = R (1.54)

De esta manera obtenemos la siguiente ecuacion

(x− x0)2 + (y − y0)2 = R2 (1.55)

la cual representa la ecuacion de un cırculo de radio R centrado en el punto(x0, y0).


1.5. Diferentes Representaciones de los NumerosComplejos

Para resolver algunos problemas de aplicacion, es conveniente conocer lasdiferentes representaciones de los numeros complejos y de esta manera facilitarlos calculos.

Representacion algebraica: Sabemos que un numero complejo z se escribepor definicion de la siguiente manera

z = x+ iy (1.56)

A esta representacion se le conoce como representacion algebraica .Representacion Polar: Si hacemos uso de las expresiones (1.6), podemos

escribir el numero complejo z como

z = ρ cosϕ+ iρsenϕ = ρ(cosϕ+ isenϕ) (1.57)

donde ρ = |z| =√x2 + y2 y ϕ = Arg(z) = argz + 2πk. A esta representacion

se le conoce como representacion trigonometrica del numero complejo o formapolar.

Si z1 = ρ1(cosϕ1 + isenϕ1) y z2 = ρ2(cosϕ2 + isenϕ2). Entonces la multipli-cacion esta dada por

z1z2 = ρ1ρ2

[(cosϕ1 cosϕ2 − isenϕ1senϕ2) + i(senϕ1 cosϕ2 + cosϕ1senϕ2)

]= ρ1ρ2

[cos(ϕ1 + ϕ1) + isen(ϕ1 + ϕ2)

](1.58)

Es decir, los argumentos de los numeros complejos son aditivos respecto a lamutiplicacion. Entonces, si z1 = z2 = z y ϕ1 = ϕ1 = ϕ, de (1.58), tenemos

z2 = ρ2(cos 2ϕ+ isen2ϕ). (1.59)

En general se tiene

zn =[ρ(cosϕ+ isenϕ)

]n

= ρn(cosnϕ+ isennϕ) (1.60)

La expresion (1.60) se conoce como formula de Moivre.Representacion Exponencial: Ahora, haciendo uso de la formula de Euler

eiϕ = cosϕ+ isenϕ, 0 ≤ z ≤ 2π (1.61)

la cual representa cierto punto sobre el cırculo unitario |z| = 1 y nos lleva a laexpresion eiπ = −1.

En general todo numero complejo z se puede escribir como

z = ρeiϕ (1.62)


donde ρ = |z| =√x2 + y2 y ϕ = Arg(z) = argz + 2πk. A esta representacion

se le conoce como representacion exponencial del numero complejo

Haciendo uso de la formule de Moivre, podemos escribir

zn = (ρeiϕ)n = ρneinϕ (1.63)

Sean z1 y z2 dos numeros complejos dados en forma exponencial. Entonces, lamultiplicacion de z1 = ρ1e

iϕ1 por z2 = ρ2eiϕ2 sera otro numero complejo z

representado por

z = z1z2 = ρ1ρ2ei(ϕ1+ϕ2) = ρeiϕ ρ = ρ1ρ2, ϕ = ϕ1 + ϕ2 (1.64)

El cociente de z1 y z2 sera el numero complejo dado por

z =z1z2

=ρ1e

iϕ1

ρ2eiϕ2=ρ1

ρ2ei(ϕ1−ϕ2) = ρeiϕ, ρ =

ρ1

ρ2, ϕ = ϕ1 − ϕ2 (1.65)

Se puede ver claramente que la representacion exponencial de los numeros com-plejos es mas elegante que la forma normal e incluso que su representacion polar.

Ejemplo 1.5.1. Sea dado el numero complejo z = 3 + 2i. Representarlo en suforma polar.

Solucion: Identificamos x = 3 y y = 2. El modulo del numero complejo esρ = |z| =

√x2 + y2 =

√(3)2 + (2)2 =

√13. Ahora podemos calcular el valor

del angulo ϕ, o bien el argumento ϕ = argz

tgϕ =y

x=

23, → ϕ = tg−1

(23

)(1.66)

Entonces, la representacion trigonometrica es

z =√

13[cos

(tg−1

(23

))+ isen

(tg−1

(23

))](1.67)

Ejemplo 1.5.2. Sea z = 2√

3− 3i un numero complejo. Escribirlo en su formapolar.

Solucion: Identificamos x = 2√

3 y x = 3. Entonces

ρ = |z| =√x2 + y2 =

√12 + 9 =

√21 (1.68)

Luego

ϕ = arg(z) = arc tg(yx

)= arc tg

( 32√

3

)(1.69)

Finalmente, la representacion de z = 2√

3− 3i en forma polar se escribo como

z =√

21[cos

(arc tg

( 32√

3

))+ i sen

(arc tg

( 32√

3

))](1.70)


Ejemplo 1.5.3. Representar los siguientes numeros complejos A) z = 2 + 3i,B) z = 1− i en su forma polar.

Solucion: A) z = 2 + 3i. Identificamos x = 2 y y = 3. De la expresion (??),se tiene

ρ = |z| =√x2 + y2 =

√(2)2 + (3)2 =

√13 (1.71)

Luego

ϕ = tan−1(3

2

)(1.72)

Entonces, usando la formula (1.57), tenemos la representacion polar de z =2 + 3i, esto es

z =√

13[cos

(tan−1

(32

)+ 2πn

)+ sen

(tan−1

(32

)+ 2πn

)](1.73)

donde n = 0,±1,±2,±3, . . .

B) z = 1− i. Identificamos x = 1 y y = −1. De la expresion (??), obtenemos

ρ = |z| =√x2 + y2 =

√(1)2 + (−1)2 =

√2 (1.74)

Yϕ = tan−1

(−11

)(1.75)

Entonces, usando la formula (1.57), tenemos la representacion polar de z = 1−i,esto es

z =√

2[cos

(tan−1

(−11

)+ 2πn

)+ sen

(tan−1

(−11

)+ 2πn

)](1.76)

donde n = 0,±1,±2,±3, . . .)

Ejemplo 1.5.4. Hallar el valor principal ϕ = arg(z) de los siguientes numeroscomplejos; A) z = −2

1+√

3i, B) z = (

√3− i)6.

Solucion: A) El numerador −2 lo podemos escribir como z1 = −2 + 0i,donde identificamos x = −2 y y = 0 y al denominador como z2 = 1+

√3i dodne

x = 1 y y =√

3. Entonces, por la formula (??), tenemos

ρ = |z1| =√x2 + y2 =

√(−2)2 + (0)2 =

√4 (1.77)

Yϕ = tan−1

( 0−2

)→ tan(φ) = π (1.78)

Entonces, tenemos

z1 =√

4[cos(π) + sen(π)

]= −

√4 (1.79)


Para el Denominador z2 = 1 +√

3i, tenemos

ρ = |z2| =√x2 + y2 =

√(1)2 + (

√3)2 =

√4 (1.80)

Y

ϕ = tan−1(√3

1

)→ tan(φ) =

π

3(1.81)

Entoncesz2 =

√4[cos(

π

3) + sen(

π

3] (1.82)

Finalmente, tenemos

z =−2

1 +√

3i=z1 =

√4[cos(π) + sen(π)]

z2 =√

4[cos(π3 ) + sen(π

3 ](1.83)

arg(z) =z1z2

= arg(z1)− arg(z2)

arg(z) = π − π

3→ arg(z) =

2π3, → Arg(z) =

2π3

(1.84)

B).- Para z = (√

3− i)6, sea z1 =√

3− i, entonces

ρ = |z| =√x2 + y2 =

√(√

3)2 + (−1)2 =√

4 (1.85)

Yϕ = tan−1

(−1√3

), → tan(φ) = −π

3(1.86)

z1 =√

4[cos(−π6

) + sen(−π6

] z1 = (ρeiφ)6 = (2e−π6 )6 (1.87)

z1 = 64e−πi → arg(z) = −π, → Arg(z) = −π (1.88)

Ejemplo 1.5.5. Usando la representacion exponencial de los numeros comple-jos, verificar la igualdada i(1−

√3i)(

√3 + i) = 2(1 +

√3i).

Solucion: Podemos ver la igualdad i(1−√

3i)(√

3 + i) = 2(1 +√

3i), comoel producto de tres numeros complejos z1 = i, z2 = (1 −

√3i) y z3 = (

√3 + i).

Escribiendo estos tres numeros en forma exponencial. Para z1, tenemos

z1 = i = 0 + i (1.89)

Su magnitud es

ρ = |z| =√x2 + y2 =

√(0)2 + (1)2 =

√1 = 1 (1.90)

y su argumento

ϕ = tan−1(1

0

), → tan(ϕ) =

π

2(1.91)


Entonces, de la forma exponecial de un numero complejo z = ρeiϕ tenemos

z1 = eπ2 i (1.92)

Paraz2 = 1−

√3i (1.93)

tenemos ρ = |z| =√x2 + y2 =

√(√

3)2 + (1)2 =√

4 = 2

ϕ = tan−1( 1−√

3

), → tan(φ) = −π

3(1.94)

z2 = (ρeiφ) = (2)(e−π3 ) = (2)e−

π3 i (1.95)

Para: z3 = (√

3 + i)

ρ = |z| =√x2 + y2 =

√(√

3)2 + (1)2 =√

4 = 2,

ϕ = tan−1( 1√

3

)→ tan(φ) =

π

6. (1.96)

Tenemosz3 = (2)e

π6 i (1.97)

Entonces

z1 · z2 · z3 = eπ2 i · (2)e−

π6 i · (2)e

π6 i = 4e(

π2−

π3 + π

6 )i = 4e(iπ3 )

= 4[cos

π

3+ i sen

π

3

]= 2(1 + 3i) (1.98)

Ejemplo 1.5.6. Verificar las igualdades; A) |eiφ| = 1, B) (eiφ)2 = (e2iφ)

Solucion: A) Representemos a eiϕ como el numero complejo z, es decirz = eiϕ Entonces su conjugado es z = e−iϕ y por consiguiente

z · z = |eiϕ| = eiϕ · e−iϕ = e0 = 1. (1.99)

B) Usando la formula de Euler, tenemos

(eiϕ)2 = [cos(ϕ) + i sen(ϕ)]2 = cos2(ϕ) + 2 sen(ϕ) cos(ϕ)i− sen2(ϕ) (1.100)

Usando las formulas 2 sen(ϕ) cos(ϕ) ≡ sen(2ϕ), cos2(ϕ) − sen2(ϕ) ≡ cos(2ϕ)Tenemos

(eiϕ)2 = cos(2ϕ) + i sen(2ϕ) = e2iϕ (1.101)

Ejemplo 1.5.7. Usar la forma exponencial de z1 y z2 para verificar que Re(z1 ·z2) = |z1| · |z2|, si y solo si: ϕ1 − ϕ2 = 2πn.


Solucion: Sean z1 = ρ1ei(ϕ1+2πn) y z2 = ρ2e

i(ϕ2+2πn). Entonces

z1 · z2 = [ρ1ei(φ1+2πn)][ρ2e

−i(φ2+2πn)] = ρ1ρ2ei(φ1+2πn−φ2−2πn)

= ρ1ρ2ei(φ1−φ2) (1.102)

Si |z1| · |z2| = ρ1ρ2. Entonces, para que sean iguales, debe cumplirse la relacion

ei(φ1−φ2) = 1, → ln[ei(φ1−φ2)] = ln(1), → i(φ1 − φ2) = 0,φ1 = φ2 (1.103)

y

Arg(z1 · z2) = ϕ1 − ϕ2 → arg(z1 · z2) = 0 + 2πn,ϕ1 − ϕ2 = 2πn donde n = ±(0; 1; 2; 3; . . .) (1.104)

Ejemplo 1.5.8. Verificar la igualdad

cos3 x =14

cos 3x+34

cosx (1.105)

Solucion: Vamos a usar las formulas de Euler

eix = cosx+ i senx, e−ix = cosx− i senx (1.106)

Sumando estas dos expresiones, tenemos

eix + e−ix = cosx+ i senx+ cosx− i senx = 2 cosx,

cosx =eix + e−ix

2(1.107)

Hemos expresado la funcion coseno en funciones exponenciales. Elevando alcubo, resulta

cos3 x =(eix + e−ix

2

)3

=e3ix + 3e2ixe−ix + 3eixe−2ix + e−3ix

8(1.108)

=14

(e3ix + e−3ix

2

)+

34

(eix + e−ix

2

)=

14

cos 3x+34

cosx

De esta forma queda verificada la igualdad. Hemos visto la gran utilidad de losnumeros complejos en forma exponencial.

Ejemplo 1.5.9. Representar el numero complejo z = 3+i√

3 en su forma polary exponencial.

Solucion: Tenemos

ρ =√x2 + y2 =

√9 + 3 = 2

√3, y ϕ = arc tg

(√33

)=π

6(1.109)

Por consiguiente, la forma polar se escribe como

z = 2√

3[cos

(π6

)+ i sen

(π6

)](1.110)

Y su forma exponencial tiene la forma

z = 2√

3eiπ/6 (1.111)


Ejemplo 1.5.10. Escribir z =√

2− i√

2 en su forma exponencial.

Solucion: Tenemos

ρ =√x2 + y2 =

√2 + 2 = 2, tgϕ = −

√2√2

= −1 → ϕ = −π4

(1.112)

Entonces, su forma exponencial es

z = 2e−iπ/4 (1.113)

Ejemplo 1.5.11. Escribir el numero complejo z = eiπ/2 en su forma algebraica.

Solucion: Tenemos

eiπ/2 = cos(π

2

)+ i sen

(π2

)= i (1.114)

Es decir, la forma algebraica de eiπ/2 es el numero complejo i.

Ejemplo 1.5.12. Hallar todos los numeros complejos z que satisfacen la relacion

zn−1 = z (1.115)

Solucion: Sea z = ρeiϕ. Entonces, z = ρe−iϕ. Luego, de acuerdo con lahipotesis

ρn−1ei(n−1)ϕ = ρe−iϕ, → ρn−2einϕ = 1 (1.116)

De aquı, resulta queρn−2 = 1, ρ = 1. (1.117)

y

inϕ = 2kπi, → ϕ =2kπn, (k = 0, 1, 2, .., (n− 1)) (1.118)

Entonces, el resultado es

zk = ei(2kπ/n), k = 0, 1, 2...(n− 1) (1.119)

1.6. Raıces de los Numeros Complejos.

Sean z y w dos numeros complejos tales que z = wn donde n = 1, 2, . . .,entonces a cada valor de w le corresponde un valor de z. Inversamente, a todoz 6= 0 le corresponden n distintos valores de w. A cada uno de estos valores sele llama n-esima raız del numero complejo z y se representa como

z = wn → w = n√z (1.120)


Desde luego, este sımbolo tiene multiples valores, es decir, n valores. Los nvalores de n

√z se pueden hallar de la siguiente manera. Representando a los

numeros complejos z y w en su forma polar

z = ρ[cos(θ) + i sen(θ)] (1.121)

Ywn = ρn

1 [cos(ϕ) + i sen (ϕ)]n (1.122)

Donde n puede ser entero positivo o entero negativo. Luego, recordando laformula de Moivre

(cosϕ+ i senϕ)n = cos(nϕ) + i sen(nϕ) (1.123)

La expresion (1.122) se escribe de la siguiente manera

wn = ρn1 [cos(nϕ) + i sen (nϕ)] (1.124)

Ahora, de la ecuacion (1.120) z = wn, se tiene la igualdad

ρn1 [cos(nϕ) + i sen (nϕ)] = ρ[cos(θ) + i sen(θ)] (1.125)

Igualando los valores absolutos de ambos terminos obtenemos

ρn1 = ρ, → ρ1 = n

√ρ, cosnϕ = cos θ, sennϕ = sen θ (1.126)

donde la raız es real y positiva, por lo tanto esta determinada de manera unica.Igualando los argumentos de las funciones cosenos y senos, obtenemos

nϕ = θ + 2kπ, → ϕ =θ

n+

2kπn

(1.127)

donde k es un entero. Para k = 0, 1, 2 . . . n − 1 se obtienen n distintos valoresde w, representados por wn. Con enteros adicionales de k se obtienen valoresya obtenidos, esto es debido a que las funciones cosenos y senos son funcionesperiodicas de periodo 2π. Por ejemplo, si k = n obtenemos 2kπ

n = 2π, por lotanto la wk correspondiente a k = 0, etc. Por consiguiente, n

√z, para z 6= 0,

tiene n valores distintos, los cuales vienen dados por la expresion

wk = n√z = n

√ρ(

cos θ+2kπn + i sen θ+2kπ

n

)(1.128)

donde k = 1, 2, ...n−1. Estos n valores estan en una circunferencia de radio n√ρ

con centro en el orıgen, y constituyen los vertices de un polıgono regular de nlados. El valor n

√z se obtiene tomando el valor principal de argz y k = 0 en

(1.128) y se llama valor principal de w y se representa por w0 = n√z.

Ejemplo 1.6.1. Hallar todos los valores del numero complejo (1− i)1/4.


