Lección 1

1. Vectores y Operaciones Fundamentales en R2

Un momento histórico para los vectores y su creador En su obra “Mecánica Analítica”, publicada en 1788, Lagrange aritmetizó las fuerzas, las velocidades y las aceleraciones del mismo modo que Descartes aritmetizó los puntos. Esta idea desarrollada por Lagrange en su libro, tomó más tarde la forma de la llamada teoría de vectores y demostró ser de gran utilidad para la física, la mecánica y la tecnología. Pero fue solo 100 años después de Lagrange cuando los matemáticos y físicos, bajo el influjo del desarrollo de la teoría de la electricidad, comenzaron hacer uso abundante de la teoría general de los segmentos de longitud y dirección dadas. Tales segmentos se denominaron vectores. Nota 1

Joseph Luis Lagrange ( 1736, Turín, Sardinia-Piedmont, Italia - 1813 en París). Procedía de una ilustre familia parisiense, que tenía profundo arraigo en Cerdeña, y algún rastro de noble linaje italiano. Pasó sus primeros años en Turín, su activa madurez en Berlín, y sus últimos años en París, donde logró su mayor fama. Una especulación insensata llevada a cabo por su padre, abandonó a Lagrange a sus propios recursos, a una edad temprana, pero este cambió de fortuna, no resultó ser una gran calamidad, "pues de otro modo -dijo él- tal vez nunca hubiera descubierto mi vocación". En la escuela, sus intereses infantiles eran Homero y Virgilio, y cuando una memoria de Halley le cayó en las manos, se alumbró la chispa matemática. Como Newton, pero a una edad aún más temprana, llegó al corazón de la materia en un espacio de tiempo increíblemente corto. A los dieciséis años de edad , fue nombrado profesor de matemáticas en la Escuela Real de Artillería de Turín, donde el tímido muchacho, que no poseía recursos de oratoria y era de muy pocas palabras, mantenía la atención de hombres bastante mayores que él. Su encantadora personalidad atraía su amistad y entusiasmo. Pronto condujo un joven grupo de científicos, que fueron los primeros miembros de la Academia de Turín. Lagrange se transfiguraba cuando tenía una pluma en sus manos; y, desde un principio, sus escritos fueron la elegancia misma. Transcribía a las matemáticas todos los pequeños temas sobre investigaciones físicas que le traían sus amigos, de la misma manera que Schubert ( Frank, 1797, Lichtenthal, cerca de Viena.- 1828, Viena.)   pondría música a cualquier ritmo perdido que arrebatara su fantasía. A los diecinueve años de edad, obtuvo fama resolviendo el así llamado problema isoperimétrico ( ¿Cuál es el área máxima que puede rodearse con una curva de longitud dada? ), que había desconcertado al mundo matemático durante medio siglo. Comunicó su demostración en una carta a Euler, el cual se interesó enormemente por la solución, de modo especial en cuanto concordaba con un resultado que él mismo había hallado. Euler (1707- 1783) con admirable tacto y amabilidad respondió a Lagrange, ocultando deliberadamente su propia obra, de manera que todo el honor recayera sobre su joven amigo. En realidad Lagrange no sólo había resuelto un problema, también había inventado un nuevo método, un nuevo cálculo de variaciones, que sería el tema central de la obra de su vida. Esté cálculo pertenece a la historia del mínimo esfuerzo, que comenzó en los espejos reflectores de Herón y continuó cuando Descartes reflexionó sobre la curiosa forma de sus lentes ovales. Lagrange podía demostrar que los postulados newtonianos de materia y movimiento, un tanto modificados, se adaptaban al amplio principio de economía de la naturaleza. El principio ha conducido a los resultados aún más fructíferos de Hamilton y Maxwell, y , actualmente, continúa, en la obra de Einstein y en las últimas fases de la mecánica ondulatoria.

Lagrange estaba dispuesto a apreciar el trabajo sutil de los demás, pero estaba igualmente capacitado para descubrir un error. En una temprana memoria sobre las matemáticas del sonido, señaló defectos, incluso en la obra de Newton. Otros matemáticos le reconocían, sin envidia, primero como su compañero y más tarde, como el mayor matemático viviente. Después de varios años del mayor esfuerzo intelectual sucedió a Euler en Berlín. En Alemania, el rey Federico, que siempre le había admirado, pronto comenzó a gustar de sus modales modestos, y le reprendía por su intemperancia en el estudio, que amenazaba con desquiciar su mente. Las amonestaciones debieron producirle algún efecto, porque Lagrange cambió sus hábitos, e hizo cada noche un programa de lo que debería leer al día siguiente, sin exceder nunca la proporción. Siguió residiendo en Prusia durante veinte años, produciendo obras de alta distinción, que culminaron en su Mécanique Analytique. Decidió publicarla en Francia, a donde fue llevada a salvo por uno de sus amigos.

Le gustaba la música. Decía que le aislaba y le ayudaba a pensar, ya que interrumpía la conversación general. "La escucho durante los tres primeros compases; luego no distingo nada, pero me entrego a mis pensamientos. De esta manera he resuelto muchos problemas difíciles".

