la trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y...
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Trigonometría
Trigonometría
La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo.
Un poquito de historia
Trigonometría es una palabra de etimología griega. Se compone de:
Trigonon.- que significa triángulo y Metria.- que significa medición.
Entonces Trigonometría significa etimológicamente, medida de triángulos.
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Importancia de la Trigonometría
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo: algún lado, algún ángulo, podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo: algún lado, algún ángulo, podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura
Dibujamos una recta, y señalamos en ella un punto P.
Este punto divide a la recta en dos partes. Cada una de esas partes es una SEMIRRECTA
SEMIRRECTA SEMIRRECTA
El punto P es el origen de cada una de las semirrectas.
P
Definimos semirrecta como:
La porción de recta limitada por un punto
SEMIRECTA
Ángulo es la porción del plano limitada por dos semirrectas que tienen el mismo origen (vértice)
ÁNGULO
Vértice
Lado
Lado
ANGULO: Es la abertura formada por dos semirectas (lados) que parten de un punto común llamado vértice
Vértice
Este es el ángulo AOB
Este es el mismo ángulo AOB sin importar si se prolongan más allá las rectas que lo forman.
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Medida de ángulos
Los ángulos pueden medirse en tres sistemas: Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG)
Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD)
Radianes (En la calculadora MODE RAD)
Ángulo completo
Ángulo llano
Ángulo recto
Un grado
Un minuto
SEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60”
CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s
RADIANES 2 /2
SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS)
o1 GRADO : MINUTO : '1 SEGUNDO : "1
'o 601 "' 601 "o 36001
1vuelta=o360
EQUIVALENCIAS
Hay 360 ángulos como este entre dos divisiones consecutivas
Este ángulo, en particular, se dice que mide 1º (un grado), y que corresponde a un ángulo entre los 360 que se pueden construir en la circunferencia.
Dividamos el perímetro de una circunferencia en 360 partes iguales...
GRADOS SEXAGESIMALES
SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS)
g1 GRADO : MINUTO : m1 SEGUNDO :
s1
g m1 100 m s1 100
1vuelta=g400
EQUIVALENCIAS
SISTEMA RADIAL(SISTEMA CIRCULAR)
UN RADIÁN ES LA MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL QUE SUBTIENDE EN CUALQUIER CIRCUNFERENCIA UN ARCO DE LONGITUD IGUAL AL RADIO.
.. 1rad
1vuelta 2 rad o ' ''1rad 57 17 45
R
R
R)
EN ESTE SISTEMA LA UNIDAD DE MEDIDA ES EL RADIÁN.
A todo esto, ¿qué es el número p? ¿cuánto vale?
p = 3.141592653 (aproximadamente, faltan decimales)
0 1 2 3 4p
GRADO
MINUTO
SEGUNDO
60
60
MULTIPLICAR
DIVIDIR
34º 25’ 48’’
Esta medida está expresada en FORMA COMPLEJA, porque está expresada en distintas unidades.
Estas otras medidas también están expresadas en FORMA COMPLEJA.
14º 42’ 27’ 54’’
12.543”
Esta medida está expresada en FORMA INCOMPLEJA, porque está expresada en una sola unidad.
Estas otras medidas también están expresadas en FORMA INCOMPLEJA.
23º 543’
PASO DE INCOMPLEJO A COMPLEJO
Vamos a expresar 425’ en forma compleja
425’ 6005 7
425’ =
son gradosson minutos
7º 5’
Vamos a expresar 64.252” en forma compleja
64252 ” 6010 4 05 7
0 20
560
174 0 705
2
son gradosson minutos
son segundos
64.252” = 17º 50’ 52”
PASO DE COMPLEJO A INCOMPLEJO
Vamos a expresar 12º 48’ 54” en incomplejo de segundos
12º a segundos 12º . 60 . 60 = 43.200 “
48’ a segundos 48’ . 60 = 2.880 “
54” a segundos 54” = 54 “
46.134 “
Luego 12º 48’ 54” = 46.134”
Equivalencia de ciertos ángulo
¿Cómo es la conversión de grados a radianes?
