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Bloque Temático 16
Análisis de la Información
RESUMEN
Para organizar la información obtenida luego utilizar los diversos instrumentos de
recolección de información es necesario recurrir a procedimientos de análisis que en la
mayoría de los casos requieren de un tratamiento estadístico.
Inicialmente los datos recolectados se organizaran en tablas, cuadros y gráficos
estadísticos, a partir de estadígrafos de resumen.
Las tablas más utilizadas requieren el empleo de tablas de frecuencia para sistematizar
la información.
Un aspecto importante en el empleo de gráficos estadísticos, es el hecho de un
adecuado de uso de las escalas a fin de evitar inducir a erra percepción de la
información presentada.
La interpretación de los datos obtenidos requerirá dependiendo de la naturaleza de las
hipótesis de modelos estadísticos más como pruebas estadísticas paramétricas o no
paramétricas, y la prueba del Chi-Cuadrado X2.
1.0 EL PROCESAMIENTO DE DATOS
Durante el diseño del proyecto o protocolo de investigación es necesario establecer la forma en que serán procesados los datos resultantes de la implementación de la investigación. Una adecuada planificación permite optimizar el tiempo, además que facilita la organización de la información que servirá para la presentación de resultados y la necesaria verificación de hipótesis a través de métodos estadísticos. Al finalizar las tareas de recolección de datos el investigador quedará en posición de un cierto número de datos a partir de los cuales serán posibles las conclusiones generales que apunten a esclarecer el problema formulado en los inicios de la investigación. Pero el conjunto de datos recopilados en principio no permitirá alcanzar ninguna síntesis de valor, si previamente no se ejerce sobre ella una serie de actividades tendientes a organizarla, a poner orden en todo el conjunto. Estas acciones son las que integran el llamado procesamiento de datos. Lo primero que suele hacerse con el conjunto de datos obtenidos es dividirlos de acuerdo con un criterio elemental, separando de un lado la información que es de tipo numérico, de la información que se expresa verbalmente, mediante palabras. Los datos numéricos quedarán como tales, cualesquiera sea su naturaleza, y se procesarán luego para exponerlos en forma clara y fácilmente asimilables; los datos que se presentan en
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forma verbal podrán sufrir destinos diferentes: unos se convertirán en datos numéricos (cuantitativos) y otros quedarán como información verbal (cualitativa). El objetivo final será construir cuadros estadísticos, promedios generales y gráficos ilustrativos, de tal modo que se sinteticen sus valores y se pueda extraer, a partir de su análisis enunciado teórico de alcance general.
2.0 CONSTRUCCIÓN DE TABLAS ESTADÍSTICAS
2.1 Construcción de Tablas de Frecuencia
Las tablas de frecuencia o de distribución son tablas de trabajo estadístico, que presentan la distribución de un conjunto de elementos agrupados o clasificados en las diversas categorías de la variable. En estas tablas, como producto de la operación de tabulación, se observa cuantos elementos (frecuencia o repetición) hay en cada categoría, valor o intervalo de la variable. La tabla de frecuencia constituye la agrupación de elementos que tienen características comunes. Estas tablas presentan diversos tipos de frecuencia (absoluta, relativa o acumulada). Veamos cómo se construye una tabla de frecuencia para variables cuantitativas (discretas y continuas) y variables cualitativas.
2.1.1 Tablas de Frecuencia para Variables Cuantitativas
Realizadas las observaciones o recopilación de datos, denotaremos la variable por X y los datos originales por: X1, X2, X3,..., Xn, donde Xi representa la enésima observación de la variable con (i=1, 2, 3, 4,..., n). Es decir que: X1 = dato de la primera observación. X2 = dato de la segunda observación. X3 = dato de la tercera observación. . ............................. . ............................. Xn = dato de la enésima observación. En este caso el subíndice «i» es un número entero, que expresa el orden de la observación. Asimismo, diremos que este conjunto de «n» observaciones constituye una muestra de tamaño «n». No olvidemos que habrá tantos valores de X como elementos tenga la población o muestra. Si se tiene X1, X2, X3, X4, X5, X6 observaciones, entonces n=6 constituye el número de observaciones realizadas, es decir la muestra tiene 6 elementos. En general, para construir una tabla de frecuencia, se requiere realizar dos operaciones: i) La Clasificación, que consiste en determinar las categorías, los
distintos valores que toman las variables o los intervalos de clase. ii) La Tabulación, que consiste en distribuir los elementos de la
población en la respectiva categoría o intervalo de la variable. Aquí se contabiliza cuántos elementos hay en cada categoría, es decir, determinar cuántas veces se repite (frecuencia) cada valor distinto o categorías de las variables.
