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LAS MATEMTICAS: SU HISTORIA, EVOLUCIN Y

APLICACIONES

Jos M. Mndez Prez

Excmo. Sr. Presidente del Gobierno de Canarias,

Excmo. Sr. Rector Magnfico de la Universidad de La Laguna,

Excmo. Sr. Rector Magnfico de la Universidad de Las Palmas de G.C.

Excmas. e Ilmas. Autoridades,

Miembros de la comunidad universitaria,

Compaeros y amigos claustrales,

Seoras y Seores,

1. INTRODUCCIN

Deca el matemtico alemn Hermann Hankel que en la mayora de las ciencias

una generacin derriba lo que otra ha construido y lo que una ha hecho otra lo deshace.

Slo en matemticas cada generacin aade un nuevo piso a la vieja estructura.

Trataremos en esta primera leccin del curso acadmico 2003-2004 de ver cunta razn

tena Hankel, mostrando la evolucin a travs de la historia de la humanidad de unos

conocimientos en principio muy rudimentarios y ligados a los problemas cotidianos,

que terminaran por convertirse en ciencia, la ms antigua de todas, hasta el vertiginoso

desarrollo que ha adquirido en nuestros das. Aclararemos a lo largo de esta disertacin

que los propios matemticos tienen distintas formas de entender su ciencia, sobre todo

cuando se presenta el dilema matemticas puras o matemticas aplicadas. Y

finalizaremos analizando algunas situaciones que se dan en otras ramas del saber donde

se abusa del lenguaje matemtico sin que se justifique la necesidad de su utilizacin.

2. HISTORIA Y EVOLUCIN DE LAS MATEMTICAS

Las matemticas son la ciencia ms antigua. Habra que remontarse a los albores

de la humanidad para encontrar ya los primeros vestigios del nmero y de las formas

geomtricas. Ante las necesidades de la vida cotidiana, por ejemplo saber cuntas

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cabezas de ganado formaban su rebao, el hombre prehistrico se vio obligado a

realizar muescas o marcas en palos, rboles o huesos, como atestiguan los

descubrimientos arqueolgicos. Estos descubrimientos, algunos de los cuales se fechan

en ms de 30.000 aos, muestran que la idea de nmero es muy anterior a

descubrimientos tecnolgicos, como el uso de metales o de vehculos con ruedas, y

mucho ms antiguo que el arte de la escritura. Las figuras, las formas geomtricas,

aparecen claramente en los productos que elaboraban en alfarera, cestera y tejidos.

Al pasar del paleoltico al neoltico, se crea una nueva organizacin familiar,

social y econmica que demanda una mayor precisin en el contar y el medir. Las

civilizaciones que se caracterizan por el uso de los metales surgen en grandes valles

fluviales, como los que hay en Egipto, Mesopotamia, China e India. Se dispone de

dataciones fiables de la historia de los pueblos que vivieron en los valles del Nilo y del

Eufrates y Tigris, no tanto en el caso chino o indio.

El sistema de numeracin jeroglfico egipcio data de hace unos 5.000 aos y est

estructurado en una escala numrica decimal, mostrando las abundantes inscripciones

que los egipcios estaban familiarizados con el manejo de nmeros grandes [4].

El desciframiento de la Piedra Roseta, donde un mismo texto aparece en tres

escrituras (griego, demtico y jeroglfico), permiti un rpido avance en el

conocimiento de las antigua cultura egipcia. Una pequea parte de los papiros de Rhind

(tambin conocido como papiro de Ahmes, escriba que lo copi hacia el 1650 aC), de

Kahum, de Berln y de Mosc contienen abundante informacin sobre los

conocimientos matemticos de los egipcios, que se reducen a cuestiones aritmticas

(utilizaban fracciones de numerador uno, planteaban problemas prcticos para formar a

los alumnos y resolvan ecuaciones algebraicas lineales de primer grado) y geomtricas

(clculo de algunas reas y volmenes), estando muy interesados en astronoma. Se

aprecian algunas huellas de conocimientos trigonomtricos y de semejanza de

tringulos, con motivo de la construccin de las pirmides. En definitiva, los escribas y

los sacerdotes seran unos personajes relevantes en la corte de los faraones. Sus

conocimientos primitivos de las matemticas haran de ellos personajes claves en el

funcionamiento del entramado socio-econmico de los antiguos egipcios. Podan medir

el tamao de los terrenos, la cantidad de cereales recolectados en las cosechas, los

tributos a pagar a los faraones Para el historiador griego Herodoto, la geometra nace

en el valle del Nilo ya que, debido a las peridicas inundaciones que ocasionaba este

ro, desaparecan los lindes de los campos y haba que reconstruirlos. En cambio,

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Aristteles sostiene que se debe a los sacerdotes, que disfrutaban del ocio necesario para

desarrollar cualquier conocimiento terico. En todo caso, en las matemticas egipcias

no aparece ningn teorema ni demostracin formal.

Otra gran civilizacin exista en el valle de Mesopotamia cuatro milenios antes

de nuestra era, la llamada genricamente civilizacin babilnica. El modelo de escritura

cuneiforme creado por los sumerios qued plasmado en tablillas de arcilla blanda que,

una vez escritas, se cocan en hornos o se endurecan secndolas al sol. Estas tablillas,

de las que se conservan decenas de miles, han soportado el paso del tiempo mucho

mejor que los papiros egipcios, de modo que se posee una abundante documentacin

sobre la civilizacin babilnica, muy superior a la que se conserva de la tierra de los

faraones.

En lo que nos concierne, que son las matemticas, recordemos que usaban un

sistema de numeracin posicional, por lo cual no precisaban de muchos signos para

representar los nmeros, y que en terminologa moderna su base era 60. Se

desconoce el porqu de esta extraa eleccin, que da origen a un sistema de numeracin

sexagesimal y que an hoy persiste en nuestro mundo decimal para medir ngulos y

tiempo. Razones de tipo astronmico? Quizs se adoptase la base 60 de forma

consciente, por intereses exclusivamente metrolgicos, puesto que esa unidad se puede

dividir fcilmente en dos, tres, cuatro, cinco, seis, diez, doce, quince, veinte y treinta

partes iguales, esto es, 60 permite diez subdivisiones exactas, mientras que nuestra base

decimal slo posee dos [4].

La superioridad de la aritmtica y lgebra babilnicas sobre las egipcias es

abrumadora. Dominaban las operaciones elementales, extendieron el principio

posicional a las fracciones, idearon algoritmos para calcular races cuadradas y cbicas

con aproximaciones asombrosamente precisas, y escribieron tablillas con las potencias

sucesivas de un nmero dado, que es el secreto de los logaritmos. En lgebra pasaron de

la resolucin de ecuaciones lineales de primer grado a sistemas de ecuaciones y

ecuaciones de segundo grado, incluso de grado tres. Se aceptaba que la civilizacin

mesopotmica haba alcanzado en aritmtica y lgebra un desarrollo superior al de la

egipcia lo cual es evidente a la vista de lo que acabamos de decir pero que sta

superaba a aqulla en geometra. Sin embargo, a raz de los ltimos descubrimientos,

esta afirmacin final es discutible, pues los babilonios conocan el teorema de Pitgoras,

como se puede ver en una tablilla que contiene al menos quince ternas de nmeros

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pitagricos, mientras que dicho teorema no aparece en ningn documento que se

conserve de la civilizacin egipcia.

Incluso en Grecia, los orgenes de las matemticas estn muy apegados a la

realidad cotidiana: el comercio, el reparto de las herencias, la agrimensura... Nadie

puede discutir este origen emprico de las matemticas. Algo similar ocurre en la otra

gran cultura de la antigedad, en China. En el libro Los nueve captulos del arte de las

matemticas (siglo I aC), donde se presentan problemas prcticos y sus soluciones, se

puede observar el carcter calculista y utilitario de las matemticas chinas de entonces.

Fue en Grecia, en un contexto cultural propicio, donde las matemticas iban a

experimentar un cambio profundo. Las matemticas griegas comienzan con Tales de

Mileto (640-546, s. VI aC). Fue un filsofo de la naturaleza, de cuya observacin lleg

a concluir que el universo est sumido en un proceso de transformacin continua. Se le

considera el primer cientfico, en el sentido estricto del trmino, por sus contribuciones

astronmicas y matemticas. Predijo un eclipse de sol que la moderna astronoma fija

que tuvo lugar en el ao 585 aC, lo que le confiri una gran fama y autoridad. Esta

atribucin acaso sea cuestionable, pero en lo que s estn de acuerdo todos los

estudiosos es que con Tales, uno de los siete sabios de Grecia, termina el periodo

precientfico y se entra de lleno en el periodo del saber crtico y objetivo. Tales busc

explicaciones racionales a los fenmenos de la naturaleza y, paralelamente, invent la

demostracin matemtica. Muchas de sus aportaciones geomtricas ya figuraban en los

papiros egipcios y en las tablillas babilnicas. Se ha puesto en duda que el famoso

teorema que lleva su nombre, teorema de Tales, sea suyo. Como apostilla Felix Klein, si

un teorema lleva el nombre de un matemtico, es seguro que este matemtico no es su

inventor. Sean o no suyos, la diferencia trascendental con los egipcios y babilonios es

que Tales demostr esos resultados rigurosamente [31].

As pues, en la antigua Grecia surge un nuevo tipo de saber: la ciencia. Por

qu?, milagrosamente? Estudios histricos desvelan el largo camino seguido por la

humanidad para llegar a los umbrales de la ciencia. La respuesta est en que en Grecia,

por aquella poca, se dio un cmulo de circunstancias culturales, sociales y polticas que

propici el advenimiento del conocimiento cientfico. La privilegiada posicin

geogrfica de Grecia, verdadera encrucijada entre occidente y oriente, puso a este

pueblo en contacto con los pases orientales, aprendiendo de sus tradiciones y culturas.

Mantuvo con ellos relaciones comerciales, cuando no largos enfrentamientos blicos.

Por otra parte, el idioma griego era muy rico y flexible y atesoraba una brillante

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tradicin literaria, con poetas picos como Homero, y ms didcticos como Hesodo.

Otro hecho que influy mucho fue la especial concepcin griega de la religin, con su

antropomorfismo: sus mitos, dioses y cultos estn relacionados con la naturaleza. Ello

les libera de la bsqueda de justificaciones extranaturales y esotricas, convirtiendo al

hombre en el centro de su universo.

