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LA OMNIPRESENCIA DEL CAOS

CARLES SIMÓ TORRES

Real Academia de Ciencias

RESUMEN

La mayor parte de la actividad humana y, de maneramuy especial, todos los temas de la Ciencia y la Tecnolo-gía, se basan en la utilización de modelos matemáticos de-terministas que describen cómo se rigen los fenómenosnaturales. Sin ese carácter determinista, incluso nosotrosno existiríamos. La parte de la matemática denominada Sis-temas Dinámicos sirve para entender el comportamientoobservado y predecirá bien demostrar por qué no pueden ha-cerse buenas predicciones cuando se estudia un cierto fe-nómeno. Siguiendo ideas que se remontan, como míni-mo, a Henri Poincaré, en los últimos treinta años se hadescubierto que \a falta depredecibilidad o caos no es de-bida al uso de un modelo matemático inadecuado, sino quees intrínseca a la misma naturaleza de las leyes determi-nistas. En estas notas se van a exponer las causas del caosen los sistemas deterministas, cómo entenderlo de formageométrica simple, sus consecuencias y, por último, cuáles la razón de su omnipresencia en mayor o menor cuan-tía en todos los fenómenos de la naturaleza.

INTRODUCCIÓN

El conocimiento de las llamadas leyes de la naturaleza,que rigen los sistemas físicos (y, por tanto, también lossistemas biológicos) ha sido posible gracias a la observación,experimentación y modelización. Es en este último puntoen donde las medidas de distintas magnitudes efectuadasdurante los experimentos u obtenidas de la observación,se relacionan mediante fórmulas matemáticas. Dichas fór-mulas pueden ser intuidas por científicos clarividentes,sugeridas por consideraciones teóricas o por analogía conhechos similares.

Típicamente, cuando estudiamos fenómenos dinámi-cos (esto es, en los que las diversas magnitudes evolucio-nan con el tiempo) esas fórmulas se expresan mediante lasllamadas ecuaciones diferenciales, que nos dan la velocidadde variación de las magnitudes con el tiempo en funciónde los valores que toman las mismas en cada instante y,

eventualmente, del propio tiempo. Se está postulando asíun determinismo en la evolución de la naturaleza o del fe-nómeno estudiado. Si el modelo es suficientemente fiable,un puro razonamiento matemático (con la eventual ayu-da del ordenador) debe permitir predecir el estado del sis-tema a partir del estado en un cierto instante de tiempo.Si la predicción no se ajusta a la realidad (como sucede amenudo, por ejemplo en meteorología, en las prediccio-nes sobre la evolución de la población mundial o en loque se refiere a cuándo y con qué intensidad se producecierta lluvia de estrellas) estaremos inclinados a creer que elmodelo no es correcto o que tiene tal complejidad {es decir, tan-tas variables interdependientes) que cualquier intento dedescribirlo en términos matemáticos va a resultar fallido.

La importancia de la mal llamada teoría del caos radicaen que muchos sistemas, aun extremadamente simples, ma-nifiestan una notable inestabilidad intrínseca cuyo efectopuede describirse como enorme amplificación de pequeñoserrores iniciales. En lenguaje matemático se habla de de-pendencia sensible a condiciones iniciales, que es el térmi-no correcto que habría que utilizar en lugar de teoría delcaos. En cierto modo, el sistema, aunque se admita que esdeterminista, se comporta de manera que parece aleatorio.Diferencias en el estado inicial, menores que la precisiónde las medidas, tienen efectos importantes. Así pues, mo-delos muy sencillos pueden dar lugar a dinámicas apa-rentemente complicadas e impredecibles (al menos par-cialmente).

Sin embargo, los esfuerzos realizados en las últimas dé-cadas, basados ya en la obra pionera de Henri Poincaré,han permitido entender gran parte de esa dinámica caó-tica, y sentar las bases y la metodología para avanzar en lacomprensión. Una herramienta esencial consiste en con-siderar la evolución de un sistema como una curva reco-rrida a lo largo del tiempo en el llamado espacio de fases.De esa forma, problemas dinámicos se pueden interpretary entender desde un punto de vista geométrico. El papel quehan desempeñado las técnicas numéricas y gráficas imple-mentadas en ordenadores, como una herramienta experi-mental más, ha sido y es sumamente importante, siem-pre que se verifique, contrastando con la observación

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auténticamente experimental, la fiabilidad del modelo uti-lizado.

A lo largo de estas notas se van a exponer las causas delcaos en los sistemas deterministas, cómo entenderlo de for-ma geométrica simple, sus consecuencias y, por último,cuál es la razón de su omnipresencia en mayor o menorgrado en todos los hechos de la naturaleza. Las inestabili-dades locales junto a la realimentación del sistema debidaa términos no lineales, son la clave para la comprensión delcaos.

El «redescubrimiento» por E. N. Lorenz, para sistemasdisipativos, y por M. Hénon y C. Heiles, para conserva-tivos, de la existencia de regiones de dinámica caótica ha mar-cado el último tercio del siglo XX. El hecho era conocidopor algunos matemáticos que trabajaban en Sistemas Di-námicos siguiendo la línea de pensamiento iniciada, bási-camente, por Poincaré. También, de forma empírica, porexperimentalistas que, no hallando explicación razonablea los comportamientos observados, lo atribuían a ruidoaleatorio en el sistema.

Por una parte, los modelos deterministas eran cuestiona-dos. Por otra, se tomaba como paradigma que modelos sen-cillos deberían tener comportamiento simple y que la pre-sencia de dinámicas complicadas no podía ser debida másque a modelos complejos. La evidencia y el análisis mues-tran hoy que la situación es muy distinta, y que la com-plejidad At la dinámica tiene que ver con la estructura geo-métrica del espacio de fases, independientemente de que elnúmero de variables involucradas sea 3 o 3 millones.

El papel preponderante que desempeñan los términosno lineales en los modelos matemáticos sirve también paraponer en guardia sobre extrapolaciones respecto a otras si-tuaciones conocidas. Esas extrapolaciones pueden ser to-talmente injustificadas y llevar a conclusiones erróneas.Ello es especialmente sensible en temas que afectan el fu-turo de la Humanidad. La contaminación, la evolución cli-mática, la insuficiencia de alimentos o la superpoblación,por citar algunos temas candentes, deben estudiarse deforma profunda y rigurosa. No hay que dejarse influir porcatastrofistas ni hay que actuar con comportamientos in-conscientes. Los esfuerzos deben centrarse primero en com-prender las posibles evoluciones y las causas de unas yotras, para poder actuar de la mejor forma posible. En-vueltos en polémicas estériles, no parece que se avance enabsoluto en la dirección correcta: la que marca la com-prensión y análisis del problema.

Las figuras 1 y 2 corresponden a simulaciones del llamadomodelo estacional de Lorenz de 1984 (Lorenz 84 season mo-del). Este describe, de forma muy esquemática, algunos delos mecanismos que influyen en la climatología de la Tie-rra cuando se tienen en cuenta las variaciones con las dis-tintas estaciones. El modelo depende de diversos pará-metros. En la figura 1 se muestra una solución periódicaestable. Ligeros cambios en los parámetros llevan a casos,como en la figura 2, para los que la situación es caótica.En esa figura se muestra una proyección, en dos dimen-siones, de los puntos que representan el estado del sistema

a intervalos de tiempo regulares. Aunque ahora se tiene unafuerte dependencia de la evolución del estado del sistemarespecto a las condiciones iniciales, se observan rasgos encomún en las dos figuras, como si la dinámica caótica seobtuviera ensanchando y difuminando la dinámica regularanterior. Existe un esqueleto geométrico en común en las dosfiguras, formado por órbitas que no son visibles en lasmismas (de hecho, se trata de órbitas inestables).

Podemos formularnos la siguiente pregunta: El hechode que existan comportamientos caóticos en sistemas in-cluso muy simples, y que en sistemas que dependan devarios parámetros existan valores de los mismos para los queuna cierta componente caótica aparece de forma inevita-ble (las llamadas rutas hacia el caos), ¿es bueno o es malo?

La respuesta es muy sencilla: simplemente «es». Las co-sas son así y, en principio, no cabe atribuirles ninguna ca-racterística de «bondad» o «maldad». Lo importante esque hayamos reconocido su existencia y podamos obrar enconsecuencia. En realidad, si alguna cualidad cabe atri-buirle, es la de bondad. En efecto, se abren más posibili-dades cuando la dinámica es más rica. Sabiendo cómo y porqué sucede una cosa, estamos en condiciones de aprove-charla o de prevenirla. Existen actualmente distintos pro-

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cedimientos para controlar o estabilizaré caos. Por otra par-te, diversas misiones espaciales se han diseñado usandouna especie de billar cósmico que se basa en las mismasideas geométricas que permiten la comprensión del caos.Desde el punto de vista industrial, una dinámica caóticapuede permitir, por ejemplo, efectuar mezclas de sustan-cias con un coste energético mucho menor.

En resumen, lo que ha salido reforzado es el conoci-miento. Este es, precisamente, el punto clave que se in-tenta transmitir con el ciclo de conferencias del que for-ma parte la presente exposición. En las notas que siguena continuación se transcriben y amplían las ideas esen-ciales esbozadas de forma oral, utilizando la misma líneaexpositiva.

LOS FENÓMENOS QUE SE CONSIDERAN

Los fenómenos que son susceptibles de estudiarse me-diante modelos matemáticos son muchísimos, pero no to-dos. Abarcan prácticamente todas las áreas de las ciencias ex-perimentales y de la tecnología, esto es, todos los fenómenosen los que se sigue una relación unívoca de causa a efecto.Si sometemos una viga apoyada en sus extremos a ciertas car-gas, va a flexar de cierta forma perfectamente bien defini-da. Para simplificar, podemos ignorar {o, de forma más co-rrecta, estimar y, si es adecuado, menospreciar) efectos comola heterogeneidad del material de que está hecha la viga,los efectos de fatiga, las irregularidades locales, el cambio delas propiedades mecánicas debido a efectos térmicos, etc.

Por el contrario, ciertos fenómenos económicos, socia-les o de conducta de organismos vivos pueden no ser ob-jeto de estudio matemático bien definido. Ello puede ser de-bido a ignorancia o a una imposibilidad práctica de conocertodashs causas que influyen en el fenómeno. En el ejem-plo de la conducta, el conocimiento de las estructuras ce-rebrales del organismo, la totalidad de experiencias queha vivido, su estado físico, etc., posiblemente podrían ayu-dar a entender su comportamiento, pero su predicciónprecisa me parece (¡afortunadamente!) no factible.

Volviendo a fenómenos mucho más simples, relaciona-dos con propiedades de la materia inerte, el primer pasoque hay que dar para poder matematizar un hecho físicoes detectar ciertas magnitudes que lo describan de la ma-nera más completa posible. En casos sencillos, como elmovimiento de los astros del sistema solar, una primera des-cripción se obtiene con el conocimiento de la posición yvelocidad de su centro de masas en cierto instante de tiem-po. Un detalle mayor requiere el conocimiento de su orien-tación, como cuerpo sólido, su forma, los materiales quelo componen y las propiedades mecánicas de los mismos, etc.Una vez aisladas las magnitudes relevantes (en ese ejem-plo consideraríamos posición y velocidad) hay que me-dirlas. La medición precisa puede no ser una tarea fácil.

