Universidad de Chile Profesor Leandro Voisin

Facultad de Ciencias Fsicas y Matemticas

Departamento de Ingeniera de Minas Auxiliar Exequiel Marambio

MI3010 - Fenmenos de Transporte en Metalurgia Extractiva Ayudantes Viviana Pavez

Semestre - Otoo 2011 Kasandra Pavez

Auxiliar n1

Viscosidad y Ley de NewtonViernes 18 de Marzo de 2011

Repaso

Viscosidad:Es el grado de oposicin de un uido a ponerse en movimiento o uir. Si el uido es Newtoniano,responde a la siguiente Ley conocida, como ley de Newton o Newton-Navier:

yx = vxy

En donde, es conocido como coeciente de viscosidad cinemtica, vx es la velocidad del uidoen la direccin x y yx es el esfuerzo de corte en el plano yx.

El porqu de esta relacin, proviene del estudio de esfuerzos de corte 0 en uidos y su relacincon la "deformacin angular" percibida por un volumen de control, estudio conocido a grandesrasgos como geologa. En slidos, esta denicin tiene sentido, pero en uidos pierde sentido, yaque stos se deforman continuamente ante esfuerzos de corte. Por lo tanto, es ms til estudiar larelacin entre esfuerzo de corte y la tasa de deformacin angular de un volumen de control en eltiempo, denida como:

=d

dt

Dependiendo de la forma de esta relacin, podemos clasicar los uidos en Newtonianos y noNewtonianos (plsticos, pseudo-plsticos y dilatantes).

Fluidos NewtonianosEl esfuerzo de corte es directamente proporcional a la tasa de deformacin, luego:

=

Al considerar un volumen de uido con velocidad relativa entre las caras superior n e inferiors (ver gura). El movimiento relativo entre dichas caras es lo que da lugar a la deformacinangular. Si llamamos u = us a la velocidad en s, entonces podemos expresar la velocidad enn, un a partir de una expansin de Taylor con respecto a aquella en la cara s, considerandoslo el trmino de primer orden, dado que dy es pequeo, tal que:

un = us +du

dy

s

dy + ...

Ahora, si consideramos un volumen de control en t = 0 con = 0, podemos calcular paraun tiempo t, pequeo, como:

tan = unt ustdy

=du

dy

s

t

1

entonces, si t 0, se obtiene que:

=du

dy

= dudy

Figura 1: Esquema de deformacin angular de volumen de control.

Ahora, si consideramos en esta ltima relacin que y adems, sabiendo que por un temade balance de esfuerzos internos, es constante e igual al esfuerzo de corte ejercido en lasupercie 0, entonces se obtiene:

u(y) =0y + C0

Donde, C0 es una constante de integracin, denido por la condicin de borde del problema.Por ejemplo, si es el caso de placas planas paralelas, entonces, u = 0 en y = 0 y, por lo tanto,C0 = 0. Luego, la velocidad de desplazamiento de la placa supercial queda:

U =0

Generalmente, este valor de depende de otros factores como son la temperatura, la presino la concentracin, entre otros presentes en el uido analizado. Se mide en unidades llamadasCentipoise (cp), en donde:

1[cp] = 102 [poise] = 102 [gr/(cm s)] = 103 [Pa s]

La viscosidad del Agua a 20[C] es de 1[cp]. Hay que tener en cuenta que esta caracterstica,aumenta en gases con la temperatura y, disminuye en lquidos al aumentar sta.

Figura 2: Diagrama reolgico para uidos Newtonianos.

2

Tambin, muchas veces se considera, la denominada Viscosidad Cinemtica :

=

En donde, es la viscosidad normal y, la densidad del uido.

