Prof. Jonathan Brenes S. 1

TRIGONOMETRÍA

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y

los ángulos de los triángulos. Etimológicamente la palabra trigonometría proviene del griego

Tri (tres), gono (ángulos) y metría (medida); con lo cual significa “medida de tres ángulos”

o “medida de triángulos”.

Para el estudio de dichas relaciones entre lados y ángulos se utilizan triángulos rectángulos

como el siguiente.

A partir de él, se definen las razones (fracciones) trigonométricas.

Seno de α = 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

Coseno de α = 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

Tangente de α = 𝑡𝑎𝑛(𝛼) = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

Cosecante de α = 𝑐𝑠𝑐(𝛼) = 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

Secante de α = 𝑠𝑒𝑐(𝛼) = 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

Cotangente de α = 𝑐𝑜𝑡(𝛼) = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

Prof. Jonathan Brenes S. 2

Es común dibujar tales triángulos sobre un plano cartesiano, dentro de una circunferencia

trigonométrica.

Circunferencia trigonométrica.

Es una circunferencia en un plano cartesiano con centro en el origen de coordenadas, asociada

a un círculo de radio una unidad. Es utilizada para estudiar las razones y funciones

trigonométricas.

En trigonometría los ángulos pueden tener medidas superiores a 180°, diferente a Geometría

plana.

Ángulos

Un ángulo es una porción de plano que está limitada por dos rayos que parten de un mismo

punto.

Los ángulos se miden en grados o radianes.

Prof. Jonathan Brenes S. 3

Para pasar de grados a radianes se utiliza la fórmula.

Ejemplo.

Convertir 150º en radianes.

Radianes = 150°𝜋

180°

= 5𝜋

6

Para pasar de radianes a grados se utiliza la fórmula.

Ejemplo.

Convertir 3𝜋

2 rad en grados.

Grados =

3𝜋

2 ∙180°

𝜋

= 270°

También puede tomar en cuenta que 𝜋 equivale a 180º.

Ejemplo.

Convertir 2𝜋

3 rad a grados.

⅔𝜋 𝑟𝑎𝑑 = ⅔ · 180° = 120°

Prof. Jonathan Brenes S. 4

Ángulo en posición estándar o posición normal: Ángulo cuyo lado inicial está sobre el

semi-eje x positivo.

Positivo: Ángulo en posición estándar cuyo recorrido es contrario al de las manecillas del

reloj.

Prof. Jonathan Brenes S. 5

Negativo: Ángulo en posición estándar cuyo recorrido es en el mismo sentido al de las

manecillas del reloj.

Cuadrantal: Ángulo en posición estándar cuyo lado terminal queda ubicado sobre uno de

los semi-ejes coordenados.

Para que un ángulo sea cuadrantal debe cumplirse que al dividir su mediada por 90º resulte

un número entero.

Prof. Jonathan Brenes S. 6

Ángulos Coterminales: Ángulos en posición estándar que tienen el mismo lado terminal.

Para que dos ángulos sean coterminales, al restar sus medidas y dividirla por 360º debe dar

un número entero.

Ángulo de referencia: Un ángulo de referencia de un ángulo en posición estándar no

cuadrantal, es aquel ángulo cuyo lado inicial es el terminal del ángulo dado y su lado final

está sobre el semi-eje x positivo o negativo. El ángulo de referencia es siempre agudo y

positivo.

Sea α un ángulo dado, no cuadrantal, y de medida entre ]0, 360°[, su ángulo de referencia δ

está en función del lado terminal de α de la siguiente forma.

Si 𝛼 ∈ ]0,𝜋

2[ Si 𝛼 ∈ ]

𝜋

2, 𝜋[

𝛿 = 𝛼 𝛿 = 180° − 𝛼

Prof. Jonathan Brenes S. 7

Si 𝛼 ∈ ]𝜋,3𝜋

2[ Si 𝛼 ∈ ]

3𝜋

2, 2𝜋[

𝛿 = 𝛼 − 180° 𝛿 = 360° − 𝛼

Prof. Jonathan Brenes S. 8

Identidades Trigonométricas

tan(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

cos (𝑥) 𝑠𝑒𝑐(𝑥) =

1

𝑐𝑜𝑠 (𝑥)

csc(𝑥) = 1

sen(𝑥) 𝑐𝑜𝑡(𝑥) =

1

𝑡𝑎𝑛(𝑥)=

cos (𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Pitagóricas

𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) = 1

𝑠𝑒𝑐2(𝑥) − 𝑡𝑎𝑛2(𝑥) = 1 ⇒ 𝑡𝑎𝑛2(𝑥) + 1 = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)

𝑐𝑠𝑐2(𝑥) − 𝑐𝑜𝑡2(𝑥) = 1 ⇒ 𝑐𝑜𝑡2(𝑥) + 1 = 𝑐𝑠𝑐2(𝑥)

Suma y diferencia de ángulos.

