PROBLEMAS

B.11.2.Considere el sistema siguiente:

y+6 y+11 y+6 y=6u

Obtenga una representación en el espacio de estados de este sistema en la forma canónica.

Solución:

La representación de la función de transferencia de este sistema es:

Y (S)U (S)

= 6S3+6 S2+11 S+6

= 6(S+1)(S+2)(S+3)

El desarrollo de la fracción parcial de Y (S)U (S)

es

Y (S)U (S)

= 3S+1

+ −6S+2

+ 3S+3

Entonces, una forma canónica diagonal del sistema es:

[ X1X2X3] =[−1 0 00 −2 00 0 −3][X 1X 2X3]+[111]u

y=[3 −6 3 [X1X2X3]]

B.11.4. Considere el sistema definido mediante

X=Ax+Bu

y=Cx

Donde

A=[−1 0 11 −2 00 0 −3] , B=[001] , C=[1 1 0 ]

Obtenga la función de transferencia Y(S) /U(S)

Solución:

G (s )=C ( sI−A )−1B

¿ [1 1 0 ] [s+1 0 −1−1 s+2 00 0 s+3 ]

−1

[001]¿ [1 1 0 ] 1

(s+1)(s+2)(s+3)¿

¿ s+3(s+1)(s+2)(s+3)

= s+3s3+6 s2+11 s+6

Usando MATLAB:

Editor Script:

Run:

B.11.5. Sea la matriz A siguiente:

A=[00011000

0100

0010]

Obtenga los valores propios ℷ 1 , ℷ 2 , ℷ3 y ℷ4 de la matriz A. Después obtenga una matriz de transformación P tal que

P−1 AP=diag (ℷ1 , ℷ2 , ℷ3 , ℷ4)

Solución:

ℷ 1=1 , ℷ2=−1 , ℷ3= j , ℷ4=− j

P=[ 1ℷ1ℷ12ℷ131ℷ 2ℷ22

ℷ23

1ℷ 3ℷ32

ℷ33

1ℷ 4ℷ42

ℷ43]=[1111

1−11

−1

1j

−1− j

1− j−1j ]

P−1= 14 [1111

1−1− jj

11

−1−1

1−1j

− j ]P−1 AP=1

4 [11111

−1− jj

11

−1−1

1−1j

− j ][0001

1000

0100

0010] [1111

1−11

−1

1j

−1− j

1− j−1j ]

¿ [10000

−100

00j0

000

− j]

B.11.6. Considere la matriz A siguiente:

A=[ 0 1−2 −3]

Calcule e At mediante tres métodos.

Solución:

METODO 1:

e At=¿ l−1 [ (SI−A )−1 ]=l−1 {[ s −12 s+3]

−1}

= l−1[ 2s+1− 1s+2

1s+1

− 1s+2

−2s+1

+ 2s+2

−1s+1

+ 2s+2 ]

¿ [ 2e−t−e−2t e−t−e−2 t

−2e−t+2e−2 t −e−t+2e−2 t]METODO 2:

e At=PeDt P−1=P[eℷ1t 00 eℷ2 t]P−1

ℷ 1=−1 y ℷ2=−2

e At=[ 1 1−1 −2] [e

−t 00 e−2 t ][ 2 1

−1 −1]¿ [ 2e−t−e−2t e−t−e−2 t

−2e−t+2e−2 t −e−t+2e−2 t]METODO 3:

|1 ℷ 1 eℷ1 t

1 ℷ 2 eℷ2 t

I A eAt|=0|1 −1 e−t

1 −2 e−2 t

I A e At |=0−e At+( A+2 I )e−t−e−2 t I=Ae−2 t

e At= (A+2 I ) e−t−e−2t I−e−2 t A

=[ 2 1−2 −1]e−t−[1 0

0 1] e−2 t−[ 0 1−2 −3]e−2 t

¿ [ 2e−t−e−2t e−t−e−2 t

−2e−t+2e−2 t −e−t+2e−2 t]

B.11.7. Dada la ecuación del sistema

[ x1x2x3]=[2 1 00 2 10 0 2] [x1x2x3]

Encuentre la solución a partir de las condiciones iniciales x1 (0 ) , x2 (0 ) y x3(0).

