fundamentos de lógica y teoría de conjuntos

5/17/2018 Fundamentos de L gica y teor a de conjuntos - slidepdf.com

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Fundamentos de Lógica y teoría de conjuntos

Presentación:

Este texto surge en parte de la necesidad de responder a múltiples preguntas nacidascomo resultado del trabajo de Investigación, titulado “Diseño de Algunas Estrategiasde Intervención Pedagógica en el Área de la Lógica en la Educación Secundaria”(1996), elaborado conjuntamente con la profesora Clara Elena Mejía.

El diagnóstico adelantado en ella nos mostró entre otros aspectos, la necesidad deproveer a los docentes en ejercicio, en las áreas de matemáticas, de herramientas nosolo de buen nivel y adecuada orientación, sino de los apoyos metodológicosnecesarios en los distintos niveles dirigidos a lograr aprendizajes realmentesignificativos en los procesos de enseñanza de esta difícil pero apasionantedisciplina, decisiva en la formación y desarrollo del pensamiento matemático en loseducandos.

Paralelamente la observación de serias dificultades en los estudiantes de los primerosniveles en la Universidad, al abordar los cursos básicos de matemáticas, generadas engran parte por el desconocimiento de el lenguaje y las estructuras propias de ésta yque sumadas a la ausencia de una práctica continua de la argumentación coherente,respaldada, que de razón de los propios procesos formativos desarrollados endistintas disciplinas, no solo en la matemática, hacen en muchos casos que estas seanmuy difíciles de superar. Lo anterior es confirmado por los resultados en las pruebasde admisión aplicadas a los aspirantes, particularmente en el área del RazonamientoLógico.

Todo lo anterior me ha mostrado la necesidad de adelantar un trabajo que aporte ala solución de los problemas diagnosticados.

En esta dirección y con el apoyo total de la Facultad de Educación publiqué comocoautor el libro “Modelos de Razonamiento Lógico Matemático implementados ensituaciones problema, en algunos temas específicos de la Matemática” (2001) y comoresultado de este trabajo, con el apoyo institucional de la Facultad de Educación y laVicerrectoría de Docencia se creó para la televisión, la Serie “x + Matemáticas”.(2002). Siendo muy importantes los trabajos mencionados en su labor de divulgacióny capacitación de la comunidad a la cual han sido dirigidos y teniendo en cuenta elbuen recibimiento en ésta, seguía presente la necesidad de un texto con mayorcobertura temática y con la profundidad propia de una obra que busca responder amuchos requerimientos como los anotados.

Surge así la primera versión del texto “Fundamentos de Lógica y Teoría deConjuntos” (1997), acogido como texto guía y de trabajo permanente, por su diseño,en el curso Fundamentos de Lógica y Teoría de Conjuntos, en el programa deEspecialización en Docencia de las Matemáticas, en la Universidad de Antioquia; yasumido posteriormente como texto de apoyo en el curso de Introducción a la Lógicaen el Programa de Licenciatura en Matemáticas y Física.

En su doble propósito de desarrollar los elementos propios de la Lógica y la Teoría deConjuntos, en forma rigurosa pero dinámica, como también de proveer los soportes

didácticos y metodológicos permanentemente a los docentes, su diseño muestra unacuidadosa selección en la presentación de los temas y problemas desarrollados; estos



últimos presentados paso a paso como ilustraciones, como también un desarrollo delos conceptos teóricos muy accesible, buscando en esta forma que su estudio seaemprendido sin mayor dificultad por docentes y estudiantes. Cada tema tratado, estáacompañado por una sección amplia de ejercicios propuestos, cuyo diseño busca lareafirmación en el estudiante, de estos temas.

En este sentido el texto permite que las secciones donde se hace énfasis en loselementos metodológicos o que son objeto de mayor profundización por losdocentes, puedan ser omitidas por el estudiante sin perder la coherencia del temaestudiado.

Quiero destacar también los siguientes elementos que le dan características muyparticulares al texto.

Cada capítulo está precedido por un mapa conceptual altamente estructurado quepermite, tanto al neófito como al ilustrado en el tema, ubicar la construcción de losconceptos, su organización, los términos y las relaciones fundamentales, la forma

como se articula y se genera el tejido de la teoría objeto de conocimiento;constituyéndose además en una herramienta óptima que facilita la navegación,dándole una gran dinámica y fluidez al texto.Con ello pongo a disposición del lectorun instrumento metodológico que se ha consolidado por su eficiencia en los procesosde enseñanza y aprendizaje, facilitándole lograr simultáneamenteuna visión global ytambién particular de cada tema estudiado, como también invitarlo a incorporarloensu trabajo.

El Capítulo 0, tiene como objetivo motivar el trabajo de esta disciplina y en élexpongo criterios propios sobre la necesidad de su estudio en las condicionesactuales. Su constitución como tal obedece a una recomendación de la correctora de

estilo, puesto que en la versión inicial, parte de su contenido, figuraba en laIntroducción.

A partir del Capítulo 3, en los Métodos de Demostración, presento aportes propios enla metodología que designo como “Esquemas operativos” en cada método. En ellospropongo con todo detalle su estructura, la fundamentación lógica, su interpretaciónintuitiva y formas claras para identificar su presencia en las demostracionesabreviadas, y facilitar su elaboración. Así mismo hago un estudio detallado delMétodo directo como la piedra angular de los otros métodos de demostración en elcálculo proposicional y cuantificacional. Apoyado en las recomendaciones delprofesor Daniel Solow (método progresivo-regresivo) las aplico en contextosespecíficos; hago también énfasis en los distintos niveles de presentación de una

demostración, que han resultado muy valiosos para docentes y estudiantes.

Destaco en este mismo capítulo, la importancia de las falacias y como en muchasocasiones, lo sutil de sus estructuras, puede engañarnos y aceptar como válidasargumentaciones que no lo son. Al respecto construyo una gama completa de ellas enseudodemostraciones matemáticas.

En el Capítulo 4, hago un tratamiento ágil y completo de un tema difícil depresentar, con los teoremas y reglas de prueba estrictamente necesarios y recurronuevamente a los “esquemas operativos” en las estrategias demostrativas que en élse tratan.

El análisis detallado de las estrategias deductivas con los apoyos metodológicosrequeridos, se conservan en todos los capítulos.



El rigor en el manejo del lenguaje del cálculo proposicional y cuantificacionalcaracteriza todo el trabajo y tiene su expresión plena en el Capítulo 5,correspondiente a la Teoría de Conjuntos y en los siguientes, mostrandoefectivamente como la teoría de Conjuntos es el lenguaje vital de las matemáticas ya su vez como la teoría de Conjuntos se expresa en el lenguaje de la lógica.

En el diseño de las ilustraciones como también de muchos problemas propuestos, herecurrido a situaciones problema originales que motiven y acerquen al estudio de lostemas tratados.

En el capítulo 9 presento dos Modelos de situaciones problema de mi autoría, quehan sido dotados de los apoyos tecnológicos más avanzados, facilitando la interaccióncon el lector, en ellos se hace un recorrido desde la lógica material, de los elementosformales estudiados en la Lógica preposicional, buscando confrontar los conceptosprevios, las intuiciones particulares y propiciar las rupturas conceptuales necesariasque orienten al lector en el sentido de las teorías válidas, esperando lograr, por estemedio, aprendizajes realmente significativos.

Aspiro que los docentes en particular los trabajen a fondo y aprovechen los recursosque aquí presento, para diseñar sus propios modelos y aprovechar esta importanteestrategia metodológica.

