Las Matemáticas no la han inventado los matemáticos. Las Matemáticas son el lenguaje con que la Naturaleza se expresa, se comunica y ordena el engranaje de cada una de sus partes, ya sea un átomo o una galaxia. Basta echar una ojeada a nuestro entorno para encontrarnos con el lenguaje armonioso de las Matemáticas. ¿Has observado alguna vez la estructura hexagonal de un copo de nieve? ¿Y la espiral que forman los jóvenes brotes de los helechos o la curva helicoidal con que el zarcillo de la madreselva se sujeta a las ramas para trepar? ¿Por qué a la hora de asignar pétalos a las flores, la Naturaleza tiene predilección por el número 5? Resulta asombroso pensar que el número de oro, que equivale a 1,618033989… y es solución de una sencilla ecuación de segundo grado ¡se encuentre en la concha de un caracol!

Pero si observamos con detenimiento las formas y relaciones en la Naturaleza, pronto advertimos que es limitada en su “creación literaria”. La inmensa variedad que observamos surgen de la elaboración y reelaboración de un reducido número de temas básicos. Es como si la Naturaleza tuviera obstinación en repetirlos. Vamos a analizar alguno de ellos.

HEXAGONOMANÍA

“Las abejas, en virtud de cierta intuición geométrica, saben que el hexágono es mayor que el cuadrado y que el triángulo, y que podrá contener más miel con el mismo gasto de material.”

Pappus de Alejandría. Siglo IV a.C.

Observemos, como hicieron los antiguos griegos, las celdillas de un panal de abejas. Estos laboriosos insectos no tienen regla y compás para realizar sus labores de construcción, pero elaboran preciosos mosaicos hexagonales (6 lados) con la misma perfección de un geómetra. Esta misma ordenación también la encontramos en otros muchos lugares: en el caparazón de una tortuga, en los pólipos coralinos, en las panochas de maíz o en las agrupaciones de percebes. Pero no sólo existen ejemplos dentro de la materia viva y sorprende encontrar los inevitables hexágonos en una placa de barro fragmentado al secarse o en las bellas estructuras que forma el basalto volcánico. Definitivamente, el hexágono es una figura recurrente en la Naturaleza. ¿Por qué esta manía por construir hexágonos?

La Naturaleza no construye uno u otro diseño por mero capricho, sino por necesidad, ateniéndose a unas pocas leyes básicas. Para demostrarlo hagamos el siguiente experimento: extendamos un montón de canicas en el suelo e intentemos agruparlas de manera compacta. Después del caos inicial veremos como cada canica se hace rodear de otras seis, formando una retícula que sorprende por su simetría. No ha sido necesario colocarlas una por una, sino que obedientemente han ocupado cada una su lugar. Si las canicas tuvieran paredes blandas, los pequeños huecos que

quedan entre las canicas se rellenarían formando finalmente un mosaico hexagonal, similar al del panal de abejas. Por eso observamos esta estructura tan a menudo: cualquier agrupación de unidades produce automáticamente retículas hexagonales.

En la Naturaleza ningún animal trabaja en balde e impera la ley del mínimo esfuerzo. Ni siquiera las laboriosas abejas se escapan a esta norma universal. Por eso sus panales son estructuras hexagonales, porque suponen el máximo almacenaje de miel con el mínimo gasto de cera. Este hecho no pasó desapercibido a los geómetras griegos de la antigüedad, que ya sabían bastante de hexágonos y otras muchas figuras geométricas.

Más muestras de esta “hexagonomanía” natural las encontramos en los frutos del ciprés, en las escamas de la corteza de muchos árboles o en los copos de nieve. La misma admiración que uno siente cuando ve por primera vez el mar es la que produce el acercarse a un diminuto copo de nieve y observar la forma perfecta de un hexágono: seis líneas radiales que surgen de un punto central. Hay pocas cosas tan sencillas y perfectas.