Pitgoras vivi en el siglo VI aC y su legendaria escuela es una mezcla de

filosofa, religin y matemticas. No es fcil entender la evolucin del misticismo

pitagrico a las matemticas si no se acude al orfismo, es decir, a la relacin entre la

armona musical y la armona reflejada en los nmeros. Pitgoras conoca la relacin

existente entre las longitudes de las cuerdas de la lira y los acordes de sus sonidos.

Cuando la longitud de la cuerda se reduca a la mitad, esto es, en la relacin 1:2, se

obtena la octava; cuando estas relaciones eran 3:4 2:3 resultaban la cuarta y la quinta,

respectivamente. En estas razones aparecen los cuatro primeros nmeros naturales 1, 2,

3, 4, que si se apilan forman un tringulo equiltero y suman diez, nmero mstico, que

coincide con la suma de las caras y aristas de un tetraedro. Para los pitagricos el

nmero es la esencia de todas las cosas ([4],[28],[31]).

Curiosamente, pese a la mstica de los nmeros, las contribuciones aritmticas

de la escuela pitagrica no fueron tan importantes si se comparan con las que realizaron

en geometra. Quizs ello se deba a un hecho trascendental: el descubrimiento de los

nmeros irracionales. Para los griegos los nmeros se reducan a los enteros y a los

fraccionarios positivos, de modo que dadas dos cantidades diferentes o la mayor es un

mltiplo de la menor o es un mltiplo de una parte de la menor. Pues bien, miembros de

esta escuela descubrieron que la diagonal de un cuadrado no es mltiplo entero de

ninguna parte de su lado, o dicho de otra forma y ms en consonancia con el teorema de

Pitgoras, la hipotenusa de un tringulo rectngulo issceles es inconmensurable con el

cateto. Este hecho supuso un gran desconcierto y un duro golpe a la teora de la armona

numrica, hasta tal punto que segn la leyenda los pitagricos se juramentaron para

no dar a conocer ni propagar este hallazgo.

El siglo V aC fue el siglo de oro de la civilizacin griega, el siglo de Pericles, en

el cual la literatura, el teatro, la msica, la escultura y la filosofa alcanzaron cotas

inigualables. Y tambin la lgica, la metafsica, la tica, la teora del conocimiento..,

aspectos relacionados con las matemticas.

Zenn, discpulo de Parmnides de Elea, critica acerbamente algunas de las

concepciones pitagricas, por ejemplo, la del movimiento como suma de pequeas

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etapas, como hace en la paradoja, entre otras, de Aquiles y la tortuga, donde Aquiles

el de los pies ligeros no alcanzara nunca a una tortuga, por escasa que sea la

distancia que medie entre este lento animal y el corredor. Quizs contribuy, sin

quererlo, a eliminar toda referencia al infinito de las matemticas griegas.

Aunque en el siglo V aC todava las matemticas griegas no estn

sistematizadas, ya se plantean los tres problemas clsicos de la geometra: la cuadratura

del crculo, la triseccin del ngulo y la duplicacin del cubo, y su resolucin mediante

regla y comps, es decir, efectuando construcciones que slo involucraran rectas y

circunferencias. Algunos de estos problemas tienen su origen en la mitologa y las

leyendas. As, el ltimo problema tambin se conoce como problema de Delfos, porque

una delegacin ateniense visit el orculo de Apolo sito en dicho lugar para que este

dios les ayudara a acabar con la peste que se haba propagado por Atenas en el ao 429

aC. El orculo les pidi a cambio que deberan duplicar el ara de Apolo, que era de

forma cbica. Inmediatamente los atenienses doblaron el lado del cubo, pero esa no era

la solucin, pues el volumen del altar no se duplicaba sino que se multiplicaba por ocho.

La influencia de la geometra, como decamos antes, en el desarrollo de las

matemticas es bien significativa, fundamentalmente debida a Platn y su Academia,

fundada el ao 387 aC. Podramos encontrar la justificacin en las teoras de las ideas y

del conocimiento de Platn, as como en el especial papel desempeado por las

matemticas en su propia concepcin filosfica y del mundo, donde los entes

matemticos aparecen como intermediarios entre el mundo de las ideas y el mundo de

las cosas.

Aqu nos interesa subrayar el aspecto formativo y de utilidad del conocimiento

matemtico para el estudio de otras ciencias. As, en la Repblica, Scrates razona con

Glaucn No has observado tambin que los que han nacido para calculistas tienen

gran facilidad para todas o casi todas las enseanzas y que hasta los espritus tardos,

cuando se han educado y ejercitado en el clculo, aunque no deriven de l otra ventaja,

s obtienen, por lo menos, volverse ms sutiles de lo que eran antes?. Ante el

asentimiento de Glaucn, prosigue Scrates Por tanto, ordenaremos a los ciudadanos

de nuestro estado que no desprecien el estudio de la geometra, tanto ms cuanto que,

adems de esta ventaja principal de elevar el alma hacia la verdad, tiene otras que no

son despreciables. Se refera a cmo una buena formacin matemtica facilita el

estudio de otras ciencias. No es de extraar que en el prtico de la Academia figurara la

frase Que no entre quien no sepa geometra ([6],[31]).

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La influencia de Aristteles en las matemticas es muy inferior a la de Platn,

destacando como principal aportacin la sistematizacin de la lgica.

El matemtico ms importante del siglo IV aC fue, sin lugar a dudas, Eudoxo de

Cnido, quien resolvi los dos problemas que impedan el avance de la geometra. Nos

referimos a los irracionales y a las equivalencias o proporciones.

Directa o indirectamente relacionados con el ambiente cultural de Alejandra,

donde se crearon dos instituciones cientficas tan importantes como el Museo y la

Biblioteca, aparecen las tres grandes figuras de las matemticas griegas: Euclides,

Arqumedes y Apolonio.

A Euclides (325-265 aC) se le adjudican una docena de obras, pero pas a la

historia y de qu manera, por una sola de ellas, los Elementos. Las referencia sobre

Euclides son muy difusas y oscuras, y se deben a historiadores como Eudemo y Proclo.

Hoy se datan los Elementos en el ao 300 aC . De ellos dice el especialista en historia

de las matemticas Sir Thomas Heath Este maravilloso libro, con todas sus

imperfecciones, que en verdad son bastante pocas si se tiene en cuenta la fecha en que

apareci, es y ser sin duda el ms grande texto de matemticas de todos los tiempos...

Los Elementos han representado durante ms de veinte siglos la norma de rigor en

nuestra ciencia y el modelo a imitar para otras especialidades, durante ese largo periodo

de tiempo ha sido libro de texto en todos los centros de enseanza de occidente, se han

realizado ms de mil ediciones desde que fue impreso por primera vez en 1482 y,

despus de la Biblia, es el libro ms traducido, publicado y estudiado en todo el mundo

occidental. Qu tiene esta obra para llegar a estos extremos de popularidad y

supervivencia? Por qu ese ttulo? El trmino elemento se reservaba para las

compilaciones que reunan ciertos conocimientos bsicos. Pero tambin puede referirse

a las proposiciones que juegan un papel fundamental en la obtencin o deduccin de

otros resultados. Por ejemplo, un teorema ya demostrado o un problema resuelto que se

utilicen en la verificacin de un nuevo aserto son elementos de dicho aserto [12].

Segn Eudemo, Hipcrates de Quos (470-400 aC) fue el primero en escribir un

libro de elementos, siguindole Len (s. IV aC) y Teudio (s. IV aC). Pero los

Elementos de Euclides no slo eclipsaron absolutamente a todos los elementos

escritos anteriormente, sino que se desconoce la existencia de obras anlogas

posteriores. Es ms, con esta colosal obra se desvanece la figura de su propio autor.

Porque quin fue Euclides? Algunos coetneos ya se refieren a l como el que

escribi los Elementos, el elementador [12]. El escritor ingls del siglo pasado

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Edward M. Forster (1879-1970), en su Alejandra: Historia y Gua, dice, refirindose a

Euclides ... nada sabemos de l. A decir verdad, hoy le consideramos como una rama

del saber ms que como un hombre. Se admite que Euclides vivi durante el reinado de

Ptolomeo I y que form escuela en Alejandra.

Los Elementos constan de 132 definiciones, 5 postulados, 5 nociones comunes o

axiomas y 465 proposiciones, todo ello distribuido entre 13 libros, donde se abordan

temas relativos a la geometra plana, la teora general de la proporcin, la teora

aritmtica, la geometra del espacio, y la inconmensurabilidad y los segmentos

irracionales. Se trata del primer tratado que distingue un conjunto de primeros

principios que, a su vez, divide en definiciones, postulados y nociones comunes o

axiomas. Proclo seala las virtudes que poseen los Elementos de Euclides respecto de

similares tratados, anteriores o posteriores a l: primero, el acierto en la seleccin de los

teoremas y problemas; segundo, la diversidad de mtodos utilizados; y tercero, la

organizacin de las demostraciones. Tambin, segn Proclo, en los teoremas eucldeos

hay tres pasos que nunca faltan: el enunciado, la demostracin y la conclusin, que

slo por curiosidad indicamos que finalizaba con un que era lo que haba que hacer,

si se trataba de un problema, o con un que era lo que haba que demostrar, si

concerna a un teorema ([12],[31]).

El gran mrito de Euclides hay que buscarlo en que, con la elaborada

construccin de los Elementos, instaur el mtodo axiomtico-deductivo. Bsicamente

consiste en establecer unas nociones bsicas, fijar unos axiomas o postulados y, a partir

de aqu, hay que demostrar todos los enunciados matemticos nicamente con la ayuda

de la lgica y del razonamiento.

La influencia platnica y pitagrica es manifiesta en esta obra. Lo prueban la

atencin que dedica a los poliedros regulares en el ltimo libro y el objetivo de estudiar

los teoremas abstractamente, slo con la inteligencia pura. No figura en los Elementos

ninguna aplicacin prctica, ni siquiera un ejemplo numrico. Tampoco, pese a que se

afirma que la eucldea es la geometra de la regla y el comps, no existe ninguna alusin

a estos instrumentos a lo largo del tratado. Los Elementos son matemticas puras, sin

ningn tipo de contaminacin. No es de extraar la reaccin de Euclides cuando un

alumno, despus de una demostracin de un teorema hecha en clase, le pregunt por las

ganancias que poda obtener con esos conocimientos. Euclides, molesto, orden a un

sirviente que le diera tres bolos, pues necesita sacar provecho de lo que aprende.

Tambin Ptolomeo I se interes por si haba alguna va ms rpida y no tan dura como

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la de los Elementos para llegar al conocimiento geomtrico, a lo que Euclides le replic

que en geometra no haba caminos para reyes.

