OCTAVO GRADO GEOMETRÍA 2011 Periodo Núcleo Temático Tiempo Logros Indicadores de Logro Competencias

I

Unidad Nº 1 1. Área de Figuras planas. 1.1 Área de Figuras Planas 1.2 Área de Regiones

Sombreadas 1.3 Teorema de Pitágoras 1.4 Aplicaciones del

Teorema de Pitágoras.

10-horas

Deducir y aplicar las formulas para hallar el área de figuras geométricas planas.

Utilizar el teorema de Pitágoras para determinar el lado desconocido de un triangulo rectángulo y lo aplica en la solución de problemas prácticos.

Soluciona problemas sobre área de figuras geométricas planas utilizando las fórmulas correspondientes

Halla la región sombreada de situaciones gráficas planteadas.

Enuncia correctamente el Teorema de Pitágoras

Aplica el Teorema de Pitágoras en la solución de problemas

Interpretativa.

Razonamiento Argumentación

Comunicación Representación

Modelación Planteamiento Resolución de Problemas

II

Unidad Nº 2 2. Criterios de Relación

entre ángulos y Rectas. 2.1 Rectas Paralelas. 2.2 Rectas Perpendiculares. 2.3 Rectas Transversales o

Tangentes. 2.4 Propiedades de los

ángulos entre dos rectas paralelas cortadas por una secante.

10-horas

Utilizar adecuadamente las propiedades y criterios de la relación entre ángulos que se forman de a cuerdo a la posición relativa de dos rectas paralelas cortadas por una secante, aplicándolos en la solución de problemas.

Clasifica los ángulos de acuerdo a la posición relativa de las rectas que los formen y establece las propiedades que cumplen.

Aplica las propiedades estudiadas para argumentar la solución de situaciones planteadas.

Interpretativa.

Razonamiento Argumentación

Comunicación Representación

Modelación Planteamiento Resolución de Problemas.

Periodo Núcleo Temático Tiempo Logros Indicadores de Logro Competencias

III

Unidad Nº 3 3. Triángulos. 3.1 Concepto. 3.2 Elementos 3.3 Clasificación. 3.4 Líneas y puntos notables

de un triangulo. 3.5 Propiedades de los

triángulos

10-horas

Establecer propiedades a partir de la construcción de rectas notables y del uso de postulados.

Reconoce las diferentes clases de triángulos identificando sus caracte-rísticas e interpretando sus propiedades

Deduce propiedades de los triángulos a partir de construcción de líneas notables.

Aplica las propiedades estudiadas en la solución de situaciones planteadas.

Interpretativa.

Razonamiento Argumentación

Comunicación Representación

Modelación Planteamiento Resolución de Problemas.

IV

Unidad Nº 4 4. Congruencia. 4.1 Figuras Congruentes. 4.2 Casos de congruencia de

triángulos. 4.3 Propiedades de los

triángulos isósceles y equiláteros.

4.4 Cuadriláteros. 4.5 Propiedades de los

cuadriláteros 4.6 Demostraciones.

9-horas

Realizar demostraciones sencillas sobre propiedades referentes a las rectas cortadas por una secante, los criterios de congruencia y las propiedades de los triángulos y cuadriláteros.

Identifica triángulos congruentes a partir de graficas y enunciados.

Determina y aplica las propiedades de los triángulos y de los cuadriláteros en la solución de situaciones planteadas.

Efectúa demostraciones de los teoremas aplicando postulados.

Interpretativa.

Razonamiento Argumentación

Comunicación Representación

Modelación Planteamiento Resolución de Problemas.

Unidad Nº 1

1. Área de Figuras planas.

1.1 Área de Figuras Planas

Triángulo:

Un triángulo es una poligonal cerrada con tres lados y tres ángulos. La suma de sus

ángulos es 180º.

Cada uno de los lados es menor que la suma de los otros dos, esto es

a < b + c

b < a + c

c < a + b

De la afirmación anterior se deduce que la diferencia de dos lados es menor que el

tercero.

