libro matemática 8º 2011 - ese ediciones - inicio · 2018-07-23 · por la combinación de un...

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ESE ediciones

Matemática 8.º

(Versión revisada y actualizada con enfoque de competencias)

rené guillermo figueroa escalón

David Morán Mendoza

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Matemática 8º grado

© rené guillermo figueroa escalón

© David Morán

© Edición: Sabina Velásquez de Alger

© Diagramación: Ricardo E. López

© Ediciones Servicios Educativos

Reimpresión, Agosto 2012.

Ediciones Servicios Educativos

San Salvador, El Salvador, Centroamérica.

© Derechos reservados. Hecho el depósito que marca la ley.

ISBN Nº 978-99923-43-64-7

372.704 5F475m Figueroa Escalón, René Guillermo Matemática 8º grado : (versión revisada y actualizada con enfoque sv de competencias) / René Guillermo Figueroa Escalón, José David Morán. - - 1a. ed. - - San Salvador, El Salv. : Ediciones Servicios Educativos, 2010. 208 p. : il. ; 25 cm.

ISBN 978-99923-43-64-7

1. Matemáticas- Estudio y enseñanza. 2. Matemáticas-Libros de texto. I. Morán, José David, coaut. II. Título.

BINA/jmh

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Presentación

La Matemática, una ciencia que debe aprenderse para la vida, no para pasar una evaluación. Esta ciencia está inmer-sa en toda nuestra vida y los jóvenes de hoy amantes de la computadora deben comprender que todos los programas con los que nos divertimos se originan en la Matemática. El octavo grado es muy importante para cimentar los conoci-mientos algebraícos que nos permitirán desarrollarnos en la matemática como ciencia.

En este libro, encontrarás sufi cientes ejercicios que te per-mitirán descubrir que los procesos matemáticos se aplican en el área científi ca, técnica, artística y en la vida cotidiana.

Te proponemos que tú mismo generes situaciones en las que explores, apliques y argumentes los conceptos y pro-cedimientos que deberás aprender en éste libro.

Hemos trabajado muy duro para que tengas en tus manos un libro que te permita desarrollar las competencias bási-cas de Matemática:

Razonamiento lógico matemático

Utilización del lenguaje matemático

Aplicación de la matemática al entorno

Tú deberás poner creatividad y una actitud positiva que te permitirá descubrir el maravilloso mundo de la Matemática.

rené guillermo fi gueroa escalón

David Morán

La Matemática, una ciencia que debe aprenderse para la vida, no para pasar una evaluación. Esta ciencia está inmer-sa en toda nuestra vida y los jóvenes de hoy amantes de la computadora deben comprender que todos los programas con los que nos divertimos se originan en la Matemática. El octavo grado es muy importante para cimentar los conoci-mientos algebraícos que nos permitirán desarrollarnos en la matemática como ciencia.

En este libro, encontrarás sufi cientes ejercicios que te per-mitirán descubrir que los procesos matemáticos se aplican en el área científi ca, técnica, artística y en la vida cotidiana.

Te proponemos que tú mismo generes situaciones en las que explores, apliques y argumentes los conceptos y pro-cedimientos que deberás aprender en éste libro.

Hemos trabajado muy duro para que tengas en tus manos un libro que te permita desarrollar las competencias bási-cas de Matemática:

Razonamiento lógico matemático

Utilización del lenguaje matemático

Aplicación de la matemática al entorno

Tú deberás poner creatividad y una actitud positiva que te permitirá descubrir el maravilloso mundo de la Matemática.

rené guillermo fi gueroa escalón

David Morán

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ÍndicePresentación 3

Unidad 1 Trabajemos con números reales 19

1.1. Números Irracionales 23

1.1.1. Representación gráfica de los números irracionales 28

1.1.2. Aplicaciones famosas de números irracionales 29

1.2. Números Reales 30

1.2.1. Definición 30

1.2.2. Representación geométrica de los númerosreales: la recta real 30

1.2.3. Operaciones con los Números Reales Adicióny Multiplicación, propiedades 34

• i. Propiedades de la operación adición (suma) 34• ii. Propiedades de la multiplicación 35