Fluidos No-Newtonianos: plsticos, pseudo-plsticos y dilatantesTanto los uidos plsticos como pseudo-plsticos se caracterizan por el hecho que paraesfuerzos de corte inferiores a un cierto lmite, la tasa de deformacin es muy pequea (enel caso de los pseudo-plsticos) o simplemente nula (en el caso de los plsticos). Este valorlmite o crtico del esfuerzo de corte se denomina esfuerzo de uencia, c, tal que para o < c,el uido se comporta como un slido mientras que para 0 > c el uido se comporta comotal, con una tasa de deformacin angular que aumenta con el valor de 0. El denominadouido plstico-ideal o plstico de Bingham tiene un esfuerzo de uencia c tal que paraesfuerzos de corte bajo el cual no existe deformacin y para esfuerzos de corte sobre aquel eluido se comporta linealmente, es decir como un uido Newtoniano. La reologa de un uidoplstico de Bingham lo podemos representar, por lo tanto, como:

= c + = c + du

dy

Para los uidos pseudo-plsticos o plsticos reales, la tasa de deformacin aumenta amedida que aumentamos el esfuerzo de corte, y son posibles de modelar como:

= ()n =

(du

dy

)nDonde, n < 1 y son constantes caractersticas del uido. Esto se puede interpretar comoque estos uidos se vuelven menos viscosos a medida que aumenta el esfuerzo de corte.Los uidos dilatantes, por otro lado, se vuelven ms viscosos y, por lo tanto, tienden adeformarse ms lentamente a medida que aumenta el esfuerzo de corte. Al igual que para unuido pseudo-plstico, la relacin entre esfuerzo de corte y tasa de deformacin angular paraun uido dilatante se puede modelar como:

= ()n =

(du

dy

)ndonde n y son tambin constantes caractersticas del uido, pero en este caso n > 1.

Figura 3: Diagrama reolgico para uidos No-Newtonianos.

3

Finalmente, si resolvemos el problema de las placas planas paralelas para cada uno de estosuidos, se obtiene que para un plstico de Bingham no existe movimiento del uido si < c. Por el contrario, si > c entonces el uido entre placas se comporta como un uidoNewtoniano, aunque la velocidad de la placa supercial U es ahora igual a:

U = c

Para uidos pseudo-plsticos o dilatantes, se cumple que el perl de velocidades u(y) eslineal, al igual que para el caso de uido Newtoniano y plstico de Bingham, donde:

u(y) =(

)1/ny

Ahora, la importancia radica en encontrar el valor de :

Mtodo TericoConsiste en despajar directamente la Ley de Newton de viscosidad, suponiendo una serie decaractersticas para el uido en tratamiento. Se puede complicar el tratamiento de este mtodosi el problema en cuestin es mayor a una dimensin (mas adelante veremos cmo abordarestos problemas).

Mtodo GracoUsualmente empleado en uidos que no responden a la Ley de Newton. Consiste en obtener losvalores de Tr, Pr y r, es decir, de la temperatura, presin y viscosidad reducida directamentedesde gracos empricos, en donde se contrastan estos valores con los de Tc, Pc y c, osea, dela temperatura, presin y viscosidad critica, tambin obtenidos empricamente. Luego, solo seaplica la siguiente relacin:

= r c Mtodos EmpricosSon los ms usados para cualquier tipo de uidos, ya sean puros o una mezcla de ellos.Responden a ecuaciones como las mostradas a continuacin:

Para gases no polares a bajas presiones, ecuacin de Chapman & Enskog

i = 2,6693 105Mi T

2i iDnde :

- i[grcms ]: Coeciente de viscosidad de la sustancia i.

- Mi[grmol ]: Peso molecular de la sustancia i.

- T [oK]: Temperatura.

- i[A]: Parmetro de Lennard-Jones para la sustancia i.

- i : Integral de colisin, para la viscosidad de la sustancia i. Se obtiene de la relacinT/(/)i para cada sustancia.

Para gases a baja densidad:

c = 61,6

Mi TcV

2/3c

Dnde :

- Vc[cm3

gmol ]: Volumen crtico de la sustancia i.

- Tc[K]: Temperatura critica de la sustancia i.

Para lquidos moleculares (No es vlido para metales fundidos):

= A exp

(G

vis

RT

); A =

N0h

V; G

= 0,41Evap

4

Para una mezcla de gases, ecuacin de Wilke

mezcla =

ni=1

xi inj=1 xj ij

ij =18

(1 +

MiMj

) 12 [1 +

(ij

) 12(MjMi

) 14

]2Donde :

- mezcla[grcms ]: Viscosidad de la mezcla de gases.

- xi,j : Fracciones molares de las sustancias.

- ij : Adimensional, funcin de las sustancias presentes en la mezcla.

