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Lectura 1

Conceptos Preliminares

1.1. Sistema

El concepto de sistema resulta sumamente útil para la descripción, análisis y diseño en ingeniería, asícomo en otras áreas del conocimiento. Esto se debe principalmente a que permite describir en forma abstractaun objeto o un fenómeno de acuerdo al atributo del mismo que sea de interés para el ingeniero

Ejemplo 1.1 Un calentador eléctrico puede ser estudiado como un sistema eléctrico, como un sistema tér-mico o como un mecanismo controlado por reloj.

Ejemplo 1.2 Un automóvil puede ser analizado como un sistema mecánico en movimiento, como una estruc-tura aerodinámica, como un motor de combustible que mueve una carga o como un sistema electromecánico.

Estos ejemplos muestran a su vez que no es fácil establecer una definición exacta para el concepto desistema, debido principalmente a que existen diversas connotaciones e interpretaciones que dependen delcampo de aplicación en el cual vaya a ser empleado el término. Este hecho permite establecer que:

La finalidad y carácter de un sistema varían según el juicio o los objetivos del observador.

Básicamente el concepto de sistema busca responder dos preguntas muy concretas: ¿Que es lo que sequiere estudiar? y ¿que no interesa ser estudiado?. Lo anterior pone de manifiesto la necesidad de delimitarel objeto de estudio, esto es, imponerle unas fronteras precisas, no necesariamente de naturaleza física, quepermitan aislarlo de su entorno. El propósito de este curso no es, por supuesto, estudiar cualquier tipo desistema, sino un tipo específico de sistemas que suelen denominarse, en el contexto de la Física, la Matemáticay la Ingeniería, como sistemas dinámicos. Para precisar qué tipo de sistemas son estos, necesitamos estableceruna serie de atributos para delimitar tal clase de sistemas. Primero se establecerá una definición de sistemaútil a nuestro propósito:

Definición 1.1 Un sistema es un conjunto bien delimitado de elementos que interactúan entre sí paracumplir con un objetivo u objetivos claramente definidos, los cuales no pueden llevarse a cabo de maneraindependiente por alguno de los elementos que forman al sistema.

En la figura 1.1 se presenta en forma esquematizada lo que debemos entender como sistema: un entecompuesto por elementos entrelazados entre sí que interactúan no sólo entre ellos sino también con suentorno, y que además, está bien definido a través de fronteras no necesariamente físicas. Debe señalarse queésta definición es vaga a propósito ya que puede aplicarse a objetos y fenómenos de naturalesas tan disímilescomo la eléctrica, la mecánica, la biológica o incluso de tipo económico.

Observación 1.1 Comúnmente las palabras proceso y planta se utilizan en ingeniería como sinónimos desistema.

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2 LECTURA 1 CONCEPTOS PRELIMINARES

Figura 1.1: Estructura básica de un sistema

Ejemplo 1.3 El cuerpo humano es un sistema biológico caracterizado por lo siguiente:

La piel juega el papel de la frontera ya que separa al cuerpo de su entorno

Los elementos que componen a este sistema con los diversos organos internos (el cerebro, el hígado, elestómago, los pulmones, etc) cada uno de los cuales realiza funciones especializadas que los distingue,por tanto, ninguno de ellos puede sustituir las funciones de los otros.

La interconexión o interacción entre estos elementos se realiza por medios tales como la red nerviosa,la red de vasos sanguineos, la estructura osea, etc.

La interacción entre el sistema y su entorno se realiza por medio de los sentidos, las excresiones, lasemociones, etc.

Ejercicio 1.1 Determine si los siguientes objetos califican como un sistema:

1. Una casa

2. Un refrigerador

3. Un automóvil

4. El clima del planeta

5. Una mesa

1.2. Sistema físico

Una vez que se a establecido una definición conveniente para el concepto de sistema, se introduciráahora, de forma intuitiva, el concepto de sistema físico. Dos características fundamentales que debe cumplirun sistema para poder ser considerado un sistema físico, dentro de nuestro contexto, son:

a) El sistema sólo debe interactuar con su entorno mediante el intercambio de enérgía (de algún tipo) yno mediante el intercambio de materia o de datos abstractos.

1.3 SEÑAL Y VARIABLE DE SISTEMA 3

b) El sistema debe actuar ya sea como un almacenador y/o como un transformador de toda aquellaenergía que le es suministrada por su entorno.