Cualquier estudiante de Geometría sabe que sólo existen tres tipos de mosaicos formados por elementos regulares e idénticos que pueden extenderse indefinidamente. Efectivamente, los hexágonos son uno de ellos, como ya hemos comentado anteriormente, pero no son los únicos polígonos que tiene esta característica. También se forman mosaicos con triángulos equiláteros y con cuadrados. Y no hay más. Es inútil buscar otros polígonos con los que llenar una superficie sin que queden huecos entre medias. Si quisiéramos pavimentar el suelo de nuestra casa podríamos hacerlo únicamente con estos tres polígonos sin que quedaran intersticios entre baldosa y baldosa.

Estas tres figuras se encuentran en numerosas estructuras naturales, sobre todo cristalinas, como la pirita, y explica la ausencia de otros polígonos en los cristales. De hecho, ninguna forma inanimada muestra, por ejemplo, una simetría pentagonal (5 lados) y sólo la materia viva ha generado formas pentagonales en su estructura. La mayor parte de las pequeñas florecillas que podemos observar en una excursión por el campo contienen curiosamente 5 pétalos y, entre otras cosas, nuestras manos tienen 5 dedos, lo que ha hecho que contemos los números con un sistema en base 10, esto es, con unidades, decenas, centenas, millares, etc. Si hubiéramos tenido 7 dedos en cada mano en la Humanidad se habría impuesto un sistema en base 14.

PASIÓN POR FIBONACCI

El número de pétalos de las flores depara muchas sorpresas. Una buena actividad de fin de semana sería contar los pétalos de las flores que encontramos por el camino. Además de darnos

cuenta que la mayor parte de ellas contienen 5 pétalos, observaríamos que, sorpresa de las sorpresas, casi siempre coinciden con los números de la siguiente serie: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… Se trata de la serie de Fibonacci, donde cada término se genera sumando los dos anteriores (por ejemplo, 3 es 2+1, 5 es 2+3, 8 es 5+3, etc.).

Esta serie se originó al resolver el siguiente problema: ¿cuántos pares de conejos se pueden producir a partir de un solo par, si cada par produce un nuevo par cada mes, sólo los conejos de más de un mes de edad pueden reproducirse y ninguno se muere? Analicemos el problema: al principio hay un par de conejos, al mes sigue habiendo el mismo par, pero al segundo mes hay dos pares. Una de esas parejas puede reproducirse, pero la otra no, de tal forma que al tercer mes hay tres parejas. Dos de ellas se reproducen y a los cuatro meses hay cinco pares de conejos. La secuencia que vamos obteniendo es la siguiente: 1,1,2,3,5 y los siguientes números son el resultado de sumar los dos términos precedentes. La serie obtenida es 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89…, o sea, la serie de Fibonacci.

Ya hemos visto que muchas flores tienen 5 pétalos (las malvas, las prímulas, el rosal silvestre…), pero lo que resulta sorprendente es que la típica margarita de campo y también la flor de la caléndula tengan 13 pétalos. Ni 12 ni 14. Justamente 13 pétalos. ¿Curioso? Pues ya sabes, si has de deshojar una margarita para preguntarle por tu amor en duda debes empezar por el “me quiere”, para que así obtengas un resultado positivo en el último pétalo.

Muchas flores tiene un número de pétalos coincidente con la serie de Fibonacci: lila (3), ranúnculo (5), espuela (8), caléndula (13), aster (21) y varios tipos de margaritas (13, 21, 34, 55, etc.). Es difícil encontrar otro número de pétalos que no sean los de la serie, lo cual nos indica la importancia que tienen estos números en la Naturaleza. Lo que pareciera un razonamiento puramente abstracto de un matemático italiano del siglo XII tiene su reflejo en la sencilla estructura de una flor.