Nota 1 Obtenido del libro “La matemática : su contenido, métodos y significado”, Aleksandrov, Kolmogorov, Laurentiev y otros, Alianza Universidad

1

1.1 El conjunto R2 y Sus elementos : Pareja de números reales

1.1.1 El conjunto R2 . El conjunto de todas las parejas de números reales , notado R2, se define así :R2 = { (x1 , x2 ) | x1 R y x2 R }

Observación : La pareja como vector . En esta lección y en las próximas usamos la palabra vector en en vez de pareja. El vector tiene un sentido geométrico : flecha que comienza en el origen y finaliza en el punto A(a1, a2 ). A esta flecha se le asigna algebraicamente la pareja (a1, a2 ) .

1.1.2. Representaciones gráficas de una pareja A = ( a1 , a2 ) de números reales . Primera: Representación puntual. La pareja A = ( a1 , a2 ) se representa como lo hacemos con los puntos del plano XY. Ver figura de la izquierda

Notación : Las parejas se notan de modo similar a los puntos pero suprimiendo la letra mayúscula al comienzo , la cual se escribe a la izquierda de una igualdad cuyo miembro derecho es la pareja : A = ( a1 , a2 ).

Segunda : representación vectorial. La pareja A = ( a1, a2) también puede representarse como un vector : flecha que comienza en ( 0, 0 ) y finaliza en el punto ( a1, a2)

1.1.3 Igualdad entre parejas. Sean A = ( a1 , a2 ) y B = ( b1 , b2 ). Decimos que A = B si y sólo si a1 = b1

y a2 = b2 ; o lo mismo, ai = bi para i = 1, 2 .

1.2 Distancia entre dos puntos A y B . Longitud del segmento AB.

1.2.1. Norma o longitud de un vector. La distancia de un punto A = ( a1, a2 ) al origen O = ( 0, 0 ) , se nota || A || ( norma de A ; longitud del vector A) y se calcula usando Pitágoras :

|| A || =

Vector unitario: Un vector es unitario si y solo si su norma es 1 . Ejemplos, A = ( 1/ , 1/ ) y B = ( 1/ , 2/ ) son unitarios, ¿por qué?

Observación: Al diseñar geométricamente estos vectores ( parejas) se

obtiene una circunferencia de centro (0,0) y radio 1: = 1

1.2.2. La distancia entre dos puntos A (a1, a2) y B(b1,b2) : es la longitud del segmento AB y se calcula como la norma de B – A , donde B – A = ( b1– a1, b2 – a2)

d ( A, B ) = || B – A || = ,

1.3. La operación suma en R2

2

A = ( a1, a2 )

a1

a2

X

Y

A = ( a1, a2 )

a1

a2

X

Y

b2 a2

b1

b2

a1

b1 a1

B

, a2 )

A, a2 )

d(A, B)

, a2 )

a2

1.3.1. Definición. Sean A = ( a1, a2 ) y B = ( b1, b2 ) . La suma de estas dos parejas es otra pareja C donde cada una de sus componentes es la suma ordenada de las componentes de A y B. Esto es ,

( a1, a2 ) + ( b1, b2 ) = ( a1 + b1, a2 + b2 )

De modo formal + : R2 x R2 ________ R2 ( A , B ) – – – – – – C = A + B

donde C = ( a1 + b1, a2 + b2 ), si A = ( a1, a2 ) y B = ( b1, b2 ) .

La operación + es una operación interna ( cerrada en R2 : la suma de dos elementos de R2 es otro elemento de R2 ); y O = ( 0, 0) es su elemento neutro ( A + O = A ).

Ejemplos :1. Sean A = ( 2, 4 ) , B = ( – 3 , – 2 ) A + B = ( – 1, 2 )2. Sean A = ( 3, 2 ) , B = ( 0 , 0 ) A + B = ( 3, 2 ) 3. Sean A = ( – 4, 6 ) , B = ( 4 , – 6 ) A + B = ( 0, 0 )

1.3.2. Interpretación geométrica de la suma (“Ley del paralelogramo “ ). Sean A = ( a1, a2 ) ; B = ( b1, b2 ) . De lo conocido por el estudio en sus estudios de educación básica y de física, por el momento y brevedad, aceptamos que esta suma se obtiene por medio de un paralelogramo ( A + B es el vector cuyo extremo es el vértice del paralelogramo opuesto al origen ) .

1.4. Método cola con cabeza para la suma de dos vectores en R2. En algunos casos la suma de A con B se puede hallar y entender gráficamente empleando el método de cola con cabeza :

Sobre la cabeza del vector A construimos el vector B, como se hace cuando lo diseñamos desde el origen ; la cola del vector B está sobre la cabeza del vector A . En este caso las coordenadas del punto al cual se llega operando así con B da lugar a A + B ( siempre comenzamos con las flechas horizontales ).

Actividades.