1.2.4. Operaciones con números reales: la resta y la división. 38

1.2.5. Intervalos 40

• a. Intervalo abierto 40• b. Intervalo cerrado 40• c. Intervalo semiabierto

(por la izquierda) 40• d. intertervalo infi nito

(semirecta) 401.2.6. Aproximaciones 41

• i. Tipos de Aproximaciones 421.2.7. Fracciones y expresión decimal 43

• Pasar de número fraccionario a número decimal 43• Pasar de número decimal a número fraccionario 44

1.2.8. Signos de agrupación 45

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1.3. Raíz cuadrada 46

1.3.1. Definición 46

1.3.2. Aplicación de las raíces cuadradas 48

Preparándonos para la PAES 57

Unidad 2 Operemos con polinomios 59

2.1. Grado de un polinomio 65

2.1.1. Grado relativo de un polinomio. 66

2.1.2. Grado absoluto. 66

2.2. Valor numérico 66

2.2.1. Determinación del valor numérico de un polinomio 67

2.2.2. Aplicación del valor numérico en situaciones prácticas 67

2.3. Operaciones con polinomios 69

2.3.1. Suma de polinomios 69

• Resolución de suma de polinomios 702.3.2. Resta de polinomios 70

• Resolución de resta de polinomios 712.3.3. Suma y Resta de polinomios 71

• Resolución de suma y resta de polinomios 72• Resolución de suma y resta de polinomios con

signos de agrupación. 73Supresión de signos de agrupación 73

Introducción de signos de agrupación 75

• Ejercicios de aplicación, empleando suma y resta de polinomios 76

2.3.4. Potencia de exponentes enteros 80

• Deducción y utilización de las propiedades de las potencias enteras. 80

2.3.5. Multiplicación de polinomios 83

• Realización de multiplicaciones de polinomio por monomio 84

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• Realización de multiplicaciones de polinomios por polinomios 84

• Ejercicios de aplicación, empleando multiplicación de polinomios 85

2.3.6. Productos notables 87

• Deducción, explicación y aplicación del cuadrado de la suma de dos términos. 87

• Demostración geométrica del cuadrado de la suma de dos términos. 87

• Ejercicios aplicando el cuadrado de la suma de dos términos 88

• Deducción, explicación y aplicación del cuadrado de la resta de dos términos 88

• Demostración geométrica del cuadrado de la resta de dos términos 89

• Ejercicios aplicando el cuadrado de la resta de dos términos 89

• Deducción, explicación y aplicación del cubo de la suma de dos términos 90

• Demostración geométrica del cubo de la suma de dos términos 90

• Ejercicios aplicando el cubo de la suma de dos términos 91• Deducción, explicación y aplicación del cubo de la

diferencia de dos términos 92• Demostración geométrica del cubo de la diferencia

de dos términos 93• Ejercicios aplicando el cubo de la diferencia

de dos términos 93• Deducción, explicación y aplicación del producto de

la suma de dos términos por su diferencia 94• Demostración geométrica del producto de la suma

de dos términos por su diferencia 94• Ejercicios aplicando el producto de la suma de dos

términos por su diferencia 952.3.7. División de polinomios 99

• Explicación de las propiedades de las potencias en la división de polinomios. 100

• División de polinomios entre monomios. 100• División de polinomios entre polinomios 101• Resolución de ejercicios de aplicación usando la

división de polinomios 1022.3.8. División sintética 104

• Explicación, demostración y aplicación de la divisiónsintética 104

• Resolución de ejercicios utilizando la división sintética 1052.3.9. Cocientes Notables 106

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• Determinación, aplicación y explicación del cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de dichas cantidades 106

• Resolución de ejercicios aplicando cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de dichas cantidades 107

• Determinación, explicación y aplicación del cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de dichas cantidades 108

• Resolución de ejercicios aplicando el cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de dichas cantidades. 109

• Deducción, explicación y aplicación del cociente de la suma o diferencia de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades. 110

• Resolución de ejercicios aplicando el cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades 111


Unidad 3 Midamos y construyamos triángulos 119

3.1. Triángulos 123

3.1.1. Tipos de triángulos, según sus ángulos y sus lados 125

3.1.2 Teorema sobre la suma de los ángulos internos de un triángulo 127

3.1.3 Teorema sobre la suma de los ángulos externos de un triángulo 127

3.1.4 Rectas y puntos notables de un triángulo 129

• a. Alturas de un triángulo 129• b. Medianas de un triángulo 130• c. Mediatrices de un triángulo 130• d. Bisectrices de un triángulo 132

