las matem ticas mundo no lineal

7/25/2019 Las Matem Ticas Mundo No Lineal

1/53

Las matemticas en un mundo no lineal

ngela Jimnez Casas

LAS MATEMATICAS EN UNMUNDO NO LINEAL


2/53


ngela Jimnez Casas

Introduccin Terminologa matemtica (dinmica no lineal)

Mtodos de linealizacin

Mtodos de energa

Sistemas Conservativos (estudio cualitativo)

Ejemplos de modelos no lineales (en dimensininfinita)

Modelos de campos de fase: Movimiento de la masaglaciar

Modelos de termosifn: Aceleradores de partculas


3/53


ngela Jimnez Casas

Cmo podemos explicar que las matemticas,

un producto de la mente humana independiente

de la experiencia, encajen tan bien en losobjetos y elementos de la realidad?

Albert Einstein (1938)


4/53


ngela Jimnez Casas

Modelo matemtico NO LINEAL( continuo,dimensin infinita)

Modelo matemtico aproximado (Tcnicas dediscretizacin, linealizacin, simplificacin)

Estudio del modelo matemtico aproximado

Conclusiones sobre el modelo aproximado Aplicacin al modelo real (comparacin )

Resolucin de Problemas de nuestro entorno


5/53


ngela Jimnez Casas

Simplifica y traduce

Simplifica---Linealiza- discretiza

Resuelve mediante mtodos de aproximacin

Problemas de nuestro entorno

Modelo NO LINEAL continuo

Modelo lineal discreto

CONCLUSIONES


6/53


ngela Jimnez Casas

Mismo modelo matemtico para situacionesdistintas

Mismas tcnicas matemticas para modelosdiferentes

Ejemplos: Oscilador mecnico = circuito RCL

Resolucin de Problemas de nuestro entorno


7/53


ngela Jimnez Casas

El desplazamiento (oscilacin) x(t) en el sistemamasa resorte de la figura viene dado por

Oscilador mecnico = circuito LCR

)(2

2

tfkxdtdxa

dtxdm


8/53


ngela Jimnez Casas

La carga Q(t) del circuito elctrico RLC

Oscilador mecnico = circuito RLC

)()(

2

2

tEC

tQ

dt

dQRdt

QdL


9/53


ngela Jimnez Casas

Desplazamiento x(t) ------ Carga Q(t)

Masa m -------------------- Inductancia L

Amortiguamiento a -------- Resistencia R Elasticidad k -------- 1/C, C capacitancia

Oscilador mecnico = circuito LCR

)(2

2

tfkxdt

dxa

dt

xdm )(

)(2

2

tEC

tQ

dt

dQR

dt

QdL


10/53


ngela Jimnez Casas


11/53


ngela Jimnez Casas

E.D.O.

ModeladoE.D.P.

Evolucin con el tiempo de alguna magnitud

Sistema dinmico: Describe el recorrido a lo largo del

tiempo de todos los puntos de un espacio dado (espaciode estados de un sistema fsico).

1. Sistema dinmico de dimensin finita

El espacio de estados (fase) es de dimensin finita

Flujo asociado

Valor de la solucin que parte de un punto en el instante t.

),( utfdt

du


12/53


ngela Jimnez Casas

1. Sistema dinmico de dimensin finitaEl espacio de estados (fase) es de dimensin finita

Flujo asociado

Valor de la solucin que parte de un punto en el instante t.