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2.1.1.1 Tablas de Frecuencia de Variables Discreta
Variable Discreta es aquella cuyo valor sólo se puede expresar por números enteros positivos; los valores corresponden a puntos aislados de la recta numérica.
DISTRIBUCIÓN DE 20 EMPRESAS SEGÚN EL NÚMERO DE TRABAJADORES. 2001.
2.1.1.2 Tablas de Frecuencia de Variable Continua
Una variable continua es aquella que puede tomar cualquier valor comprendido en un intervalo, es decir, su valor puede ser un número entero o una fracción. Como siempre, llamaremos X1, X2,
X3 ... Xn a los datos originales, donde )n,1i(Xi es la enésima observación y «n» el número de observaciones. De igual modo, para construir las tablas se tiene que realizar las operaciones de clasificación y tabulación. Considerando que la variable continua toma valores racionales, se acostumbra presentar los datos utilizando Intervalos de Clase en las tablas de frecuencia.
DISTRIBUCIÓN DE 60 EMPLEADOS DE LA EMPRESA PIRÁMIDE S.A.
POR SUELDOS MENSUALES. 2001.
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3.0 CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
Un gráfico o diagrama es una representación pictórica (figuras geométricas, de superficie o volumen) con el objeto de ilustrar los cambios o dimensión de una variable, para comparar visualmente dos o más variables similares o relacionadas. Para una rápida comprensión de situaciones o variaciones en cantidades, es muy útil traducir los números en gráficos o imágenes. Todo gráfico es superior al texto escrito porque transmite de manera casi instantánea, hechos, cantidades y comportamientos de variables. Un gráfico bien presentado vale más que mil palabras; el gráfico es el idioma universal. Por su naturaleza, un gráfico no toma en cuenta los detalles y no tiene la misma precisión de una tabla estadística. Los gráficos estadísticos son representaciones de relaciones cuantitativas que existen realmente en el mundo, en ningún caso es una ficción que surge de la imaginación del artista, el gráfico es la expresión artística de datos reales y observados. 3.1 Construcción de Gráficos
Aún cuando no existe una regla específica para la construcción de gráficos, es posible anotar algunas recomendaciones. En Estadística se emplean una diversidad de gráficos, cuya forma dependerá de la naturaleza de los datos y del objetivo de la presentación. Antes de elegir el tipo de gráfico, conviene imaginarse de antemano el gráfico a construir, que en general debe tener rasgos simples y de fácil comprensión.
GRÁFICO Nº 3.01
FACULTAD DE EDUCACIÓN.
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS.
EVOLUCIÓN DE LA MATRÍCULA TOTAL 1998-2002.
24842547
2460248524862478
27902777
29882908
2000
2500
3000
3500
4000
1998-I 1998-II 1999-I 1999-II 2000-I 2000-II 2001-I 2001-II 2002-I 2002-II
Matr
ícu
la t
ota
l
Fuente: Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Memoria Institucional 1998-2002. Los gráficos de una sola variable sirven para fines comparativos de cantidades absolutas, tasas, proporciones, etc. Pueden tener la forma de barras, superficies, puntos o líneas. Los gráficos de dos variables, se construye en el plano rectangular o de coordenadas cartesianas, donde hay dos ejes, X e Y. En el eje Y (ordenada) se colocan los valores de la variable dependiente y en X (abcisa) la variable independiente, siendo y = f(x).
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GRÁFICO Nº 3.02
FACULTAD DE EDUCACIÓN.
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS.
EVOLUCIÓN DEL NÚMERO DE ALUMNOS POR DOCENTE 1998-2002.
3.9
4.6
5.975.95
6.646.46
4.614.1 4.23 4.34
0
2
4
6
8
10
1998-I 1998-II 1999-I 1999-II 2000-I 2000-II 2001-I 2001-II 2002-I 2002-II
Nú
mer
o d
e a
lum
no
s p
or
do
cen
te
Fuente: Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Memoría Institucional 1998-2002.
GRÁFICO Nº 3.03
FACULTAD DE EDUCACIÓN.
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS.
ESTUDIANTES QUE CONFORMAN LA MUESTRA QUE
ACTUALMENTE TRABAJAN. 2003.