360º = 2 p radianes
si esta igualdad la dividimos por 360 nos queda que
360 x 1º = 2 p radianes
1º =360
2p radianes180
p radianes=
Y por supuesto
1 radián = 180p
grados
Sabemos que
1º180
p radianes= = 0,01745 radianes
Por lo tanto si un ángulo mide 37º su conversión a radianes es de:
37º = 37 x 0.001745 radianes = 0,6457 radianes
1 radián = 180p
grados= 57,295 grados
Por lo tanto si un ángulo mide 1,5 radianes su conversión a grados es
1,5 radianes = 1,5 x 57,295 = 85.94 grados = 85,94º
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Expresa los siguientes ángulos en los tres sistemas de medida
S.sexagesimal 60 º 210º
S. centesimal 50g 60g 100g
Radianes 2π/3 5π/6
S.sexagesimal 140º 240º
S. centesimal 350g 90g 25g
Radianes 7π/8 3
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Ángulos en los tres sistemas de medida
S.sexagesimal 60 º 45º 120º 54º 210º 90º 150º
S. centesimal 66g 66m
66s 50g 133g 33m
33s 60g 233g 33m
33s 100g 166g 66m
66s
Radianes
S.sexagesimal 140º 315º 157º 30’ 81º 240º 22º 30’ 171º 53’14”
S. centesimal 155g 55m
55s 350g 175g 90g 266g 66m
66s 25g 190g 98m
59s
Radianes 3
3
4
10
36
7
2
3
26
5
8
718
144
720
93
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CLASIFICACIÓN
DE LOS
ÁNGULOS
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICOEL ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SE OBTIENE GIRANDO UN RAYO ALREDEDOR DE SU ORIGEN.
SENTIDO DE GIRO HORARIO
SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO
OA : LADO INICIAL
)O
A
B
<
)<
POSITIVO
)<
NEGATIVO
OB : LADO FINALO: VÉRTICE
ÁNGULO AGUDO
Mide más de 0º y menos de 90º
ÁNGULO RECTO
Ángulo que mide 90º. Se simboliza, en la figura, con un pequeño cuadrado donde están ubicados los 90º
Se dice que las líneas son perpendiculares.
ÁNGULO OBTUSO
Mide más de 90º y menos de 180º
ÁNGULO LLANO
Ángulo llano es el formado por dos semirrectas que tienen el mismo origen y sentidos opuestos
El ángulo llano tiene un valor de 180º, es decir dos rectos.
ÁNGULO COMPLETO
Mide 360º
RELACIONES
ENTRE
ÁNGULOS
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Son los que suma 90º
ab
a + b = 90º
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Son los que suma 180º
ab
a + b = 180º
ÁNGULOS CONSECUTIVOS
Son los que tienen el vértice y un lado comunes.
1
2
El ángulo 1 y el ángulo 2 son consecutivos
ÁNGULOS ADYACENTES
Son aquellos que son consecutivos y que el lado no común está en la misma recta.
1
2
El ángulo 1 y el ángulo 2 son adyacentes. Y Suman 180º
ÁNGULOS ADYACENTES
Son los que tienen un lado común y el otro lado sobre una misma recta
Suman 180º
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
ab
Los ángulos opuestos por el vértice miden lo mismo
a = b
1 2
3
7
65
4
8
L
M
L // M
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
1 2
3
7
65
4
8
L
M
L // M
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
Ángulos Correspondientes
< 1 y < 5
< 2 y < 6
< 3 y < 7
< 4 y < 8
1 2
3
7
65
4
8
L
M
L // M
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
Ángulos Alternos Internos
< 3 y < 6
< 4 y < 5
1 2
3
7
65
4
8
L
M
L // M
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
Ángulos Alternos Externos
< 1 y < 8
< 2 y < 7
180º
90º
Suma de ángulos
AOB + BOC =
COB + BOA =
DOA = BOC
DOB = AOC
120º ?
? ?
???
?
Resolver
Si a = b/2 ¿cuánto valen los otros ángulos?
ab
? ?
???
?