Álgebra · capÍtulo 1 lenguaje algebraico 1.1. Álgebra de acuerdo a la real academia española...

Álgebra

Cynthia P.Guerrero Saucedo

21 de agosto de 2016

Índice general

1. Lenguaje algebraico 31.1. Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Expresión algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Representación algebraica de expresiones en lenguaje común . . . . . . . . 91.4. Interpretación de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5. Evaluación numérica de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Operaciones fundamentales 1 162.1. Términos semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2. Suma de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Resta de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4. Suma de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5. Resta de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6. Multiplicación de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.7. Multiplicación de monomio por polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.8. Multiplicación de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.9. División de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.10. División de polinomio entre monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.11. División de polinomio entre polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3. Operaciones fundamentales 2 453.1. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2. Factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4. Ecuaciones lineales 474.1. Ecuaciones lineales con una incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2. Ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5. Ecuaciones cuadraticas 49

2

CAPÍTULO 1

Lenguaje algebraico

1.1. Álgebra

De acuerdo a la Real Academia Española se de�ne al Álgebra como parte de las matemá-ticas en la cual las operaciones aritméticas son generalizadas, empleando números, letrasy signos. Cada letra representa simbólicamente un número u otra cantidad matemática.Cuando alguna de las letras representa un número desconocido se le llama incógnita.

Las incógnitas ademas de ser representadas por letras, también pueden ser representa-das por símbolos y con las operaciones aritméticas necesarias se puede obtener su valornumérico.

Resuelve el siguiente acertijo.

N�N�N � 24

N�� 5

�� 12

N�� ♣

1. ¾Cuanto vale el N?:

2. ¾Cuanto vale la �?:

3. ¾Cuanto vale la �?:

4. ¾Cuanto vale el ♣?:

Actividad 1 (Incognitas).

3

CAPÍTULO 1. LENGUAJE ALGEBRAICO

1.2. Expresión algebraica

Una expresión algebraica consta de uno o varios términos que se encuentran separadosentre si por el signo mas o menos. Un termino esta compuesto por cuatro elementos:

Signo: Son términos negativos los que van precedidos por el signo � y términospositivos aquellos que van precedidos por el signo �. En los términos positivos sueleomitirse el signo �. Ejemplos:

�5x6 es un término negativo

3y2 es un termino positivo

15a3b5 es un termino positivo

Coe�ciente: Es la parte numérica que se encuentra antes de una o varias letras yrealiza la operación de multiplicación. Es importante señalar que el coe�ciente siem-pre va acompañado del signo del termino y cuando un termino no tiene coe�cientenumérico se sobreentiende que su coe�ciente es la unidad. Ejemplos:

�5a6 su coe�ciente es � 5

m2 su coe�ciente es 1

15x3y5 su coe�ciente es 15

Literal: Son las letras o símbolos que hay en un término. Ejemplos:

�5x6 su literal es x

�3w2 su literal es w

15x3y5 sus literales son x y y

Grado absoluto: Es la suma de los exponentes en un mismo término algebraico.Elexponente es el número que se escribe en la parte superior derecha de una literal eindica el número de veces que esta deberá de multiplicarse en el termino algebraico.Ejemplos:

�5a es de primer grado ya que su exponente es 1

�3x3y3 es de sexto grado por que la suma de sus exponentes es 3+3=6

15p2q5r es de octavo grado por que la suma de sus exponentes es 2+5+1=8

4 CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO


Completa la siguiente tabla escribiendo el termino, signo, coe�ciente, parte literaly grado de cada uno de los términos.

Término Signo Coe�ciente Literal Grado

1. a7

2. �3x3

3. c5d4

4. �12r7s3

5. 12xyz

6. �9p3q4r5

7. �16u2v3w

8. � 4 m y n 2

9. � 8 w y z 5

10. � 17 a y b 6

Actividad 2 (Elementos de un termino algebraico).

Las expresiones algebraicas se clasi�can según el número de términos que contienen, estostérminos se encuentran separados por el signo � o �.

Monomio: Consta de un solo termino. Ejemplos:

�5a63t2

15x3y5

Binomio: Esta formado por dos término. Ejemplos:

4a3 � 5b5

9x6 � 5x2

�11p12q4 � 4p8q3

Trinomio: Esta formado por tres términos.Ejemplos:

�12a7b8 � 5a6b5 � 4a2b2

12x4y5 � 7x2y9 � 8xy3

4w7 � 5y5 � 2z3

CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO 5


Polinomio: Esta formado por dos o mas términos. Ejemplos:

2a3 � 5a2

8x9 � 3x4 � x2

�5m8n4 � 6m6n3 � 5m4n7 � 2m2n5

Marca una X en cada renglón si se trata de un monomio, binomio, trinomio opolinomio. En algunos casos tendrás que marcar dos X.

Expresión algebraica Monomio Binomio Trinomio Polinomio

1. 5a4b3 � 2a3b5 � 6ab8

2. �m

3� 3n

4

3. 8w9 � 4x8 � 2y7 � 12z3

4. 15a5b3 � 2a3b2

5.2ab

4c

6. 4x8 � 3x5 � x� 8y2 � y

7. 5p4q3 � 2p3q5 � 6pq8

8. 3pq2

9.4x

6� 6y

7� y

3

10. �13c3d7

Actividad 3 (Clasi�cación de expresiones algebraicas).

El grado absoluto de un polinomio es la mayor suma de los exponentes obtenida enalguno de los términos del polinomio. Por ejemplo:

2k4 � 8k2 � k es un polinomio de grado 4

ya que el primer termino es de grado 4, el segundo de grado 2 y el tercero de grado 1.

6a3b5 � 9a2b8 es un polinomio de grado 10

ya que el primer termino es de grado 8 y el segundo de grado 10.