Respecto a la organización temática, el texto se compone de diez capítulos, así:

Capítulo 0. Elementos preliminares acerca de la Lógica Capítulo 1. Fundamentos de la Lógica Capítulo 2. Elementos de Lógica proposicional Capítulo 3. Razonamiento Lógico

Capítulo 4. Lógica Cuantificacional. Capítulo 5. Teoría de Conjuntos Capítulo 6. Relaciones. Capítulo 7. Funciones. Capítulo 8. Cardinalidad. Capítulo 9: Modelos de situaciones problema aplicados a la lógica

proposicional

Finalmente, quiero expresar mis agradecimientos a la señora Luz Stella Botero R.quien se encargó desde el nacimiento de este trabajo, y a lo largo de la producciónde las distintas versiones, del proceso de digitación y corrección permanente yoportuna, con absoluto profesionalismo, sin su colaboración difícilmente éste podría

haberse culminado; como también a los docentes en ejercicio que han sido misalumnos en las tres cohortes en el Programa de Especialización en Docencia de lasMatemáticas, por sus sugerencias. Así mismo agradezco a todos los lectores de estaobra, me hagan conocer sus críticas constructivas, con la seguridad de que seránatendidas.



0.1- IntroducciónPara una correcta ubicación sobre el estudio que vamos a iniciar, considero pertinente mostraralgunas teorías acerca de qué es la Lógica y su relación con la matemática; por esta razón quiero citarlo que el profesor Alberto Dou, S.J. recopila al respecto.

“El logicismo es una doctrina sobre los fundamentos de la matemática que considera la lógica como

anterior o más fundamental que la matemática y efectúa la reducción de los conceptos y métodos deinferencia matemática a los correspondientes de la lógica, concluyendo consiguientemente que lamatemática no es más que una rama de la lógica. Las relaciones que existan entre la matemática y lalógica pueden constituir un aspecto muy importante de una teoría sobre fundamentos. Una primeradificultad para la explicación de estas relaciones es que no sabemos con precisión qué es lamatemática y aún menos qué es la lógica.

Precisamente nos proponemos explicar qué es la matemática, pero entonces parece que esimprescindible que sepamos previamente qué es la lógica, si hemos de explicar aquella en términosde ésta.

Ahora bien, una definición precisa de la lógica, que la caracterice totalmente, depende del sistema

filosófico que se adopte. Para nuestro fin bastará que demos las definiciones siguientes:

La lógica matemática es una ciencia que es anterior a las demás, que contiene las ideas y losprincipios en que se basan todas las ciencias.

Esta definición parcial es de K. Gödel (1906) y me parece que es también según la mente de SantoTomás y análogamente de Aristóteles y de la escolástica medieval. Aunque conviene notar que enAristóteles y en la escolástica la lógica es generalmente considerada como un arte que como unaciencia; un arte que da la manera de operar válidamente con conceptos y proposiciones, y no comociencia, porque carece de objetos propios a los que corresponda algo en la naturaleza.

Una definición muy precisa y moderna es la de A. Church (1903).

Lógica es el estudio sistemático de la estructura de las proposiciones y de las condicionesgenerales de válida inferencia por un método que abstraiga del contenido o materia de lasproposiciones y tenga en cuenta solamente su forma lógica. Se distingue entre materia yforma cuando distinguimos entre la legitimidad lógica o validez de un texto razonado y laverdad de las premisas de las cuales se deduce; y en este sentido es familiar en el lenguajeordinario. Sin embargo, es necesario establecer con precisión la distinción con referencia aunlenguaje particular o sistema de notación, un lenguaje formalizado, el cual evite lasinexactitudes y las irregularidades de estructura y expresión que sistemáticamente llevan aequivocaciones y que se encuentran en los lenguajes ordinarios, y el cual siga o reproduzca laforma lógica, a costa de la brevedad y facilidad de comunicación cuando sea necesario. Demodo que adoptar un lenguaje formalizado particular es adoptar un sistema o teoría

particular de análisis lógico. Entonces se puede caracterizar el método formal diciendo quesetrata de la forma objetiva de las sentencias que expresan proposiciones, y suministra en estosconcretos términos criterios para determinar si las sentencias tienen sentido, criterios deinferencia válida, y de otras nociones estrechamente asociadas a éstas.

Por consiguiente, según el logicismo la matemática es una rama de la lógica, sin duda extensa y convida propia, pero cuyo método se identifica con el propio método de la lógica. Se concibe así lamatemática como una disciplina universal que regiría todas las formas de argumentación.

Una disciplina así fue probablemente pensada por R. Llull (1231-1315) y por J. Caramuel (1606-1682) yciertamente por R. Descartes (1596-1650). El primero en formularla con cierta precisión parece fue G.

Leibniz (1646-1716), quien una vez la definió con estos términos:

Si no hubiese estado reclamado por tantos asuntos, o si hubiese sido más joven o tenido colaboradores



jóvenes en situación de ayudarme, hubiera confiado dar una especie de álgebra generalizada(spécieuse générale), en la cual todas las verdades de razón se habrían reducido a un cálculo. Estesería simultáneamente una especie de lenguaje o escritura universal, pero infinitamente distinto detodos los propuestos hasta ahora; y errores, con excepción de los de hecho, podrían darse únicamentecomo equivocaciones de cálculo. Sería muy difícil crear o inventar este cálculo o característica, peromuy fácil aprenderla sin ayuda de diccionario.

El primero en desarrollarla con considerable extensión y con todo rigor fue G. Frege (1848-1925), conmayor extensión aún J. Peano (1858-1932) y, finalmente, A.N. Whitehead (1861-1947) y B. Russell(1872-1970), que son considerados los introductores del logicismo.

Una de las tareas fundamentales del logicismo es la reducción de los conceptos matemáticos aconceptos lógicos; a esta reducción se le designa como logificación”

0.2 - ¿Por qué es necesaria una buena formación en lógica ?

Lo expuesto en el numeral anterior, nos empieza a mostrar la importancia de esta área delconocimiento y podría llevarnos a considerar la irrelevancia de la pregunta. No obstante considero

que ella cobra plena vigencia, mucho más por el período histórico al que asistimos y en el cual quieroubicarla.

Las respuestas a esta pregunta son muchas y bien fundamentadas por los especialistas en esta área ytambién por otras personas, no necesariamente expertas en ella pero que por formación, la asumencomo una componente inherente a la buena argumentación, al buen juicio. Por ello quiero más bienconsiderar otros aspectos que se relacionan con la argumentación lógica, y en particular con elmanejo de la información producida por diferentes medios.

El avance increíble en los medios de comunicación que caracterizaron las últimas décadas del sigloveinte y que en el comienzo del nuevo siglo, hace que cualquier fantasía en este campo searápidamente una realidad. Nos provee de información continua en todas las áreas, sin embargo enmuchos casos la cantidad de ésta no se equipara con su calidad. Es, en particular, en este aspecto: elprocesamiento o análisis crítico, individual y colectivo de la información recibida y producida, endiferentes modalidades, sobre el que quiero llamar la atención; y al respecto destaco con referencia aél, los siguientes elementos.

La manipulación de la información, manifiesta desde los mensajes publicitarios cotidianosinductores al consumismo desmedido, plagados de falacias hábilmente diseñadas por susautores por un lado y aceptadas por el desconocimiento del público por el otro.

Las posiciones políticas sostenidas públicamente por líderes mundiales, que no resisten elmenor análisis por las contradicciones y sofismas que conllevan, pero que pasan airosos entodos los auditorios sin ninguna crítica a su contenido.

La ausencia preocupante de interlocutores válidos, veraces, objetivos, en diferentesescenarios donde se toman decisiones cruciales que pueden afectar desde una población localhasta la humanidad completa, nos llevan a presenciar como la ausencia de la fuerzaargumentativa es reemplazada, lamentablemente en muchas ocasiones, por la fuerza bruta; yen muchos otros la palabra comprometida hoy, mañana se olvida.

Estas situaciones reales parecen apuntar a un “nuevo orden” en el cual son protagonistas lainformación liviana, acrítica, convincente, fácilmente asimilable, donde importa mucho la forma peromuy poco el fondo; y que inevitablemente me lleva a pensar si ese objetivo ideal de la argumentaciónválida con todos los elementos que la caracterizan, que obviamente está en contravía con estediagnóstico actual, ha caducado y su existencia se reduce exclusivamente al lenguaje de lasmatemáticas.