𝑠𝑒𝑛(𝑥 ± 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos (𝑦) ± cos (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑦)

𝑐𝑜𝑠(𝑥 ± 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)cos (𝑦) ∓ sen (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑦)

𝑡𝑎𝑛(𝑥 ± 𝑦) =tan (𝑥) ± tan (𝑦)

1 ∓ tan (𝑥)tan (𝑦)

De ángulo opuesto

𝑠𝑒𝑛(−𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⇒ csc(−𝑥) = −csc (𝑥)

𝑐𝑜𝑠(−𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) ⇒ sec(−𝑥) = sec (𝑥)

𝑡𝑎𝑛(−𝑥) = −𝑡𝑎𝑛(𝑥) ⇒ cot(−𝑥) = −cot (𝑥)

De ángulo complementario

𝑠𝑒𝑛 (𝜋

2− 𝑥) = cos (𝑥) ⇒ 𝑐𝑠𝑐 (

𝜋

2− 𝑥) = sec (𝑥)

𝑐𝑜𝑠 (𝜋

2− 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⇒ 𝑠𝑒𝑐 (

𝜋

2− 𝑥) = csc (𝑥)

𝑡𝑎𝑛 (𝜋

2− 𝑥) = cot (𝑥) ⇒ 𝑐𝑜𝑡 (

𝜋

2− 𝑥) = tan (𝑥)

Prof. Jonathan Brenes S. 9

Funciones Trigonométricas

Seno

𝑓: ℝ → [−1,1], con 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥).

Propiedades:

Ámbito: [-1,1]

Intersección con el eje 𝑥: (𝑘𝜋, 0), con 𝑘 ∈ ℤ.

Intersección con el eje y: (0,0)

Periodo: 2𝜋

Coseno

𝑓: ℝ → [−1,1], con 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥).

Propiedades:

Ámbito: [-1,1]

Intersección con el eje 𝑥: (2𝑘+1

2𝜋, 0), con 𝑘 ∈ ℤ.

Intersección con el eje y: (0,1)

Periodo: 2𝜋

Prof. Jonathan Brenes S. 10

Tangente

𝑓: ℝ − {2𝑘+1

2𝜋, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ} → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛(𝑥).

Propiedades:

Ámbito: ℝ

Intersección con el eje 𝑥: (𝑘𝜋, 0), con 𝑘 ∈ ℤ.

Intersección con el eje y: (0,0)

Periodo: 𝜋

𝑓 es estrictamente creciente en todo su dominio.

Asíntotas en 𝑥 =2𝑘+1

2𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ.

Prof. Jonathan Brenes S. 11

Cosecante

𝑓: ℝ − {𝑘𝜋, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ} →] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[, 𝑓(𝑥) = 1

𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 𝑐𝑠𝑐(𝑥).

Propiedades:

Ámbito: ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[

Intersección con el eje 𝑥: No tiene.

Intersección con el eje y: No tiene.

Periodo: 2𝜋

Asíntotas en 𝑥 = 𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ.

Prof. Jonathan Brenes S. 12

Secante

𝑓: ℝ − {2𝑘+1

2𝜋, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ} →] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[, 𝑓(𝑥) =

1

𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(𝑥).

Propiedades:

Ámbito: ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[

Intersección con el eje 𝑥: No tiene.

Intersección con el eje y: (0,1).

Periodo: 2𝜋

Asíntotas en 𝑥 =2𝑘+1

2𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ.

Prof. Jonathan Brenes S. 13

Cotangente

𝑓: ℝ − {𝑘𝜋, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ} → ℝ, 𝑓(𝑥) = 1

𝑡𝑎𝑛(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡(𝑥).