),( utfdt

du

),( 0utu

)(

:

tut

Iu n

);(),(

:

00 utuut

nn

Valor de la solucin que parte de u0 en el instante t


13/53


ngela Jimnez Casas

1.1. Sistema dinmico continuo autnomo

S.D.C.A. LINEAL

1.2. Sistema dinmico discreto autnomo

S.D.D.A. LINEAL

Movimiento del pndulo no amortiguado

)(ufdt

du

)(uAdtdu 0)(0

0),( ueutU ttA

))(()1( tuftu

)()1( tAutu x

)('

)('

sen

l

gty

ytx


14/53


ngela Jimnez Casas

2. Sistema dinmico de dimensin infinita

Describen la evolucin de una funcin incgnita que dependede ms de una variable

Espacio de fases de dimensin infinita

Flujo asociado

Ejemplo: Problema

de difusin de calor

),(),(

utft

xtu

)(),( 00 xuxtu El dato inicial es una funcin perteneciente a unespacio funcional adecuado al problema

);(),(

:

00 utuut

ststt

id

.,0

)(),0(

so0

en

1

00 Hxuxu

breu

uuu nt


15/53


ngela Jimnez Casas

Existencia y unicidad de soluciones

Comportamiento cualitativo (asinttico) Puntos de equilibrio

Estabilidad de los puntos de equilibrio

Teora EspectralMtodos de Energa (Lyapunov)

Sistema Lineal

Atractor Maximal

Variedad InercialDINMICA NO LINEAL)(A

Auut


16/53


ngela Jimnez Casas

DINMICA NO LINEAL

Equilibrios mltiples

Circuitos digitales tienen al menos 2 equilibrios estables

Reacciones qumicas con varios puntos de equilibrio

Modelos de dinmicas de poblaciones Variaciones peridicas o ciclos lmites

Ecuaciones que miden impulsos nerviosos

Circuitos digitales

E. De Vander PolTeora de vlvulas

En vaco0)1(

2

2

2

xdt

dxx

td

xd


17/53


ngela Jimnez Casas

DINMICA NO LINEAL

BifurcacionesLigeros cambios provocan grandes diferencias

cualitativas en el comportamiento a largo plazo

Caos. Fractales (Atractores Extraos)Comportamiento no peridico para tiempos grandes de un sistemadeterminista que presenta una dependencia sensible de lascondiciones iniciales.

El sistema no tiene ruidos de entradas, la no linealidad provoca que las

trayectorias se separen exponencialmente.Ejemplo:E. Lorenz

0,,'

,'

Pr),('

rbbzxyz

numberRayleighrxzyrxy

numberandtlxyx


18/53


ngela Jimnez Casas

SISTEMA DINMICO BIDIMENSIONAL

Trayectorias

Diagrama de fases de un sistema autnomoPunto crtico (partcula no se mueve)

Soluciones peridicas (trayectoria cerrada)

Partcula se aproxima a un punto crticoPartcula se aproxima a una trayectoria cerrada

Partcula se escapa

),()('

),()('

yxGty

yxFtx21 ),(),( DDCGF

000000 )(,)(,)),(),((!,),( ytyxtxtytxDyx 0/))(),(( tttytx

),(0

),(0

yxG

yxF


19/53


ngela Jimnez Casas

ESTABILIDAD DE UN SISTEMA LINEAL

La estabilidad tiene carcter global

Teorema:El origen es

A.Estable sii los autovalores de la matriz del sistema sonreales y negativos, o bien complejos con parte real negativa

Estable y No A.E. Si los autovalores de la matriz del sistemason imaginarios puros

Inestable Si los autovalores de la matriz del sistema soncomplejos con parte real positiva o bien reales y algunopositivo.

)(uAdtdu 0

)(0

0),( ueutU ttA


20/53


ngela Jimnez Casas

ESTABILIDAD DE SISTEMAS CASILINEALES

Teorema: La estabilidad de un punto crtico es la mismaque la del origen del sistema lineal asociado salvo en el

caso en que los autovalores de la matriz jacobiana en elpunto(matriz del lineal) tengan parte real nula(centrolineal).

Las trayectorias del sistema casilineal, son distintas pero

conservan las tangentes. Ejemplo: Trayectorias del pndulo amortiguado y no

amortiguado

),()('

),()('

yxGty

yxFtx||)),((||

),)(,)(,(),)(,(

00

0000

yyxxo

yyxxyxGFDyxGF

Linealizacin


21/53


ngela Jimnez Casas

ESTABILIDAD POR LIAPUNOV

Estabilidad de un centro Funcin de Lyapunov=funcin definida positiva que

decrece a lo largo de las trayectorias.