Por otra parte, hay que resaltar la solidez que dio al edificio eucldeo la lgica

aristotlica.

Es as como los Elementos se convirtieron en una referencia comn en las

investigaciones posteriores y en fuente de autoridad. A mediados del siglo XIX

Augustus de Morgan afirmaba que no haba un sistema de geometra digno de tal

nombre que se apartara sustancialmente del plan trazado en los Elementos.

Brevemente nos referimos a Arqumedes (287-212 aC) verdadero precursor

del clculo infinitesimal prototipo de matemtico original y creativo que, sin

renunciar al rigor como queda de manifiesto en las extraordinarias deducciones de

algunas reas y volmenes que obtuvo se dedic tambin al estudio de la esttica, la

hidrosttica y la ptica. Fue incluso considerado un hroe por su pueblo, ya que

aprovech sus descubrimientos en diferentes ramas de la fsica para construir artilugios

que fueron utilizados para repeler los ataques romanos a su Siracusa natal (en la Magna

Grecia, hoy Sicilia).

Retengamos estos dos personajes, Euclides y Arqumedes, en la memoria y

veamos si encontramos algn paralelismo con otros ms cercanos en el tiempo a

nosotros.

Por ltimo, Apolonio de Perga (262-190 aC) escribi el tratado ms completo de

la antigedad sobre las cnicas.

Durante la poca grecorromana, en los primeros siglos del cristianismo, las

matemticas que se hacen no presentan una gran originalidad, en general son una

continuacin y comentarios de las obras de los grandes matemticos helenos. Por citar

algunos matemticos de la poca, los ms notables son Hern (s. I); Claudio Ptolomeo,

clebre por su Almagesto, recopilacin de toda la astronoma antigua y vigente durante

ms de catorce siglos como referencia obligada en esa materia; Diofanto (s. III) y

Pappus de Alejandra (s. III-IV). Hipata (350-415), hija de Ten de Alejandra, es la

ms famosa de las mujeres matemticas de la antigedad. Colabor con su padre en el

estudio del Almagesto y coment el Canon astronmico de Ptolomeo y las Secciones

cnicas de Apolonio.

Los romanos se preocuparon slo por las matemticas que precisaban para hacer

frente a los problemas de la vida cotidiana. Su sistema numrico, de funcionamiento

decimal y smbolos literales, restaba agilidad a los clculos.

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En la temprana Edad Media las matemticas, y todas las ciencias en general,

alcanzaron unos niveles bajsimos. Recordemos las admoniciones de San Agustn (354-

430) para quien las matemticas son cosa diablica. Los buenos cristianos deben

cuidarse de los matemticos y de todos los que acostumbran hacer profecas, an

cuando estas profecas se cumplan, pues existe el peligro de que los matemticos hayan

pactado con el diablo para obnubilar el espritu y hundir a los hombres en el infierno

(De Genesi ad litteram, 2, XVII, 37).

Las principales fuentes que abastecen las matemticas del primer milenio de

nuestra era tienen procedencia oriental: china, hind y rabe, sobre todo por razones

de cercana las dos ltimas. Las matemticas de India hacen aportaciones originales,

influyen notablemente sobre la cultura rabe y, por medio de sta, llega al mundo

occidental. Los rabes tradujeron a su lengua obras hindes y gran parte de la

produccin matemtica griega, por lo que asimilaron las matemticas de estas dos

civilizaciones y favorecieron, de paso, la conservacin de muchas obras de la poca

clsica que de otra forma se hubieran perdido irremediablemente.

Con la Aritmtica de Al-Khuwarizmi (780-846) se difundi en el mundo

musulmn el uso de las cifras hindes y la introduccin del cero. Pero su obra ms

importante es Hisab al-jabar wa-al-muqabala. As, del nombre del autor deriva la

palabra algoritmo y del ttulo de su obra, al-jabar, nuestra palabra lgebra.

Destaquemos tambin a Tabil B. Qurra (827-901), traductor e investigador de los

matemticos griegos, especialmente de Arqumedes, y a Abu Kamil (850-930),

destacado algebrista.

Mientras comienza la decadencia de la ciencia rabe en oriente durante el siglo

XII, en la Espaa musulmana alcanza su apogeo. La escuela de traductores de Toledo

juega un papel fundamental, poniendo a disposicin de los estudiosos y de los

investigadores occidentales gran parte de los saberes griego y rabe. Ello contribuy al

renacimiento que experimentaron las matemticas en el siglo XIII.

El mejor matemtico medieval fue, sin duda, Leonardo Pisano, ms conocido

como Fibonacci (1170-1240). Visit, por razones familiares, el norte de Africa, donde

entr en contacto con las matemticas rabes. Public Liber Abaci (El libro de los

bacos), en el que desecha el uso del baco y fomenta la utilizacin del sistema

decimal y las cifras hindes sobre el sistema y los nmeros romanos. Todos los

esfuerzos de esta poca se centran en el perfeccionamiento de la aritmtica, del lgebra

y de la trigonometra.

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El siglo XV viene marcado por un acontecimiento trascendental por su

repercusin en la divulgacin cultural y cientfica: el invento de la imprenta con tipos

mviles. As, en 1482, aparece la primera edicin publicada en Venecia por E.

Ratdolt a partir de una traduccin de Campanus de mediados del siglo XIII de los

Elementos en latn.

Por fin, en el siglo XVI se sustituye el clculo con baco por las reglas

aritmticas del clculo con las cifras arbigo-hindes, siendo las innovaciones ms

importantes la consideracin de los nmeros decimales, los logaritmos y las fracciones

continuas.

Parece mentira lo que se tard en extender las ventajas que el sistema decimal

ofreca en el manejo de los nmeros enteros al caso de los nmeros decimales. Ello se

debe al matemtico belga Simon Stevin (1548-1620).

Los logaritmos nacieron con la idea de simplificar los clculos aritmticos, sobre

todo en astronoma y navegacin. Las calculadoras y los ordenadores han eliminado su

uso, pero no debemos olvidar su contribucin esencial al desarrollo incluso material de

la humanidad. Aunque hay precedentes, se pueden considerar como creadores de los

logaritmos al matemtico escocs John Napier o Neper (1550-1617) y al suizo Jobst

Brgi (1552-1632). El ingls Henry Briggs (1556-1631), idea que barrunt igualmente

el propio Napier, introdujo los logaritmos decimales [4].

Entre los algebristas sobresalen los italianos Niccolo Tartaglia (1499-1557) y

Girolamo Cardano (1501-1576), que investigaron las ecuaciones cbicas y curticas,

Pero la figura ms brillante de esta etapa de transicin fue el matemtico francs

Franois Vite, o latinizado, Franciscus Vieta (1540-1603), que dio a la trigonometra

su forma definitiva. Su obra Isagoge in artem analyticam es el primer tratado de lgebra

literal.

En las primeras dcadas del siglo XVII comienza en Occidente la Revolucin

Cientfica. Aclaremos que se daban las condiciones objetivas para que se iniciara este

proceso. Por una parte, ya desde el siglo XIII, Occidente por medio de los rabes

entra en contacto con el saber antiguo, particularmente, con las obras de los grandes

matemticos griegos: Euclides, Arqumedes, Apolonio, Diofanto y Pappus. Por otra,

aflora con gran nitidez una de las caractersticas de la ciencia moderna: la

matematizacin del mundo. El mundo es inteligible y est sometido a las leyes de la

razn y, por consiguiente, a su herramienta natural, las matemticas. As, tras el largo

parntesis de la Edad Media, se reabre la esperanza en las ciencias con Galileo Galilei

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(1564-1642), fundador de la fsica moderna, basada en la experimentacin y la

modelizacin matemtica. Galileo concede a las matemticas en la fsica un papel tan

lejos de la posicin de Platn como de Aristteles. Platn consideraba que slo era

digno de estudio el mundo de las puras ideas matemticas: si los objetos fsicos no se

adecan a este mundo de las ideas, significa que son defectuosos o imperfectos. Sin

embargo, Aristteles, impresionado por su carcter tan abstracto, alegaba que las

matemticas no tenan nada que ver con la fsica, pues no se preocupaban por la

materia. En cambio, lo que valoraba Galileo de las matemticas era su utilidad como

instrumento y herramienta en el estudio de la fsica [8]. De ah su legendaria sentencia:

El gran libro de la naturaleza est siempre abierto delante de nuestros ojos: en l se

halla escrita le verdadera filosofa. Pero el libro no puede ser entendido si primero no se

aprende a comprender el lenguaje y a leer los caracteres en que est escrito. Est escrito

en el lenguaje de las matemticas y sus caracteres son tringulos, crculos y otras

figuras geomtricas, sin lo cual es humanamente imposible comprender una sola palabra

de l; sin ello se deambulara en un laberinto oscuro.... Con Galileo caen las barreras

filosficas impuestas por Platn y Aristteles y se da paso a un duradero y fructfero

entendimiento entre la fsica y las matemticas.

Cules son los hitos matemticos del siglo XVII? Arranca este siglo con la

obra de Ren Descartes (1596-1650), cuyo pensamiento se caracteriza por su afn

csmico, es decir, por la bsqueda permanente de lo absoluto y de la generalizacin.

Descartes distingue entre matemticas y matemtica. Emplea matemticas al

recordar sus estudios escolares, particularmente el lgebra y la geometra. De la

geometra dice que est tan ligada siempre a consideraciones sobre las figuras que no

puede ejercer el intelecto sin cansar mucho la imaginacin, mientras que el lgebra es

un arte oscuro y confuso que turba la mente. Por ello toma lo mejor del anlisis

geomtrico y del lgebra, creando la geometra analtica en su obra Gomtrie. Pero el

objetivo de Descartes no son estas matemticas, sino el logro de una ciencia nica,

ciencia que ser la matemtica universal, que ha de explicar todo aquello que se

pueda preguntar sobre el orden y la medida, no importando que la medida deba buscarse

en nmeros, figuras, astros, sonidos o cualquier cosa; en resumen, la matemtica en

singularde la cual las matemticas en plural seran la envoltura, lo perceptible.

En el Discurso del Mtodo, Descartes presenta su nueva concepcin sobre la

filosofa y la ciencia, con un planteamiento revolucionario y rupturista con el pasado.