Solución:

ℷ 1=2 ,ℷ 2=2,ℷ 3=2

e At=[e2t t e2 t 12t2 e2 t

0 e2t t e2t

0 0 e2 t]

x (t )=eAt x (0)

[ x1(t )x2( t )x3( t )]=[e2 t t e2 t 1

2t 2 e2 t

0 e2 t t e2t

0 0 e2 t][ x1(0)x2(0)x3(0)]

B.11. 9. Considere la ecuación de estado y la ecuación de salida siguientes:

[ x1x2x3]=[ −6 1 0−11 0 1−6 0 0][x1x2x3]+[262]u

y= [1 0 0 ][ x1x2x3]Demuestre que la ecuación de estado se transforma en la forma siguiente si se usa una matriz de transformación adecuada:

[ Z1Z2Z3]=[0 0 −61 0 −110 1 −6 ][Z1Z2Z3]+[100]u

Después obtenga la salida y en términos de Z1 , Z2 y Z3

Solución:

A= [ −6 1 0−11 0 1−6 0 0 ] ,B=[262] ,C=[1 0 0 ]

X= Pz

X =Pz= [P11 P12 P13P21 P22 P23P31 P32 P33] [

Z1Z2Z3]

x=Ax+Bu

y=Cx

z=P−1 APz+P−1Bu

y=CPz

P−1 AP=[0 0 −61 0 −110 1 −6 ] P−1B=[100 ]

B= P [100]=[P11 P12 P13P21 P22 P23P31 P32 P33][

100]=[P11P21P31]=[262]

P=[2 P12 P136 P22 P232 P32 P33 ]

AP=P[0 0 −61 0 −110 1 −6 ]

[ −6 1 0−11 0 1−6 0 0 ][2 P12 P13

6 P22 P232 P32 P33 ]=[2 P12 P13

6 P22 P232 P32 P33][

0 0 −61 0 −110 1 −6 ]

[−12+6 −6 P12+P22 −6P13+P33−22+2 −11P12+P32 −11P13+P33−12 −6 P12 −6P13 ]=[P12 P13 −12−11P12−6 P13

P22 P23 −36−11P22−6 P23P32 P33 −12−11P32−6 P33]

P12=−6 , P22=−20 , P33=−12

-6P12+P22 = P13

-6P13+P33=-12-11P12-6P13

-11P12+P32 =P33

-11P13+P33 = -36 -11P22-6P23

-6 P12=P33

-6P13= -12-11P32-6P33

P13=16 , P23=54 ,P33=36

P=[2 −6 166 −20 542 −12 36 ]

y=CPz=[2 −6 16 ][Z1Z2Z3]|SI−A|=|S+6 −1 0

11 S −16 0 S |=S3+6 S2+11 S+6¿ S3+a1S

2+a2S+a3

a1=6 , a2=11 ,a3=6

M=[B AB A2B ]=[2 −6 166 −20 542 −12 36 ]

M−1=[ 9 −3 0.513.5 −5 1.54 −1.5 0.5]

M−1 AM=[0 0 −a31 0 −a20 1 −a1]=[0 0 −6

1 0 −110 1 −6 ] M−1B=[100]

CM= [1 0 0 ][2 −6 166 −20 542 −12 36 ]=[2 −6 16 ]

x=Mz=[2 −6 166 −20 542 −12 36 ][Z1Z2Z3]x=Ax+Bu

y=Cx

z=M−1 AMz+M−1Bu

y=CMx

[ Z1Z2Z3]=[0 0 −61 0 −110 1 −6 ][Z1Z2Z3]+[100]u

y= [2 −6 16 ] [Z1Z2Z3]B.11.10. Obtenga con MATLAB una representación en el espacio de estados del sistema siguiente.

Y (s)U (s)

=10.4 x2+47 x+160

x3+14 x2+56+160

Solución:

Usando MATLAB:

Editor Script:

Run:

[ x1x2x3]=[−14 −56 −1601 0 00 1 0 ] [ x1x2x3]+[100]u

Y= [10.4 47 160 ] [ x1x2x3]+0uB.11.11. Obtenga con MATLAB una representación mediante la función de transferencia del sistema siguiente:

[ x1x2x3]=[ 0 1 0−1 −1 01 0 0 ][ x1x2x3]+[010]uy= [0 0 1 ] [x1x2x3]

Solución:

Usando MATLAB:

Editor Script:

Run:

Y (s)U (s)

= 1s3+s2+s

B.11.12. Obtenga el sistema definido mediante

[ x1x2x3]=[2 1 00 2 00 1 3 ][ x1x2x3]+[010

101 ][u1u2]

y= [1 0 0 ] [x1x2x3]Solución:

Usando MATLAB:

Editor Script:

Run:

Y (s)U1(s )

= s−3s3−7 s2+16 s−12

Y (s)U 2(s )

= s2−5 s+6s3−7 s2+16 s−12