INTRODUCCIÓN A LA LOGICA MATEMÁTICA

Lógica es el estudio del razonamiento; se refiere específicamente a si el razonamiento es

correcto. La lógica se centra en la relación entre las afirmaciones y no en el contenido de

una afirmación en particular. Los métodos lógicos se usan en matemáticas para

demostrar teoremas y en las ciencias de la computación, para probar que los programas

ejecutan lo que deben de hacer.

El lenguaje natural es un instrumento de comunicación humana, que se caracteriza por

su gran flexibilidad y puede estar lleno de redundancias y ambigüedades. Estas

características hacen que la lógica formal no esté interesada en el lenguaje natural. La

lógica pretende ser una ciencia rigurosa y universal que permita realizar cálculos exactos.

Para ello, la lógica requiere el diseño de un lenguaje artificial que sea formal, donde lo

que importe sea la forma o aspecto externo, y no el significado de las frases y donde sólo

los mensajes que cumplan rigurosamente las normas sintácticas sean aceptados como

correctos.

La lógica se ocupa básicamente de declaraciones o enunciados que se caracterizan

porque sus afirmaciones tienen un valor de verdad. Esto es, la lógica trata a las

proposiciones que se pueden definir como enunciados simples, ya sean falsos o

verdaderos, son proposiciones.

La lógica formal es una ciencia que estudia el conocimiento que genera un conocimiento

y este conocimiento puede producirse de dos formas, por constatación, de hechos o

ideas o por deducción, a partir de un conocimiento se obtiene otro conocimiento. Esto es,

la lógica formal estudia la deducción o razonamiento como proceso mental capaz de

generar nuevos elementos de conocimiento a partir de otros.

Finalmente, la lógica formal es una ciencia. Una ciencia formal. Es el estudio del

razonamiento formalmente válido, es la ciencia de la inferencia deductiva. La principal

aportación que la lógica hace a las ciencias está en la ordenación, estructuración y

análisis de las verdades conocidas.

LAS TRES LEYES DE LA LÓGICA

La lógica es el eje del pensamiento crítico y es extremadamente útil para sacar a la luz el error y establecer la verdad. Hay principios en la lógica y nos gustaría presentarle a Usted las primeras tres leyes de la lógica las cuales son muy importantes:

1. La Ley de la Identidad. 2. La Ley de la No Contradicción. 3. La Ley del Medio Excluido.

La ley de la identidad establece que A es A. En otras palabras, algo es lo que es. Una manzana es una manzana. Si algo existe tiene una naturaleza, una esencia. Por ejemplo, un libro tiene una portada y una contraportada con páginas en su interior. Un automóvil tiene cuatro ruedas, asientos, puertas, vidrios, etc. Un árbol tiene ramas, hojas, un tronco y raíces. Esto también significa que cualquier cosa que exista tiene características. Reconocemos lo que algo es al observar sus características. Usted sabe que un árbol es un árbol debido a que ve sus ramas, sus hojas, su tronco, etc. Aún más, si algo tiene una identidad, no puede tener otra, ya que ésta es única e individual. En otras palabras: Si algo existe cuenta con una serie de atributos que son consistentes consigo mismo. Este algo, no tiene un conjunto de atributos que sean inconsistentes consigo mismo. Por lo tanto, podemos fácilmente concluir, que un gato no es un paracaídas. Una manzana no es un automóvil de carreras y un árbol no es una película. La ley de la no contradicción nos dice que A no puede ser tanto A y ninguna A al mismo tiempo y en el mismo sentido. En otras palabras: algo, como una declaración no puede ser al mismo tiempo tanto verdadero como falso y del mismo modo. Con frecuencia usamos la ley de la no contradicción en discusiones y debates ya que somos capaces de reconocer cuando algo es contrario a sí mismo. Si le dijéramos a Usted que ayer alguien fue de compras y más tarde le dijéramos que ese alguien no fue de compras, Usted nos corregiría diciéndonos que existe una contradicción. Una contradicción ocurre cuando una declaración excluye la posibilidad de otra y aun ambas afirman ser verdaderas. Ya que sabemos que ambas no pueden ser verdad, vemos entonces, una contradicción. Basados en este principio, podemos concluir, que la verdad no se contradice a sí misma. Este es un concepto muy importante. Vamos a repetirlo: "La verdad no se contradice a sí misma." La ley del medio excluido dice que una declaración es verdadera o falsa. Por ejemplo: "El cabello de esa mujer es castaño." Es verdadero o falso que el cabello de esa mujer es castaño. Otro ejemplo: La declaración "Estoy embarazado", es verdadera o falsa. Debido a quien escribe esta Lección es un hombre, no es posible que esté embarazado. Por lo tanto, la declaración es falsa. Si fuera una mujer, sería posible que estuviera embarazada dadas las condiciones normales del cuerpo de la mujer. Cuando una mujer se encuentra embarazada, no existe una posición intermedia: Está, o no está embarazada. La ley del medio excluido es importante ya que nos ayuda a tratar con absolutos y esto es particularmente importante en una sociedad donde el relativismo es promovido y las declaraciones verdaderas son negadas. Por favor, revise estas tres leyes y familiarícese con estas ya que son extremadamente importantes cuando desarrollamos habilidades en el pensamiento crítico. Estas leyes, serán utilizadas a lo largo de las siguientes lecciones.

