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Fundamentos de lógica digital. Sesión 03. Las tres funciones lógicas básicas

Existen tres bloques fundamentales con los cuales se pueden construir todas las funciones

lógicas capaces de ser concebidas por la mente humana. Estos son los “ladrillos” sobre los

cuales descansan todas las computadoras debido a que el lenguaje que manejan se trata de

unos y ceros.

Comencemos diciendo que, en un análisis, un voltaje aplicado que puede ser de 1.5 volts, 9

volts, o algún otro valor, lo llamaremos simplemente como “1” (uno). Y a la ausencia de

dicho voltaje la llamaremos simplemente como “0” (cero). De este modo, al aplicarle un “1”

a un relevador, el contacto eléctrico puesto encima del mismo se cierra, y al remover dicho

“1” (que es lo mismo que aplicar un “0”), el contacto eléctrico se abre.

Considérese a continuación el siguiente circuito formado por dos relevadores, en los cuales

los resortes que normalmente jalan las palancas (o laminitas) conectoras de los relevadores

son mostrados de color rojo:

Normalmente, toda fuente de corriente directa como los acumuladores de los automóviles

tiene un polo positivo (+) y un polo negativo (-), pero con fines de simplificación en los

diagramas y esquemáticos se acostumbra designar al polo negativo (-) como tierra

eléctrica (en inglés, ground ó GND). Esto nos permite "olvidarnos" del polo negativo y

hablar simplemente de la aplicación de un “1” (un voltaje) o de un "0" (ningún voltaje) a

una terminal como la terminal A ó como la terminal B.

En este diagrama, si aplicamos un voltaje positivo (que aquí también llamaremos

simplemente “1”) en la terminal A, el relevador se energizará. Obsérvese que en un

contacto conector superior del relevador izquierdo tenemos un voltaje de +6 volts, el cual

al ser activada la terminal A con un voltaje de “1” y cerrarse la conexión superior del

relevador puede pasar a la otra terminal del mismo. Sin embargo, este voltaje no llegará

hasta el extremo izquierdo de la configuración, designado como Q, si la entrada del

relevador del lado derecho no ha sido activada también en su terminal B con un “0”, por

estar conectadas las terminales de contactos de ambos relevadores en serie, una tras la

otra. La única manera en la cual el voltaje de +6 volts puede llegar desde el lado izquierdo

de la configuración hasta el lado derecho en la terminal Q es si ambos relevadores están

energizados con un “1” en las terminales A y B. Supongamos por un momento que hemos

diseñado aquí los relevadores de modo tal que el voltaje requerido para energizar

cualquiera de ellos sea también de +6 volts. Esto nos permite llamar a los +6 volts

simplemente como “1”. Y nos permite hacer una afirmación interesante: si las entradas en

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las terminales A y B son "1", entonces la salida Q también será “1”. Pero si cualquiera de

las entradas en las terminales A y B o en ambas es “0”, entonces la salida será “0”.

Únicamente cuando ambas entradas son “1” tendremos una salida de “1”. Únicamente

cuando A y B son “1” la salida será también “1”.

Podemos representar el funcionamiento de este tipo de circuito de una manera más

concreta y más fácil de leer:

La traducción inglesa de la palabra española “y” es la palabra and (en algunos libros de

texto se usa el símbolo ampersand &). Esta es la palabra que usaremos para identificar

cualquier tipo de sistema combinado que muestre un comportamiento como el que

acabamos de ver.