Si queremos medir dónde está y con qué velocidad semueve el centro de masas de la Luna respecto al centrode masas de la Tierra, nos encontramos con que se trata

de magnitudes no accesibles directamente. Habrá que me-dir la distancia desde cierto punto de la superficie de la Tie-rra a cierto punto de la superficie de la Luna, intentar es-timar las posiciones de dichos puntos respecto a losrespectivos centros de masas, teniendo en cuenta inclusolas deformaciones de las cortezas debidas a efectos de ma-rea (menores en tierra firme que en los mares, pero presentesen todo caso). La velocidad no se podrá medir tampocodirectamente (mediciones Doppler pueden permitirconocer la velocidad radial de un punto respecto al otro,pero eso no es más que un dato parcial). Habrá que me-dir distancias en distintos instantes de tiempo, tener encuenta la rotación de ambos astros alrededor de susrespectivos ejes, etc., para poder deducir las velocidades re-queridas.

Solventadas todas las dificultades, al menos con el gra-do de precisión que se necesite, estamos en condiciones decaracterizar el estado del sistema estudiado. Ello nos llevade manera natural al siguiente punto.

EL ESPACIO DE FASES

A partir del momento en que somos capaces de medirlas magnitudes que caracterizan el estado del fenómeno quequeremos estudiar podemos, desde el punto de vista abs-tracto, prescindir del problema físico y concentrarnos ensu representación, esto es, la colección de valores numéri-cos obtenidos a partir de la medición.

Un estado queda descrito por un cierto instante de tiem-po (el instante en el que hemos medido o para el que he-mos sido capaces de deducir el estado) y un punto de uncierto espacio, que puede ser U." o un subconjunto delmismo. Aquí n sería la dimensión del sistema. En el casodel movimiento de la Luna alrededor de la Tierra la di-mensión es 6, tres componentes de la posición y tres dela velocidad. Ese es un ejemplo sencillo en que la dimen-sión es finita. Casos más complejos en que la dimensiónno es finita aparecen de manera natural cuando el fenó-meno estudiado queda caracterizado por cierta magnitudo magnitudes en todos los puntos de un cuerpo. Por ejem-plo, un problema térmico requiere el conocimiento de latemperatura en todos los puntos de un cuerpo. Aquí eldato no es un valor (o valores) numérico, sino una funcióndefinida en cierto dominio, el dominio ocupado por elcuerpo. Se trata así de problemas de dimensión infinita. Ob-viamente, aun en ese caso, el número de medidas que to-memos será finito, lo mismo que la representación del es-tado en un programa de ordenador, pero habrá que serconsciente de la verdadera dimensión del problema y es-tudiar cuidadosamente cómo acotar los errores cometi-dos cuando intentamos estimar el valor de la temperatu-ra en un punto en el que no se haya efectuado la medición.Los problemas de meteorología son un ejemplo de pro-blemas en dimensión infinita. Las magnitudes que carac-terizan el estado son temperatura, presión, humedad, com-posición, etc., en los puntos de la atmósfera.

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Seguimos la exposición restringiéndonos al caso de di-mensión finita. El conjunto de los valores numéricos querepresenten todos los posibles estados del sistema se de-nomina espacio de estados o, siguiendo la terminología clá-sica, espacio de fases. Toda evolución del estado del siste-ma tiene su reflejo en una evolución en el espacio de fases,y la variación a lo largo del tiempo puede ser vista comouna curva en el espacio de fases. Esto es muy convenien-te por lo siguiente:

• La descripción de la evolución de un fenómeno sepuede hacer de manera geométrica.

• En la fase de estudio matemático del problema po-demos prescindir del fenómeno concreto, unificandoasí el tratamiento. Conceptualmente, problemas de ci-nética química, de movimiento de astros o de fun-cionamiento de un circuito eléctrico no presentanninguna diferencia entre sí. Ello permite obtener re-sultados de validez general.

• Se pueden considerar simultáneamente todos los po-sibles comportamientos del sistema. En particular, sepuede estudiar el efecto de pequeños cambios en losdatos iniciales para ver su influencia al cabo de uncierto tiempo. Así pueden detectarse fácilmente cuá-les son las causas que originan efectos aparentementecaóticos.

• Es posible ampliar t\ espacio de fases para que contengapuntos que no representan ninguna situación física real,pero cuyo conocimiento puede permitir comprendercomportamientos que, de otra manera, pareceríaninexplicables. Ello puede requerir la inclusión de ca-sos límite o singulares, de valores complejos o la con-sideración del tiempo como una variable compleja.

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA

Consideramos fenómenos que evolucionan con el tiem-po, siendo las soluciones estacionarias o estados de equi-librio un caso particular de los mismos. El problema dela modelización consiste en describir cuál es la velocidadde variación, respecto al tiempo, de un estado dado comofunción del propio estado y del instante de tiempo con-siderado. Admitir que esa función existe significa admi-tir el determinismo. Un lector puede no estar de acuerdocon esta premisa. Afortunadamente para él, sus célulassí lo están. Si las reacciones químicas que tienen lugar enellas fueran arbitrarias, no podrían cooperar para dar lu-gar a un organismo pluricelular, o incluso desde el pun-to de vista celular la vida no sería posible. Si el estímulorecibido al ver impresa una letra «a» fuera arbitrario, lalectura (y, por extensión, todo tipo de aprendizaje) seríaimposible.

La influencia de causas externas al fenómeno estudiadopuede hacerse mediante esa dependencia temporal o bien,si así se requiere, considerando un sistema más amplioen el que el fenómeno sea mucho más global. Por ejem-

plo, el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra pue-de ser estudiado suponiendo conocidos el movimientodel centro de masas del sistema Tierra-Luna respecto alSol y también los movimientos de los planetas. O, por elcontrario, puede considerarse simultáneamente un pro-blema de n cuerpos en el que los planetas y sus lunas ma-yores se mueven sometidos a las leyes de la gravitación deNewton, y considerar el sistema solar como un sistema ce-rrado sin más influencias externas. O, si se quiere, pode-mos incluir también efectos debidos a la propia galaxia, etc.

Asimismo podemos tener en cuenta correcciones rela-tivistas a los términos newtonianos dominantes; even-tualmente se pueden añadir los efectos de los asteroides ma-yores y los efectos sobre el movimiento del centro de masasde la forma de la Tierra en lugar de considerarla comouna simple masa puntual.

La elaboración de un modelo matemático depende fuer-temente de cuáles sean los objetivos perseguidos, de cuálsea la precisión requerida, etc. En todo caso se trata dellegar a obtener la ley de variación del estado respecto altiempo. En algunos casos, esta ley puede deducirse a par-tir de leyes físicas de carácter más elemental. Es decir, deprincipios simples a partir de razonamientos lógicos. Enotros casos es posible intuir una expresión aproximada apartir de un análisis de las variaciones del estado respec-to al tiempo. Modelos aproximados pueden refinarse me-diante sucesivos pasos de elaboración de modelo, deduc-ción de previsiones y comparación con medidasexperimentales. En ese sentido, las ciencias consideradasduras suelen ser más simples que otras disciplinas, debidoa que se puede recurrir a la experimentación en laborato-rio o al contraste con datos fiables.

Muchas otras disciplinas, como por ejemplo la econo-mía o la sociología, presentan problemas difíciles a causade la falta de modelos adecuados, por la comprensible fal-ta de experimentación en laboratorio para verificar una y otravez los modelos. Si hablamos con propiedad, es dudoso quealgunas disciplinas que se consideran científicas puedanse aceptadas como tales cuando se manifiesta una notableincapacidad en explicar efectos o a causa de la excesivadependencia de los modelos en corrientes de opinión, es-cuelas o modas. Otras, que se aceptan como plenamentecientíficas, pueden, a veces, abusar de esa consideracióntratando de aplicar los modelos matemáticos que las des-criben a situaciones que no han sido validadas por la expe-rimentación. Es útil extrapolaré, conocimiento adquiridoen un caso a otros más cercanos a situaciones límite, perosiendo plenamente conscientes de que toda extrapolacióncomporta dudas sobre la validez del modelo.

En todo caso debe tenerse en cuenta que ningún mode-lo matemático o, si se quiere, ninguna ley que se use para des-cribir el comportamiento de un fenómeno es exacta. Se tra-ta siempre de aproximaciones que pueden ser más a menosútiles, suficientes para obtener la información que se pre-cisa o completamente inútiles. La palabra final sobre lautilidad la tiene la comparación con el fenómeno real,la capacidad para explicar y predecir correctamente.

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Fijémonos en que ese paradigma por excelencia de laciencia, la capacidad de efectuar predicciones, se enfrentaabiertamente al tópico principal de estas notas: la impre-decibilidad en sistemas deterministas que se manifiesta porla omnipresencia del caos. En las secciones siguientes se ve-rán qué cosas son predecibles y cuales no, o si se tiene al-guna predecibilidad parcial.

Por último hay que mencionar, dentro de los modelosmatemáticos, aquellos que no corresponden a ningún fe-nómeno concreto. Su estudio podría ser consideradode interés puramente académico. Sin embargo, muchos deesos modelos pueden ser considerados paradigmas de ca-sos directamente aplicables a situaciones reales. Siguien-do la vieja máxima de divide y vencerás, el matemáticopuede analizar individualmente, en esos paradigmas, to-das las dificultades que aparecen mezcladas en un pro-blema real, entenderlas una a una y pasar luego a estudiarlas posibles maneras de combinarlas. Puede decirse queson modelos de modelos y deben considerarse como unaetapa intermedia en el análisis de un modelo complejo.

En lo que sigue voy a tomar el camino más sencillo. Estoes, voy a analizar sólo las dificultades que aparecen desdeel momento en que se tiene un modelo matemático, ob-viando su contraste con la realidad. Esta es, a fin de cuen-tas, quien tiene la última palabra. Sin embargo, para mu-chos modelos elaborados cuidadosamente, la concordanciaentre las conclusiones del análisis del modelo y lo que se ob-serva en la realidad es sorprendentemente buena.

LAS ECUACIONES: CASOS CONTINUO Y DISCRETO

La traducción de los modelos matemáticos a fórmulasse hace mediante ecuaciones que rigen la dinámica del sis-tema. Siguiendo con modelos de evolución respecto altiempo o evolución temporal nos encontramos con ecuacionesdiferenciales. En su forma más simple son relaciones de laforma:

dx r( \= f{t, x)dt

(1)

x representa el punto del espacio de fases en que el siste-ma se encuentra en el instante tyf{t,x) es la función de ty x que nos dice cómo varía x. La ecuación (1) es la ex-presión matemática de la ley que rige el fenómeno, y lo quese pretende hallar es una función, <p{t) tal que, substitui-da en (1), se satisfaga idénticamente:

La ecuación (1) no basta para determinar la solucióniv(t) unívocamente. Debemos dar también, por ejemplo,el estado del sistema, xa, en un cierto instante t0. Enton-ces denotaremos la solución como cp{t, t0, xa) para tenerconstancia de cuáles son las condiciones iniciales de quepartimos.

Otra restricción que admitiremos en lo que sigue estri-ba en que no toda función fes admisible para que (1) ten-ga solución unívocamente definida. Se requiere una cier-ta regularidad de la misma. Puede bastar, por ejemplo,que/sea continua respecto a las variables ty xy tenga de-rivadas de primer orden, respecto a las componentes de x,que sean también continuas. Sin embargo, para no estardetallando constantemente las condiciones de regulari-dad, supondremos de ahora en adelante que las funciones/que aparezcan son analíticas respecto a todas sus varia-bles, esto es, que coinciden con su desarrollo de Tayloren un cierto entorno.