Como consecuencia de esto, partiremos de la suposición de que un sistema físico no es capaz de generarenergía por sí solo a partir de la nada. La anterior suposición es en realidad un hecho que se cumple paratodo sistema físico y que se justifica mediante la Ley Fundamental de la Termodinámica (La cual afirmaque: "La energía ni se crea ni se destruye, simplemente se transforma en otro tipo de energía"). Lo anteriorpermite establecer el principal atributo de los sistemas físicos que serán considerados en el curso:

Definición 1.2 Cuando un sistema no recibe energía del entorno y no posee ningún residuo de energía ensu interior, se dice enconces que dicho sistema se encuentra en un estado de reposo, estado estático osimplemente que se encuentra relajado.

Ejercicio 1.2 Marque con una X aquellos sistemas que califican como sistemas físicos:

Los sistemas mecánicos ( ) Los sistemas quimicos ( ) Los sistemas hidráulicos ( )

Los sistemas eléctricos ( ) Los sistemas biológicos ( ) Los sistemas electromecánicos ( )

Los sistemas económicos ( ) Los sistemas térmicos ( ) Los sistemas sonoros ( )

En el curso, las palabras sistema y sistema físico se usarán indistintamente.

1.3. Señal y Variable de sistema

En el estudio de los sistemas físicos, el primer paso es la consideración de aquellos comportamientos quemejor lo caracterizan de acuerdo al propósito que se tenga. A cada comportamiento se le asocia una medida,comparándola con un patrón o estádar. Por ejemplo, de un avión puede medirse su longitud, su masa, suposición, su velocidad, su aceleración, su volumen, su densidad, su temperatura, etc. Cada una de esasmagnitudes medibles puede tener asociada una medida, dad por un número y una unidad de patrón (masade 3 [kg], velocidad de 2 [m/s]). Estas medidas son números reales y constituyen, como se verá acontinuaciónla formulación más elemental del mundo físico en términos matemáticos.

Suponga que un sistema, al que denominaremos G, se encuentra en reposo. Si en el instante de tiempo tel sistema es excitado mediante una inyección de energía por parte de su entorno, entonces G comenzará aprocesar dicha energía. En consecuencia, el sistema comenzará a desarrollar una actividad a nivel interno, lacual puede ser observada o registrada a través de una serie de comportamientos que pueden ser representadosnumérica o simbólicamente a lo largo del tiempo (o del espacio). Estos comportamientos se denominaránvariables del sistema.

Definición 1.3 Todos aquellos comportamientos que un sistema físico genere como consecuencia de unaexcitación se denominarán variables de sistema, las cuales de denotarán como x(·).

Definición 1.4 Se denomina señal a toda aquella información numérica, gráfica o simbólica capaz de re-presentar cuantitativamente la evolución, ya sea en el tiempo o en el espacio, de las variables del sistema.

Observación 1.2 Una señal puede ser expresada matemáticamente mediante una función del tiempo o dela frecuencia, o bien, mediante el registro de una secuencia de números o símbolos (banco de datos o gráficasde conducta).

Ejemplo 1.4 Latido es el nombre que recibe el comportamiento de un corazón biológico (por tanto es unavariable de sistema), cuando este comportamiento es registrado el resultado de la medición (que puede serun despliegue gráfico o una serie de pulsaciones mecánicas o sonidos rítmicos) se conoce como la señal dellatido.


Ejemplo 1.5 En un circuito eléctrico formado por una fuente de voltaje, un capacitor un inductor y unaresistencia, las variables de sistema son: voltajes, corrientes, acumulación de cargas eléctricas, flujos mag-néticos, calor en la resistencia, etc. Las respectivas señales pueden ser las gráficas en un osciloscopio, losvalores numéricos mostrados en un multímetro o funciones matemáticas de algún tipo.

Ejemplo 1.6 Las señales o mediciones comúnmente empleadas para establecer la condición del clima en unpaís son: temperatura, humedad, velocidad y dirección del viento de las principales zonas geográficas.

Ejemplo 1.7 Una sonda que explora el espacio exterior envía de regreso información hacerca de un planetalejano a una estación terrestre. La información puede tener la forma de imágenes del radar que representanperfiles de la superficie del planeta, imágenes infrarrojas que llevan información acerca de la temperatura delmismo, o imágenes ópticas que revelan la presencia de nubes alrededor del planeta.