Puntos de Enfoque

1. La ley de la identidad establece que A es A; que si algo existe tiene una naturaleza, una naturaleza individual. Es lo que es.

2. La ley de la no contradicción nos dice que A no puede ser tanto A y ninguna A al mismo tiempo y en el mismo sentido. La verdad no es contradictoria en sí misma.

3. La ley del medio excluido dice que una declaración es verdadera o falsa.

Las Tres Leyes de la Lógica. ( resumen)

1. Mencione la primera ley de la lógica. A. La primera ley de la lógica es la Ley de la Identidad. Esta ley establece

que A es A, que si algo existe tiene una naturaleza, una naturaleza individual. Es lo que es.

Mencione la segunda ley de la lógica. . La segunda ley de la lógica es la Ley de la No Contradicción. Esta ley establece

que A no puede ser tanto A y ninguna A al mismo tiempo y en el mismo sentido. La verdad no es contradictoria en sí misma. En otras palabras, algo no puede ser verdadero si se contradice a sí mismo. Si le dijéramos a Usted que ayer alguien fue de compras y más tarde le dijéramos que ese alguien no fue de compras, Usted nos corregiría diciéndonos que existe una contradicción.

Mencione la tercera ley de la lógica. . La tercera ley de la lógica es la Ley del Medio Excluido. Esta ley establece que una declaración es verdadera o falsa. Esto significa que no existe punto intermedio en cuanto a la verdad de una declaración. La declaración "Está lloviendo afuera", es verdadera o falsa.

Los Absolutos Lógicos

Los absolutos lógicos, por ejemplo, las Tres Leyes de la Lógica, son los componentes

básicos de la discusión y el análisis. Cuando buscamos establecer la verdad, todo

nuestro pensamiento debe presuponer que existen verdades absolutas. Aun si alguien

niega la existencia de las verdades absolutas, esa persona, estaría haciendo una

declaración absoluta y verdadera.

No podemos sostener una discusión racional si no existieran absolutos lógicos, de la

misma forma que no podríamos construir un edificio sin sus bases. Si no hay absolutos

lógicos, entonces, nuestro pensamiento no tendría bases consistentes y no reflejaría la

verdad y/o la realidad. Como ya se declaró en la Lección anterior (Tres Leyes de la

Lógica), si nos contradijéramos en una conversación, su oyente, estaría en lo correcto al

señalarle su contradicción. Su observación sería exacta debido a la ley de la no

contradicción: algo no puede ser al mismo tiempo verdadero y falso en el mismo

sentido. Nota: Esta es una ley, no una recomendación. Es importante que entendamos,

ya que la racionalidad, el descubrir la verdad estableciéndola, sacar a luz el error, etc., no

podrían llevarse a cabo si no existieran los absolutos lógicos.

El pensamiento crítico, el debate, el exponer el pensamiento equivocado, etc.,

presupone la existencia de los absolutos lógicos. Esto no significa que todas las personas

que tratan y son lógicas sean necesariamente, conscientes de estar reconociendo la

existencia de los absolutos lógicos. Pero la discusión racional se basa en estos

absolutos. Ya sea que una persona los reconozca o no.

Sin un estándar de racionalidad, no podemos exponer lo que es irracional. Ya sea que

alguien reconozca o no esta presuposición es irrelevante al hecho de que el fundamento

de la racionalidad se levanta sobre la verdad absoluta y los absolutos lógicos.

No podemos tener una discusión racional si la verdad es relativa. Matt Slick,

presidente y fundador de CARM nos ilustra acerca de esto: "Recuerdo haber tenido una

conversación con alguien que me dijo que la verdad es relativa al individuo y que no

existe tal cosa como los absolutos lógicos." Matt entonces le respondió con la siguiente

declaración: "Los sueños azules son más rápidos que el Miércoles." Esperó por su

respuesta y finalmente, la persona le preguntó acerca de lo que estaba diciendo. A lo que

Matt le respondió algo así: "Yo vuelo en la yerba de colores pescando ladridos." La

persona hizo entonces un comentario de que lo que Matt estaba diciendo no tenía

absolutamente ningún sentido, a lo que respondió: "Estás en lo correcto. Esto no tiene

sentido." Agregó además que si todo es relativo, esa conversación que estaban

sosteniendo, no tendría sentido. Ahora bien, aun cuando esta conversación no estaba

clara, esa persona, estaba reconociendo inadvertidamente los conceptos absolutos. A

continuación, Matt le explicó a esa persona que para poder tener un diálogo racional se

debe tener una verdad común: Un absoluto común. Definitivamente, si no se tiene esto,

no se puede sostener un diálogo real. Por lo tanto, para poder tener una discusión

racional, debemos usar la lógica la cual, está basada en el fundamento de los absolutos

lógicos, las leyes de la lógica.