�3m5n2 � 4m2n2 �mn8 es un polinomio de grado 9.

ya que el primer termino es de grado 7, el segundo de grado 4 y el tercero de grado 9.



Escribe el grado absoluto de cada uno de los siguientes polinomios.

Polinomio Grado absoluto del polinomio

1. 5a4b3 � 2a3b5 � 6ab8

2.�13x3y7 � 8x2y

3.6

7t7v2 � 1

5t4v4 � 4

9t2v8

4. 15f 5g3 � 2f 3g2

5. 3q5 � 2r2

6. 4x8 � 3x5 � x� 8y2 � y

7. �3f 6g3 � 2f 2g8 � 6fg12

8. �5p5 � 2p4 � 6p3

9.2

3c4d3 � 4

5c2d2

10. 8x9 � 4y8 � 2z7 � 12w3

Actividad 4 (Grado absoluto de un polinomio).

El termino independiente de un polinomio es aquel termino que no contiene parteliteral. Ejemplos:

�3a4 � 15 su termino independiente es � 15

18x4 � 8y2 � 9 su termino independiente es 9

7y3z5 su termino independiente es 0



Escribe el termino independiente de cada uno de los siguientes polinomios.

Polinomio Termino independiente

1. 7a8b5 � 3a3b5 � 42

2. �9p3 � 2q7 � 13

3. �3x14 � 5y8 � 9z7 � 26

4. 15m5n3 � 2m3n2 � 58

5. 3c3 � 1

4

6. 7x8 � 3x5 � x� 8y2 � 39

7. �2a4b3 � 2a3b5 � 6ab8 � 15

8. �5p5 � 2p4 � 6p3 � 12

9. �13x3y7 � 8x2y � 17

10. 15f 5g3 � 2f 3g2 � 8f 3g2 � 3

5

Actividad 5 (Termino independiente de un polinomio).



1.3. Representación algebraica de expresiones en len-guaje común

Al lenguaje utilizado por las matemáticas se le conoce como Lenguaje algebraico y noes mas que una forma de traducir a símbolos y números lo que comúnmente utilizamoscomo expresiones del lenguaje común. Con el lenguaje algebraico podemos representarvalores desconocidos y realizar operaciones aritméticas con ellos.

�� Ejemplo 1.1. Traduce el siguiente enunciado del lenguaje común al lenguaje al-gebraico: María le dice a Laura: Tengo ochenta pesos mas que el doble de lo que tiene

Luisa.

Solución. Para representar un enunciado del lenguaje común al lenguaje algebraico pue-des realizar los siguientes pasos:

1. Identi�car las cantidades desconocidas o incógnitas, a estas se les asignará unaliteral. Del enunciado anterior desconocemos cuanto dinero tiene Luisa por lo queutilizaremos la literal x para expresar dicha cantidad, y podemos decir:

Luisa tiene x pesos.

2. Identi�car palabras que representen operaciones entre las cantidades conocidas y lascantidades desconocidas. Tenemos palabras claves, tales como:mas que que se re�ere a sumarle a, entonces cuando Laura dice:

Tengo ochenta pesos mas que = 80�

y el doble, que se re�ere a multiplicar por dos, por lo que:

el doble de lo que tiene Luisa= 2x

3. La expresión algebraica que representa la situación.

Tengo ochenta pesos mas que el doble de lo que tiene Luisa: 80� 2x

�� Ejemplo 1.2. Escribe en lenguaje algebraico: El triple de un número

Solución. La respuesta es 3x.Como desconocemos el número del cual estamos hablando entonces lo llamamos incógnitay utilizamos la letra x para referirnos a el, después lo multiplicamos por 3 para obtenerel triple de un numero.

�� Ejemplo 1.3. A continuación se muestran las palabras que comúnmente se utilizanen el lenguaje común para representar relaciones numéricas entre cantidades desconocidas:



Tabla 1.1: Representación algebraica de expresiones en lenguaje común

Lenguaje común Operación Lenguaje

algebraico

Aumentar, incrementar, Suma de dos cantidades x� y

añadir, exceder, más

Diferencia, disminuir, quitar, Resta de dos cantidades x� y

decrementar, reducir, menos

Doble, triple, cuádruple,... Multiplicar por 2,3,4,... 2x, 3x, 4x, ...

Producto Multiplicación de dos cantidades xy

Mitad, tercera, cuarta parte,... Dividir entre 2,3,4,...x

2,x

3

x

4

Cociente División de dos cantidadesx

y

Cuadrado Multiplicar por si mismo dos veces x2

Cubo Multiplicar por si mismo tres veces x3

Es un valor especial que al ser

Raíz cuadrada multiplicado por si mismo nos da?x

como resultado un número inicial

Promedio Suma de los datos entre el númerox1 � x2 � ...� xn

n

de datos

Con los ejemplos mostrados en la tabla anterior, ahora realiza la siguiente actividad.



Traduce las siguientes expresiones del lenguaje común al lenguaje algebraico:

1. La edad de Lucia hace 15 años:

2. La suma de un numero con su tercera parte:

3. El doble producto de dos números:

4. En una granja hay vacas y caballos, en total son 23 animales:

5. Tengo la tercera parte de tus dulces aumentado en 10:

6. El cuadrado de la diferencia de dos números:

7. Daniel, Emilio y Fernanda juntaron sus ahorros, Emilio aporto la terceraparte de lo que aporto Daniel y Fernanda la mitad de lo aporto Daniel, entotal se juntó 320 pesos:

8. Las tres quintas partes de un número mas la raíz cuadrada de otronumero:

9. El cociente entre un número y su mitad:

10. El promedio de las cali�caciones de Matemáticas, Ingles y Química es de8:

Actividad 6 (Del lenguaje común al lenguaje algebraico).