Pero ahí no terminan las coincidencias. La serie de Fibonacci también se encuentra de manera precisa en las espirales que forma la flor del girasol en su interior o en la piña de un pino. Solo hay que contarlas para darse cuenta que coinciden con algún número de la mágica serie. Las plantas no tienen ni idea de lo que son estas series de números, pero su sistema de crecimiento y los genes implicados en él determinan esta disposición que tanto nos asombra por su simetría.

HELICOIDES, ESPIRALES Y SECCIÓN ÁUREA

“La espiral es un círculo espiritualizado. En la forma espiral, el círculo, desenrollado, devanado, ha dejado de ser vicioso; ha sido liberado”.

“Habla, memoria”. Vladimir Nabokov.

La observación de las ramificaciones de los árboles constituye una nueva lección de Geometría. Las ramificaciones siguen modelos que difieren según el tipo de planta. Así, algunas plantas les crece de cada brote otros dos brotes iguales. Este es un modelo dicotómico. Si las ramas duplicadas crecen de forma desigual, una más grande que la otra, se genera un modelo en zigzag. Otras disposiciones son las de ramas en abanico, como el caso del lirio, o brotando a intervalos sucesivos a lo largo de un tallo central, como el de las coníferas.

Un nuevo modelo surge cuando las ramas utilizan la tercera dimensión para crecer de forma helicoidal a lo largo del tallo. Muchas especies vegetales utilizan este sistema, pero las palmeras constituyen el ejemplo más notable, presentando una simetría rigurosa que carecen otras especies de árboles. Cuando una nueva hoja surge en lo alto de la palmera, una vieja muere y cae, dejando una cicatriz en el tronco que se va sumando a las anteriores. De esta manera, una misma palmera mantiene constante su número de hojas. En el cocotero, por ejemplo, es de unas 30. Por termino medio, el cocotero se desprende de una hoja al mes, por lo que a cada hoja le llega su otoño a los 30 meses de nacer.

Este modelo helicoidal también lo encontramos en los zarcillos de todas las plantas trepadoras o en el tronco de los castaños, que va retorciéndose en sentido contrario a las agujas del reloj a medida que asciende hacia lo alto.

Un extraño número que se encuentra entre los favoritos de la Naturaleza es el Número de Oro. Este equivale a 1,618 aproximadamente y designa la proporción que tiene que tener el segmento AB con respecto a BC para que sea igual a la proporción entre AB y AC.

Desde la antigüedad ha recibido muchos nombres, como La Divina Proporción o Sección Aúrea, todos denotando la fascinación producida por este número tan recurrente en la Naturaleza, el Arte o la Anatomía. Por ejemplo, se sabe que distintas partes del cuerpo humano guardan esta proporción, entre ellas la primera falange del dedo con la segunda y esta con la tercera. En 1850, Zeysing descubrió que el ombligo divide la altura del cuerpo en la proporción aúrea. Hoy en día, algunos cirujanos plásticos han encontrado en esta razón matemática el secreto del rostro

perfecto. Curiosamente, algunos de los rostros más atractivos del mundo, como los de Robert Redford, Marlon Brando y Elizabeth Taylor coinciden a la perfección con la Divina Proporción, mientras que otros, como la Mona Lisa, no. ¿Coincidencia?

Pero es en el mundo de las artes donde la Sección Áurea ha cautivado a pintores, arquitectos o escultores de todos los tiempos. Esta proporción causa una agradable impresión de armonía y belleza en las obras. Así, el Partenón de Atenas está construido con esta proporción, también Las Hilanderas de Velázquez o La Sagrada Familia de Miguel Ángel. Tuvo una gran influencia sobre Leonardo da Vinci en sus empeños para cuantificar y encontrar bases matemáticas de diseños plásticos y arquitectónicos.

En la Naturaleza este número aparece en los lugares más insospechados, como en la genealogía del zángano, en la forma de crecimiento de algunas plantas o en las espirales de algunos caracoles.