Si en fno aparece íde forma explícita (esto es, el siste-ma es cerrado y no está influido por causas externas quedependan de t) diremos que el sistema es autónomo:

dxdt = /(*)• (2)

En ese caso, el valor de % siempre puede ser tomado iguala 0 o, en otras palabras, el estado del sistema para el va-lor del tiempo t depende del estado inicial, XQ, y del intervalode tiempo transcurrido t— tg, pero no de los valores con-cretos ZQ y t. En este caso, la solución se escribe simple-mente como q>{t, x[)). También es cierto que todo sistemapuede ser considerado autónomo por el simple proce-dimiento de introducir una variable de estado adicional, s,a la que se impone ds I dt = 1 y s{t0) = t0, con lo que scoincide con t. Entonces el estado viene descrito por unavariable, z, que consiste en considerar x y s conjuntamente,y la ecuación diferencial adquiere un status de la formads I dt = F(z), en donde .F tiene como componentes las def y una componente adicional igual a 1. Sin embargo, ycomo cabe esperar de esa falsa autonomía, los problemasson exactamente los mismos, la dependencia de/respec-to t se halla camuflada, y sólo se trata de un cambio denombre.

Una ecuación como (1) describe un modelo continuo,esto es, tal que la variable revoluciona de forma continuacon t, describiendo así una curva en el espacio de fases E.

En ciertos casos puede ser interesante describir la va-riación del estado de un sistema de forma discreta, espe-cialmente si el sistema es autónomo. Es decir, en lugar deconsiderar la curva (p(t, x^), podemos considerar los valoresque toma para instantes de tiempo que difieran en unacierta cantidad, T. Por ser el sistema autónomo, fijado Tel valor de cp{T, x0) depende sólo de x0. Tenemos así de-finida una aplicación biunívoca, analítica y de inversa ana-lítica, es decir, un difeomorfismo analítico, que se deno-mina también sistema dinámico discreto.

F(x) = Cp(T, x) (3)

El paso del estado en el instante tal t + Fpuede conside-rarse una aplicación estroboscópica: sólo vemos el estadodel sistema en instantes de tiempo separados por un in-tervalo T.

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No es esa la única manera de obtener un sistema discretoa partir de uno continuo autónomo. Otra posibilidad am-pliamente utilizada consiste en la llamada aplicación dePoincaré. Supongamos que el punto inicial, Xg, está en una(hiper)superficie, 2, definida, por ejemplo, por la condi-ción g{x) = 0 en donde g es una función (que seguimos con-siderando analítica por simplicidad) cuya diferencial pri-mera no se anula en ningún punto, de forma que el planotangente a la superficie está definido en todos los puntosde la misma. Supongamos, además, que el vector/"quedefine (2) no pertenece nunca al plano tangente a 2 paraningún punto xtal que gyx) = 0. Esta condición se expre-sa de manera simple imponiendo que los gradientes Vgdela función gy fno sean ortogonales en ningún punto de2. Se dice en ese caso que el campo vectorial definido por_/" y la superficie 2 son transversales. Por último, pedimosque la solución (p{t, x0), que está en 2 para t = 0 vuelva ala superficie para algún t > 0. Sea t*(x0) el mínimo valorde ípara el que eso ocurre. Entonces definimos el punto<£>(?*(*(,),%) como imagen T'(XQ) de XQ por la aplicación dePoincaré'T asociada a la superficie transversal (o sección dePoincaré) 2. Notemos que, mientras que f{x0) # 0 im-plica la existencia de una sección de Poincaré local (esto es,definida en un entorno de x0), la existencia de una secciónglobales mucho más problemática, depende de la topolo-gía del espacio de fases y no puede garantizarse en gene-ral. Si sólo disponemos de secciones locales no tiene porqué existir la imagen de un punto de 2 por T. Sin em-bargo, no entraremos en esos problemas de existencia deT y supondremos que para x E 2 en un entorno de Xg tan-to T como sus sucesivos iterados están definidos.

La ventaja de trabajar con sistemas discretos y, más con-cretamente, con aplicaciones de Poincaré, es que reducenla dimensión en una unidad. Si nos concentramos, comoharemos más adelante, en problemas en los que la di-mensión del espacio de fases es 3, reducimos la dimen-sión local de las secciones de Poincaré a 2, con lo que lasdescripciones son más simples. Conviene tener bien pre-sente que, en el caso de sistemas discretos, dados por (3),un punto representativo del estado del sistema en la sec-ción de Poincaré no se mueve en la misma de forma con-tinua, sino que salta a otro punto de forma discreta. Ellono debe implicar ninguna confusión para el lector.

Además, la mayor parte de ecuaciones diferenciales, sal-vo casos elementales y poco interesantes, o algunos tiposde soluciones que se mencionarán más adelante, no pue-den resolverse de forma explícita por métodos analíticos.Ello significa que debemos proceder a utilizar técnicas nu-méricas, tanto si queremos hallar una solución de (1) o(2) como si queremos calcular una aplicación de Poinca-ré. Como se ha dicho, es útil considerar modelos simplifi-cados de los modelos matemáticos de los fenómenos a es-tudiar. Cabe así el recurso de admitir que conocemosexpresiones explícitas simples de aplicaciones de Poinca-ré y tomarlas como paradigma para conocer sus propie-dades. La simulación numérica de un modelo simplifica-do de una transformación discreta como (3) puede

significar unas pocas decenas de operaciones aritméticas,con lo que es factible (incluso en un PC) llevar a cabo si-mulaciones a un ritmo de varios millones de iterados porsegundo. La situación es más compleja en el caso de ecua-ciones diferenciales, en las que típicamente puede ser yadifícil llegar a un millar de iterados por segundo de unaaplicación de Poincaré.

Por otra parte, es siempre posible pasar de un sistemadiscreto como (3) a una ecuación diferencial como (1)(atención: no autónoma) que dependa de de forma perió-dica (por ejemplo, de período IJI) tal que F[x0) coincidacon cp(2n; 0, xa). En el caso de dependencia 2jr-periódi-ca de^respecto a tla aplicación x —> cp{2ji; 0, x) sólo de-pende de x (pero no reduce dimensión, sólo elimina ladependencia temporal). El paso de sistema discreto a con-tinuo a que se hace referencia aquí, se conoce como sus-pensión, pero no entramos en detalle, ya que no se va a uti-lizar en lo que sigue.

EL ESQUELETO DE LA DINÁMICA

Dada una ecuación diferencial autónoma (2) definiendoun sistema dinámico continuo o una transformación (3)definiendo un sistema discreto, nuestro interés general debecentrarse en comprender cómo sus soluciones u órbitas lle-nan o estructuran el espacio de fases. Ésa parece una tarea com-plicada. Sin embargo, hay que tener en cuenta que la diná-mica se organiza alrededor de ciertos objetos geométricosdel espacio de fases formados por soluciones que desempe-ñan un papel clave. Esos objetos constituyen el llamado es-queleto del sistema. Su conocimiento arroja indicaciones muyimportantes sobre el comportamiento global del sistema.

Las soluciones más simples son los puntos de equilibrio(también llamados puntos fijos o estados estacionarios). Enel caso de ecuaciones diferenciales se caracterizan por cum-plir f[a) = 0, con lo que (p(t,a) = a es una solución paratodo t. En el caso discreto se trata de los puntos a tales queF(a) = a, con lo que todos los iterados, F (a) vuelven a darel mismo punto a.

Soluciones simples son también las periódicas, caracte-rizadas en el caso continuo por la existencia de valores dea y 7"tales que cp{T, a) =a. Para cualquier valor de t G IRbasta hallar un valor de T G (0, 7) tal que t — X sea múl-tiplo de T. Entonces (p{t, a) = q){x, a). El conocimientode la solución para un intervalo de f de longitud Tdeter-mina la solución para todo t. Notemos que, debido al ca-rácter autónomo que estamos suponiendo para la ecuacióndiferencial, el punto inicial, a, puede ser reemplazado porcualquier otro en su órbita, q>(t*, a), para un í*arbitrario.

En el caso discreto, una solución periódica de períodoestricto n se tiene para un punto a para el que existe « E Ntal que F"{a)=a, Fk(a)*a \/\<,k < n. El caso n = 1 se in-cluye como caso particular. Notemos que, definiendo unanueva aplicación discreta ' ]-=F", el estudio de puntos pe-riódicos de ^de período estricto n se reduce al de puntosfijos de'T.

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Es importante también considerar que una órbita pe-riódica de una ecuación diferencial puede verse como unpunto fijo de la correspondiente aplicación de Poincaré.Por el contrario, un punto de equilibrio de una ecuacióndiferencial no puede estar en una sección de Poincaré, yaque en él se pierde toda posible transversalidad. En algu-nos casos, es factible extender el concepto de aplicación dePoincaré para que el punto fijo del campo se vea comopunto fijo de dicha aplicación, pero ese artificio suele aca-rrear pérdida de regularidad y no lo consideramos.

Un conjunto ÍA se llama invariante por (p si cp(t,a) GEÍÁ, Va E í?, Vi G IR. Si ello sólo ocurre para í a O (resp.para t •& 0), hablamos de un conjunto positivamenteinvariante (resp. negativamente invariante). En particular,puntos fijos y órbitas periódicas son casos simples de con-juntos invariantes. Los conjuntos invariantes están for-mados por soluciones, y toda solución que posee un pun-to en un conjunto invariante se halla completamentecontenida en él. De forma análoga se definen conjuntosinvariantes para sistemas discretos.

Conjuntos invariantes simples son también los toros in-variantes. Un toro de dimensión k, T*, se define como elproducto de k circunferencias. Podemos parametrizarlopor £ ángulos, 0,, ..., f?k. Un caso simple e interesante apa-rece cuando la ecuación diferencial sobre el toro inva-riante puede escribirse como d6i/dt=Cú¡, /= 1, ..., k. Losvalores a),son las frecuencias con que giran los distintos án-gulos. Designando el vector de ángulos por 6 y el de fre-cuencias por (tí escribimos dd/dt=(tí de forma más com-pacta. Si todas las frecuencias son múltiplos enteros deun cierto valor, a>,=«,a>0, K , G Z , VZ, entonces todas las so-luciones en el toro son periódicas con período 2JÍ/CD0. Esasituación se conoce como totalmente resonante. En el ex-tremo contrario tenemos el caso no resonante. Aparece sitoda expresión del tipo

con (4)

es distinta de cero excepto en el caso trivial en que todoslos coeficientes k¡ sean nulos. Entonces todas las solucio-nes son densas en T y reciben el nombre de solucionescuasiperiódicas con k frecuencias fundamentales. Por elcontrario, en el caso totalmente resonante es obvio que(4) tiene k - 1 soluciones independientes. Entre un casoy otro se encuentran casos parcialmente resonantes. Si (4)tiene jsoluciones independientes, las soluciones son cua-siperiódicas con k —j frecuencias fundamentales, densasen toros de dimensión k —j contenidos en T*.

Otros conjuntos invariantes y que desempeñan unpapel esencial en la creación de dinámica caótica apare-cerán más adelante. En este punto es oportuno destacarque tanto las soluciones periódicas como las cuasipe-riódicas pueden obtenerse por métodos analíticos encasos simples; es decir, se pueden expresar como seriesde Fourier (en uno o varios argumentos de la forma coi)para las que los coeficientes satisfacen relaciones recu-

Nos preocupa ahora la estabilidad de puntos fijos y ór-bitas periódicas y, por extensión, de cualquier conjunto in-variante. El primer paso consiste en estudiar la estabili-dad lineal. Para un punto de equilibrio de (2) o un puntofijo de (3) basta con linealizar el comportamiento alrede-dor del mismo. En el caso de ecuaciones diferenciales autó-nomas la ecuación que aparece al linealizar es de la forma:

(5)

siendo A una matriz constante. (Ése es el único caso deecuaciones diferenciales que puede «resolverse» siempreexplícitamente). En ese caso la estabilidad para t > 0 re-quiere que todos los valores propios de A tengan partereal menor que o igual a cero. De manera parecida, esta-bilidad para t < 0 requiere parte real mayor que o igual acero, siendo así necesario que la parte real de todos losvalores propios sea nula para tener estabilidad para todot. Notemos que ésas son condiciones necesarias de esta-bilidad, pero no suficientes en general. Sin embargo, sitodos los valores propios de A tienen parte real negativa,se sigue la estabilidad para tiempo positivo, esto es, todasolución que empiece suficientemente cerca del punto deequilibrio tiende hacia él si í —* +°°. Por el contrario, al-gún valor propio de parte real positiva es suficiente paratener soluciones inestables para t > 0.