1.4. Interpretación de expresiones algebraicas

Para representar una expresión algebraica en lenguaje común se debe comenzar por lajerarquía de las operaciones, tomando en cuenta los signos de agrupación ya que estospermiten establecer el orden en el que las operaciones aritméticas se deben de llevar acabo. Los signos de agrupación son: el paréntesis ( ), el corchete [ ] y llave {}.

�� Ejemplo 1.4. A continuación se muestran ejemplos en los que se representa unaexpresión algebraica en lenguaje común.

Tabla 1.2: Interpretación de expresiones algebraicas

Expresión algebraica Lenguaje comúnx� 2

y � 3El cociente de la suma de x con 2 entre la diferencia de y

con 3

px� yq2 El cuadrado de la diferencia de x y yxyz

2La mitad del producto de x, y y z

x2 � y2 La suma de los cuadrados de x y y

3x3 � y

5La diferencia del triple del cubo de x y la quinta parte de y

?xpy � 8q El producto de la raíz cuadrada de x y la suma de y

con 8

Con los ejemplos mostrados en la tabla anterior, ahora realiza la siguiente actividad.



Representa en lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas:

1.4x

3y:

2. x� 4y:

3.x� 2

4:

4. 6px� yq:5. 3x2 � 2y3:

6.x� y

x� y:

7. px� 4q3:8.?2xy:

9. px� 1qpx� 2q:10. x3 � y3:

Actividad 7 (Interpretación de expresiones algebraicas).



1.5. Evaluación numérica de expresiones algebraicas

Una expresión algebraica adquiere un valor numérico cuando sus literales son reemplaza-das por números, a este proceso se le denomina evaluación de la expresión.Por ejemplo, consideremos la expresión algebraica

3x� 2y

para la cual suponga que x � 1 y y � 2, entonces, al sustituir la x por 1 y la y por 2resulta

3p1q � 2p2q � 7

�� Ejemplo 1.5. Obtenga una ecuación algebraica que represente el área de cualquierrectángulo en general de base x y altura y, después, obtenga el valor numérico de la mismasi la base y altura son de 0.35 metros y 1.5 metros, respectivamente.

Solución. El área de cualquier rectángulo está de�nida por el producto de su base conla altura, en este caso:

Área � pbaseqpalturaqÁrea � xy

Sustituyendo x � 0.35 m y y � 1.5 m resulta

Área � p0.35mqp1.5mqÁrea � 0.525m2



Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas según sea elcaso.

1. El volumen de un cubo, si uno de sus lados mide 2.5 cm

2. El área de un círculo cuyo radio es de 8 cm

3. El área de un triángulo cuya base es de 5 cm y altura de 9 cm

4. Si a � 1 y b � �3 calculaab

3

5. Si x � 1, y � 3, z � 1

5calcula

x2 � 3y

2z

6. Si a � 5, b � 3 y c � 1, calcula

c2a� 3b

4� c

7. Si x � �5, a � 3, y � 2

7y b � 2, calcula

�5x� ay

�3b� 2x

�3ab� 2xy

5ax� 2ab

Actividad 8 (Valor numérico de una expresión algebraica).


CAPÍTULO 2

Operaciones fundamentales 1

2.1. Términos semejantes

Para sumar o restar monomios primero tenemos que identi�car los términos semejantes.Los términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal afectada por losmismos exponentes. Ejemplos:

6a3 y2

5a3 son términos semejantes

12x3y2 y �2x3y2 son términos semejantes

8m5 y 3n5 no son términos semejantes

5z5 y �8z3 no son términos semejantes

Sumar o restar monomios consiste en reducir los términos semejantes, esto es, sumar orestar sus coe�cientes numéricos, conservando su parte literal y sus exponentes.

2.2. Suma de monomios

Suma de monomiosDos monomios se están sumando si sus signos son iguales. Para sumar dos o mas monomiosse deben de sumar los coe�cientes numéricos de los términos semejantes, conservando elsigno que estos tienen y su parte literal.

�� Ejemplo 2.1. Suma los siguientes monomios:

a) 3a � 5a �Ambos monomios son positivos, por lo que el resultado tendrá signo �, seguido por lasuma de sus coe�cientes 3� 5 � 8 y por ultimo se escribe su parte literal a.

3a� 5a � 8a

16

CAPÍTULO 2. OPERACIONES FUNDAMENTALES 1

b) �2m2 � 4m2 �Ambos monomios son negativos, por lo tanto el resultado tendrá signo �, seguido por lasuma de sus coe�cientes 2� 4 � 6 y por ultimo se escribe su parte literal m2.

�2m2 � 4m2 � �6m2

c)2

3x5 � 4

5x5 �

Ambos monomios son positivos, por lo que el resultado tendrá signo �, seguido por lasuma de sus coe�cientes:

2

3� 4

5� Se multiplican los denominadores 3 y 5 para obtener un denomina-

dor común 15.10

15� 12

15� Se multiplica el primer numerador 2 por el segundo denominador

5 para obtener el numerador de la primer fracción que es 10. Semultiplica el primer denominador 3 por el segundo numerador 4para obtener el numerador de la segunda fracción que es 12.

� 22

15Se suman las fracciones y si es posible se reduce la fracción resul-tante.

Por ultimo se escribe su parte literal x5.

2

3x5 � 4

5x5 � 22

15x5

d)5p4 � 3q7 � 4p4 � 2q7 �Juntamos los términos semejantes y los reducimos:

5p4 y �4p4, como los dos son positivos su resultado tendrá signo �, seguido de la sumade sus coe�cientes 5� 4 � 9 y su parte literal p4.

�3q7 y �2q7, como los dos son negativos su resultado tendrá signo �, seguido de la sumade sus coe�cientes 3� 2 � 5 y su parte literal q7.

�13y5z35p4 � 3q7 � 4p4 � 2q7 � 9p4 � 5q7

Ahora realiza la siguiente actividad.