Propiedades:

Ámbito: ℝ

Intersección con el eje 𝑥: (2𝑘+1

2𝜋, 0), con 𝑘 ∈ ℤ.

Intersección con el eje y: No tiene.

Periodo: 𝜋

Asíntotas en 𝑥 = 𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ.

Prof. Jonathan Brenes S. 14

Arcoseno

𝑓: [−1,1] → [−𝜋

2,

𝜋

2], con 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛−1(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥).

Nota: El inverso multiplicativo (o recíproco) de 𝑠𝑒𝑛(𝑥) es 𝑐𝑠𝑐(𝑥). El criterio inverso de

𝑠𝑒𝑛(𝑥) es 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥).

Arcocoseno

𝑓: [−1,1] → [0, 𝜋], con 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠−1(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥).

Prof. Jonathan Brenes S. 15

Arcotangente

𝑓: ℝ → ]−𝜋

2,

𝜋

2[, con 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛−1(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥).

Asíntotas en 𝑦 =±𝜋

2

Prof. Jonathan Brenes S. 16

Práctica

1. Considere un ángulo 𝛼 en posición estándar, tal que su lado terminal se encuentra en el

tercer cuadrante. Si 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = −√7

4. Calcule, usando identidades trigonométricas, el valor

exacto de:

a) 𝑐𝑜𝑠(2𝛼)

b) 𝑠𝑒𝑛 (𝜋

3− 𝛼)

c) 𝑡𝑎𝑛 (𝜋

3− 𝛼)

2. Determine el valor exacto de 𝑡𝑎𝑛 (7𝜋

12), usando identidades trigonométricas y considerando

que 7𝜋

12=

𝜋

3+

𝜋

4.

3. En la circunferencia trigonométrica el valor de 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = |𝑥|, si 𝑡𝑎𝑛(𝛼) < 0, determine:

a) Cuadrante en el que se ubica el lado terminal de 𝛼.

b) cos (𝜋 − 𝛼)

4. Simplifique los siguientes criterios de funciones definidas en su dominio máximo con

codominio ℝ.

a) 𝑓(𝑥) = tan2(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)csc (𝑥)

b) 𝑔(𝑥) = (1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥))(1 + 𝑠𝑒𝑛2(𝑥))

c) ℎ(𝑥) = cos4(𝑥)−𝑠𝑒𝑛4(𝑥)

1−𝑡𝑎𝑛4(𝑥)

d) 𝑗(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)[sec2(𝑥)−𝑡𝑎𝑛2(𝑥)]+𝑠𝑒𝑛2(𝑥)[csc2(𝑥)−cot2(𝑥)]

[𝑠𝑒𝑛(𝑥)+cos (𝑥)]2+[𝑠𝑒𝑛(𝑥)−cos (𝑥)]2

e) 𝑘(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)[cot(𝑥)−csc (𝑥)]

cot(𝑥)+csc (𝑥)+ 1

5. Grafique las funciones que se presentan a continuación.

a) 𝑓: [100𝜋, 102𝜋[ → ℝ, con 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

b) 𝑔: [−9𝜋, −7𝜋] → ℝ, con 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

c) ℎ: ]−7𝜋

2,

−5𝜋

2[ → ℝ, con ℎ(𝑥) = tan (𝑥)

d) 𝑖: ]2𝜋, 3𝜋[ → ℝ, con 𝑖(𝑥) = csc (𝑥)

Prof. Jonathan Brenes S. 17

e) 𝑗: [0,1] → ℝ, con 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥).

6. En cada caso escriba el nombre de la función trigonométrica a la cual hace referencia el

enunciado.

a) (200𝜋, 0) es una intersección con el eje 𝑥.

b) Es estrictamente decreciente en todo su dominio.

c) Tiene dos asíntotas horizontales.

d) Si 𝛼 = 45°, 𝑔(𝛼) = 1.

7. Considere la función 𝑓: ℝ − {𝑘+1

2𝜋, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ} → ℝ, con 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(𝑥). Determine:

a) Un intervalo para el cual la gráfica de 𝑠𝑒𝑐(𝑥) es convexa.

b) Un intervalo donde 𝑓 es estrictamente creciente si 𝑥 ∈ ]−31𝜋

2,

−29𝜋

2[

c) La ecuación de la asíntota vertical si 𝑥 ∈ ]10𝜋, 12𝜋[