Los Absolutos Lógicos

Los absolutos lógicos son verdades lógicas que son absolutas. En otras palabras: Estos son siempre verdaderos, en todo momento y donde sea. Un ejemplo sería: "Algo no puede traerse a sí mismo a existencia". Sabemos que esto es verdad ya que si algo no existe, no puede tener ningún atributo y no sería capaz de llevar a cabo ninguna acción. Traer algo a la existencia demanda acción. Pero si algo no existe, nada puede ser llevado a cabo y esto, no podría traerse a sí mismo a existencia. Entonces podemos ver que la declaración, "Algo no puede traerse a sí mismo a existencia", es una verdad absoluta. Otro ejemplo de un absoluto lógico es la declaración: "Algo en sí mismo no puede ser y no ser al mismo tiempo en el mismo sentido." Esto debería hacerle recordar a las personas, la ley de la no contradicción. Normalmente, cuando esto es mencionado a las personas que niegan tal cosa como la existencia de la verdad absoluta, se les debe recordar que si más adelante tuvieran que señalar que estamos siendo contradictorios, ellos no tendrían ningún derecho de afirmar tal cosa como una verdad absoluta, si la ley de la no contradicción no fuera válida. Reconocer solamente la validez de los absolutos lógicos para poder tener una discusión racional pero negar posteriormente esos absolutos

es, a la larga irracional. Por lo tanto, si ellos dicen que no hay verdad absoluta, están entonces subestimando el mismo fundamento del argumento de esa persona. Decir además que la verdad absoluta no existe, es una declaración absolutamente cierta. Pero la declaración, en sí misma, sería contradictoria. Decir por lo tanto, "no existe una verdad absoluta", no puede ser una declaración verdadera. ¿Ve lo importante de esto? Lo que con frecuencia se debe hacer con las personas, normalmente con relativistas y ateos, es debilitar el sistema de pensamiento de ellos. Por ejemplo, un relativista dirá que todos los puntos de vista son igualmente válidos. Pero ¿cómo puede ser esto posible, si un punto de vista contradice a otro punto de vista? Ambos puntos de vista no pueden ser correctos si estos, se excluyen mutuamente, ya que se violaría la ley de la no contradicción. De otro lado, un ateo, no puede explicar las leyes de la lógica porque para él, no existe la mente absoluta (Dios), y nosotros, por lo tanto, no podemos tener una lógica absoluta. (Nota: De esto se hablará en la siguiente Lección). Al debilitar las presuposiciones de un ateo y un relativista, es mucho más fácil descubrir los argumentos de ellos. Entienda por favor que el pensamiento racional presupone la verdad absoluta. No podemos tener una base para una discusión racional sin las verdades absolutas, y estas incluyen absolutos lógicos. Si no existieran tales cosas como los absolutos lógicos, entonces, todas las cosas serían relativas y la verdad no real podría ser establecida.

Puntos de Enfoque

1. Para poder tener un diálogo racional, debemos asumir que existen verdades absolutas.

2. No podemos tener diálogo racional sin presuponer los absolutos lógicos. 3. Si no existen tales cosas como los absolutos lógicos, entonces, todas las cosas

serían relativas y la verdad no real podría ser establecida.

LOS ABSOLUTOS LÓGICOS (resumen)

1. Describa lo que un absoluto lógico es. A. Un absoluto lógico es una declaración que siempre es verdadera. Estos

absolutos lógicos son los componentes básicos del discurso racional sin los cuales, éste, no podría ocurrir.

Describa algunos atributos de los absolutos lógicos. . Algunos atributos de los absolutos lógicos es que son, por naturaleza,

conceptuales, no dependen de la mente humana y son trascendentes en el espacio y el tiempo.

¿Cómo puede usar los absolutos lógicos para sostener la existencia de Dios? . Usted puede usar los absolutos lógicos para apoyar la existencia de Dios al demostrar que los no teístas no pueden explicar la existencia de los absolutos lógicos. Un Cristiano puede apoyar la existencia de Dios, presentando que la naturaleza conceptual y

trascendente de los absolutos lógicos implica una mente trascendente y absoluta.