Solucion: Sea z = 1 − i el numero complejo. El primer paso es escribireste numero en su forma polar. Para esto debemos calcular su magnitud y suargumento, esto es

ρ =√

12 + (−1)2 =√

2, ϕ = arg(1− i) = −π4

(1.129)

Entonces, tenemos que la forma polar de z = 1− i es

z = 1− i =√

2[cos

(− π

4

)+ isen

(− π

4

)](1.130)

Por consiguiente, usando la formula (1.128), tenemos

wk = z1/4 = (1− i)1/4 = (2)1/8[cos

(−π4 + 2kπ

4

)+ isen

(−π4 + 2kπ

4

)](1.131)

Dando a k los valores 0, 1, 2, 3, resulta que las raıces son:

k = 0, w0 = z1/4 = (1− i)1/4 = (2)1/8(

cosπ

16− isen

π

16

)k = 1, w1 = z1/4 = (1− i)1/4 = (2)1/8

(cos

7π16

+ isen7π16

)(1.132)

k = 2, w2 = z1/4 = (1− i)1/4 = (2)1/8(

cos15π16

+ isen15π16

)k = 3, w3 = z1/4 = (1− i)1/4 = (2)1/8

(cos

23π16

+ isen23π16

)Donde hemos usado las propiedades cos(−ϕ) = cosϕ y sen(−ϕ) = −senϕ. Estaspropiedades son debido a que la funcion coseno es par y la funcion seno es impar.Esta propiedad la usamos en (1.132), para el caso k = 0.

Ejemplo 1.6.2. Hallar las raıces quintas de z = 4 + 6i

Solucion: En forma polar el numero complejo z = 4 + 6i, se escribe como

z = (4 + 6i) =√

52[cos

[tg−1

(32

)]+ isen

[tg−1

(32

)]](1.133)

Entonces, las raıces quintas estan dadas por la expresion

w5 = z1/5 = (4 + 6i)1/5 =√

52[cos

[tg−1

(32

)]+ 2kπ

5+ isen

[tg−1

(32

)]+ 2kπ

5

](1.134)

k = 0, φ1 =2π(0) + 56,3◦

5= 11,26◦

k = 1, φ2 =2π(1) + 56,3◦

5= 83,26◦

k = 2, φ3 =2π(2) + 56,3◦

5= 155,26◦ (1.135)

k = 3, φ4 =2π(3) + 56,3◦

5= 227,26◦

k = 4, φ5 =2π(4) + 56,3◦

5= 299,26◦


Ejemplo 1.6.3. Calcular las raıces del√−1

Solucion: Sea z = −1, su modulo y argumento son

ρ = 1, arg(−1) = π (1.136)

En la representacion polar, podemos escribir

z = cosπ + isenπ (1.137)

Luego, las raıces son

wk = z1/2 = (−1)1/2 = cos(π + 2kπ

2

)+ i sen

(π + 2kπ2

)donde k = 0, 1 (1.138)

Las diferentes raıces son

k = 0, w0 = z1/2 = cosπ

2+ i sen

π

2= i,

k = 1, w1 = z1/2 = cos3π2

+ i sen3π2

= −i (1.139)

La solucion la podemos representar, simplemente como (i,−i).

Ejemplo 1.6.4. Hallar las raıces cubicas del numero complejo z = −1 + i

Solucion: Escribiendo el numero complejo z = −1+ i en forma exponencial

z = −1 + i =√

2e3πi4 (1.140)

En forma trigonometrica, se tiene

k = 0, w0 = 21/6[cos(π/4) + isen(π/4)

]k = 1, w1 = 21/6

[cos(11π/4) + isen(11π/4)

](1.141)

k = 2, w2 = 21/6[cos(19π/4) + isen(19π/4)

]Ejemplo 1.6.5. Calcular 3

√1

Solucion: (1,−1

2+√

32i,−1

2−√

32i)

(1.142)

Ejemplo 1.6.6. Calcular 4√

1

Solucion: (1, i,−1,−i

)(1.143)


Ejemplo 1.6.7. Calcular√−5− 12i

Solcuion: (2− 3i,−2 + 3i

)(1.144)

Ejemplo 1.6.8. Hallar todos los valores de z que satisface la ecaucion

z5 + 32 = 0 (1.145)

Graficar los valores obtenidos.

Solucion: Escribiendo el numero z en forma exponencial

−32 = 32eiπ = 25eiπ (1.146)

Entonces

wk = 2[cos

(π5

+2πk5

)+ isen

(π5

+2πk5

), con k = 0, 1, 2, 3, 4 (1.147)

Explıcitamente, el resultado es

k = 0, w0 = 2[cos

(π5

)+ isen

(π5

)]k = 1, w1 = 2

[cos

(3π5

)+ isen

(3π5

)]k = 2, w2 = 2

[cosπ + isenπ

]= −2 (1.148)

k = 3, w3 = 2[cos

(7π5

)+ isen

(7π5

)]k = 4, w4 = 2

[cos

(9π5

)+ isen

(9π5

)](1.149)

1.7. Conjuntos de Puntos, Cırculos y Discos.

Sea z1 = x1 + iy1 un numero complejo diferente de cero, entonces ρ = |z| =√x2

1 + y21 es la distancia del orıgen al punto (x1, y1), en el plano complejo. Si

z2 = x2 + iy2 es tambien un numero complejo, entonces la relacion

|z1 − z2| = |(x1 − x2) + i(y1 − y2)| =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 (1.150)

es la distancia entre z1 y z2 en el plano complejo. La expresion anterior es laforma estandar de geometrıa analıtica, la cual representa la distancia entre dospuntos (x1, y1) y (x2, y2).


Sea a un numero complejo y ρ un numero positivo, entonces la ecuacion

|z − a| = ρ (1.151)

se cumple para aquellos puntos z cuya distancia a a es ρ. El lugar geometricode los puntos que satisfacen esta condicion es el cırculo de radio ρ alrededorde a. Esta es la manera de representar a los cırculos en el plano complejo y enocasiones decimos el cırculo |z − a| = ρ. Si a = 0, entonces cualquier punto enel cırculo |z| = ρ tiene la forma polar

z = ρeiφ. (1.152)

Si a 6= 0, entonces el centro del cırculo |z − a| = ρ es a en lugar del orıgen. Eneste caso un punto en el cırculo tiene la forma

z = a+ ρeiφ, (1.153)

que es un sistema de coordenadas polares trasladado a veces del orıgen.

Ejemplo 1.7.1. Que representa la expresion |z − 3 + 7i| = 4.

Solucion: La expresion dada epresenta un cırculo de radio ρ = 4 alrededordel punto (−3, 7) en el plano complejo. El numero complejo 3− 7i es el centrodel cırculo.

Una desigualdad |z− a| < ρ representa a todos los puntos dentro del cırculode radio ρ alrededor de a. A este conjunto se le conoce como disco abierto. Estosignifica que los puntos en la circunferencia del cırculo que acota a este disco nopertenecen al conjunto. Un punto en este cırculo satisface la igualdad:

|z − a| = ρ (1.154)

Ejemplo 1.7.2. Que representa la desigualdad |z − i| < 8

Solucion: la desigualdad dada representa a los puntos dentro del disco abier-to de radio 8 alrededor de i.

Un disco cerrado de radio ρ y centro a consiste de todos los puntos en odentro del cırculo de radio ρ alrededor de a. Este conjunto esta representadopor la desigualdad:

|z − a| ≤ ρ (1.155)

Al representar graficamente este conjunto dibujamos un cırculo solido como lafrontera para indicar que esos puntos estan incluidos en el disco cerrado.


Sean w1 y w2 dos numeros complejos distintos. La ecuacion

|z − w1| = |z − w2|, (1.156)

representa la distancia entre z y w1, la cual debe ser igual a la distancia entrez y w2.

Ejemplo 1.7.3. Obtener la ecuacion de la recta si

|z + 6i| = |z − i+ 3i| (1.157)

Solucion: La ecuacion (1.157)se cumple para todos los puntos en el bisectorperpendicular del segmento entre (−6i) y (1 − 3i). Este es el segmento queconecta a los puntos (0, 6) y (1,−3). Se Puede obtener la ecuacion estandar deesta recta como sigue, primero se escribe

|z + 6i|2 = |z − 1 + 3i|2 (1.158)

o bien(z + 6i)(z − 6i) = (z − 1 + 3i)(z − 1− 3i) (1.159)

esto determina los signos de los valores absolutos

zz + 6i(z − z) + 36 = zz − z − 3iz − z + 1 + 3i+ 3iz − 3i+ 9 (1.160)

Sea z = x+ iy entonces

z − z = (x− iy)− (x+ iy) = −2iy (1.161)

Luego−z − z = −(x− iy)− (x+ iy) = −2x (1.162)

Ası, la ultima ecuacion se convierte en:

6i(2− iy) + 36 = −2x+ 3i(−2iy) + 10 (1.163)

12y = −2x+ 6y − 26 (1.164)

de esta ultima expresion obtenemos la ecuacion

y = −13(x+ 13) (1.165)

que representa una recta. Entonces, la igualdad |z + 6i| = |z − 1 + 3i|, describeuna recta separando el plano en dos conjuntos teniendo a la recta como frontera.

La desigualdad|z + 6i| < |z − 1 + 3i|

mantiene a los puntos en uno de estos conjuntos, en un lado u otro de esta recta.Es claro que z esta mas cerca de −6i que de 1 − 3i si z esta abajo de la rec-ta frontera. Ası la desigualdad especifica todos los puntos z debajo de esta recta.

La recta frontera esta punteada porque los puntos en esta recta no pertenecena esta region.


Ejemplo 1.7.4. Hallar la ecuacion de la recta dada por la expresion

|z|2 + 3Re(z2) = 4 (1.166)

Solucion: Sea z = x+ iy, entonces la ecuacion (1.166) se transforma en

x2 + y2 + 3(x2 − y2) = 4 (1.167)

de donde la ecuacion de la recta es

2x2 − y2 = 2 (1.168)

El lugar geometrico de los puntos es una hiperbola. Un numero complejo satis-face la ecuacion dada si y solo si su representacion como un punto en el planoesta en la hiperbola.

Ejemplo 1.7.5. Escribir la ecuacion del cırculo

x2 + y2 + 2x+ 2y = 0 (1.169)

en forma compleja.

Solucion: Tenemos

x2 + y2 = |z|2 = zz, 2x = z + z, 2y = i(z − z) (1.170)

Sustituyendo estas expresiones en (1.169), se obtiene

zz + z + z + i(z − z) = 0 (1.171)

En forma equivalente, se puede escribir

zz + (1− i)z + (1 + i)z = 0 (1.172)

Ejemplo 1.7.6. Escribir la ecuacion de la recta

Ax+By + C = 0 (1.173)

en su forma compleja.

Solucion: Sea z = x + iy y su complejo conjugado z = x − iy. Usando lasformulas

x =z + z

2, y =

i(z − z)2

(1.174)

Sustituyendo en (1.173), tenemos

A(z + z) + iB(z − z) + 2C = 0 (1.175)

o en su forma equivalente

(A+ iB)z + (A− iB)z + 2C = 0 (1.176)

Esta expresion representa la ecuacion de la recta en el plano complejo.


1.8. Regiones del Plano Complejo.

En el desarrollo del calculo de funciones complejas, ciertos tipos de conjuntosy puntos seran importantes. Sea S un conjunto de numeros complejos, entonces:

Punto interior: Un numero complejo z0 es un punto interior de S si existeun disco abierto alrededor de z0 que contenga solo puntos de S. Esto significa,que para todo numero real ρ > 0, todos los puntos que cumplen la relacion|z − z0| < ρ estan en S.

Entorno: Llamaremos entorno abierto de centro z0 y de radio ε ∈ < alconjunto de puntos del plano complejo:

z ∈ C : |z − z0| < ε (1.177)

esto es, el conjunto de puntos interiores a la circunferencia centrada en z0 y deradio ε. A veces convendra utilizar lo que se conoce como entornos reducidos, esdecir, entornos de un punto z0 en el que excluimos el propio punto z0. Por otrolado, hablaremos de puntos interiores, exteriores, frontera, de acumulacion deun subconjunto de los numeros complejos como se hace usualmente en R2. Porejemplo, z es un punto interior de S b C si existe un entorno de z totalmentecontenido en S.

En cuanto a los conjuntos abiertos, cerrados y acotados: Un subconjunto delos numeros complejos se dice abierto si todo punto es interior y se dice cerradosi su complementario es abierto. Diremos, por otro lado, que un conjunto denumeros complejos es acotado si esta contenido en algun cırculo |z| ≤ R.

Los Conjuntos conexos, dominios y regiones: Un conjunto S b C se diceconexo si todo par de puntos del mismo pueden unirse mediante una linea polig-onal que este contenida en S. A los conjuntos abiertos y conexos los llamaremosdominios. Finalmente, llamaremos regiones a los dominios junto con alguno,ninguno, o todos sus puntos frontera.

1.9. Ejercicios

Capıtulo 2

Funciones de una VariableCompleja

En este capıtulo daremos las definiciones de funcion y lımite de una fun-cion compleja. Se analizan la continuidad y la derivada de las funciones com-plejas. Ademas, se introduce el concepto de funciones armonicas conjugadas yla ecuacion de Laplace.

2.1. Funciones de una Variable Compleja

Supongamos que la variable compleja z = x + iy toma todos los valoresposibles de un conjunto complejo Z. Si a cada valor de z ∈ Z se le puede poneren correspondencia uno o varios valores de otra variable compleja w = u + ivque pertenece al conjunto complejo W , entonces la variable compleja w se llamafuncion de z en el dominio Z y se representa como

w = f(z). (2.1)

La funcion (2.1) es una funcion univaluada si a cada valor de z, donde z ∈ Z, sele pone en correspondencia solo un valor de w, donde w ∈W . Podemos tambiendecir que la funcion (2.1) mapea (transforma) los puntos del plano complejo Za los puntos en el plano complejo W .

Si existen valores de z a cada uno de los cuales se le pone en correspondenciavarios valores de w, entonces decimos que la funcion (2.1) es multivaluada.

Si w = u + iv es una funcion de z = x + iy, entonces cada una de las vari-ables u y v sera una funcion de x, y, es decir u(x, y) y v(x, y). Inversamente,si w = u(x, y) + iv(x, y), donde u(x, y) y v(x, y) son funciones reales de x, y,entonces w se puede ver como funcion de la variable compleja z = x+ iy.

26

CAPITULO 2. FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA 27

Sean z = x + iy y w = u + iv puntos en los planos complejos Z y W , ladependencia w = f(z) de la variable dependiente w sobre la variable complejaindependiente z puede ser descrita especificando dos funciones de valores realesu(x, y) y v(x, y) de las variables x y y. Sean

z = x+ iy (2.2)

yu = u(x, y), v = v(x, y) (2.3)

entonces, comparando las expresiones (2.2) y (2.3), una funcion compleja sepuede escribir como

f(z) = u(x, y) + iv(x, y) (2.4)

donde

u(x, y) = Ref(z) = Ref(x+ iy), v(x, y) = Imf(z) = Imf(x+ iy) (2.5)

Por consiguiente, una funcion compleja f(z) la podemos considerar como unpar de funciones reales u(x, y) y v(x, y) de dos variables reales x, y.

Ejemplo 2.1.1. Sea f(z) = z2, determinar las funciones reales u(x, y) y v(x, y).

Solucion: Debido a que z = x+ iy, tenemos

f(x+ iy) = (x+ iy)2 = x2 − y2 + 2ixy (2.6)

De esta expresion identificamos las funciones reales

u(x, y) = x2 − y2, v(x, y) = 2xy (2.7)

Entonces, la funcion f(z) = z2 es equivalente a las dos funciones reales en (2.62).

Ejemplo 2.1.2. Sea la funcion compleja f(z) = 1z , z 6= 0. Hallar las funciones

reales u(x, y) y v(x, y).

Solucion: Tenemos z = x+ iy, entonces

f(x+ iy) =1

x+ iy=

(x− iy)(x+ iy)(x− iy)

=x

x2 + y2− i

y

x2 + y2(2.8)

De esta expresion obtenemos las funciones reales

u(x, y) =x

x2 + y2, v(x, y) = − y

x2 + y2(2.9)

Ejemplo 2.1.3. Hallar las funciones reales si la funcion compleja es w = zz .


Solucion: Sean w = u(x, y)+ iv(x, y), z = x+ iy y z = x− iy, sustituyendoen la funcion dada, tenemos

u(x, y) + iv(x, y) =x− iy

x+ iy=

(x− iy)(x− iy)(x+ iy)(x− iy)

=x2 − y2

x2 + y2− i

2xyx2 + y2

(2.10)

Igualando estas expresiones se obtienen las funciones reales

u(x, y) =x2 − y2

x2 + y2, v(x, y) = − 2xy

x2 + y2(2.11)

Ejemplo 2.1.4. Sea la funcion compleja, w = z3 − iz, hallar las funcionesreales.

Solucion: Sean z = x+ iy, z = x− iy, y w = u(x, y)+ iv(x, y). Sustituyendoen la funcion dada, se tiene

u(x, y)+iv(x, y) = (x+iy)3−i(x−y) = (x3−3xy2−y)+i(3x2y−y3−x) (2.12)

Podemos concluir que las funciones reales vienen dadas por las expresiones

u(x, y) = x3 − 3xy2 − y, v(x, y) = 3x2y − y3 − x (2.13)

Entonces, la funcion w = z3 − iz es equivalente a las dos funciones reales en(2.13).