3.1.5. Criterios de igualdad de triángulos 133

• 1. Criterio de los tres lados (LLL) 134• 2. Criterio de dos lados y el ángulo comprendido

entre ellos (LAL) 134• 3. Criterio de dos ángulos y un lado (ALA) 135

3.1.6. Semejanza de triángulos 136

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Criterios de semejanza de triángulos 141

• Criterio 1. Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos iguales (AA) 141

• Criterio 2. Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados proporcionales (LLL) 141

• Criterio 3. Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo correspondiente igual y los lados que lo forman son proporcionales (LAL). 142

3.2. Teorema de Pitágoras 146


Unidad 4 Aprendamos a factorizar 161

4.1. Factoreo 167

4.1.1. Interpretación, explicación y aplicación del factoreo o factorización como la transformación de una suma en un producto indicado. 167

4.2. Métodos de factorización 169

4.2.1. Factor común 169

• Determinación y aplicación del factor común monomio 169• Resolución de ejercicios utilizando el factor

común monomio 170• Determinación y aplicación del factor común polinomio 171• Resolución de ejercicios utilizando el factor común

polinomio 172• Explicación y aplicación de las reglas a un trinomio

cualquiera, para determinar si es trinomio cuadrado perfecto 174

• Resolución de ejercicios aplicando trinomio cuadrado perfecto 175

4.2.3. Trinomio factorizables que no son cuadrados perfectos 178

• Explicación y aplicación de las reglas, a un trinomio cualquiera para determinar si es factorizable 178

• Resolución de ejercicios aplicando la descomposición de trinomios factorizables que no son trinomios cuadrados perfectos 179

4.2.4. Diferencia de cuadrados. 182

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• Explicación de las reglas para la factorización de expresiones algebraicas aplicando la diferencia de cuadrados 182

4.2.5. Suma de cubos 184• Explicación y aplicación de las reglas de la suma de cubos 184• Resolución de ejercicios aplicando suma de cubos 185

4.2.6. Diferencia de cubos 186

• Explicación y aplicación de las reglas de la diferencia de cubos 186

• Resolución de ejercicios aplicando diferencia de cubos 1874.2.7. Trinomio cuadrado perfecto y diferencia de

cuadrados. 188

• Explicación y aplicación de las reglas para determinar si una expresión algebraica es factorable, por la combinación de un trinomio cuadrado perfecto con la diferencia de cuadrados 188

• Resolución de ejercicios aplicando trinomio cuadrado perfecto con diferencia de cuadrados 189

4.2.8. Factorización de polinomios empleando división sintética. 191

• Explicación y aplicación de las reglas para factorizar expresiones mediante división sintética 191

• Resolución de ejercicios aplicando división sintética 192


Unidad 5 Trabajemos con áreas de fi guras planas 203

5.1. Áreas de regiones planas 207

5.1.1. Introducción 207

5.1.2. Conceptos 207

• Cuadriláteros 208• Triángulos 209

5.1.3 Cuadrado 210

• Identifi cación y explicación de los elementos de un cuadrado 210• Deducción de la fórmula del área de un cuadrado 210• Ejercicios sobre áreas de cuadrados. 210

5.1.4 Rectángulo 211

• Identifi cación y explicación de los elementos de un rectángulo 211• Deducción de la fórmula del área de un rectángulo 211• Ejercicios sobre áreas de rectángulos 212

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5.1.5. Triángulo 212

• Identifi cación y explicación de los elementos de un triángulo. 212• Deducción de la fórmula del área de un triángulo. 212• Ejercicios sobre áreas de triángulos 213

5.1.6. Rombo 213

• Identifi cación y explicación de los elementos de un rombo 213• Deducción de la fórmula del área de un rombo 214• Ejercicios sobre áreas de rombos 214

5.1.7. Romboide 214

• Identifi cación y explicación de los elementos de un romboide 214• Deducción de la fórmula del área de un romboide 215• Ejercicios sobre áreas de romboides 215

5.1.8. Trapecio 216

• Identifi cación y explicación de los elementos de un trapecio. 216• Deducción de la fórmula del área de un trapecio. 216• Ejercicios sobre áreas de trapecios 217

