laboratorio de teoría de control ii

Informe #1 de Laboratorio de Control

Parte 1. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA, POLOS Y CEROS

1. Encuentre la expansión en fracciones parciales de las siguientes funciones:

a) F ( s )= 1s (s+2)(s+5)

>> n1=[1];>> d1=[1 7 10 0]; >> [r,p,k]=residue(n1,d1)r = 0.0667 -0.1667 0.1000p = -5 -2 0k = [ ]

Fracciones Parciales:0.0667s+5

+−0.1667s+2

+ 0.1000s

b) F ( s )= 1

s (s2+2 s+10)

>> n1=[1];>> d1=[1 2 10 0];>> [r2,p2,k2]=residue(n1,d1)

r2 = -0.0500 + 0.0167i -0.0500 - 0.0167i 0.1000 + 0.0000ip2 = -1.0000 + 3.0000i -1.0000 - 3.0000i 0.0000 + 0.0000ik2 = [ ]

Fracciones Parciales:

−0.0500+ j0.0167s+1.000+ j3.000

+−0.0500− j 0.0167s+1.000− j 3.000

+ 0.1000+ j 0.000s

c) F ( s )= s+1s (s+2)(s2+6 s+10)

>> n1=[1 1];>> d1=[1 8 22 20 0];>> [r3,p3,k3]=residue(n1,d1)

r3 = -0.1500 + 0.2000i -0.1500 - 0.2000i 0.2500 + 0.0000i 0.0500 + 0.0000ip3 = -3.0000 + 1.0000i -3.0000 - 1.0000i -2.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000ik3 = []


−0.150+ j0.200s+3.00+ j1.00

+−0.150− j 0.200s+3.00− j1.00

+ 0.250+ j0.00s+2.00+ j0.00

+ 0.0500+ j0.00s

c) F ( s )= s+1(s¿¿2+2 s+2)(s2+6 s+10)¿

>> n1=[1 1];>> d1=[1 8 24 22 20]; >> [r4,p4,k4]=residue(n1,d1)

r4 = -0.0215 + 0.0502i -0.0215 - 0.0502i 0.0215 - 0.0328i 0.0215 + 0.0328ip4 = -3.6033 + 2.0322i -3.6033 - 2.0322i -0.3967 + 1.0056i

-0.3967 - 1.0056ik4 = []


−0.0215+ j 0.0502s+3.6033+ j 2.0322

+ −0.0215− j 0.0502s+3.6033− j 2.0322

+ 0.0215− j 0.0328s−0.3967+ j1.0056

+ 0.0215+ j0.0328s+0.3967− j 1.0056

2. Factorice los siguientes polinomios. Note que siempre que hay una potencia del polinomio con signo negativo o que sea cero, al menos una raíz tiene parte real positiva o cero.

a) s3+13 s2+33 s+30

>> p1=[1 13 33 30];>> r1=roots(p1)

r1 = -10.0000 + 0.0000i -1.5000 + 0.8660i -1.5000 - 0.8660i

Factorización:

(s+10+ j 0.0)(s+1.5+0. j 8660)(s+1.5− j0.8660)

b) s5+3 s4+28 s3+226 s2+600 s+400

>> p2=[1 3 28 226 600 400];>> r2=roots(p2)

r2 = 2.0000 + 6.0000i 2.0000 - 6.0000i -3.0000 + 1.0000i -3.0000 - 1.0000i -1.0000 + 0.0000i

Factorización:

(s−2+ j 6.0)(s+2− j6.0)(s+3+ j 1.0)(s+3− j1.0)(s+1+ j0.0)c) s4+2 s3+3 s+6

>> p3=[1 2 3 6];>> r3=roots(p3)

r3 = -2.0000 + 0.0000i 0.0000 + 1.7321i 0.0000 - 1.7321i

Factorización:

(s−2+ j 0.0)(s+ j 1.7321)(s− j1.7321)

d) 2 s4+25 s+4

>> p4=[2 0 0 25 4];>> r4=roots(p4)

r4 = 1.2124 + 2.0118i 1.2124 - 2.0118i -2.2648 + 0.0000i -0.1601 + 0.0000i

Factorización:

(s−1.2124+ j2.0118)(s−1.2124− j 2.0118)(s+2.2648+ j 0.0)(s+0.1601+ j0.0)

3. Construya la función de transferencia en forma polinómica, dados los siguientes datos:

a) k=7 ;ceros=2.5 ; polos :1.33 y 0.577

>> [n,d]=zp2tf([2.5],[1.33 0.577],[7])

n = 0 7.0000 -17.5000d = 1.0000 -1.9070 0.7674

Función de transferencia:

>> TF=tf(n,d)