No
90.50%
Si
5.99%
No precisa
3.51%
4.0 LA MEDICIÓN DE LA INVESTIGACIÓN
El proceso de medición de la investigación transforma los datos obtenidos a través de la observación, el registro y demás instrumentos utilizados en el estudio de un hecho o fenómeno en información numérica. En general las observaciones o datos son los que expresan la evidencia de los hechos, y deben tener dos características básicas de calidad, validez y reproducibilidad.
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La validez, es la medida de la significación de la observación, es decir como refleja el verdadero estado del hecho, la validez sustenta la objetividad de la investigación. La reproducibilidad, es la medida de como al considerar observaciones de exactamente del mismo hecho se corresponden entre si. La observación parcial del mismo hecho reproduce el hecho como otras observaciones. Precisamente un método es científico, en la medida que los procedimientos utilizados, sean analíticos o numéricos, aseguran la validez de sus conclusiones. En este campo el tratamiento científico de la información numérica está dado por la Matemática y la Estadística. Conviene precisar que la medición de investigación, no solo se limita al conteo o frecuencia sino también a su distribución y la asociación con otros elementos relacionados con el fenómeno estudiado. Además debe expresar cualquier característica y en especial de aquellos que son explicativos o censales. El proceso de medición en la investigación se caracteriza por identificar y explicar los aspectos más relevantes con sentido cuantitativo, así como las relaciones de las características y el comportamiento de los elementos de una población o entre varias poblaciones. En la medición el esfuerzo es definir y determinar algunos indicadores o medidas, que ayuden al análisis de los aspectos estructurales, así como a su evaluación, tendencia y perspectiva. Es decir cumplir con las 3 funciones básicas de la investigación como son: descripción, explicación y predicción. Como puede deducirse en este proceso de medición, la estadística juega un papel fundamental, cuyos procedimientos, métodos y modelos pueden consultarse en diversos libros. Hay que destacar que los aspectos cuantitativos además de las variables, datos o información se sustentan en una serie de valores, medidas, que constituyen los Indicadores. El proyecto de investigación requiere que se indiquen tentativamente cuales son los procedimientos que se utilizarán para el análisis de los resultados y la correspondiente para la verificación de la validez de las hipótesis formuladas. La naturaleza de la investigación propuesta determinará en gran medida los métodos de análisis a utilizarse, sin embargo se espera que los proyectos de investigación de tesis tengan un cierto nivel experimental, por lo que el empleo de análisis estadístico en la prueba de hipótesis es fundamental.
5.0 ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN
En esta etapa se aplican los argumentos matemáticos y teóricos de la estadística. A través de métodos estadísticos se calcula indicadores y medidas de resumen, se establecen relaciones entre variables, se estiman valores, se ejecutan pruebas estadísticas, etc., como elementos de referencia para la descripción, análisis e interpretación del comportamiento de los datos, hacer inferencias válidas y obtener información de los elementos o unidades estudiadas. Los métodos de análisis de datos estadísticos son numerosos y pueden consistir en una simple observación, hasta recurrir a métodos más elaborados o sofisticados matemáticamente. Es importante destacar que al estadístico le corresponde fundamentalmente, proporcionar indicadores, modelos estadísticos e información
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estadística de un determinado fenómeno para el desarrollo de las investigaciones en general. La interpretación de los datos y resultados se hacen en el contexto de los objetivos de la investigación. A. Análisis Cuantitativo. Se realiza teniendo toda la información numérica
resultante del procesamiento de los datos, que se presentó en forma de cuadros, tablas y gráficos, entre otros. Es importante tener en cuenta el comportamiento de las variables en estudio, tanto en forma individual, como las relaciones que pudieran darse entre ellas.
B. Análisis Cualitativo. Se realiza con la información de tipo verbal, que fue
recogida durante el proceso de la investigación: La tarea consiste en cotejar los datos y todo tipo de información que se relacione con algún aspecto de la misma, hay que tener cuidado con su validez.
6.0 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
El primer paso del análisis de los datos consiste en describirlos (describir datos, valores o puntuaciones obtenidas para cada variable). Esto generalmente implica calcular una serie de medidas de estadística descriptiva, así llamadas porque describen las características generales de un conjunto o distribución de puntajes, Efectivamente, estas cifras permiten al investigador (o al lector del informe de investigación) obtener una primera impresión exacta del aspecto que presentan los datos. En general, los estadígrafos de dispersión se usan para comparar dos o más distribuciones o poblaciones con variables de la misma naturaleza. A mayor dispersión o heterogeneidad entre los valores o elementos de una población, le corresponde un valor mayor para el estadígrafo de dispersión. 6.1 Medidas de tendencia central
Una propiedad de una distribución de puntajes es que tiene un promedio, es decir un valor individual que es más representativo de esa distribución o conjunto de puntajes.