Sin embargo creo que nuestra obligación como seres pensantes, como integrantes de una cadenaevolutiva, como formadores, nos impide claudicar, y hoy como nunca nos exige cultivardenodadamente todos los elementos que enriquezcan nuestra racionalidad, que estimulen y movilicen



nuestros esquemas cognitivos. Es en este aspecto esencial donde considero que la lógica, comodisciplina formativa, tiene un papel importante que tenemos que aprovechar como parte de unproceso educativo integral; que tenga como objetivo hacernos ciudadanos responsables, críticos sanosy objetivos, tanto en la información que recibimos como en los juicios que emitimos.

Es el reto al que nos convoca una sociedad que avanza vertiginosamente en muchos campos, pero que

igualmente nos demanda mejor formación para ser participantes activos en ella.

0.3 - El objeto de estudio de la lógica

Con el propósito de motivar el estudio por esta área del conocimiento considero importante destacaralgunos objetivos de la lógica citados por el Doctor David Kelley en su libro “the Art of Reasoning withSymbolic logic”, y he adaptado algunas situaciones reales en las que se evidencia el papel de la lógicay la necesidad de la coherencia y el análisis crítico en la argumentación.

Cuando nos concentramos en nuestros pensamientos, nuestro objetivo normalmente es encontrar larespuesta de algo. Tratamos de responder una pregunta, resolver un problema, probar una tesis,comprender un texto de una disciplina específica.

En todos estos casos, podríamos decir que estamos tratando de adquirir conocimientos que noteníamos antes. Y, en muchas ocasiones, podemos adquirir este conocimiento por la observacióndirecta. Pero también tenemos que hacer razonamientos, elaborar inferencias y construirconclusiones conjuntamente a partir de la información obtenida.

Un objeto esencial de la lógica, siempre, ha sido el estudio de la inferencia y buena parte de nuestrotrabajo estará orientado en esta dirección. Estudiaremos reglas para evaluar las inferencias yaprenderemos a distinguir las correctas de las incorrectas. Como una situación motivadora podemosplantearnos el siguiente problema:

Una legislatura aprobó la ley que exige que el cinturón de seguridad, en los asientos de los autos, sea

utilizado. Los ponentes de esta ley afirman que los usuarios, que utilizan el cinturón, tienen unamejor oportunidad, estadísticamente, de sobrevivir en accidentes, frente a aquellas personas que nolos usan. Los oponentes, a menudo, señalan casos particulares en los cuales alguien sobrevivió debidoprecisamente a que no utilizó el cinturón. ¿Cuál es la mejor clase de evidencia? Están los oponenteshaciendo uso exagerado de las excepciones. Están los ponentes haciendo uso adecuado de laestadística.

Asumamos para orientar la discusión, que el uso de los cinturones de seguridad en los asientos,realmente es seguro. ¿Es esto suficiente para justificar la ley? No, por sí solo. La mayor seguridad delos cinturones debería justificar la ley, únicamente, si nosotros aceptamos la posición de que elgobierno debe exigirnos hacer aquello que propenda por nuestra seguridad.

Muchas personas pueden defender esta posición. Otras dirán que cada persona es libre para decidir enestos aspectos. Así, encontramos aquí dos temas de discusión: La seguridad de los cinturones de losasientos y la norma adecuada del gobierno. ¿Puede fundamentarse, este último, en la evidenciaestadística? Si no lo es así, ¿qué clase de evidencia es relevante?

Un propósito de la lógica es responder la pregunta que acabamos de plantear. La lógica sola no podríadecirnos si o no al soporte del mandato establecido por la ley. Ella nos provee de un método a seguirpara la elaboración de decisiones respaldadas. Nos indica cómo dividir y subdividir y analizar lainformación disponible para tener la seguridad de considerar todos los puntos importantes. Nosproporciona principios para decidir qué tipo de evidencia es apropiada en una situación particular. Ynos fija principios para determinar qué peso tiene una pieza dada como evidencia.

El valor de estas destrezas lógicas tiene un ilimitado campo de aplicación. En la labor normal de los

estudiantes en los cursos, que realizan, frecuentemente, presentan tesis que entran en competencia yque requieren de una discusión crítica. En los cursos de filosofía un tema para la discusión puede serla libertad versus el determinismo; en la literatura, pueden generarse diferentes interpretaciones de



un personaje en una obra determinada. La discusión de estas ideas, en forma crítica, significapresentar razones en pro o en contra de ellas. La comprensión de una teoría científica, demos porcaso una teoría sobre el origen del universo, nos lleva a la necesidad de comprender muchas cosasacerca de las evidencias para soportarla.

Finalmente, en nuestra vida diaria, tenemos muchas cosas para hacer unas más importantes que

otras, y aquí también necesitamos sopesar las razones de cada lado y tratar de considerar todos loselementos importantes.

La lógica puede también ayudarnos a desarrollar mayor agudeza en el análisis de la argumentación.Muchos hemos participado en discusiones frustrantes a causa de caer en círculos viciosos. Esto ocurre,a menudo, cuando “se habla sin escuchar” a los interlocutores, esto es cuando no estamos hablandoen el mismo contexto. Supongamos que algunos argumentan que es erróneo, por inmoral, considerarla eutanasia, exclusivamente, como un procedimiento médico dirigido finalmente a terminar con eldolor, puesto que está de por medio la vida de una persona. Muchos otros también puedenargumentar que una persona en estado terminal tiene, legalmente, el derecho a tomar decisionessobre su vida. Ambos grupos de personas están tratando el mismo tema de la eutanasia, pero ellos noestán trabajando el mismo aspecto. Los primeros están tratando de mostrar que la eutanasia esinmoral, mientras que los segundos están refutando el hecho de que pueda ser ilegal. Si la eutanasiaes aceptable o inaceptable en términos de la moral, y si es legal o ilegal son conclusiones diferentes.Ellos están relacionados (lo cual permite que fácilmente se confundan), pero no son idénticos.

Si ambos grupos pueden identificar la diferencia, ellos pueden encontrar que no están en desacuerdo,después de todo. En esta situación particular, el problema de ubicar dos contextos diferentes esrelativamente sencillo, porque los dos puntos de vista están claramente identificados por dos palabrasdiferentes “inmoral” versus “ilegal”. Un problema más difícil se presenta cuando dos personas estánutilizando la misma palabra, pero con distintos significados. Para ilustrar esta situación observemos lasiguiente argumentación.

“Una vez analizados los trabajos presentados por los aspirantes al cargo, el jurado considera quedeben relevarse”. Dos personas que analizan este enunciado pueden expresar conceptos totalmente

opuestos frente a su interpretación así: La primera considera la palabra relevarse como una acepciónde “relevante” es decir “destacable”, en este sentido su interpretación del texto anteriorcorresponde a que los trabajos presentados por los aspirantes tienen tan buena calidad, que merecenser destacados. En tanto la segunda persona asume dicha palabra como acepción de “relevar”, esdecir “reemplazar”, en este sentido, su interpretación del texto corresponde a que los trabajospresentados por los aspirantes tienen tan baja calidad que exige que los aspirantes sean reemplazadosy, posiblemente que se haga una nueva convocatoria.

Estas situaciones nos llevan a considerar otra área de gran importancia en la lógica que corresponde alos conceptos y definiciones. Siempre que razonamos hacemos uso de palabras abstractas; así en laargumentación sobre la eutanasia se expresaba si esta era o no “ilegal”, como también si era o no“inmoral”. Las palabras subrayadas son conceptos abstractos y el debate nos obliga a ver como se

definen con toda precisión. Con frecuencia estamos hablando fuera de contexto cuando usamos lamisma palabra, pero con diferentes significados. En consecuencia, siempre debemos utilizar elsignificado de nuestras palabras tan claro y explícito como nos sea posible. Algunos conceptos, talescomo “verdad”, son extremadamente difíciles de definir, y grandes pensadores han invertido buentiempo de su vida en el esfuerzo de lograrlo. La lógica no nos garantiza éxito, pero si nos provee deun método a seguir, y el método nos brinda dividendos inmediatos en términos de la claridad yprecisión de nuestros pensamientos.