En muchos documentos técnicos y en muchos diagramas esquemáticos, es común

simbolizar un circuito AND de la manera siguiente:

Este es el bloque usualmente conocido como la función AND que como ya se dijo

su traducción del inglés al español significa la palabra “y”, y es en sí una función

lógica básica. Este será uno de nuestros “ladrillos” fundamentales. Podemos

representar sus propiedades en una tabla mejor conocida como Tabla de Verdad

que se muestra a continuación:

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Considérese ahora el siguiente circuito construido con relevadores

electromecánicos:

Si no hay voltaje alguno aplicado en las dos terminales de entrada A y B, las bobinas de

ambos relevadores no se energizarán y los dos interruptores de ambos relevadores se

mantendrán en las posiciones mostradas en el diagrama. En tal caso, el voltaje (+) que

llamaremos “1” no llegará a la Salida, no habiendo por lo tanto voltaje alguno en ella. La

ausencia de voltaje en la Salida la identificaremos con un “cero” ó “0”. La situación

cambia cuando aplicamos un voltaje (o un “1”) en la terminal A, en tal caso la bobina se

energiza y “jala” el contacto hacia abajo, conectando el voltaje (+) a la Salida, con lo cual

la Salida pasará de la condición “0” a la condición “1”. Este “1” permanecerá en la Salida

mientras haya un "1" aplicado en la terminal “1”. Por otro lado, cuando aplicamos un

voltaje (o un “1”) en la terminal B, en tal caso la bobina también se energizará y “jalará” el

contacto hacia abajo, conectando el voltaje (+) a la Salida, con lo cual la Salida pasará de

la condición “0” a la condición “1”. Y si ambas terminales de entrada A y B son energizadas

con un “1”, la Salida seguirá recibiendo el voltaje (+) ó “1” por las dos vías. Básicamente,

tenemos un circuito en el cual la Salida será “1” cuando cualquiera de las entradas A ó B

tenga un “1” aplicado en ella.

La traducción inglesa de la palabra española "o" es la palabra or. Esta es precisamente la

palabra que usaremos para identificar cualquier tipo de sistema combinado que muestre

un comportamiento como el que acabamos de ver.

Es muy común representar este circuito de esta naturaleza de la manera siguiente:

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Este será otro de nuestros “ladrillos” fundamentales. También podemos

representar sus propiedades en una Tabla de Verdad como la que se muestra a

continuación:

Aquí podemos ver el sentido de la palabra OR. La salida del circuito será 1 si la

entrada A o la entrada B tienen un valor de 1.

Por último, consideremos ahora el siguiente circuito construido con un solo

relevador electromecánico sencillo, en el cual cuando no hay voltaje alguno

aplicado a la terminal de entrada A (lo cual equivale a poner cero volts o "0" en la

terminal de entrada), el voltaje positivo (+) que designamos como "1" lógico pasa

directamente a la Salida:

Supóngase ahora que se le aplica un voltaje (un “1”) a la terminal de entrada A. Al

energizarse la bobina del relevador, al convertirse en un imán por la acción de la

corriente eléctrica “jalando” con ello el interruptor encima de él hacia abajo, el

contacto superior que conectaba la Salida a una fuente de voltaje positivo (un “1”)

desciende de su posición normal, desconectando dicha terminal del voltaje

positivo, lo cual equivale a dejar sin voltaje alguno la Salida, lo cual podemos

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tomar como un “cero” (“0”) lógico. Prescindiendo de los detalles innecesarios,

tenemos un componente en el cual cuando la entrada es “0” la salida es “1”, y

cuando la entrada es “1” la salida cae a “0”. Esto es lo que llamamos comúnmente

como una inversión lógica. Este componente es por lo tanto un inversor.

Es común representar simbólicamente un componente que funcione de esta

manera en la siguiente forma:

Es importante aclarar que lo que realmente representa la función inversora es la

“burbuja” colocada a la derecha del triángulo. El triángulo en sí, históricamente,

pretendía hacer notar que además de la inversión se estaba llevando a cabo una

amplificación eléctrica de la señal para corregir cualquier deterioro previo que

hubiera tenido, y de hecho el símbolo sin la burbuja es conocido como buffer,

aunque el buffer en sí no lleva a cabo ningún procesamiento de información porque

un “0” puesto a su entrada pasa como un “0” a su salida y un “1” puesto a su

entrada también pasa inalterado como un “1” a su salida.

Es común en muchos circuitos lógicos utilizar únicamente la burbuja ya sea en una

o varias de las entradas y/o en una o varias de las salidas para indicar que en ese

punto se está llevando a cabo una inversión. Es importante aclarar que, por lo

general, la burbuja sólo tiene este significado únicamente cuando está “pegada” a

una de las funciones lógicas básicas o a algún componente derivado de la misma.