En el caso discreto basta calcular DF tn el punto fijo.Una condición necesaria para la estabilidad de los itera-dos positivos Fk, k > 0 es que todos los valores propios deZ)/7 tengan módulo menor que o igual a 1. De maneraparecida se tienen los otros casos. Basta un valor propiode módulo mayor que 1 para tener inestabilidad lineal.En el caso de puntos «-periódicos por F, reemplazamos DFpor D{F").

Si volvemos a las ecuaciones diferenciales y considera-mos la estabilidad de órbitas periódicas, podemos recurrira una sección de Poincaré y reducir el problema a la esta-bilidad de un punto fijo de la aplicación de Poincaré aso-ciada. Directamente puede estudiarse la estabilidad comosigue: Consideremos las llamadas ecuaciones variacionalesde primer orden asociadas a la ecuación dxldt = j\x). Estasecuaciones se obtienen linealizando la ecuación diferen-cial alrededor de la solución considerada. Sea (p(t,a) unasolución periódica de período T. Las variacionales se es-criben de esta forma:

dM/dt = DF[cp{t,a))M (6)

rrentes.

donde M es una matrix n x n cumpliendo la condición ini-cial M(t= 0) =/„. Por supuesto, /„ significa la matriz iden-tidad en IR". Si calculamos la matriz M para t = 7"obte-nemos la llamada matriz de monodromía de la órbitaperiódica. La estabilidad se estudia a partir de esa matriz,M(T). Estabilidad para t> 0 requiere que todo valor pro-pio tenga módulo menor que o igual a 1. Todos los demódulo menor que 1 garantiza estabilidad para t > 0. Ade-más, en el caso de órbitas periódicas, la teoría de Floquet

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CARLES SIMÓ TORRES

asegura que el sistema lineal (6) es reducible a coeficientesconstantes, es decir, que un cambio de variables T-perió-dico reduce (6) a una ecuación como (5).

En el caso de toros invariantes y, afortiori, para conjuntosinvariantes arbitrarios, las ecuaciones variacionales dantambién información sobre las propiedades de estabilidadlocal. Pero, en general, no es cierto que se puedan reducira ecuaciones con coeficientes constantes, siendo así mu-cho más difícil dar criterios simples de estabilidad.

En lo que sigue nos restringiremos al caso de inestabi-lidades creadas en puntos fijos de sistemas discretos. To-dos los conceptos se generalizan a objetos invariantes ar-bitrarios y al caso de ecuaciones diferenciales, pero eso noaporta muchas ideas geométricas nuevas. La restricciónque nos imponemos es suficiente para la comprensión delas ideas básicas. Ello nos va a permitir introducir los con-ceptos de punto fijo hiperbólico y de punto fijo normal-mente hiperbólico, que se generalizan a conjuntos inva-riantes arbitrarios. A continuación podremos introducir lasvariedades invariantes estable e inestable asociadas a un ob-jeto hiperbólico. El conjunto de todos los objetos inva-riantes y, en el caso de que sean hiperbólicos (o normal-mente hiperbólicos), sus correspondientes variedadesinvariantes constituyen el esqueleto de la dinámica. Éstepermite predecir la mayor parte de posibles evoluciones delas soluciones.

HlPERBOLICIDAD Y DEPENDENCIA SENSIBLEA CONDICIONES INICIALES

Consideremos un punto fijo, a, de un sistema dinámi-co discreto. No es restrictivo suponer que el punto fijo esel origen a=0. El punto se llama hiperbólico si todo valorpropio, A, de DF{0) tiene módulo distinto de la unidad.Es decir, todas las direcciones alrededor del punto fijo soninestables, sea para iterados positivos Fk, k > 0 (si | X, | > 1)o para negativos Fk, k < 0 (si | A.| <1). Si todos los valorespropios tienen módulo menor (resp. mayor) que 1, ha-blamos de un atractor (resp. un repulsor). Nos interesare-mos en el caso de que existan los dos tipos de valores pro-pios: esto es, de tipo atractor y de tipo repulsor. Cuando,además de valores propios de ambos tipos, hay otros conmódulo igual a la unidad, hablamos de hiperbolicidad nor-mal. Simplemente, a más de un cierto carácter hiperbóli-co, hay direcciones que tienen un comportamiento neutro.

Un resultado importante que asegura que en el caso hi-perbólico basta con considerar la aproximación lineal dela transformación para tener toda la información local, esel siguiente:

Teorema (Hartman). Sea 0 punto fijo hiperbólico deldi-feomorfismo F. Entonces existe un entorno 11 y un ho-meomorfismo h tales que en U el homeomorfismo h conjugala aplicación F con su parte lineal en el punto fijo DF(O). Esdecir: h(F(x)) = DF(O)h(x)) para todoxE lí.

En otras palabras, el comportamiento de Fy DF{0) esel mismo salvo un cambio de variable dado por h. Note-

mos que, en general, h sólo es un homeomorfismo, y nose puede pedir ninguna propiedad de diferenciabilidad. Elnúmero de valores propios de módulo mayor que 1 bas-ta para decidir si dos puntos fijos hiperbólicos en la mis-ma dimensión son conjugados: salvo cambios de variablese comportan localmente de la misma manera.

Si existen valores propios de módulo exactamente 1,entonces el estudio de la estabilidad en esas direccionesneutras requiere términos no lineales. La parte lineal nopuede dilucidar el carácter estable o inestable. Es más,puede suceder que si sólo consideramos la parte lineal, elsistema se comporte como estable y que los términos nolineales inestabilicen, y al revés, que la parte lineal sea ines-table y los términos no lineales se encarguen de estabilizar.

La hiperbolicidad, en el caso de tener tanto valores pro-pios de módulo mayor que 1 como menor que 1, está aso-ciada, localmente, a una inestabilidad de tipo exponencial.En efecto, supongamos por simplicidad que estamos en di-mensión 2 y que los valores propios valen 2 y 1/3. Unpunto en la dirección de un vector propio inestable (de va-lor propio 2) y a distancia inicial ¿/del punto fijo se ale-jará del mismo como dx 2kdespués de ¿iterados (al me-nos mientras la distancia sea suficientemente pequeña y lostérminos dominantes sigan siendo los lineales). Por el con-trario, la distancia se comportará como dx 3 si hacemos£ iterados por la aplicación inversa, F~\ y hemos tomadoel punto inicial en la dirección de un vector propio de va-lor propio 1/3.

Notemos que ese crecimiento exponencial de la distanciada lugar a la llamada dependencia sensible a condiciones ini-ciales. En general, diremos que un punto x tiene depen-dencia sensible a condiciones iniciales si existe una cier-ta distancia <5 > 0 tal que para toda distancia inicial £ > 0,que puede ser arbitrariamente pequeña, existen un pun-to y y un valor de n E N tales que d(x, y) < £ pero d(F'"{x),Fm(y))>6 para algún 0 < m < n. Esto significa que existenpuntos arbitrariamente próximos a x tales que los iteradosacaban separándose de los correspondiente iterados de xen una cantidad finita, ó.

Queda claro que podemos pensar en el valor de E comoun error en la medida de la posición del punto xen el es-pacio de fases. Por pequeño que sea, al cabo de un ciertotiempo (o, en el caso discreto, al cabo de un cierto nú-mero de iterados) el error se ha amplificado hasta una cier-ta cantidad d. Toda hiperbolicidad lleva asociada depen-dencia sensibley, recíprocamente, toda dependencia sensiblese origina en algún tipo de hiperbolicidad, que puede serparcial o débil. Una hiperbolicidad débil no se detecta enlos términos lineales, sino en los de orden superior, pero,topológicamente, sus efectos son los mismos. Es más di-fícil de detectar, pero existen procedimientos (las llama-das formas normales) que permiten el estudio sistemático.

El concepto de hiperbolicidad se generaliza a conjuntosinvariantes arbitrarios ÍÁ. La idea básica es que existen di-recciones en las que los iterados sucesivos de F producenque puntos cercanos a CA se alejen del mismo, y otras di-recciones en las que tales puntos se acercan a él.

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DIMENSIÓN 3 o MAYOR EN EL CASO CONTINUO(2 O MAYOR EN EL DISCRETO)

Hasta ahora hemos considerado sistemas en dimensiónfinita arbitraria. Podemos preguntarnos cuál es la mínimadimensión en la que podemos tener dinámica «intere-sante». Obviamente, ecuaciones autónomas en dimen-sión 2 no ofrecen interés desde el punto de vista dinámi-co. En efecto, además de que el conocido teorema dePoincaré-Bendixson y sus extensiones a superficies de di-mensión 2 arbitrarias nos dicen cuáles son los posibles ti-pos de órbitas en el espacio de fases, podemos hacer la si-guiente consideración. Si tomamos una sección de Poincaré(aunque sea sólo de forma local), la correspondiente apli-cación de Poincaré debe ser un difeomorfismo sobre unacurva (mientras dicha aplicación esté definida). En par-ticular, si parametrizamos dicha sección por un paráme-tro arbitrario (por ejemplo, la longitud de arco), el difeo-morfismo debe conservar el orden o bien debe invertirlo.Así, los sucesivos cortes de cualquier órbita con una sec-ción transversal deben estar ordenados. No hay lugar paraningún comportamiento caótico. En particular, toda apli-cación de Poincaré debe ser biunívoca.

Por el contrario, si consideramos sistemas discretos endimensión 2 o, equivalentemente, ecuaciones diferencia-les en dimensión 3, existen numerosos ejemplos de diná-mica no trivial. Por citar algunos de ellos, las llamadastransformación de Hénon, aplicación estándar, o las ecua-ciones de Lorenz y la mayoría de sistemas hamiltonianosde 2 grados de libertad restringidos a un nivel fijado deenergía (que son ecuaciones en dimensión 3), suminis-tran ejemplos de sistemas mostrando dinámica no prede-cible, dependencia sensible a condiciones iniciales y órbitasque se consideran caóticas.

Ciertamente, algunos ejemplos populares de transfor-maciones discretas que dan lugar a órbitas caóticas aparecenen dimensión 1. Un tal ejemplo es la llamada aplicaciónlogística, que asocia a un valor real x, entre 0 y 1, el valorfxx(\ - x), siendo /i un parámetro real. Para un conjuntode valores de fx entre 3.565 y 4, que ocupa cerca del 90%de ese intervalo, se tiene dinámica no predecible. Es ob-vio que la aplicación logística no es biunívoca. El estudiode ese tipo de problemas, aunque no directamente rela-cionado con aplicaciones de Poincaré (y, por tanto, conecuaciones diferenciales), ilustra propiedades que aparecentambién en transformaciones inversibles «próximas».

A continuación seguiremos la exposición centrándonosen sistemas discretos en dimensión 2, si bien se mencio-narán ejemplos en dimensión superior.

LAS CURVAS INVARIANTES Y SU GENERALIZACIÓN:

LAS VARIEDADES INVARIANTES

Volvemos a puntos fijos hiperbólicos con una direcciónestable y una inestable. Alrededor del punto fijo (que po-demos seguir suponiendo el origen), tomando los ejes

coordenadas en la dirección de los vectores propios y lla-mando (x, y) a las coordenadas, la transformación se es-cribe de esta forma:

(7)

donde suponemos que los valores propios cumplen0 < A, < 1 < kx y O, significa términos de grado superioral primero.