Clasificación de triángulos

Atendiendo a sus lados tenemos:

Triángulos equiláteros Triángulos isósceles Triángulo escaleno

Los tres lados son iguales Dos lados son iguales y el

tercero es desigual

Los tres lados son

desiguales

Atendiendo a sus ángulos:

Acutángulo Rectángulo Obtusángulo

Los tres ángulos son agudos Un ángulo es recto(90º) Un ángulo es obtuso (>90º)

Área de un triángulo

Si conocemos un lado (base) y su distancia al vértice opuesto (altura), entonces el cálculo

del área viene dado por la fórmula:

Si conocemos los tres lados del triángulo, el área se puede calcular usando la fórmula de

Herón

Dado un triángulo de lados a, b y c

La semisuma de sus lados, entonces

Cuadrado

Un cuadrado es una poligonal cerrada cuatro lados y cuatro ángulos iguales.

Cualquier cuadrilátero (polígono con cuatro lados) cumple que sus cuatro ángulos interiores suman 360º, como los cuatro ángulos son iguales, cada uno de ellos será recto (90º).

Al ser sus ángulos rectos es un caso particular de rectángulo. Como sus lados son iguales también es un caso particular de rombo.

Área del cuadrado

Rectángulo:

Un rectángulo es una poligonal cerrada de cuatro lados cuyos cuatro ángulos interiores

son rectos. Los lados de un rectángulo son iguales dos a dos.

Los lados son paralelos dos a dos, por tanto, un rectángulo es un caso particular de paralelogramo.

Área de un rectángulo

L

L

a

b

Rombo: Poligonal cerrada de cuatro lados, iguales y paralelos dos a dos.

Sus ángulos son iguales dos a dos. Las rectas que unen cada vértice con el opuesto se llaman diagonales, la mayor de ellas se llama diagonal mayor y la meno diagonal menor. En un rombo las dos diagonales se cortan formando un ángulo de 90º.

Área de un rombo

Trapecio: Poligonal cerrada de cuatro lados, de ellos dos son paralelos.

La suma de los cuatro ángulos es 360º.

Los lados paralelos se llaman base mayor (B) y base menor (b). Se dice que un trapecio es isósceles si sus lados no paralelos

son iguales (como el de la figura), en este caso dos de sus ángulos interiores son agudos y dos son obtusos.

Un trapecio es rectángulo si uno de los lados no paralelos es perpendicular a los paralelos, como consecuencia tendrá dos

ángulos rectos, uno agudo y otro obtuso. Un trapecio es escaleno si no es ni isósceles ni rectángulo

Área de un trapecio

Paralelogramo: Poligonal cerrada de cuatro lados paralelos dos a dos.

Los ángulos son iguales dos a dos y la suma de los

cuatro son 360º. Casos particulares de paralelogramos son el cuadrado,

el rectángulo y el rombo. La figura que a pare de es un romboide que es el caso general de paralelogramo.

D d

90º

h

b

B

h

b 90º

Área de un paralelogramo

Polígono Regular: Un polígono regular es un polígono que tiene todos sus lados y ángulos interiores iguales.

Características de un polígono regular Lado es cada uno de los segmentos que forman el polígono. Vértice es el punto en el que se encuentran dos lados.

Centro del polígono es el punto que equidista de todos los vértices.

Apotema es el segmento que une el centro con un lado.

Radio es el segmento que une el centro con un vértice. Perímetro es la suma de todos sus lados.

Algunos polígonos regulares son:

Área de un polígono regular

Apotema de un pentágono

a

Circulo: Se llama círculo al interior de la circunferencia, es decir, al conjunto de puntos del plano que distan del centro menos que la circunferencia. Áreas

Problemas y ejercicios

¿Cómo se llama el triángulo que tiene un ángulo recto?

¿Cómo se llama el triángulo que tiene los tres lados desiguales?

¿Cuál será el área de un cuadrado que tiene de lado 8 cm?

¿Cuál será el área de un círculo sabiendo que el radio mide 3 cm?

¿Cuántos grados miden cada uno de los ángulos de un cuadrado?

¿Cuál será el área de un paralelogramo sabiendo que la base mide 14 cm y la altura 6 cm?

¿Cuál será el área de un rectángulo cuya base mide 12 cm y la altura 6 cm?

¿Cuál será el área de un pentágono sabiendo que un lado mide 6 cm. y la apotema mide 4

cm?