El bloque simbólico arriba mostrado es mejor conocido como la función NOT, y es

nuestra tercera función lógica básica. Podemos resumir sus propiedades en la

siguiente Tabla de Verdad:

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Los bloques lógicos AND, OR y NOT son los únicos bloques que necesitamos para

construír cualquier computadora. Esto se ha logrado pasando por los bulbos electrónicos

al vacío con los cuales se construyó la computadora ENIAC, hasta llegar a los transistores y

los circuitos integrados que permitieron la construcción de microcomputadoras y

minicomputadoras, hasta llegar al microprocesador y al SOC. Sin embargo, detrás de todas

las variantes tecnológicas, una cosa no ha cambiado, y esto es la teoría fundamental que las

hace operar, basada siempre a fin de cuentas en tan sólo tres funciones lógicas básicas, el

bloque OR, el bloque AND y el bloque NOT.

Las funciones lógicas OR y AND pueden tener no solo dos sino tres o más entradas cada

una. Analicemos, por ejemplo, un AND de tres entradas:

Puesto que en el AND de dos entradas la salida es 1 únicamente cuando todas sus

entradas son 1, extendiendo la definición tenemos que en el AND de tres entradas

la salida también será 1 únicamente cuando todas las entradas sean 1. Teniendo

esto en mente, podemos construir inmediatamente una Tabla de Verdad para el

AND de tres entradas:

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Del mismo modo, podemos hacer una extensión similar del concepto del bloque

OR para un OR que tenga más de dos entradas, en donde extendiendo la definición

tenemos que la salida de un OR con cualquier número de entradas será 1 cuando

cualquiera de las entradas o una combinación de cualquiera de las entradas tenga

un valor de 1.

Estudiemos ahora lo que ocurre cuando conectamos un OR a un NOT de la

manera siguiente:

Aplicando todas las combinaciones posibles de unos y ceros en las entradas,

obtenemos la salida para cada combinación posible tomando en cuenta las

propiedades del OR y la acción inversora del NOT, con lo cual podemos construír la

siguiente Tabla de Verdad:

Tenemos un circuito que produce un 1 a la salida únicamente cuando ambas

entradas son 0. Esta configuración es mejor conocida como la función NOR (la

palabra NOR es una contracción de las palabras NOT-OR, que son los elementos

usados para construir esta configuración) y se representa de la siguiente manera:

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A continuación, estudiemos lo que ocurre cuando conectamos un AND a un NOT

de la manera siguiente:

La Tabla de Verdad para este circuito deberá ser como se muestra a continuación:

Tenemos un circuito que produce un 0 a la salida únicamente cuando ambas

entradas son 1. Esta configuración es mejor conocida como la función NAND (la

palabra NAND es una contracción de las palabras NOT-AND, que son los

elementos usados para construir esta configuración) y se representa de la siguiente

manera:

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Las funciones NOR y NAND son ejemplos claros que muestran cómo se pueden

utilizar las tres funciones lógicas básicas para construir funciones más complejas.

Estudiemos ahora la siguiente situación:

La pregunta que nos hacemos es la siguiente: ¿Cuál será la salida del OR al

introducir las palabras 01100 y 11001 en sus entradas?

Para responder a esta pregunta, notamos que los primeros bits en entrar al OR son

el último bit de la palabra 01100 (esto es, un 0) y el último bit de la palabra 11001

(esto es, un 1). La salida producida por el OR será por lo tanto un 1. A

continuación, los siguientes bits que entran son el penúltimo bit de la palabra

01100 (esto es, un 0) y el penúltimo bit de la palabra 11001 (esto es, un 0). La

siguiente salida producida por el OR será por lo tanto 0, con lo cual a su salida ya

se habrá formado la palabra 01. De esta manera, vemos que a su salida se formará

la siguiente palabra:

11101

Puesto que la palabra en la salida del OR es diferente de las palabras a sus

entradas, decimos que se ha llevado a cabo un procesamiento de información. Este

es el propósito fundamental de todos los circuitos lógicos.