Teorema

Si existe una funcin de Lyapunov que decrece el origen esestable

Si es estrictamente decreciente el origen es asintticamenteestable

Si existe una funcin definida positiva y creciente a lo largo dela trayectoria, el origen es inestable

Mtodos de Energa


22/53


ngela Jimnez Casas


23/53


ngela Jimnez Casas

CASO PARTICULAR DE SISTEMAS CONSERVATIVOS

La fuerza slo depende de la posicin

E.D.O. De segundo orden-Sistema bidimensional

Trayectorias de un sistema conservativo

Puntos crticos (ceros de la funcin-fuerza)

Trayectorias que no se reducen a un punto-Energa total(Cintica + Potencial) constante

)(),,(2

2

xfdt

dxxtf

dt

xdm fuerzaxfposicintx )(,)(

)(2

2

xfdt

xd

2,)('

'

Ix

xfy

yx

0)()0,( 00 xfconx


24/53


ngela Jimnez Casas

TRAYECTORIAS DE S. CONSERVATIVOS

)('

'

xfy

yx

y

xf

dx

dt

dt

dy

dx

dy 1)( dxxfydy )(

ExUy )(2

1 2PotencialEnergaIxduufxU

x

x

,)()( 00

TotalEnergacteE CinticaEnergay 2

1 2


25/53


ngela Jimnez Casas

TRAYECTORIAS DE UN SISTEMA CONSERVATIVO

Representacin grfica de las trayectorias a partirde la grfica de la energa potencial

Los puntos de equilibrio vienen dados por losextremos relativos de la funcin energa potencial

Los mnimos de potencial son ESTABLES

Los mximos de potencial son INESTABLES

ExUy )(2

1 2))((2 xUEy 0E

25


26/53


ngela Jimnez Casas

Diagrama de fases de un sistema conservativo


27/53


28/53


ngela Jimnez Casas

BIBLIOGRAFA

BOYCE,W.E. y DIPRIMA,R.C. Ecuaciones diferenciales yproblemas con valores en la frontera. Limusa, Wiley.

BRZIS, H. Anlisis funcional teora y aplicacines. AlianzaUniversidad Textos.

GARCIA,A.-GARCIA,F.-LOPEZ A.-RODRIGUEz,G.-VILLA,A.

Ecuaciones diferenciales ordinarias. Teora y problemas.Mtodos exactos, mtodos numricos, estudiocualitativo.CLAGSA,2006.

KENT NAGLE,R, SAFF,E.F. y SNIDER,A.D. Ecuacionesdiferenciales y problemas con valores en la frontera.Pearson, Addison Wesley, 2005.

28


29/53


ngela Jimnez Casas

BIBLIOGRAFA

TRENCH,W.H.. Ecuaciones diferenciales conproblemas de valores en la frontera. ThomsonEditores, 2002

ZILL,D.G. y CULLEN,M.R.Ecuaciones diferenciales

con problemas de valores en la frontera. ThomsonEditores, 2006

MOLERO APARICIO,M.,SALVADOR ALCAIDE,A.MENARGUEZ PALANCA,M.T. y GARMENDIASALVADOR,L. Anlisis Matemtico para ingeniera.Pearson. Prentice Hall, 2007.

29


30/53


ngela Jimnez Casas


31/53


ngela Jimnez Casas


32/53


ngela Jimnez Casas

I-MODELOS DE CAMPOS DE FASE:

Ejemplo.- Movimiento de la masa glaciar


33/53


ngela Jimnez Casas


PHASE FIELD MODEL EQUATIONS Stefan's Problem (solid-liquid)

The evolution of the temperature, u(x; t), of the pointx at time t

of a substance which may appear in two different phases.