6.1.1 Media Aritmética
Es el estadígrafo de posición más importante. La media aritmética se denomina simplemente media y comúnmente se le conoce como promedio. La media aritmética se define y calcula dividiendo la suma de los valores de la variable entre el número de observaciones o valores.
valoresdeNúmero
iablevarladeValoresdeSumaMedia
Para una variable Xi la media se puede simbolizar como:
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xa;)X(M;X La media que se obtiene a partir de «n» datos originales Xi se denomina Media Aritmética Simple.
n
x...xxxX)X(M n321
6.1.2 La Mediana
La mediana (Me) es el valor de la variable que divide al total de las «n» observaciones, debidamente ordenadas o tabuladas en dos partes de igual tamaño. Esto significa que a uno y otro lado de este valor mediano (Me) se encuentre no más del 50% del total de las observaciones. Es decir, que no más de la mitad de las observaciones (n/2) sean menores que Me, y que no más de la mitad sean mayores que Me. En general, una vez ordenados los datos, para calcular la mediana se toma como referencia el valor de (n+1/2) para datos no agrupados y (n/2)para datos agrupados.
6.1.3 La Moda
La Moda (Mo), simplemente es el valor más frecuente de una variable. La moda de un conjunto de observaciones es «el valor de la variable que se presenta con más frecuencia en la distribución». Es el valor de la variable que le corresponde la mayor frecuencia absoluta (ni o fi). La moda también se llama Modo, Valor Modal o Promedio Típico, se simboliza con Mo, otros autores usan Md. Por ejemplo: a) El conjunto: 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 13 tiene la moda Mo = 9. b) El conjunto: 3, 5, 8, 10, 12, 16, 18 no tiene moda. c) El conjunto: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 tiene dos modas, 4 y 7; es una
distribución “bimodal”.
6.1.4 La Varianza En la perspectiva de construir un indicador que dimensione la desviación o distancia promedio de los Xi respecto a su media X, se propuso elevar al cuadrado la desviación Xi - X a fin que sea siempre no negativa. De este modo quedó definida la Varianza de X como:
n
)X(xV(X)
2i
6.1.5 La Desviación Estándar
La desviación estándar o típica, se define como la raíz cuadrada de la varianza.
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(X)V}(X)]MM{[Xs 2
Es uno de los estadígrafos de dispersión de mayor uso, en el cual las unidades de la variable ya no están elevadas al cuadrado. La desviación estándar, al igual que la varianza, es no negativa (s>0), puesto que es la raíz cuadrada positiva de la varianza. A mayor dispersión le corresponderá una mayor desviación estándar.
7.0 PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA DISEÑOS EXPERIMENTALES
Algunas pruebas estadísticas son apropiadas para someter a prueba una hipótesis sobre las diferencias en puntajes entre las condiciones experimentales; otras pruebas son adecuadas para estudiar si dos conjuntos de puntajes están correlacionados. Hay dos tipos principales de pruebas estadísticas. a.1. Pruebas Paramétricas. Se caracterizan:
El nivel de medición es siempre de intervalo o de variable cuantitativa.
La distribución teórica para la población debe ser normal.
La elección de las unidades de estudio deben ser aleatoria.
PRUEBAS PARAMÉTRICAS:
CondicionesDiseños no relacionados
(sujetos diferentes)
Diseños relacionados (los
mismos sujetos o sujetos
igualados)
Una variable independiente
(dos condiciones)
1. Prueba t
(no relacionada)
2. Prueba t
(relacionada)
Una variable independiente
(tres o más condiciones)
3. ANOVA de una entrada
(no relacionada)
3. ANOVA de una entrada
(relacionada)
Dos variables independientes
(cuatro o más condiciones)4. ANOVA de dos entradas 6. ANOVA de dos entradas
(ANOVA : análisis de varianza)7. ANOVA de dos entradas (mixto no relacionada y relacionada)
8. Ampliaciones del ANOVA
a.2. Pruebas No Paramétricas Se caracterizada por:
El nivel de medición es generalmente ordinal o nominal, o de variable cualitativa.