Si en (7) consideramos sólo los términos lineales, latransformación Fes trivial. Todo punto en el eje xse ale-ja hacia infinito por iteraciones de F; todo punto en el eje ytiende hacia el punto fijo, y los demás puntos están situa-dos sobre curvas que tienen por ecuación x °8 2y °8 ' = cte,donde la constante depende del punto inicial. Puedenimaginarse como una generalización de hipérbolas quetienen los ejes coordenados como asíntotas. En particular,los ejes son invariantes por F. Podemos preguntarnos quésucede en el caso general:

Teorema (de la variedad estable). Sea 0 punto fijo hiper-bólico de F, transformación que suponemos analítica en unentorno de 0. Entonces existe una curva invariante estable,definida localmente como x = ¿(y), tangente a la direcciónestable (el eje y) en 0, analítica y caracterizada como el con-junto de puntos (dejando de lado el punto fijo) que tienen to-dos los iterados positivos en un entorno del origen.

De manera parecida se define la curva invariante ines-table, que puede representarse como una función y = g"{x),tangente en el origen al eje x. Notemos que, para ambascurvas, es posible también una representación paramétri-ca de la forma:

W ) . h2(s)) = (h](Xs), b2(ks))

donde como X debe tomarse X, (resp. X2) en el caso de lacurva inestable (resp. estable). La representación paramé-trica no es única, ya que queda libre una posible elecciónde la «escala» de s. Si en el caso de la curva inestable sepide, por ejemplo, que el coeficiente de s en A, sea iguala 1, entonces la parametrización es única.

En general, si la dimensión del subespacio asociado a va-lores propios de módulo menor que 1 es k (y la de los demódulo mayor que 1 es n - k), en lugar de curvas se ob-tienen variedades diferenciables de dimensión k (variedadestable W¿]oc) y n — k (variedad inestable W¿'lx).

Las curvas (o variedades) obtenidas así de forma local enun entorno del punto fijo, pueden globalizarse por itera-ción. Las variedades estable, W¿, e inestable, Wo", se ob-tienen como

respectivamente. Por convenio supondremos siempre queel punto fijo no pertenece ni a W ni a W.

También es relevante observar que, en el caso de di-mensión 2, las curvas invariantes tienen dos componentes

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CARLES SIMÓ TORRES

cada una: en la inestable podemos distinguir W0"t y Wo" _según el signo de x en la parte local de la variedad (es de-cir, la componente de la derecha y la de la izquierda). Demanera similar tenemos dos componentes Wo

s t y W¿ _, o

superior e inferior, para la estable.Insistimos una vez más en que, como estamos conside-

rando sistemas discretos, los puntos no se mueven sobrela variedad estable (o inestable) de forma continua, sinosaltando de un punto a su imagen de manera discreta.

CÓMO SE CORTAN LAS VARIEDADES INVARIANTES

En la aproximación lineal, las variedades invariantes nose cortan. Al no haber términos no lineales, no puede pro-ducirse ninguna realimentación y todos los puntos de lasmismas escapan hacia infinito: los de W por iterados po-sitivos de Fy los de W por iterados negativos.

Pero si se consideran términos no lineales, las curvas ovariedades invariantes pueden dejar de ser «rectas» y tenerpuntos en común. Analicemos qué ocurre si la variedadinestable y la estable tienen un punto de intersección, h.Esos puntos reciben el nombre de puntos homoclínicos.Como h G W", las iteraciones por Fk con k < 0 hacen ten-der Fk(h) hacia el punto fijo. Pero lo mismo sucede si ite-ramos con k > 0, ya que el punto se encuentra en W. Poruna parte esto justifica que esos puntos se llamen tam-bién puntos biasintóticos, ya que Fk(h) —* 0 tanto parak —* —oo como para k —* +°°. Por otra, si h es homoclíni-co, todos sus iterados también lo son, por lo que toda suórbita por i7 (esto es, \Fk{h), k G Z}) está formada porhomoclínicos y se denomina órbita bomoclínica.

Si estamos en dimensión 2, como las curvas invarian-tes tienen dimensión 1, puede suceder que coincidan. Eneste caso decimos que constituyen una separatriz. Comoes natural, se trata de un caso altamente degenerado. Normal-mente no coinciden e incluso, en general, si se cortan enun punto homoclínico, lo hacen formando un ángulo nonulo. Decimos entonces que estamos en presencia de unpunto homoclínico transversal. Si las curvas no coincidenpero tienen homoclínicos no transversales hablamos detangencias homoclínicas (si el orden de contacto es par) ode transversalidaddébil'(si el orden de contacto es impar).Desde el punto de vista topológico, una transversalidad dé-bil se comporta como una transversalidad con ángulo nonulo. En muchos casos, dependiendo de la geometría delas curvas invariantes o del carácter del sistema (por ejem-plo, en el caso de que preserve área porque se haya obte-nido como aplicación de Poincaré de un sistema hamil-toniano de dos grados de libertad confinado a un ciertonivel de energía), la existencia de tangencias homoclíni-cas implica la existencia de otros puntos homoclínicosque son transversales (quizás sólo débilmente).

Si estamos en presencia de una separatriz, ésta puededeshacer el efecto del punto hiperbólico como creador dedependencia sensible a condiciones iniciales. En efecto,imaginemos que pasamos cerca del punto fijo, y que nos

alejamos de él cerca de la curva inestable (la curva inesta-ble tiene un carácter atractor, mientras que la estable lo tie-ne repulsor; basta pensar en el caso lineal y en las curvasen forma de hipérbola que se han mencionado). Dos pun-tos que tengan componentes distintas en la dirección ines-table ven cómo esas componentes aumentan exponen-cialmente, por lo que también aumenta exponencialmentesu distancia. Si existe una separatriz, los iterados de ambospuntos vuelven a pasar cerca del punto fijo, acercándosea él próximos a la curva estable. Su distancia, durante esafase de las iteraciones, disminuye, por lo que puede com-pensar el aumento producido anteriormente.

Si existen homoclínicos transversales, esa cancelación deefectos no puede producirse. De hecho, pueden decirse mu-chas más cosas:

• Como hemos supuesto ambos valores propios posi-tivos en el punto fijo, eso implica que el determinantede DF{0) es positivo. Como no puede anularse nun-ca (ya que Fes un difeomorfismo) debe ser det(DF)positivo en todo punto. En particular Fpreserva orien-tación. Si en un punto h, homoclínico transversal, lacurva inestable pasa, por ejemplo, de la parte derechade la estable a la izquierda, entonces en la imagenF(h) debe hacer lo mismo (en caso contrario cam-biaría la orientación. Pero ello implica que en algúnotro punto, h', la curva inestable pasa de la izquier-da a la derecha de la estable, con lo que existe, comomínimo, otro punto homoclínico transversal, al me-nos débilmente.

• Mediante un cambio de coordenadas alrededor delpunto fijo podemos conseguir que, para F, las varie-dades invariantes locales estén sobre los ejes coorde-nados. En efecto, basta usar las coordenadas (u, v) conu = x—gs(y), v =y—g"{x). Sean hy //dos puntos ho-moclínicos transversales en órbitas distintas y situa-dos en la variedad estable local, y sean (0, b), (0, c),0 < b < c sus coordenadas. Suponemos que esos ho-moclínicos se obtienen cortando la curva estable conla componente derecha de la inestable. Sean0<a<b<c<dy consideremos el rectánguloH={x G (0, E), y G (a, d)}, siendo £ pequeño. En-tonces los iterados de 'R por Fpasan cerca del puntofijo, se mueven luego cerca de la curva inestable y, sise escogen de forma conveniente, vuelven a entornosde h o h'.

• Se tiene así la construcción denominada herradura deSmale. Es fácil entonces demostrar que existen pun-tos cuyos iterados vuelven infinitas veces a "7? de ma-nera que los sucesivos pasos se hacen cerca de A o deh' en un orden arbitrario. Esto significa que, si codi-ficamos el paso cerca de h como 0 y el paso cerca deh'como 1, para cualquier sucesión, infinita a derechae izquierda, formada por los dígitos 0 y 1, existe unpunto inicial tal que los retornos a 'H se hacen si-guiendo la pauta marcada por la sucesión. Ése es elcontenido del llamado teorema homoclínico de Smale.

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• De hecho, y con la elección de H efectuada, pode-mos imponer mucho más. En efecto, podemos pres-cribir cuántos iterados de ^queremos hacer entre dospasos consecutivos por 'R, siempre que ese valor seamayor que una cierta cantidad, n$, que depende de ey que tiende hacia infinito como log(l/e). El que sepuedan escoger puntos cuyos iterados hagan casi cual-quier cosa se conoce como existencia de dinámicacuasialeatoria.

• Usando la notación anterior, el dominio limitado porlas curvas invariantes entre hy h'se. conoce como ló-bulo. De la existencia de un lóbulo se sigue la existenciade infinitos. Las imágenes por Fde un lóbulo tiendena aproximarse a la curva inestable (al menos los pun-tos más cercanos a la curva estable), y las imágenes porF~x se acercan a la estable. Más aún, cualquier seg-mento que corte transversalmente a la curva establetiene imágenes por Fque se comportan (localmente,cerca del punto fijo) como «paralelas» a la curva ines-table, tendiendo hacia ella exponencialmente. Este esel contenido del llamado X-lema o lema de inclina-ción.

• En el caso de que Z7 preserve el área (o caso conser-vativo), todos los lóbulos tienen la misma área. Por otrolado, ninguna curva inestable puede cortarse ella mis-ma (ni cortar a una curva inestable de otro puntofijo), y una cosa análoga sucede con una estable queno puede cortarse ella misma ni cortar a otras estables.Ello obliga a que las curvas invariantes se plieguen deforma complicada para satisfacer todas esas condicio-nes. Básicamente, éste es el motivo de la famosa fra-se de Poincaré en la que manifestaba su incapacidadpara esbozar el comportamiento de las curvas inva-riantes en el caso conservativo.

• Imaginemos una /"para la que exista una separatrizformada por la coincidencia de las componentesWo" + y WQ t, mientras que las otras componentes,WQ"_ y W¿ _, escapan hacia infinito. Perturbando Fpodemos alterar ligeramente W y W y conseguirpuntos homoclínicos transversales cercanos a la se-paratriz del caso no perturbado. Aparecen lóbulos dedos tipos: lóbulos interiores, cuyos puntos se muevenhacia la derecha después del paso cerca del punto fijoy, por tanto, vuelven a pasar cerca de la antigua se-paratriz, y lóbulos exteriores, cuyos puntos se muevenhacia la izquierda después de pasar cerca del fijo y es-capan hacia infinito. Lo mismo sucede si iteramospor F~l, substituyendo derecha e izquierda por arri-ba y abajo, respectivamente. Se tienen entonces si-tuaciones de captura temporal. Existen puntos cerca-nos a la componente inferior W¿_ que entran en lazona que delimitaba la antigua separatriz, permane-cen en ella durante un número arbitrario de iteradosy acaban escapando cerca de W¿' _. Por supuesto, tam-bién puede darse captura total en la que el escape nose produce. Este tipo de comportamiento se ilustra conla dinámica de ciertos cometas, asteroides, etc.