Es importante tener siempre presente que las señales son representaciones de las variables del sistema,que pueden ser expresadas con base en funciones o gráficas. Por ello:

El primer paso en el estudio de un sistema es conocer las características y propiedades de lasseñales que pueda generar.

Definición 1.5 Cuando la señal es una función que depende de una sola variable se dice que la señal esunidimensional. Similarmente, si una función depende de dos o más variables independientes se diceentonces que es una señal multidimensional.

Ejemplo 1.8 Cualquier variable cuya evolución dependa del tiempo pero no del espacio califica como señalunidimensional, y puede caracterizarse mediante una función matemática que sólo depende del tiempo, lla-mada señal temporal, por ejemplo: el sonido de un motor, el voltaje en una resistencia, la fuerza que unrobot pueda aplicar, etc

Ejemplo 1.9 En el caso de señales multidimensionales están: La presión atmosférica, la imagen en lapantalla de una televisión, el movimiento de una sonda de exploración en el planeta marte, los pixeles enuna fotografía, etc.

Ejercicio 1.3 Identifique cual de las siguientes señales poseen una variable independiente y cuales poseendos variables independientes:a) s = 5tb) d = 3x+ 2xy + 10y2

c) h = 20t2

Definición 1.6 Se dice que una señal es univaluada si para cada instante de tiempo la función sólo puedetomar un único valor.

El valor que una señal univaluada puede tomar puede ser un número real, en cuyo caso hablamos de unaseñal de valor real, o puede ser un número complejo. El hecho de que las señales a considerar sean funcionesúnicamente del tiempo permite el empleo de gráficas fáciles de generar e interpretar. Por esto, el curso secentrará entonces en el estudio de señales unidimencionales asociadas a un sistema físico, definidas comofunciones univaluadas del tiempo.

Ejercicio 1.4 Una inductancia eléctrica al ser excitada por una fuente sinusoidal de voltaje, presenta unareacción, la cual puede ser registrada mediante el uso de variables tales como el ___________________entre de sus terminales de conexión, la _________________________ que circula en su em-bobinado o el ___________________ que se genera en su núcleo.

1.4 SEÑALES DE ENTRADA Y DE SALIDA 5

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-1

0

1

2

3

4

5

Tiempo en segundos

Am

plitu

d

Figura 1.2: Gráfica que muestra el movimiento oscilatorio de un péndulo cuando no está sometido a fricción.

Comúnmente el comportamiento de un sistema es registrado en forma experimental y desplegado mediantegraficas, para después construir una función matemática que la aproxime (que la modele). Por ejemplo, lasseñales del ejercicio 1.1 son funciones que expresan de manera clara la dependencia funcional con respecto a lao las variables independientes. Sin embargo, existen casos en los que dicha relación funcional es desconocidao demasiado compleja para su manejo y estudio, en tales situaciones el ingeniero deberá conformarse con losdatos recopilados en la experimentación y con la representación gráfica de la señal.

Definición 1.7 Se denomina forma de onda de una señal a las variaciones en el valor de una señal comofunción del tiempo. Es decir, la forma de onda de una señal es la traza o trayectoria que la función de laseñal produce en una gráfica.

Ejemplo 1.10 La figura (1.2) muestra la gráfica del movimiento oscilatorio de un péndulo cuando no hayfricción que la afecte. Note que la traza es univaluada y unidimencional donde la variable independiente esel tiempo. Por su simplicidad la forma de onda mostrada puede modelarse en forma funcional mediante laexpresión

movimiento(t) = 2 + 3sen(t)

como consecuencia de esto ambas representaciones, la gráfica y la matemática, califican como las señales delcomportamiento.

Ejemplo 1.11 La figura (1.3) muestra la gráfica del canto de un ave. Como puede observarse la traza deeste sonido es univaliada y unidimensional, sin embargo es tan compleja que no hay manera de expresarlamediante una relación matemática simple.

Ejemplo 1.12 La figura (1.4) muestra la gráfica de la imagen plana del planeta tierra. En este caso setiene la representación gráfica de una señal bidimensional ya que el color en cada punto de la gráfica es unafunción de dos variables independientes (los ejes del plano).

Ejercicio 1.5 De tres ejemplos de variables físicas cuya representación sólo puede ser gráfica.