Así como es necesario precisar el significado de palabras en el contexto de un análisis, tambiénpodemos emplear el camino inverso, tomar palabras claves y analizar su significado en distintas áreas.Esto nos permite, además, una integración temática real de diferentes campos. Por ejemplo, si setoma la palabra dinero puede abordarse su sentido en áreas como: la religión en la cual se consideracomo fuente del mal, y en la economía como medio de cambio. Como un último aspecto bien

importante a considerar desde el ámbito de la lógica, miremos ahora la objetividad.



Una buena comprensión de la lógica puede ayudarnos a elaborar buenas argumentaciones y persuadira otras personas. Pero este no es el único valor de la lógica. El objetivo fundamental es adquirirconocimiento para determinar que es verdadero. Ganar en una argumentación no significa,necesariamente, que nuestra posición sea correcta, así como perder no significa, necesariamente,que ella sea errónea. Si una opinión es verdadera o falsa depende de los hechos. El lograr estavaloración, como objetivo, es lo que el profesor David Kelley denomina el arte de la objetividad.

En el contexto de la discusión con otras personas, objetividad significa no solamente presentar laspropias ideas lógicamente, sino también escuchar lo que las otras personas dicen.

La objetividad no exige que seamos neutrales, que no tomemos partido o que seamos indiferentesante el tema en discusión. Requiere que tratemos de mirar la materia en discusión desde el punto devista de la otra persona. Así, si nuestro punto de vista fuera correcto, es raro que una perspectivasingular revele toda la verdad. Se requiere que escuchemos con imparcialidad la evidencia y losargumentos de la contraparte. En esta forma si finalmente refutamos las argumentaciones deloponente, sabremos exactamente por qué, y así tenemos un mejor conocimiento de nuestra posición.En cierta forma la objetividad es una actitud que tenemos para seleccionar, y la lógica no puedehacer la selección por nosotros. Pero la objetividad también involucra una habilidad. Así, con el mejorpropósito del mundo, no podemos ser realmente objetivos, a menos que conozcamos como seguir yevaluar los argumentos que escuchamos, como aislar los temas relevantes, como evitar la ambigüedady la vaguedad en el lenguaje que utilizamos; esto requiere, en consecuencia, un buen conocimientodel tema tratado.

Otro aspecto de la objetividad, particularmente importante, es la comunicación con las personas. Afin de conseguir que nuestras ideas puedan avanzar positivamente, debemos tener en cuenta elcontexto de las otras personas. Un punto obvio para alguien y que consideraría que no ameritasiquiera su mención en un determinado texto, puede no ser obvio para los demás y su omisión puedegenerar la no comprensión de su argumentación. La objetividad es la habilidad de regresar sobrenuestros propios juicios, de tal forma que podamos revisarlos en forma crítica, a través de la miradade cualquier persona que no comparta nuestro propio punto de vista, nuestras preferencias, nuestraidiosincrasia.

Todo lo que nosotros podemos razonablemente pedir de nuestra audiencia es la habilidad de seguir lacoherencia lógica. En este aspecto, la lógica, como lenguaje, es un sistema convenido sin el cual nopodríamos comunicarnos.

Pero la objetividad no es precisamente una virtud social. Va más allá de la irrazonabilidad de lospuntos de vista de los opositores; y más allá sensitivamente de las necesidades cognitivas de otros. Lahabilidad de regresar sobre nuestra cadena de pensamientos y examinarlos críticamente es unavirtud, aún cuando nuestro objetivo no sea comunicarlos. Es una virtud porque es la única forma deconfrontar los resultados de nuestros razonamientos, de evitar conclusiones precipitadas, de estar encontacto con los hechos. El resultado de nuestras propias reflexiones no puede ser mejor que elproceso por el cual llegamos a ellas. “No existe un libro de la vida con respuestas en su interior que

nos permita ver si estamos o no en lo correcto. El buen razonamiento es un proceso de autodirección,autocorrección alerta a los peligros de los juicios apresurados y nunca temeroso a preguntar o aresponder “¿Por qué?”.

Reafirmando algo ya dicho, esto es más bien cuestión de actitud, de elección, una posición en nuestravida y la lógica no puede hacer la selección por nosotros. Pero si nos provee de herramientas útiles.Nos suministra la brújula para navegar”

0.4 - Actividades Complementarias

Con el fin de propiciar la reflexión sobre los temas tratados en la sección anterior y ampliar sudiscusión, se proponen las siguientes actividades.

0.4.1 Analice cada uno de los textos que se presentan a continuación y, exprese su opiniónsustentándola en la forma más conveniente.



0.4.1.1 Con relación a la reglamentación del uso de los cinturones de seguridad, considera usted quees pertinente la argumentación:

“La mayor seguridad de los cinturones debería justificar la ley,únicamente, si nosotros aceptamos laposición de que el gobierno debe exigirnos hacer aquello que propenda por nuestra seguridad”.

0.4.1.2 La ley colombiana clasifica el delito de asesinato como un delito encarcelable, y por tantoquien lo cometa debe ir a prisión. En consecuencia, ¿es suficiente que un individuo sea condenado porasesinato para ir a prisión?

0.4.1.3 La producción, el tráfico y el consumo de drogas psicotrópicas y alucinógenas, ha generadotoda una gama de problemas sociales, desde la delincuencia organizada hasta los daños irreversibles yfinalmente la muerte que causa en los adictos a ellas. Esto ha llevado a considerar su penalizacióncomo un delito internacional.

En nuestro país en particular, son nefastas las secuelas que el problema del narcotráfico haproducido.

¿Puede afirmarse que los daños que causan estas drogas en las personas que las utilizan además deotros factores delincuenciales que están asociados a ellas, son elementos suficientes para penalizardrásticamente y prohibir su consumo?

0.4.1.4 Con relación al tema de la eutanasia considera usted que los aspectos: ¿Legal y moral sonefectivamente distintos?

¿Conoce usted algo sobre la legislación en nuestro país al respecto?

¿Recuerda usted algún artículo reciente sobre el tema?

¿Puede usted indicar otro tema diferente, que se pueda analizar bajo estos mismos aspectos?

0.4.1.5 Entre Alejandro y Carlos se da el diálogo siguiente: Carlos: No entiendo por qué el profesorme calificó 1 a la consulta que entregué y que él dejó como tarea la clase pasada. Aunque yo no asistía varias clases, tú me informaste por teléfono el tema de la consulta. ¿Cuánto sacaste?

Alejandro: Mi trabajo fue calificado con cinco y yo te indiqué que el tema de consulta era laasociación libre.

¿Por qué no revisamos los trabajos para observar que pudo haber ocasionado la diferencia entre lasnotas?

Carlos: Estoy de acuerdo

Alejandro: La asociación libre.La asociación libre o regla fundamental, es uno de los cuatro elementos que constituyen el dispositivoFreudiano para realizar el análisis del discurso subjetivo en condiciones óptimas.

La asociación libre se constituye en una forma especializada de verbalización y podría decirse que essu forma suprema ya que permite dejar de lado el factor crítico y la censura, que en otras formas deverbalización “controladas” aparecen con más intensidad.

Carlos: Ahora entiendo menos

Alejandro: Leamos el trabajo de Felipe que también fue calificado con cinco y que el profesor meencargó de entregarle.

(Felipe): La asociación libre.Al prescindir de la hipnósis Freud fue construyendo una técnica que permitía inducir al paciente aasociar y a comunicar aquello que se le ocurría, esta regla consiste entonces en pedir al paciente que



comunique todo lo que a su mente acuda sin importar si viene o no al caso, si le parece disparatado overgonzoso. La intención de esta técnica es dejar de lado toda crítica conciente y permitir que lasrepresentaciones que surjan encuentren expresión verbal.

Carlos: Definitivamente esto no tiene sentido.

Alejandro: No comprendo lo que dices, ¿por qué no lees tu trabajo?

Carlos: La asociación libre.Artículo 38. Se garantiza el derecho de libre asociación para el desarrollo de las distintas actividadesque las personas realizan en sociedad.