DEDUCCIÓN E INDUCCIÓN Los dos métodos principales del razonamiento son llamados deducción e inducción. La deducción trabaja de lo general a lo más específico, y la inducción va de lo específico a lo general. En la deducción, la conclusión lógicamente sigue a las premisas; ésta, es una conclusión necesaria y es verdadera. En la inducción, la conclusión "probablemente" sigue a las premisas y no son necesariamente verdaderas. Los siguientes ejemplos son simples ilustraciones. No hay necesidad de pasar a niveles multifacéticos de tipos de argumentación deductiva. Esto es para el estudiante de la lógica formal. Más bien, todo lo que necesitamos conocer es lo básico y el poder ser capaces de aplicar los fundamentos a nuestras conversaciones y la defensa y establecimiento de la fe Cristiana.

1. Deducción A. Todos los hombres son mortales. Sócrates es un hombre. Por lo tanto,

Sócrates es un mortal. B. Cada acción que Dios ha hecho alguna vez, ha sido buena. Dios hizo el

mundo. El haber hecho el mundo fue bueno. C. El libro está sobre la mesa. La mesa está sobre el piso; por lo tanto, el libro

está sobre el piso.

Inducción: . Todos los primeros de Enero y por los últimos años ha llovido en Hawaii. Por lo

tanto, el próximo año en ese día, lloverá también. Note que la conclusión suena razonable, pero no se prueba hasta

después del hecho. La conclusión podría estar equivocada. A. Cada águila que he observado tiene plumas oscuras; por lo tanto,

todas las águilas tienen plumas oscuras. Solo porque todas las águilas que he observado tienen plumas

oscuras, no significa que todas las águilas tienen plumas oscuras. Aun, cuando esto podría ser cierto —si hablamos de las águilas maduras. Sin embargo, podría haber águilas albinas, o águilas jóvenes que no tienen plumas oscuras.

B. Cada libro que he observado en la biblioteca tiene más de un año de antigüedad. Todos los libros en la biblioteca tienen más de un año.

Podría ser que todos los libros en la biblioteca tienen más de un año de antigüedad. Pero esto no necesariamente tiene que ser así ya que no sabemos si la primera oración significa que he observado todos los libros en la biblioteca. Si no los he observado todos, podría ser que haya libros que tengan menos de un año de antigüedad.

La diferencia entre la deducción e inducción es muy simple. La deducción, generalmente significa que todas las conclusiones establecidas de las premisas son

correctas. Sin embargo, como Usted verá en la siguiente Lección acerca de los silogismos (cuatro ejemplos), este no siempre es el caso. La razón por la que Usted necesita conocer la diferencia entre deducción e inducción es para que pueda identificar claramente argumentos racionales o irracionales. Desafortunadamente, muchas personas usan la inducción como un sustituto para la deducción. Usted debe ser cuidadoso en no permitir que alguien llegue a una conclusión que sea demasiado amplia y que no necesariamente se requiera debido a la información que se ha establecido. Como puede ver en los ejemplos anteriores de inducción, las conclusiones no necesariamente siguen a las premisas. En la medida en que avanzamos a través de estas lecciones, Usted verá más ejemplos de deducción e inducción, particularmente en los diálogos que analizaremos más tarde.

Puntos de Enfoque

1. La deducción es una forma de lógica que trabaja de lo general a lo específico, estableciendo conclusiones necesarias a partir de las premisas.

2. La inducción es una forma de lógica que trabaja de lo específico a lo general, estableciendo conclusiones probables a partir de las premisas.

3. Algunas veces las personas usan la inducción como un sustituto para la deducción y erróneamente hacen declaraciones generalizadas.

DEDUCCIÓN E INDUCCIÓN(resumen)

1. ¿Qué es deducción?

A. La deducción, generalmente es esa lógica formal que llega a conclusiones establecidas a partir de las premisas. Trabaja de lo general a lo específico.

¿Qué es inducción? . La inducción es esa forma de lógica que llega a conclusiones que no son

necesariamente correctas. Trabaja de lo específico a lo general.

Con el uso de la lógica inductiva, todas las conclusiones lógicas, ¿son necesariamente correctas? . Con la lógica inductiva, aún cuando una conclusión sea, lógicamente posible, no significa que la misma sea, necesariamente correcta. Por ejemplo: Por el sólo hecho de que haya llovido cierto día en los últimos años, no significa que lloverá ese día en particular en el futuro. La inducción, o el llegar a una conclusión general a partir de una observación específica, no tiene que ser necesariamente así.