• Por último, consideremos una FtA que W¿' + y W¿ t

den lugar a una separatriz y W¿'_ y W¿_ den lugar aotra. Se tiene así una figura de 8. Una perturbaciónpuede escindir las separatrices y dar lugar a homoclí-nicos transversales en cada parte del 8. Sea h un ho-moclínico transversal situado en W¿\t cerca del pun-to fijo. Tomemos dos puntos, A y B, cerca de h,arbitrariamente próximos pero situados a lados dis-tintos de W¿ t. Sus iterados Fk(A) y Fk(B) volveráncerca del fijo para k suficientemente grande. Pero loharán a distintos lados de la curva estable, de mane-ra que siguiendo con las iteraciones uno se alejará delpunto fijo cerca de WQ t y el otro cerca de W¿' _. Comoel paso cerca del punto fijo es sensible a condicionesiniciales, pequeños cambios en las coordenadas inicialeshacen que esos iterados puedan retornar cerca de ho-moclínicos a un lado arbitrario de W. Así, cada pasocerca del punto fijo significa una posible elección dehacia qué parte de W" se sigue, como si se pudiera es-coger a cara o cruz (véase, sin embargo, más adelan-te para las tiradas a cara o cruz). Eso se consigue convariaciones arbitrariamente pequeñas de las condi-ciones iniciales, que pueden estar por debajo de laprecisión con que se efectúen las medidas para de-terminar la posición inicial. Este es un nuevo ejem-plo del carácter cuasialeatorio asociado a los homoclínicos.

Cuando se consideran diversos puntos fijos (o periódi-cos) hiperbólicos de F, cada uno de ellos tiene sus corres-pondientes curvas invariantes. Curvas inestables de unpunto pueden cortar las estables de otros, dando lugar alos puntos heteroclínicos. La totalidad de las curvas esta-bles e inestables de los distintos puntos hiperbólicos for-ma el entramado homodínico, que el lector puede imagi-nar como un complicado retículo de calles (de longitudinfinita) cruzándose infinitas veces entre ellas. Esas sonlas calles por donde circula la dinámica y las que llevan al

¡CAOS!

En la sección anterior hemos descrito los efectos geomé-tricos, visualizables en el espacio de fases, de la existencia deun entramado homodínico. Revisemos las condiciones quese requieren:

1. Debemos tener objetos invariantes con un cierto ca-rácter hiperbólico, esto es, que existan variedadesformadas por órbitas que tiendan hacia ellos y otrasque se alejen de los mismos.

2. Las variedades invariantes deben plegarse de formaconveniente para que algunos puntos de las mismasvuelvan arbitrariamente cerca del objeto hiperbóli-co de partida. Para ello se requiere la existencia de tér-minos no lineales en las ecuaciones, que produzcanla necesaria realimentación.

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Las consecuencias serán entonces las siguientes:

a) Se pierde la capacidad de predecir la posición de lositerados F de ciertos puntos iniciales, debido a lagran sensibilidad respecto a las condiciones iniciales ya los inevitables errores en la determinación de la po-sición del punto inicial.

b) Existen puntos cuyas órbitas se comportan de ma-nera aparentemente aleatoria o cuasialeatoria aunqueel sistema sea determinista.

Estas características son las que, popularmente, se co-nocen como caos. Son intrínsecas al sistema y no tienennada que ver con la falta de carácter determinista.

Existen numerosos indicadores cuantitativos del gradode caoticidadde un sistema. Entre ellos destacamos los si-guientes:

• El exponente maximal de Lyapunov. Dada una órbitapositiva \FL'(x), k> 0}, puntos arbitrariamente próxi-mos a ella pueden alejarse de la misma de forma ex-ponencial, de manera que la distancia d(Fi(x), Fk{y))crece como d{x, y) exp(£Á.) cuando k tiende a infini-to y la distancia inicial, d(x, y), tiende a cero de for-ma conveniente. El máximo valor de X recibe el nom-bre de exponente maximal de Lyapunov. Desempeñael papel, para órbitas arbitrarias, que en el caso de unpunto fijo juega el valor propio dominante.

• La entropía métrica respecto a una medida invarian-te. Supongamos que el sistema tiene una medida in-variante, yi. En el caso de un sistema conservativo enel plano esa medida es el área. En otros casos puedeser más complicada. Sea ' -i un dominio invariante porFy sea/;!=U;=, N í í ; una partición del mismo, '/'(.'•[),es decir, dos subconjuntos cualesquiera, Aty A^, de lapartición tienen intersección de medida cero. Se de-fine la entropía de la partición como

li{í4) x (-

Ésa es una entropía estática, es decir, que no tiene aúnnada que ver con el sistema dinámico discreto F. Para de-finir una entropía dinámica procedemos como sigue. Con-sideremos la partición formada por la intersección de lasparticiones <T(¿X), F(fT{$)), ..., F(<P(íí)). Denotamos,por simplicidad, h(fP{íA)) la entropía de esa nueva parti-ción. El límite de h^T^l))! s cuando s —» =° existe y sedenomina entropía de la partición <T(5Í) respecto F. Fi-nalmente, se llama entropía métrica de F respecto la me-dida ¡x, hfl{F), al supremo respecto todas las particiones po-sibles.

La entropía métrica mide cómo se mezclan los puntosde JÍal iterarlos por F.

Existe una relación entre la entropía métrica y el expo-nente maximal de Lyapunov. En el caso plano y en que lamedida sea el área, la entropía se obtiene por integracióndel exponente de Lyapunov en el dominio considerado.

Observemos que tanto los indicadores de caoticidadmencionados como cualquier otro que podamos utilizar,no son más que una consecuencia de la dinámica en el es-pacio de fases, que es el verdadero objeto geométrico in-teresante.

Otro punto fundamental es si la caoticidadafecta sóloun conjunto de puntos de medida muy pequeña (y, porlo tanto, va a ser difícil de observar) o, por el contrario, esalgo que ocurre para un conjunto masivo de puntos.

En el caso conservativo, el decidir si el conjunto de pun-tos en los que el exponente de Lyapunov es positivo tie-ne medida positiva o, en otras palabras, si la entropía mé-trica es positiva, es una cuestión que aún no ha sido resueltade forma rigurosa. Toda la evidencia numérica es que elloes cierto. Se conocen ejemplos para los que ha sido de-mostrado positivamente, pero son ejemplos académicos yque no se presentan habitualmente en los sistemas queaparecen en las aplicaciones.

Para los sistemas disipativos (de nuevo en el caso pla-no, ello significa que para todo dominio C\ se tiene queel área de F('l) es menor que el área de [A, es decir,que el determinante de DF en todo punto es menorque la unidad), podemos tener los llamados atractoresextraños. Son conjuntos que, al iterar por F atraen to-dos los puntos de un entorno suyo, en los que existenórbitas densas (esto es, que visitan todas las partes delatractor) y tales que, al restringiré dinámica Fu ellos,se tiene dependencia sensible a condiciones iniciales. Ésaes otra de las manifestaciones de la caoticidad. Tam-bién poseen «vistosas» propiedades fractales, pero, denuevo, eso no es más que una consecuencia elementalde la dinámica.

La existencia de homoclínicos transversales en un siste-ma disipativo no asegura la existencia de atractores extra-ños. Se tienen, sin embargo, lo que podemos llamar atrac-tores extraños en potencia, que se encuentran en la adherenciade las curvas inestables. Hemos utilizado el calificativo enpotencia, ya que puede ser que otros atractores más sim-ples, como son los puntos periódicos atractores, impidanque se desarrolle un auténtico atractor extraño, siendo lospuntos del potencial atractor capturados por la órbita pe-riódica.

Sistemas que no son conservativos ni disipativos, es de-cir, para los que existen dominios donde | det(DF) | es me-nor que 1 y otros donde es mayor que 1, pueden teneratractores extraños si, en promedio, se tiene cierta disipación.Un ejemplo ilustrativo se verá más adelante cuando mos-tremos cómo «prefabricar» un atractor extraño. De maneraparecida puede hablarse de repulsores extraños. No son másque atractores extraños por la aplicación F~x.

Pasando a ejemplos de dinámica sensible a las condicio-nes iniciales podemos comentar algunos que aparecen enaplicaciones varias.

• La dinámica de los planetas del Sistema Solar. Si seconsidera la parte importante del Sistema Solar, estoes, la más masiva, formada por el Sol y los planetas gi-

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gantes (Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno), simula-ciones numéricas de su movimiento durante inter-valos de tiempo de aproximadamente la edad del sis-tema solar parecen indicar que su comportamientoes muy regular. Por el contrario, si incluimos la par-te importante para nosotros con Mercurio, Venus, laTierra y Marte, esto es, los planetas menores, la si-tuación es distinta y se manifiesta una cierta caotici-dad. Se estima que el exponente maximal de Lyapu-nov para los 8 primeros planetas es de 1 unidad sitomamos como unidad de tiempo 5 millones de años.De forma equivalente, al cabo de 100 millones de añosla amplificación de errores es de exp(100/5) — 5 x 108.Hay errores en los datos iniciales de los planetas quevan a implicar errores notables al cabo de un tiempogrande y que, sin embargo, no tienen nada que ver concomportamiento caótico. Me refiero a errores en la de-terminación de las frecuencias con que se mueven al-rededor del Sol. Un error de 10~9 (en vueltas/año)implica un error de 1/2 vuelta al cabo de 500 millo-nes de años. Sin embargo, esos errores crecen lineal-mente con el tiempo. Los que provocan la caoticidadson más sutiles. Las órbitas de los planetas vienen ca-racterizadas, por ejemplo, por los llamados elementoskeplerianos. Entre ellos tenemos la excentricidad, lainclinación respecto a un plano de referencia y susvariables angulares asociadas, el argumento del pe-rihelio y el argumento del nodo. Esos elementos seríanconstantes si sólo consideráramos el problema de doscuerpos formado por el Sol y el planeta estudiado.Debido a los efectos de unos planetas sobre otros, seproducen perturbaciones en dichos elementos y va-rían con el tiempo. Se producen resonancias en queaparecen combinaciones lineales de los argumentos deperihelio y nodo de varios planetas. Esas combina-ciones lineales se comportan como péndulos pertur-bados. En los mismos aparecen puntos hiperbólicos(correspondientes al punto de equilibrio inestable deun péndulo, con la masa por encima del punto desustentación). Es el paso cerca de ellos y la escisión delas separatrices de esos puntos hiperbólicos lo queprovoca la caoticidad del Sistema Solar. Esta involu-cra, pues, las excentricidades, inclinaciones y argu-mentos de perihelio y nodo de, básicamente, los pla-netas menores.Otro ejemplo astronómico aparece al estudiar el mo-vimiento del eje de rotación de los planetas. En el casode la Tierra es sabido que el eje de rotación se mue-ve aproximadamente sobre un cono, debido a la faltade esfericidad de la Tierra y a los efectos combinadosde los pares de fuerzas creados por la Luna y el Sol.Es el efecto conocido como precisión de los equinoccios,que implica un giro del eje de rotación de unos 50"por año. Al mismo tiempo, la inclinación del ecuadorterrestre respecto de la eclíptica se mantiene casi cons-tante alrededor de 23°. Esta inclinación se conocecomo oblicuidad de la eclíptica.