Sus principales novedades son: el carcter analtico de la investigacin; el empleo de la

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duda metdica, no como caracterstica del escptico, sino como va para liberarnos de

toda incertidumbre; la relacin entre la intuicin o evidencia y el encadenamiento

deductivo; y la separacin radical de sujeto y objeto. Asegura que las matemticas

tienen invenciones sutilsimas que pueden satisfacer tanto a los curiosos como facilitar

todas las artes y disminuir el trabajo humano, asombrndose de que sobre tan slidos

fundamentos no se hubiera edificado nada ms importante [31].

Podra sonar a falta de humildad las palabras con las que concluye su Gomtrie:

Espero que nuestros descendientes me estn agradecidos no slo por las cosas que aqu

expliqu, sino tambin por aqullas que voluntariamente omit para proporcionarles el

placer de descubrirlas. En realidad esta frase refleja la especial concepcin que

Descartes tena de las matemticas. No senta ningn inters por el aspecto formal de las

mismas: que los dems demuestren lo que l ya haba encontrado.

Pierre Fermat (1601-1665) es el creador de la moderna teora de nmeros. En los

mrgenes de un ejemplar de la edicin latina de la Aritmtica de Diofanto afirmaba

Fermat: es imposible descomponer un cubo en suma de dos cubos o un bicuadrado en

suma de dos bicuadrados, o en general cualquier potencia en suma de dos potencias de

igual exponente, con excepcin del cuadrado. He encontrado una demostracin de esta

proposicin, realmente maravillosa, pero el margen del libro es demasiado estrecho para

contenerla. En otras palabras, lo que aseguraba Fermat es que la ecuacin

nnnzyx =+ , donde zyx ,, y n han de ser enteros positivos, slo tiene solucin

cuando 2=n . Este aserto se mantuvo como una conjetura durante ms de tres siglos,

desafiando a toda la comunidad cientfica, hasta que recientemente, en el ao 1995, el

matemtico britnico Andrew Wiles demostr el teorema, dando la razn a Fermat.

Relacionado con los juegos de azar surge en el siglo XVII el clculo de

probabilidades, cofundado por Fermat y Blaise Pascal (1623-1662). Por cierto, Pascal

construy cuando slo tena 18 aos de edad una mquina de calcular, por lo que se le

considera el iniciador del clculo mecnico.

Otra lnea de estudio e investigacin que se abre en este siglo, muy alejada de la

realidad, es la geometra proyectiva, gracias a Girard Desargues (1593-1661), ingeniero

militar y arquitecto, pese a confesar que no le interesaba la investigacin cientfica sino

en cuanto puede ofrecer al espritu un medio de lograr algn conocimiento... de las

cosas que puedan traducirse en actos para la conservacin de la salud o en sus

aplicaciones en la prctica de algn arte.

14

Otro campo que se inicia en este siglo es el clculo infinitesimal. El infinito est

presente en la sucesin indefinida de los nmeros enteros y el infinitsimo en la

posibilidad de dividir indefinidamente un segmento dado. Los mtodos infinitesimales

ya se manejaban en el mismo momento en que las matemticas nacen como ciencia, en

la Grecia clsica, debido a la categora y rigor que aportan la teora de las proporciones

y el mtodo de exhaucin de Eudoxo, que Arqumedes mejora significativamente al

aadir el postulado de continuidad. Lamentablemente, el manuscrito El Mtodo, donde

Arqumedes explicaba su teora se crey desaparecido, hasta que fue redescubierto en

un palimpsesto en 1906. Todos los historiadores coinciden en que este hecho fren el

desarrollo del clculo infinitesimal. Tambin hubo circunstancias externas que

impulsaron el surgimiento de este nuevo clculo, como fueros las necesidades de la

fsica y de la astronoma.

Destaquemos en este campo a Luca Valerio (1552-1618), al que Galileo

consideraba como el Arqumedes de nuestro tiempo; al polifactico astrnomo

alemn Johannes Kepler (1571-1630), del que recordamos como ancdota que en su

obra matemtica Nova stereometria doliorum vinariorum resuelve un problema prctico

que le plantearon unos viticultores ante una cosecha extraordinaria de uvas sobre

qu dimensiones deberan tener los toneles con igual volumen para que el material

empleado en su construccin fuera mnimo; Bonaventura Cavalieri (1598-1647), con su

mtodo de integracin basado en los indivisibles; Giles Personne de Roberval (1602-

1675); el jesuita belga Gregorius Saint Vincent (1584-1667); el fsico Christian

Huygens (1629-1695); James Gregory (1638-1695) y John Wallis (1616-1703).

Despus de tantos siglos de estancamiento y parlisis se avanza muy

rpidamente, aunque a costa de descuidar el rigor y la fundamentacin de las pruebas.

Para ilustrar esta falta de rigor caracterstico de esta poca, recordemos que Simon

Stevin calcul el centro de gravedad de un paraboloide de revolucin utilizando el

mismo mtodo con el cual Arqumedes dedujo la cuadratura del segmento parablico.

Pero la diferencia es sustancial. En la prueba aparece una sucesin, resultando

asombroso que mientras Arqumedes logra una demostracin incontestable por su rigor,

mediante el mtodo de exhaucin, 1800 aos despus Stevin colige su afirmacin del

anlisis de los tres o cuatro primeros trminos de dicha sucesin, sin verificar nada ms.

Todos los matemticos que acabamos de citar actuaron como precursores y

prepararon el terreno para que dos genios de la talla de Newton y Leibniz fundaran

simultneamente el clculo infinitesimal como una rama importante de las matemticas,

15

que hoy conocemos como anlisis matemtico, si bien durante mucho tiempo se redujo

a un clculo, es decir, a un conjunto de reglas y algoritmos tiles y eficaces, como lo

avalaban las aplicaciones, pero carentes de una seria fundamentacin matemtica.

Esta nueva disciplina se desarrolla en tres grandes captulos, prcticamente los

mismos que estudibamos en esta Universidad en la asignatura Clculo Infinitesimal del

Selectivo de Escuelas Tcnicas Superiores hace unos 35 aos: clculo diferencial

(derivadas, curvaturas y problemas de mximos y mnimos), clculo integral

(determinacin de cuadraturas, cubaturas y rectificaciones, en otras palabras, hallar

reas, volmenes y longitudes, adems de centros de gravedad) y algoritmos infinitos

(sucesiones y series, productos infinitos, fracciones continuas).

Isaac Newton (1643-1727) entr en el Trinity College de Cambridge en 1661,

gracias a las gestiones de un to suyo que se dio cuenta de la gran inteligencia que

posea. Aunque al principio estaba ms interesado por la qumica, al final Newton se

convirti en uno de los fsico-matemticos ms importantes de todos los tiempos. Sin

lugar a dudas influy en ello su lectura de las obras de Descartes, Kepler, Vite y

Wallis, amn de las de Galileo, Fermat y Huygens. Se comprende as que escribiera a

Hooke en estos trminos: si he conseguido ver ms lejos que Descartes ha sido porque

me he incorporado sobre los hombros de gigantes. En 1665 ya es bachelor of arts, pero

tiene que regresar a su casa porque el Trinity College cierra a causa de la peste. Este

corto periodo de descanso obligado se transform en uno de los ms fecundos de la

historia del desarrollo cientfico, pues durante el mismo Newton realiz sus cuatro

principales descubrimientos: el teorema de la binomial, el clculo, la ley de gravitacin

y la naturaleza de los colores [4].

Sus contribuciones a las matemticas no se limitan al clculo infinitesimal. As,

en su Enumeratio linearum tertii ordinis, escrito en 1695 y publicado como un apndice

de su Optica, estudia la teora de las curvas algebraicas, mientras que en su Aritmtica

universalis, editada en 1707, investiga la teora general de las ecuaciones, la resolucin

algebraica de problemas geomtricos, utiliza la nomenclatura races afirmativas

(positivas), negativas e imposibles (imaginarias o complejas)...

En su obra De analysi (De analysi per aequationes numero terminorum

infinitas), concluida en 1669 e impresa en 1711, da el teorema general del binomio.

Muchos matemticos haban fracasado en el intento de extender este desarrollo de

exponentes enteros positivos a exponentes fraccionarios. Newton obtiene desarrollos en

serie infinitos, encuentra nuevas series por divisin larga procedimiento ya conocido

16

y por el mtodo de inversin original suyo. Pero la ms importante aportacin

newtoniana en esta obra fue su descubrimiento de que el anlisis con series infinitas

tiene la misma consistencia interna que el lgebra con cantidades finitas y que cumple

las mismas leyes generales. En definitiva, y conviene remarcarlo, con Newton y a partir

de su ejemplo, los matemticos ya no evitarn la utilizacin de los procesos infinitos

como haban hecho los matemticos griegos, sino que ser habitual y legtimo su uso en

las demostraciones matemticas. En pocas palabras, con Newton se perdi el miedo al

infinito. Tambin estableci en esta obra, por vez primera, que la determinacin de la

tangente a una curva y la cuadratura, es decir, la derivacin y la integracin, son

operaciones inversas.

En Methodus fluxionum et serierum infinitorum, que no se public hasta 1736,

figuran las aportaciones ms originales de Newton al clculo infinitesimal. Newton,

desde 1664, ya haba analizado la velocidad de cambio de magnitudes que varan

continuamente, como longitudes, reas, volmenes, espacios, temperaturas... A esta

clase de magnitudes las llama fluentes, a sus velocidades de cambio fluxiones

nuestro actual concepto de derivada y el producto del incremento por la fluxin es

el momento, que viene a ser nuestra diferencial. La notacin de Newton, que an

persiste en muchos libros de mecnica, consiste en superponer puntos a las fluentes

para indicar el orden de las fluxiones. De este modo, y con la actual terminologa,

)(tx indica la derivada primera o velocidad y )(tx la derivada segunda o aceleracin. Pero su obra cumbre, y uno de los tratados cientficos ms admirados de todos

los tiempos, es Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, donde se nota

claramente la influencia eucldea. Para Von Neumann, este clsico de la fsica terica

era, tanto en la forma literaria como en la esencia, un libro muy parecido a los

Elementos, porque presenta los fundamentos de la fsica y de la astronoma con el

lenguaje de la geometra pura. Esta magna obra fue la primera de Newton en ser

publicada, pese a que fue la ltima en ser escrita. Los Principia alcanzaron un gran

xito y llevaron a Newton, que ya era miembro de la Royal Society, al Parlamento

representando a Cambridge.

Agotado por el estrs que le produca el continuo esfuerzo en la investigacin

cientfica, opta por aceptar en 1696 el nombramiento real de Warden of the Mint, algo

as como Guardin de la Casa de la Moneda, y poco ms tarde, el de Master of the Mint,

o Director de la Casa.