TF = 7 s - 17.5

---------------------- s^2 - 1.907 s + 0.7674

b) num=( s+0.21 ) s ;den=(s2+6 s+30)(s−1) >> num1=conv([1 0.21],[1])

num1= 1.0000 0.2100 0

>> den1=conv([1 6 30],[1 -1])

den1 = 1 5 24 -30


>> TF2=tf(num1,den1)TF = s^2 + 0.21 s ----------------------- s^3 + 5 s^2 + 24 s – 30

c) num=( s+0.88 ) (s ); polos=0.42,0.80 ,0.99

>> num2=conv([1 .88],[1 .10])

num2= 1.0000 0.9800 0.0880

>> r=[0.42 0.80 0.99]

r = 0.4200 0.8000 0.9900

>> den2=poly(r)

den2= 1.0000 -2.2100 1.5438 -0.3326


TF3=tf(num2,den2)

TF3 =

s^2 + 0.98 s + 0.088 --------------------------------- s^3 - 2.21 s^2 + 1.544 s - 0.3326 d) ceros=1 ,3 ,5 ;den=(4)(s+6)(s+4)(s+1)>> z=[1 3 5]z = 1 3 5>> num3=poly(z)

num3= 1 -9 23 -15

>> den3=conv(conv(conv([4], [1 6]), [1 4]), [1 1])

den3 = 4 44 136 96


>> TF4=tf(Z,E)

TF4 =

s^3 - 9 s^2 + 23 s - 15 --------------------------- 4 s^3 + 44 s^2 + 136 s + 96

e) k=1 ;ceros=ninguno; polos=2 ,0.40 >> [nu,de]=zp2tf([0], [2 .40], [1])

nu = 0 1 0de = 1.0000 -2.4000 0.8000


>> TF5=tf(nu,de)

TF5 =

s ----------------- s^2 - 2.4 s + 0.8

4. Hallar la representación en ceros-polo de las siguientes funciones de transfrencia:

PARTE 2. REPRESENTACIÓN EN VARIABLES DE ESTADO.

1. El diagrama de bloques mostrado es de un sistema automático de control de profundidad para un robot submarino. La profundidad se mide mediante un transductor de presión. La ganancia del actuador del alerón de popa es de k=10−4 cuando la velocidad es de 8m/s. El submarino tiene la función de

transferencia aproximada a G (s )= (s+0.2)2

(s2∗0.01)y el transductor de

retroalimentación es H(s)=1.

>> n=[0.0001 0.00004 0.000004];>> d=[1 0.0001 0.01004 0.000004];

>> [a,b,c,d]=tf2ss(n,d)

a = -1.0000e-04 -1.0040e-02 -4.0000e-06 1.0000e+00 0 0 0 1.0000e+00 0

b = 1 0 0

c = 1.0000e-04 4.0000e-05 4.0000e-06

d = 0

>> [num,dem]=ss2tf(a,b,c,d)

num = 0 1.0000e-04 4.0000e-05 4.0000e-06

dem = 1.0000e+00 1.0000e-04 1.0040e-02 4.0000e-06

PARTE 3. REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE.

1. Determine las funciones de transferencia C(s)/R1(s) y C(s)/R2(s). Si

G1(s)=1

s2+4 s+1, H 1(s)=

1s ,G2(s)=

s+3s2+3 s+12

, H 2 (s )=H 1(s).

>> n1=[1];>> d1=[1 4 1];>> n2=[1 3];>> d2=[1 3 12];>> y1=[1];>> x1=[1 0];>> y2=[1];>> x2=[1 0];

a) Reducción de bloques en función de transferencia C(s)/R1(s):

Reducción de bloque para retroalimentación número 1 entre G2(s) y H2(s):

>> [nretro1,dretro1]=feedback(n2,d2,y2,x2,-1)

nretro1 =

0 1 3 0

dretro1 =

1 3 13 3

Reducción del bloque G1(s)en serie y retroalimentación número 1:

>> [nser1,dser1]=series(n1,d1,nretro1,dretro1)

nser1 =

0 0 0 1 3 0

dser1 =

1 7 26 58 25 3

Reducción de bloque para retroalimentación número 2 entre (nser1,dser1) y H1(s):

>> [nretro2,dretro2]=feedback(nser1,dser1,y1,x1,-1)

nretro2 =

0 0 0 1 3 0 0

dretro2 =

1 7 26 58 26 6 0

Función de transferencia C(s)/R1(s):

>> TF1=tf(nretro2,dretro2)

TF1 = s^3 + 3 s^2 -------------------------------------------- s^6 + 7 s^5 + 26 s^4 + 58 s^3 + 26 s^2 + 6 s

b) Reducción de bloques en función de transferencia C(s)/R2(s):