- Mi,j [grmol ]: Pesos moleculares de las sustancias.

- i,j [grcms ]: Coecientes de viscosidad de las sustancias.

Para metales fundidos y aleaciones (Chapman):

(V )2 = f(T ) ; =2N0MRT

; T =BT

; V =

1

n3

Donde :

- , T y V : Viscosidad, temperatura y volumen reducidos.

- [A]: Distancia interatmica en el paquete cristalino a 0[K].

- : Parmetro energtico caracterstico especco del metal.

- N0: Nmero de Avogadro.

- R: Constante de los gases ideales.

- T [K]: Temperatura.

- B : Constante de Boltsmann.

- n: Numero de tomos por unidad de volumen.

Se tiene la siguiente relacin que permite estimar la viscosidad, para metales con altospuntos de fusin:

B= 5,20 Tm

5

Universidad de Chile Profesor Leandro Voisin

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Auxiliar n1

Viscosidad y Ley de NewtonViernes 18 de Marzo de 2011

Problema No1Calcular la viscosidad del dixido de azufre SO2, gas resultante del tratamiento pirometalrgico decalcosina Cu2S. Si se sabe que el gas sale del horno a 80[

C] con una presin de 700[atm]. Por otrolado, se conoce que su presin, temperatura y viscosidad crticas son Pc = 77,8[atm], Tc = 430,7[

K] yc = 411 106[gr/(cm s)].

Problema No2Para probar el buen funcionamiento de una caera de dimetro 1[m], con una inclinacin de 30 sobrela horizontal en una planta de relave, es que se hace deslizar un cilindro compacto de largo 1[m], 0,98[m]de dimetro, con 5[kg/m3] de densidad y, un coeciente de friccin constante, calculado en 0,4 . Porrequerimientos de la empresa, se necesita que el cilindro avance a una velocidad constante que no seamenor a los 200[m/s], y adems, que se mantenga estable sin rotar sobre su propio eje. Para este n, selubricara el interior de la caera con algn uido que rellene el espacio restante entre ambos. Su labor,como experto en viscosidad, es determinar la viscosidad necesaria del uido a utilizar para cumplir losrequerimientos de la empresa.

Figura 4: Sistema a estudiar y vista transversal cilindros concntricos.

Problema No3A Usted, como cientco de un prestigioso laboratorio, le encargan calcular la viscosidad para el airea 100[C]. Para ello, su equipo de trabajo le ha informado que, segn su ltima investigacin, steactualmente est compuesto por 78 % de N2, 21 % de O2 y 1 % de Ar.

6

Problema No4 - Parte (a) y (b), Problema N1 Control 1, Primavera 2010

(a) Determinar la Cu40 %Zn en [cP ] de una aleacin Cu 40 %Zn a partir de las viscosidadesparciales de sus metales fundidos a una T de 1100[C].

(b) Se sabe que para la aleacin descrita en (a) 1000[C] = 5[cP ] mientras que 950[C] = 6[cP ].Determine de forma directa 1100[C]. Compare y discuta con aquel obtenido en (a).

Datos:

Cu : Tm = 1084[C] ; = 8[gr/cc] ; M = 63,5[gr/mol] ; = 0,256[nm].

Zn : Tm = 420[C] ; = 6,6[gr/cc] ; M = 65,4[gr/mol] ; = 0,274[nm].

R = 8,3144[J/(mol K)]

N0 = 6,023 1023[1/mol]

B= 5,2 Tm ; [K]

= A e(GRT ) ; =

2N0MRT

; T =B

; V =1

n3

7

Problema No5 (Propuesto)En una conocida minera ubicada en la regin de Antofagasta, se tiene un estanque muy grande conuidos derivados de tratamientos metalrgicos de distinta reologa, dispuestos en capas, tal como semuestra en la gura. Suponga que el estanque posee n diferentes capas de uidos con espesores yviscosidades dinmicas hi y i respectivamente, con i {1, 2, ..., n}. Adems, suponga que la reologadel sistema pertenece a un uido plstico. La instalacin experimental busca analizar el efecto del vientoen la columna vertical de uidos; para esto, se coloca un tnel de viento sobre el estanque.