Con las tres funciones lógicas básicas podemos construir circuitos más elaborados,

de creciente complejidad, cuyo análisis se puede llevar a cabo suponiendo todas las

combinaciones posibles de “unos” y “ceros” a la entrada, y siguiendo el flujo de

cada combinación de valores para ver lo que tenemos a la salida podemos

comprobar la función desempeñada por el circuito. Por convención, los diagramas

de circuitos lógicos se dibujan de modo tal que el flujo de señales es rastreado de

izquierda a derecha. A continuación tenemos el diagrama de un circuito lógico

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simple en cuyas dos terminales de entrada a y b se han puesto dos “unos” (“1”):

En el AND que tenemos en el extremo izquierdo del diagrama, tenemos dos unos

(“1”) a la entrada, los cuales producen un “1” a la salida del mismo. Este “1” a la

salida del AND es invertido por el NOT, convirtiéndose en un “0”. De este modo,

tenemos a las entradas del OR en el extremo derecho del diagrama un “0” y un “1”,

los cuales producen un “1” a la salida del mismo. Nos falta por comprobar otras

combinaciones de valores restantes, las cuales son a=0 y b=0, a=1 y b=0, a=0 y

b=1. Este método de rastreo de valores de señales se puede aplicar a cualquier

circuito lógico, por complejo que sea.

Al ir construyendo circuitos lógicos cada vez más complejos, los alambres que van

conectados entre sí se mostrarán conectados explícitamente con un “punto”

conector, mientras que los alambres que simplemente se cruzan uno por encima

del otro sin conectarse no tendrán el punto conector:

Sin embargo, en las junturas tipo “T” en los diagramas esquemáticos:

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se sobreentenderá que siempre hay una conexión entre los dos alambres, ya sea

con o sin la presencia del “punto” conector (en esto hay que tener cierta precaución,

ya que en los simuladores de circuitos lógicos en una gran variedad de programas

computacionales es indispensable agregar siempre en los diagramas de simulación

el “punto” conector, ya que muchos de estos programas no están preparados para

reconocer esta convención)

En el diseño de circuitos lógicos, una de las cosas que no está permitida es conectar

directamente a un mismo punto la salida de dos funciones lógicas en una forma

como la que se muestra a continuación:

Puesto que se ha definido el “1” como el polo positivo de la fuente de poder (por

ejemplo, +5 volts) y el “0” como el polo negativo de la misma fuente de poder

(conocida vulgarmente como "tierra eléctrica"), la situación mostrada equivale ni

más ni menos que a un corto circuito. Y aunque la gran mayoría de los circuitos

integrados discretos que se venden en la actualidad tienen integrada en su

microelectrónica una estructura de resistencias y transistores que evitan que un

corto circuito de esta naturaleza los pueda dañar, limitando el flujo de la corriente a

través de los mismos, la salida de un circuito lógico de esta naturaleza es en el

mejor de los casos indefinida.

A continuación, se muestra una tabla con la simbología de las distintas compuertas.

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Ejercicios resueltos.

PROBLEMA: Determinar la salida producida por los siguientes circuitos para

las entradas binarias mostradas.

(a) Empezaremos con el primer AND de dos entradas alimentado con las palabras

binarias 10011001 y 10100101. El análisis se debe llevar a cabo bit-por-bit.

Supondremos que las señales binarias van entrando de izquierda a derecha, aunque

para los fines del presente problema el orden de entrada de las palabras es

irrelevante. En el extremo derecho de ambas palabras binarias tenemos un bit "1"

en la terminal superior entrando al mismo tiempo que un bit "1" entrando en la

terminal inferior. Por ser un bloque AND, la salida resultante para la primera

combinación de bits será un "1". A continuación, entrarán al bloque AND los bits

"0" y "0", los cuales producirán una salida de "0". Con esto, llevamos formada ya

una salida cumulativa de "10". Tras esto, entrarán en las dos terminales,

respectivamente, los bits "0" y "1", los cuales producirán a la salida del AND un

"0", con lo cual la palabra binaria de salida será ya "100". Continuando de esta

manera, bit-por-bit, tendremos a la salida del bloque AND el resultado mostrado

en la siguiente tabla:

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La palabra a la salida del AND de dos entradas con las dos palabras binarias dadas

será entonces 10000001.