Artículo 39. Los trabajadores y empleadores tienen derecho a constituir sindicatos o asociaciones, sinintervención del Estado. Su reconocimiento jurídico se producirá con la simple inscripción del acta deconstitución. (Constitución Política República de Colombia)

Al analizar estos textos, ¿qué considera usted que pudo haber ocurrido para motivar la diferencia enlas notas asignadas por el profesor?

Desde el punto de vista de la lógica, ¿cuál es el problema central quese plantea en esta situación?

0.4.1.6 Finalmente señale en forma muy breve, los aspectos más importantes que, según su criterio,se tocan en estos elementos preliminares con relación al papel funcional de la lógica.

0.4.2 ¿Puede considerarse en nuestro medio, razonable, la posición de aceptar que cada persona eslibre para decidir en lo correspondiente a su bienestar individual, siempre y cuando no afecte a otraspersonas aún a riesgo de causarse daño?

Analicemos el siguiente texto:

“La primera consecuencia que se deriva de la autonomía, consiste en que es la propia persona (y nonadie por ella) quien debe darle sentido a su existencia y, en armonía con él, un rumbo. Si a lapersona se le reconoce esa autonomía, no puede limitársela sino en la medida en que entra enconflicto con la autonomía ajena. El considerar a la persona como autónoma tiene sus consecuenciasinevitables e inexorables, y la primera y más importante de todas consiste en que los asuntos que sóloa la persona atañen, sólo por ella deben ser decididos. Decidir por ella es arrebatarle brutalmente sucondición ética, reducirla a la condición de objeto, cosificarla, convertirla en medio para los finesque por fuera de ella se eligen.

Cuando el Estado resuelve reconocer la autonomía de la persona, lo que ha decidido, ni más nimenos, es constatar el ámbito que le corresponde como sujeto ético: dejarla que decida sobre lo másradicalmente humano, sobre lo bueno y sobre lo malo, sobre el sentido de su existencia”. (“Derechoal libre desarrollo de la personalidad. Límites: autonomía personal” Gaceta de la Corte

Constitucional. Tomo 5, página 46).

Ponencia del Doctor Carlos Gaviria Díaz. En su cargo como Magistrado de la CorteConstitucional.Dou, Alberto. Fundamentos de la matemática. Editorial Labor, S.A. Barcelona, 1970.Págs, 59 y 60.

Kelley, David. The Art of Reasoning with Symbolic Logic. W.W. Norton & Company. New York,London, 1990. Pág. 5. Op. Cit., pág. 7.



1.1- Introducción

Las consideraciones del capítulo anterior, nos conducen a centrar nuestra atención en algunosaspectos fundamentales en el desarrollo de la lógica, como son:

La necesidad de un lenguaje preciso, libre de ambigüedades. La elaboración de argumentaciones coherentes que nos permitan obtener decisiones

respaldadas. La determinación de criterios que nos permita fijar el peso de una evidencia en una

argumentación específica. La adquisición de conocimientos para determinar lo verdadero (la verdad como consenso).

(Ver documento de referencia). La objetividad como una actitud de vida.

Por esta razón iniciaremos el trabajo con algunos elementos del lenguaje. Los demás aspectos setratarán en el desarrollo del texto.

1.2 - Lenguajes formales

Se designa en esta forma a un lenguaje que se define completamente sin que haya necesidad de darleinterpretación alguna.

Un lenguaje formal puede identificarse con el conjunto de sus fórmulas bien formadas (que sellamarán también fórmulas o abreviadamente fbfs).

Una fórmula a su vez es un objeto abstracto, es una marca, o una hilera de marcas. Dos cadenasdiferentes de marcas pueden ser muestras de la misma fórmula.

El conjunto de las fórmulas bien formadas de un lenguaje formal específico viene determinado poruna decisión de su creador, que se limita a dejar establecido qué cosas tienen que ser fbfs de su

lenguaje.

Ordinariamente, para definir un lenguaje formal se requiere:

Designar explícitamente el conjunto de símbolos (el alfabeto) del lenguaje. Designar explícitamente el conjunto de reglas de formación que determinan qué secuencias

de símbolos del alfabeto, son fórmulas bien formadas (fbfs) del lenguaje.

La designación de los conjuntos anteriores debe hacerse sin apelar en ningún momento a unainterpretación cualquiera.

Ilustración 1

1. El lenguaje T se define de la siguiente forma:Alfabeto: + *Fórmulas bien formadas: todo cadena finita de símbolos del alfabeto de T que comience con'+' es una fbfs.Podemos afirmar que T es un lenguaje formal.Dadas las fórmulas: a) +++; b) +***; c) *+++; d) +; +* - *.¿Cuáles de ellas son fbfs?

2. El lenguaje R se define de la siguiente forma:

Alfabeto:¿Es R un lenguaje formal?

3. El lenguaje S se define de la siguiente forma:

Alfabeto: a b c d e f gFórmulas bien formadas: toda cadena finita de símbolos del alfabeto de S que dé lugar a unapalabra castellana es una fbfs.



¿Es S un lenguaje formal?Podemos afirmar que no; puesto que no se cumple la condición 3 de la definición de lenguajeformal. Específicamente, la condición fijada para la determinación de fbfs exige en este casouna referencia al significado, ya que una cosa es una palabra castellana sólo si tiene unsignificado.

4. El lenguaje P se define de la siguiente forma:

Alfabeto: a b c d e fFórmulas bien formadas: toda cadena finita de símbolos del alfabeto P que no de lugar a unapalabra castellana es una fbfs.¿Es P un lenguaje formal?

Establecido un lenguaje formal específico, podemos pasar a hacer una o ambas de las dos cosassiguientes:

1. Podemos definir la noción de una interpretación del lenguaje . Esto nos lleva a la teoría demodelos.

2. Podemos especificar para el lenguaje un mecanismo deductivo . Esto nos lleva a la teoría dela demostración.

1.3 - Teoría de modelos

En un sentido amplio, una interpretación de un lenguaje formal es una asignación de significados a sussímbolos y/o a sus fórmulas. La teoría de modelos es la teoría de las interpretaciones de los lenguajesformales.

Entre los conceptos de la teoría de modelos se encuentran los de verdadero para una interpretación,consecuencia semántica (o consecuencia desde el punto de vista de la teoría de modelos) y validezlógica que precisaremos posteriormente.

Ilustración 2

Demos una interpretación al lenguaje formal T así:„+' significa el dígito decimal „1', „*' significa el dígito decimal „0'. En esta forma, cada fórmula corresponderá a una cifra decimal compuesta exclusivamente de unos yceros, comenzando siempre por uno.

Por ejemplo:

+++ significa 111+*** significa 1000

Esto muestra que, en un sentido muy amplio de „interpretación', una fórmula interpretada no tiene

por qué constituir una proposición, en donde entendemos por „proposición' una oración que expresaalgo verdadero o falso. Puede ser como se ilustra aquí, el nombre de algo. O puede ser un adjetivo, oun adverbio, o una preposición, o una frase, o una oración imperativa o una cadena de nombres.

1.4 - Mecanismos deductivos. Sistemas formales. Teoría de la demostración

Mediante la especificación de un mecanismo deductivo para un lenguaje formal, obtenemos unsistema formal. Un sistema formal S es un lenguaje formal L junto con un mecanismo deductivo queviene dado por:

1. El establecimiento, explícito, por decreto, de que ciertas fórmulas de L han de ser axiomas deS, y/o

2. El establecimiento explícito, por decreto, de un conjunto de reglas de transformación(llamadas también reglas de inferencia ) que determina qué relaciones entre fórmulas de Lconstituyen relaciones de consecuencia inmediata en S (Intuitivamente, las reglas de



transformación autorizan la derivación de algunas fórmulas a partir de otras).3. La designación de los conjuntos anteriores debe hacerse sin apelar en ningún momento a una

interpretación cualquiera.

Observación.

Un mecanismo deductivo consta de axiomas y reglas de inferencia, solo de axiomas, o solo de reglasde inferencia.