Realiza las siguientes sumas de monomios:

1. 4a8 � 3a8 � 2.4

5k3 � 2

3k3 �

3. �2

3d4 � 3

4d4 � 4. �12x2 � 9x2 �

5. 3x3y5 � 8x3y5 � 6.2

6z8 � 3

6z8 �

7. 5y2 � 1

2y2 � 8. 7m5 � 3m5 � 5m5 �

9. �15t3 � 4t3 � 8t3 � 10. �4d2 � 7d2 � 8d2 �

11. �9p5 � 12q2 � 6p5 � 8q2 � 12. 9f 4 � 12g7 � 8g7 � 6f 4 �

Actividad 9 (Suma de monomios).

2.3. Resta de monomios

Resta de monomiosDos monomios se están restando si sus signos son diferentes. Para restar dos monomiosse debe de restar los coe�cientes numéricos, precedido por el signo del termino con mayorcoe�ciente y conservando su parte literal.

�� Ejemplo 2.2. Resta los siguientes monomios:

a) 7b � 13bEl termino de mayor coe�ciente es �13b , por lo que el resultado tendrá signo �, seguidopor la resta de sus coe�cientes (mayor menos menor) 13 � 7 � 6 y por ultimo se escribe



su parte literal b.

7b� 13b � �6b

b) 9y7z4 � 4y7z4 �El termino de mayor coe�ciente es 9y7z4 , por lo que el resultado tendrá signo �, seguidopor la resta de sus coe�cientes (mayor menos menor) 9� 4 � 5 y por ultimo se escribe suparte literal y7z4.

9y7z4 � 4y7z4 � 5y7z4

c) �4j2 � 6k3 � 7k3 � 9j2 �Juntamos los términos semejantes y los reducimos:

�4j2 y �9j2, el termino de mayor coe�ciente es �9j2 , por lo que el resultado tendrásigno �, seguido por la resta de sus coe�cientes (mayor menos menor) 9 � 4 � 5 y porultimo se escribe su parte literal j2.

�6k3 y �8k3 ,el termino de mayor coe�ciente es �8k3 , por lo que el resultado tendrásigno �, seguido por la resta de sus coe�cientes (mayor menos menor) 8 � 6 � 2 y porultimo se escribe su parte literal k3.

�4j2 � 6k3 � 7k3 � 9j2 � �4j2 � 9j2 � 6k3 � 8k3 � 5j2 � 2k3




Realiza las siguientes restas de monomios:

1. �4

5k8 � 2

3k8 � 2. 5x2 � 13x2 �

3. 14w3x5 � 3w3x5 � 4.4

7g4 � 3

7g4 �

5. �2

5p8 � 3

4p8 � 6. �15t3 � 5v6 �

7. �8z7 � 4z5 � 8. 6.8a� 2.5a �

9. 12t5v3 � 4t5v3 � 10. �6

8c8 � 1

4c8 �

11. �4a3 � 9b2 � 2a3 � 5b2 � 12. 12v3 � 8w2 � 17w2 � 22v3 �

Actividad 10 (Resta de monomios).

Suma y resta de monomios con signos de agrupaciónPara sumar o restar monomios que se encuentran dentro de signos de agrupación es ne-cesario suprimir los paréntesis siguiendo la ley de los signos que dice:

Ley de los signos

�p�q � � mas por mas = mas�p�q � � mas por menos = menos�p�q � � menos por menos = mas�p�q � � menos por mas = menos

Después se reducen los términos semejantes como se explico anteriormente. Recuerda quecuando un monomio es positivo suele omitirse su signo.



�� Ejemplo 2.3. Resuelve las siguientes sumas y restas de monomios:

a) �p4b5q � p7b5q �Suprimimos los paréntesis aplicando la ley de los signos

� �4b5 � 7b5

reducimos los términos semejantes restando los coe�cientes

� 3b5

b) p�6g3q � p�2g3q �Suprimimos los paréntesis aplicando la ley de los signos

� �6g3 � 2g3

reducimos los términos semejantes restando los coe�cientes

� �4g3

c) �5x5 � p7x5 � 3x5q �Suprimimos los paréntesis aplicando la ley de los signos, observa que cuando tenemos unsigno � antes de un paréntesis todos los monomios cambian de signo

� �5x5 � 7x5 � 3x5

reducimos los términos semejantes sumando y restando los coe�cientes:

� �9x5

d) �p�2m7q � p5n7q � p8n7q � p�6m7q �Suprimimos los paréntesis aplicando la ley de los signos

� 2m7 � 5n7 � 8n7 � 6m7

reducimos los términos semejantes

� 2m7 � 6m7 � 5n7 � 8n7

� �4m7 � 3n7




Realiza las siguientes sumas y restas de monomios:

1. p�2

3yq � p�5

8yq � 2. �p7z8q � p�4z8q �

3. �p�6a2b4q � p9a2b4q � 4. p14zq � p2

4zq �

5. p12d3q � p�3d3 � 5d3q � 6. �p�12j2q � p3j2 � 5j2q �

7. �4x� p�6x� 2xq 8. �6yz3 � p5yz3 � 9yz3q

9. �p�4p3q�p5q4q�p7p3q�p�9q4q � 10. p2m4q�p�6n2q�p�5m4q�p8n2q �

11. p6c2q � p4d9q � p�3c2q � p�8d9q � 12. �p�1

3fq�p3

6gq�p 7

10fq�p�4

6gq �

Actividad 11 (Signos de agrupación).



2.4. Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se requiere reducir los términos semejantes de los polinomiosque se estén sumando.

�� Ejemplo 2.4. Sumar P pxq � 4x2 � 8� 6x y Qpxq � �5� 3x� 6x2

Paso 1: Ordenamos los polinomios respecto a una misma letra y en forma descendente, esdecir, que los exponentes de una misma letra vayan disminuyendo uno a uno.