SILOGISMOS

El pensamiento crítico al aprender algunas doctrinas del Cristianismo, requiere con frecuencia establecer premisas y llegar a conclusiones. Por lo tanto, necesitamos conocer lo que son los silogismos. Un silogismo es un argumento que contiene dos premisas con una conclusión. Aprender cómo llegar a conclusiones adecuadas basados en declaraciones, es extremadamente valioso. En la siguiente Lección, Usted aprenderá cómo pensar usando la lógica, la deducción, la inducción y claro está, los silogismos. Entendiendo lo básico del silogismo, Usted podrá identificar más fácilmente los errores cuando se ofrezcan silogismos falsos. Tal vez el ejemplo más famoso de un silogismo es el siguiente:

Ejemplo 1

Premisa 1: Todos los hombres son mortales. Premisa 2: Sócrates es un hombre. Conclusión: Sócrates es mortal.

El silogismo consiste de dos declaraciones y una conclusión. En el silogismo anterior, si la Premisa 1 y la Premisa 1 son correctas, entonces, la conclusión es necesariamente, válida. Este es un silogismo obviamente correcto. Vamos a observar otro más:

Ejemplo 2

Premisa 1: Jesús presenta atributos humanos. Premisa 2: Jesús presenta atributos divinos. Conclusión: Jesús es tanto humano como divino.

La Biblia, claramente nos demuestra la humanidad de Cristo cuando lo describe a Él caminando, hablando, teniendo hambre y sed, cansado, etc. Aún más, vemos que Jesús afirmó un atributo divino cuando declaró haber tenido una existencia previa con Dios el Padre antes de la fundación del mundo (Jn 17:5): Él también afirmó Su atributo divino de omnipresencia cuando en Mateo 28:20, dijo: "enseñándoles que guarden todas las cosas que os he mandado; y he aquí yo estoy con vosotros todos los días, hasta el fin del mundo. Amén." Note que Jesús dijo que estaría con los discípulos siempre en todo lugar. Jesús manda a los discípulos al mundo y debido a que ellos toman direcciones diferentes, y debido a que Jesús afirmó que Él estaría con ellos; concluimos que tiene Su atributo es omnipresente. Vamos a planificarlo:

Ejemplo 3

Premisa 1: Jesús dijo que estaría con los discípulos. Premisa 2: Los discípulos van a todo lugar. Conclusión: Jesús está en todo lugar.

SILOGISMO INVÁLIDO

Un silogismo inválido es un silogismo que sus premisas son correctas, pero la conclusión es incorrecta. Miremos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 4

Premisa 1: Todos los Cristianos creen que hay un sólo Dios. Premisa 2: Los Testigos de Jehová creen que hay un sólo Dios. Conclusión: Los Testigos de Jehová son Cristianos.

Este silogismo es un poco difícil. Ambas premisas son verdaderas, pero la conclusión no lo es. El problema es que las dos premisas, aunque correctas, no son suficientes para hacer que la conclusión sea, necesariamente verdadera. Estas no son lo suficientemente específicas para garantizar que la conclusión es correcta. Nosotros sabemos que lo que hace a una persona Cristiana no está limitado a creer que existe un sólo Dios. Los Musulmanes también creen que hay un sólo Dios; sin embargo, ellos no son Cristianos. Por lo tanto, la conclusión es incorrecta. Vamos a echar otro vistazo a otro silogismo inválido:

Ejemplo 5

Premisa 1: Todos los pájaros vuelan. Premisa 2: Un pingüino es un pájaro. Conclusión: Los pingüinos vuelan.

El problema es este silogismo es que la premisa uno, no es correcta. No todos los pájaros vuelan. Por ejemplo, los pingüinos y las avestruces no vuelan. Otro ejemplo:

Ejemplo 6

Premisa 1: Todas las águilas vuelan. Premisa 2: El pájaro en la jaula es un águila. Conclusión: El pájaro en la jaula vuela.

El problema en este silogismo es que no todas las águilas vuelan. Un águila recién nacida no puede volar aún, cuando sea un águila. Esto invalida el silogismo. Además, no sabemos si el águila en la jaula es capaz de volar. Es posible que solo tenga un ala, o que sus alas hayan sido cortadas. En la premisa seis no tenemos suficiente información; por lo tanto, la conclusión no es necesariamente lógica. Existen diferentes clases de silogismos. Los anteriores ejemplos son llamados silogismos de categoría y son los más comunes. El pensamiento crítico requiere con frecuencia el uso apropiado de silogismos y es necesario que seamos capaces de examinarlos. Primero, revise las premisas del silogismo para ver si son o no verdaderas. Entonces, vea si la conclusión necesariamente proviene de las premisas. Si una de las premisas es inválida, entonces, la conclusión es sospechosa. Por lo tanto, cuando piense en sostener una discusión racional con alguien que ofrece declaraciones con conclusiones, asegúrese de examinar las premisas para validarlas. Pero recuerde: Las premisas correctas no necesariamente llevan a una conclusión correcta como vimos en el ejemplo cuatro. Siempre escuche si la conclusión proviene de las declaraciones dadas. Para poder hacer esto, necesitará escuchar o leer cuidadosamente pensando en forma clara. Esto no

requiere de mucha práctica y por lo general, tenemos la habilidad inherente de reconocer problemas lógicos. Así que, anímese a estudiar.