The evolution of the interphase : The set where u(t; x) = 0;

The liquid phase is given by: u(t; x) > 0

The solid phase is given by: u(t; x) < 0


34/53


ngela Jimnez Casas

I-PHASE FIELD MODEL EQUATIONS

Enthalpy method oH-method:balance heat is given by the diffusion equation

with k > 0, diffusivity constant and the enthalpy function H

where l > 0; latent heat and is the known function, associated tothe change phase

This step function implies that we consider the linear interphase set

2/)( luuH

ukt

xtH

),(


35/53


ngela Jimnez Casas


But, Stefan's model can not explain some phenomenous whichappear in the equilibrium (supercooling),

so we have to consider the interface set is not linear.

If we consider a plane region of interfase of width :

We have a new unknown function instead of the step function

of Stefan's model.

is the unknown function, associated to the change phase, phasefield function or order parameter, is local average of phase (solid-liquid)

),( xt


36/53


ngela Jimnez Casas


Denstity function of two phases or m phases


37/53


ngela Jimnez Casas


Landau-Ginzburg s theory u(t; x) temperature of point x at time t

order parameter or phase field.

is typically

),(,2)(2

baxugxxt

),(,2

baxkul

u xxtt

,0)()()()( buauba xxxx

),,()(),0(),,()(),0( 201

0 baLxuxubaHxx

),( xt)(g )(

2

1 3


38/53


ngela Jimnez Casas


Landau-Ginzburg s theory l and k are positive constants associated to latent heat

width of interface

G. Caginalp 1986, 1990 y 1991, P.C. Fife 1988 y 1990,

O.Penrose 1990

),(,2)(2

baxugxxt

),(,2

baxkul

u xxtt

,0)()()()( buauba xxxx

),,()(),0(),,()(),0( 201

0 baLxuxubaHxx


39/53


ngela Jimnez Casas


PHASE-FIELD OF MIXTURES OF THREE OR MORE COMPONENTS The phase-field can be seen as the density of bacterial collony

or the mass of growing tumor.

Analogously, the diffusion field can stand for the density of

nutrient [8].

u(t; x) is also the concentration, of the point x at time t; of one

the components of the mixture.

The dynamics of phase separation and coarsening of mixtures

of three or more components,

General density function instead )(g )(21 3


40/53


ngela Jimnez Casas


ASYMPTOTIC BEHAVIOUR OF THE SOLUTIONS WHEN Metastable Solutions.

Nor equilibrium points

Nor energy minima

Have a Slow Evolution.

Energy methods

Rescaled energy functional

In the model for two different phases [11],[12]

A. Jimnez-Casas, Ph. D. Thesis,U.C.M., (1996).

A. Jimnez-Casas, A. Rodriguez-Bernal, Linear stabilility analysis andmetastable solutions for a phase-field model, Proceeding of the RoyalSociety of Edimburgh, 129A, 571-600, (1999).

0


41/53


ngela Jimnez Casas


RESCALED LYAPUNOV FUNCTIONAL

and has a shallow valley of energy, as

(Cahn-Hilliard, Cahn-Morral system [2, 10])

For initial data in such a region little energy is left to be dissipated and

thus this translates into a slow evolution in time. Metastable solutions associated initial values where has

large gradients on small transitions intervals

2

,2

2)(

2),(

2

22 luvdxv

l

ldxgvFb

a

b

a

x

0),( vFdt

d

0),( vF 1

)(x


42/53


ngela Jimnez Casas

REFERENCES: PHASE FIELD MODEL[1] S.Angenent, The zero set of a solution of a parabolic equation",

J.Reine Angew.Math. 390, 79-96, (1988).[2] L.Bronsard, R.V. Kohn, On the slowness of Phase boundary motion in

one space dimension", Com. on Pur. and Appl. Math.vol 43, 987-997,(1990).

[3] G.Caginalp, The dynamics of a conserved Phase Field system:Stefanlike, Hele-Shaw, and Cahn-Hilliard models as asymptotic limits", IMA J.of Appl. Math. 44, 77-94, (1990).