¿Cuál será el área de un rombo sabiendo que sus diagonales miden 10 cm y 6 cm

respectivamente?

¿Cuántos grados suman los 4 ángulos de un rombo?

¿Cuál será el área de un trapecio sabiendo que sus bases miden 12 cm y 8 cm y la altura 6

cm?

¿Cuál será el área de un triángulo cuya base mide 8 cm y la altura 3 cm?

r

TEOREMA DE PITÁGORAS: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es

igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a2 + b2 = c2

Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la

expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la

suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos

Aplicaciones

El teorema de Pitágoras es de mucha utilidad en la resolución de problemas de la vida

cotidiana.

Por ejemplo:

C

a b

c B

A

El famoso Galileo Galilei, utilizó el teorema de Pitágoras para determinar la medida

de algunas montañas lunares.

Conocer la altura de un edificio, sabiendo la medida de la sombra que proyecta y la

distancia del punto más alto del edificio al extremo de la sombra.

Se desean bajar frutos de un árbol de naranjas, para ello se quiere construir una

escalera que sea capaz de alcanzarlos, sabiendo la altura a la que se encuentran los

frutos y la distancia del árbol a la base de la escalera.

En general, el Teorema de Pitágoras se puede utilizar para hallar longitudes en donde

intervienen triángulos rectángulos.

Actividad.

El punto "B" le sirve para manipular la altura del edificio, mientras que el punto "A" le sirve

para manipular la dirección del rayo solar.

1. ¿Cuál es altura del edificio, cuando la sombra que proyecta es de 120 metros?

2. Si el edificio tiene una altura de 72 metros y |AB| = 112.468 metros, ¿cuántos

metros mide la sombra del edificio?

3. Si la distancia |AB|=104.657 metros y la sombra mide 80.4 metros, ¿cuánto mide la

altura del edificio?

4. Si la sombra mide 52 metros y |AB|=103.942 metros, calcule la altura del edificio

Unidad Nº 2

2. Criterios de Relación entre ángulos y Rectas.

2.1 Rectas Paralelas.

El trazado de paralelas puede efectuarse de las siguientes formas:

Con regla y escuadra

Con regla y compás

http://www.youtube.com/watch?v=5FmyFeSN1OU

Propiedades del paralelismo

Carácter reflexivo:

Toda recta es paralela a sí misma.

Carácter simétrico:

Si una recta es paralela a otra,

ésta es paralela a la primera.

Dos rectas son Paralelas

cuando no tienen ningún punto en común, o cumplen

estas condiciones: Están en un mismo plano

No se intersecan.

Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y solo una paralela a dicha recta.

Carácter transitivo:

Si una recta es paralela a otra y ésta es paralela a una tercera, la primera recta es

paralela a la tercera.

Teorema: En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas.

2.2 Rectas Perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares

cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales.

Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una perpendicular a dicha recta

El trazado de perpendiculares puede efectuarse de las siguientes formas:

Con escuadra, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la misma.

Con compás, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la misma.

http://www.youtube.com/watch?v=D46wMlHxPsA

Propiedades de la perpendicularidad

Carácter reflexivo:

La perpendicularidad no cumple con el carácter reflexivo.

A no puede ser perpendicular con A

Carácter simétrico:

Si una recta es perpendicular a otra, ésta es perpendicular a la primera.

Carácter transitivo:

La perpendicularidad no cumple con el carácter transitivo.

2.3 Rectas Transversales o Tangentes.

2.4 Propiedades de los ángulos entre dos rectas paralelas cortadas por una secante.

Ángulos determinados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal

Dos rectas cualesquiera cortadas por una tercera determinan ocho ángulos.

De acuerdo a la ubicación de los mismos se clasifican en:

Ángulos interiores y exteriores

Ángulos correspondientes

Ángulos alternos

Ángulos conjugados

Ángulos interiores

Los ángulos ubicados en la zona comprendida entre las rectas paralelas se llaman ángulos

interiores.

Ángulos exteriores

Los ángulos que no son interiores se denominan ángulos exteriores.

Ángulos correspondientes:

Si dos ángulos están ubicados de un mismo lado de la transversal, uno es interior y el otro

es exterior, se los llama ángulos correspondientes.