Puntos de Enfoque

1. Un silogismo es un argumento que contiene dos premisas y una conclusión. 2. Los silogismos son la clase de argumentos más usados. 3. Un silogismo inválido es un silogismo que contiene una conclusión que no es

lógicamente correcta.

Silogismos, (resumen)

1. ¿Qué es un silogismo?

A. Un silogismo es un argumento que contiene dos premisas y una conclusión.

¿Es el silogismo, una forma de deducción o de inducción? . Un silogismo es una forma de deducción debido a que llega a conclusiones

específicas desde premisas válidas.

¿Es siempre correcto que si en un silogismo las premisas son correctas, la conclusión es también correcta?

. No. No siempre es verdad que si las premisas en un silogismo son correctas, esa conclusión es también correcta. Esto se debe a que las premisas puedan no ser lo suficientemente específicas para garantizar la validez de la conclusión.

LOS ABSOLUTOS LÓGICOS, PUNTOS DE ENFOQUE

En esta Lección se encuentran todos los Puntos de Enfoque de la Sección de los Absolutos Lógicos. De esta forma, se le suministra una forma para revisarlos rápidamente.

1. Las Tres Leyes de la Lógica 1. La ley de la identidad establece que A es A; que si algo existe tiene una

naturaleza, una naturaleza individual. Es lo que es. 2. La ley de la no contradicción nos dice que A no puede ser tanto A y

ninguna A al mismo tiempo y en el mismo sentido. La verdad no es contradictoria en sí misma.

3. La ley del medio excluido dice que una declaración es verdadera o

falsa.

2. Los Absolutos Lógicos 1. Para poder tener un diálogo racional, debemos asumir que existen

verdades absolutas. 2. No podemos tener diálogo racional sin presuponer los absolutos

lógicos. 3. Si no existen tales cosas como los absolutos lógicos, entonces, todas

las cosas serían relativas y la verdad no real podría ser establecida.

3. Los Absolutos Lógicos y Dios 1. Los absolutos lógicos son, por naturaleza, conceptuales, no físicos. 2. Los absolutos lógicos no son dependientes del pensamiento humano

debido a que nuestras mentes son entre sí, diferentes y contradictorias. 3. Los absolutos lógicos trascienden el espacio y el tiempo debido a que

son verdaderos sin importar dónde se encuentre o a dónde vaya. 4. Los pensamientos de una persona son un reflejo de su mente. 5. Por lo tanto, existe una mente trascendente y absoluta que es la autora

de los absolutos lógicos.

4. Deducción e Inducción 1. La deducción es una forma de lógica que trabaja de lo general a lo

específico, estableciendo conclusiones necesarias a partir de las premisas.

2. La inducción es una forma de lógica que trabaja de lo específico a lo general, estableciendo conclusiones probables a partir de las premisas.

3. Algunas veces las personas usan la inducción como un sustituto para la deducción y erróneamente hacen declaraciones generalizadas.

5. Silogismos 1. Un silogismo es un argumento que contiene dos premisas y una

conclusión. 2. Los silogismos son la clase de argumentos más usados. 3. Un silogismo inválido es un silogismo que contiene una conclusión que

no es lógicamente correcta.

2.1 Lógica proposicional

Pueden ser FALSAS: “F” o “0” VERDADERAS: “V” o “1”

2.1.1 Lenguaje formal de la lógica proposicional(sintaxis)

El lenguaje formal de la lógica proposicional está formado por dos elementos: proposiciones y conectivos.

Proposiciones

• Proposición o enunciado: oración declarativa que es verdadera o falsa pero no ambas [Grimaldi, 51]

• Proposiciones, frases declarativas simples: son la mínima unidad del lenguaje con contenido de información sobre la que es posible enunciarse con un “verdadero” o con un “falso” como valor de verdad. [Arenas, 5] Las proposiciones se representan con letras minúsculas a partir de la “ p ”: p, q,

r, s, t, u, v… Las proposiciones pueden ser de tres tipos:

• Proposiciones de acción con sujeto no determinado: o Hace calor o Es jueves

• Proposiciones de atribución de propiedades a sujetos determinados: o Alberto estudia ingeniería o Beatriz vive en Cuernavaca o Carlos nació en México

• Proposiciones de relación: o Alberto es primo de Beatriz o Cuernavaca es la capital del estado de Morelos o Para ir a Monterrey por carretera se pasa por los estados de

Distrito Federal, Querétaro, Estado de México, Guanajuato, San Luis Potosí y Coahuila.