Ejemplo 2.1.5. Supongamos que deseamos saber en que se transforma el puntoz0 = −i en el plano complejo Z, bajo la funcion w = z3.

Solucion: Tenemos la funcion w = z3 que llevara al punto z0 = −i a otropunto del plano complejo W . Cual es este nuevo punto?. Para contestar a estapregunta, simplemente sustituimos en la funcion el punto dado, es decir, hacemoslo siguiente

w = z3 = (−i)3 = i (2.14)

Si graficamos el punto z0 = −i, tenemos que este punto se encuentra en el ejecomplejo y abajo del origen. Este punto bajo el mapeo w = z3 se transformo enun punto w = i que se encuentra en el eje y arriba del origen.

Ejemplo 2.1.6. En que punto se transforma z0 = 3+2i bajo la transformacionw = z2 − 3z.

Solucion: Sustituyendo el punto dado z0 = 3 + 2i en la transformacion,tomando en cuenta su conjugado, se tiene

w = z2 − 3z = (3 + 2i)2 − 3(3− 2i) = −4 + 18i (2.15)

Ejemplo 2.1.7. En que punto se transforma z0 = 2+3i bajo la transformacionw = z

z .


Solucion: Tenemos el punto complejo z0 = 2+3i, su conjugado es z0 = 2−3i,sustituyendo en la funcion

w =z

z=

2− 3i2 + 3i

=(2− 3i)(2− 3i)(2 + 3i)(2− 3i)

= − 513− 12

13i (2.16)

No es dificil graficar los puntos z0 = 2+3i y el punto al cual se transformo (2.23).El primer punto esta en el primer cuadrante y el punto transformado en el tercercuadrante del plano complejo W .

Ejemplo 2.1.8. Dada la funcion w = z2 + z hallar los valores de la funcion sia)z = 1 + i, b)z = 2− i, c)z = i.

Solucion: a) sustituyendo el valor de z = 1 + i en la funcion dada resulta

w = (1 + i)2 + (1 + i) = 1 + 3i (2.17)

b) Sustituyendo el valor z = 2− i en la funcion dada, se tiene

w = (2− i)3 + 2− i = 5− 5i (2.18)

c) Sustituyendo z = i en la funcion dada

w = (i)2 + i = −1 + i (2.19)

Ejemplo 2.1.9. Dada la funcion f(z) = x2 + iy2, donde z = x + iy. Hallara)f(1 + 2i), b)f(2− 3i), c)f(−i).

Solucion: a) para este caso, de f(1 + 2i), tenemos que x = 1 y y = 2,sustituyendo estos valores en la funcion dada, resulta

f(z) = f(1 + 2i) = 12 + i(2)2 = 1 + 4i (2.20)

b), en este caso x = 2 y y = −3, sustituyendo en la funcion dada, se tiene

f(z) = f(2− 3i) = 22 + i(−3)2 = 4 + 9i (2.21)

c), en este caso x = 0 y y = −1, sustituyendo en la funcion dada, se tiene

f(z) = f(2− 3i) = i (2.22)

Ejemplo 2.1.10. Dada la funcion f(z) = 1x−iy , donde z = x + iy. Hallar

a)f(1 + i), b)f(i), c)f(3− 2i).

Solucion: Antes que nada, la funcion dada la podemos escribir como

f(z) =1

x− iy=

(x+ iy)(x− iy)(x+ iy)

=x

x2 + y2+

y

x2 + y2i (2.23)

a) para este caso tenemos x = 1 y y = 1, sustituyendo esto valores en (2.23),resulta

f(1 + i) =12

+i

2(2.24)


b) en este caso x = 0 y y = 1, sustituyendo en (2.23), resulta

f(i) = i (2.25)

c) tenemos x = 3 y y = −2, entonces, sustituyendo en (2.23), resulta

f(3− 2i) =313− 2

13i (2.26)

2.2. Funciones Complejas Elementales

1. Las funciones polinomiales

f(z) = anzn + an−1z

n−1 + . . .+ a1z + a0 (2.27)

son todas ellas enteras. Las funciones racionales

f(z) =P (z)Q(z)

, (2.28)

donde P (z) y Q(z) son polinomios, seran analıticas, salvo, quizas, en lospuntos en los que se anule el denominador.

2. La funcion exponencial compleja ez esta definida como la suma de la seriede potencias

ez = 1 + z + 12!z

2 + 13!z

3 + . . .+ 1n!z

n + . . . (2.29)

Esta funcion converge absolutamente en todo el plano complejo. La funcionexponencial compleja tiene las siguientes propiedades:

ez1+z2 = ez1 · ez2 , para todo numero complejo z1 y z2.ez+2iπk = ez, para (k = 0,±1,±2, . . .), esto significa que la funcionez es una funcion periodica de periodo imaginario de 2πi.eix = cosx+ isenx. Esta es la formula de Euler.|ez| = ex para todo numero complejo z.

3. Las funciones senz y cos z estan definidas por las series de potencias

cos z = 1− 12!z

2 + 14!z

4 − . . .+ (−1)n 1(2n)!z

2n + . . . (2.30)

y

senz = z − 13!z

3 + . . .+ (−1)n 1(2n+1)!z

2n+1 + . . . (2.31)


las cuales son absolutamente convergentes para todos los valores de z.Las funciones cos z y senz son periodicas con periodo real de 2π y solotienen ceros reales en z = kπ y z = π/2 + kπ, respectıvamente, dondek = 0,±1,±2, . . .

Las funciones exponencial ez, senz, cos z estan ıntimamente relacionas porlas formulas de Euler

eiz = cos z + isenz, e−iz = cos z − isenz (2.32)

Sumando las dos expresiones, resulta

eiz + e−iz = cos z + isenz + cos z − isenz = 2 cos z (2.33)

de donde obtenemos la relacion

cos z = eiz+e−iz

2(2.34)

Si ponemos z = x+ iy en (2.34), resulta

cos(x+ iy) =12

[ei(x+iy) + e−i(x+iy)

]=

12

[e−yeix + eye−ix

]=

12

(e−y + ey

)cosx+

i

2

(e−y − ey

)senx

= cosh y cosx− isenhysenx. (2.35)

donde el coseno hiperbolico y el seno hiperbolico estan definidos comocosh y = 1

2 (ey + e−y) y senhy = 12 (ey − e−y).

Ahora, restando las funciones (2.32), tenemos

eiz − e−iz = cos z + isenz − cos z + isenz = 2isenz. (2.36)

De donde obtenemos

senz = eiz−e−iz

2i(2.37)

Si z = x+ iy, de forma similar a (2.35) podemos escribir

sen(x+ iy) = coshysenx+ isenhy cosx. (2.38)

Las funciones tg z y cotg z estan definidas por las siguientes formulas:

tg z = senzcos z , cot z = cos z

senz (2.39)

Todas las formulas de la trigonometrıa (en el campo real) son validas paralas funciones trigonometricas de una variable compleja.


sen(−z) = −senz, cos(−z) = cos z.

cos2 z + sen2z = 1.

sen(z1 ± z2) = sen z1 cos z2 ± cos z1 sen z2.

cos(z1 ± z2) = cos z1 cos z2 ∓ sen z1 sen z2.

sen 2z = 2 sen z cos z, cos(2z) = cos2 z = cos2 z − sen2 z.

sen z = sen z.

sen(z + 2nπ) = senz, ∀ n entero.

cos(z + 2nπ) = cos z, ∀ n entero.

4. Las funciones hiperbolicas senhz, cosh z, tanh z y coth z estan definidascomo:

cosh z = ez+e−z

2 , senhz = ez−e−z

2(2.40)

y

tanh z = senhzcosh z , coth z = cosh z

senhz(2.41)

Las funciones hiperbolicas complejas satisfacen las siguientes identidades

senh(−z) = − senh z, cosh(−z) = cosh z.

cosh2 z − senh2 z = 1.

cosh(z1 + z2) = cosh z1 cosh z2 + senh z1 senh z2.

cosh 2z = cosh2 z + senh2 z.

senh 2z = 2 senh z cosh z.

sen(iz) = i senh z.

cos iz = cosh z.

senh z = senhx cos y + i coshx sen y.

cosh z = coshx cos y + i senhx sen y.

| senh z|2 = senh2 x+ sen2 y.

| cosh z|2 = senh2 x+ cos2 y.

5. Las funciones trigonometricas e hiperbolicas estan relacionas mediante lassiguientes formulas:

senz = −isenh(iz), senhz = −isen(iz), (2.42)cos z = cosh(iz), cosh z = cos(iz), (2.43)tg z = −i tanh(iz), tanh z = −i tg(iz), (2.44)

cot z = i coth(iz), coth z = i cot(iz). (2.45)


6. La funcion logarıtmica Lnz, para z 6= 0, esta definida como la inversa dela funcion exponencial, y

Lnz = ln |z|+ iArgz = ln |z|+ iargz + 2iπk, (k = 0,±1, . . .) (2.46)

Esta es una funcion multivaluada. El valor principal de Lnz es el valorpara k = 0 y es representado como lnz

ln z = ln |z|+ iargz (2.47)

Obviamente

Lnz = ln z + 2iπk, (k = 0,±1,±2, . . .). (2.48)

Para la funcion logarıtmica las siguientes frmulas son validas:

Lnz1 · z2 = Lnz1 + Lnz2, (2.49)

Ln(z1z2

)= Lnz1 − Lnz2 (2.50)

7. Las funciones trigonometricas inversas Arcsenz,Arccosz,Arctgz y Arccotzestan, definidas como las inversas de senw, cosw, tgw y cotw, respectiva-mente. Por ejemplo, si z = senw decimos que w es el arcseno de z y seescribe como w = Arcsenz o de la siguiente manera w = sen−1z.

Todas estas funciones son multivaluadas y se pueden representar en ter-minos de la funcion logarıtmica

Arcsenz = −iLn(iz +

√1− z2

), (2.51)

Arccosz = −iLn(z +

√z2 − 1

), (2.52)

Arctgz = − i2Ln

(1 + iz

1− iz

), (2.53)

Arccotz = − i2Ln

(z + i

z − i

). (2.54)

Los valores principales de las funciones trigonometricas inversas puedenser obtenidos por los valores principales correspondientes de las funcioneslogarıtmicas.

8. La funcion potencial general w = za, donde a = α + iβ es un numerocomplejo arbitrario, esta definida por

za = eaLnz. (2.55)


Esta funcion, en general, es tambien multivaluada, su valor principal es

za = eaLnz. (2.56)

9. La funcion exponencial general w = az, (con a 6= 0 es un numero complejoarbitrario) esta definida como

az = ezLna. (2.57)

El valor principal de esta funcion multivaluada es (3.80).

Ejemplo 2.2.1. Resolver la ecuacion

senz = 3. (2.58)

Solucion: El problema se reduce a encontrar

z = Arcsen3. (2.59)

Usando la formula (2.46)

Arcsent = −iLn(it+

√1− t2

), (2.60)

obtenemosz = Arcsen3 = −iLn

(3i+

√1− 32

)(2.61)

y teniendo en cuenta√−8 = ±

√8i, resulta

z = −i[Ln(3±

√8)i

]. (2.62)

Luego, debemos calcular el Ln(3 −√

8)i, usando la formula (2.46), para estocalculamos primero el argumento

arg[(

3±√

8)i]

=π

2. (2.63)

y el modulo ∣∣∣(3 +√

8)i∣∣∣ =

√02 + (3 +

√8)2 = 3 +

√8∣∣∣(3−

√8)i∣∣∣ =

√02 + (3−

√8)2 = 3−

√8 (2.64)

Recordemos que el modulo de un numero complejo z es |z| =√x2 + y2. En

nuestro caso x = 0 y y = 3 +√

8.Sustituyendo estos resultados en la formula (2.46), tenemos

Ln[(

3±√

8)i]

= ln(3±

√8)

+π

2i+ 2kπi, (k = 0,±1,±2, ...). (2.65)

Finalmente, poniendo este resultado en (2.62), resulta

z =π

2+ 2kπ − i ln

(3±

√8), (k = 0,±1,±2, ...). (2.66)


Ejemplo 2.2.2. Resolver la ecuacion compleja

senz = i. (2.67)

Solucion:

Ejemplo 2.2.3. Resolver la ecuacion compleja

ez = 1 + 2i. (2.68)

Solucion:

Ejemplo 2.2.4. Verificar la formula

Arcsenz = −iLn(iz +

√1− z2

). (2.69)

Solucion:Sea w = Arcsenz, entonces

z = senw =eiw − e−iw

2i(2.70)

Multiplicando esta expresion por e−iw, resulta la ecuacion cuadratica

e2iw − 2izeiw − 1 = 0. (2.71)

la cual tiene como solucion

eiw =2iz ±

√4− 4z2

2= iz ±

√1− z2 = iz +

√1− z2 (2.72)

Luegoeiw = ei(w−2kπ), donde k = 0,±1,±2, . . . (2.73)

Ası que

ei(w−2kπ) = iz +√

1− z2 w = 2kπ +1i

ln(iz +√

1− z2) Si k = 0 (2.74)

calculando su rama principal, se obtiene que

1i

ln(iz +√

1− z2) ≡ 1i

ln(iz +√

1− z2) (2.75)

2.3. Lımite y Continuidad de una FuncionCompleja

Se dice que la funcion univaluada w = f(z), cuando z → c, tiene un lımitefinito C, si para cualquier numero ε > 0 se encuentra un numero δ > 0, que


de la igualdad |z − c| < δ se sigue la desigualdad |f(z) − C| < ε. En tal casoescribimos

lımz→c f(z) = C (2.76)

donde c y C son constantes complejas.

Decimos que la funcion w = f(z) es continua en el punto z0, si se cumple larelacion

lımz→z0 f(z) = f(z0) (2.77)

Una funcion continua en cada punto de un dominio D, se llama continua en eldominio dado.

Supongamos quelım

z→z0f(z) (2.78)

dondef(z) = u(x, y) + iv(x, y) (2.79)

existe, yz0 = x0 + iy0 (2.80)

entonces el lımite de f(z) esta dado por

lımz→z0 f(z) = lımx→x0,y→y0 u(x, y) + i lımx→x0,y→y0 v(x, y) (2.81)

Muchos teoremas sobre lımites en el calculo de variable real tambien son validospara funciones de variable compleja. Supongamos que los lımites

lımz→z0

f(z) = L, lımz→z0

g(z) = K (2.82)

existen. Entonces son validas las expresiones

lımz→z0

[f(z) + g(z)] = L+K

lımz→z0

[f(z)− g(z)] = L−K

lımz→z0

cf(z) = cL ∀c (2.83)

lımz→z0

[f(z)g(z)] = LK

lımz→z0

f(z)g(z)

=L

K


Una diferencia importante entre los lımites de funciones complejas y los lımitesde funciones reales, es la manera en que la variable se aproxima al punto. Paraun funcion real g(x), tenemos que,

lımx→a

g(x) = A

involucra el comportamiento de la funcion g(x) conforme x se aproxima a a porcualquier lado. En la recta solo hay dos maneras de que x se aproxime a a, porla izquierda o por la derecha.

En el caso de las funciones complejas la relacion

lımz→z0

f(z) = L (2.84)

involucra el comportamiento de f(z) conforme z se aproxima a z0 en el planocomplejo y esto puede involucrar que z se aproxime a z0 desde cualquier direc-cion. Los numeros f(z) deben aproximarse a L a lo largo de cualquier trayectoriade aproximacion de z a z0 en D. Si a lo largo de una sola trayectoria de aproxi-macion de z a z0, f(z) no se aproxima a L, entonces f(z) no tiene lımite en z0.

La diferencia anterior entre las funciones reales y complejas implica que larelacion (2.84), en el plano complejo, sea un enunciado mas fuerte que en el casoreal.

Ejemplo 2.3.1. Calcular los siguientes lımites:

1. lımz→∞4z2

(z−1)2 .

Solucion: Desarrollando el binomio, tenemos

lımz→∞

4z2

z2 − 2z + 1= lım

z→∞

4z2

z2

z2

z2 − 2zz2 + 1

z2

= lımz→∞

41− 2z

z2 + 1z2

= 4 (2.85)

2. lımz→1 = 1(z−1)3

Solucion: Escribiendo el lımite de la siguiente manera

lımz→1

1(z − 1)(z2 − 2z + 1)

= lımz→1

1(z3 − 3z2 + 3z − 1)

= lımz→1

1z3

z3

z3 − 3z2

z3 + 3zz3 − 1

z3

=11

11 −

31 + 3

1 −11

=10→∞ (2.86)

el lımite no existe.


3. Si f(z) = z2 + 2z, calcular el lımite cuand z → i.

Solucion: Se tiene

lımz→i

f(z) = z2 + 2z = (i)2 + 2(i) = i2 + 2i = −1 + 2i (2.87)

4. lımz→i2z+iz+1 .