17

Por cierto, la nica intervencin pblica de Newton como parlamentario, y as

consta en las actas del Parlamento, fue para pedir que abrieran una ventana [37]. Estaba

claro que no era lo suyo.

Rememoramos, por su humanidad y humildad, el momento en que uno de los

cientficos que ms ha escrutado y desentraado los misterios del Mundo confiesa su

ignorancia ante los innumerables secretos que an esconde el Universo: No s qu le

parecer a los dems, pero yo creo que he sido simplemente como un nio que juega a

las orillas del mar y que se divierte al encontrar aqu y all alguna que otra concha o

piedrecilla ms bonita de lo normal, mientras el gran ocano de la verdad se extiende

desconocido ante m.

Mientras esto ocurra en Inglaterra, en Alemania otro coloso, gran matemtico y

filsofo, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) investigaba y progresaba

paralelamente en los mismos temas, pero con una visin y concepcin distintas. Hizo

contribuciones en la teora de nmeros; en clculo mecnico, mejorando la mquina de

calcular de Pascal; en lgebra, introduciendo la teora de los determinantes. Se le

considera adems el iniciador de la lgica matemtica y de la topologa.

Leibniz estudi derecho y ejerci como diplomtico al servicio de su pas. Viaj

mucho, visitando Pars donde le recomendaron estudiar a Pascal y, al menos dos

veces, Londres. Aunque no coincidi con Newton, durante estas estancias all acaso

pudo acceder a algunos de sus manuscritos. Los historiadores no consideran este hecho

relevante en el agrio debate que enfrentara a estos dos genios en relacin con quien

tena la prioridad en el descubrimiento del clculo infinitesimal, pues Leibniz no posea

entonces la formacin matemtica para entender las obras de Newton.

La obra matemtica de Newton est condicionada por su carcter de filsofo de la

naturaleza, de fsico, mientras que la mente de Leibniz se corresponda ms con la de un

metafsico, un algortmico, un lgico. Se entiende as que afirmara: Sin las

matemticas no se puede penetrar a fondo en la filosofa, sin la filosofa no se puede

penetrar a fondo en las matemticas, y sin ambas, no se puede penetrar a fondo en

nada.

El sabio alemn se preocup mucho en elegir una buena notacin, porque era

consciente de que ello facilitaba los procesos de pensamiento. Al respecto afirmaba:

Uno de los secretos del anlisis radica en el arte de usar magistralmente los signos de

que se dispone. Tras algunos ensayos represent por dx y dy lo que entenda por las

18

diferencias ms pequeas posibles de las variables x e y , nuestras diferenciales.

Aunque al principio utilizaba las tres primeras letras omn de la palabra latina omnia

(todos) para representar la suma de todas las ordenadas bajo una curva, pronto las

reemplaz por el signo actual y o ydx de la integral, que no es otra cosa que una s , inicial de la palabra suma en tantos idiomas, estilizada. Si bien desde 1673 conoce las

principales reglas y frmulas del clculo infinitesimal como las conocemos hoy:

dydxyxd +=+ )( (diferencial de una suma), ydxxdyxyd +=)( (diferencial de un

producto), ( ) 2/)(/ yxdyydxyxd = (diferencial de un cociente), dxnxdx nn 1=

(diferencial de una potencia)... y, por medio del tringulo diferencial, establece igual

que Newton que la derivacin y la integracin son operaciones inversas, no fue hasta

1684 en un artculo, de apenas seis pginas, publicado en la revista Acta Eruditorum

donde expone sus resultados sobre el clculo.

Se presenta que la rivalidad entre estas dos grandes figuras de las matemticas

iba a terminar en polmica. Leibniz tuvo conocimiento del teorema de la binomial

porque se lo pidi a Newton a travs de Henry Oldenburg (1626-1678), secretario de la

Royal Society, y a su vez inform al fsico-matemtico ingls de sus descubrimientos

sobre el clculo infinitesimal, pero ste le responde con un anagrama difcil de descifrar

sobre su teora de las fluxiones. Pese a este extrao comportamiento de Newton, la

situacin pareca controlada. Newton cita en la primera edicin de sus Principia al

eminente matemtico G. W. Leibniz y apunta: el mtodo de Leibniz no difiere del mo

sino en las palabras y la notacin. Por otra parte, Leibniz, a la vista de los trabajos de

Newton, se admira de la variedad de caminos por los cuales puede llegarse al mismo

resultado. Pero en 1689 Leibniz no hace ninguna referencia a Newton en un trabajo

sobre mecnica en el que usa el nuevo clculo infinitesimal. Leibniz es acusado de

plagio por los matemticos ingleses, Newton retira toda referencia a l de la tercera

edicin de sus Principia y la Royal Society, presidida entonces por Newton, crea una

comisin que barre para casa proclamando la prioridad del cientfico ingls como

fundador del moderno clculo infinitesimal.

Actualmente los historiadores estn de acuerdo en que esta lamentable disputa

no tiene sentido y llegan a las siguientes conclusiones. Primera, Newton hizo sus

descubrimientos unos diez aos antes que Leibniz; segundo, Leibniz tiene la prioridad

de su edicin, pues public un resumen de su clculo en Acta Eruditorum en 1684; y

19

tercero, no hubo plagio, ya que Leibniz hizo sus descubrimientos independientemente

de los de Newton.

Lo ms triste de esta polmica sin sentido fue el muro que se levant entre los

matemticos britnicos y los continentales, lo que se tradujo en una falta de

colaboracin entre ambos bandos. En este aislamiento la parte inglesa tena todas las de

perder. En efecto, pese a que el razonamiento de Newton estaba ms cerca de la

fundamentacin moderna del clculo, se impuso la eficacia, elegancia y simplicidad de

la notacin de Leibniz. Finalmente, los jvenes matemticos ingleses, fundadores de la

Analytical Society, J. F. W. Herschel, Ch. Babbage y G. Peacock, decidieron aceptar la

notacin de los matemticos del continente a principios del siglo XIX [11].

El siglo XVIII ha sido calificado como el siglo de las luces, de la

Ilustracin, de la razn, pero desde una perspectiva cientfica es el siglo de Newton.

La ley de gravitacin universal y las de la mecnica de Newton permitieron expresar

mediante ecuaciones diferenciales los movimientos celestes y resolverlas mediante el

clculo infinitesimal, lo que suministraba informacin sobre el universo impensable

siglos antes. La nica objecin que se puede poner es que estos avances tcnicos y el

xito de las aplicaciones no se reflejan en una buena cimentacin de los principios

bsicos de las matemticas, que seguan siendo vagos e imprecisos, cuando no

contradictorios. Por ello DAlembert animaba a sus estudiantes dicindoles allez en

avant et la foi vous viendra, es decir, proseguid y confiad, la fe llegar [31].

Siguiendo con este recorrido histrico destaquemos la familia Bernoulli, suiza de

origen holands, que aporta una docena de matemticos a lo largo de los siglos XVII,

XVIII y XIX, siendo los ms famosos de la saga Jacob, su hermano Johann y un hijo de

ste, Daniel. Sus contribuciones a las matemticas son extraordinariamente

significativas, siendo los creadores del clculo de variaciones y del clculo de

probabilidades.

A su vez, Brook Taylor (1685-1731) introduce los desarrollos en serie de su

nombre, uno de los mayores inventos de la humanidad, pues permiten reducir clculos

con funciones complicadas a las operaciones aritmticas elementales suma y

multiplicacin.

Pero la figura representativa del siglo XVIII es, sin discusin alguna, Leonhard

Euler (1707-1783). Sus primeras nociones de matemticas las aprendi de Jacob

20

Bernoulli y, por complacer a su padre un pastor calvinista acept estudiar teologa

a cambio de que le permitiera seguir con sus estudios favoritos ([28],[31]).

Fue Euler un hombre de amplia cultura, versado en literatura y lenguas clsicas,

lenguas modernas, medicina, botnica, msica y todas las ciencias fsicas, tal como se

conocan entonces. Su capacidad de trabajo era inmensa, lo que unido a la variedad y

extensin de sus investigaciones, le convierten en el autor ms prolfico de todos los

tiempos en matemticas. Aproximadamente la tercera parte de las investigaciones sobre

matemticas, fsica-matemtica e ingeniera mecnica publicadas en las ltimas tres

cuartas partes del siglo XVIII son de Euler. La publicacin de todas sus obras, las

Omnia Opera, comenzada en 1910 y recientemente concluida, necesit de 72 gruesos

volmenes, que se elevan a 82 volmenes al recopilarse su copiosa correspondencia,

ms de tres mil cartas.

Quizs sea Euler el matemtico ms universal y querido. Ello se debe

fundamentalmente a la claridad en la exposicin de sus temas y a la variedad de sus

obras. Se suele decir que todos los libros de texto de clculo elemental y superior, desde

1748, son esencialmente copias de los tratados de Euler.

El fsico francs Arago, al hablar de la gran facilidad de Euler para las

matemticas, deca: calculaba sin esfuerzo aparente, como otros hombres respiran o

como las guilas se sostienen en el aire.

Desarroll su magisterio entre Rusia y Alemania. A los 23 aos ya imparta

clases en San Petersburgo. En 1741 fue llamado a Berln por Federico II, que le ofreci

una ctedra. La reina madre, persona receptiva con los hombres ilustres y sabios,

procur que Euler se encontrara a gusto en la capital germnica, pero en sus

conversaciones con l nunca logr arrancarle ms que monoslabos. Cuando le pregunt

por qu esta parquedad, Euler le contest: Seora, es que acabo de llegar de un pas

donde se ahorca a todas aquellas personas que hablan. A pesar de todas estas

atenciones, Euler no era feliz en Berln. El emperador prefera a los intelectuales

brillantes antes que a los gemetras (sinnimo entonces de matemtico) y se refera a

Euler que era ya tuerto en broma como el cclope matemtico. Pese a la anterior

ancdota, regresa a Rusia en 1766, donde se saba querido y respetado. En sus ltimos

17 aos padece una ceguera total, lo que no afecta a su capacidad de trabajo. Comentaba

a sus allegados, con buen humor: ahora me distraigo menos. Y ciertamente, ya no

puede publicar obras enciclopdicas, pero s libros y artculos de investigacin. Incluso

en esta etapa final, y totalmente invidente, aumenta considerablemente su produccin

21

(casi la mitad de sus trabajos vieron la luz en estos aos), gracias a su poderosa

memoria, a su frtil imaginacin y a la asistencia de ayudantes que escriban sus libros y

artculos al dictado. Como ancdota y en relacin con su prodigiosa memoria, se cuenta

que Euler era capaz de recitar La Eneida en latn de principio a fin.