El esfuerzo de corte que ejerce el viento sobre la supercie libre es proporcional al producto entre ladensidad del aire y la velocidad del viento al cuadrado, con un coeciente de proporcionalidad Cd:

s = CdaV2w

donde s denota el esfuerzo de corte sobre la supercie del agua, Cd es una constante de proporcionalidad(coeciente de arrastre), a es la densidad del aire, y Vw es la velocidad del viento sobre la supercie.

Se pide:

(a) Plantear una ecuacin para la distribucin de velocidad de la capa i-sima en el estanque. Indicarla condicin que debe cumplirse en la interfaz entre capaz.

(b) Obtener el perl de velocidades para la capa 1.

(c) Suponiendo que el estanque posee una estraticacin compuesta por dos capas, obtener el perlde velocidades de la columna compuesta, suponiendo un uido newtoniano en la capa supercialy un uido plstico en la capa inferior.

(d) Para el caso anterior, calcular la velocidad del uido de la primera capa.

Indicaciones:

El esfuerzo de corte del viento s es constante sobre la supercie de uido.

No hay velocidad en el fondo del estanque.

Los uidos son inmiscibles (no se mezclan).

La reologa de un uido plstico corresponde a la siguiente ecuacin, con m = 1. En un uidoNewtoniano, m = 1 y 0i = 0.

i = iim1l + 0i

8

9

Solucin Problema No1Primero calculamos los factores Tr y Pr, entonces:

Tr =T

Tc=

353,15[K]

430,7[K] 0,82

Pr =P

Pc=

700[atm]

77,8[atm] 9

Luego, evaluamos estos valores en el graco r v/s Tr, para distintos valores de Pr y obtenemos:

r 7

= r c = 7 411 106[gr/(cm s)] = 2877 106[gr/(cm s)]

Solucin Problema No2Primero hacemos un D.C.L. del sistema, obteniendo:

En donde:~Wz = V g sin(30

)

~Wr = V g cos(30)

Son las componentes del peso del cilindro, ~fr es la fuerza de friccin, ~n es la normal, ~F es la fuerzade corte efectiva que siente el cilindro sobre el uido y, V es el volumen del cilindro. Luego, como elsistema no est acelerado, entonces:

10

i

~Fzi = ~F + ~Wz ~fr = 0

~F = ~fr ~Wz = ~fr V g sin(30) = ~fr r2lg sin(30) (1)

y, i

~Fri = ~n ~Wr = 0

~n = ~Wr = V g cos(30) = r2lg cos(30) (2)

Donde, r es el radio del cilindro y l el largo de ste.

Ahora, notando que el cilindro no gira en su propio eje, entonces, solo se tiene movimiento de uido enel plano rz, y no en otros planos, donde la velocidad es constante. Pero, hay que tener en cuenta queno es el uido el que se mueve por s solo, sino que se mueve a causa del desplazamiento del cilindrointerno (diferencia que quedara ms clara con el paso de las clases). Por lo anterior, podemos tratareste problema al igual que el de placas paralelas visto en clases, entonces tenemos:

Figura 5: Vista transversal y longitudinal del lm de uido.

Ahora, recordando que:~fr = ~n

Entonces, reemplazando (2) en la anterior, y sta en (1), obtenemos:

~F = r2lg cos(30) r2lg sin(30) (3)

Ahora que ya tenemos la fuerza de corte, recurrimos a la ecuacin de viscosidad de Newton:

rz =~F

A= vz

r vz

r(4)

Donde, rz es el esfuerzo de corte percibido por el cilindro y, A es el rea de contacto del cilindro conel uido.

Ahora, reemplazando (3) en (4), y aplicando los requerimientos de la empresa, obtenemos:

r2lg cos(30) r2lg sin(30)2rl

= vzr

r(r2lg cos(30) + r2lg sin(30))

2rl= vz 200[m/s]

11

Entonces, reemplazando los valores numricamente y despejando de la desigualdad, obtenemos:

0,01[m] 5[kg/m3] 0,49[m] 9,8[m/s2] (0,4 cos(30) + sin(30))2 200[m/s]

0,000092[Pa s] = 0,092[cp]

Luego, un uido como el aire a 1[atm] de presin y, en el intervalo de 0[C] a 100[C] funcionaria bienpara el propsito requerido (0,017[cp] a 0,021[cp]).