Los ángulos correspondientes entre paralelas son iguales.

Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos correspondientes

iguales, las rectas son paralelas.

Angulos alternos internos

Si dos ángulos están situados en distintos semiplanos con respecto a la transversal y ambos

son internos, se los llama ángulos alternos internos.

Los ángulos alternos internos entre paralelas son iguales.

Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos alternos internos

iguales, las rectas son paralelas.

Ángulos alternos externos

Si dos ángulos están situados en distintos semiplanos con respecto a la transversal y ambos

son externos, se los llama ángulos alternos externos.

Los ángulos alternos internos entre paralelas son iguales.

Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos alternos externos

iguales, las rectas son paralelas

Ángulos conjugados internos

Si dos ángulos están situados en un mismo semiplano con respecto a la transversal y ambos

son internos, se los llama ángulos conjugados internos.

Los ángulos conjugados internos entre paralelas son suplementarios.

Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos conjugados

internos suplementarios, las rectas son paralelas.

Ángulos conjugados externos

Si dos ángulos están situados en un mismo semiplano con respecto a la transversal y ambos

son externos, se los llama ángulos conjugados externos.

Los ángulos conjugados internos entre paralelas son suplementarios.

Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos conjugados

internos suplementarios, las rectas son paralelas.

Ángulos conjugados: se denomina a dos ángulos cuyas medidas suman 360º

Ángulos suplementarios: son aquellos cuya suma de medidas es 180°

Ángulos complementarios: son aquellos ángulos cuya separación tiene una suma de

medidas es 90º

Ángulos congruentes se denominan aquellos ángulos que tienen la misma medida.

Ángulos opuestos por el vértice son aquellos cuyos lados de uno son semirrectas opuestas

a los lados del otro, los vértices de ambos ángulos son comunes y sus lados están en un par

de rectas que se cortan en el vértice común, pero no poseen ningún punto interior común.

Ángulos adyacentes son aquellos ángulos que tienen el vértice y un lado en común, al tiempo que

sus otros dos lados son semirrectas opuestas. De allí resulta que los ángulos adyacentes son a la

vez consecutivos y suplementarios, porque juntos equivalen a un ángulo llano (180°), sin poseer

ningún punto interior en común.

Rectas paralelas: Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.

c) y = 4x+1 m = 4 n = 1

d) y = 4x m = 4 n =0

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos

3) Halla la ecuación de una recta paralela a la recta a) y = - 4x +3 y representalas.

Poliedros

Un poliedro es un sólido de caras planas (la palabra viene del griego, poli- significa "muchas" y -edro significa "cara"). Cada cara plana (simplemente "cara") es un polígono. Así que para ser un poliedro no tiene que haber ninguna superficie curva.

Ejemplos de poliedros:

Prisma triangular Cubo Dodecaedro

Poliedros comunes

Sólidos platónicos

Prismas

Pirámides

Contar caras, vértices y aristas

Si cuentas el número de caras (las superficies planas), los vértices (las esquinas) y las aristas de un poliedro, descubrirás algo interesante:

El número de caras más el número de vértices menos el número de aristas es igual a 2 Esto se puede escribir limpiamente con una ecuación:

F + V - E = 2

Se la llama "fórmula del poliedro" o "fórmula de Euler", ¡y viene bien para saber si has contado correctamente!

Vamos a probar con algunos ejemplos:

Este cubo tiene:

6 caras 8 vértices

12 aristas

F + V - E = 6+8-12 = 2

PIRÁMIDE

La pirámide regular es un cuerpo geométrico limitado por un polígono regular, llamado base, y por tantos triángulos como lados tenga la base. Se nombran diciendo PIRÁMIDE y el nombre del polígono de la base. (Ejemplo: Pirámide cuadrangular).

Podemos hallar el área lateral , área total y volumen de este cuerpo geométrico, utilizando las siguientes formulas:

ÁREA LATERAL

AL = P * a / 2

(Es decir, es área lateral es igual al perímetro del polígono de la base multiplicado por la altura

de una cara lateral ( a ) de la pirámide y dividido entre 2)

ÁREA TOTAL

AT = AL + Ab

(Es decir, el área total es igual al área lateral mas el área del polígonos de la base)

VOLUMEN

V = Ab * h / 3

(Es decir, el volumen es igual al área del polígono de la base multiplicado por la altura ( h ) de la pirámide y dividido entre 3)

Pirámides

Cuando pensamos en pirámides siempre nos acordamos de las Grandes Pirámides de Egipto.