De su produccin matemtica destacan las obras Introdutio in Analysin

Infinitorum, en el que se encuentra la mayora de los conocimientos de lgebra, teora de

ecuaciones y trigonometra que hoy se ensean en los cursos elementales. Sus

Institutiones Calculi Diferentialis e Institutiones Calculi Integralis contienen todos los

resultados sobre clculo diferencial e integral. En su trabajo Solutio Problematis ad

Geometriam Situs Pertinentis resuelve elegentemente el famoso problema de los

puentes de Knigsberg (en la antigua Prusia, hoy en el enclave ruso de Kaliningrado): el

ro Pregel a su paso por la ciudad se divide en dos ramas por culpa de una isla situada en

su cauce, la isla Kneiphof. Esta isla se comunica con el resto de la ciudad mediante siete

puentes. Un ciudadano se propone dar un paseo cruzando cada uno de estos siete

puentes una vez solamente. Es posible realizar esta excursin? Este inofensivo

problema, que parece puro divertimento matemtico, es el origen de la moderna teora

de grafos, de tantas aplicaciones en la actualidad. En este problema, que Euler

generaliza a cualquier disposicin y divisin del ro en ramas y nmero de puentes,

surge otra nueva rea de las matemticas, en la que nicamente importan las

propiedades estructurales de los objetos y no sus medidas. A ello se refiere Euler con la

parte del ttulo Geometriam Situs, que puede ser traducida perfectamente por

topologa.

Finalmente sealamos que sus aportaciones originales a la teora de nmeros, al

clculo variacional... son excelentes, as como la creacin de smbolos matemticos, el

mayor creador en esta faceta en la historia de las matemticas, superando con creces al

propio Leibniz.

El desarrollo de las matemticas en Francia a lo largo del siglo XVIII fue

espectacular. Destacan Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), con sus estudios sobre

ecuaciones algebraicas, funciones de varias variables y ecuaciones en derivadas

parciales. Su obra Mcanique Analytique marca un hito al desarrollar la mecnica como

una geometra de cuatro dimensiones, siendo la cuarta el tiempo. Otra obra

monumental, una referencia obligada en astronoma, es el Trait de Mcanique Cleste,

de Pierre Simon Laplace (1749-1827), que tambin crea una obra maestra con Thorie

analytique des probabilits. Las obras de Laplace son de una gran profundidad

22

matemtica, de difcil lectura. Cuando asegura que il est facile de voir, esto es, se ve

fcilmente, es mejor no tomrselo en serio, ponerse en alerta y concentrarse en lo que

se lee, pues no se entiende nada [31].

Con Gaspar Monge (1768-1830) vuelve la geometra pura, que ahora cuenta con

la poderosa herramiente del anlisis matemtico, originndose as la geometra

diferencial.

Joseph B. J. Fourier (1768-1830) crea una nueva rama de la ciencia, la llamada

fsica-matemtica, aplicando los mtodos y tcnicas del clculo infinitesimal a

problemas fsicos. En su celebrrima obra La Thorie Analytique de la Chaleur

introduce las series trigonomtricas, extiende el concepto de funcin de Euler e intenta

probar que una funcin arbitraria puede representarse mediante una serie de este tipo. El

impacto de su trabajo en reas como las comunicaciones, la medicina, la geofsica...es

hoy en da incalculable. El punto dbil de esta teora est en el estudio de la

convergencia.

A estas alturas de su historia las matemticas comienzan a adquirir una unidad y

autonoma que haban perdido desde la poca griega. Las matemticas aparecen como

un conglomerado de diversas ramas: geometra, lgebra, teora de nmeros, clculo

infinitesimal, clculo de probabilidades..., que cada vez se muestran ms

interconectadas. Si bien el espritu griego, es decir, el rigor en el razonamiento

impregnaba la geometra, no ocurra lo mismo con el clculo infinitesimal. No se

entiende cmo una disciplina de esta importancia descans durante dos largos siglos

sobre premisas y conceptos tan imprecisos y vagos como discutibles. Slo cabe una

explicacin: el xito arrollador del clculo infinitesimal en el campo de las aplicaciones,

que lo convirti en el instrumento ms potente de las matemticas puras. Para ilustrar

esta afirmacin, recordemos que el matemtico francs Alexis-Claude Clairaut (1713-

1765) produjo un enorme impacto en todos los ambientes intelectuales europeos al

predecir, con un error de un mes, el retorno del cometa Halley, lo que ocurri el 13 de

marzo de 1759. Ms tarde, los astrnomos John C. Adams y Urbain J. J. Leverrier

conjeturaron que las anomalas que se observaban en el movimiento de Urano se deban

a la atraccin gravitatoria ejercida por otro planeta. Un planteamiento puramente

matemtico, sugerido por las leyes de la mecnica, condujeron a Leverrier en 1846 a

indicar con absoluta precisin dnde estaba ese desconocido planeta que perturbaba la

rbita de Urano [1]. Despus, con un telescopio, fue confirmada la existencia de

Neptuno. Estos dos hechos, y tantos otros, no slo constituyeron un rotundo triunfo de

23

la mecnica y de la astronoma newtonianas, sino tambin del clculo infinitesimal del

cual, no lo olvidemos, Newton fue cofundador.

Otra justificacin, quizs ms seria, radica en que los mtodos infinitesimales no

surgieron por exigencias internas, intrnsecas a las propias matemticas, sino que

emergieron acuciados por cuestiones externas: la resolucin de los problemas de las

ciencias naturales, que demandaba cada vez con mayor fuerza una sociedad que

evolucionaba a gran ritmo. En otras palabras, las matemticas iban por detrs,

desfasadas, respecto de la fsica y supeditadas a ellas.

Pero ya se necesitaba cimentar las matemticas sobre unas bases ms slidas.

Los avances en los dos siglos precedentes, como hemos visto, fueron tales en cantidad y

calidad que se precisaba hacer una revisin crtica y rigurosa de los mismos.

Fue el alemn Karl Friedrich Gauss (1777-1855), uno de los matemticos ms

excepcionales de todos los tiempos y el que ms huella ha dejado en nuestra disciplina,

quien reintrodujo el rigor en las demostraciones matemticas [28]. Fue un nio precoz,

como Mozart y Pascal. Si se asegura que el genial msico compuso un minueto a los

cuatro aos de edad, Gauss corrigi a su padre que fue un comerciante en unos

clculos con mercancas cuando slo tena tres aos. Con apenas diez aos dej

desconcertado a su maestro Btner cuando ste propuso, para mantener la clase

entretenida, sumar cien trminos de una progresin aritmtica y la nica respuesta

acertada, y sobre la marcha, fue la de Karl. A los doce aos ya pona en tela de juicio los

fundamentos de la geometra eucldea y a los diecisis vislumbraba una geometra

diferente de aqulla. Cuando, con el paso del tiempo, le llegaron noticias de que el

matemtico hngaro Janos Bolyai (1802-1860) haba descubierto otra clase de

geometras, ni se alter. El lo saba desde haca tiempo y si no lo public fue, en

palabras textuales suyas, para evitar el gritero de los beocios. Tal era el prestigio y la

autoridad de los Elementos que ni el gran Gauss quera polmica alguna. Tambin el

matemtico ruso N. I. Lobachevski (1793-1856) descubri geometras diferentes de la

eucldea.

En su Tesis Doctoral, leda en 1798, Gauss demuestra el teorema fundamental

del lgebra (toda ecuacin algebraica tiene una raz). Sus Disquisitiones Arithmeticae,

por su grado de maduracin y perfeccin, se us de modelo en ulteriores estudios sobre

la teora de nmeros. Animado por este trabajo lleg a afirmar que las matemticas son

la reina de todas las ciencias y que la teora de nmeros es la reina de las matemticas.

24

Su siguiente trabajo, Disquisitiones generales circa superficies curvas, es

considerado igualmente como la obra maestra de la teora clsica de la geometra

diferencial.

A diferencia de Euler, que explicaba las demostraciones con todo lujo de

detalles, Gauss es un escritor difcil de leer, cada pgina de su obra es un reto para el

lector. Para l, una catedral no es una catedral hasta que no se ha desmontado y ha

desaparecido el ltimo andamiaje. Y esta idea la aplica cuando hace matemticas.

Gauss elabor sus escritos matemticos con austeridad, eliminando todos los resultados

insustanciales despus de interminables correcciones, ajustando todos los detalles a la

perfeccin, con el mximo rigor. Slo quera legar a la posteridad obras de arte,

consumadas, perfectas. En su sello figuraba un rbol con unos pocos frutos y la divisa

Pauca sed matura (Pocos pero maduros). Esta bsqueda del rigor y de la

perfeccin, de la obra completa en s misma, le llev a dar seis demostraciones

diferentes de la ley de la reciprocidad cuadrtica y cuatro del ya citado teorema

fundamental del lgebra, la ltima cuando tena setenta aos.

Sealemos que el quinto postulado de Euclides, el de las rectas paralelas, cuya

versin ms popular que no la original [31, p. 81] dice que por un punto exterior a

una recta slo se puede trazar una recta paralela a ella, casi desde su publicacin fue

motivo de controversias. Se pretendi, sin xito, demostrar que era una consecuencia de

los otros postulados. Incluso el jesuita italiano Giovanni Girolamo Saccheri (1667-

1733), en su obra Euclides ab naevo vindicatus, en la que reivindica la figura de

Euclides, tratando de demostrar dicho postulado descubre otros tipos de geometra, pero

l no lo ve as, cegado, obnubilado, por la perfeccin imposible de superar que todava

se le supona a los Elementos.

Tanto Gauss, como Bolyai y Lobachevski, independientemente unos de los

otros, llegaron a la conclusin de que se podan crear geometras que prescindieran del

postulado de las paralelas o en las que el referido postulado fuera sustituido por otro

radicalmente diferente, no obstante lo cual se originaban geometras tan vlidas como la

eucldea.

El nacimiento de las geometras no eucldeas es un hecho singular en la historia

de las matemticas, pues constituye la declaracin de independencia de las matemticas

respecto de las ciencias naturales, de la fsica y del mundo exterior. Se proclama el

derecho a investigar en cualquier tema matemtico, aunque slo tenga aparentemente

inters per se y carezca de aplicaciones inmediatas.

25

En este campo fue asimismo reputada la contribucin del matemtico alemn

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), discpulo y continuador de la obra de

Gauss, con su famosa disertacin Sobre las hiptesis en que se funda la geometra.