La población es de distribución libre
Son más fáciles de calcular.
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De acuerdo a las condiciones y diseños experimentales, a continuación se han elaborado dos cuadros con las principales pruebas paramétricas y no paramétricas.
PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS:
Dos condiciones
(datos ordinales)Mann-Whitney Wilcoxon
Tres o más condiciones
(datos ordinales)Kruskal-Wallis Friedman
Tendencia
(datos ordinales)Tendencia de Jenckheere Tendencia L de Page.
Las personas son asignadas a
dos o más categorías
(datos nominales)
Chi-Cuadrado
8.0 LA PRUEBA DEL CHI-CUADRADO X2
La Chi-Cuadrado(X2) es una prueba estadística no paramétrica o de distribución libre. Es apropiada cuando los datos obtenidos son de nivel nominal, ordinal o de variable cualitativa, es decir que en lugar de medir puntajes de los sujetos se asignan o agrupan los sujetos en dos o más categorías de las variables. Esta prueba mide el significado de las diferencias o dependencia entre frecuencias de categorías observadas en uno, dos o más grupos respecto a una variable independiente. Es aplicable fácilmente para grupos pequeños. Con no menos de 20 sujetos a fin de asegurar que existan sujetos en cada categoría y las frecuencias observadas sean diferentes de cero. Para aplicar chi-cuadrado los datos deben presentarse como frecuencias, proporciones o porcentajes. Aquí se trata de comprobar la significación de las diferencias o la asociación entre variables, mediante la comparación de las frecuencias observadas (Fo) con las frecuencias
teóricas o esperadas (Fe).
El valor de Chi-Cuadrado se obtiene mediante la expresión:
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( ) :F F
F
donde F Frecuencias observadas
F Frecuencias esperadaso e
e
o
e además se considera los Grados de Libertad (g.l.) que se deduce según el número de filas y columnas que tiene la tabla de contingencia o bidimensional. Si : m = Nº de filas n = Nº de columnas entonces : g.l. = (m-1) (n-1)
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Además considerar que:
X2 : valor obtenido con la fórmula a partir de los valores de Fo y Fe.
2
cx : valor crítico de X2 que está asociado al nive
grados de libertad. El valor crítico se busca en la Tabla de Distribución de Chi Cuadrado que se adjunta a este anexo.
El valor crítico (2
cx ) en la curva de X2 define dos regiones, una Región de Aceptación
de Ho ubicada a la izquierda y otra Región de Rechazo de Ho ubicada a la derecha.
Entonces, si X2= 56,3 se rechaza Ho por que es mayor de Xc =30,58.
Si fuera: X2 < Xc entonces se acepta Ho.
Nota: En general X2 se aplica cuando se tiene dos variables que estarían asociados
primer lugar hay que definir Ho que es la hipótesis que debe aceptar o rechazar.
Ejemplo 1. Se plantea averiguar si existen diferencias significativas entre los métodos de estudio utilizados por los alumnos de Psicología y de Administración de una Universidad. En cada grupo se toma una muestra de 43 alumnos de Psicología y de 47 alumnos de Administración, a quienes se les aplicó un Test de Hábitos de Estudio, obteniéndose los resultados indicados en la siguiente tabla bidimensional:
Alumnos HABITOS DE ESTUDIO Total
de : Intensivo Regular Discontinuo Alumnos
Sociología 6 14 23 43
Economía 11 10 26 47
Total por hábito de
estudio17 24 49 90
Administración
Psicología
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Esta es una tabla de doble entrada o de contingencia 2x3, que presenta las frecuencias observadas (Fo).
Aquí se puede formular las siguiente Hipótesis Nula: Ho : “No existe diferencias significativas en los hábitos de estudio que
utilizan los estudiantes de Psicología y Administración”. Las variables son: Especialidad (dos categorías) Técnica de Estudio (tres categorías) La prueba chi-cuadrado compara las frecuencias observadas (Fo) en cada una de las
celdas con las frecuencias esperadas (Fe), si las diferencias se debieran al azar,
como lo afirma la hipótesis nula. Es decir la prueba compara el número de estudiantes que esperaríamos que resultará si en realidad no hubiera diferencias entre los hábitos de estudio entre los dos tipos de estudiantes. Las frecuencias esperadas o teóricas (Fe) supone que no existen diferencias
significativas en los hábitos de estudio, para estimar estas frecuencias, los alumnos de cada categoría de hábitos de estudios, se distribuyen de acuerdo a las proporciones del número total de alumnos por especialidad (Psicología y Administración). Los cálculos se realizan como sigue: Estudiantes de Psicología : 43 0,478 Estudiantes de Administración : 47 0,522 90 1,000 luego para estimar Fe, se multiplican así :
17 x 0,478 = 8 24 x 0,478 = 12 49 x 0,478 = 23 17 x 0,522 = 90 24 x 0,522 = 12 49 x 0,522 = 26 17 24 49 Entonces el cuadro de contingencia tendría nuevos valores (Fe). A continuación se
indican los valores de Fo y Fe (en semicírculo).