Reducción de bloque para retroalimentación número 1 entre G2(s) y H2(s):

>> [nretro1,dretro1]=feedback(n2,d2,y2,x2,-1)

nretro1 =

0 1 3 0

dretro1 =

1 3 13 3

Reducción del bloque G1(s) en serie y H1(s):

>> [nser1,dser1]=series(n1,d1,y1,x1)

nser1 =

0 0 0 1

dser1 =

1 4 1 0

Reducción de bloque para retroalimentación número 2 entre (nretro1, dretro1) y (nser1,dser1):

>> [nretro2,dretro2]=feedback(nretro1,dretro1,nser1,dser1,1)

nretro2 =

0 1 7 13 3 0 0

dretro2 =

1 7 26 58 24 0 0

Función de transferencia C(s)/R2(s):


TF11 = s^5 + 7 s^4 + 13 s^3 + 3 s^2 -------------------------------------- s^6 + 7 s^5 + 26 s^4 + 58 s^3 + 24 s^2

2. a). Determine C(s)/R1(s), si G1(s)=5.5, G2(s)=100s+50 ,G3(s)=

4S (s+1),

H 1 (s )=s.

>> n1=[5.5];

>> d1=[1];>> n2=[100];>> d2=[1 50];>> n3=[4];>> d3=[1 1 0];>> yi=[1 0];>> xi=[1];

Reducción del bloque en serie 1 entre G2(s) y G3(s):

>> [nser1,dser1]=series(n2,d2,n3,d3)

nser1 =

0 0 0 400

dser1 =

1 51 50 0

Reducción de bloque hecho a mano para la retroalimentación número 1 entre (nser1,dser1) y H1(s):

>> nretro1=[400];>> dretro1=[1 51 450 0];

Reducción de bloque en serie número 2 entre (nretro1,dretro1) y G1(s):

>> [nser2,dser2]=series(nretro1,dretro1,n1,d1)

nser2 =

0 0 0 2200

dser2 =

1 51 450 0

Reducción de bloque para retroalimentación unitaria:

>> [nretro2,dretro2]=cloop(nser2,dser2,-1)

nretro2 =

0 0 0 2200

dretro2 =

1 51 450 2200



TF2 = 2200 --------------------------- s^3 + 51 s^2 + 450 s + 2200

b) Estudie el efecto que tiene sobre la función de transferencia el reemplazar

H1(s) por 1s+a , con a= 0, 0.5, 5, 50, 500.

Reemplazando a=0

>> n1=[5.5];>> d1=[1];>> n2=[100];>> d2=[1 50];>> n3=[4];>> d3=[1 1 0];>> yi=[1];>> xi=[1 0];



nser1 =

0 0 0 400

dser1 =

1 51 50 0

Reducción de bloque para la retroalimentación número 1 entre (nser1,dser1) y H1(s):

>>[nretro1,dretro1]=feedback(nser1,dser1,yi,xi,-1)

nretro1 =

0 0 0 400 0

dretro1 =

1 51 50 0 400


>>[nser2,dser2]=series(nretro1,dretro1,n1,d1)

nser2 =

0 0 0 2200 0

dser2 =

1 51 50 0 400



nretro2 =

0 0 0 2200 0

dretro2 =

1 51 50 2200 400



TF1 = 2200 s ------------------------------------ s^4 + 51 s^3 + 50 s^2 + 2200 s + 400

Reemplazando a=0.5

>> n1=[5.5];>> d1=[1];>> n2=[100];>> d2=[1 50];>> n3=[4];>> d3=[1 1 0];>> yi=[1];>> xi=[1 0.5];



nser1 =

0 0 0 400

dser1 =

1 51 50 0


>> [nretro1,dretro1]=feedback(nser1,dser1,yi,xi,-1)

nretro1 =

0 0 0 400 200

dretro1 =

1.0000 51.5000 75.5000 25.0000 400.0000



nser2 =

0 0 0 2200 1100

dser2 =

1.0000 51.5000 75.5000 25.0000 400.0000



nretro2 =

0 0 0 2200 1100

dretro2 =

1.0e+03 *

0.0010 0.0515 0.0755 2.2250 1.5000



TF1 = 2200 s + 1100 ----------------------------------------- s^4 + 51.5 s^3 + 75.5 s^2 + 2225 s + 1500