La teoría de la demostración es aquella parte de la teoría de los sistemas formales (es decir, de loslenguajes formales dotados de mecanismos deductivos) que no conlleva de manera esencial una teoríade modelos (es decir que no requiere de ninguna referencia o interpretaciones de los lenguajes).Entre los conceptos que pertenecen a la teoría de la demostración se encuentran los de demostraciónen un sistema (o demostración formal), teorema de un sistema (o teorema formal), derivación en unsistema (o derivación formal), y consecuencia sintáctica (o consecuencia desde el punto de vista de lateoría de la demostración). Todos ellos entrañan una referencia esencial a un mecanismo deductivo, ytodos ellos pueden definirse sin hablar para nada de interpretaciones.

Ilustración 3

Sea W el sistema definido de la siguiente forma:Alfabeto: + *Fórmulas: Toda cadena finita de símbolos del alfabeto de W que comience por „+' es una fórmula deW.Axioma: + * * *Reglas de inferencia: Toda fórmula de W cuyos dos últimos símbolos sean „+' y *, en este orden, es unaconsecuencia inmediata en W de toda fórmula de W cuyos dos primeros símbolos sean „+' y * en esteorden. Ninguna otra cosa es una consecuencia inmediata de algo en W.

1. ¿Es W un sistema formal?

2. ¿Es „+ + *' una consecuencia inmediata en W de „+* * * '? 3. ¿Es „+ * ' una consecuencia inmediata en W de „+ * '?

4. ¿Es „+ * * +' una consecuencia inmediata en W de „+ * * +'?

5. ¿Es „* * + + * ' una consecuencia inmediata en W de „+ * + + + +'?

1. Dar un ejemplo de una consecuencia inmediata en W de:a) + + + + b) * + + + c) * + + * d) + * * +

Respuestas:

1. Si, puesto que corresponde a un lenguaje formal dotado de un mecanismo deductivo.2. Si3. Si4. No. Solo las fórmulas que terminan en „... + * ' pueden ser consecuencias inmediatas en W.

1. No, porque dicha cadena no es una fórmula en W, puesto que no comienza en „+'.

a) No existe ninguno'; puesto que los dos primeras signos no corresponden a „+ * '. b) No existe ninguno, puesto que la cadena no es fórmula de W.c) No existe ninguno, puesto que la cadena no es fórmula de W.d) Podemos dar innumerables ejemplos, así: + *, + + *, + * + *.

1.5 - Sintáctico, semántico, pragmático

Como lo hemos expresado, todo lenguaje está constituido por símbolos y reglas; a la ciencia que sededica al estudio de un lenguaje se le denomina semiótica, esta a su vez está constituida por tres



ramas denominadas: Sintaxis, Semántica y Pragmática.

La Sintaxis estudia las relaciones de los símbolos entre sí, independientemente de los objetos queellos puedan designar; es, en consecuencia, la teoría de la construcción del lenguaje.

En el contexto de nuestro trabajo sintáctico está asociado con lenguajes formales o con sistemas

formales sin una referencia esencial a su interpretación.

La Semántica estudia las relaciones entre los signos y los objetos que ellos designan.

En el contexto de nuestro trabajo semántico está asociado con la interpretación de los lenguajesformales, es decir, con la teoría de modelos.

La Pragmática estudia las relaciones entre los símbolos y los sujetos que los utilizan.

Ilustración 4

1. En el lenguaje ordinario, una regla de la sintáctica de la lengua castellana, prohibe quecualquier palabra comience con „rr'.

El enunciado: „Algunos autores utilizan a|b y otros para indicar que a divide a b'.Corresponde a la pragmática.

2. Con relación al problema desarrollado en la ilustración 3, el que una fórmula del sistema Wsea una consecuencia inmediata en W de otra fórmula W, ¿es una propiedad sintáctica,semántica o pragmática de esa fórmula?

3. Que una fórmula denote un número, ¿es una propiedad sintáctica, semántica o pragmática deesa fórmula?

4. Que una fórmula sea verdadera, ¿es una propiedad sintáctica, semántica o pragmática de esafórmula?

Respuestas.

2. Sintáctica.

3. Semántica: La expresión „que una fórmula denota un número' puede sustituirse mediante laexpresión „que pueda interpretarse que una fórmula denota un número'.

4. Semántica: La expresión „que una fórmula sea verdadera' puede sustituirse mediante la expresión„que puede interpretarse que una fórmula exprese algo verdadero'.

1.6 - Metateoría. La Metateoría de la lógica

La metateoría es la teoría que tiene como objeto de estudio los lenguajes, los sistemas formales y susinterpretaciones. Entre los problemas principales que examina, se encuentran problemas de laconsistencia, completud, decidibilidad e independencia de conjuntos de fórmulas. Tanto la teoría demodelos como la teoría de la demostración pertenecen a la metateoría.

La metateoría de la lógica es la teoría de aquellos lenguajes y sistemas formales que interesan allógico. Normalmente este se interesa por un lenguaje formal porque éste tiene fórmulas que puedeninterpretarse como si expresaran verdades lógicas; y normalmente se interesa por un sistema formalporque sus teoremas pueden interpretarse como si expresaran verdades lógicas o porque sus reglas detransformación pueden interpretarse como reglas de inferencia lógicamente válidas.

1.7 - Uso y mención.

Lenguaje - Objeto y metalenguaje



Demostraciones en un sistema formal y demostraciones acerca de un sistema formal

En la lógica, las palabras „uso' y „mención' (tanto los nombres como los verbos) se utilizan para haceruna distinción fundamental que podemos ilustrar con el siguiente ejemplo:

1. „Medellín' es una palabra aguda. 2. Medellín es una ciudad.

En 1, se dice que la palabra „Medellín' ha sido mencionada ; en 2, se dice que la palabra „Medellín' hasido usada (y no mencionada). Mencionamos un objeto mediante un enunciado acerca de él, en dichoenunciado usamos un nombre del objeto.

Existen diversas formas para indicar que estamos mencionando una expresión; por ejemplo,encerrándola entre comillas (como en el ejemplo dado), o subrayándola.

A los lenguajes formales usualmente se les llama lenguaje - objeto . El lenguaje utilizado paradescribir un lenguaje - objeto se le designa como metalenguaje de este último.

Una demostración en un sistema formal que tenga axiomas, es una cadena de fórmulas de un lenguajeformal que satisface ciertos requisitos puramente sintácticos y que no posee ningún significado.

Una demostración acerca de un sistema formal es un fragmento de discurso dotado de significado,expresado en el metalenguaje, que justifica un enunciado verdadero acerca del sistema.

De forma similar, un teorema de un sistema formal es una fórmula de un lenguaje formal quesatisface ciertos requisitos puramente sintácticos y que no tiene ningún significado, mientras que unteorema acerca de un sistema formal (también llamado metateorema) es un enunciado verdaderoacerca del sistema, expresado en el metalenguaje.

1.8 - Ejercicios propuestos 1.7

1. Carlos: Estoy convencido, de la existencia del éter como fundamento de las teorías de latransmisión eléctrica y calórica.

Jorge: No puedo admitir tu afirmación a menos que me expliques qué entiendes por la palabra „éter'.

a) En el diálogo anterior, ¿Carlos está usando o mencionando la palabra „éter'?

b) ¿Jorge, está usando o mencionando la palabra „éter'?

2. En cada una de las siguientes frases, decir si el enunciado „Levántate ya' está usado o mencionado.

a) „Levántate ya' se utiliza para hacer una petición o para emitir un orden.

b) Levántate ya.

c) No se lo que quieres decir mediante „Levántate ya'.

3. Decir, en cada uno de los siguientes casos, si el enunciado „La paz es un compromiso de todos' estáusado o mencionado:

a) La paz es un compromiso de todos, en todas las circunstancias.

b) Las palabras La paz es un compromiso de todos expresan una proposición verdadera.



c) El enunciado „La paz es un compromiso de todos' se usa específicamente para motivar elcompromiso social frente a la paz.

4. Con relación a la ilustración 3, la proposición:No toda cadena formada por varios „+' y * es una fórmula del sistema formal W. ¿Es un teorema de W, un teorema acerca de W, o un metateorema?