Riemann tambin generaliz el concepto de integral, estableci los principios de la

topologa, inici el estudio de las funciones de variable compleja por medio de la

ecuacin de Laplace y se le debe la brillante idea de las superficies de Riemann, que

permiten volver uniformes las funciones multiformes del anlisis complejo. De igual

forma, investig la funcin zeta de Riemann, (z), que lleva su nombre, y en relacin

con la cual enunci un resultado que, an hoy, sigue siendo una de las ms difciles

conjeturas pendientes de resolver en matemticas, a saber, que los ceros no triviales de

la z-funcin poseen parte real igual a 1/2. Al respecto, Hilbert coment: si me

despertara despus de haber estado dormido durante mil aos, mi primera pregunta sera

ha sido probada ya la hiptesis de Riemann?, lo que da una idea de lo difcil que se

presupone su solucin.

El proceso de eliminacin de todas las oscuridades y vaguedades que

acompaaban a los fundamentos del clculo infinitesimal es imparable. El matemtico

checo Bernard Bolzano (1781-1848) introdujo el concepto de funcin continua, de

convergencia de series y mostr la existencia de funciones patolgicas, como funciones

continuas sin derivada. Con Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) el anlisis matemtico

se construye sobre unos cimientos firmes. Sus obras se caracterizan por la precisin de

las definiciones, por ejemplo, de funcin, lmite y continuidad, y en la cuidadosa

determinacin del campo de validez de las frmulas. Vuelve al concepto de integral

como suma, al modo de Arqumedes, no como operacin inversa de la derivacin. Pero

la principal contribucin de Cauchy, sin ninguna duda, fue su teora de las funciones

analticas. Extiende la serie de Taylor a las funciones de variable compleja e introduce

la denominada en su honor frmula integral de Cauchy, que bsicamente permite

determinar el valor de una funcin en cada punto interior de un dominio acotado a partir

de su valor sobre la curva que lo limita [31].

En esta misma direccin de impregnar a las matemticas del mximo rigor se

aplican el matemtico noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) y el matemtico alemn

Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851).

Conviene que hagamos aqu un inciso. Con motivo de la celebracin del

bicentenario del nacimiento del insigne matemtico noruego, en el ao 2002 el gobierno

de Noruega ha instituido el Premio Abel, con la intencin de que se convierta en el

26

Premio Nobel de Matemticas, como ya es considerado popularmente y por la prensa.

De esta manera se corrige una manifiesta discriminacin histrica, difcil de

comprender: la inexistencia de este preciado galardn en nuestra disciplina. Durante

mucho tiempo circul el bulo, que se trasmita como un hecho verdico de una

generacin de matemticos a otra, de que Alfred Nobel (Estocolmo 1833 San Remo

1896), que fue quien instituy este honor, odiaba a los matemticos, ya que su mujer le

fue infiel con el notable matemtico sueco Gsta Mittag-Leffler (1846-1927), que sera

un serio candidato a recibir este premio por su conocida influencia en la corte sueca.

Pero la realidad es tan triste como simple: Nobel, que era soltero, nunca sinti especial

inters en nuestra ciencia y jams pas por su mente crear un premio en matemticas

([14],[25]). Este vaco era reemplazado hasta ahora por las Medallas Fields, que se

conceden cada cuatro aos a entre dos y cuatro matemticos de reconocido prestigio y

de menos de cuarenta aos de edad, distinciones que se entregan con ocasin de la

celebracin de los Congresos Internacionales de Matemticas, cuya prxima

organizacin en el ao 2006 corresponde a Espaa. Esperamos que la Facultad de

Matemticas de la Universidad de La Laguna sea una de las sedes satlite.

Tambin fue destacado el papel del germano Johann Peter Gustav Lejeune

Dirichlet (1805-1859), que dio una definicin general de funcin, fij por primera vez

condiciones suficientes para garantizar la convergencia de las series de Fourier, hizo

incursiones en la teora de nmeros y plante el problema que lleva su nombre, que es

un problema de valores en la frontera para la ecuacin de Laplace y que tiene una

enorme importancia en fsica. De l deca Gauss: el nmero total de publicaciones de

Dirichlet no es muy grande, pero las joyas no se pesan en la balanza de una tienda de

comestibles. Como es sabido, la correspondencia epistolar era la forma ms comn de

comunicacin entre los cientficos de aquellas pocas. Pues bien, Dirichlet era reacio a

escribir cartas, no le gustaba esa tarea y no mantuvo correspondencia ni siquiera con sus

mejores amigos. Pero cuando naci su primer hijo, hizo una excepcin y remiti a su

suegro el siguiente aritmtico y simple mensaje 2+1=3.

Otro gran y riguroso analista de este siglo fue Karl Weierstrass (1815-1897), que

investig las funciones analticas desde una perspectiva diferente a Cauchy y Riemann,

introdujo criterios de convergencia de series (por ejemplo, para el concepto ms sutil de

convergencia uniforme) formalizando el concepto de lmite, llev el rigor al clculo

variacional y fundament el conjunto de los nmeros reales. En esta ltima direccin

27

tambin trabajaron Georg Cantor (naci en Rusia en 1845 y falleci en Alemania en

1918) y el alemn Richard Dedekind (1831-1916).

En definitiva, todo este proceso de fundamentacin del anlisis acab a finales

del siglo XIX, con unas bases claras y rigurosas. El salto cualitativo fundamental, que

liber a los fundamentos del anlisis de todo oscurantismo y de justificaciones

metafsicas, tuvo lugar cuando junto a las operaciones aritmticas se consider la

operacin de paso al lmite. De esta manera los conceptos y mtodos del clculo

iniciados por Newton y Leibniz, y continuados por la saga familiar de los Bernoulli,

Euler y Lagrange, quedan completamente consolidados, como un campo matemtico del

todo riguroso. Con el concepto de lmite, o el proceso del paso al lmite, las acres

crticas por otro lado, ms que justificadas del arzobispo George Berkeley al

mtodo de las fluxiones de Newton dejan de tener sentido: ya no habrn ms

cantidades infinitamente pequeas y que no son cero, pero que se anulan cuando

interesa; esos incrementos evanescentes, que aparecen y desaparecen como los

fantasmas, como los denominaba con irona Berkeley.

Es el momento de dedicar unas lneas a dos de los matemticos que ms

influencia han tenido en el siglo pasado: el galo Henri Poincar (1854-1912) y el

germano David Hilbert (1862-1943). Poincar, ingeniero de minas, realiz

investigaciones de una gran originalidad en casi todas las ramas de las matemticas, as

como en fsica-matemtica, astronoma y epistemologa ([25],[26]). Al igual que

Poincar, Hilbert deja su sello personal en todos los problemas matemticos que abord,

incluidos los relativos al anlisis de sus fundamentos. En el Segundo Congreso

Internacional de Matemticas, celebrado en Pars en 1900, enunci 23 de los problemas

importantes y que estaban pendientes de solucin [25]. Una buena parte de las

matemticas del siglo XX ha girado en torno a la investigacin de estas cuestiones, la

mayora de las cuales ya han sido resueltas, pero que a su vez han generado nuevos

problemas.

Dos ideas centrales del pensamiento hilbertiano fueron la unidad de las

matemticas y la importancia de los problemas en la investigacin. Dijo al respecto: en

mi opinin las matemticas son un todo indivisible, un organismo cuya vitalidad est

condicionada por la conexin de sus partes... Con la extensin de las matemticas no se

pierde su carcter orgnico, sino que se manifiesta con mayor claridad... En la medida

en que una rama de la ciencia ofrece abundancia de problemas est viva; la falta de

problemas augura la extincin o el final de su desarrollo independiente.... Recordemos

28

que en la primera dcada del siglo pasado introdujo los hoy denominados espacios de

Hilbert, que permitieron geometrizar el anlisis, dando origen al moderno anlisis

funcional.

La teora de grupos, que surge en el siglo XIX, tendr fecundas consecuencias en

el siglo XX. Esta teora tiene su origen en la resolucin de ecuaciones algebraicas de

grado superior a cuatro. Se demostr que era imposible resolver la ecuacin de quinto

grado y de grado superior mediante radicales. Aunque esta cuestin fue tratada por

el matemtico italiano Paolo Ruffini (1765-1822), la demostracin rigurosa se debe a

Abel en el ao 1826. Empero, el autntico fundador de la teora de grupos fue el

matemtico galo Evariste Galois (1811-1832), matemtico precoz y genial, de vida muy

agitada y final desgraciado, pues muri muy joven, a los 21 aos, en un duelo. Su

compatriota Camille Jordan (1838-1922) present esta teora como factor de unificacin

de diferentes campos de las matemticas, aspecto en el que insistieron y profundizaron

el alemn Felix Klein (1849-1925), que concibi cada geometra como el estudio de las

propiedades invariantes frente a determinados grupos de transformaciones, y el noruego

Marius Sophus Lie (1842-1899), que investig los grupos continuos de transfor-

maciones y su aplicacin a la teora de las ecuaciones diferenciales. Mientras tanto,

George Boole (1815-1864, Inglaterra), William Rowan Hamilton (1805-1865, Irlanda)

y el propio Hilbert ayudaron a consolidar sta y otras estructuras algebraicas. Por otro

lado, Elwin B. Christoffel (1829-1900, Alemania), Gregorio Ricci (1853-1925, Italia) y

Tullio Levi-Civita (1873-1941, Italia) divulgaron el clculo tensorial; Ernst Zermelo

(1871-1953, Alemania) y Adolf Fraenkel (1891-1965, Alemania/Israel), formularon una

teora de conjuntos axiomatizada, y los matemticos franceses mile Borel (1871-

1965), que introdujo una nocin de medida, y Henri Lebesgue (1875-1941), que

asimismo aport otro concepto de medida y generaliz la idea de integral en un

histrico trabajo aparecido en 1902, del que el pasado ao se celebr su centenario, y el

longevo Jacques Hadamard (1865-1963), con sus contribuciones en ecuaciones en

derivadas parciales. Tambin descuellan, a principios del siglo pasado, las figuras de

Emmy Amalie Noether (1882-1935, Alemania) y Emil Artin (1898-1962, Austria).