1.4. Señales de entrada y de salida

Todas aquellas señales de estímulo que el entorno aplique a un sistema G se denominarán señales deentrada y se denotarán mediante la letra u. Por otro lado, todos aquellos comportamientos que tienen lugaren el interior de un sistema G, como consecuencia de la aplicación de una señal de entrada, y que el entornoes capaz de registrar se denominarán señales de salida de G, las cuales se denotaran mediante la letra y.En otras palabras:


Figura 1.3: Grafica del canto de un ave

Figura 1.4: Imagen plana del planeta tierra

1.4 SEÑALES DE ENTRADA Y DE SALIDA 7

Las señales de entrada y salida son el medio a través del cual el sistema interactúa con su entorno.

La Figura 1.5 muestra en forma gráfica ésta interacción: El sistema es representado por una “caja ne-gra”, es decir, es un objeto perfectamente aislado de su entorno; Las flechas que apuntan hacia dicha caja,etiquetadas como u1, u2, · · · , um, representan las m-entradas al sistema, mientras que las flechas que dan laapariencia de salir de la caja, y1, y2, · · · , yp, representan las p-señales de salida del sistema.

Figura 1.5: Esquema gráfico de un sistema y sus señales de entrada y de salida.

La representación esquemática de la Figura 1.5 es aplicable a cualesquier tipo de sistema ya que norequiere de información sobre la naturaleza física del mismo, del número y tipo de subsistemas o elementosque lo componen, ni tampoco sobre la manera en la cual dichos subsistemas o elementos actúan entre sí.

Observación 1.3 Generalmente, en el campo de la ingeniería, y con base en la gráfica anterior, un sistemaes considerado como una caja dentro de la cual una determinada señal de entrada es “procesada” en unao varias señales de salida. En éste contexto, las señales de entrada suelen ser denominadas como causas,excitaciones o estímulos externos mientras que las señales de salida suelen llamarse efectos o respuestas

Observación 1.4 Una señal de entrada es entonces la representación de la energía o información que elentorno inyecta al sistema. De manera similar, una señal de salida es aquella que representa la energía o lainformación que el sistema envía a su entorno.

Observación 1.5 La señal de salida y(t) incluye en general a todas aquellas variables de interés para elanálisis del sistema, por ejemplo, las variables que pueden ser físicamente medibles o aquellas cuyo compor-tamiento es de particular interés para algún determinado propósito, las cuales no siempre son físicamentemedibles en forma directa.

Ejercicio 1.6 Marque con una × si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos

Enunciado Verdadero Falso

Una señal es toda aquella medición u observación

que contiene información relevante sobre el

comportamiento de un proceso o sistema

Todas las variables de sistema son señales de salida

Todas las variables de salida son variables de sistema

Toda señal de entrada es una variable de sistema

Toda señal con representación gráfica posee también

una representación mediante funciones matemáticas


Figura 1.6: Universo de componentes físicos ideales.para el ejemplo

Ejercicio 1.7 Busque en tres referencias distintas los conceptos de: Sistema, señal, señal de entrada y señalde salida. Discuta la forma como estos conceptos fuerón definidos o explicados.

Ejercicio 1.8 Considere los elementos mostrados en la figura 1.6, los cuales conforman un “universo”particular de elementos físicos. Construya a partir de dicho universo un sistema eléctrico.

Definición 1.8 Cuando un sistema recibe una única señal de entrada y produce una única señal de salida, sedice que es un sistema SISO (del inglés Single Input Single Output), mientras que si recibe varias entradasy produce varias salidas, se dice que es un sistema MIMO (del inglés Multiple Input Multiple Output).También existen las denominaciones MISO para sistemas de varias entradas y una sóla salida, y SIMOpara el caso en el que se tenga una entrada y varias salidas.

1.5. Condición inicial

Las respuestas de un sistema físico en el instante de tiempo en que empieza a ser observado puedendepender también de la energía ya existente (almacenada) en el interior del mismo. Los sistemas con estacapacidad de almacenamiento se denominan genéricamente como sistemas dinámicos.

Ejemplo 1.13 ¿Cada vez que enciende el televisor o la radio éstos se encuentran siempre en el mismo canalo la misma estación?

Ejemplo 1.14 ¿Cuando entra a su cuarto éste siempre se encuentra a la misma temperatura, independien-temente de la hora o del día del año?

Ejemplo 1.15 Todas las mañanas ¿usted amanece siempre con la misma condición física y anímica?