Solucion: Dividiendo entre z y tomando en cuenta que z → 0, se obtiene

lımz→0

2zz + i

zzz + 1

z

= lımz→0

2 + iz

1 + 1z

= 2 (2.88)

5. lımz→2iz−2i

z4−16 .

Solucion: Aplicando la Regla de L´Hopital

d

dzlım

z→2i

14z3

=1

4(2i)3=

14(8i3)

=1

32(−i)= − i

32(2.89)

6. lımz→2i(iz4 + 3z2 − 10i).

Solucion: Aplicando el lımite, resulta

lımz→2i

(iz4 + 3z2 − 10i) = [i(2i)4 + 3(2i)2 − 10i] = −12 + 6i (2.90)

7. lımz→e

πi4

z2

z4+z+1 .

Solucion: Aplicando el lımite

lımz→e

πi4

z2

z4 + z + 1=

eπi2

eπi + eπi4 + 1

=cos(π

2 ) + i sen(π2 )

cos(π) + i sen(π) + cos(π4 ) + sen(π

4 ) + 1

=i

−1 + 1√2

+ 1√2i+ 1

=i

1√2

+ 1√2i

=√

2i1 + i

· 1− i

1− i=√

2i(1− i)1− i2

=√

22

(i− i2) =√

22

(1 + i) (2.91)


8. lımz→ i2

(2z−3)(4z+1)(iz−1)2

Solucion: Aplicando el lımite

lımz→ i

2

(2z − 3)(4z + 1)(iz − 1)2

=[2( i

2 )− 3][4( i2 ) + i]

[i( i2 )− 1]2

=(i− 3)(2i+ i)

[− 12 − 1]2

=(i− 3)(3i)

(− 32 )2

=3i2 − 9i

94

=129

(−1)− 369i = −4

3− 4i (2.92)

2.4. Derivada de una Funcion Compleja.

Sea w = f(z) una funcion definida en un dominio D del plano complejo z.Sean z y z + ∆z dos puntos en el dominio dado D. Entonces, el incremento dela funcion f(z) esta dada por la expresion

∆w∆z

=f(z + ∆z)− f(z)

∆z. (2.93)

Se dice que f ′(z) es la derivada de la funcion f(z) en un punto z si existe ellımite de ∆w

∆z , cuando ∆z → 0. Es decir

f ′(z) = lım∆z→0∆w∆z = lım∆z→0

f(z+∆z)−f(z)∆z

(2.94)

Una funcion que tiene derivada para un valor dado de z, se llama funcion difer-enciable para el valor de z. Si la funcion w = f(z) es unıvoca y tiene derivadafinita en cada punto de un dominio D, entonces, la funcion se llama analıticaen el dominio dado.

Si la funcion w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) es diferenciable en el puntoz = x + iy, entonces en este punto existen derivadas parciales ∂u

∂x ,∂v∂x ,

∂u∂y ,

∂v∂y ,

ademas estas derivadas estan relacionadas por las condiciones

∂u∂x = ∂v

∂y ,∂u∂y = − ∂v

∂x (2.95)

A estas condiciones se les conoce como condiciones de Cauchy-Riemann. Estascondiciones son necesarias para que la fucnion w = f(z) sea diferenciable en elpunto z = x+iy. Inversamente, si las derivadas parciales ∂u

∂x ,∂v∂x ,

∂u∂y ,

∂v∂y son con-

tinuas en el punto z = x+ iy y las condiciones de Cauchy-Riemann se cumplen,entonces, la funcion w = f(z) es diferenciable en el punto z = x+ iy.


La derivada de la funcion f(z) se representa por medio de las derivadasparciales de las funciones u(x, y) y v(x, y), de la siguiente manera

f ′(z) = ∂u∂x + i ∂v

∂x = ∂v∂y − i∂u

∂y = ∂u∂x − i∂u

∂y = ∂v∂y + i ∂v

∂x (2.96)

La derivada de las funciones elementales zn, ez, cos z, senz, ln z, arc sen z,arc cos z, arc tg z, shz, chz se encuentran segun las formulas del analisis real

(zn)′ = nzn−1, (arc sen z)′ =1√

1− z2.

(ez)′ = ez, (arc cos z)′ = − 1√1− z2

.

(cos z)′ = −senz, (arc tg z)′ =1

z2 + 1.

(senz)′ = cos z, (shz)′ = chz.

(ln z)′ =1z, (chz)′ = shz. (2.97)

Ejemplo 2.4.1. Calcular la derivada de la funcion f(z) = z,∀z ∈ D.

Solucion: Usando la definicion (2.94), tenemos

f(z + ∆z) = z + ∆z. (2.98)

Entonces

f ′(z) = lım∆z→0

z + ∆z − z

∆z= lım

∆z→0

∆z∆z

= 1. ∀z ∈ D. (2.99)

Ejemplo 2.4.2. Hallar la derivada de la funcion f(z) = z2,∀z ∈ D.

Solucion: Por definicion, tenemos

f ′(z) = lım∆z→0

(z + ∆z)2 − z2

∆z= lım

∆z→0

2z∆z + (∆z)2

∆z= lım

∆z→0(2z + ∆z) = 2z. (2.100)

En general, si n > 0 y f(z) = zn, entonces f ′ = nzn−1. Como podemos ver,esta formula es identica a la del calculo con variables reales.

Otras formulas similares son:

[f(z)± g(z)]′ = f ′(z)± g′(z).

[cf(z)]′ = cf ′(z).


[f(z)g(z)]′ = f(z)g′(z) + g(z)f ′(z).

[f(z)g(z)

]′= g(z)f ′(z)−f(z)g′(z)

[g(z)]2 .

Si f(w) = g(w), y w = f(z) → dfdz = dg

dwdwdz , regla de la cadena. Donde estamos

suponiendo que las derivadas de las funciones f(z) y g(z) existen.

Ejemplo 2.4.3. Hallar la derivada f ′(w) como funcion de z, si f(w) = w5 yw = 2z2 + i.

Solucion: Haciendo uso de la regla de la cadena, tenemos

df

dz=

df

dw

dw

dz= 5w4(4z) = 20zw4 = 20z(2z2 + i)4. (2.101)

Ejemplo 2.4.4. Hallar la derivada de la funcion compleja f(z) = z3, dondez = x+ iy.

Solucion: Para usar las condiciones de Cauchy-Riemann, debemos calcular,primero las funciones reales u(x, y) y v(x, y), tenemos

f(x+iy) = (x+iy)3 = x3+3ix2y−3xy2+iy3 = x3−3xy2+i(3x2y−y3). (2.102)

De donde podemos identificar las funciones reales

u(x, y) = x3 − 3xy2, v(x, y) = 3x2y − y3. (2.103)

Ahora debemos probar que las condiciones de Cauchy-Riemann se cumplen.Derivando estas funciones reales respecto a x, resulta

∂u

∂x= 3x2 − 3y,

∂v

∂x= 6xy. (2.104)

Sustituyendo estos resultados en la expresion (2.96), obtenemos

f ′(z) =∂u

∂x+ i

∂v

∂x= 3x2 − 3y2 + 6ixy = 3(x2 − y2 + 2ixy) = 3z2. (2.105)

De esta forma hemos obtenido una manera mas de calcular las derivadas de unfuncion compleja.

Las condiciones de Cauchy-Riemann constituyen una condicion necesaria,pero no suficiente, para que f(z) sea diferenciable en un punto. Si estas condi-ciones no se satisfacen, entonces f ′(z) no existe en ese punto.

Ejemplo 2.4.5. Sea la funcion compleja f(z) = ez, donde z = x + iy. Hallarsu derivada.


Solucion: Escribiendo la funcion f(z) = ez de la siguiente manera

f(z) = ez = ex+iy = exeiy = ex cos y + iex sen y (2.106)

De donde, tenemos las funciones reales

u(x, y) = ex cos y, v(x, y) = ex sen y (2.107)

Veamos si las condiciones de Cauchy-Riemann se cumplen. Para esto, derivamoslas expresiones, obteniendo

∂u

∂x= ex cos y,

∂v

∂x= ex sen y,

∂v

∂y= ex cos y,

∂u

∂y= −ex sen y (2.108)

Como podemos ver, las condiciones se cumplen para todos los valores de x y y.Finalmente, obtenemos

f ′(z) =∂u

∂x+ i

∂v

∂x= ex cos(y) + iex sen(y) = exeiy = ex+iy = ez (2.109)

Ejemplo 2.4.6. Sea la funcion f(z) = z2. Hallar los puntos en los cuales lafuncion dada es diferenciable.

Solucion: Sabemos que z = x− iy, entonces

f(z) = (x− iy)2 = x2 − y2 − 2ixy (2.110)

De dondeu(x, y) = x2 − y2, v(x, y) = −2xy (2.111)

Veamos si se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann. Para esto derivamosestas expresiones respecto a x y a y, obtenemos

∂u

∂x= 2x,

∂u

∂y= −2y,

∂v

∂x= −2y,

∂v

∂y= −2x (2.112)

Luego, las condiciones de Cauchy-Riemann son

∂u

∂x=∂v

∂y,

∂u

∂y= −∂v

∂x(2.113)

Como podemos ver, las condiciones de Cauchy-Riemann se cumplen solo parael caso en que x = y = 0, por lo tanto, la funcion f(z) = z2 es diferenciable soloen el punto z = 0.

Ejemplo 2.4.7. Sea la funcion f(z) = z. Hallar los puntos en los cuales estafuncion es diferenciable.

Solucion: Tenemos que z = x− iy, entonces

f(z) = x− iy (2.114)


De dondeu(x, y) = x, v(x, y) = −y (2.115)

Derivando estas expresiones, tenemos

∂u

∂x= 1,

∂v

∂y= −1 (2.116)

La condicion de Cauchy-Riemann no se cumple para cualquier z, y por consigu-iente la funcion f(z) no es diferenciable en ningun punto.

Ahora recordemos que todo numero complejo lo podemos escribir en su formaexponencial como z = ρeiφ, entonces, la funcion f(z) en coordenadas polarestendra la forma:

f(z) = u(ρ, φ) + iv(ρ, φ) (2.117)

y las condiciones de Cauchy- Riemann en coordenadas polares, se escriben como

∂u∂ρ = 1

ρ∂v∂φ ,

∂v∂ρ = − 1

ρ∂u∂φ (2.118)

Por lo tanto, la derivada de la funcion f(z) en estas coordenadas viene dadapor la expresion

f ′(z) = ρz

(∂u∂ρ + i∂v

∂ρ

)= 1

z

(∂v∂φ − i∂u

∂φ

)(2.119)

Ejemplo 2.4.8. Demostrar que la funcion f(z) =√z es diferenciable.

Solucion: Escribiendo z en su forma exponencial z = ρeiφ. Luego

f(z) =√ρei φ

2 =√ρ(

cosφ

2+ i sen

φ

2

)(2.120)

Identificamos a las funciones reales

u(ρ, φ) =√ρ cos

(φ2

), v(ρ, φ) =

√ρ sen

(φ2

)(2.121)

Ahora derivemos estas expresiones

∂u

∂ρ=

12√ρ

cos(φ

2

),

∂v

∂φ=√ρ

2cos

(φ2

)(2.122)

Es facil ver que las condiciones de Cauchy-Riemann se cumplen. Entonces, lafuncion f(z) =

√z es diferenciable. Usando la formula (2.119), obtenemos


f ′(z) =ρ

z

(∂u∂ρ

+ i∂v

∂ρ

)=ρ

z

[ 12√ρ

cos(φ

2

)+

i

2√ρsen

(φ2

)]=

√ρei φ

2

2ρeiφ=

12√z

(2.123)

2.5. Funciones Armonicas Conjugadas.

Sea f(z) = u(x, y) + iv(x, y) una funcion diferenciable en una region D y,ademas, las funciones u(x, y) y v(x, y) tienen derivadas parciales continuas hastael segundo orden. Entonces, diferenciando la primer ecuacion de (2.95) respectoa x y la segunda respecto a y, obtenemos:

∂2u

∂x2=

∂2v

∂x∂y,

∂2u

∂y2= − ∂2v

∂y∂x(2.124)

Sumando estas igualdades, y teniendo en cuenta ∂2v∂y∂x y ∂2v

∂x∂y , debido a que estasderivadas son continuas, estas son iguales. Entonces

∂2u∂x2 + ∂2u

∂y2 = 0 (2.125)

De igual manera, obtenemos

∂2v∂x2 + ∂2v

∂y2 = 0 (2.126)

La funcion real u(x, y), la cual tiene en una region D derivadas parciales con-tinuas de segundo orden y que satisfacen la ecuacion (2.125), se llama funcionarmonica en D, y la ecuacion (2.125) se llama ecuacion de Laplace.

En otras palabras, las funciones armonicas son aquellas que satisfacen laecuacion de Laplace.

Las partes reales e imaginarias de la funcion f(z) = u(x, y) + iv(x, y) difer-enciable en D seran funciones armonicas en D.

Las funciones armonicas u(x, y) y v(x, y) se relacionan entre sı por las condi-ciones de Cauchy-Riemann, se llaman conjugadas.

Si en la region D estan dadas dos funciones armonicas conjugadas u(x, y) yv(x, y), entonces, la funcion f(z) = u(x, y) + iv(x, y) es diferenciable en D.


Teorema 2.5.1. Para que la funcion f(z) = u(x, y)+ iv(x, y) sea diferenciableen D es necesario y suficiente que las funciones u(x, y) y v(x, y) sean armonicasen D.

Teorema 2.5.2. Para cualquier funcion u(x, y) armonica en D, se puede hal-lar una funcion armonica conjugada a ella, la cual se define con exactitud hastauna constante arbitraria.

Ejemplo 2.5.1. Verificar que la funcion f(z) = ey · eix es armonica.

Solucion: Escribiendo la funcion dada en forma trigonometrica para iden-tificar las funciones u(x, y) y v(x, y), tenemos

f(z) = ey · [cosx+ isenx], u = ey cosxv(x, y) = eysenx (2.127)

calculamos las segundas derivadas parciales de u(x, y) respecto a x y y, ob-tienemos

∂u

∂x= −eysenx,

∂u

∂y= ey cosx

∂2u

∂x2= −ey cosx,

∂2u

∂y2= ey cosx (2.128)

Entonces, como resultado tenemos que, la suma de las segundas derivadas deu(x, y) respecto a x y y es cero. Por consiguiente, la funcion u(x, y) es armonicaya que cumple la ecuacion da Laplace.

De igual manera para v(x, y) se obtiene

∂v

∂x= ey cosx,

∂v

∂y= eysenx,

∂2v

∂x2= −eysenx,

∂2v

∂y2= eysenx (2.129)

que tambien cumple la ecuacion de Laplace. Por consiguiente, v(x, y) es armonica.Con esto podemos afirmar que la funcion f(z) = ey · eix es armonica.

Ejemplo 2.5.2. Verificar que la funcion f(z) = z2 es armonica.

Solucion: Sea z = x+ iy sustituyendo en la funcion dada, tenemos

f(x+ iy) = (x+ iy)2 = x2 + 2ixy − y2 (2.130)

Identificamos las funciones reales u(x, y) y v(x, y)

u(x, y) = x2 − y2, v(x, y) = 2xy (2.131)


Luego, tomando las segundas derivadas de estas funciones respecto a x y y,resulta

∂u

∂x= 2x,

∂u

∂y= −2y,

∂2u

∂x2= 2

∂2u

∂y2= −2 (2.132)

Sumando las segudas derivadas resulta cero, lo cual implica que la funcionu(x, y) = x2−y2 satisface la ecuacion de Laplace y por consiguiente es armonica.

De manera similar se tiene para la funcion v = 2xy. Las derivadas parcialesson

∂v

∂x= 2y

∂v

∂y= 2x

∂2v

∂x2= 0

∂2v

∂y2= 0 (2.133)

Como podemos ver la funcion v(x, y) = 2xy tambien satisface la ecuacion deLaplace y por lo tanto es una funcion armonica. Las dos funciones u(x, y) yv(x, y) son armonicas, por consiguiente, la funcion dada f(z) = z2 tambien loes.

2.6. Ejercicios

2.7. Ejercicios Resueltos.

Ejemplo 2.7.1. Para cada una de las siguientes funciones encontrar u(x, y) yv(x, y).