El diseño en espirales es común en la Naturaleza. Además de la concha de los caracoles, se encuentra en los remolinos de agua, en las turbulencias del humo de una chimenea, en los cuernos de una cabra montés o en la ordenación de la materia de las galaxias. Este fenómeno es independiente del tejido o material que esté implicado en el proceso. Sin duda es uno de los favoritos.

PLANETAS Y ARÁNDANOS

Pero si hay un objeto sinónimo de perfección, ese es la esfera. Muchos de los frutos que encontramos en el campo son esféricos (arándanos, madroños, naranjas, cerezas,…) o se asemejan en gran parte a una esfera. Y no es casualidad: la esfera es la figura que menos superficie tiene en relación con su volumen. Si los árboles generaran frutos llenos de recovecos, entrantes y salientes, estos se encontrarían más expuestos a los cambios de temperatura, con el consiguiente riesgo de pérdida del mismo y de sus semillas.

Otros muchos ejemplos de esferas podemos encontrar en la Naturaleza. Los planetas también son esféricos o casi esféricos, pero no porque se puedan poner “pochos” como les pasaba a los frutos, sino por el resultado de la fuerza de la gravedad que atrae su materia hacia el centro del planeta. Para entender esto imaginemos una melé de rugby. Todos los jugadores empujan hacia el centro y, sin querer, forman una aglomeración circular. Lo mismo, pero a nivel tridimensional, ocurre con los planetas.

Las gotas de agua también son esféricas cuando no están sometidas a ninguna fuerza. Mantiene esta forma debido a su tensión superficial, la misma que hace que las arañas de agua puedan caminar por la superficie del agua sin hundirse. Pero la gota de agua cambia su forma esférica por otra ovalada cuando la encontramos en forma de rocío sobre una hoja, resultado del equilibrio entre su tensión superficial y la gravedad que la aplasta ligeramente a la hoja. Si no tienes prisa (y buena vista) acércate a observarla. Verás a la Naturaleza en una de sus creaciones más perfectas y artísticas, una muestra más de su extenso repertorio de objetos geométricos.

Esferas, espirales, hexágonos,… son sólo algunas muestras de las formas que es capaz de crear la Naturaleza sin necesitar ni regla, ni compás, ni calculadora para hacer ningún cálculo. En tu próxima salida al campo intenta ponerte los ojos de un matemático: cuenta, mide, compara. Verás como las Matemáticas no sólo se encuentran en los libros.

Huracanes, conejos y piñas: matemáticas en la naturaleza y cómo calcular la sucesión de Fibonacci

Publicado por Enrique Benimeli en Informática, Matemáticas, Mis recursos, Programación, Recursos con 2 comentarios

Las matemáticas están presentes en la naturaleza, mucho más de lo que podemos imaginar. Formas, proporciones y crecimientos; infinidad de elementos naturales siguen un orden matemático, un patrón. Uno de los casos de estudio más curiosos es la aparición de la sucesión de Fibonacci en muchos elementos naturales.

Por ejemplo, el pasado 28 de octubre a las 6:45 PM EDST, el decimoctavo ciclón tropical de la temporada 2012 adquiría la forma de la espiral de Fibonacci. Era el huracán Sandy.

También es curioso comprobar que si observamos las hileras espirales de escamas en una piña, se pueden contar 8 espirales enrollándose hacia la izquierda y 13 espirales que lo hacen en sentido contrario. O también 13 hacia la izquierda y 21 hacia la derecha. También se pueden dar otras parejas de números, pero en cualquier caso se tratan de números consecutivos en la famosa sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

La longitud de tus falanges también sigue la sucesión de Fibonacci:

¿Qué es la sucesión de Fibonacci?