P pxq � 4x2 � 6x� 8

Qpxq � 6x2 � 3x� 5

Paso 2: Sumamos los polinomios.

P pxq �Qpxq � p4x2 � 6x� 8q � p6x2 � 3x� 5q

Opción 1:Suprimimos paréntesis aplicando la ley de los signos.

P pxq �Qpxq � 4x2 � 6x� 8� 6x2 � 3x� 5

Juntamos los términos semejantes y los reducimos.

P pxq �Qpxq � 4x2 � 6x2 � 6x� 3x� 8� 5

� 10x2 � 3x� 13

Opción 2:También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que lostérminos semejantes queden en columnas y se puedan reducir.

4x2 � 6x� 8

6x2 � 3x� 5

10x2 � 3x� 13

�� Ejemplo 2.5. Sumar P pxq � �12a3b� 5ab� 4a2b y Qpxq � 6a2b� 4a3b� 8ab

Paso 1: Ordenamos los polinomios respecto a una misma letra y en forma descendente.

P pxq � �12a3b� 4a2b� 5ab



Qpxq � 4a3b� 6a2b� 8ab

Paso 2: sumamos los polinomios.

P pxq �Qpxq � p�12a3b� 4a2b� 5abq � p4a3b� 6a2b� 8abq

Opción 1:Suprimimos paréntesis aplicando la ley de los signos.

P pxq �Qpxq � �12a3b� 4a2b� 5ab� 4a3b� 6a2b� 8ab


P pxq �Qpxq � �12a3b� 4a3b� 4a2b� 6a2b� 5ab� 8ab

� �8a3b� 10a2b� 13ab

Opción 2: También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de formaque los términos semejantes queden en columnas y se puedan reducir.

� 12a3b� 4a2b� 5ab

4a3b� 6a2b� 8ab

� 8a3b� 10a2b� 13ab




Realiza las siguientes sumas de polinomios P(x)+Q(x):

1. P pxq � 8k2 � 5k � 3 2. P pxq � �3h3 � 7h2 � 2h

Qpxq � �2k2 � 4k � 2 Qpxq � �4h3 � 8h2 � 3h

3. P pxq � �7m4n3 � 9m3n5 � 2m2n7 4. P pxq � 6p2 � 5p� 10

Qpxq � �4m4n3 � 5m3n5 � 7m2n7 Qpxq � �9p2 � 4p� 8

5. pa2b� 3a2b� 8q � p5a2b� 6a2b� 2q 6. p8z7�2z5�z3q�p�8z7�9z5�8z3q

7. p3x2 � 4x� 5q � p�6x2 � 7x� 9q 8. p�7y2 � 2y � 1q � p9y2 � 2yx� 2q

9. p�2

3t2 � 1

4t� 2q � p5

7t2 � 2

4t� 7q 10. p5

8w2�2

6w�2

7q�p�5

7w2�1

3w�2

3q

Actividad 12 (Suma de polinomios).



2.5. Resta de polinomios

Para restar dos polinomios se deben de cambiar todos los signos del polinomio que se resta,ya que estaremos aplicando la ley de los signos y después se procede a reducir términossemejantes de los dos polinomios. Ejemplo:

�� Ejemplo 2.6. Restar P pxq � �9� 3y3 � 2y2 y Qpxq � 5� 6y2 � 6y3

Paso 1: Ordenamos los polinomios respecto a una misma letra y en forma descendente.

P pxq � 3y3 � 2y2 � 9

Qpxq � 6y3 � 6y2 � 5

Paso 2: Restamos los polinomios.

P pxq �Qpxq � p3y3 � 2y2 � 9q � p6y3 � 6y2 � 5q

Opción 1:Suprimimos paréntesis aplicando la ley de los signos, esto hará que cambien todos lossignos del polinomio que se esta restando.

P pxq �Qpxq � 3y3 � 2y2 � 9� 6y3 � 6y2 � 5


P pxq �Qpxq � 3y3 � 6y3 � 2y2 � 6y2 � 9� 5

� �3y3 � 4y2 � 14

Opción 2:También podemos restar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que lostérminos semejantes queden en columnas y se puedan reducir. Recuerda que se deben decambiar todos los signos del polinomio que se esta restando.

3y3 � 2y2 � 9

� 6y3 � 6y2 � 5

� 3y3 � 4y2 � 14




Realiza las siguientes restas de polinomios P(x)-Q(x):

1. P pxq � 8k2 � 5k � 3 2. P pxq � �3h3 � 7h2 � 2h

Qpxq � �2k2 � 4k � 2 Qpxq � �4h3 � 8h2 � 3h

3. P pxq � �7m4n3 � 9m3n5 � 2m2n7 4. P pxq � 6p2 � 5p� 10

Qpxq � �4m4n3 � 5m3n5 � 7m2n7 Qpxq � �9p2 � 4p� 8

5. pa2b� 3a2b� 8q � p5a2b� 6a2b� 2q 6. p8z7�2z5�z3q�p�8z7�9z5�8z3q

7. p3x2 � 4x� 5q � p�6x2 � 7x� 9q 8. p�7y2 � 2y � 1q � p9y2 � 2yx� 2q

9. p�2

3t2 � 1

4t� 2q � p5

7t2 � 2

4t� 7q 10. p5

8w2�2

6w�2

7q�p�5

7w2�1

3w�2

3q

Actividad 13 (Resta de polinomios).



2.6. Multiplicación de monomios

Para multiplicar dos monomios debemos conocer la ley de los signos y la ley de los expo-nentes para la multiplicación:

Ley de los signos

p�qp�q � � mas por mas = masp�qp�q � � mas por menos = menosp�qp�q � � menos por menos = masp�qp�q � � menos por mas = menos

Ley de los exponentes para la multiplicación

xmxn � xm�n

Al multiplicar dos literales si estas son iguales sesuman sus exponentes y si son diferentes se quedaexpresada la multiplicación.Ejemplos:a) x2x3 � x2�3 � x5

b)pa5b6qpa4b2q � a5�4b6�2 � a9b8

c) m8n4 � m8n4

El procedimiento para la multiplicación de monomios consta de los siguientes pasos:

1. Aplicar la ley de los signos.2. Multiplicar los coe�cientes numéricos.3. Multiplicar las literales aplicando la ley de los exponentes.