(b) Procediendo de la misma manera para el bloque OR de dos entradas, bit-por-

bit, podemos construír la siguiente tabla:

La palabra binaria a la salida del OR será 10111101.

(c) Para el bloque AND de tres entradas, extendemos la definición del AND de dos

entradas, afirmando que la salida del AND de tres entradas será "1" únicamente

cuando todas sus tres entradas tengan un valor de "1". Con esto, procediendo con el

análisis bit-por-bit, podemos producir la siguiente tabla:

La palabra binaria a la salida del AND de tres entradas será 00010000.

(d) Para el bloque OR de tres entradas, extendemos la definición del OR de dos

entradas, afirmando que la salida del OR de tres entradas será "1" cuando

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cualquiera de sus tres entradas tengan un valor de "1". Con esto, procediendo con el

análisis bit-por-bit, podemos producir la siguiente tabla:

La palabra binaria a la salida del OR de tres entradas será 11111011.

(e) Para el bloque NAND, podemos llevar a cabo el análisis, bit-por-bit, tomando en cuenta

primero la acción inicial del AND sobre dos bits a su entrada, y llevando a cabo

inmediatamente tras esto el proceso de negación lógica como lo especifica la burbuja

inversora puesta en la salida del AND con la cual es transformado en un NAND. Los

primeros dos bits en entrar son "0" y "1", los cuales por la acción del AND son convertidos

en un "0", el cual por la acción de la burbuja inversora es convertido en un "1" como

resultado final. Tras esto, los siguientes dos bits en entrar son "1" y "0", los cuales

nuevamente por la acción del AND son convertidos en un "0", el cual por la acción de la

burbuja inversora es convertido en un "0". Procediendo de esta manera, podemos construir

la siguiente tabla, en la cual el resultado "intermedio", la palabra binaria formada por la

acción del AND antes de llevarse a cabo la acción inversora, ha sido puesto en color rojo:

La palabra binaria a la salida del NAND será 111110100.

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PROBLEMA: ¿Son útiles los siguientes circuitos para el procesamiento de

información?

(A) Como este circuito tiene una sola terminal de entrada, sólo se le puede poner

un "1" o un "0". Analizando el primer circuito poniendo la palabra binaria "10" a su

entrada, la cual contiene las dos combinaciones posibles, tenemos lo siguiente:

La palabra binaria "10" a la entrada del NOT es convertida en la palabra binaria

"01" a la salida del NOT. Al entrar las palabras binarias "10" y "01" al OR, la salida

de este será la palabra binaria "11". Puesto que no importando qué información se

le introduzca a su entrada, ya sea un "1" o un "0", la salida siempre será "1", se

concluye que este circuito no puede procesar información.

(B) Al igual que en el caso anterior, como este circuito tiene una sola terminal de

entrada, sólo se le puede poner en dicha entrada un "1" o un "0". Analizando el

segundo circuito con la palabra binaria "10" a su entrada, la cual contiene todas las

combinaciones posibles, tenemos lo siguiente:

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Nuevamente, la palabra binaria "10" a la entrada del NOT es convertida en la

palabra binaria "01" a la salida del NOT. Y al entrar las palabras binarias "10" y

"01" al AND, la salida de este será la palabra binaria "00". Puesto que no

importando qué información se le introduzca a su entrada, ya sea un "1" o un "0",

la salida siempre será "0", se concluye que este circuito tampoco puede procesar

información.

Tarea: Analice el siguiente circuito y construya su tabla de verdad

correspondiente. Obsérve cómo en el diagrama está trazado el flujo de señales para

la palabra binaria de entrada A3A2A1 = 101 y la única salida activa es uno.