Actividad 1. Dados los vectores V1 = ( 1 , 2 ) ; V2 = ( 3 , 4 ) sumarlos e Ilustrar gráficamente el resultado usando el método cola con cabeza

Solución :

V1 + V2 = ( 2 , 2 )

Método cola con cabezaPrimero se dibuja V1 ; y a partir de la cabeza de V1 se dibuja el vector V2 ( usando el recorrido del taxista ) .El punto al cual se llega operando así con V2 da lugar a V1 + V2 .Se obtiene V1 + V2 = ( 2 , 2 )

3

V1 V2

V1+ V2

A+ B

A

B

b1

b2

a1

a2

O

b2 + a2

b1

b2

a1

a1 + b1

a2

b2

b1AB

A + B

O

B

Actividad 2. Dados los vectores V1 = ( 2 , 3 ) ; V2 = ( 5 , 4 ) . Sumarlos e ilustrar gráficamente el resultado usando el método cola con cabeza

Solución :V1 + V2 = ( 3 , 1 )Por el método “cola con cabeza” se obtiene V1 + V2 = ( 3 , 1 )

Actividad # 1 en clase. Nota 2 Dados los vectores V1 = ( 4 , 2 ) ; V2 = ( 3 , 5 ) sumarlos e ilustrar gráficamente el resultado usando el método cola con cabeza

1.5 El método cola con cabeza para la suma de tres o más vectores en R2.

La suma de tres vectores ( y de una cantidad mayor de 3 ) se define usando la propiedad asociativa de la suma entre parejas : A + B + C = ( A + B ) + CEn algunos casos se puede interpretar geométricamente usando el método cola con cabeza :

la cola de un vector se coloca en la cabeza de su antecesor ; cada vector se construye desde la cabeza del otro, como se construyen los vectores a partir del origen: con flechas horizontales y verticales . Se realizan desplazamientos rectilíneos, siguiendo un juego similar al desplazamiento de un taxista por calles y carreras ; siempre comenzando por las “carreras” ( flechas horizontales).

Actividades. Actividad 1 . Dados los siguientes 3 vectores : V1 = ( 2, 1 ) ; V2 = ( 3 , 4 ) ; V3 = ( 2 , 2), sumarlos e Ilustrar gráficamente el resultado usando el método cola con cabeza

Solución :

V1 + V2 + V3 = ( 3 , 1)

Por el Método cola con cabeza ( figura de la derecha) se obtiene R = ( 3 , 1 )

Actividad 2 . Dados los siguientes 4 vectores : V1 = ( 1, 3 ); V2 = ( 2 , 2 ); V3 = ( 1 , 3); V4 = ( 3 , 5 ), sumarlos e Ilustrar gráficamente el resultado usando el método cola con cabeza

Solución :

V1 + V2 + V3 + V4 = ( 5 , 3)Por el Método cola con cabeza ( figura de la derecha) se obtiene R = ( 5 , 3 )

Actividad # 2 en Clase.Dados los siguientes vectores : V1 = ( 2, 7 ) ; V2 = ( 3 , 5 ) ; V3 = ( 2 , 6) ; V4 = ( 7, 1),sumarlos e Ilustrar gráficamente el resultado usando el método cola con cabeza

Nota 2 La realización y las otras propuestas en esta lección tienen un valor total de una décima para el próximo parcial. Pero el estudiante las debe presentar en la clase ó en su defecto, en la próxima.

4

A

B

C

C

B

A+B +CR

V1

V2

V3

R V1+ V2 + V3

V1

V2

V3

V4

R

V1

V2

V1+ V2

1.6 La operación Resta en R2 Nota 3 . Inverso aditivo de un vector 1.6.1 Definición. Sean A = ( a1, a2 ) y B = ( b1, b2 ) . La resta de estas dos parejas es otra pareja C donde cada una de sus componentes es la resta ordenadas de las componentes de A y B. Esto es ,

( a1, a2 ) – ( b1, b2 ) = ( a1 – b1, a2 – b2 )

De modo formal – : R2 x R2 ________ R2 ( A , B ) – – – – – C = A – B

donde A = ( a1, a2 ) , B = ( b1, b2 ) y C = ( a1 – b1, a2 – b2 ). La operación – es una operación interna ( cerrada en R2 : la resta de dos elementos de R2 es otro elemento de R2 )

1.6.2 Interpretación Geométrica de la resta de vectores ( válida

también para R3 )

El vector B – A indica el desplazamiento desde A hasta B; es un desplazamiento de una cabeza a otra, comienza en la cabeza de A ( aparece de último en B – A ) y finaliza en la cabeza de B ( aparece de primero en B – A )

Intuitivamente B – A es la diagonal menor del paralelogramo de lados A , B ; en tanto que A + B es la diagonal mayor .

1.6.3. Definición del inverso aditivo. Dado A = ( a1, a2 ), A = (a1, a2 ). – A tiene igual longitud que A, pero sus sentidos son opuestos. Nótese que A + A = ( 0, 0 ). Además, B – A = B + A , lo cual algebraicamente es fácil de probar; y en la práctica, el miembro derecho es el más usual para realizar la resta indicada.

Ejemplo, si A = ( 1, 5 ) , B = ( 2 , –2 ) A – B = ( 1– 2, 5 – (–2) ) = ( –1 , 7 )

A + B = ( 1, 5 ) + (– 2, 2) = ( –1 , 7 )

Nota 3 En muchos textos esta operación se define como una suma de una pareja con el inverso aditivo de la otra; sin embargo, se usa con tanta frecuencia que bien resulta definirla como una operación más entre vectores.