Solucin Problema No3Primero calculamos las viscosidades de cada sustancia, por medio de la ecuacin para gases no polaresa bajas presiones (ecuacin de Chapman & Enskog):

i = 2,6693 105Mi T

2i i

Usando los datos de las tablas encontradas en el apndice del Bird, se obtiene para cada sustancia:

O2 :

= 3,433

(/) = 113 T

= 3,3 1,014

O2 = 2,6693 105

32 373,153,4332 1,014

O2 = 2,44 104[poise]

N2 :

= 3,681

(/) = 91,5 T

= 4,076 0,966

N2 = 2,6693 105

28 373,153,6812 0,966

N2 = 2,08 104[poise]

Ar:

= 3,418

(/) = 124 T

= 3,008 1,038

Ar = 2,6693 105

39,9 373,153,4182 1,038

Ar = 2,69 104[poise]

12

Fraccin Molar xi Peso Molecular [gr/mol] Viscosidad [poise]O2 0.21 32 2.44 104N2 0.78 28 2.08 104Ar 0.01 39.9 2.69 104

Tabla 1: Tabla resumen para los gases de la mezcla.

Luego, con los datos anteriores, armamos la siguiente tabla de clculo:

i j MiMjij

ij3j=1 xj ij

1 O2 1 O2 1 1 1 1.010692 N2 1.14 1.173 1.0133 Ar 0.8 0.907 1.055

2 N2 1 O2 0.875 0.852 0.986 0.997482 N2 1 1 13 Ar 0.7 0.773 1.042

3 Ar 1 O2 1.246 1.102 0.937 0.944652 N2 1.425 1.293 0.9463 Ar 1 1 1

Donde, ij es calculado por medio de la siguiente ecuacin:

ij =18

(1 +

MiMj

) 12 [1 +

(ij

) 12(MjMi

) 14

]2Finalmente, ocupando la ecuacin para una mezcla de gases (ecuacin de Wilke):

mezcla =

3i=1

xi i3j=1 xj ij

=0,21 2,44 104

1,01069+

0,78 2,08 104

0,99748+

0,01 2,69 104

0,94465

mezcla = Aire = 2,163 104[poise]

As, el cientco pudo cumplir con su misin.

Nota: Pido disculpas por cualquier posible error en los clculos (se los dejo a ustedes para que locorroboren), lo importante en este caso era que aprendieran el mtodo.

13

Solucin Problema No4 - Parte (a) y (b), Problema N1 Control 1, Primavera 2010

(a) Se pide determinar Cu40 %Zn. Para ello, se determina por separado la viscosidad de ambosmetales en estado lquido, y posteriormente se calcula la viscosidad de la aleacin a T = 1100[C].

Viscosidad del Cu:Debe calcularse la viscosidad del Cu a 1373[K].

Se conoce Tm = 1084[C] = 1357[K], por lo tanto:

B= 5,2 Tm

B= 7056,4[K]

Luego,

T =B T = 1373[

K]

7056,4[K]

T = 0,19

1T

= 5,14

Con el resultado anterior se busca en el grco, obtenindose (V )2 = 3,8.A continuacin, debe calcularse

V =1

n 3Se tiene

n = N0PA

=6,023 1023[1/mol] 8[g/cm3]

63,5[g/mol]

n = 7,59 1022[1/cm3]

Para , deben ajustarse las unidades:

= 0,256[nm] = 0,256 109[m] = 0,256 107[cm]

Por lo tanto:

V =1

n 3=

1

7,59 1022[1/cm3] (0,256 107[cm])3

V = 0,79

Como se conoce (V )2 = 3,8 = 6,2

Con esto

= 2 N0M R T

Cu = M R T2 N0

Se tiene

M R T =

63,5[g/mol] 8,3144[J/(mol K)] 1373[K]

M R T =

63,5 103 8,3144 1373[ kg kg m

2

mol mol s]

M R T = 26,9[kg/(mol s)]

14

Si no se transforma unidades, se obtiene

M R T = 851,4[

J g/mol]

Finalmente,

Cu =6,2 26,9[ kgmmols ]

(0,256 109[m])2 6,023 1023[1/mol]

Cu = 4,23 103[kg

m s] = 4,23[cP ]

As, se tieneCu = 4,23[cP ]

Si se usa el valor sin transformacin de unidades, se tiene Cu = 0,134[Jgm2 ], y con los

factores 103 y 103/2 se obtiene el mismo resultado.