No son proposiciones aquellas declaraciones de tipo interrogativo e imperativo:

o ¿Habla usted inglés? o Cierra la ventana

� Por favor, apaga la luz

Las proposiciones son oraciones declarativas

Valor de verdad

• Proposición primitiva: no se puede descomponer [Grimaldi, 52].

• Conectivos: son los elementos del lenguaje que permiten construir frases

nuevas a partir de las existentes obteniendo nuevos significados. [Arenas, 5]

Conectivos

conectivo Símbolo lógico Expresión en

lenguaje natural Ejemplos

Negación

Conjunción

(“y”)

Disyunción (“0”)

Condicional implicación

Bicondicional doble implicación

¬ p

p ∧ q

p ∨ q

p → q

p ↔ q

No p

No ocurre que p

No es cierto que p

Es falso que p

p y q

p aunque q

p pero q

p sin embargo q

p no obstante q

p a pesar de q

p o q o ambos

O bien p o bien q Al

menos p o q Como

mínimo p o q

si p entonces q

sólo si q entonces p p es suficiente para q q es necesaria para p No p a menos que q

p si y solo si q

p necesario y

suficiente para q

Hoy no hace calor No llegaré tarde Eso no es verdad

Vamos al cine y a cenar también Luis trabaja aunque estudia de noche Llegué a tiempo no obstante haber salido tarde O vamos al cine o vamos a cenar O me saco un 7 o me saco un 8

Si saco 8 entonces mi promedio aprobatorio Si saco 8 en el parcial tendré el promedio aprobado Para tener el promedio aprobado debe de sacar 8

Voy de vacaciones si y solo si apruebo todas mis materias

• Proposición compuesta: combinación de proposiciones por medio de conectivos lógicos [Kolmar, 47].

Equivalencia entre conectivos13: 1. Implicación – disyunción:

p → q

es equivalente a ¬ p ∨ q . Ejemplo: si

llueve entonces me mojo, es equivalente a decir, o no llueve o me mojo.

2. Implicación – conjunción: p → q es equivalente a ¬ ( p ∧ ¬ q ). Ejemplo: si

llueve entonces me mojo, es equivalente a decir, no ocurre que llueva y no me moje.

3. Disyunción – conjunción: ¬ p ∨ q es equivalente a ¬ ( p ∧ ¬ q).

4. Bicondicional – implicación: p ↔ q es equivalente a ( p → q ) ∧ (q → p)

Sintaxis Definición formal del lenguaje proposicional

La definición formal de un lenguaje requiere la especificación de su alfabeto

y de sus reglas de sintaxis14. 1. Alfabeto: los símbolos que se utilizan son

a. Símbolos de proposiciones: p, q, r, s, t, u, v

b. Símbolos de conectivos: ¬, ∧, ∨, →, ↔

c. Símbolos de paréntesis: { [ ( ) ] } 2. Reglas de sintaxis:

1ª Las fórmulas bien construidas (fbc) del lenguaje proposicional se definen de la siguiente manera: a. Las letras p, q, r, s, t, u, v son fbc

b. Si p y q son fbc también lo son ¬ p y ¬ q

c. Sólo son fbc las que se obtienen de las definiciones anteriores (a y b)

2ª Para la correcta relación entre proposiciones y conectivos las fbc: a. No deben aparecer dos conectivos adyacentes, excepto en la

negación. b. Es preciso definir la relación conectivo-proposición cuando

hay más de un conectivo en la fórmula:

• Un conectivo pertenece a la proposición inmediata o al conjunto de proposiciones encerradas en un paréntesis, corchete o llaves.

• Para evitar exceso de paréntesis, se define una jerarquía de prioridades entre conectivos:

o Nivel 1 : negación o Nivel 2: conjunción y disyunción o Nivel 3: implicación y bicondicional

13 En el tema demostración de equivalencias se demostrará las siguientes equivalencias

14 Sintaxis son las reglas que define cualquier lenguaje.

2.1.2 Semántica de lógica proposicional Un sistema de fórmulas y razonamientos válidos se construye a partir del

significado (verdadero o falso) de las proposiciones compuestas, esto es, a partir de la forma de dar un valor al contenido de la información de cada proposición. Se llama semántico15 al método de demostración de los valores del significado de una proposición compuesta.

La forma en cada conectivo genera los valores de una proposición compuesta es por medio de una tabla de verdad en donde se definen todas las combinaciones posibles de los valores que pueden tener el conjunto de proposiciones simples que hacen una proposición compuesta.