1.5 CONDICIÓN INICIAL 9

R

C

+

_(0)Vc

( )i t

( )V t

Figura 1.7: Circuito eléctrico

Definición 1.9 El instante de tiempo en el cual un sistema comienza a ser observado se conoce comotiempo inicial y se denota como t0.

Definición 1.10 Se denomina condición inicial (en el tiempo t0) al conjunto de variables {x1(t0), x2(t0), · · · }del cual es posible extraer información sobre cómo el sistema ha procesado la energía que el entorno le hasuministrado desde el pasado hasta el instante t0.

La condición inicial de un sistema es un parámetro que indica cuanta energía se ha almacenado ensu interior desde el pasado hasta el instante en que comienza a ser observado. En cursos posteriores, sedemostrará como las condiciones iniciales constituyen un indicador de la historia pasada (memoria) delas variables del sistema. Debido a que los sistemas físicos que se considerán en el curso son sistemas quede manera natural procesan energía, si no hay ninguna fuente de energía externa alimentandolos, entoncesconsumirán la enegía que conserven en su interior. Es debido a este hecho que las condiciones inciales sonreferidas como señales de exitación interna del sistema.

Cuando se hable sobre el comportamiento dinámico de un sistema, se hará referencia sobre la formaen que las variables de sistema cambien (evolucionen) en el tiempo. Comúnmente éstos cambios se presentanen la magnitud que dichas variables de sistema tengan a lo largo del tiempo.

Ejemplo 1.16 Considere el circuito eléctrico de la figura 1.7 el cual está formado por la interconexión de unresistor y un capacitor. La entrada del sistema es una variable de voltaje que se representa mediante la fuenteideal e independiente de voltaje V (t). Como señal de salida se escoge el voltaje en las terminales del capacitorVC(t), cuyo valor inicial se expresa como VC(0). La variable i(t) representa a la corriente que circula por elcircuito. Una forma de representar matemáticamente a éste sistema es por medio de la ecuación diferencialordinaria

V (t) = RCdVC(t)

dt+ VC(t)

cuya solución para t ≥ 0 es

VC(t) = VC(0)e−

1

RC(t−0) +

∫ t

0

1

RCe−

1

RC(t−τ)V (τ)dτ t ≥ 0

Observese como ésta última ecuación revela como el valor de VC(t) en el instante t puede obtenerse si seconocen VC(0) y el valor de V (t) en el instante de interés.

En resumen, los escenarios bajo los cuales un sistema físico presentará un comportamiento son:


SistemaFísico

0)( ≠tu0)( 0 =tx

)(ty

SistemaFísico

0)( =tu0)( 0 ≠tx

)(ty

)( 0ty

SistemaFísico

0)( ≠tu 0)( 0 ≠tx

)(ty

)( 0tySistemaFísico

0)( =tu 0)( 0 =tx

)(ty

)( 0ty

)( 0ty(a) (b)

(c) (d)

t t

t t

Figura 1.8: Distintos escenarios que muestran la relación entre la señal de salida y las señales de excitación de un

sistema físico.

1. Cuando el sistema se encuentre sometido únicamente a señales de excitación externa (señales de en-trada), véase la figura (1.8-a)

2. Cuando el sistema se encuentre sometido únicamente a señales de excitación interna (condicionesiniciales), véase la figura (1.8-b)

3. Cuando el sistema se encuentre sometido a excitaciones tanto internas como externas, véase la figura(1.8-c).

Ejercicio 1.9 ¿Que nombre recibe el estado del sistema bajo las condiciones de excitación mostradas en lafigura (1.8-d).

Ejercicio 1.10 Cada uno de los siguientes párrafos contiene un error, identifíquelos:

1. El comportamiento de un sistema físico depende de: a) los elementos que conforman al sistema y suinterconexión, b) los estímulos internos aplicados al sistema, c) la historia del sistema, condensadaen un conjunto de condiciones iniciales, y d) una variable independiente que puede ser el tiempo o lafrecuencia.

2. Una variable de sistema es toda aquella medición u observación que contiene información útil sobre elcomportamiento de un proceso o sistema

3. La teoría de sistemas trata, entre otras cosas, sobre el estudio de las propiedades de sistema. Estaspropiedades se analizan de forma unificada independientemente de la naturaleza física del sistema bajoestudio. Esto es posible debido a que el propio sistema y sus comportamientos de interés son traducidosal lenguaje matemático, resultando los modelos matemático y las variables de sistema.

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