[4] G.Caginalp, \Phase Field models and sharp interface limits: somedifferences in subtle situations", Rocky Mountain J. Math., 21, 2, 603-616, (1991).

[5] G.Caginalp, P.C.Fife, \Dynamics of layered interfaces arising from Phaseboundaries", SIAM.J. Appl. Math. 48, 3, 506-518, (1988).

[6] J.Carr, R.L.Pego, \Metastable patterns in solutions of ut =2uxx f(u)",Comm.Pure Appl. Math. 42, 523-579, (1989


43/53


ngela Jimnez Casas

REFERENCES: PHASE FIELD MODEL[7] J.Carr, R.Pego, Invariant manifolds for metastable patterns in ut = 2uxx

f(u)", Proc..of the Roy. Soc. ofEdimburgh, 116A, 133-160, (1990).[8] M. Castro, Phase-field approach to heterogeneous nucleation",

Phys. Rev. B 67, 035412 (2003).

[9] G. Fusco, J.K. Hale, Slow-motion manifolds, dormant instability, andsingular perturbations". J. Dynamics Diferential Equations., 1, 1, 75-94(1989).

[10] C.P. Grant, Slow motion in one-dimensional Cahn-Morral systems",SIAM J. Math. Anal, vol 26, 1, 21-34, (1995).

[11] A. Jimnez-Casas, Dinmica en dimensin infnita: Modelos de

campos de fase y un termosifon cerrado," Ph. D. Thesis,U.C.M., (1996).[12] A. Jimnez-Casas, A. Rodriguez-Bernal, Linear stabilility analysis andmetastable solutions for a phase-fielld model," Proceeding of the RoyalSociety of Edimburgh, 129A, 571-600,(1999).


44/53


ngela Jimnez Casas

REFERENCES: PHASE FIELD MODEL

[13] A. Jimnez-Casas, A. Rodriguez-Bernal, "Asymptotic Behaviour for aPHASE FIELD model in higher order Sobolev spaces.Rev.Mat.Com.,15, 213-248,(2002).

[14] A. Jimnez-Casas, Metastable Solutions for the Thin-Interfase Limitof a Phase Field Model," Non.Lin.Anal.63.963-970, (2005).

[15] A. Jimnez-Casas, Invariant regions and global existence for a phasefield model ," Disc.and Cont. Dyn. Syst. Vol 1. 273-281, (2008).

[16] H. Matano, Nonincrease of the lap-number of a solution for

a one-dimensional semilinear parabolic equation", J. Fac. Sci.

Univ. Tokyo Sect. 1A Math. 29, 401-441, (1982).[17] L. Modica, The gradient theory of phase transitions and the

minimal interface criterion", Arch. Rat. Mech. Anal., 98, 123-142, (1987).


45/53


ngela Jimnez Casas


46/53


ngela Jimnez Casas

II-MODELOS TERMOSIFN: CLOSED THERMOSYPHON

Ejemplo.- Acelerador de partculas


47/53


ngela Jimnez Casas

v, T and S velocity, distributions of the temperature and the salinity ofthe fluid into the loop, T; S are 1-periodic and zero average.

Soret Efect molecular flux of soluted is generated by an internaltemperature gradient, [S.R. de Groot, P. Mazur (1984), J.E. Hart (1985)]

a,b,c >0 difussion coeficcients

M.A. Herrero, J.J.L. Velazquez, A. Lian 1994, A.Rodriguez 1995, E.