5

a2

B

, a2 )

B – A

, a2 )

a1

b2

b1

A

, a2 )

b2 a2

: b1a1

B

, a2

)

A

, a2 )

A + B

B – A

B – A = B + ( – A )

– A

A

, a2

)

B + – A

, a2 )

B

, a2

)

A

, a2

)

B – A

, a2 )B

, a2

)

B – A

, a2 )

Observación : W + W V = V ( pues W V = V – W ). Intuitivamente ,si partimos del punto W y vamos en línea recta desde W hasta V ( W V ) , de modo evidente se llega a V

Actividad # 3 en Clase.Dados los vectores V = (–1 , 4 ) , W = (2 , 1 ) a. Sin operación algebraica alguna , representar geométricamente V – W ( se debe trazar una flecha desde W hasta V y a esa flecha asignarle una pareja ) ; y W – V ( proceder de modo parecido)

Sugerencia : sólo se deben hacer flechas que conectan las cabezas de estos vectores ; pero se debe tener mucho cuidado con el sentido de estas flechas

b. Sin necesidad de operación vectorial y algebraica alguna asignar una pareja a V – W y W – V Sugerencia: Sean V = ( v1, v2 ) y W = (w1, w2). Si la gráfica resultante es como una de las que a continuación se presentan, por ejemplo,

usted lo que debe precisar son los valores v1 – w1, v2 – w2 , pero solo se deben calcular (“de un modo casi visual” ) esas diferencias , y asignarles un valor positivo o negativo de acuerdo a los sentidos de los desplazamientos horizontales y verticales que se deben realizar para ir desde W hasta V (ó desde V hasta W )

c. Usando operaciones algebraicas comprobar el resultado dado en la parte anterior (b)

1.7 Producto de un vector por un escalar ( producto punto de un escalar por un vector )Sean A = ( a1, a2 ) y un número real. El producto escalar de A por ó de por A , es otra pareja C donde cada una de sus componentes es el producto ordenado de las componentes de A por . Esto es ,

( a1, a2 ) = ( a1, a2 ) = ( a1 , a2 )

De modo formal : R x R2 ________ R2 ( , A ) – – – – – C = *A

donde A = ( a1, a2 ) y C = (a1 , a2 ). La operación es una operación externa ( las parejas se operan con números reales , los cuales no son parejas )Notación . En vez de A se usa simplemente la notación A : ( a1, a2 ) = ( a1 , a2 )

En la figura de la derecha se ilustran los vectores V, 2V, 3W, 1/3 V ; W y – ½ W

Ejemplos :1. Sea A = ( 3, 4 ) –2A = ( – 6 , – 8 )2. Sea A = ( –5, 6 ) 9A = ( – 45 , 54 ) Comentarios. 1. Todo vector se anula por cero : 0 v = O = ( 0 , 0 ). Lo cual es claro. 2. Colinealidad de los extremos de v y v con cero : Es importante tener que claro que geométricamente los extremos de v y v forman una recta que pasa por el origen ( cero ) . En este caso , y dado que v y v tienen la misma dirección , decimos que v y

6

V

WW + W V = V

W

, a2 )

3W

½ W

, a2 )

2V

, a2 )

1/3V

, a2 )

V

, a2 )

V – W

, a2 )

W

v2w2

: v1w1

V

V – W

, a2 )

W

v2w2

: v1w1

V

V – W

, a2 )

V

v2w2

: v1w1

W

v son vectores parecidos ; sin embargo, pueden tener sentidos opuestos . Desde luego en muchos casos suelen tener longitudes distintas ( v. puede ser mas largo o más corto que el vector v ) .

3. El vector – w . – w = – 1 . w ; esto es , si w = ( w1 , w2 ) , – w = (– w1 , – w2 )

Actividad # 4 en ClaseSea V = ( 1, 2) . Dados los siguientes vectores, precisarlos algebraicamente y luego representarlos geométricamente : 2V, 2/3 V, – 3V, –1/2 V

1.8 Una aplicación de la suma y la resta en el estudio de paralelogramos

1.8.1. Proposición 1. Dados tres vértices A, B , C de un paralelogramo ABCD, donde dos de ellos son vértices opuestos ( A, C : el primero y el tercero) , podemos encontrar el vértice restante D , mediante la fórmula : D = ( A + C ) – B ( “la suma de los opuestos restada del adyacente a estos” )

En efecto, D = A + AD ( ver observación de la sección 1.6.2 ); pero AD = BC . Luego, D = A + BC = A + ( C – B ) = ( A + C ) – B

De esta proposición , trivialmente se tiene válida la siguiente

1.8.2. Proposición 2 : “La sumas de los vértices opuestos son iguales ” . Esto es,

A + C = B + D ( 1 )

Comentarios 1. De la formula ( 1) , se deduce que C = B + D – A . Lo cual se puede verificar de modo gráfico : C = B + BC ; pero BC = AD. Luego, C = B + AD = B + D – A 2. De la formula ( 1) , se deduce que A = B + D – C . Lo cual se puede verificar de modo gráfico : A = D + DA ; pero DA = CB . Luego, A = D + CB = D + B – C = B + D – C

1.8.3 Actividades .

Actividad 1. Dado el paralelogramo ABCD de vértices : A(– 3, 1 ) , B ( 1, 1 ) , C ( 3, 3 ) y D (– 1, 3 ), realizando las operaciones del caso , comprobar las siguientes igualdades :a. D = ( A + C ) – B b. C = ( B + D ) – A c. B = ( A + C) – D

Solución a. ¿ D = ( A + C ) – B ? ( A + C ) – B = ( (– 3, 1 ) + ( 3, 3 ) ) – ( 1, 1 ) = ( 0, 4 ) – ( 1, 1 ) = (–1, 3 ) = D

b. ¿ C = ( B + D ) – A ? ( B + D ) – A = ( ( 1, 1 ) + ( – 1, 3 ) ) – (– 3, 1 ) = ( 0, 4 ) + ( 1, 1 ) = ( 3, 3 ) = C c. para el estudiante .