5. Puesto que, para cualquier sistema formal S, todo lo que es un Axioma de S, o una consecuenciainmediata en S de un axioma de S, es un teorema de S, determinar si cada una de las siguientescadenas es, o no, un teorema de W (ilustración 3).

a) + * + *b) * * + *c) + * * *d) „+ * * * ' es un teorema de W.

6. „Sean A y B fórmulas cualesquiera de un lenguaje formal T'.Explicar qué función desempeñan las letras „A' y „B' en este enunciado.

7. Definimos un sistema formal z así:

Alfabeto: s t

Fórmulas: toda cadena finita de símbolos del alfabeto de z es una fbfs, ninguna otra cosa es una fbfsen z.

Reglas de inferencia:

R.I.1.: toda palabra puede duplicarse.

R.I.2.: Elimine tt de la palabra, siempre y cuando no se elimine la cadena totalmente.

R.I.3.: La cadena „sss' puede sustituirse por „t' en cualquier palabra.

R.I.4.: Añada „t' a la derecha de la palabra actual si la última letra es „s'.

R.I.5.: Estas son las únicas reglas de inferencia en z.

a) Dada la palabra sstts , cuáles de las siguientes palabras se derivan de ella, indique explícitamentelas reglas utilizadas.

i)t ii)tt iii) iv)tttt v)s

b) Demuestre que tst se deriva de s.

c) Demuestre que ttst se deriva de s.



2.1. Introducción

Iniciamos ahora nuestro trabajo específico en el cálculo proposicional, con la construcción de unlenguaje preciso, libre de ambigüedades, que nos permita desde sus bases, la consolidación de unaestructura dinámica, pero rigurosa y a prueba de inconsistencias.

2.2 El lenguaje

Nos servimos del lenguaje en las más diversas formas: para hacer preguntas, dar órdenes, expresardeseos y también para hacer afirmaciones acerca de los objetos. Es decir, enunciar hechos o describirsituaciones. De una pregunta no tiene sentido preguntarse si es verdadera o falsa. Ejemplo:

"¿Quién desea ayudarme?"¿Qué hora es?,

no son, en cuanto tal, ni verdaderas ni falsas. Tampoco lo son expresiones como:

¡Siéntese aquí!

¡Váyase!

En cambio, de las afirmaciones que hacemos acerca del mundo, sí tiene sentido preguntarse por suverdad o falsedad. Este uso del lenguaje se denomina: enunciativo, indicativo, asertórico. La lógicaactual, se ocupa de este tipo de discurso. Es decir, de aquel cuyos enunciados son, o bien verdaderoso bien falsos.

Las siguientes expresiones:

“Pedro fue al colegio” “Peter went to the college”

son distintas en cuanto que son diferentes trazos sobre el papel. Sin embargo, dicen lo mismo. Esdecir, enuncian una misma proposición.

Se entiende por proposición el contenido trasmitido en una oración hecha en modo indicativo. Seempleará el término proposición o enunciado indiferentemente.

Se puede decir, que la lógica es la ciencia de los principios de inferencia o razonamientosformalmente válidos. Lo específico de un razonamiento o inferencia consiste en derivaruna conclusión a partir de unas premisas siguiendo una regla de inferencia dada, llamada modus ponens . De esta conclusión se dice que es formalmente válida, es decir, que si sus premisas sonverdaderas entonces la conclusión también es verdadera. La lógica se ocupa de la validez de losrazonamientos y no de la verdad o falsedad de los enunciados que la componen.

En todo razonamiento, es posible diferenciar la forma del contenido. Así, por ejemplo:

Si llueve, entonces no iré al teatro.Si pago las deudas, entonces no tendré problemas.

Son dos enunciados de contenidos diferentes. Su forma sin embargo, es la misma. Su estructura serepresenta así:

Si ______, entonces no _____

Se puede llenar el espacio vacío con letras mayúsculas, que representarán el contenido de los



enunciados quedando la expresión así:

Si P entonces no Q

A la lógica le interesa únicamente la forma de los razonamientos. A esto se le denomina lógica formal o ciencia de las formas o esquemas válidos de razonamientos. La lógica ha de hacerse con un

lenguaje en el cual la forma aparezca aislada, y en el que la estructura del razonamiento se muestresola.

2.3 Cálculo proposicional

2.3.1 Simbolización de Proposiciones

Cada proposición tiene una forma lógica a la cual se le da un nombre. Se distinguen dos tipos deproposiciones: simples y compuestas. Una proposición se denomina simple cuando en ella nointerviene ninguna conectiva lógica o término de enlace (y, o, no, si... entonces..., si y sólo si). Si sejuntan una o varias proposiciones simples con un término de enlace, se forma unaproposición compuesta . Los términos de enlace, "y", "o", "si...entonces", "si y sólo si"; se usan para

ligar dos proposiciones, en cambio el término de enlace "no" se agrega a una sola proposición.Ejemplo:

Hoy es juevesHay clases de matemáticas

Ambas proposiciones son simples. Con estas proposiciones se pueden construir proposicionescompuestas tales como:

Hoy es jueves y hay clases de matemáticas.Hoy es jueves o hay clases de matemáticas.Si hoy es jueves, entonces hay clases de matemáticas.

Hoy no es jueves.

La forma de las proposiciones compuestas depende del término de enlace utilizado, y no delcontenido de la proposición o proposiciones simples. Es decir, si en una proposición compuesta sesustituyen las proposiciones simples por otras proposiciones simples cualesquiera, la forma de laproposición compuesta se conserva. Ejemplo:

Hoy es jueves y hay clase de matemáticas.

Esta sería la forma de la proposición. En los cuadros pueden escribirse las proposiciones dadas u otrasproposiciones. Para representar las proposiciones se utilizan letras latinas mayúsculas tales como P,Q, R, etc. Por ejemplo, sea:

P: Hoy es jueves.Q: Hay clase de Matemáticas.

Luego la proposición:

Hoy es jueves y hay clase de matemáticas

se simboliza así:



P y Q

En el lenguaje corriente se utiliza también la palabra "pero" o una "," en vez del término de enlace"y". Ejemplo:

Fuí a la feria, pero no hice compra alguna.

Inés está enferma, el martes iré a visitarla.

En el siguiente ejemplo se usa el término de enlace "o".

Es tarde o está muy oscuro.

Otro giro de "o" es:

O es tarde o está muy oscuro.

En este último caso las dos "o" son parte del mismo término de enlace y la forma de la proposición es:

Cuando se usa el término de enlace: si,... entonces... se obtiene la siguiente forma:

Ejemplo:

Si madrugo entonces llego temprano.

En este ejemplo puede suprimirse la palabra "entonces" y reemplazarse por una "," así:

Si madrugo, llego temprano.

Cuando la palabra "no" se encuentra en el interior de una proposición simple, puede pasarinadvertida, pero se trata de una proposición compuesta. Ejemplo:

El día no está caluroso

Puede presentarse como:

No ocurre que el día esté caluroso.

Su forma es:



También se usan símbolos para representar los términos de enlace, así:

Para la "y" se utiliza el símbolo .

Para la "o" se utiliza el símbolo .

Para el "no" se utiliza el símbolo ¬ .

Para el "si, ... entonces ..." se utiliza el símbolo

Para el "si y sólo si" se utiliza el símbolo .

Cuando una proposición compuesta utiliza el término de enlace "y" es una conjunción . Si el enlace sehace mediante la conectiva "o" es una disyunción . Si se usa el término "no" es una negación. Cuandola conectiva es "si,.... entonces.." es una proposición condicional , y si utiliza "si y sólo si" se tieneunbicondicional.

En proposiciones que tienen más de un término de enlace es preciso indicar la manera de agruparse,pues distintas agrupaciones pueden tener distintos significados. En el lenguaje corriente, lasagrupaciones se presentan de acuerdo a la posición de ciertas palabras o mediante la puntuación. Enlógica la agrupación se indica por medio de paréntesis. Ejemplo:

O los soldados encontraron cerrado el paso, o si temieron un ataque enemigo, se refugiaron en lasmontañas. Este texto se simboliza de la siguiente forma:

P : Los soldados encontraron cerrado el paso.