�� Ejemplo 2.7. Multiplica los siguientes monomios:

a) p4a2qp�2a5q �Al aplicar la ley de los signos tenemos que p�qp�q � �, por lo que el resultado tendrásigno �, seguido por la multiplicación de sus coe�cientes 4 � 2 � 8 y por ultimo semultiplican las literales aplicando la ley de los exponentes: a2a5 � a2�5 � a7.

p4a2qp�2a5q � �8a7

b) �9f7g2p2f5q �Al aplicar la ley de los signos tenemos que p�qp�q � �, por lo que el resultado tendrásigno �, seguido por la multiplicación de sus coe�cientes 9 � 2 � 18 y por ultimo semultiplican las literales: f 7g2f 5 � f 7�5g2 � f 12g2.

�9f 7g2p2f 5q � �18f 12g2

c)p�5m4n3qp�3m2nq �Al aplicar la ley de los signos tenemos que p�qp�q � �, por lo que el resultado tendrá



signo �, seguido por la multiplicación de sus coe�cientes 5 � 3 � 15 y por ultimo semultiplican las literales: m4n3m2n � m4�2n3�1 � m6n4.

p�5m4n3qp�3m2nq � 15m6n4

d)p34x2qp2

5x4q �

Al aplicar la ley de los signos tenemos que p�qp�q � �, por lo que el resultado tendrásigno �, seguido por la multiplicación de sus coe�cientes:

3

4� 2

5� Se multiplica numerador por numerador y denominador por deno-

minador .

� 6

20Se simpli�ca la fracción.

� 3

10

y por ultimo se multiplican las literales: x2x4 � x2�4 � x6.

p34x2qp2

5x4q � 3

10x6




Realiza las siguientes multiplicaciones de monomios:

1. 5a2p3a8q �2. p4

5k4qp1

3k6q �

3. p�2

5d6qp�2

4d4q �

4. �12x7p�6z5q �

5. p2x2y7qp8x3y8q �6. p3

6z6qp2

6z7q �

7. 8y12p12y7q �

8. p7mqp3m5qp5m2q �

9. p15t4qp4t8qp�8t5q �10.

�45d7p�3

4d2q �

11. p�9p4qp12q2qp�6p5q � 12. p9f 3qp�12g5qp�8g7qp6f 4q �

Actividad 14 (Multiplicación de monomios).

2.7. Multiplicación de monomio por polinomio

Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por cada terminodel polinomio, siguiendo las mismas reglas de la multiplicación de monomios.

�� Ejemplo 2.8. Multiplica los siguientes monomios por polinomios:



a) 6d4p5d3 � 3d2 � d � 9q �Al multiplicar el monomio por cada termino del polinomio tenemos:

6d4p5d3 � 3d2 � d� 9q � 6d4p5d3q � 6d4p�3d2q � 6d4p�dq � 6d4p�9q� 30d7 � 18d6 � 6d5 � 54d4

b) �2j3k5p4j5 � 7j4k2 � 3k6 � 1q �

�2j3k5p4j5 � 7j4k2 � 3k6 � 1q � �2j3k5p4j5q � 2j3k5p�7j4k2q � 2j3k5p3k6q � 2j3k5p1q� �8j8k5 � 14j7k7 � 6j3k11 � 2j3k5

c)3

10y6p�3

5y4 � 6

7y2 � 5

8q �

3

10y6p�3

5y4 � 6

7y2 � 5

8q � 3

10y6p�3

5y4q � 3

10y6p6

7y2q � 3

10y6p�5

8q �

� � 9

50y10 � 18

70y8 � 15

80y6

simpli�cando fracciones � � 9

50y10 � 9

35y8 � 3

16y6




Realiza las siguientes multiplicaciones de monomios por polinomios:

1. �3c2p4c8 � 5c3q �2.

2

3p2q3p�3

5p6q4 � 1

8p4q8q �

3. �6

7g4p�1

4g6 � 2

3g4 � 3

5g2q �

4. �5m7p�8m5 � 2n2 � 9q �

5. p6t7yqp24t3y2 � 0.5t3yq � 6. p2

6z3qp1

3z4 � 3

10z2 � 3

8zq �

7. �3.5w3p4.3w4 � 5.2w � 6.7q � 8. p2a2b4c3qp�4a6b2c8�5a3b8c3�1q �

9. p15k4qp3k8 � 8k5q �10.

1

2e3p10e12 � 24e8 � 40e7q �

11. p�6p5qp12q2 � 6p5q � 12. 3h5p�12g5 � 8h7 � 6i4q �

Actividad 15 (Multiplicación de monomio por polinomio).

2.8. Multiplicación de polinomios

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada termino del primer polinomio porcada termino del segundo polinomio, después, si hay términos semejantes, se reducen yse ordena el resultado.