Viscosidad del Zn:Debe calcularse la viscosidad del Zn a 1373[K].

Se conoce Tm = 420[C] = 693[K], por lo tanto:

B= 5,2 Tm

B= 3603,6[K]

Luego,

T =B T = 1373[

K]

3603,6[K]

T = 0,38

1T

= 2,63

Con el resultado anterior se busca en el grco, obtenindose (V )2 = 1,2.A continuacin, debe calcularse

V =1

n 3

Se tiene

n = N0PA

=6,023 1023[1/mol] 6,6[g/cm3]

65,4[g/mol]

n = 6,08 1022[1/cm3]

Para , deben ajustarse las unidades:

= 0,274[nm] = 0,274 109[m] = 0,274 107[cm]

Por lo tanto:

V =1

n 3=

1

6,08 1022[1/cm3] (0,274 107[cm])3

V = 0,815

Como se conoce (V )2 = 1,2 = 1,875

Con esto

= 2 N0M R T

Cu = M R T2 N0

Se tiene

M R T =

65,4[g/mol] 8,3144[J/(mol K)] 1373[K]

M R T =

65,4 103 8,3144 1373[ kg kg m

2

mol mol s]

M R T = 27,32[kg/(mol s)]

Si no se transforma unidades, se obtiene

M R T = 864,1[

J g/mol]

Finalmente,

Zn =1,875 27,32[ kgmmols ]

(0,274 109[m])2 6,023 1023[1/mol]

Zn = 1,13 103[kg

m s] = 1,13[cP ]

As, se tieneZn = 1,13[cP ]

Si se usa el valor sin transformacin de unidades, se tiene Zn = 0,036[Jgm2 ], y con los

factores 103 y 103/2 se obtiene el mismo resultado.

Con los resultados anteriores, puede calcularse la viscosidad de la aleacin usando:

Cu40 %Zn = 0,6 Cu + 0,4 Zn

Cu40 %Zn = 2,99[cP ]

(b) Considerando que, para la aleacin 60 %Cu 40 %Zn, la viscosidad a 1000[C] es 5[cP ], y laviscosidad a 950[C] es 6[cP ], se pide calcular la viscosidad a 1100[C].

Para encontrar la viscosidad a esa temperatura, debe usarse la ecuacin de Arrhenius. Como seconoce el valor de la viscosidad a 2 temperaturas distintas, es posible plantear un sistema de dosecuaciones, donde las incgnitas son las constantes de la ecuacin, A y GR .

La ecuacin de Arrhenius es:

T = A exp(

G

R T

)Las temperaturas a las cuales se conoce la viscosidad son:

T = 1000[C] = 1273[K]

16

T = 950[C] = 1223[K]

Se tiene:

1000[C] = 5[cP ] = A exp(

G

R 1273[K]

)

950[C] = 6[cP ] = A exp(

G

R 1223[K]

)Para simplicar, se aplica logaritmo natural a ambos lados de las ecuaciones:

ln(5) = ln(A) +G

R 1273(5)

ln(6) = ln(A) +G

R 1223(6)

Para resolver el sistema, restamos ambas ecuaciones:

(1) (2) ln(5) ln(6) = GR(

1

1273 1

1223

)

GR

=182,32 103

32,12 106

GR

= 5676,21

Por lo tanto, en (1):

ln(A) = ln(5) 5676,211273

ln(A) = 2,85 / exp()

A = 5,782

Como se conocen las dos constantes, puede calcularse la viscosidad a 1100[C], es decir, a 1373[K]:

1100[C] = A exp(

G

R T

)

1100[C] = 5,78 102 exp(

5676,21

1373

)

1100[C] = 3,61[cP ]

Si se compara este resultado con el obtenido en (a):

Error =Cu40 %Zn1100[C]

100 % = 17 %

Existe un amplio margen de error entre ambas soluciones, con lo cual puede concluirse que el usode la ecuacin de Arrhenius entrega un resultado mucho ms conable que la aproximacin de laviscosidad a partir de las viscosidades parciales de ambos metales.

17