Actividad 2. a. Diseñar el paralelogramo ABCD , donde A(– 2, –1 ) , B ( 1, 0 ) y C ( 0, 3) , siendo A y C vértices opuestos . b. Probar que este paralelogramo tiene sus cuatro lados iguales

Solución.a. D = C + A – B = ( 0, 3) + (–2, –1 ) – ( 1, 0) = (–3 , 2)b. A(– 2, –1 ) , B ( 1, 0 ) , C ( 0, 3) y D( –3 , 2)B – A = ( 3, 1 ) ; D – A = (–1, 3 ) lado AB = || B – A || = || ( 3, 1 ) || = =

lado DC = || C – D || = || ( 3, 1 ) || = = lado AB = lado DC

7

BA

CD

D

C

B

A

A

B

D

C

lado AD = || D – A || = || (–1, 3 ) || = =

lado BC = || C – B || = || (–1, 3 ) || = = lado AD = lado BC

En consecuencia , el paralelogramo es un cuadrado de lado

Actividad # 5 en Clase.a. Diseñar el paralelogramo ABCD , donde A( 5, 1) , B ( 8, 5) y C (2, 3), siendo A y C vértices opuestos. Precisar las coordenadas del vértice restante Db. Probar que los pares de lados iguales tienen igual medida. ¿Los 4 lados tienen igual medida?

1.9. El Producto Interno ( ó punto ) en R2. 1.9.1. Definición. Sean X = ( x1 , x2 ) , Y = ( y1, y2 ) . El producto interno de X con Y, notado X Y , es el numero real definido como :

X Y = x1y1 + x2y2

De modo formal : R2 x R2 ________ R (A , B ) – – – – – c = A B

donde A = ( a1, a2 ) , B = (b1 , b2 ) y c = A B = a1b1 + a2b2. La operación no es cerrada para R2

Para recordar : El producto interno de parejas es un real y NO una pareja

1.9.2. Ilustraciones Ilustración 1 . Sean X = ( 2 , 3 ) , Y = ( 4 , 5 ) . Luego, X Y = 8 + 15 = 7 Ilustración 2 . Sean X = ( 6 , 4 ) , Y = ( 3 , 9 ) . Luego, X Y = 18 36 = 54

1.9.3. Propiedades fundamental del producto interno. Dados X = ( x1 , x2 ) , Y = ( y1, y2 ), Z = ( z1, z2 ) elementos de R2 , y , números reales el producto interno satisface las siguientes propiedades :

1 Positiva : X X > 0 , para X O ; X X = 0 , si X = O .2. Conmutativa : X Y = Y X 3 Distributiva . ( X + Y ) Z = ( X Z ) + ( Y Z )

Prueba de las propiedades1. X X > 0 , para X O ; X X = 0 , si X = O. En efecto, X X = x1

2 + x22 . Luego,

a. Si X O , se tiene x1 0 o x2 0 . Si x1 0 , x12 > 0 ; y X X x1

2 > 0 Si x2 0 , x2

2 > 0 ; y X X x12 > 0

En cualquier caso se concluye que X X > 0 b. Si X = O , se tiene x1 = 0 o x2 = 0 . Luego, x1

2 + x22 = 0 ; o lo mismo , X X = 0

2. X Y = Y X . En efecto, X Y = x1y1 + x2y2 = y1x1 + y2x2 = Y X

3. ( X + Y ) Z = ( X Z ) + ( Y Z ) . En efecto,

X + Y = ( x1 + y1 , x2 + y2 )( X + Y ) Z = ( x1 + y1 ) z1 + ( x2 + y2 ) z2

= ( x1 z1 + y1 z1) + ( x2 z2 + y2 z2)= ( x1 z1 + x2 z2 ) + ( y1 z1+ y2 z2)= ( x1 z1 + x2 z2 ) + (y1 z1+ y2 z2)= ( X Z ) + ( Y Z )

Comentario . Otras propiedades del producto interno deducibles de las anteriores, son las siguientes tres:4 ( X Y ) = ( X ) Y = X ( Y ) : En efecto , ( X ) Y = ( X + 0 Z ) Y = ( X Y ) + 0 ( X Z ) = ( X Y )

De modo análogo se prueba que X ( Y ) = ( X Y )5 X Y = ( ) (X Y) :En efecto , X Y = ( X Y) ( de la anterior propiedad 4) = ( ( X Y ) ) ( otra vez por la propiedad 4)

= () (X Y) ( asociatividad de números reales )En particular se tiene 6 X Y = X Y

8

1.9.4. Proposición . a. || A || = ; o lo mismo, || A ||2 = A A b. || A || = | | || A ||, donde es un número real

Prueba ( para el estudiante)