A) f(z) = e3iz

Solucion: Sea z = x+ iy, entonces

e3i(x+iy) = e3ix−3y = e3ixe−3y = e−3y[cos 3x+ i sen 3x]= e−3y cos 3x+ ie−3y sen 3x (2.134)

de donde, podemos identificar

u(x, y) = e−3y cos 3x, v(x, y) = e−3y sen 3x (2.135)

B) f(z) = cos(z)

Solucion: Sea z = x+ iy

cos(x+ iy) = i cosx cos y − senx sen y= cosx cosh y − senx[i senh y]= cosx cosh y − i senx senh y (2.136)


de donde identificamos

u(x, y) = cosx cosh y v(x, y) = − senx senh y (2.137)

C) f(z) = sen(2z)

Solucion: Si z = x+ iy

sen(2x+ 2iy) = i sen 2x cos 2y + i cos 2x sen 2y= sen 2x cosh 2y + i cos 2x senh 2y (2.138)

De aquı podemos identificar las funciones reales

u(x, y) = sen 2x cosh 2y v(x, y) = cos 2x senh 2y (2.139)

D) f(z) = z2e2z

Solucion: Si z = x+ iy

(x+ iy)2e2(x+iy) = (x2 + 2xyi− y2)e2x[cos(2y) + i sen(2y)] (2.140)= x2e2x cos(2y) + x2e2x sen(2y)i+ 2xye2x cos(2y)i−− 2xye2x sen(2y)− y2e2x cos(2y)− y2e2x senh(y)i= x2e2x cos(2y)− 2xye2x sen(2y)− y2e2x cos(2y) ++ [x2e2x sen(2y) + 2xye2x cos(2y)− y2e2x sen(2y)]i

De donde

u(x, y) = e2x[cos(2y)(x2 − y2)− 2xy sen(2y)]v(x, y) = e2x[sen(2y)(x2 − y2) + 2xy cos(2y)] (2.141)

Ejemplo 2.7.2. Obtener una expresion para w = cos−1(z) en terminos delogaritmos.

Solucion:

z = cos(w) =eiw + e−iw

2= e2wi − 2zeiw + 1 = 0 (2.142)

Aplicando la formula general

eiw1,2 =2z ±

√4z2 − 4(1)(1)

2= z ± 1

√z2 − 1 (2.143)

w = −i[log(z ± 1√z2 − 1)] (2.144)

Ejemplo 2.7.3. Encontrar los valores de z tales que ez = 1 + 2i se cumpla.


Solucion: Sea z = x+ iy, tenemos

ex cos y + iex sen y = 1 + 2i (2.145)

Entoncesex cos y = 1, ex sen y = 2 (2.146)

Elevando al cuadrado

e2x[cos2 y + sen2 y] = e2x = 5 (2.147)

Obtenemosx =

12

ln 5 (2.148)

Ahora dividiendoex sen yex cos y

= tan y = 2 (2.149)

asıy = tan−1(2) (2.150)

Una solucion de la ecuacion dada es

z =12

ln 5 + i tan−1(2) (2.151)

Ejemplo 2.7.4. Calcular todos los valores de 2i.

Solucion: Tenemos

log(2) = [ln 2 + iarg2] = [ln 2 + 2nπi] (2.152)

En donde n varıa sobre todos los enteros. Los valores de 2i son

ei[log 2] = ei[ln 2+2nπi] = e−2npiei ln 2 = e−2nπ{cos[ln 2] + i sen[ln 2]} (2.153)

en donde n es cualquier entero. Ahora, sabemos que 2i tiene una infinidad devalores complejos, por tanto

2i = {e−2nπ[cos ln 2 + i sen ln 2]} (2.154)

2.8. Ejercicios Propuestos.

Capıtulo 3

Integrales.

En las secciones anteriores hemos estudiado el algebra de los numeros com-plejos, las funciones de una variable compleja, lımites y derivadas de funcionescomplejas. Por consiguiente, estamos listos para estudiar la integracion de fun-ciones de una variable compleja.

3.1. Integral de una Funcion Compleja.

Debido a que el plano complejo es bidimensional existe una mayor libertadin what we mean by a complex integral. Por ejemplo, nos hacemos la pregunta,si la integral de cierta funcion entre los puntos A y B depende upon the curvealong which we integrate. Consecuentemente, un ingrediente importante en unaintegral compleja es el contorno que seguiremos durante la integracion. El re-sultado de una integral compleja es una expresion compleja. A diferencia de sucontraparte en variables reales, no existe una interpretacion fısica para estascantidades, tales como un area bajo una curva. Por lo general, la integracionen el plano complejo es un proceso intermediario with a physically realizablequantity ocurring only after we take its real or imaginary part.

El caso mas simple de integracion de una funcion compleja se tiene cuan-do f(z) es una funcion compleja definida en un intervalo [a, b] de numeros reales.

Sea f : [a, b] → C una funcion compleja. Sea f(x) = u(x) + iv(x), ∀x ∈ a ≤x ≤ b. Entonces la integral de f(x) de a a b, esta definida de la siguiente manera

∫ b

af(x)dx =

∫ b

au(x)dx+ i

∫ b

av(x)dx (3.1)

Las integrales de la derecha son integrales de Riemann de funciones reales en[a, b].

49

CAPITULO 3. INTEGRALES. 50

Ejemplo 3.1.1. Integrar la funcion f(x) =(

1x − i

)2

, ∀x, 1 ≤ x ≤ 2.

Solucion: Por definicion tenemos∫ 2

1

f(x)dx =∫ 2

1

( 1x2− 1

)dx− 2i

∫ 2

1

dx

x=

(− 1x− x

)∣∣∣21− 2i lnx

∣∣∣21

= −12− 2i ln 2− 2 + 1 + 2i ln 1 + 1 =

= −12− 2i ln 2 (3.2)

Ejemplo 3.1.2. Integrar la funcion f(x) = x− ix2, ∀x, 1 ≤ x ≤ 2.

Solucion: Por definicion tenemos∫ 2

1

f(x)dx =∫ 2

1

xdx− i

∫ 2

1

x2dx =x

2

∣∣∣21− i

x3

3

∣∣∣21

=

= 2− 12− i

(83− 1

3

)=

32− 7

3i (3.3)

Ejemplo 3.1.3. Integrar la funcion f(x) = ei2x, ∀x, 0 ≤ x ≤ π6 .

Solucion: Por definicion tenemos∫ b

a

f(x)dx =∫ π

6

0

e2ixdx =12ie2ix

∣∣∣π6

0=

12ie

iπ3 − 1

2ie(2i)(0)

=12ie

iπ3 − 1

2i=

12i

[cos

(π3

)+ i sen

(π3

)]− 1

2i

=12i

[(12

)+ i

(√32

)]− 1

2i=

14i

+√

34− 1

2i

=√

34

+14i

(3.4)

Ejemplo 3.1.4. Integrar la funcion f(x) = cos(2x) + i sen(2x), 0 ≤ x ≤ π/4.

Solucion: Por definicion, tenemos∫ π/4

0

f(x)dx =∫ π/4

0

cos(2x)dx+ i

∫ π/4

0

sen(2x)dx =12

+12i (3.5)

Esta misma integral la podemos calcular si escribimos f(x) = e2ix e integrando∫ π/4

0

f(x)dx =∫ π/4

0

e2ixdx =e2ix

2i

∣∣∣π/4

0=

12i

(eiπ/2 − 1

)=

12i

[cos

(π/2

)+ i sen

(π/2

)− 1

]=

12(1 + i) (3.6)


3.2. Integrales de Lınea.

Tambien podemos definir la integral de una funcion compleja sobre una cur-va en el plano.

Sea f : [a, b] → C una funcion compleja. Sea Γ : [a, b] → C una curva suaveen el plano. Supongamos que f es continua en todos los puntos en Γ. Entonces,la integral de f sobre Γ se define como:∫

Γ

f(z)dz =∫ b

a

f [Γ(t)]Γ′(t)dt (3.7)

Como z = Γ(t) en la curva, la integral (3.7) se escribe como

∫Γf(z)dz =

∫ b

af [z(t)]z′(t)dt (3.8)

Esta forma de escribir la integral compleja tiene la ventaja de sugerir la maneraen que la integral

∫Γf(z)dz es evaluada, reemplazando a z por z(t) en la curva.

Luego, dz = z′(t)dt e integrando sobre el intervalo a ≤ t ≤ b.

Ejemplo 3.2.1. Evaluar la integral∫Γzdz si Γ(t) = eit, 0 ≤ t ≤ π.

Solucion: La grafica de Γ(t) es la mitad del cırculo unitario orientado de 1a −1. En Γ, z(t) = eit y z′(t) = ieit. Luego f [z(t)] = z(t) = e−it. Entonces∫

Γ

f(z)dz =∫ π

0

e−itieitdt = i

∫ π

0

dt = πi. (3.9)

Ejemplo 3.2.2. Evaluar la integral∫Γz2dz si Γ(t) = t + it, en el intervalo

0 ≤ t ≤ 1.

Solucion: Tenemos z(t) = t(1+i) y f(z) = z2, entonces f [z(t)] =(z(t)

)2

=

(1 + i)2t2 = 2it2 de donde z′(t) = 1 + i. La integral se transforma en∫Γ

z2dz =∫ 1

0

(i+ i)2it2dt =∫ 1

0

[2it2 − 2t2]dt =(2i

3t3 − 2

3t3

)∣∣∣10

=23(−1 + i)

(3.10)

Ejemplo 3.2.3. Evaluar la integral∫ΓzRe(z)dz, si Γ(t) = t− it2 en 0 ≤ t ≤ 2.

Solucion: Tenemos

f [z(t)] = zRe(z) = (t− it2)t, z′(t) = 1− 2it (3.11)

Entonces∫Γ

zRe(z)dz =∫ 2

0

(t2 − it3)(1− 2it)dt =∫ 2

0

(t2 − 3it3 − 2t4)dt

=( t3

3− 3i

4t4 − 2

5t5

)∣∣∣20

= −15215

− 12i (3.12)


En ocasiones es necesario integrar sobre una curva dada. En tal caso, debemosencontrar las funciones que describen a la curva.

Ejemplo 3.2.4. Supongamos que necesitamos integrar la funcion f(z) = zsobre el segmento de recta de 3 a 2 + i.

Solucion: La ecuacion de la recta la podemos hallar usando la formula:

y − y1y2 − y1

=x− x1

x2 − x1(3.13)

Los puntos que unen a la recta son (3, 0) y (2, 1). Sustituyendo estos valores enla formula, encontramos la ecuacion

y =x− 32− 3

= 3− x (3.14)

Luego, podemos parametrizar la recta como

z(t) = (5− t) + (t− 2)i, 2 ≤ t ≤ 3 (3.15)

De tal manera que z(2) = 3 y z(3) = 2 + i, con esta parametrizacion tenemosuna correcta orientacion. Ahora z′(t) = −1 + i. La integral se puede escribircomo∫

Γ

zdz =∫ 3

2

[(5−t)+(t−2)i

](−1+i)dt =

∫ 3

2

(−3+7i−2it)dt = −3+2i (3.16)

3.3. Integral Compleja en Terminos de IntegralesReales.

Es logico pensar en la integral de una funcion compleja sobre una curvacomo una suma de integrales de lınea de funciones de valor real de dos variablesreales sobre la curva. Un metodo muy conocido de calcular integrales complejasde lınea consiste en separar la integralen una parte real y otra parte imaginaria.Esto reduce la integral compleja a integrales de lınea de funciones reales.

Seaf(z) = u(x, y) + iv(x, y) (3.17)

yz = x+ iy, dz = dx+ idy (3.18)

sustituyendo en la integral∫C

f(z)dz =∫

C

[u(x, y) + iv(x, y)

][dx+ idy

](3.19)

=∫

C

u(x, y)dx− v(x, y)dy + i

∫C

v(x, y)dx+ u(x, y)dy


Entonces, la integral de una funcion compleja, esta definida como

∫Cf(z)dz =

∫Cu(x, y)dx− v(x, y)dy + i

∫Cv(x, y)dx+ u(x, y)dy (3.20)

El metodo para evaluar este tipo de integrales, en general, depende del contornoC dado.

De la definicion de integral de lınea, tenemos las siguientes propiedades∫C

f(z)dz = −∫

C′f(z)dz (3.21)

donde C ′ es el contorno C tomado en la direccion opuesta de C.∫C1+C2

f(z)dz =∫

C1

f(z)dz +∫

C2

f(z)dz (3.22)

En generla, tenemos∫C1+C2+...+Cn

f(z)dz =∫

C1

f(z)dz +∫

C2

f(z)dz + . . .+∫

Cn

f(z)dz (3.23)

Ejemplo 3.3.1. Evaluar la integral∫C

zdz (3.24)

de z = 0 a z = 4+2i, a lo largo de dos contornos diferentes. Si el primer contornoconsiste de la ecuacion parametrica z = t2 + it. El segundo termino consiste dedos ramas, la primera recorre a lo largo del eje imaginario de z = 0 a z = 2i ydespues a lo largo de la lınea paralela al eje x de z = 2i a z = 4 + 2i.

Solucion: Los puntos z = 0 a z = 4 + 2i por el contorno C1 correspondena t = 0 y t = 2, respectıvamente. Entonces, la integral de lınea∫

C1

zdz =∫ 2

0

(t2 − it)d(t2 + it) =∫ 2

0

(2t3 − it2 + t)dt = 10− 83i (3.25)

La integral de lınea para el segundo contorno se divide en dos partes∫C2

zdz =∫

C2a

zdz +∫

C2b

zdz (3.26)

donde C2a representa la integracion de z = 0 a z = 2i y C2b la integracion dez = 2i a z = 4 + 2i. Para la primer integral∫

C2a

zdz =∫

C2a

(x− iy)(dx+ idy) =∫ 2

0

ydy = 2 (3.27)


ya que x = 0 y dx = 0 a lo largo de C2a. Por otro lado, a lo largo de C2b, y = 2y dy = 0 ası que para la segunda rama, se tiene∫

C2b

zdz =∫

C2b

(x− iy)(dx+ idy) =∫ 4

0

xdx+ i

∫ 4

0

(−2)dx = 8− 8i (3.28)

Entonces, el valor total de la integral del contorno C2 es igual a la suma de lasdos partes (3.27) y (3.28), es decir∫

C2

zdz = 2 + 8− 8i = 10− 8i (3.29)

Aquı el punto es que la integracion a lo largo de dos caminos diferentes nosdan diferentes resultados, (3.25) y (3.29) even though integramos de z = 0 az = 4 + 2i los dos caminos. This results foreshadows un resultado general quees extremadamente importante, los resultados dependen upon the path tak-en. Since, complex integrations often involve integrands that have nonanalyticpoints, many line integrations depend upon the contour taken.

Ejemplo 3.3.2. Evaluar la integral∫Γiz2dz si Γ(t) = 4 cos(t) + i sen(t), en

0 ≤ t ≤ π/2.

Solucion: De la funcion Γ(t) podemos identificar

x(t) = 4 cos(t), 4y(t) = 4 sen(t) (3.30)

Para evaluar la integral dada en terminos de integrales reales de lınea, primerodebemos calcular

f(z) = iz2 = −2xy + i(x2 − y2) = u(x, y) + iv(x, y) (3.31)

de dondeu(x, y) = −2xy, v(x, y) = x2 − y2 (3.32)

En la curva tenemos: x(t) = 4 cos(t) y y(t) = sen(t). Entonces, sustituyendoΓ(t) en u y v se obtiene∫ π

2

0

[−2(4 cos(t)) sen(t)](−4 sen(t))dt− [(4 cos(t))2 − sen2(t)] cos(t)dt+

+ i

∫ π2

0

[(4 cos(t))2 − sen2(t)](−4 sen(t))dt+ (−2)(4 cos(t))(sen(t))(cos(t))dt

=∫ π

2

0

[(−8 cos(t) sen(t))]dt− [(16 cos2(t)− sen2(t)) cos(t)]dt+

+ i

∫ π2

0

[16 cos2(t)− sen2(t)](−4 sen(t))dt− (8 cos2(t) sen(t))dt

= 32∫ π

2

0

[cos(t) sen2(t)]dt− [16 cos3(t)− sen2(t) cos(t)]dt+


+ i

∫ π2

0

[−64 cos2(t) sen(t) + 4 sen3(t)]dt− [8 cos2(t) sen(t)]dt

=323

∣∣∣π2

0− 16

∫ π2

0

cos(t)[1− sen2(t)]dt+13

sen3(t)∣∣∣π

2

0+

+ i[64

3cos3(t)

∣∣∣π2

0+

∫ π2

0

sen(t)[1− cos2(t)]dt+83

cos3(t)∣∣∣π

2

0

]=

323

sen3(t)∣∣∣π

2

0− 16

[sen(t)− 1

3sen3(t)

]∣∣∣π2

0+

13

sen3(t)∣∣∣π

2

0+

+ i{64

3cos3(t)

∣∣∣π2

0+ 4

[cos(t) +

13

sen(t)]∣∣∣π

2

0+

83

cos3(t)∣∣∣π

2

0

}=

323

[sen3(π

2)− 0]− 16[sen(

π

2− 0)]− 1

3(sen3(

π

2)− 0)] +

13[sen3(

π

2)− 0]

+ i{64

3[cos3(

π

2) + (1)3] + 4[− cos(

π

2) +

13

cos3(π

2)]− (−1

13) +

83[cos3(

π

2)− 1]

=323

(1− 0)− 16(1) +163

+13

+ i[64

3(0− 1) + 4(0 +

13(0))− 4(−2

3)− 8

3

]323− 16 +

+163

+13

+ i[− 64

3+

83− 8

3

]=

483− 48

3+

13− i

[643

]=

13− 64

3(3.33)

Ejemplo 3.3.3. Evaluar la integral∫C

zndz, n = 0,±1,±2, .. donde |z| = r (3.34)

Solucion: Representemos al cırculo |z| = r en forma parametrica, esto es:

z(t) = r(cos t+ i sen t), 0 ≤ t ≤ 2π,z′(t) = r(− sen t+ i cos t). (3.35)