En matemáticas, una sucesión es una lista ordenada de objetos, cada uno de ellos denominado término, elemento o miembro de la sucesión. Podríamos encontrar (e inventar) sucesiones, finitas e infinitas, pero de todas ellas, probablemente una de las que más curiosidad despierta es la sucesión de Fibonacci. De hecho, el interés por esta famosa serie de números no sólo tiene que ver con sus aplicaciones directas en el mundo de las ciencias de la computación y las matemáticas, sino por estar presente, como comentaba, en muchos elementos de la naturaleza.

La sucesión de Fibonacci corresponde a la sucesión infinita de números naturales en la que cada elemento es la suma de los dos anteriores:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17111, 28657, 46638, …

En ocasiones y de forma errónea, se hace referencia a esta secuencia de números como «serie de Fibonacci», sin embargo, una serie matemática es un concepto que tiene que ver con la suma de los términos de una sucesión infinita.

Aunque la sucesión ya había sido descubierta por matemáticos indios, fue Leonardo de Pisa (1170-1250), matemático italiano del siglo XIII conocido como Fibonacci, quien describió la sucesión como solución a un problema de cría de conejos.

El problema decía:

Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también.

En un lenguaje más actual:

Al comienzo del primer mes nace una pareja de conejos y a final de mes se cruzan.

Al final del segundo mes, la pareja A da a luz a la pareja B y se vuelve a cruzar la pareja A.

Al final de tercer mes, la pareja A da a luz a la pareja C y se cruzan las parejas A y B.

Al final del cuarto mes, las parejas A y B dan a luz a las parejas D y E y se cruzan las parejas A, B y C.

Al final del quinto mes, las parejas A, B y C dan a luz a las parejas F, G y H y se cruzan las parejas A, B, C, D y E.

Y así sucesivamente…

Es decir, las parejas se irían reproduciendo con el siguiente esquema:

Fin del mes 0: 0 parejas

Comienzo del primer mes: 1 pareja AA

Después de 1 mes: 1 pareja AA

Después de 2 meses: 2 parejas AA BB

Después de 3 meses: 3 parejas AA CC BB

Después de 4 meses: 5 parejas AA DD CC BB EE

Después de 5 meses: 8 parejas AA FF DD CC HH BB GG EE

Después de 6 meses: 13 parejas AA II FF DD LL CC KK HH BB JJ GG EE MM

…

En cada paso se indica en negrita la pareja de conejos que nace, a la derecha de la pareja adulta (después de un mes) que se han cruzado. Siguiendo la sucesión, es sencillo calcular el número de conejos después de «n» meses.

Podemos observar en la sucesión como el número de parejas de conejos en cada paso es la suma del número de parejas en los dos meses anteriores. Por ejemplo, después de 6 meses tenemos 13 parejas, que es la suma de 5 y 8 (el número de parejas en los meses 4 y 5).

Cálculo del elemento «n» en la sucesión de Fibonacci: F(n)

Para conocer el valor del elemento en cualquier posición de la sucesión, hay varios algoritmos o métodos, que además podemos implementar prácticamente con cualquier lenguaje de programación actual. Si utilizamos la propia definición de la sucesión de Fibonacci, podríamos programar la siguiente función:

La función sería válida para valores de «n» mayores o iguales que 2. Para n=0 la función vale 0, y para n=1 la función vale 1. Observamos que la función se define utilizando la propia definición de la función. Es una definición recursiva de la función y con los lenguajes de programación más extendidos (Java, C++, etc.), desde hace mucho tiempo podemos expresar este tipo de funciones.

.- PRESENCIA DE LA GEOMETRÍA EN LA NATURALEZA. ASPECTOS

ESTRUCTURALES.

La geometría está siempre presente en la naturaleza y se manifiesta a distintos niveles.

Este es un hecho que se puede apreciar a simple vista –el mismo Cezánne, a finales del

siglo XIX, en su intento de realizar una síntesis ideal de la representación naturalista,

opinaba que “todo objeto se puede reducir a figuras geométricas simples, cubos,

pirámides, conos…”– o bien, se pueden justificar y demostrar al analizar los conceptos

de equilibrio y eficiencia mecánica, dos aspectos estructurales básicos en ingeniería.