Actividad # 6 en Clase: Construcción de vectores unitarios. Construir dos vectores unitarios ( normas iguales a 1) a partir de dos vectores no unitarios, cada uno de ellos con componentes distinto de cero . Determinar sus componentes y dibujarlos usando una circunferencia de centro (0, 0) y radio 1

Sugerencia: si V O , W = es unitario : || W || = = || V || = 1

1.10. Aplicación de la norma y producto interno en la medida de ángulos. 1.10.1. Angulo entre vectores. Sean V, W vectores en R2. El ángulo entre ellos se calcula usando la formula :

cos =

Sugerencias para justificar la fórmula ( válida también en R3 ): De la gráfica de la derecha y de la ley del coseno tenemos que || W – V || 2 = || W || 2 + || V ||2 - 2 || W || || V || cos .. Luego , ( W – V ) ( W – V ) = W W + V V – 2 || W || || V || cos .Al realizar operaciones en la parte izquierda de la igualdad y cancelando con algunas partes de la derecha , se obtiene :

– 2 W V = – 2 || W || || V || cos .y de acá, la fórmula para cos

1.10.2 Caracterización de vectores perpendiculares . Dos vectores son perpendiculares si y solo si el ángulo entre ellos es / 2 o lo mismo, el coseno del ángulo formado entre ellos es cero. Lo cual conlleva, en la formula anterior, a que su producto interno es cero. De aca resulta la caracterización de vectores perpendiculares

Dos vectores V , W son perpendiculares ( ortogonales) si y solo si V W = 0

Actividades # 7 en Clase. Actividad 1. Sea V = ( 1, 3) . Construir dos vectores (determinar sus componentes) cada uno de ellos perpendicular a V .Actividad 2. Sea V1 = (2, 5) .

a) Construir un vector V2 perpendicular a V1

b) Recta de normal V1 que pasa por el origen: Probar que los vectores (parejas) perpendiculares a V1

constituyen una recta que pasa por el origen LNV1 : { V2 = ( x, y) | V2 V1 }c) Graficar LNV1 con ayuda de regla y transportador , y determinar su ecuación cartesiana. LNV1 se denomina recta de normal V1 que pasa por el origen, y V1 es una normal para la recta LNV1

1.10.3. Angulo determinado por tres puntos A, B y C . El ángulo de vértice A y lados AB y AC ( B – A , C – A ) está dado por la fórmula

cos =

1.10.4 Actividades

9

V

2

2

X

Y

W

2

B

C

A

V

W

|| W – V ||

O || V ||

|| W ||

Actividad 1. Calcular el ángulo entre los vectores V = ( 2, 2 ) Y W = ( 2, 2 )Solución V W = 4 4 = 0 ; || V || = ; || W || = . Luego,

cos = = = 0 = 90º

Actividad 2. Calcular el ángulo entre los vectores V = ( 3, 3 ) Y W = (1, 0 )Solución V W = 3 + 0 = 3 ; || V || = ; || W || = 1. Luego,

cos = = = 135º

Actividad 3. Calcular los lados y ángulos internos del triángulo cuyos vértices son A(1, 1) , B( 3, 1) y C( 2,5) Solución1. Cálculo de los lados a. AB = || B – A || = || ( 2, 0 ) || = 2 b. AC = || C – A || = || ( 1, 4 ) || = c. BC = || C – B || = || ( 1, 4 ) || = ( = AC , el triángulo resulta isósceles )

2. Cálculo de los ángulos internosSean: 1 el ángulo en A ( lados : AB , AC )

2 el ángulo en B ( lados : BA , BC )3 el ángulo en C ( lados : CA , CB )

Tenemos :

a. Cálculo del ángulo en A : 1 B – A = ( 2 , 0 ) ; C – A = ( 1 , 4 ) ; ( B – A ) ( C – A ) = 2 + 0 = 2 ; || B – A || = 2 ; || C – A || = . Luego,

cos 1 = = = 1 = 75º 96

b. Cálculo del ángulo en B : 2 A – B = ( 2 , 0 ) ; C – B = ( 1 , 4 ) ; ( A – B ) ( C – B ) = 2 + 0 = 2 ; || A – B || = 2 ; || C – B || = . Luego,

cos 2 = = = 2 = 75º 96

Nótese que 1 = 2 ; lo cual se esperaba, pues el triángulo es isósceles y su base es AB

c. Cálculo del ángulo en C : 3 ( para el estudiante ) Rta: 3 = 28º 08 .Nótese que 3 = 180 - ( 2 + 3); lo cual se esperaba, pues la suma de los ángulos internos del triángulo es 180

Actividades # 8 en Clase a. Sean A = ( 2, 2) y B = ( 5, 4). Construir un triangulo rectángulo tal que uno de sus catetos sea el segmento AB; precisar las coordenadas del otro vértice y comprobar lo construido usando producto interno.

b. Sean A = ( 2, 1) y C = (4, 7). Construir un triangulo rectángulo de catetos no paralelos a los ejes X, Y, tal que su hipotenusa sea el segmento AC. Determinar las coordenadas del otro vértice y comprobar lo construido usando producto interno.( sugerencia: Primero trate de hacerlo como usted considere adecuado. De no lograrlo, use lo acá ya conocido sobre producto interno y, además, complete cuadrados.)

c. Sean A = ( 6, 2) y C = (1, 5). Construir un rectángulo de lados no paralelos a los ejes X, Y, donde A y C sean vértices opuestos; y comprobar la veracidad de ser rectángulo usando los conceptos algebraicos antes tratados

10

V

3

3

X

Y

W 1

C

3

5

A B

1 2

1

1.11. Vectores Ortogonales y El Teorema de Tales de Mileto ( 640 – 550 adc ). En la figura del lado derecho se observan un círculo de radio R y centro ( 0 , 0 ) , y un triángulo inscrito en el círculo con uno de sus lados igual al diámetro. Probar que el triángulo es rectángulo.