Entonces

f [z(t)] = [z(t)]n = rn(cos t+ i sen t) = rn[cos (nt) + i sen (nt)

](3.36)

Usando la expresion∫C

f(z)dz =∫ 2π

0

f [z(t)]z′(t)dt

= rn+1

∫ 2π

0

[cos(nt) + i sen(nt)

][− sen t+ i cos t

]dt

= rn+1

∫ 2π

0

[− sen(n+ 1)t+ i cos(n+ 1)t

]dt (3.37)

=rn+1

n+ 1

[cos(n+ 1)t+ i sen(n+ 1)t

∣∣∣2π

0= 0, si n 6= −1


Para el caso en que n = −1 obtenemos∫ 2π

0

1zdz =

∫ 2π

0

idt = 2πi (3.38)

Ejemplo 3.3.4. Determinar la siguiente integral para la lınea que une a (0, π)con (1, 0). ∫

C

ezdz (3.39)

Solucion: Graficando la recta se obtiene:La ecuacion de la recta la podemos hallar usando la formula:

y − y1y2 − y1

=x− x1

x2 − x1(3.40)

Los puntos que unen a la recta son (0, π) y (1, 0). Sustituyendo estos valores enla formula, encontramos la ecuacion

y − π

0− π=

x− 01− 0

,y − π

−π= x, y − π = −xπ

y = π − πx, y = π(1− x) (3.41)

Resolviendo la Integral ∫C

ezdz =∫

C

ex+iy(dx+ idy) (3.42)

De la ecuacion de la recta {y = π(1− x)dy = −πdx (3.43)

Sustituyendo en la integral∫C

ex+i(π−πx)dx+ i(−πdx) =∫

C

ex+iπ−iπxdx− iπdx

=∫

C

ex+iπ−iπxdx(1− iπ)dx = (1− iπ)∫

C

ex+iπ−iπxdx

= (1− iπ)∫

C

ex(1−iπ)eiπdx = eiπ(1− iπ)∫

C

ex(1−iπ)dx (3.44)

=eiπ(1− iπ)(1− iπ)

ex((1−iπ)∣∣∣10

= e− eiπ = e−[cosπ + isenπ

]= e+ 1

Ejemplo 3.3.5. Determinar la siguiente integral para el segmento de rectadesde z = 0 a z = 1 + i ∫

C

[y − x− i(3x2)]dx+ idy (3.45)


Solucion: Graficando se obtiene: La ecuacion de la recta la podemos hallarusando la formula:

y − y1y2 − y1

=x− x1

x2 − x1(3.46)

Los puntos que unen a la recta son (0, 0) y (1, i) Sustituyendo estos valores enla formula, encontramos la ecuacion

y − 01− 0

=x− 01− 0

y

1=x

1, y = x (3.47)

Si z = x+ iy, sustituyendo, y = x, se tiene z = y+ iy, derivando: dz = (1+ i)dy.Sustituyendo en la integral∫ 1

0

(y − x− i3x2)(1 + i)dy =∫ 1

0

(y − y − i3y2)(1 + i)dy (3.48)

= −∫ 1

0

i3y2(1 + i)dy = −3i(1 + i)∫ 1

0

y2dy = −3i(1 + i)y3

3

∣∣∣10

= −i(1 + i) = 1− i

Ejemplo 3.3.6. Evaluar la integral∫ 2+4i

1+iz2dz para las siguientes condiciones:

a).- A lo largo de la parabola x = t, y = t2 donde 1 ≤ t ≤ 2; b).- A lo largo dela recta que une 1 + i y 2 + 4i; c).- A lo largo de las rectas 1 + i a 2 + i y hasta2 + 4i

Solucion: a).- Desarrollando la funcion∫ 2+4i

1+iz2dz se obtiene∫ 2+4i

1+i

z2dz =∫ (2,4)

(1,1)

(x+ iy)2(dx+ idy) =∫ (2,4)

(1,1)

(x2 − y2 + 2ixy)(dx+ idy)

=∫ (2,4)

(1,1)

(x2 − y2)dx− 2xydy + i

∫ (2,4)

(1,1)

2xydx+ (x2 − y2)dy

(3.49)

Ahora, los puntos (1, 1) y (2, 4) corresponden a t = 1 y t = 2, respectivamente.Evaluando en estos puntos resulta∫ 2+4i

1+i

z2dz =∫ 2

1

[(t2 − t4)dt− 2(t)(t2)dt

]+

+ i

∫ 2

1

[2(t)(t2)dt+ (t2 − t4)(2t)dt

]=

∫ 2

1

[t2 − t4 − 2t3

]dt+ i

∫ 2

1

[4t3 − 2t5

]dt (3.50)

=[t3

3− t5

5− t4

2

]∣∣∣∣∣2

1

+ i

[t4 − t6

3

]∣∣∣∣∣2

1

= −34130

− 6i


b).- La lınea recta tiene la ecuacion

y − y1y2 − y1

=x− x1

x2 − x1(3.51)

Sustituyendo los puntos (1, 1) y (2, 4) en la formula, encontramos la ecuacion

y = 3x− 2 (3.52)

Sustituyendo (3.52) en (3.49) y tomando en cuenta dy = 3dx, se tiene∫ 2+4i

1+i

z2dz =∫ 2

1

[(x2 − (3x− 2)2

]dx− 2x(3x− 2)(3)dx+

+ i

∫ 2

1

[2x(3x− 2)dx+

[x2 − (3x− 2)2

]dx (3.53)

=[x3

3− 9

x3

3+ 12

x2

2− 4x+ 18

x3

3− 12

x2

2

]∣∣∣∣∣2

1

+

+ i

[6x3

3− 4

x2

2+ 3

x4

4− 27

x3

3− 36

x2

2− 12x

]∣∣∣∣∣2

x=1

= −863− 6i

c).- De 1 + i a 2 + i, o de (1, 1) a (2, 1), y = 1, dy = 0 se obtiene∫ 2

x=1

(x2 − 1)dx+ i

∫ 2

x=1

2xdx =x3

3− x

∣∣∣21

+ 2i(x2

2

)∣∣∣2x=1

=43

+ 3i (3.54)

Ahora de 2 + i a 2 + 4i, o de (2, 1) a (2, 4), x = 2, dx = 0 se obtiene∫ 2

y=1

−4ydy + i

∫ 2

y=1

(4− y2)dy = −4y2

2

∣∣∣21

+ i[4y − y3

3

]∣∣∣21

= −30− 9i (3.55)

Sumando ambos resultados se obtiene∫ 2+4i

1+i

z2dz =(4

3+ 3i

)+ (−30− 9i) = −86

3− 6i (3.56)

3.4. Teorema de Cauchy-Goursat.

Hemos aprendido a calcular las integrales complejas de lınea reduciendolas aintegrales reales. En general, esta forma de calcular las integrales es algo difıcil.Si embargo, existen propiedades mas profundas del analisis complejo que nospermiten de una forma mas facil calcular las integrales de funciones complejas.


Teorema 3.4.1. Cauchy-Goursat Sea f(z) una funcion analıtica en un dominioD y sea Γ una curva simple cerrada dentro de D tal que f(z) sea analıtica sobrey dentro de Γ. Entonces

∮Γf(z)dz = 0 (3.57)

el cırculo en la integral indica que esta se toma en una trayectoria Γ cerra-da. En otras palabras, el teorema de Cauchy-Goursat establece que la integral∮Γf(z)dz = 0 si f(z) es diferenciable en la curva y en todo punto encerrado por

ella.

El teorema de Cauchy-Goursat tiene consecuencias muy importantes y utiles.Por ejemplo, supongamos que tenemos un cierto dominio donde f(z) es analıtica.Dentro de este dominio queremos evaluar una integral de lınea del punto A alpunto B a lo largo de dos diferentes trayectorias γ1 y γ2. Entonces, la integralpor la trayectoria cerrada formada por la integracion a lo largo de γ1 y despuesa lo largo de γ2 dispuesta en direccion opuesta, es

∮f(z)dz =

∫γ1f(z)dz −

∫γ2f(z)dz = 0 (3.58)

Esto implica ∫γ1

f(z)dz =∫

γ2

f(z)dz (3.59)

Debido a que γ1 y γ2 son trayectorias completamente arbitrarias, tenemos elsiguiente resultado general:

Si en un dominio, la funcion f(z) es analıtica, entonces la integral entre cua-lesquiera dos puntos A y B dentro del dominio es independiente de la trayectoria.Esto significa que la integracion no depende de por cual treayectoria se realice,sino depende solo de los puntos inicial y final.

Teorema 3.4.2. Primer teorema de Deformacion de Contornos: El valorde una integral de lınea de una funcion analıtica alrededor de cierto contornosimple cerrado permanece invariable si deformamos el contorno de tal maneraque no pasemos por encima de un punto no analıtico (singular).

El teorema de deformacion nos permite deformar una trayectoria cerrada deintegracion Γ, en otra, γ, sin cambiar el valor de la integral de lınea de una fun-cion diferenciable f(z). Una condicion crucial para este proceso es que ningunpaso de la deformacion debe pasar sobre un punto en el cual f(z) no sea difer-enciable. Esto implica que f(z) necesita ser diferenciable en ambas curvas y enla region entre ellas. Ahora extendemos este resultado al caso en que Γ encierra


un numero finito de trayectorias cerradas ajenas, es decir que no se intersectan.

Teorema 3.4.3. Segundo teorema de Deformacion de Contornos: SeaΓ una trayectoria cerrada. Sean γ1, γ2, . . . , γn trayectorias cerradas dentro de Γ.Supongamos que ningun par de trayectorias se intersectan, y que ningun puntointerior de alguna γj es interior a alguna otra γk. Sea f(z) diferenciable en unconjunto abierto que contiene a Γ, cada γj, y todos los puntos que son interioresa Γ y exteriores a cada γj. Entonces:

∮Γf(z)dz = Σn

j=1

∮γjf(z)dz (3.60)

La integral de f(z) alrededor de Γ es la suma de las integrales de f(z) alrededorde cada una de las curvas γ1, γ2, . . . , γn.

Ejemplo 3.4.1. Integrar la funcion f(z) = z−1 alrededor del contorno cerra-do Γ, si este consiste de un cuadrado, centrado en el orıgen, con vertices en(1, 1), (1,−1), (−1, 1) y (−1,−1).

Solucion: La integral directa de∮z−1dz por el contorno dado es muy te-

diosa. Sin embargo, debido a que el integrando es una funcion analıtica en todoslos puntos, excepto en el orıgen, podemos deformar el contorno original en uncırculo de radio ρ, centrado en el orıgen. Entonces, tenemos z = ρeit y dx = iρeit,luego la integral es∮

Γ

dz

z=

∮|z|=ρ

dz

z=

∫ 2π

0

iρeit

ρeitdt = i

∫ 2π

0

dt = 2πi (3.61)

Ejemplo 3.4.2. Evaluar la integral∮Γez2

dz, donde Γ es una cierta trayectoriacerrada en el plano.

Solucion: Debido a que la funcion f(z) = ez2es analıtica en todo el plano

(no tiene puntos singulares) y por el teorema de Cauchy-Goursat la integraldebera ser cero ∮

Γ

ez2dz = 0 (3.62)

Ejemplo 3.4.3. Calcular el valor de la integral∮Γ

2z + 1z2 + 3iz

dz (3.63)

donde Γ es el cırculo |z + 3i| = 2.


Solucion: De la expresion (3.63) podemos ver que la funcion f(z) es analıtica,excepto en los puntos donde el denominador se anula z2 +3iz = 0. Estos puntosson; 0 y −3i. Desarrollando en fracciones parciales

f(z) =2z + 1z(z + 3i)

=A

z+

B

z + 3i

zA+ 3iA+Bz = 2z + 1 → A =13i, B = 2− 1

3i(3.64)

Obtenemosf(z) =

2z + 1z(z + 3i)

=1

3iz+

(2 +

13i) 1z + 3i

. (3.65)

Sustituyendo este resultado en la integral (3.63)∮|z+3i|=2

2z + 1z2 + 3iz

dz =13i

∮|z+3i|=2

dz

z+

(2 +

i

3

) ∮|z+3i|=2

dz

z + 3i(3.66)

Luego, debido a que 1z es diferenciable en Γ y dentro del dominio simplemente

conexo encerrado por ella, ya que z = 0 no pertenece al dominio dado y por elteorema de Cauchy-Goursat

13i

∮|z+3i|=2

dz

z= 0. (3.67)

Sin embargo, 1z+3i es diferenciable en el dominio dado, excepto en el punto

z = −3i el cual pertenece al dominio (ver figura), de tal manera que no podemosaplicar el teorema de Cauchy-Goursat a la integral de esta funcion. Sin embargo,podemos calcular la integral parametrizando, esto es, escribiendo z(t) = −3i+2eit, entonces z+3i = 2eit y dz = 2ieit donde 0 ≤ t ≤ 2π. La integral se reducea calcular(6 + i

3

) ∮|z+3i|=2

1z + 3i

dz =(6 + i

3

) ∫ 2π

0

12eit

2ieitdt (3.68)

=(6 + i

3

) ∫ 2π

0

idt =6 + i

3(2πi)

Finalmente, tenemos el valor de la integral∮|z+3i|=2

2z + 1z2 + 3iz

dz =(− 2

3+ 4i

)π (3.69)


z

(z + 2)(z − 4i)dz (3.70)

donde Γ es una trayectoria que encierra a los puntos −2 y 4i.


Solucion: Esta integral se puede evaluar con ayuda del segundo teoremade deformacion. Para esto coloquemos un cırculo γ1 alrededor del punto −2 yun cırculo alrededor de 4i con radios suficientemente pequenos para que ninguncırculo intersecte al otro ni a Γ y de tal manera que cada uno este encerradopor Γ. Entonces∮

Γ

z

(z + 2)(z − 4i)dz =

∮γ1

z

(z + 2)(z − 4i)dz +

∮γ2

z

(z + 2)(z − 4i)dz (3.71)

Luego, desarrollando en fracciones parciales, tenemos

z

(z + 2)(z − 4i)=

(15− 2

5i) 1z + 2

+(4

5+

25i) 1z − 4i

(3.72)

Poniendo en la integral, resulta∮Γ

z

(z + 2)(z − 4i)dz =

(15− 2

5i) ∮

γ1

dz

z + 2+

(45

+25i) ∮

γ1

dz

z − 4i

+(1

5− 2

5i) ∮

γ2

dz

z + 2+

(45

+25i) ∮

γ2

dz

z − 4i(3.73)

La segunda y tercer integral de la derecha son cero por el teorema de Cauchy(γ1

no encierra a 4i y γ2 no encierra a −2). La primer y cuarta integral son igualesa 2iπ. ∮

Γ

z

(z + 2)(z − 4i)dz = 2iπ

[(15− 2

5i)

+(4

5+

25i)]

= 2iπ (3.74)


dz

z − a(3.75)

donde Γ es cualquier trayectoria cerrada, la cual contiene al numero complejoa.

Solucion: No podemos parametrizar la trayectoria Γ, porque no la conoce-mos, solo sabemos que es cualquier trayectoria que encierra a. Para hacer usodel primer teorema de deformacion, suponemos un cırculo γ de radio ρ alrededorde a, con ρ suficientemente pequeno para que γ quede encerrada por Γ. Luego,f(z) = 1

z−a es diferenciable en todos los puntos excepto en a, es decir, en ambascurvas y la region entre ellas. Por el teorema de la deformacion, tenmos∮

Γ

dz

z − a=

∮γ

dz

z − a(3.76)

Ahora sı podemos parametrizar al cırculo representado por γ, esto es γ = a+ρeit

para 0 ≤ t ≤ 2π. Entonces∮γ

dz

z − a=

∫ 2π

0

1ρeit

iρeitdt =∫ 2π

0

idt = 2πi (3.77)


Finalmente, tenemos el valor de la integral (3.75)∮γ

dz

z − a= 2πi (3.78)

Por el teorema de deformacion (3.76), tenemos que el valor de la integral originales ∮

Γ

dz

z − a=

∮γ

dz

z − a= 2πi (3.79)

Ejemplo 3.4.6. Evaluar la integral∮|z|=1

3z + 5z2 + 2z

dz (3.80)

Solucion: La funcion es analıtica en todo punto, excepto en los puntos z = 0y z = −2. Desarrollando en fracciones parciales la funcion

f(z) =3z + 5z(z + 2)

=A

z+

B

z + 2

Az + 2A+Bz = 3z + 5 → A =52, B =

12

(3.81)

Sustituyendo los valores obtenidos de las constantes A y B resulta

f(z) =3z + 5z2 + 2z

=52z

+1

2(z + 2). (3.82)

Por consiguiente, la integral (3.80) se transforma en∮|z|=1

3z + 5z2 + 2z

dz =52

∮|z|=1

dz

z+

12

∮|z|=1

dz

z + 2(3.83)

En la primer integral de la derecha el integrando no es una funcion analıtica enz = 0, el cual esta dentro del cırculo, por consiguiente el teorema de Cauchy-Goursat no se puede aplicar. No obstante, usando el resultado anterior tenemos

52

∮dz

z=

52

(2πi

)= 5πi (3.84)

La segunda integral es cero, por el teorema de Cauchy-Goursat, ya que la funciones analıtica en todo punto excepto en z = −2 pero este esta fuera del cırculo.Finalmente, tenemos ∮

|z|=1

3z + 5z2 + 2z

dz = 5πi (3.85)


3.5. Forma Integral de Cauchy.

Teorema 3.5.1. (Primera Formula Integral de Cauchy). Sea f(z) una funcioncompleja y diferenciable en un dominio D. Sea Γ una trayectoria cerrada enD la cual encierra unicamente puntos del dominio D. Entonces, para cualquierpunto z0 encerrado por Γ se cumple la relacion

f(z0) = 12πi

∮Γ

f(z)z−z0

dz (3.86)

A esta formula se le conoce como primera formula integral de Cauchy.