A mediados del siglo XIX la lgica era casi un campo virgen. Cuando el lgebra

penetr en ese campo y se intent buscar la fundamentacin de las matemticas, de

todas las matemticas como la unidad disciplinar en que ya se entendan, se produjo un

cambio espectacular. El tro de matemticos ingleses George Peacock (1791-1858),

Charles Babbage (1792-1871) y J. F. W. Herchel (1792-1871) insistieron en el carcter

29

lgico de los fundamentos de las matemticas. En el libro The Laws of Thought, Boole

seala que su objetivo era investigar las leyes fundamentales de las operaciones de la

mente, gracias a las cuales se razona; expresarlas en el lenguaje de un clculo y sobre tal

fundamento establecer la ciencia de la lgica y construir su mtodo.... La influencia

booleana en el desarrollo de la lgica matemtica fue enorme, lo que justifica la

afirmacin de Russell de que la matemtica pura fue descubierta por Boole.

Precisamente Bertrand Russell (1872-1970) public, en colaboracin con Alfred

North Whitehead (1861-1947), los Principia Mathematica, uno de los tratados ms

completos sobre la lgica matemtica o, de acuerdo con la concepcin russelliana, como

la expresin mejor lograda de las matemticas como parte de la lgica.

Anteriormente, el matemtico italiano Giuseppe Peano (1858-1932) propuso

expresar en un lenguaje estrictamente simblico tanto la lgica matemtica como los

resultados ms importantes de las matemticas [31].

Volviendo a Hilbert, uno de sus objetivos fue liberar al sistema lgico-deductivo

de Euclides del menor atisbo de contradicciones. Hilbert, en sus Grundlagen der

Geometrie (1899), fundamenta la geometra eucldea sobre un conjunto de veintin

axiomas, exigiendo su compatibilidad, es decir, que no presenten contradicciones

internas, y que sean independientes, esto es, que unos no sean consecuencias de otros.

Cantor es el creador de la teora de conjuntos, que al final, es la base y el

fundamento de las actuales matemticas. Sin embargo, los conjuntos infinitos dieron pie

a tal cantidad de paradojas como para poner de nuevo en entredicho los fundamentos de

las matemticas, con lo que la teora conjuntista se enfrent a la oposicin radical de

muchos matemticos alemanes. Ello sumi a Cantor en una profunda depresin, lo que

le oblig a abandonar este tema hasta que lo retom a finales del siglo XIX. Finalmente,

gracias al apoyo inestimable de Hilbert, el Primer Congreso Internacional de

Matemticas de Zurich del ao 1897 dio el espaldarazo definitivo a la teora de

conjuntos. En opinin de Hilbert, esta teora es el producto ms refinado del genio

matemtico y uno de los logros supremos de la actividad humana puramente

intelectual. Y agregaba: Nadie nos expulsar del paraso que Cantor ha creado para

nosotros.

Para perturbar an ms a nuestra comunidad, el matemtico austriaco Kurt

Gdel (1906-1978), que ingres posteriormente en el Institute for Advanced Study en

Princeton (USA), estableci que en un sistema formulado de una manera estrictamente

lgica tal como hicieron Russell y Whitehead con los nmeros naturales hay

30

siempre proposiciones indecidibles a partir de los axiomas del sistema; en otras

palabras, existen dentro del sistema ciertas afirmaciones que no pueden ser ni

demostradas ni refutadas a partir de los axiomas. De paso Gdel demostr que es

imposible asegurar que los axiomas de la aritmtica no puedan conducir a una

contradiccin. Los resultados de Gdel muestran las limitaciones del mtodo

axiomtico y prueban que la consistencia de un sistema no puede garantizarse desde

dentro del mismo sistema. No tiene, pues, sentido la idea de Hilbert de una

axiomatizacin de la geometra eucldea sin contradicciones internas [25].

Por otra parte, la hiptesis del continuo de Cantor afirma que todo subconjunto

infinito del conjunto de los nmeros reales (a este conjunto se le suele llamar el

continuo) es equipotente (tiene el mismo cardinal) al de los nmeros naturales o al

propio de los reales, es decir, no existe un cardinal intermedio entre los de los conjuntos

de los nmeros naturales y reales. Gdel estableci en 1938 que la negacin de tal

hiptesis no puede deducirse del sistema de axiomas de la teora de conjuntos, pero

fracas en su intento de probar lo mismo para la hiptesis. Esto fue probado por Paul J.

Cohen en 1963, lo que le vali ser laureado con la medalla Fields tres aos despus.

Como consecuencia de estas paradojas y de la crisis de los fundamentos de las

matemticas surgieron tres escuelas: la logicista, la formalista y la intuicionista. La

primera, encabezada por Russell, considera las matemticas como una parte de la

lgica; la segunda, liderada por Hilbert, concibe las matemticas como un juego de

signos y smbolos de carcter formal, sin base emprica, que cumplen una serie de reglas

y se apoya en un proceso de axiomatizacin; y la tercera, impulsada por Luitzen E. J.

Brouwer (1881-1966, Holanda), entiende las matemticas como una actividad

constructiva donde prima la intuicin como nica fuente del conocimiento, razn por la

cual se exige una demostracin constructiva de las proposiciones matemticas y se abre

paso a la aparicin de las lgicas no bivalentes.

A partir de la Segunda Guerra Mundial las matemticas inician un nuevo

camino, por senderos desconocidos. La teora de conjuntos y la teora de la medida han

impulsado sobremanera la teora de probabilidades. Esta teora y la estadstica dependen

cada vez ms del vertiginoso desarrollo de las computadoras electrnicas o de alta

velocidad. Vivimos en la era de la electricidad, en la era electrnica, en la era digital.

Las computadoras han alcanzado tal grado de complejidad que han superado con creces

los sueos de Babbage, que tan slo vivi un siglo antes. Y ello, sin lugar a dudas,

puede modificar, aunque slo sea en parte, el desarrollo de las matemticas. Muchos

31

problemas que no se podan abordar por las limitaciones de clculo de pocas

anteriores, se han podido resolver fcilmente con esta nueva tecnologa. Paralelamente a

estos nuevos avances tcnicos, han proliferado nuevas ramas de las matemticas:

programacin lineal, teora de juegos, investigacin operativa, matemtica financiera,

economa matemtica, biomatemtica...

Acaba de terminar el siglo XX, por lo que todava no se tiene la perspectiva

necesaria para analizar en profundidad cules son los logros capitales alcanzados en

matemticas durante esta ltima centuria. A modo de resumen nos arriesgaramos a citar

de forma concisa segn los siguientes apartados ([2],[25]):

(a) En lneas de investigacin los avances ms significativos se han producido en

el estudio de los sistemas dinmicos y, en particular, de los fenmenos no lineales,

temas de gran importancia por su aplicaciones en fsica y otros numerosos campos; en

topologa; en la teora de probabilidades, con el proceso de axiomatizacin de

Kolmogorov, y en el anlisis estocstico, con las aportaciones de Kiyori It, de gran

actualidad debido a la componente aleatoria de muchos fenmenos; y en los estudios

sobre lgica, computabilidad y complejidad que originaron la computadora, el gran

invento del siglo XX, que ha transformado radicalmente nuestra sociedad.

(b) En cuanto a resultados ms concretos, sealaramos: el teorema de

incompletitud de Gdel, recogido en su conocido artculo Sobre las proposiciones

formalmente indecidibles en Principia Mathematica y sistemas relacionados (1931); el

teorema de Cohen (1963), que establece que la hiptesis del continuo es independiente

de la axiomtica de la teora de conjuntos; el teorema de Carleson (1965) - Hunt (1968),

sobre la convergencia de las sumas parciales de las series trigonomtricas; la resolucin

del problema del empaquetamiento de Kepler por Thomas Hales (1998), que

abordaremos en detalle ms adelante; la frmula de Black-Scholes para la valoracin

del mercado de opciones, descubierta por Fischer Black, Myron Scholes y Robert

Merton (1973); y, quizs el que ms repercusin meditica ha tenido, el teorema de

Fermat, que vimos anteriormente.

(c) Respecto de matemticos, por su obra completa y su influencia, nos

quedaramos, por este orden, con Henri Poincar, David Hilbert y Nicolas Bourbaki,

que en realidad no es un matemtico sino el seudnimo de un grupo de matemticos

mayoritariamente franceses que reescribieron una gran parte de las matemticas con

un exquisito rigor y detalle, partiendo de la lgica, la teora de conjuntos y las

estructuras matemticas. Su monumental obra, curiosamente, lleva el nombre de

32

lments des mathmatiques. Algunos notables miembros de este grupo son Andr

Weil (1906-1998), Jean Delsarte (1903-1968), Jean Dieudonn (1906-1992), Claude

Chevalley (1909-1984), Roger Godement... y los laureados con la Medalla Fields

Laurent Schwartz, Alexander Grothendieck, Jean Pierre Serre y Ren Thom.

Subrayemos que J. P. Serre se ha convertido adems en el primer matemtico en recibir

el Premio Abel recientemente instituido como sealbamos anteriormente

correspondiente al ao 2003, segn la Academia Noruega de Ciencias y Letras, por su

papel central en la elaboracin de la forma moderna de numerosas partes de las

matemticas, en particular la topologa, la geometra algebraica y la teora de nmeros.

3. LAS MATEMTICAS VISTAS POR ALGUNOS CLEBRES MATEMTI-

COS

A continuacin veremos la opinin, no siempre coincidente, que algunos

matemticos tienen de nuestra ciencia.

Ya hemos visto que Platn confera a las matemticas un aspecto formativo,

educativo, en la formacin del buen ciudadano ya que, quienes las conocen, estn ms

dotados para aprender cualquier otra disciplina. Para Claudio Ptolomeo las

matemticas representan la consecucin ms noble de la mente humana.

Segn el genial Gauss los descubrimientos matemticos, como las violetas de

los bosques en primavera, tienen su poca que ningn hombre puede adelantar o

retrasar. Para J. Fourier el estudio profundo de la naturaleza constituye la fuente ms

frtil de los descubrimientos matemticos. De acuerdo con Jacobi, las matemticas

son la ciencia de lo que es claro por s mismo.

Galois piensa que las matemticas son el trabajo del espritu humano que est

destinado tanto a estudiar como a conocer, tanto a buscar la verdad como a encontrarla

[19]. Poincar las considera como el arte de dar el mismo nombre a cosas distintas.

Bertrand Russell ve las matemticas como una ciencia en la cual no se sabe ni

de qu cosas se habla ni si de lo que de ellas se afirma es verdadero o falso. Hay que

interpretar esta sentencia en sus justos trminos. Se trata de una ciencia muy abstracta,

por lo que no sabemos muy bien de lo que estamos hablando, que es su primera parte.

Adems, las propias contradicciones lgicas a las que llega Russell y la contundencia

del