Solución :X ( R , 0 ) ; Y( R , 0 ) ; A ( a1 , a2 ) y a1

2 + a22 = R2 , o lo mismo ,

a12 + a2

2 – R2 = 0 ( 1 ) .Observemos que el ángulo en A de lados AX y AY es recto ; o lo mismo, ( X – A ) ( Y – A ) = 0 :

X – A = ( – R – a1 , – a2 ) ; Y – A = ( R – a1 , – a2 ) ; ( X – A ) ( Y – A ) = ( – R – a1 ) ( R – a1 ) + a2

2 = a12 – R2 + a2

2 = a12

+ a22 – R2 = 0 , de ( 1 ) .

Por tanto, ( X – A ) ( Y – A ) = 0

11

X

R

(0,0)Y

A

Taller: Lección 1

I. Introducción a Espacios Vectoriales Nota 4

El espacio Vectorial R2 ( una forma simplificada de aprender 8 propiedades: 4 para la suma y 4 para el producto por un escalar)

1. Probar que en R2 las operaciones suma y producto por un escalar () satisface las siguientes propiedades:

1.1. Propiedades de la operación +

S1. Propiedad asociativa . Sean A , B , C elementos de R2. Se tiene ( A + B ) + C = A + ( B + C )

S2. Propiedad conmutativa . Sean A , B elementos de R2 . Se tiene A + B = B + A

S3. Existencia de la identidad . Existe un único elemento O de R2 tal que todo elemento de R2 sumando con O da el mismo elemento : A + O = A , para todo A de R2

S4. Existencia del inverso aditivo . Dado A elemento de R2 , existe un elemento de R2 que sumado con A da la identidad para la suma ( O ) : A + B = O . Ese elemento se nota – A.

1.2. Propiedades de la operación

P1. Propiedad Distributiva de un real y dos elementos de R2 ( “factor común un real” ) :Sean A , B elementos de R2 ; y un número real . Se tiene

( A + B ) = A + B ; o lo mismo, A + B = ( A + B )

P2. Propiedad Distributiva de un elemento de R2 y dos reales ( “factor común un elemento de R2”) . Sean 1 , 2 números reales y , A un elemento de R2. Se tiene

( 1 + 2 ) A = 1 A + 2 A ; o lo mismo, 1 A + 2 A = ( 1 + 2) A

P3. Asociatividad de los escalares : Sean 1 , 2 números reales y A un elemento de R2. Se tiene 1

( 2 A ) = ( 1 2 ) A

P4. Neutro para el producto por un escalar : Todo elemento de R2 multiplicado escalarmente por 1 da el mismo elemento . Dado A un elemento de R2 , Se tiene 1 A = A

II. Suma de vectores y Método cola con cabeza 2. Dados los siguientes vectores : v1 = ( 2, 5 ) ; v2 = ( 3 , 4 ) ; v3 = ( 6 , 3) ; v4 = ( 2 , 5 )Sumarlos e Ilustrar gráficamente el resultado usando el método cola con cabeza

3. Dados los siguientes vectores : v1 = ( 4, 3 ) ; v2 = ( 3 , 5 ) ; v3 = ( 8 , 2) ; v4 = (4 , 4 ) ; v5 = ( 2 , 5 )Sumarlos e Ilustrar gráficamente el resultado usando el método cola con cabeza

III . Resta de vectores.4. Dados los vectores V = ( 1 , 5 ) , W = ( 3 , 2 ) a. Sin operación algebraica alguna , representar geométricamente V – W ( se debe trazar una flecha desde W hasta V y a esa flecha asignarle una pareja ) ; y W – V ( proceder de modo parecido) b. Sin necesidad de operación vectorial y algebraica alguna asignar una pareja a V – W y W – V c. Usando operaciones algebraicas comprobar el resultado dado en la parte anterior (b)

5. Realizar lo mismo de 3 pero con los vectores V = ( 2, 4) , W = ( 5 , 3)

IV. Construcción de rectas que pasan por el origen, conocida una de sus normales.6. a) Construir un vector V1 cuyas dos componentes sean distintas de cero . b) Con ayuda de regla y transportador graficar la recta LNV1 de normal V1 que pasa por el origen , y determinar su ecuación cartesiana.

Nota 4 Este concepto de Espacio Vectorial se debe inicialmente al matemático alemán Hermann Grassmann ( 1809 1877), considerado el padre del algebra Lineal. Luego fue formalizado en 1920 por el alemán Hermann Weyl (1885 - 1955).