Q : Los soldados temieron un ataque enemigo.

R : Los soldados se refugiaron en las montañas.

La proposición compuesta es:

la cual tiene un sentido distinto de la proposición

.

Cuando no hay lugar a ambigüedades, pueden omitirse los paréntesis y se adopta una convención conrespecto a la dominancia relativa de los diversos conectivos. La convención es:

y dominan a y .

Así: significa

significa .

Con esta convención no está claro lo que significa por ejemplo:



ó .

Aquí es necesario usar paréntesis para aclarar, en el primer caso, si se trata de

ó .

y en el segundo caso, diferenciar entre

y .

2.3.2 Signos definidos

En adelante, designaremos también a las proposiciones con el nombre de fórmulas, término másusado para las proposiciones matemáticas.

Una vez establecidas las reglas de formación para fórmulas se pueden introducir abreviaciones con el

fin de simplificar la escritura. Estas abreviaciones son el objeto de las definiciones matemáticas.

Definición: Sean R y S fórmulas, entonces:

• La fórmula ¬ ( ¬ R ¬ S) se denota abreviadamente como R S y se llama conjunción

lógica de R y S, la cual se lee "R y S".

• La fórmula ¬ R S se denota como y se llama condicional de R y S. La figura lógica delcondicional, responde a conectar dos proposiciones mediante el esquema "si ...., entonces ...". Paraleer una proposición de la forma , se puede usar alguna de las siguientes expresiones:

Si R entonces S.

R es suficiente para S.

S es necesario para R.

S siempre que R.

R sólo si S.

A la fórmula R se le llama antecedente , y a la fórmula S consecuente . Cuando el condicional eslógicamente verdadero se dice que existe implicación y en este caso se lee la expresión como:

R implica S

la cual se denota:

• La fórmula ( ) ^ ( ) se denota por y se llama bicondicional de R y S. Estaexpresión se puede leer como:



R si y sólo si S

R es suficiente y necesario para S.

Cuando el bicondicional es lógicamente verdadero, se dice que hay equivalencia . En este caso, selee:

R equivale a S

y se denota:

Nota: Los criterios para decidir sobre la verdad del condicional y el bicondicional se verán masadelante.

2.3.3 Ejercicios propuestos 2.3

Simbolizar completamente las proposiciones siguientes, utilizando los símboloscorrespondientes a cada término de enlace. Indicar las proposiciones simples sustituidas porcada letra mayúscula.

1. En el hemisferio sur, julio no es un mes de verano.2. Si dos pulsaciones se atraviesan, continúan conservando la forma original.3. O Jaime no es puntual o Tomás llega tarde.4. Ni Antonio ni Ana estudian en la Universidad.5. O Pedro es presidente y Juan es tesorero, o Jaime es tesorero.6. Si este cuadro es negro entonces aquel cuadro es rojo y su rey está sobre el cuadro

rojo.7. A la vez si este cuadro es negro entonces aquel cuadro es rojo y su rey está sobre el

cuadro rojo.8. Patinaremos si y sólo si el hielo no es demasiado delgado.

Si P , Q , R , S designan las proposiciones:

P: Juan viajó en el avión de las 8 a.m.

Q: Pedro llegó a tiempo al aeropuerto.

R: El proyecto se expuso ante la junta directiva.

S: El vuelo se retrasó

expresar en el lenguaje ordinario las siguientes proposiciones:

•

•

•



•

•

Analizar cuáles de ellas tienen el mismo significado.

• Expresar en función de los signos definidos requeridos las fórmulas:

•

•

•

•

•

•

¿Encuentra usted alguna ventaja en esta última presentación?

2.4 Tablas de verdad

2.4.1 Interpretación en el lenguaje ordinario

Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretación de los signos lógicos, ¬ ,como: no, o, y, si ... entonces, si y sólo si, respectivamente. La interpretación corresponde al sentidoque estas operaciones tienen dentro del razonamiento.

Puede establecerse una correspondencia entre los resultados de estas tablas y la deducción lógicomatemática. En consecuencia, las tablas de verdad constituyen un método de decisión para chequearsi una proposición es o no un teorema.

Para la construcción de la tabla se asignará el valor 1 (uno) a una proposición verdadera y 0 (cero) auna proposición falsa.

Negación: El valor de verdad de la negación es el contrario de la proposición negada.



Disyunción: La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos componentes.

Conjunción: Solamente si las componentes de la conjunción son verdaderas, la conjunción esverdadera.

Condicional: El condicional solamente es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuentees falso.

Bicondicional: El bicondicional solamente es verdadero si sus componentes tienen el mismo valor deverdad.

Nota: Con respecto a la proposición condicional es importante hacer notar que este tipo de enunciado

lo único que dice es que cuando se da el antecedente tiene que darse el consecuente, si esto no



ocurre no se obliga a nada, es decir, el consecuente puede o no darse.

Se denomina tautología una proposición que es verdadera para cualquier valor de verdad de suscomponentes. Por tanto, la última columna de su tabla de verdad estará formada únicamente porunos.

Contradicción es la negación de una tautología, luego es una proposición falsa cualesquiera sea elvalor de verdad de sus componentes. La última columna de la tabla de verdad de una contradicciónestará formada únicamente por ceros.

2.4.2 Ejercicios propuestos 2.4

1. Sean P, Q, R y S fórmulas. Si se sabe únicamente que P es verdadero, ¿qué puede afirmarse delvalor de verdad de cada una de las proposiciones siguientes?

2. ¿Qué puede concluirse de cada una de las proposiciones anteriores, en los siguientes casos?

• Si P es falsa.

• Si P es falsa, Q verdadera y R verdadera.

3. Sean P, Q y R fórmulas, entonces:

• Si es falsa y P es falsa; ¿Qué puede afirmarse de R y de Q ?

• Si es verdadera y P es falsa; ¿Qué puede afirmarse de Q ?

• Si es falsa; ¿Qué puede afirmarse de P, Q y R ?

• Si es falsa; ¿Qué puede afirmarse de P, Q y R ?

• Si es verdadera; ¿Qué puede afirmarse de P, Q y R ?

4. Sean P, Q y R fórmulas. Determinar cuáles de las siguientes proposiciones son tautologías:



5. Con relación al ejercicio 2.2, 2; analizar el valor de verdad de cada una de las proposiciones, bajolas siguientes condiciones:

1. P es verdadera, Q es falsa.2. P es falsa, Q es falsa3. P es verdadera, S es verdadera.4. Q es falsa, S es verdadera.

5. P es verdadera, R es verdadera6. R es verdadera.

6. Con relación al ejercicio 2.2, 2; asumiendo que la proposición en cada numeral es falsa, que puedeconcluir en cada caso de las proposiciones P , Q , R y S ?

2.5 Implicaciones asociadas a

Considerando como implicación directa, están asociadas las siguientes implicaciones:

llamada implicación recíproca .

llamada implicación contrarrecíproca .

llamada implicación contraria .

Ejercicios propuestos 2.5

1. Para cada enunciado escriba su recíproco, contrario y su contrarrecíproco.

• Si una figura plana es un cuadrado, entonces es un rombo.

• Si una figura plana es un cuadrado, entonces es un rectángulo.

• Si una figura plana es un rectángulo, entonces es un paralelogramo.

• Si una figura plana es un rombo, entonces sus diagonales son perpendiculares.

• Si un triángulo tiene dos ángulos iguales, entonces es isósceles.

• Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto.

• Si un triángulo es equilátero, entonces, es isósceles.

• Si un triángulo es rectángulo, entonces, tiene dos ángulos agudos.



• Si dos rectas distintas son paralelas, entonces, su intersección es el conjunto vacío.

2. ¿Con relación al ejercicio anterior, que puede observarse sobre el valor de verdad de losrespectivos recíproco, contrario y contrarrecíproco respecto de la implicación principal?

fundamentos de lógica y teoría de conjuntos

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