S. Van Vleck 1996,A. Jimnez-Casas 1996,2001, ] f the geometry of the loop,

G friction law at the inner wall of the loop

h prescribed the heat flux

b >0 Soret coeficcient

0)0(,)()( vfSTvvGdtdv

)(),0(,)( 02

2

xTxTx

Taxh

x

Tv

t

T

)(),0(, 02

2

2

2

xSxSx

Tb

x

Sc

x

Sv

t

S


48/53


ngela Jimnez Casas

II CLOSED THERMOSYPHON MODEL

Heat flux

Geometry of loop

Then:

0,)( 22

hLebxhKk

per

kix

k

0,)( 22

fLecxfJk

per

kix

k

JKk

kkk ctbtafST )]()([)(

Kk

per

kix

k LetaxtT ,)(),( 22

0,)(),( 22

TSLetbxtSKk

per

kix

k


49/53


ngela Jimnez Casas

II CLOSED THERMOSYPHON

If the set is finite i.e

Then the asymptotic behavior of the system (infinite dimensional), is

described by a system of coupled equations in

which determine

and a family of linear nonautonomous equations

JK 02|| nJK

14 0 nN NR

JKkbav kk );,,(

|)(\| JKK

i d li l


50/53


ngela Jimnez Casas

II CLOSED THERMOSYPHON: Final Conclusion:

Thus, we reduce the asymptotic behavior of the initial system (infinitedimensional) to the dynamics of the reduced explicit system (finitedimensional)

Observe that from the analysis above, it is possible

to design the geometry of circuit ,f, and/or the heat flux, h, choosing the

functions f and/or h, so that the resulting system has an arbitrary numberof equations of the form N = 4n + 1

Note that it may be the case that K and J are infinite sets, but theirintersection is finite.

Also, for a circular circuit we have f(x) asin(x)+bcos(x), i.e.

and then or is the empty set.

1J

1JK JK

L t ti d li l


51/53


ngela Jimnez Casas

II CLOSED THERMOSYPHON: References

[1] J.E. Hart, A Model of Flow in a Closed-Loop Thermosyphonincluding the Soret Eect", J. of Heat Transfer, vol 107, 840-849, (1985).

[2] M.A. Herrero, J.J-L. Velazquez,Stability analysis of a closedthermosyphon", European J. Appl. Math., 1, 1-24, (1990).

[3] D.T.J. Hurle, E. Jakerman,Soret-Driven Thermosolutal Convection",

J. Fluid Mech., vol 47, 667-687, (1971). [4] A. Jimnez-Casas, Dinamica en dimension infinita: Modelos de

campos de fase y un termosifon cerrado," Ph. D. Thesis, U.C.M., (1996).

[5] A. Jimnez-Casas, A. Rodrguez-Bernal Finite dimensionalAsymptotic Behavior in a Thermosyphon Including the Soret Eect",

Math. Meth. in the Appl. Scie., vol 22, pag 117-137, (1999). [6] A. Jimnez-Casas, A.M. Lozano Ovejero, Numerical Analysis of a

Closed Loop Thermosyphon Including the Soret Eect,Appl. Math. AndComputation,124 (2001) 289-318.

L t ti d li l


52/53


ngela Jimnez Casas

II CLOSED THERMOSYPHON: References

[7] ngela Jimnez- Casas, A coupled ODE/PDE system governing a

thermosyphon model,Nonlin.Analy., 47, 687-692 (2001). [9] J.B. Keller, Periodic oscillations in a model of thermal convection",

J. Fluid Mech., vol 26, 3,599-606, (1966).

[10] A. Lian, Analytical description of chaotic oscillations in a toroidalthermosyphon", inFluid Physics,Lecture Notes of Summer Schools,

(M.G. Velarde,C.I. Christor, Eds.) pp. 507-523, World Scientic,Singapore, (1994).

[11] A. Rodriguez-Bernal, Attractors and Inertial Manifolds for theDynamics of a Closed Thermosyphon", J. of Math. Anal. and Appl., 193,942-965, (1995).

[12] A. Rodriguez-Bernal, E. S. Van Vleck, Complex oscillations in aclosed thermosyphon", in Int. J. Bif. Chaos, vol. 8, 1, 41-56 (1998). [10]J.J. L. Velazquez, On the dynamics of a closed thermosyphon, SIAMJ. Appl. Math. 54 (6) (1994)1561-1593.


53/53

las matem ticas mundo no lineal

Documents