�� Ejemplo 2.9. Multiplica los siguientes polinomios:



a) p�10m3 � 2qp8m6 � 3q �Al multiplicar cada termino del primer polinomio por cada termino del segundo polinomiotenemos:

p�10m3 � 2qp8m3 � 3q � �80m6 � 30m3 � 16m3 � 6

reduciendo términos semejantes � �80m6 � 46m3 � 6

b) p6x2 � 5qp3x3 � 7x2 � x � 10q �

p6x2 � 5qp3x3 � 7x2 � x� 10q � 6x2p3x3 � 7x2 � x� 10q � 5p3x3 � 7x2 � x� 10q� 18x5 � 42x4 � 6x3 � 60x2 � 15x3 � 35x2 � 5x� 50

reduciendo términos semejantes � 18x5 � 42x4 � 21x3 � 95x2 � 5x� 50

c) p�4a5b3 � 5c3qp�3a2b5 � 6c4q �

p�4a5b3 � 5c3qp�3a2b5 � 6c4q � �4a5b3p�3a2b5 � 6c4q � 5c3p�3a2b5 � 6c4q� 12a7b8 � 24a5b3c4 � 15a2b5c3 � 30c7




Realiza las siguientes multiplicaciones de monomios por polinomios:

1. p7c� 9bqp3c� 2bq � 2. p�10k3 � 2qp�4k3 � 3q �

3. p4n3 � 7qp4n3 � 7q �4. p4

5z3 � 2

7z2qp3

8z2 � 1

2z3q �

5. p4g2 � 9h5qp6g4 � 2h5q � 6. p�15m2n4 � 3qp�12m5n3 � 5q �

7.p45x3 � 1

8y4qp2

3x3 � 2

7y4q �

8. p5a2 � 9b5qp3a3 � 2b4q �

9. p5d3e4 � 6qp�8d5e2 � 9q � 10. p4p6q5 � 3r2qp�8p4q3 � 7r6q �

11. p�3x4y5� 3qp2x2y� 4xy3� 10q �12. p3

6v5w3 � 6

10xqp8

9v3w2 � 3

7xq �

Actividad 16 (Multiplicación de polinomios).



2.9. División de monomios

Para dividir dos monomios debemos conocer la ley de los signos y la ley de los exponentespara la división:

Ley de los signos para la división

�� mas entre mas = mas�� mas entre menos = menos�� menos entre menos = mas�� menos entre mas = menos

Ley de los exponentes para la división

xm

xn� xm�n

Al dividir una literal entre otra literal si estas son iguales sus exponentes serestan y si son diferentes se queda expresada la división.Ejemplos:

cuando m>n

a)b6

b2� b6�2 � b4

b)d5e3

d2e� d5�2e3�1 � d3e2

c)m5

n4� m5

n4

cuando m=n

Cuando dividimos literales iguales con potencias iguales, tendremos comoresultado una literal con potencia cero, lo que equivale a la unidad.

d)p4

p4� p4�4 � p0 � 1

cuando m<n

Cuando la potencia de la literal del dividendo sea menor que la potencia dela literal del divisor, tendremos como resultado una literal con potencianegativa, esto se puede escribir como el reciproco de la literal elevada a lapotencia positiva.

e)t2

t7� t2�7 � t�5 � 1

t5

El procedimiento para la división de monomios consta de los siguientes pasos:



1. Aplicar la ley de los signos.2. Dividir los coe�cientes numéricos.3. Dividir las literales aplicando la ley de los exponentes.

�� Ejemplo 2.10. Divide los siguientes monomios:

a)12b6

�4b3 �Al aplicar la ley de los signos tenemos que � � � � �, por lo que el resultado tendrásigno �, seguido por la división de sus coe�cientes 12� 4 � 3 y por ultimo se dividen las

literales aplicando la ley de los exponentes:b6

b3� b6�3 � b3.

12b6

�4b3 � �3b3

b) p�20g5h6q � p�5g9h3q �Al aplicar la ley de los signos tenemos que � � � � �, por lo que el resultado tendrásigno �, seguido por la división de sus coe�cientes 20� 5 � 4 y por ultimo se dividen las

literales:g5h6

g9h3� g5�9h6�3 � g�4h3 � h3

g4.

p�20g5h6q � p�5g9h3q � �20g5h6

�5g9h3� 4g�4h3 � 4h3

g4

c)4j2k9

8j2k6�

Al aplicar la ley de los signos tenemos que � � � � �, por lo que el resultado tendrá

signo �, seguido por la división de sus coe�cientes4

8� 1

2� 0.5 y por ultimo se dividen

las literales:j2k9

j2k6� j2�2k9�6 � j0k3 � 1k3 � k3.

4j2k9

8j2k6� 1

2k3 � 0.5k3

d)p�2

3x12y18q � p6

8x9y13q �

Al aplicar la ley de los signos tenemos que p�qp�q � �, por lo que el resultado tendrásigno �, seguido por la división de sus coe�cientes:

2

3� 6

8� Se multiplica el numerador de la primer fracción por el denominador

de la segunda fracción y el denominador de la primer fracción porel numerador de la segunda fracción.

� 16

18Se simpli�ca la fracción.

� 8

9



y por ultimo se dividen las literales:x12y18

x9y13� x12�9y18�13 � x7y5.

p�2

3x12y18q � p6

8x9y13q � �8

9x7y5




Realiza las siguientes divisiones de monomios:

1.14c7

�7c4 � 2.�25f 4

�5f 8�

3. p�7

8j5k9q � p 3

10jk2q � 4. p18m36n45q � p3m36n26q �

5.28p14q5r4

�4p8q2r4 6. p�5

6t6q � p1

7t7q �

7.6v6w2

18v2w�

8.�2

3x9y7z4

�5

4x2y5z3

�

9.2f 5g3

6f 2g7�

10. p�50u6v3q � p�20u4v7q �

11.

5

10h26

�3

4h15

�12. p�16a4b5q � p8a6q �

Actividad 17 (División de monomios).



2.10. División de polinomio entre monomio

Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada termino del polinomio entreel monomio, siguiendo las mismas reglas de la división de monomios.