Consideremos qué pasaría en ausencia de la Luna.Aunque es mucho más pequeña, su proximidad haceque el efecto de la Luna sea el doble que el del Sol. Portanto, sin la Luna la precisión de los equinoccios ten-dría lugar a razón de unos 17" por año. Existen per-turbaciones sobre la rotación de la Tierra debidas a losplanetas mayores (principalmente efectos de Júpitery Saturno) que tienen casi exactamente esta frecuen-cia. Esas perturbaciones exteriores entrarían en reso-nancia con la velocidad angular del eje de rotaciónprovocando que la inclinación del ecuador respectoa la eclíptica tuviera un comportamiento caótico. Si-mulaciones numéricas cuidadosas muestran que lainclinación de dicho eje podría, en tal caso, variar en-tre 0o y 60°. Una inclinación nula provocaría la fusiónde los casquetes polares y, al haber menor cantidad deradiación solar reflejada, habría un aumento medio dela temperatura en la superficie de la tierra que se ci-fra en +50 °C. Un efecto contrario, con variacionesmedias de -50 °C, se produciría en el caso de incli-naciones grandes. Con tales extremos climáticos, lavida seria ciertamente imposible para la especie humana.La dinámica de naves espaciales pasando cerca de uncuerpo masivo ilustra también el aprovechamiento dela dependencia sensible para conseguir importantesahorros de energía. En efecto, pasos cerca de la Lunao de los planetas grandes aprovechan el campo gra-vitatorio de los mismos para conseguir variacionesimportantes en la trayectoria de la nave. Conocidoscomo flyby, requieren una excelente precisión enlas coordenadas de la nave y efectuar pequeñas ma-niobras de corrección para pasar por el lugar deseado.También las órbitas, aproximadamente periódicas ycuasiperiódicas, que se encuentran cerca de los pun-tos de libración colineales de los sistemas Tierra-Sol,Luna-Tierra y otros que puedan utilizarse en el futu-ro, dan una buena oportunidad de utilizar la hiper-bolicidad, tanto para aproximarse a ellas (siguiendosu variedad estable), como para controlarlas de formaeficiente (aprovechando características de la dinámi-ca para ahorrar energía), o para partir hacia nuevas mi-siones (siguiendo la variedad inestable).La dinámica de estrellas en una galaxia puede estu-

o r

diarse considerando que el efecto de las estrellas de lamisma sobre una estrella dada es, aproximadamente,el debido a un campo medio creado por las propiasestrellas. Así, el problema se simplifica y basta estudiarórbitas en un sistema hamiltoniano de tres grados delibertad. De hecho, fue en modelos simplificados dedos grados de libertad en donde se observaron, ya enlos años sesenta, ejemplos de órbitas caóticas porM. Hénon y C. Heiles. La actividad en ese dominioes muy grande, ya que, aun con las fuertes simplifi-caciones que comporta, existen muchos puntos fun-damentales no clarificados. Constituye un paradig-ma para modelos en múltiples campos, desde ladinámica de estrellas a la de partículas en un acelera-

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CARLES SIMÓ TORRES

dor, desde cinética química a órbitas de naves espa-ciales.La meteorología constituye uno de los paradigmas porexcelencia de dinámica caótica. En una situación an-ticiclónica, las trayectorias en el espacio de fases sonmuy regulares y, localmente en tiempo, esto es, du-rante un lapso de unos cuantos días, el exponentemaximal de Lyapunov puede ser aceptablemente pe-queño. No así en una situación ciclónica. Entonceses fácil tener exponentes del orden de 1 unidad si uti-lizamos 1 día como unidad de tiempo. Y pueden sermucho mayores en situaciones extremas o si queremosconsiderar de forma precisa la meteorología en una re-gión pequeña. Pensemos que un exponente de 1 sig-nifica que en 3 días los errores se amplifican por unfactor 20. Una imprecisión de un 5% en los datosiniciales puede llevar a errores del 100% en 3 días.Si en el futuro se puede disponer de datos más pre-cisos, lo único que se consigue es ampliar el horizon-te de predecibilidad. Siguiendo con exponentes deLyapunov de 1 unidad, errores de un 1 por mil seamplifican al 100% en una semana. Por tanto, loserrores de predicción, tan comunes en meteorología,no cabe achacarlos, de ningún modo, a los profesio-nales de esa disciplina, sino a la inestabilidad intrín-seca de la misma.La climatología a escala global es una de las fuertespreocupaciones de la Humanidad. Al principio de es-tas notas se han mostrado unas ilustraciones de órbi-tas en un modelo extraordinariamente simplificado, elmodelo estacional de Lorenz de 1984. No debe ser te-nido en cuenta para ningún efecto práctico. Sólocomo un paradigma para entender modelos más rea-listas. Como las figuras ilustran, pequeños cambios enlos parámetros pueden llevar a cambios notables en elcomportamiento. Sin embargo, siguiendo esta líneade pensamiento, es ya factible disponer de modeloscualitativamente aceptables (y, en un futuro próxi-mo, también cuantitativamente) para fenómenos rea-les relevantes a escala mundial, como El Niño. (Véasemás adelante en la discusión sobre las cuencas de atrac-ción y descripciones probabilistas.)

Por supuesto, toda simulación numérica de un sis-tema caótico realizada en un ordenador tiene erroresinevitables en la trayectoria que se calcula. Pensemosque en cada operación aritmética se introducen erro-res, que se amplifican por la inestabilidad intrínsecadel sistema. Podemos utilizar técnicas refinadas decálculo. Por ejemplo, he realizado simulaciones ma-sivas del modelo Lorenz 84 utilizando métodos deTaylor de orden elevado, de los que he entresacado lasfiguras aquí mostradas. Además de ser mucho másprecisos, en este caso son también mucho más rápi-dos que los métodos utilizados en los programas desimulación más divulgados. En caso de necesidadpuede utilizarse aritmética de precisión elevada (estoes, podemos trabajar con 1.000 cifras decimales si

queremos). Pero, además del costo computacionalque esto supone, veremos más adelante que ello no espreciso. No importa tanto el punto concreto del atrac-tor'en que se halla el sistema, como la forma y propie-dades globales del mismo.

• Dados, ruletas y tirar monedas son popularmente acep-tados como paradigmas de aleatoriedad. Sin embar-go, se trata de sistemas mecánicos relativamentesimples y que se rigen por leyes perfectamente deter-ministas. El hecho de que su resultado se acepte comoaleatorio radica de nuevo en la dependencia sensible alas condiciones iniciales. Si consideramos, por ejem-plo, el caso de un dado, cada vez que golpea la mesacon uno de sus vértices, aunque éste esté ligeramen-te redondeado y admitamos unas propiedades elásti-cas uniformes y una construcción cuidadosa, mínimoscambios en el punto de impacto se amplifican consi-derablemente. El rebote depende también de la ve-locidad angular en el instante de impacto. Si todos losdatos se conocieran con la precisión requerida, po-dríamos predecir el resultado. Pero dicha precisión esmucho más grande de lo que somos capaces de me-dir. Lo mismo se aplica a la ruleta o a tiradas de mo-nedas.

También son muy utilizados los programas de or-denador de generación de números aleatorios. Comotodo programa, es absolutamente determinista. Co-nociendo el algoritmo y el valor inicial, el resultadoqueda unívocamente determinado (notemos que, sise utiliza aritmética de punto flotante, depende tam-bién del procesador, compilador y sistema operativousado). En todo caso se utilizan algoritmos fuerte-mente sensibles a condiciones iniciales. Sus resultados,aunque deterministas, pasan los tests estadísticos dealeatoriedad. Pero, hablando con propiedad, no po-demos atribuirles carácter aleatorio, sino pseudoalea-torio o cuasialeatorio.

Notemos que, desde un punto de vista matemático, to-dos los ejemplos mencionados son semejantes. Las causasdel comportamiento caótico son prácticamente las mismas.En ciertos casos, el caos puede manifestarse al cabo demillones de años. En otros, al cabo de pocos años, de díaso de fracciones de segundo. Ello es sólo una cuestión deescalas de tiempo, relevantes para nosotros, pero irrelevan-tes en abstracto.

«PREFABRICANDO» CAOS

Vamos a mostrar ahora, paso a paso, cómo se puedeprefabricar un atractor extraño. Este es un ejemplo que heutilizado en diversas ocasiones e instruye sobre el papelde los distintos ingredientes.

Para ello usamos una familia de aplicaciones que de-pende de varios parámetros:

FuJx> f> = (*> y)

200


donde

x = x + £y,y = y + E[X - x" + fj.g(x, y, a)]

Primero consideramos el caso conservativo: jj. = 0 (y,por tanto, el valor de ges irrelevante). En ese caso la trans-formación estudiada preserva el área y es próxima, si £ espequeño, al flujo tpe del hamiltoniano H = fl2 — ¿12 + xAl4.El origen es un punto fijo hiperbólico. Además, los pun-tos fijos et y e_, de coordenadas (1,0) y (—1,0), respecti-vamente, son de tipo elíptico. Localmente cpe (y Fe00) secomporta como una rotación en ellos. Recordemos que,para una aplicación que preserva área, tp, si un valor pro-pio de D<p(x*) es A, donde suponemos que x*es un pun-to fijo de (p, entonces el otro valor propio es 1/A. El pun-to fijo se llama elíptico si A es un número complejo demódulo 1, distinto de +1 y de —1. Naturalmente, la par-te lineal de la aplicación alrededor del punto fijo es unarotación, ya que, mirándola en el plano complejo, sóloconsiste en multiplicar por un número de módulo 1.

Bajo el flujo tpp el período límite, cuando tendemos ha-cia uno de estos dos puntos fijos, es x\Í2. A medida quenos acercamos a la separatriz (el nivel H = 0), el períodotiende hacia infinito, creciendo monótonamente. El nú-mero de rotación se define, sobre estas órbitas, como la fre-cuencia: 2x1 período. Como FcM es una perturbación re-lativamente pequeña (Ole2)) de q>ey q>e, es una aplicaciónde las llamadas twist (la derivada del número de rotaciónrespecto a la energía es distinta de cero); el teorema del twistde Moser (o más generalmente, el teorema de Kolmogo-rov-Arnol'd-Moser, KAM) asegura que hay curvas inva-riantes por Fe00.

La figura 3 muestra tres de estas curvas, como y+ y y+ al-rededor de et y e_, respectivamente, y F en la parte exte-rior. Ello implica que los iterados sucesivos de puntos cer-canos a la separatriz estén confinados. Naturalmente, estovale si £ es suficientemente pequeño. Creo que en nues-tro ejemplo hace falta | £ | < 0.56... Dibujando los itera-dos de un punto conveniente cerca del origen, parece queéstos cubran una región de medida positiva. La pregunta

que hay que formularse es si la adherencia de la órbita tie-ne medida positiva. Esta cuestión está relacionada con laque formulamos antes sobre entropía métrica positiva.

Vayamos ahora al caso no conservativo. Lo que queremoshacer es razonar cómo hay que escoger la forma que ha detener el difeomorfismo y los parámetros adecuados paraque se tenga dinámica no predecible, no sólo para cienospuntos cerca de la zona donde estaba la separatriz del sis-tema hamiltoniano inicial, sino para la mayor parte depuntos en un entorno grande alrededor del origen. Enotras palabras, mostraremos cómo se puede fabricar unatractor extraño paso a paso. Consideremos, pues, tt > 0 yg{x, ya) = y • b(x, y, a). Quisiéramos que los puntos fijos(que con la gde la forma escogida son los mismos que enel caso conservativo) fueran como sigue: el (0, 0) de tiposilla disipativa (es decir A,, > 1, A, < 1, Ao ks < 1) y los (1, 0)y (-1, 0) de tipo foco repulsor, para que no atraigan nin-gún punto. Además, quisiéramos que el determinante deDFeftll fuera <1 en todas partes salvo en un entorno delos puntos et y e_. Esto garantizaría un carácter disipativo.