5.2 Polígono regular 224

5.2.1 Identificación y explicación de los elementos de un polígono regular 224

5.2.2. Deducción de la fórmula del área de un polígono regular. 224

5.2.3. Pentágono 225

• Identifi cación y explicación de los elementos de un pentágono. 225

• Deducción de la fórmula del área de un pentágono. 226• Ejercicios sobre áreas de pentágonos. 226

5.2.4. Hexágono 227

• Identifi cación y explicación de los elementos de un hexágono. 227

• Deducción de la fórmula del área de un hexágono 228• Ejercicios sobre áreas de hexágonos 228

5.2.5. Heptágono 229

• Identifi cación y explicación de los elementos de un heptágono 229

• Deducción de la fórmula del área de un heptágono. 230• Ejercicios sobre áreas de heptágonos. 230

5.2.6. Octágono 231

• Identifi cación y explicación de los elementos de un octágono. 231

• Deducción de la fórmula del área de un octágono 231• Ejercicios sobre áreas de octágonos 232

5.2.7. Nonágono 233

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• Identifi cación y explicación de los elementos de un nonágono 233

• Deducción de la fórmula del área de un nonágono. 233• Ejercicios sobre áreas de nonágonos. 234

5.2.8. Decágono 235

• Identifi cación y explicación de los elementos de un decágono. 235

• Deducción de la fórmula del área de un decágono. 235• Ejercicios sobre áreas de decágonos. 236

5.2.9. Endecágono 237

• Identifi cación y explicación de los elementos de un endecágono. 237

• Deducción de la fórmula del área de un endecágono. 237• Ejercicios sobre áreas de endecágonos. 238

5.2.10. Dodecágono 239

• Identifi cación y explicación de los elementos de un dodecágono. 239

• Deducción de la fórmula del área de un dodecágono. 239• Ejercicios sobre áreas de dodecágonos 240

5.2.11. Círculo 241

• Identifi cación y explicación de los elementos de un círculo 243

• Deducción de la fórmula del área de un círculo. 243• Ejercicios sobre áreas de círculos 245

5.3. Sector circular 247

5.3.1. Representación gráfica como una porción de un círculo. 247

5.3.2. Deducción de la fórmula del área de un sector circular. 247

5.3.3. Ejercicios sobre sectores circulares. 247

5.4. Corona circular 248

5.4.1. Representación gráfica como el área comprendida entre dos circunferencias concéntricas. 248

5.4.2. Deducción de la fórmula del área de una corona circular. 248

5.4.3. Ejercicios sobre coronas circulares. 248


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ESE ediciones

Unidad 6Operemos fracciones algebraicas 255

6.1. Mínimo común múltiplo 259

6.1.1. Determinación del mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas a partir de los números enteros 259

6.1.2. Utilización y explicación del mínimo común múltiplo monomio 260

6.1.3. Utilización y explicación del mínimo común múltiplo polinomio 262

6.1.4. Resolución de ejercicios de aplicación del mínimo común múltiplo (monomio y polinomio) 264

6.2. Máximo común divisor 266

6.2.1. Determinación del máximo común divisor de expresiones algebraicas a partir de los números enteros 266

6.2.2. Utilización y explicación del máximo común divisor monomio 267

6.2.3. Utilización y explicación del máximo común divisor polinomio 268

• Caso 1: Si todos los polinomios son factorizables 268• Caso 2: Si no todos los polinomios son factorizables 269

6.2.4. Resolución de ejercicios de aplicación del máximo común divisor (monomio y polinomio) 270

6.3. Fracciones algebraicas 274

6.3.1. Identificación y explicación de fracciones algebraicas 274

6.3.2. Simplificación 275

• Determinación y explicación de la simplifi cación de fracciones algebraicas, a partir de los números racionales 275

• Simplifi cación de fracciones algebraicas 275• Resolución de ejercicios aplicando la simplifi cación de

fracciones algebraicas 278

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6.3.3. Valor numérico 279

• Determinación y explicación del valor numérico de fracciones algebraicas 279

6.4. Operaciones con fracciones algebraicas 282

6.4.1. Multiplicación 282

• Explicación y aplicación de la multiplicación de fracciones algebraicas a partir de los números racionales 282

• Multiplicación de fracciones algebraicas con denominadores monomios 282

• Multiplicación de fracciones algebraicas con denominadores polinomios 283

• Resolución de ejercicios utilizando multiplicación de fracciones algebraicas 284