Alumnos HABITOS DE ESTUDIO Total
I R D
S6
8
14
12
23
23 43
E11
9
10
12
26
26 47
TOTAL 17 24 49 90
Para facilitar el cálculo de X2 a partir de la fórmula se utiliza la siguiente tabla de trabajo:
P
A
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Relación Fo Fe (Fo - Fe)2
SI 6 8 4,00 0,5000
EI 11 9 4,00 0,4444
SR 14 12 6,25 0,5435
ER 10 13 6,25 0,5000
SD 23 23 0,16 0,0068
ED 26 26 0,16 0,0062
90 90 2,0010 = P2
(Fo Fe)
Fe
2
Para aceptar o rechazar la hipótesis nula, se tiene que proponer un nivel de
significación () y determinar los grados de libertad (g.l.). En este caso, se propone
un nivel de significación de 5% ( =0,05). Como m = 2 filas n = 3 columnas, luego : g.l. = (m-1) (n-1) = (2-1) (3-1) = 2 grados de libertad. En la Tabla A de valores críticos de Chi Cuadrado, se ubica el valor o punto crítico
de para 2
cx = 0,05 con 2 grados de libertad, obteniéndose P2=5,99. Este valor
comparado con el valor de X2=2,0010 obtenido en la tabla de trabajo, se deduce
que: X2 = 2,0010 es menor que 2
cx = 5,99 luego se tiene que aceptar Ho, que
significaría que no hay diferencias significativas entre los hábitos de estudios utilizados por ambos grupos de estudiantes universitarios, si existen algunas diferencias estas se deben al azar.
PI
AI
PR
AR
PD
AD
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VALORES CRÍTICOS DE X2 A VARIOS NIVELES DE PROBABILIDAD (CHI CUADRADO)
TABLA AValores críticos de P2 a varios
niveles de probabilidad (chi cuadrado)
gl 0,1 0,05 0,02 0,01 0,001
1 2,71 3,84 5,41 5,41 10,83
2 4,60 5,99 7,82 7,82 13,82
3 6,25 7,82 9,84 9,84 16,27
4 7,78 9,49 11,67 11,67 18,46
5 9,24 11,07 13,39 13,39 20,52
6 10,64 12,59 15,03 15,03 22,46
7 12,02 14,07 16,62 16,62 24,32
8 13,36 15,51 18,17 18,17 26,12
9 14,68 16,92 19,68 19,68 27,88
10 15,99 18,31 21,16 21,16 29,59
11 17,28 19,68 22,62 22,62 31,26
12 18,55 21,03 24,05 24,05 32,91
13 19,81 22,36 25,47 25,47 34,53
14 21,06 23,68 26,87 26,87 36,12
15 22,31 25,00 28,26 28,26 37,70
16 23,54 26,30 29,63 29,63 39,29
17 24,77 27,59 31,00 31,00 40,75
18 25,99 28,87 32,35 32,35 42,31
19 27,20 30,14 33,69 33,69 43,82
20 28,41 31,41 35,02 35,02 45,32
21 29,62 32,67 36,34 36,34 46,80
22 30,81 33,92 37,66 37,66 48,27
23 32,01 35,17 38,97 38,97 49,73
24 33,20 36,42 40,27 40,27 51,18
25 34,38 37,65 41,57 41,57 52,62
26 35,56 38,88 42,86 42,86 54,05
27 36,74 40,11 44,14 44,14 55,48
28 37,92 41,34 45,42 45,42 56,89
29 39,09 42,56 46,69 46,69 58,30
30 40,26 43,77 47,96 47,96 59,70
Para unos grados de libertad dados (gl) el valor observado de P2 es significativo a
un determinado nivel de significación si es igual o mayor que el valor crítico indicado
en la tabla.