�� Ejemplo 2.11. Divide los siguientes polinomios entre monomio:

a)20a6 � 10a4

�5a3�

Al dividir cada termino del polinomio entre el monomio tenemos:

20a6 � 10a4

�5a3 � 20a6

�5a3 �10a4

�5a3� �4a3 � 2a

b) p�15j6k5 � 21j4k9 � 9j2k4q � p3j2k2q �

p�15j6k5 � 21j4k9 � 9j2k4q � p3j2k2q � � �15j6k5 � 21j4k9 � 9j2k4

3j2k2

� �15j6k5

3j2k2� 21j4k9

3j2k2� 9j2k4

3j2k2

� �5j4k3 � 7j2k7 � 3j0k2

� �5j4k3 � 7j2k7 � 3k2

c)�49m5n4 � 28m3n6 � 35m2n3

�7mn4�

�49m5n4 � 28m3n6 � 35m2n3

�7mn4� �49m5n4

�7mn4� 28m3n6

�7mn4� 35m2n3

�7mn4

� 7m4n0 � 4m2n2 � 5mn�1

� 7m4 � 4m2n2 � 5m

n




Realiza las siguientes divisiones de polinomio entre monomio:

1.35a6 � 15a4

�5a2 � 2. p�15b7c5 � 24b5c4q � p3b3c2q �

3.�12c8d9 � 8c6d12 � 4c5d3

2c4d3� 4.

6f 12g4 � 20f 8g7 � f 6g9

4f 5g4�

5. p27j9 � 4

5j5q � p�1

3j3q � 6.

�8m5n4 � 4m4n6 � 10m2n2

4m2n2�

7.�24p8q9 � 48p6q13 � 12p5q7

�12p4q6 �8.

2

3r7 � 1

4r5

3

7r3

�

9. p10t6v5 � 8t5v9q � p4t2vq � 10. p15w5 � 9w3 � 24wq � p3w7q �

11.�6

8x6y8 � 1

4x4y7 � 3

5x2y9

�3

5x2y4

�12.

45y8z12 � 27y5z9 � 63y4z

9z6�

Actividad 18 (División de polinomio entre monomio).



2.11. División de polinomio entre polinomio

La división de polinomio entre polinomio se realiza de manera similar a la división denúmeros naturales.

�� Ejemplo 2.12. Divide los siguientes polinomios:

a) px3 � x2 � 1q � px � 1q �Para realizar la división de un polinomio entre un polinomio se debe de realizar los si-guientes pasos:

Paso 1: Ordenamos los polinomios respecto a una misma letra y en forma descendente,es decir, que los exponentes de una misma letra vayan disminuyendo uno a uno. Si faltaalgún término se deja el espacio que debería ocupar.

x� 1�

x3 � x2 � 1

Paso 2: Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisorx3

x� x2, lo que nos dará uno de los términos del cociente.

x2

x� 1�

x3 � x2 � 1

Paso 3: Se multiplica el término del cociente obtenido en el paso 2 por el divisor px2qpx�1q � x3 � x2, el producto obtenido se resta del dividendo, para restarlo se deben decambiar los signos � �x3 � x2 y se obtiene un nuevo dividendo.

x2

x� 1�

x3 � x2 � 1� x3 � x2

2x2

Paso 4: Se repiten los pasos 2 y 3 hasta que el dividendo sea cero o hasta que en eldividendo se tenga una literal con potencia menor a la literal del divisor.

Paso 2:

x2 � 2x

x� 1�

x3 � x2 � 1� x3 � x2

2x2

Paso 3:



x2 � 2x

x� 1�

x3 � x2 � 1� x3 � x2

2x2

� 2x2 � 2x

2x� 1

Paso 2:

x2 � 2x� 2

x� 1�

x3 � x2 � 1� x3 � x2

2x2

� 2x2 � 2x

2x� 1

Paso 3:

x2 � 2x� 2

x� 1�

x3 � x2 � 1� x3 � x2

2x2

� 2x2 � 2x

2x� 1� 2x� 2

1

Por tanto, el resultado es:

px3 � x2 � 1q � px� 1q � x2 � 2x� 2� 1

x� 1

o dicho de otra manera: el cociente es x2 � 2x� 2 y el residuo 1

Paso 5: Se comprueba que el resultado sea correcto, con base en la siguiente relación:Dividendo=(Cociente)(Divisor)+Residuo

x3 � x2 � 1 � px2 � 2x� 2qpx� 1q � 1

x3 � x2 � 1 � x3 � x2 � 2x2 � 2x2 � 2x� 2� 1

x3 � x2 � 1 � x3 � x2 � 1

b) px2 � 8x � 15q � px � 5q �x � 3

x� 5�

x2 � 8x� 15� x2 � 5x

3x� 15� 3x� 15

0



El cociente es x� 3 y el residuo es 0

c) p6x2 � 3x � 12q � p2x � 7q �3x� 12

2x� 7�

6x2 � 3x� 12� 6x2 � 21x

24x� 12� 24x� 84

96

El cociente es 3x� 12 y el residuo es 96




Realiza las siguientes divisiones de polinomio entre monomio:1.

2x� 3�

4x2 � 6x � 3

2.

x� 2�

x3 � 2x2 � 8

3.

4x� 4�

20x2 � 28x� 3

4.

6x� 1�

12x2 � 20x� 3

5.

x� 5�� 8x3 � 46x2 � 32x � 4

6.

x� 10�

x2 � 12x � 9

7.

5x2 � 6�

20x4 � 9x2 � 18

8.

2x� 3�

16x3 � 24x2 � 4x� 6

Actividad 19 (División de polinomio entre polinomio).


CAPÍTULO 3

Operaciones fundamentales 2

3.1. Productos notables

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45


3.2. Factorización

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CAPÍTULO 4

Ecuaciones lineales

4.1. Ecuaciones lineales con una incógnita

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47

CAPÍTULO 4. ECUACIONES LINEALES

4.2. Ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas

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CAPÍTULO 5

Ecuaciones cuadraticas

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49

Álgebra · capÍtulo 1 lenguaje algebraico 1.1. Álgebra de acuerdo a la real academia española...

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