Son pirámides cuadradas, porque sus bases son cuadrados.

Partes de una pirámide

Una pirámide se hace conectando una base con un ápice

Tipos de pirámides

Hay muchos tipos de pirámides, sus nombres dependen de la forma de la base.

Pirámide Base

Triangular Pirámide:

Detalles >>

Cuadrado Pirámide:

Detalles >>

Pentagonal

Pirámide:

Detalles >>

... y así sigue ... Área y volumen

El volumen de una pirámide 1/3 × [Área base] × altura

El área de la superficie de una pirámide 1/2 × Perímetro × [Longitud cara]

+ [Área base]

Explicación del área de la superficie

El área de la superficie tiene dos partes: el área de los lados (el área lateral) y el área de la base (el área de la base).

El área de la base depende de la forma, hay distintas fórmulas para triángulos, cuadrados, etc. Lee Área para ver las fórmulas, o nuestra Herramienta para calcular áreas Pero el área lateral es muy sencilla de calcular. Sólo hay que multiplicar el perímetro por la longitud de una cara y dividir entre 2. Esto es porque los lados siempre son triángulos y el área de un triángulo es base por altura entre 2

Pirámides rectas y oblicuas

El nombre te dice dónde está la punta (ápice) de la pirámide. Si el ápice está directamente sobre el centro de la base, es una pirámide recta, si no es una pirámide oblicua.

Pirámide recta Pirámide oblicua

Pirámides regulares e irregulares

Esto depende de la forma de la base. Si la base es un polígono regular, entonces es una pirámide regular, si no es una pirámide irregular.

Pirámide regular Pirámide irregular

La base es regular La base es irregular

Prismas

¡Un prisma tiene la misma sección en toda su longitud!

Una sección es la forma que se obtiene cuando se corta un objeto de manera recta.

Una sección de este objeto es un triángulo... ... tiene la misma sección en toda su longitud... ... así que es un prisma triangular.

Intenta dibujar una forma en un trozo de papel (¡sólo con líneas rectas!),

ahora imagina que se extiende hacia arriba desde la hoja de papel, ¡eso es un prisma!

¡Sin curvas! Un prisma es oficialmente un poliedro, así que todas las caras tienen que ser planas. No puede haber caras curvas.

Así que la sección será un polígono (una figura con lados rectos). Por ejemplo, si la sección fuera un círculo el objeto sería un cilindro, no un prisma.

Todos estos son prismas:

Prisma cuadrado: Sección:

Cubo: Sección:

(sí, un cubo es un prisma, porque es un cuadrado en toda su longitud)

(Mira también los prismas rectangulares )

Prisma triangular: Sección:

Prisma pentagonal: Sección:

Prismas regulares e irregulares

Todos los ejemplos anteriores son prismas regulares, porque la sección es regular (es decir, una forma con lados de la misma longitud) Aquí tienes un ejemplo de prisma irregular:

Prisma irregular pentagonal: Sección:

(Es "irregular" porque el pentágono no tiene forma "regular")

Volumen de un prisma

El volumen de un prisma es simplemente el áre de un extremo por la longitud del prisma

Volumen = Area × Longitud Ejemplo: ¿Cuál es el volumen de un prisma cuyo extremo es 25 cm2 y que tiene 12 cm de longitud? Respuesta: Volumen = 25 cm2 × 12 cm = 300 cm3

(Nota: tenemos una herramienta para calcular áreas)

Tipo Descripción

Ángulo nulo Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.

Ángulo agudo

Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0° y menor de 90° grados sexagesimales

Ángulo recto

Un ángulo recto es de amplitud igual a 90° sexagesimales Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí. La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.

Ángulo obtuso

Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales

Ángulo llano, extendido o colineal

El ángulo llano tiene una amplitud de rad Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).

Ángulo complete o perigonal

Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de rad

Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).