Cálculo proposicional Tablas de verdad de conectivos

15 Semántica define el significado de los signos de un lenguaje.

p → (p ∨ q) p q p ∨ q p → (p ∨ q)

0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1

p ∧ (¬ p ∧ q)

p q ¬ p ¬ p ∧ q p ∧ (¬ p ∧ q) 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0

p ∨ ( p ∧ ¬q ) p q ¬ q ( p ∧ ¬q ) p ∨ ( p ∧ ¬q )

0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1

En resumen: p ¬ p

0 1 1 0

p q p ∧ q p ∨ q p ∨ q p → q p ↔ q

0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1

Tautología, contradicción y contingencia

• TAUTOLOGÍA T0

: Cuando una proposición compuesta es verdadera

para todos los valores de verdad.

• CONTRADICCIÓN Fo : Cuando una proposición compuesta es falsa para

todos los valores de verdad.

• CONTINGENCIA: Proposición que puede ser falsa o verdadera dependiendo de los valores de verdad.

Ejemplos:

•

Tautología

•

Contradicción

•

Contingencia

Equivalencias lógicas Proposición equivalente: Cuando todos los valores son siempre verdadero o falso.

Ejemplo: p → q ⇔ ¬ p ∨ q

p q ¬ p p → q ¬ p ∨ q

0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 0 0

1 1 0 1

1 1 0 1

equivalentes

p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p )

p q p → q q → p (p → q) ∧ (q → p ) p ↔ q

0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 0 1

1 0 1 1

1 0 0 1

1 0 0 1

equivalentes

Dos proposiciones S1 y S2 son lógicamente equivalentes (se escribe S1 ⇔ S2 ) cuando la proposición S1 es verdadera (respectivamente falsa) si y solo si la proposición S2 es verdadera (respectivamente falsa).

Leyes de la lógica

1

¬ ( ¬ p) ⇔ p Ley de la doble negación

2

¬ ( p ∨ q ) ⇔ ¬ p ∧ ¬ q

¬ ( p ∧ q ) ⇔ ¬ p ∨ ¬ q

Leyes de Morgan

3

p ∧ q ⇔ q ∧ p

p ∨ q ⇔ q ∨ p

Leyes conmutativas

4

p ∧ ( q ∧ r ) ⇔ ( p ∧ q ) ∧ r

p ∨ ( q ∨ r ) ⇔ ( p ∨ q ) ∨ r

Leyes asociativas

5

p ∨ ( q ∧ r ) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r ) p ∧ ( q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )

Leyes distributivas

6

p ∨ p ⇔ p

p ∧ p ⇔ p

Leyes ídem potentes

7

p ∨ F0 ⇔ p

p ∧ T0 ⇔ p

Leyes de neutro

8

p ∨ T0 ⇔ T0

p ∧ F0 ⇔ F0

Leyes de

dominación

9

p ∨ ¬ p ⇔ T0

p ∧ ¬ p ⇔ F0

Leyes inversa

10

p ∨ ( p ∧ q ) ⇔ p

p ∧ ( p ∨ q ) ⇔ p

Leyes de absorción

11 p → q ⇔ ¬ p ∨ q

12 p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p )

Reglas de sustitución

1) Si P (una proposición compuesta) es una tautología y p (una proposición primitiva) aparece en P. Si p se reemplaza por otra proposición q y resulta P1

entonces P1 también es una tautología. Ejemplo:

P: p → q ↔ ¬ p ∨ q es una tautología

Reemplazar p por r ∧ s

P1 : [ (r ∧ s ) → q] ↔ ¬ [ (r ∧ s ) ∨ q]

también es una tautología

2) Sea P una proposición compuesta donde p es una proposición arbitraria que aparece en P, y sea q una proposición tal que q ⇔ p. Si se reemplaza p por q resulta la proposición P1 . Entonces P1 ⇔ P.

Ejemplo:

P: ( p ∧ F0 ) ↔ F

0

Si p se reemplaza por (q ∨ r ) → s

P1: [ [ (q ∨ r ) → s] ∧ F0 ] ↔ F

0

Aplicación:

[ (r → s ) ∧ [ si p ⇔ r → s

y q ⇔ ¬ t ∨ u

(r → s ) → (¬ t ∨ u ) ] ] → (¬ t ∨ u )

[ p ∧ (p → q) ] → q

p q p → q p ∧ (p → q) [ p ∧ (p → q ) ] → q

0

0

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

NAND (↑) Otras equivalencias

(p ↑ q ) ⇔ ¬ ( p ∧ q ) se lee como: “p nand q”.

Tabla de verdad

NAND p q p ∧ q p ↑ q

0 0 1

0 1 0

0 0 0

1 1 1

NOR (↓) (p ↓ q ) ⇔

¬ ( p ∨ q )

Compilador: Cristóbal Bone

se lee como: “p nor q”.

Tabla de verdad

p q p ∨ q p ↓ q

0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0