6.4.2. División 286

• Explicación y aplicación de la división de fracciones algebraicas a partir de los números racionales 286

• División de fracciones algebraicas con denominadores monomios 287

• División de fracciones algebraicas con denominadores polinomios 287

• Resolución de ejercicios utilizando división de fracciones algebraicas 288

6.4.3. Suma y resta 291

• Explicación y aplicación de la suma y resta de fracciones algebraicas a partir de los números racionales 291

• Suma y resta de fracciones algebraicas con denominadores monomios 293

• Suma y resta de fracciones algebraicas con denominadores polinomios 294

• Resolución de ejercicios utilizando Suma y resta de fracciones algebraicas 298

6.4.4. Operaciones combinadas 301

• Explicación y aplicación de operaciones combinadas de fracciones algebraicas 301

• Resolución de ejercicios utilizando operaciones combinadas de fracciones algebraicas 304

6.4.5. Fracciones complejas 305

• Identifi cación y explicación de una fracción algebraica compleja 305

• Resolución de ejercicios utilizando fracciones algebraicas complejas 305


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ESE ediciones

Unidad 7 Calculemos área y volumen de cuerpos geométricos 311

7.1. Cuerpos geométricos. 318

Introducción 318

7.1.1. Conceptos 319

7.1.2. Poliedros 319

7.1.3. Prismas 322

• El cubo 3237.1.4. Pirámides 324

7.1.5. Cuerpos redondos 325

• El cilindro 325• El cono 326• La esfera 327

7.2. Área y volumen de cuerpos geométricos 328

Relación entre peso volumen y capacidad 329

7.2.1. De un prisma recto 330

• Determinación y explicación de la fórmula del área de un prisma recto 330

• Determinación y explicación de la fórmula del volumen de un prisma recto 330

• Resolución de ejercicios, del área y volumen de un prisma recto 331

7.2.2. De una pirámide regular 333

• Determinación y explicación de la fórmula del área de una pirámide regular 333

• Determinación y explicación de la fórmula del volumen de una pirámide regular 334

• Resolución de ejercicios, del área y volumen de una pirámide regular 334

7.2.3. De un cilindro circular recto. 335

• Determinación y explicación de la fórmula del área de un cilindro circular recto. 335

• Determinación y explicación de la fórmula del volumen de un cilindro circular recto 336

• Resolución de ejercicios, del área y volumen de un cilindro circular recto 336

7.2.4. De un cono circular recto. 337

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• Determinación y explicación de la fórmula del área de un cono circular recto. 337

• Determinación y explicación de la fórmula del volumen de un cono circular recto. 338

• Resolución de ejercicios, del área y volumen de un cono circular recto. 339

7.2.5. De una esfera. 341

• Determinación y explicación de la fórmula del área de una esfera 341

• Determinación y explicación de la fórmula del volumen de una esfera 341

• Resolución de ejercicios, del área y volumen de una esfera 342


Unidad 8 Utilicemos la información 349

8.1 Conceptos básicos 353

8.1.1. Población y muestra 353

8.1.2 Censo y encuesta 354

8.1.3. Variable 355

8.2 Recopilación de la información 357

8.2.1. Fuentes de datos: primaria y secundaria 357

8.3 Organización de la información 357

8.4 Presentación de la información 358

8.4.1 Distribución de Frecuencias 358

8.4.2 Gráficas: Histograma y Polígono de Frecuencias 365

8.5. Medidas de Centralización o Tendencia Central 369

8.5.1. Media aritmética 369


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ESE ediciones

Unidad 9 Trabajemos con ecuaciones 379

9.1. Generalidades 383

9.1.1. Variable 388

9.1.2 Grado de la ecuación 388

9.1.3 Raíz de una ecuación 390

9.1.4 Conjunto solución de una ecuación 390

9.2. Ecuaciones enteras de primer grado, con una incógnita 391

1. Propiedad de la suma 394

2. Propiedad de la multiplicación 396

9.3 Ecuaciones fraccionarias de primer grado 402

9.3.1 Ecuaciones fraccionarias de primer grado con denominadores monomios 402

9.3.2 Ecuaciones fraccionarias de primer grado con denominadores polinomios 406

9.4. Aplicaciones 409

9.5 Gráfi ca de una ecuación lineal 425

Pendiente de una recta 430


Respuestas 443

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