Ejemplo 3.5.1. Hallar el valor de la integral de lınea dada por∮z2

z + idz. (3.87)

Solucion: Comparando la integral (3.87) con (3.86), tenemos que f(z) = z2

y z0 = −i. La funcion dada f(z) = z2 es una funcion analıtica en todo elplano complejo, y el punto −i esta dentro de ese dominio, por lo tanto, segunla expresion (3.86), tenemos∮

z2

z + idz = 2πif(z)

∣∣∣z→−i

= 2iπ(−i)2 = −2πi. (3.88)

En este ejemplo podemos observar que el valor de la integral no depende delcontorno que se analice, ya que la funcion es analıtica en todo el plano complejo.Sin embargo, si deseamos graficar un contorno debemos asegurarnos que esteencierre al punto z0.

Ejemplo 3.5.2. Evaluar la integral∮Γ

ez2

z − idz (3.89)

para cualquier trayectoria cerrada que no pase por i.

Solucion: Tenemos que la funcion f(z) = ez2es diferenciable ∀z ∈ D. De

las condiciones del problema, tenemos dos casos:

Primer caso: Supongamos que la trayectoria cerrada Γ no encierra al puntoi. En este caso ∮

Γ

ez2

z − idz = 0 (3.90)

debido al teorema de Cauchy, ya que ez2

z−i es diferenciable en Γ y dentro de ella.


Segundo caso: La trayectoria cerrada Γ encierra al punto i, entonces por laformula integral de Cauchy, tenemos∮

Γ

ez2

z − idz = 2iπei2

∣∣∣z=i

= 2iπe−1 (3.91)

Ejemplo 3.5.3. Evaluar la integral∮e2z sen(z2)z − 2

dz (3.92)

Solucion: La funcion f(z) = e2z sen(z2) es diferenciable ∀z ∈ D. Aquı tam-bien tenemos dos casos de interes:

Primer caso: La trayectoria Γ no encierra al punto 2. Entonces, por el teo-rema de Cauchy ∮

e2z sen(z2)z − 2

dz = 0 (3.93)

la integral es cero.

Segundo caso: Si Γ encierra al punto 2, entonces, por la primera formulaintegral de Cuachy, tenemos

f(z0) =1

2πi

∮f(z)z − z0

dz = 2iπf(2) = 2iπe4 sen(4) (3.94)


cosh(iz)dzz2 + 4z + 3

(3.95)

Solucion: En este ejercicio nos estan dando el dominio, el cual es un cırculode radio 2 centrado en el orıgen |z| = 2. Dentro del cırculo |z| = 2 el denominadorse anula en el punto z = −1. Para aplicar la primera formula integral de Cauchy,reescribimos (3.95) de la siguiente manera∮

|z|=2


=∮|z|=2

cosh(iz)dz(z + 1)(z + 3)

=∮|z|=2

cosh(iz)z+3

z − (−1)dz (3.96)

Aqui, el punto z0 = −1, y la funcion f(z) = cosh(iz)z+3 es analıtica en el cırculo

|z| ≤ 2. Por consiguiente∮|z|=2


= 2πif(z0) = 2πi(cosh(iz)

z + 3

)∣∣∣z0=−1

= πi cosh(−i) = πi cos(1) (3.97)

donde hemos aplicado la relacion cosh(iz) = cos z y la propiedad de paridad.



senz2z − π

dz (3.98)

Solucion: |z| = 2 indica que la integracion debe hacerse a lo largo de uncırculo de radio 2, con centro en el origen. Escribiendo la integral (3.98) de lasiguiente manera ∮

sen zdz2(z − π

2 )(3.99)

La funcion f(z) es analıtica en todos los puntos, excepto en el punto z0 = π/2,el cual pertenece al dominio dado. Por consiguente, podemos aplicar la primeraforma integral de Cauchy. Escribiendo la funcion f(z) como

f(z) =12

sen z (3.100)

por la forma integral, tenemos∮senzdz

2(z − π2 )

= 2πi(1

2sen z

)∣∣∣z0=

π2

= 2πi(1

2

)= πi (3.101)

Ejemplo 3.5.6. Evaluar la integral∮ez2

z2 − 6zdz (3.102)

en los siguientes dominios: A) |z − 2| = 1; B) |z − 2| = 3; C) |z − 2| = 5

Solucion:

A) En el dominio limitado por el cırculo |z − 2| = 1 la funcion dentro dela integral es una funcion analıtica. Esto es debido a que los puntos singulares(polos) son z = 0 y z = 6 y estos puntos estan fuera del cırculo |z − 2| = 1,ya que −1 + 2 ≤ z − 2 ≤ 1 se convierte en 1 ≤ z ≤ 3, donde podemos verclaramente que los puntos z0 = 0 y z0 = 6 no estan en el dominio, por lo tantola funcion es analıtica dentro del cırculo dado por |z− 2| = 1. Por consiguiente,el teorema de Cauchy afirma que la integral debe ser cero∮

ez2

z2 − 6zdz = 0 (3.103)

B) En el dominio limitado por el cırculo |z − 2| = 3, existe solo un puntosingular z0 = 0 en el cırculo. Entonces, reescribiendo la integral

∮ez2

z2 − 6zdz =

∮|z−2|=3

ez2

z−6

zdz (3.104)


La funcion f(z) definida por f(z) = ez2

z−6 es analıtica en el dominio dado. Apli-cando la primer formula integral de Cauchy, resulta∮

ez2

z2 − 6zdz = 2πi

( ez2

z − 6

)∣∣∣z=0

= 2πi(− 1

6

)= −πi

3(3.105)

C) En el dominio limitado por |z − 2| = 5 exsiten dos puntos singulares(polos) z0 = 0 y z0 = 6, estos dos puntos estan dentro del cırculo, ya que eldominio es −3 ≤ z ≤ 7. Por consiguiente, no podemos aplicar la primer formaintegral de Cauchy directamente, sino debemos proceder de la siguiente manera.Desarrollar en fracciones parciales el denominador

1z2 − 6z

=1

z(z − 6)=A

z+

B

z − 6, Az +Bz − 2A = 1 (3.106)

de la ultima expresion en (3.106) obtenemos los valores A = −1/6 y B = 1/6.Sustituyendo estos valores en (3.106), la integral (3.102) se escribe como∮

|z−2|=5

ez2

z(z − 6)dz = −1

6

∮|z−2|=5

ez2

zdz +

16

∮|z−2|=5

ez2

z − 6dz (3.107)

Aplicando la primer forma integral de Cauchy a cada una de las integrales en(3.107), por separado tenemos∮

|z−2|=5

ez2

zdz = 2πiez2

∣∣∣z=6

= 2πie36 (3.108)

∮|z−2|=5

ez2

z − 6dz = 2πi

( ez2

z − 6

)∣∣∣z=0

= −πi3

(3.109)

Sustituyendo estos valores en (3.107), tenemos el resultado final∮|z−2|=5

ez2

z(z − 6)dz = −1

6

(2πie36

)+

16

(− πi

3

)= −πi

3

(e36 +

16

)(3.110)

Ejemplo 3.5.7. Evaluar la integral∮|z−i|=2

dz

z2 + 4(3.111)

Solucion: La integral (3.111) la podemos escribir de la siguiente manera∮dz

(z − 2i)(z + 2i)(3.112)

z0 = 2i f(z) =1

z + 2i


De la formula integral de Cauchy

f(z) =1

2πi

∮C

f(z)dzz − z0

f(2i) =1

2πi

∮C

1(dz)z+2iz−2i

1

=1

2πi

∮C

dz

(z − 2i)2

f(z0) =1

2i+ 2i=

14i

14i

=1

2πi

∮C

dz

(z − 2i)2

2πi4i

∮C

dz

z2 + 4=π

2

Ejemplo 3.5.8. Evaluar la siguiente integral∮|z|=4

( 1z + 1

+2

z − 3

)dz (3.113)

Solucion: Escribiendo la integral de la siguiente manera∮|z|=4

3z − 1(z + 1)(z − 3)

dz (3.114)

podemos identificar dos puntos songulares; z = −1 y z = 3, los cuales pertenecenal dominio |z| = 4 y definiendo la funcion f(z) = 3z−1

z−3 . Aplicando la formaintegral de Cauchy para el primer punto singular, z = −1∮

|z|=4

f(z)dzz + 1

= 2πif(z)∣∣∣z=−1

= 2πi(3z − 1z − 3

)∣∣∣z=−1

= 2πi (3.115)

Para el segundo caso, es decir, cuando z = 3 es el punto singular, definimos lafuncion f(z) = 3z−1

z+1 . Aplicando la forma integral de Cauchy, resulta∮|z|=4

f(z)dzz − 3

= 2πif(z)∣∣∣z=3

= 2πi(3z − 1z + 1

)∣∣∣z=3

= 4πi (3.116)

La integracion total se obtiene sumando ambos resultados. Finalmente, se tiene∮|z|=4

3z − 1(z + 1)(z − 3)

dz = 4πi+ 2πi = 6πi (3.117)

Ejemplo 3.5.9. Hallar el valor de la integral∮|z|=5

cos (πz)dz(z − 1)(z − 2)

(3.118)


Solucion: Desarrollando el denominador en fracciones parciales

1(z − 1)(z − 2)

=A

z − 1+

B

z − 2(3.119)

de donde Az + 2A + Bz − B = 1, de aqui resultan dos ecuaciones A + B = 0y −2A − B = 1. Resolviendo estas ecuaciones, tenemos B = 1 y A = −1.Sustituyendo estos valores en (3.119)

1(z − 1)(z − 2)

= − 1z − 1

+1

z − 2(3.120)

Por consiguiente, la integral (3.118) se escribe como una suma de dos integrales∮|z|=5

cos (πz)dz(z − 1)(z − 2)

= −∮|z|=5

cos (πz)dzz − 1

+∮|z|=5

cos (πz)dzz − 2

(3.121)

Debido a que la funcion f(z) = cosπz es analıtica en z = 2 y z = 1 y estospuntos estan dentro del dominio, podemos aplicar la formula integral de Cauchy.El valor de cada una de las integrales de la derecha de (3.121) es∮

|z|=5

cos(πz)dzz − 2

= 2πi cos(πz)∣∣∣z=2

= 2πi cos (2π) = 2πi (3.122)

y la segunda integral∮|z|=5

cos (πz)dzz − 1

= 2πi cos(πz)∣∣∣z=1

= 2πi cosπ = −2πi (3.123)

Sustituyendo los valores de (3.122) y (3.123) en (3.121), tenemos el valor de laintegral ∮

|z|=5

cos (πz)dz(z − 1)(z − 2)

= −(−2πi) + 2πi = 4πi (3.124)


sen(πz2) + cos(πz2)(z − 1)(z − 2)

dz (3.125)

Solucion: Como primer paso encontramos los polos: z = 1 y z = 2. Haciendola expansion en fracciones parciales

1(z − 1)(z − 2)

=A

z − 1+

B

z − 2(3.126)

De aqui obtenemos las ecuaciones A + B = 0 y −2A − B = 1, resolviendo,obtenemos los valores de A = −1 y B = 1. Sustitutendo en (3.126)

1(z − 1)(z − 2)

= − 1z − 1

+1

z − 2(3.127)


La integral (3.125) se transforma en dos integrales∮|z|=3

sen(πz2) + cos(πz2)(z − 1)(z − 2)

dz = −∮|z|=3

[ sen(πz2) + cos(πz2)(z − 1)

]dz

+∮|z|=3

[ sen(πz2) + cos(πz2)(z + 2)

]dz (3.128)

Aplicando la forma integral de Cauchy a la primer integral, se tiene∮|z|=3

[ sen(πz2) + cos(πz2)(z − 1)

]dz = 2πi

(sen(πz2) + cos(πz2)

)∣∣∣z=1

= 2πi(senπ + cosπ) = −2πi (3.129)

Para la segunda integral∮|z|=3

[ sen(πz2) + cos(πz2)(z + 2)

]dz = 2πi

(sen(πz2) + cos(πz2)

)∣∣∣z=−2

= 2πi(sen(4π) + cos(4π) = 2πi (3.130)

Sustituyendo los valores obtenidos en (3.128 obtenemos el valor de la integral∮|z|=3

sen(πz2) + cos(πz2)(z − 1)(z − 2)

dz = 2πi+ 2πi = 4πi (3.131)


senz(z − 2)(z − 3)(z − 4)

dz (3.132)

Solucion: Los puntos singulares son z = 2 z = 3 y z = 4. Haciendo laexpansion en fracciones parciales

1(z − 2)(z − 3)(z − 4)

=A

z − 2+

B

z − 3+

C

z − 4(3.133)

De donde obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

A+B + C = 0−7A− 6B − 5C = 012A+ 8B + 6C = 1 (3.134)

Al resolver este sistema se encuentra A = 12 , B = −1 y C = 1

2 . Sustituyendo losresultados en (3.133)

1(z − 2)(z − 3)(z − 4)

=1

2(z − 2)− 1z − 3

+1

2(z − 4)(3.135)


Entonces, la integral (3.132) se escribe como∮|z|=5

senz(z − 2)(z − 3)(z − 4)

dz (3.136)

=∮|z|=5

sen z2(z − 2)

dz −∮|z|=5

sen zz − 3

dz +∮|z|=5

sen z2(z − 4)

dz

Debido a que los puntos singulares z = 2, z = 3 y z = 4 estan encerrados en eldominio |z| = 5 y las funciones f(z) = 1

2 senz, f(z) = senz son fanalıticas en loscorrespondientes puntos. Por consiguiente, podemos aplicar la forma integral deCauchy a cada una de las integrales en (3.136)∮

|z|=5

senz2(z − 2)

dz = 2πisenz

2

∣∣∣z=2

= iπsen(2) (3.137)

∮|z|=5

senzz − 3

dz = 2πisenz∣∣∣z=3

= 2πisen(3) (3.138)

∮|z|=5

senz2(z − 4)

dz = 2πisenz

2

∣∣∣z=4

= iπsen(4) (3.139)

Sumando los valores obtenidos y factorizando se tiene el valor de la integral(3.136)∮

|z|=5

senz(z − 2)(z − 3)(z − 4)

dz = iπ[sen(2)− 2sen(3) + sen(4)

](3.140)

Ejemplo 3.5.12. Evaluar la siguiente integral∮|z−i|=1

eizdz

z2 + 1(3.141)

Solucion: Los puntos singulares (polos) son en z = ±i. La integral (3.141)la podemos escribir como ∮

|z−i|=1

eizdz

(z + i)(z − i)(3.142)

Tenemos dos puntos singulares z = ±i. Sin embargo solo el punto z0 = i estadentro del cırculo |z − i| = 1. Por lo tanto, aplicando la primer forma integralde Cauchy, se tiene el siguiente resultado∮

|z−i|=1

eizdz

(z + i)(z − i)=

∮|z−i|=1

eiz

z+i

z − idz = 2πi

( eiz

z + i

)∣∣∣z0=i

= πe−1 (3.143)


Teorema 3.5.2. (Segunda Formula integral de Cauchy). Sea f(z) una funcionanalıtica en un cierto dominio D. Entonces, f(z) tiene derivadas de todos losordenes en cada punto del dominio D. Mas aun, si Γ es una trayectoria cerradaen D, la cual encierra unicamente a puntos de z0 ∈ D, y z0 es cualquier puntoencerrado por Γ, entonces

f (n)(z0) = n!2iπ

∮Γ

f(z)(z−z0)n+1 dz (3.144)

La formula (3.86) a menudo se escribe como

∮Γ

f(z)(z−z0)n+1 dz = 2πi

n! f(n)(z0) (3.145)

donde n! representa n factorial, esto es n! = 1 · 2 · 3 . . . n, y f (n)(z0) representala n derivada respecto a z, evaluada en el punto z0.

Ejemplo 3.5.13. Calcular la integral∮Γ

ez3

(z − i)3dz (3.146)

suponiendo que la trayectoria es cerrada y que no pasa por el punto i.