Reemplazando a=5

>> n1=[5.5];>> d1=[1];>> n2=[100];>> d2=[1 50];>> n3=[4];>> d3=[1 1 0];>> yi=[1];>> xi=[1 5];



nser1 =

0 0 0 400

dser1 =

1 51 50 0



nretro1 =

0 0 0 400 2000

dretro1 =

1 56 305 250 400



nser2 =

0 0 0 2200 11000

dser2 =

1 56 305 250 400



nretro2 =

0 0 0 2200 11000

dretro2 =

1 56 305 2450 11400



TF1 = 2200 s + 11000 --------------------------------------- s^4 + 56 s^3 + 305 s^2 + 2450 s + 11400

Reemplazando a=50

>> n1=[5.5];>> d1=[1];>> n2=[100];>> d2=[1 50];>> n3=[4];>> d3=[1 1 0];>> yi=[1];>> xi=[1 50];



nser1 =

0 0 0 400

dser1 =

1 51 50 0



nretro1 =

0 0 0 400 20000

dretro1 =

1 101 2600 2500 400



nser2 =

0 0 0 2200 110000

dser2 =

1 101 2600 2500 400



nretro2 =

0 0 0 2200 110000

dretro2 =

1 101 2600 4700 110400



TF1 = 2200 s + 110000 ------------------------------------------ s^4 + 101 s^3 + 2600 s^2 + 4700 s + 110400

Reemplazando a=500

>> n1=[5.5];>> d1=[1];>> n2=[100];>> d2=[1 50];>> n3=[4];>> d3=[1 1 0];>> yi=[1];>> xi=[1 500];



nser1 =

0 0 0 400

dser1 =

1 51 50 0



nretro1 =

0 0 0 400 200000

dretro1 =

1 551 25550 25000 400



nser2 =

0 0 0 2200 1100000

dser2 =

1 551 25550 25000 400



nretro2 =

0 0 0 2200 1100000

dretro2 =

1 551 25550 27200 1100400



TF1 = 2200 s + 1.1e06 -------------------------------------------- s^4 + 551 s^3 + 25550 s^2 + 27200 s + 1.1e06

3. Para el diagrama de bloque que se muestra a continuación determine la función de transferencia de lazo cerrado C(s)/R(s), para K=10, Tm=0.8, T1=2.

n1d1

= 1Tm

, n2d2

=T 1, n3d3

=1s, n4d 4

= Ks2

, n5d5

=K

>> n1=[1];>> d1=[0.8];>> n2=[2];>> d2=[1];>> n3=[1];>> d3=[1 0];>> n4=[10];>> d4=[1 0 0];>> n5=[10];>> d5=[1];

Reducción de bloques en serie número 1 entre 1/Tm y 1/s:>> [nser1,dser1]=series(n1,d1,n3,d3)

nser1 =

0 1

dser1 =

8.0000e-01 0

Reducción de bloques de retroalimentación número 1 entre (nser1,dser1) y T1:

>> [nretro1,dretro1]=feedback(nser1,dser1,n2,d2,-1)

nretro1 =

0 1

dretro1 =

8.0000e-01 2.0000e+00

Reducción de bloques de retroalimentación número 2 entre 1/Tm y 1/s:

>> [nretro2,dretro2]=feedback(n1,d1,n3,d3,-1)

nretro2 =

1 0

dretro2 =

8.0000e-01 1.0000e+00

Reducción de bloques en serie número 2 entre (nretro2, dretro2) y T1:


nser2 =

2 0

dser2 =

8.0000e-01 1.0000e+00

Reducción de bloques en paralelo número 1 entre (nretro1, dretro1) y (nser2, dser2):

>> [npar1,dpar1]=parallel(nretro1,dretro1,nser2,dser2)

npar1 =

1.6000e+00 4.8000e+00 1.0000e+00

dpar1 =

6.4000e-01 2.4000e+00 2.0000e+00

Reducción de bloques en serie número 3 entre (npar1,dpar1) y K/s2:

>> [nser3,dser3]=series(npar1,dpar1,n4,d4)

nser3 =

0 0 16 48 10

dser3 =

6.4000e-01 2.4000e+00 2.0000e+00 0 0

Reducción de bloques en retroalimentación unitaria:


nretro3 =

0 0 16 48 10

dretro3 =

6.4000e-01 2.4000e+00 1.8000e+01 4.8000e+01 1.0000e+01

Reducción de bloques en retroalimentación número 4 entre (nretro3,dretro3) y K:

>> [nretro4,dretro4]=feedback(nretro3,dretro3,n5,d5)

nretro4 =

0 0 16 48 10

dretro4 =

6.4000e-01 2.4000e+00 1.7800e+02 5.2800e+02 1.1000e+02


>> TF=tf(nretro4,dretro4)

TF = 16 s^2 + 48 s + 10 ------------------------------------------ 0.64 s^4 + 2.4 s^3 + 178 s^2 + 528 s + 110

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