El determinante mencionado se expresa como 1 + £\i * .y

Escogemos la función h(x,y,a), para conseguir ese objeti-vo, como

Con esta elección de h se tiene det{Dtp) = 1 + £(x(-\ + ax1 - (x1 + y2)2)

El flujo límite (cuando £—»0), que es solución de laecuación diferencial

x=y,y = x - x" + \ig{x, y a)

tiene una bifurcación de Hopfen et y en e_ para a = 2. Unaconexión homoclínica se presenta para valores de los paráme-tros de la forma (/i, a(fi)), donde \imy^>0a(n) — 2.81457...Pasemos a la transformación Ff.4la. En primer lugar, ob-servemos que para tener un difeomorfismo precisamosdet (D(p)>0 (por ser perturbación de un flujo, /^preservaorientación). Si tomamos a > 0 y puntos (x, y) en unabola de radio reentrada en (0, 0), se precisa £/i(l + /)<!.Por ejemplo, si tomamos £ = 0.6, ¡x = 0,05, a ̂ 3, la bolade radio 1.7 tiene todas las imágenes dentro de la bola deradio 2.35, donde se satisface la condición de difeomor-fismo, y un iterado conveniente de la bola vuelve a caerdentro de ella. Así la bola contiene un atractor. Fijados £y n existen valores de a para los cuales hay puntos ho-moclínicos transversales como se desea. Por lo que aca-bamos de decir, si tomamos puntos en una bola de radioconveniente, se tiene

f](p"BrCBr

Por otra parte, como et y e_ son focos repulsores, hay cur-vas como las F, yt y y_ de la figura anterior, tales que el

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CARLES SIMÓ TORRES

atractor está contenido en la región limitada por T y fue-ra de los dominios limitados por yt y por y_. El atractorpuede ser una curva invariante, una órbita periódica o unatractor extraño.

En nuestro caso, el atractor extraño está contenido enla adherencia, W", de la variedad inestable del punto silla.La figura 4 muestra el atractor que se obtiene tomando laaplicación de la familia Ft. „ a para los siguientes valores delos parámetros: £ = 0.6, \i = 0.05 y a = 2.8. El punto ini-cial ha sido x = 0.01, y = 0. Se ha calculado primero unmillón de iterados, que se consideran como un transito-rio, y se ha dibujado el siguiente millón de iterados. Unode los problemas básicos es demostrar que, fijados £ y ¡u,la medida del conjunto de valores de «a» para los cuales hayatractor extraño es positiva, aunque dicho conjunto sea,posiblemente, totalmente disconexo (es decir, no contie-ne ningún intervalo abierto). Ello se ha conseguido paraciertos paradigmas de atractores, y hay un convencimientode que es así en general.

En este momento conviene insistir en el problema querepresenta la existencia de atractores extraños (o, en general,de cualquier dinámica caótica) en lo que respecta a la re-petitividadde los experimentos. Si un fenómeno natural esdeterminista, pero tiene una dinámica que da lugar a atrac-tores extraños, y repetimos un experimento para confir-mar la validez de un modelo matemático, tendremos pro-blemas. En efecto, los distintos experimentos se hacencon parámetros ligeramente diferentes y con condiciones ini-ciales también ligeramente diferentes. Como consecuenciade la variación del atractor con los parámetros y de la de-pendencia sensible a las condiciones iniciales, los resulta-dos pueden ser, aparentemente, muy distintos. Si no pen-samos que puede haber atractores extraños, podremos creerque el modelo no es correcto o, incluso, que no se puedeadmitir que el fenómeno sea determinista. Entonces hacefalta entender el modelo, las bifurcaciones que tiene paravalores de los parámetros cercanos a un valor dado, y la es-tructura geométrica del atractor en el espacio de fases parainterpretar correctamente los datos experimentales y po-der validaré modelo. Se puede representar gráficamenteel

atractor y comparar su forma y la manera en que los su-cesivos iterados se reparten sobre él (es decir, la medidainvariante que pueda haber sobre el atractor) con la co-rrespondiente forma del conjunto de datos experimenta-les cuando se toman simultáneamente los correspondientesa diversas magnitudes y se proyectan en algún espacio, ycon la distribución probabilística experimental de los pun-tos en distintas regiones.

CUENCAS DE ATRACCIÓN Y DESCRIPCIONES

PROBABILISTAS

Vamos a concentrarnos ahora en el caso disipativo. Sea9i un conjunto positivamente invariante: F{CÍ) C Cl. Laintersección de todos los iterados de íA (que es un conjuntode medida nula) contiene todos los atractores a los quepuede tender un punto de Si. Dado un punto inicial enese conjunto podemos preguntarnos cómo se delimitan lascuencas de atracción de los posibles atractores que puedencoexistir. La respuesta es simple: son variedades estables depuntos fijos o de órbitas periódicas las que separan las dis-tintas cuencas. Para un estudio detallado hay que atendera las posiciones relativas de unas variedades respecto aotras, y tener un cuenta si el difeomorfismo preserva orien-tación o la cambia.

Por otra parte, los atractores propiamente dichos se ha-llan en la adherencia de variedades inestables. Cuandouna variedad inestable experimenta una tangencia conuna estable el atractor en potencia es destruido y sus pun-tos van a parar a un atractor distinto. Todo el proceso decreación y destrucción de atractores, cómo se escinden ocómo se acoplan es fácilmente explicable en términos detangencias homoclínicas y heteroclínicas. Por supuesto,los aspectos geométricos se complican en el caso de di-mensiones elevadas, aunque los principios básicos son losmismos.

Dado que sobre un atractor extraño existe una dinámi-ca sensible a condiciones iniciales, no es posible predeciren qué punto del mismo va a encontrarse un iterado dado,si el número de iteraciones es superior al horizonte de pre-decibilidad. Es decir, después de aplicar Fun cierto númerode veces, la distancia entre los iterados de dos puntos, xey, que inicialmente eran indistinguibles (porque su dis-tancia era menor que los errores de medida o de repre-sentación en ordenador), puede llegar a ser del orden deltamaño del atractor. El objeto relevante, entonces, no esla posición de un iterado dado, sino la distribución de lossucesivos iterados a lo largo del atractor. Esta viene expresa-da mediante las medidas invariantes asociadas a la diná-mica. Una medida invariante ¡x * debe satisfacer la condi-ción n*{'B)=^{F~'('B)) para todo <B medible en F{íi).Sobre un atractor extraño una medida invariante nos dala probabilidad de encontrar los iterados en cada sub-conjunto del atractor. Al mismo tiempo esto nos permi-te hablar de una predecibilidadparcial. No podemos saberdónde está un iterado, pero al menos conocemos en qué

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objeto se encuentra (el atractor) y cuál es la probabilidadde encontrarlo a lo largo del mismo.

Esto no deja de parecer una paradoja, ya que, partien-do de unas premisas deterministas, llegamos a la conclu-sión de que la dependencia sensible a condiciones inicia-les puede producir como efecto que los iterados de unpunto inicial pierdan la memoria del punto de que han par-tido. Esa pérdida de información no es más que un reflejode la creación de entropía que lleva a cabo el sistema. De-bemos poner en guardia que eso va a ocurrir en el límite,cuando el número de iterados tiende a oo. Durante el pe-ríodo transitorio el comportamiento puede ser muy dis-tinto. Incluso puede suceder que el atractor sea una órbi-ta periódica, pero que los primeros 10 millones de iterados,por ejemplo, induzcan a creer que estamos en presencia deun atractor extraño. Cuál de las dos cosas es más impor-tante, si el comportamiento límite o el transitorio, de-pende del sistema físico. Es posible que el fenómeno es-tudiado desaparezca antes que se alcance el límite en elmodelo matemático. Así se entiende, por ejemplo, que siadmitimos un cierto modelo, válido en la actualidad, parael sistema solar, podamos llegar a la conclusión que losplanetas gigantes se movían en órbitas parecidas a las ac-tuales hace 10'" años, cuando por esas fechas el sistema so-lar aún no existía.

En los sistemas conservativos no hay atractores. La des-cripción probabilista de los efectos de la dependencia sensiblea condiciones iniciales se hace en términos de difusión.Pero sutiles cuasibarreras a la difusión, que se manifiestanen términos de ángulos extraordinariamente pequeños en-tre las variedades en los puntos homoclínicos transversa-les, pueden llevar a que el tiempo de difusión sea muy su-perior a la vida del sistema. De nuevo nos encontramos conque la relevancia de los efectos va a depender de las esca-las de tiempo.


En muchos sistemas naturales se manifiestan, en ma-yor o menor grado, ciertos efectos dinámicos no ordena-dos o caóticos. En realidad, en los sistemas deterministas,el caos es simplemente un orden más complejo de lo que nosparece habitual. O bien, que es más difícil de reconocer.La relevancia de los efectos caóticos depende de las zonasafectadas.

Ciertamente hay sistemas disipativos en los que el úni-co atractor que existe es un punto fijo. Desde un cierto pun-to de vista son sistemas muy agradables y fáciles de describir,ya que todo tiende hacia una situación estable. Desde otropunto de vista, son sistemas poco interesantes, ya que po-demos considerar que están muertos. Lo mismo podemosdecir de sistemas que poseen una única órbita periódicaglobalmente atractora. Usando una aplicación de Poin-caré se reducen al caso anterior.

Desde un punto de vista heurístico es muy razonable es-perar comportamientos caóticos. En efecto, por una par-

te se requieren situaciones de equilibrio inestable de tiposilla, lógicas cuando hay diversas fuerzas que actúan sobreun mismo objeto. En un péndulo, esas fuerzas son la gra-vedad y la reacción del eje en el que se sustenta el péndu-lo. En una reacción química hay que atravesar una barre-ra de potencial para que se produzca la reacción, pero esabarrera puede tener distinta altura en direcciones distin-tas, por lo que existen puntos tipo silla. Por otro lado, lanaturaleza no suele ser, afortunadamente, lineal. Ambas co-sas se combinan para dar lugar a homoclínicos. La exis-tencia de separatrices exactas es un hecho altamente dege-nerado: pequeñas perturbaciones pueden destruirlas. Estocrea la transversalidad que da lugar a las dinámicas nopredecibles.

Desde el punto de vista de análisis de sistemas diná-micos es fácil también explicar la omnipresencia del caos.En efecto, todo sistema que dependa de parámetros cam-bia de comportamiento al pasar por las llamadas bifur-caciones. Los casos más simples de las mismas aparecen,para ecuaciones diferenciales (siempre en dimensión 3 omayor), estudiando las bifurcaciones asociadas a puntosfijos con cierta degeneración. Hay que proceder enton-ces a desplegar genéricamente la degeneración. Esto es, aestudiar cuáles son las maneras más simples de perturbarel caso degenerado. Se tiene que aparecen, inevitable-mente, regiones del espacio de parámetros tales que, enel espacio de fases correspondiente, nos encontramos condinámica caótica. Ciertamente esas regiones pueden sermuy pequeñas cerca de ese caso degenerado, pero al ale-jarnos del mismo pueden ocupar una parte considerabledel espacio de parámetros. En realidad, en el caso de sis-temas conservativos, lo realmente excepcional (tan ex-cepcional que requiere que se satisfagan una infinidad decondiciones) es que no exista caos. Quizá se halla en zo-nas muy finas del espacio de fases, pero siempre está pre-sente.

Ciertamente queda mucho por aprender; posiblemen-te algunas herramientas importantes para el estudio demodelos matemáticos no han sido aún descubiertas, y laexplotación sistemática de métodos numéricos y gráficospara ese estudio se encuentra en sus inicios. Pero los prin-cipios geométricos básicos parecen ya suficientementeclaros.

BIBLIOGRAFÍA

Algunas revistas elementales o generales:• Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Enginee-

ring. Contiene muchos artículos de aplicaciones a dis-tintas áreas de la ciencia y la tecnología, y también deinvestigación básica. El número 3 del volumen 3 (junio1993) está dedicado a distintas maneras de medir elcomportamiento impredecible y a tests de determinis-mo.

• Mundo Científico, n.° 115 (julio-agosto, 1991). Con-tiene diversos artículos expositivos a nivel elemental.

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CARLES SIMÓ TORRES

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la omnipresencia del caos - rac.es · charla o de prevenirla. existen actualmente distintos...

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