Solucion: Si Γ no encierra al punto i, entonces la integral es cero por elteorema de Cauchy. Ahora supongamos que Γ encierra al punto i. Debido a queel factor z − i aparece a la tercera potencia en el denominador, usamos n = 2en el teorema, con f(z) = ez3

, y obtenemos∮Γ

ez3

(z − i)3dz =

2iπ2!f (2)(i) = πif ′′(i) (3.147)

Luego, derivando la funcion f(z) = ez3dos veces respecto a z, tenemos

f ′(z) = 3z2ez3, f ′′(z) = 6zez3

+ 9z4ez3(3.148)

Entonces, tenemos el resultado de la integral∮Γ

ez3

(z − i)3dz = iπ

(6ie−i + 9e−i

)= (−6 + 9i)πe−i (3.149)

Ejemplo 3.5.14. Calcular la integral∮|z|=3

e2z

(z + 1)4dz (3.150)


Solucion: La funcion dada es diferenciable excepto en el punto z0 = −1.Ademas el punto z0 = −1 esta dentro del cırculo |z| = 3. Por consiguientepodemos aplicar directamente la segunda formula integral de Cauchy, para n = 3∮

|z|=3

e2z

(z + 1)4dz =

2πi3!

· f ′′′(z0) (3.151)

donde f(z) = e2z y sus derivadas f ′ = 2e2z, f ′′ = 4e2z

f ′′′ = 8e2z|z0=−1 = 8e−2 (3.152)

Sustituyendo (3.152) en (3.151), el resultado es∮|z|=3

e2z

(z + 1)4dz =

2πi3!

8e−2 =83πie−2 (3.153)


cosh z(z + 1)3(z − 1)

dz (3.154)

Solucion: El denominador se anula en los puntos z = −1 y z = 1, es decir,estos son puntos singulares. Estos puntos estan dentro del cırculo |z| = 2, porconsiguiente no podemos aplicar directamente la segunda formula integral deCauchy. Sin embargo, podemos desarrollar el denominador en fracciones par-ciales

1(z − 1)(z + 1)3

=A

z − 1+

B

z + 1+

C

(z + 1)2+

D

(z + 1)3(3.155)

Ejemplo 3.5.16. Evaluar la siguiente integral∮|z|=2

ez

(z − 3)(z − 1)2dz (3.156)

Solucion: La funcion dentro del integrando tiene dos polos z0 = 3 y z0 = 1.Sin embargo, solo el polo z0 = 1 esta dentro del dominio del cırculo |z| = 2.Escribiendo (3.156) de la siguiente manera∮

|z|=2

ezdz(z−3)

(z − 1)2(3.157)

y comparando esta integral con la segunda formula integral de Cauchy, podemosidentificar n = 1, z0 = 1 y f(z) = ez/(z − 3). Esta funcion f(z) es analıticaen el dominio dado, ya que el punto z0 = 3 esta fuera de |z| = 2. Aplicandodirectamente la segunda formula integral de Cuachy, resulta∮

|z|=2

ezdz

(z − 3)(z − 1)2= 2πi

d

dz

( ez

z − 3

)∣∣∣z=1

(3.158)

= 2πi[ ez

z − 3− ez

(z − 3)2]|z|=2

= −3πie2



cos2 zz3

dz (3.159)

Solucion: la funcion es analıtica en todos los puntos, excepto en z0 = 0, elcual esta en el cırculo |z| = 1. Podemos ver de (3.159) n = 2, entonces usandola segunda formula integral de Cauchy, se tiene∮

|z|=1

cos2 zz3

dz =2πi2!f ′′(z0) (3.160)

donde la funcion es f(z) = cos2 z, derivando dos veces respecto a a, tenemos

f ′ = −2 cos zsenz, f ′′ = 2(sen2z − cos2 z)∣∣∣z=0

= −2 (3.161)

Sustituyendo (3.161) en (3.160, finalmente el resultado es∮|z|=1

cos2 zz3

dz =2πi2!f ′′(z0) =

2πi2!

(−2) = −2πi (3.162)

Capıtulo 4

Series de Potencias en elDominio Complejo

Una serie de potencias en potencias de z − z0 es una serie de la forma

a0 + a1(z − z0) + a2(z − z0)2 + . . .+ . . . =∞∑

n=0

an(z − z0)n (4.1)

donde z es la variable, a0, a1, . . . an son constantes complejas dadas, llamadascoeficientes de la serie, y z0 es una constante, llamada centro de la serie.

Si z0 = 0, entonces, obtenemos un caso particular de la serie (4.1)

a0 + a1z + a2z2 + . . .+ . . . =

∞∑n=0

anzn (4.2)

esta es una serie de potencias en potencias de z. Una de las cuestiones impor-tantes en las series de potencias es su convergencia.

Teorema 4.0.3. (Convergencia de una serie de potencias) Si la serie de poten-cias (4.1) converge en un punto z1 6= z0, entonces la serie

converge absolutamente en el cırculo

|z − z0| < |z1 − z0| = R (4.3)

converge uniformemente en el cırculo

|z − z0| ≤ r < R (4.4)

Propiedades de de las Series de Potencias

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CAPITULO 4. SERIES DE POTENCIAS EN EL DOMINIO COMPLEJO 76

Supongamos que la serie (4.1) es divergente en cierto punto z1. Entonces,la serie es divergente en cada punto z que satisface

|z − z0| > |z1 − z0| (4.5)

Para cualquier serie de potencias (4.1) existe un numero R tal que en elcırculo

|z − z0| < R (4.6)

la serie (4.1) converge, y fuera del cırculo

|z − z0| > R (4.7)

la serie de potencias diverge.

Si R > 0, la region mayor de convergencia para la serie es el cırculo |z−z0| < R.En la frontera |z− z0| = R la serie (4.1) puede converger o diverger. El dominio

|z − z0| < R, R > 0 (4.8)

es llamado cırculo de convergencia de la serie de potencias (4.1), el numero Ren (4.8) se llama radio de convergencia de la serie. Los radios de convergenciapueden ser calculados por las formulas

R = lımn→∞

|an||an+1|

, an 6= 0, R = lımn→∞

1(|cn|)1/n

(4.9)

siempre y cuando los lımites existan, finitos o infinitos.

Ejemplo 4.0.18. Hallar el radio de convergencia de la serie de potencias

∞∑n=1

zn

nα, α > 0 (4.10)

Solucion: Los coeficientes de la serie son an = 1/nα, entonces

an =1nα, an+1 =

1(n+ 1)α

(4.11)

Por la primer formula de (4.9) se tiene

R = lımn→∞

1nα

1(n+1)α

= lımn→∞

(n+ 1)α

nα= lım

n→∞

(1 +

1n

)α

= 1 (4.12)

Tenemos, entonces que el radio de convergencia es |z| < 1.

Ejemplo 4.0.19. Hallar el radio de convergencia de la serie

∞∑n=1

einzn (4.13)


Solucion: Los coeficientes son

an = ein, an+1 = ei(n+1) (4.14)

Por la formula (4.9), se tiene

R = lımn→∞

|ein||ei(n+1)|

= lımn→∞

|ei| = ei · e−i = 1 (4.15)

El radio de convergencia es |z| < 1.

Ejemplo 4.0.20. Hallar el radio de convergencia de la serie∞∑

n=1

inzn (4.16)

Solucion: Los coeficientes de la serie son

an = in, an+1 = in+1 (4.17)

Entonces, por la formula (4.9), resulta

R = lımn→∞

|in|in+1|

= lımn→∞

| − i| = 1 (4.18)

El radio de convergencia es |z| < 1.

Ejemplo 4.0.21. Hallar el radio de convergencia de la serie∞∑

n=0

(2n)!(n!)2

(z − 3i)n (4.19)

Solucion: La serie converge en el disco abierto |z − 3i| < 14 de radio 1/4 y

centro en 3i.

Si una serie de potencias (4.2) arbitraria tiene un radio de convergenciadiferente de cero, entonces su sumatoria es una funcion de z, por ejemplo f(z).En tal caso se escribe

f(z) =∞∑

n=0

anzn = a0 + a1z + a2z

2 + . . . (4.20)

Decimos, entonces, que f(z) esta representada o desarrollada por la serie depotencias.

Teorema 4.0.4. (Funciones analıticas y sus derivadas) Una serie de potenciascon radio de convergencia R diferente de cero representa una funcion analıticaen todo punto interior de su cırculo de convergencia. Las derivadas de esta fun-cion se obtienen diferenciando termino a termino de la serie original. Todas lasseries asi obtenidas tienen el mismo radio de convergencia que la serie original.Por lo tanto, cada una de ellas representa una funcion analıtica.


4.1. Ceros y Puntos Singulares Aislados deFunciones Complejas

Sea f(z) una funcion analıtica en el punto z0. Se dice que el punto z0 es uncero de orden n de f(z), si

f(z0) = 0, f ′(z0) = 0, f ′′(z0) = 0, . . . , f (n−1)(z0) = 0, f (n)(z0) 6= 0(4.21)

En el caso particular (n = 1), al punto z0 se le llama cero simple de f(z).

El punto z0 es un cero de una funcion analıtica f(z) en z0 si y solo si, en lavecindad del punto z0 se cumple

f(z) = (z − z0)nφ(z) (4.22)

donde φ(z) es una funcion analıtica en z0 y φ(z0) 6= 0.

Se dice que el punto z0 es un punto singular aislado de una funcion f(z) siexiste una vecindad de este punto en la cual la funcion es analıtica en todo lugarexcepto en z = z0.

Un punto singular aislado de una funcion f(z) es removible si en el puntoz = z0 la funcion f(z) tiene un lımite finito.

Decimos que el punto z0 de la funcion f(z) es un polo de f(z) si la funciontiende al infinito conforme z → z0.

El punto z0 es un polo de orden n (n ≥ 1) de f(z) si este es un cero de ordenn de la funcion φ(z) = 1

f(z) . Si n = 1, decimos que el polo es simple. En otraspalabras, z0 es un polo de orden n de f(z) si y solo si, podemos escribir

f(z) =φ(z)

(z − z0)n(4.23)

donde φ(z) es una funcion analıtica en z0, y φ(z0) 6= 0.

El punto z0 se llama singularidad esencial de la funcion f(z) si no existe ellımite de f(z) conforme z → z0.

Ejemplo 4.1.1. Hallar los ceros de la funcion f(z) = z4 + 4z2 y determinar suorden.

Solucion: Debemos hallar los puntos que satisfacen la relacion f(z) = 0,esto es

f(z) = z4 + 4z2 = 0 → z2(z2 + 4) = 0 → z = 0, z = ±2i (4.24)


Calculando la derivada de f(z) y evaluando en el punto z = 0 de (4.24), resulta

f ′(0) =(4z3 + 8z

)z=0

= 0 (4.25)

Debido a que la derivada evaluada en z = 0 es cero, entonces, hacemos lasegunda derivada de f(z) y la evaluamos en z = 0, tenemos

f ′′(0) =(12z2 + 8

)z=0

= 8 6= 0 (4.26)

Concluimos, entonces que z = 0 es un cero de orden 2, ya que la segunda deriva-da es la que no se anula en z = 0.

Tomamos los otros ceros de la funcion. Estos son z = ±2i. Primero evaluamosla derivada en z = 2i, tenemos

f ′(2i) =(4z3 + 8z

)z=2i

= 4(2i)3 + 8(2i) = −16i 6= 0 (4.27)

Para el punto z = −2i, tenemos

f ′(−2i) =(4z3 + 8z

)z=2i

= 4(−2i)3 + 8(−2i) = 16i 6= 0 (4.28)

Conluimos, que los puntos z = ±2i son ceros simples, ya que la primer derivadade la funcion evaluada en estos ceros es diferente de cero.

Ejemplo 4.1.2. Hallar los ceros de la funcion f(z) = z2 sen z y determinar elorden.

Solucion: Debemos hallar los puntos que satisfacen la relacion f(z) = 0.Tenemos

f(z) = z2 sen z = 0 → z = 0, sen z = 0, zn = nπ, n = ±1,±2 . . .(4.29)

Los ceros de la funcion dada, estan en z = 0 y zn = nπ. Calculando la derivadade la funcion y evaluando en el cero z = 0, se tiene

f ′(0) =(2z sen z + z2 cos z

)z=0

= 0 (4.30)

Como el resultado es cero, entonces debemos calcular la segunda derivada yevaluarla en el mismo cero z = 0, tenemos

f ′′(0) =(2 sen z + 2zcosz + 2z cos z − z2 sen z

)z=0

= 0 (4.31)

Obtenemos, nuevamente cero. Entonces, calculamos la tercer derivada evaluadaen z = 0, resulta

f ′′′(0) =(2 cos z + 4 cos z − 4z sen z − 2z sen z − z2 cos z

)z=0

= 6 6= 0 (4.32)


Debido a que la tercer derivada es la unica que no se anula en el cero z = 0,concluimos que el cero z = 0 de la funcion f(z) es de orden tres.

Sustituyendo el cero zn = nπ en (4.30), resulta

f ′(nπ) =(2z sen z + z2 cos z

)z=nπ

= 2nπ sen(nπ) + n2π2 cos(nπ)

= n2π2(−1)n 6= 0, n = ±1,±2 . . . (4.33)

Entonces, podemos decir, que el cero zn = nπ es un cero simple o de orden uno.

Ejemplo 4.1.3. Hallar los ceros de la funcion f(z) = (z2 + 1)3 senh z y deter-minar el orden.

Solucion: Para determinar los ceros de la funcion hacemos f(z) = 0 yobtenemos

(z2 + 1)3 senh z = 0 → z2 + 1 = 0, senh z = 0 (4.34)

Resolviendo las dos ultimas ecuaciones en (4.34), tenemos que los ceros de lafuncion f(z) son:

z = ±i, z = nπi (n = 0,±1,±2, . . .) (4.35)

Tomamos el segundo cero de (4.35), z = −i. De la expresion (4.22), podemosescribir

f(z) = (z + i)3φ(z) (4.36)

donde la funcion φ(z) = (z − i)3 senh z es una funcion analıtica en z = −i y

φ(−i) = 8i senh i = −8 sen 1 6= 0 (4.37)

Esto implica que el punto z = −i es un cero de tercer orden de f(z). De maneraanaloga se puede verificar que el punto z = i es un cero de tercer orden de f(z).

Ahora analizaremos los ceros z = nπi. Para esto derivamos la funcion y laevaluamos en z = nπi, resulta

f ′(nπi) =[6z(z2 + 1)2 senh z + (z2 + 1)3 cosh z

]z=nπi

6= 0 (4.38)

Esto implica que los ceros dados por z = nπi son ceros simples o de primerorden.

Ejemplo 4.1.4. Determinar el tipo de punto singular z = 0 de la funcion

f(z) =1

2 + z2 − 2 cosh z(4.39)


Solucion: El punto singular z = 0 es un polo de (4.39) ya que la funcionf(z) tiende a infinto conforme z → 0, ( 1

0 →∞). Sea

φ(z) =1

f(z)= 2 + z2 − 2 cosh z (4.40)

El punto z = 0 es un cero para la funcion (4.40), ya que φ(0) = 0. Nos quedahallar el orden del cero de la funcion φ(z), para esto calculamos las derivadasde φ evaluadas en z = 0

φ′(0) =(2z − 2 senh z

)z=0

= 0

φ′′(0) =(2− 2 cosh z

)z=0

= 0

φ′′′′(0) =(− 2 senh z

)z=0

= 0

φIV (0) =(− 2 cosh z

)z=0

= −2 6= 0 (4.41)

Debido a que la derivada de cuarto orden es la unica diferente de cero, implicaque el cero de φ(z) (4.40) es de orden cuatro. Por consiguiente, el punto singularde la funcion dada (4.39) es un polo de orden cuatro.

Ejemplo 4.1.5. Determinar el tipo de punto singular z = 1 de la funcion

f(z) =senπz

2ez−1 − 2z(4.42)

Solucion: Sea

φ(z) =1

f(z)=

2ez−1 − 2zsenπz

(4.43)

Ahora, escribiendo el numerador de (4.43) como

ψ1 = 2ez−1 − 2z (4.44)

Desde luego que el punto z = 1 es una cero de (4.44). Para determinar el ordenderivamos y evaluamos en el punto z = 1

ψ′1 =(2ez−1 − 2

)z=1

= 0 (4.45)

Derivamos una vez mas y evaluamos en z = 1

ψ′′1 = 2ez−1∣∣∣z=1

= 2 6= 0 (4.46)

Entonces, decimos que el cero z = 1 de la funcion (4.44) es de segundo orden.

Luego, representadno el denominador de (4.43) como

ψ2 = sennπ (4.47)


El punto z = 1 es tambien un cero para (4.47). Para saber de que orden deriva-mos y evaluamo en z = 1. Tenemos

ψ′1(1) = − cos z∣∣∣z=1

= − cos(1) 6= 0 (4.48)

Lo que implica que z = 1 es un cero simple o de primer orden para la funcion ψ2.

Finalmente, sustituyendo estos resultados en la funcion dada por (4.43),

φ(z) =1

f(z)=

2ez−1 − 2zsenπz

(4.49)

tenemos que el orden del cero z = 1 para φ(z) es (2− 1 = 1), es decir, un cerosimple (lo anterior resulta del hecho que el numerador de (4.49) es de orden 2 yel numerador de orden 1). Por consiguiente el punto z = 1 es un polo de primerorden o polo simple de la funcion f(z) en (4.42).

libro variable rosales

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