Por un lado la naturaleza tiende al equilibrio, ya que éste se define como el estado

mecánico en el cual la suma de todas las fuerzas que actúan a la vez en un cuerpo es

igual a cero. El desequilibrio no es estable, es imperfecto, y por tanto, en la naturaleza,

no perdura. Este equilibrio requiere de la geometría ya que lo alcanzan las figuras que

tienden a ser simétricas y puras.

Por otro lado la naturaleza necesita obtener eficiencia mecánica en sus construcciones,

ya que de no ser así, sus estructuras no serían estables y no perdurarían. Toda estructura

requiere de este concepto para su formación ya sea un esqueleto, las ramas de un árbol o

la formación de células.

Una de las formas geométricas presentes de forma evidente sería la esfera. Ésta es una

forma geométrica con grandes propiedades como por ejemplo, ser el área mínima

posible respecto de su volumen, aspecto muy ventajoso en cuanto al ahorro de espacio

en la conservación de materia, como puede ser el caso de una naranja o una sandía. Ésta

forma está presente especialmente en medios en los que la gravedad es mínima o tiende

a cero, como puede ser el espacio o el medio acuático. Así, las pompas de jabón, los

seres unicelulares, las burbujas de aire en el mar, algunos crustáceos, los planetas y las

estrellas son algunos ejemplos.

La forma cilíndrica se encuentra en abundantes ejemplos en el medio vegetal. Es el

caso de los troncos de los árboles, el tallo de las plantas o de las flores, algunas algas…

Otra de las formas muy comunes en la naturaleza es la hexagonal. Aparece de forma

abundante en aglomeraciones de unidades independientes y del mismo tamaño. Es el

caso de la espuma formada por pompas de jabón –en contacto unas con otras, en

sección, son hexagonales–, las células en los tejidos animales, la estructura formada por

los panales de abejas y el parénquima del maíz.

Es difícil hablar de geometría y naturaleza sin nombrar la proporción áurea. Fue

Vitrubio en el s I a.C. el descubridor de esta proporción presente en la naturaleza según

la cual la relación entre el segmento a y el b es la misma que entre el segmento a y el c.

El número o razón que los relaciona es el número irracional 1’618…, es en llamado

número dorado o número ;. Esta relación geométrica se repite sorprendentemente en

la naturaleza en el crecimiento de plantas y flores, frutas (distancia entre las espirales de

una piña), proporciones humanas (relación entre la distancia de la mano al codo y del

codo al hombro), animales (cantidad de abejas macho y hembras de un panal),

proporciones geométricas (relación entre el lado de un pentágono y su diagonal),

estelares (órbita de Venus)… Quizá sea esa la razón por la que nos resulta tan bella

dicha proporción: aparece tanto en nuestro mundo que nos debe resultar visualmente

familiar y armónico.

El hecho de aparecer repetida y misteriosamente en la naturaleza de modo tan

abundante le dio cierto aire enigmático y divino, (de ahí su nombre) como si alguien

(Dios?) hubiera incluido esa proporción en sus creaciones. Estéticamente, una división

tal nos resulta especialmente adecuada, y por ello, a partir del Renacimiento, se usó de

modo casi obsesivo, en detrimento de una división simétrica, pues los grandes maestros

consideraban que lo simétrico es estático, y una división desigual como la proporción

áurea dotaba a la obra de dinamismo y atractivo visual. Además, si Dios la había usado

para sus creaciones, cómo no iba el hombre a utilizarla?

En realidad, ninguna de las formas geométricas de la naturaleza está presente en toda su

pureza. Todas ellas son aproximaciones. Es el ser humano el que ha buscado un

paralelismo mediante la similitud de formas naturales y las formas geométricas puras

aprehendidas mediante la abstracción, pero que sin duda, y por su gran parecido, pueden

llegar a compararse.