12

En este caso LNV1 se dice ser la recta de normal V1 que pasa por el origen, y V1 se dice ser una normal para la recta LNV1

V. Longitudes y ángulos en figuras geométricas planas7. Sea ABCD el paralelogramo de la figura derecha . Los vértices A , B , D están dados por A (2 , 2) ; B ( 4, 2) ; D ( 3, 6 ) ; las coordenadas de C deben hallarse con base en estos

tres puntos.

a. Probar que los pares de lados opuestos son iguales ( AB = DC ; AD = BC )b. Probar que los ángulos opuestos son iguales : ángulo en A = ángulo en C ;

ángulo en D = ángulo en B .

8. Sea ABCD el rombo de la figura derecha . Los vértices A , B , D están dados por A ( 5 , 2 ) ; B ( 7 , 1 ) ; D ( 3 , 1 ) . las coordenadas de C deben hallarse con base en estos tres puntos. Realizar las partes ( a ) y ( b ) propuestas en el ejercicio anterior.

9. Graficar y Calcular lados y ángulos internos en los triángulos ABC siguientes :a. A (1, 2 ) , B( 4, 2) ; C( 4, 4 )

b. A ( 2 , 2 ) ; B ( 4 , 2 ) ; C ( 7, 6 ) ; yc. A ( 1, 3 ) ; B ( 2 , 0 ) ; C ( 6, 4 )

VI. Clasificación y construcción de triángulos y paralelogramos 10. De los siguientes triángulos de vértices A, B y C, seleccionar los que son rectángulosa. A = ( 3, 5), B = ( 5, 8), C = (1, 12)b. A = (4, 1), B = ( 5, 2), C = ( 2, 3) c. A = (2, 2), B = ( 3, 1), C = (4, 6)d. A = (4, 2) , B = (1, 1), C = (3, 1)

11. Dados los siguientes paralelogramos, determinados por A, B, C, y donde los vértices A y C son opuestos, seleccionar los que son rectángulos a. A = ( 1, 7) , B = ( 3, 1), C = ( 7, 2)b. A = ( 2, 3) , B = ( 5, 7), C = ( 9, 4) c. A = ( 2, 1) , B = ( 4 , 4), C = ( 4, 20)d. A = ( 4, 3) , B = ( 2, 1), C = ( 3, 2)

12. Sean A = (3, 3) y C = (5, 9). Construir un triangulo rectángulo de catetos no paralelos a los ejes X, Y, tal que su hipotenusa sea el segmento AC. Determinar las coordenadas del otro vértice y comprobar lo construido usando producto interno.

13. Sean A = (5, 2) y C = (5, 6). Construir un rectángulo de lados no paralelos a los ejes X, Y, donde A y C sean vértices opuestos; y comprobar la veracidad de ser rectángulo usando los conceptos algebraicos antes tratados

14. Sean A = (5, 2) y C = (6, 2). Construir un cuadrado, donde A y C sean vértices opuestos; y comprobar la veracidad de ser cuadrado usando los conceptos algebraicos antes tratados

VII. Ampliación del teorema de Tales de Mileto. 15. En la figura del lado derecho se observan un círculo de radio R y centro ( x0 , y0 ) , y un triángulo inscrito en el círculo con uno de sus lados igual al diámetro. Probar que el triángulo es rectángulo.

VIII. Las propiedades fundamentales de la norma en R2

La norma en R2, además de tener la propiedad no negativa ( || X || 0 ), posee otras dos propiedades muy importantes. El objetivo en esta parte es relacionar al estudiante con estas.

16. Propiedad simétrica de la norma. Sea A = ( a1 , a2 ) . Comprobar que || A || = || A ||

17. La desigualdad Triangular . Sean A = ( a1 , a2 ) y B = ( b1 , b2 ) . Comprobar:

13

D B

C

A

A B

CD

X

R

( x0 , y0 ) Y

A

a. || A + B ||2 = || A ||2 + || B ||2 + 2 ( A B ).Sugerencia. || X ||2 = X X, si X = ( x1 , x2 )

b. | A B | || A || || B || (La desigualdad de Cauchy_Schwarz)Sugerencia. Comprobar que ( A B )2 || A ||2 || B ||2 , o lo mismo, 0 || A ||2 || B ||2 ( A B )2 . Además, tener presente la sugerencia de la parte ( a )

c. La desigualdad triangular: || A + B || || A || + || B ||Sugerencias. Elevar al cuadrado ambos miembros de la desigualdad y usar ( a) y (b)

IX. Propiedades fundamentales de la distancia en R2.18. Recordando que distancia entre dos puntos A y B , d( A, B), es igual a || B – A ||: d( A, B) = || B – A ||, y usando las propiedades anteriores de norma , comprobar las siguientes tres propiedades “métricas” de dicha distancia:

d1 . Positiva : d ( A , B ) > 0 , si A B ; d ( A , B ) = 0 , si A = B d2 . Simétrica : d ( A , B ) = d ( B , A ) d3 . Desigualdad triangular : d (A , C ) d ( A , B ) + d ( B , C )

14

|| B ||

, a2 )

||A||

, a2 )

|| A + B ||

, a2 )

Desigualdad Triangular Un lado es menor que la suma de los otros dos

C

, a2 )

B

, a2 )

d ( A , B )

d ( B, C ) d ( A, C)

A

, a2 )